判断极点阶数的方法
极点及处理方法课件
对极点。
极点的作用
极点是函数性质的重要标志， 它们揭示了函数在零点附近的 阶数和变化性质。
在数学分析中，研究函数的极 点有助于理解函数的性质和行 为。
在应用领域中，例如物理学、 工程学等，研究函数的极点对 于解决实际问题具有重要的意 义。
极点研究的主要成果
经过多年的研究，科学家们在极点研究方面取得了显著的成果。这些成果包括对极点物质 的基本性质、结构特征、反应机理等方面的深入理解，为新材料的发现和应用提供了基础 数据。
极点研究的影响
极点研究不仅对基础科学研究有重要影响，还对实际应用领域具有指导意义。例如，通过 研究极点环境下的生物大分子结构与功能，有助于设计和开发新的药物和治疗方法。
详细描述
追赶法的基本步骤包括将三对角线性方程组转化为松弛形式 ，然后使用追赶过程逐步求解出前缀和，最终得到方程组的 解。该方法在处理大规模三对角线性方程组时具有较高的效 率。
04 极点处理的现代 方法
QR分解法
总结词
QR分解法是一种将矩阵分解为正交矩阵 和上三角矩阵的方法，广泛应用于极点 配置和处理问题。
05 极点处理的实际 应用
在方程组求解中的应用
线性方程组求解
对于高阶线性方程组，通过使用 极点法，可以将其转化为低阶方 程组，从而简化求解过程。
非线性方程组求解
对于非线性方程组，极点法可以 将其转化为线性方程组，然后利 用线性方程组的解来逼近非线性 方程组的解。
在最优化问题中的应用
极点搜索法
通过构造一个搜索方向，利用极点法 可以找到最优化问题的解。
对未来研究的展望
01
拓展研究领域
零点极点的计算公式
零点极点的计算公式
计算零点和极点是在控制系统和信号处理中非常重要的任务。
零点和极点是系统的特征，它们对系统的稳定性和动态响应有着重
要的影响。
在控制系统理论中，可以使用传递函数来表示系统的动
态特性。
传递函数通常表示为H(s)，其中s是复变量。
零点和极点
可以从传递函数中直接确定。
对于一个一般的传递函数H(s)，可以表示为H(s) = N(s)/D(s)，其中N(s)和D(s)分别是分子和分母多项式。
零点是使得传递函数为
零的s值，即N(s)=0的解。
极点是使得传递函数的分母为零的s值，即D(s)=0的解。
计算零点和极点的具体公式取决于传递函数的形式。
对于一阶
系统和二阶系统，可以直接从传递函数的表达式中找到零点和极点。
对于高阶系统，通常需要使用数值方法或者计算工具来找到零点和
极点。
总的来说，计算零点和极点的公式可以通过传递函数的分子和
分母多项式来确定，具体的计算方法取决于系统的阶数和形式。
在
实际工程中，通常会使用计算工具来进行零点和极点的计算，以便更准确地分析系统的特性和性能。
数学物理方法3-1
这表明，当 a k 时， z1是sinz–sina 的二阶零点， 2
1 从而是函数 sin z sin a 的二阶极点。 1 同理可证，当 a k 时，z2 是 sin z sin a 的一阶极点； 2 1 当 a k 2 时， z2 是 sin z sin a 的二阶极点。
解：sinz–sina 的n阶零点就是所给函数的n阶极点。
sin z sin a 0 sin z sin a
此三角方程有解：
z1 2n a z2 (2m 1) a (n, m 0, 1, 2,)
z1, z2 是函数sinz–sina 的零点，也就是
1 sin z sin a
b点为φ(z)=1/ f(z) 的m阶零点。 以上讨论：极点 零点
总之，如果点b为f(z)的一个m阶零点，则b点是1/ f(z)的 一个 m 阶极点，反之亦然。
补充：判断函数f(z)极点阶数的简便方法
设b点是f(z)的m阶极点，则
(非零的有限值)
即要求b点是f(z)的几阶极点，可先求出新函数(z–b)m f(z)
孤立奇点包括：可去奇点、极点、本性奇点。
下面从函数 f(z)在该点的极限性质与洛朗级数的展开性质，
即：
这样两个方面对这三类孤立奇点进行分析 (见下表) 。
名称 的洛朗级数 可去奇点 有限值
例子
无负幂项
极点
无限大
含有限个负幂 项
本性奇点
无定值
含无限多个负 幂项
对于正幂项到底含有多少项，那是无关紧要的(解析)本 质区别在于负幂项的个数(没有、有限项、无限项)，故负幂 项部分称为级数的主要部分，它决定函数在奇点的性质。 1 . 可去奇点 z =0是 (1) 极限性质： (2) 洛朗展开 的可去奇点 ——有限值
快速判断复变函数零点和极点的几种方法
快速判断复变函数零点和极点的几种方法要快速判断复变函数的零点和极点，可以使用以下几种方法：
1.零点的判断方法：
(1)方程求解法：将复变函数的表达式置为零，求解方程得到零点。
(2)图形法：将复变函数表达式代入计算机软件绘制图形，找出所有
与x轴相交的点即为零点。
(3)求导法：对复变函数进行求导，零点出现在函数图像的极小值和
极大值处。
(4)复数取模法：将复变函数的表达式进行复数取模，求解模为零的
解即为零点。
2.极点的判断方法：
(1)方程求解法：将复变函数的分母置为零，求解方程得到极点。
(2)求导法：对复变函数进行求导，极点出现在导函数无定义的点处。
(3)裂项法：将复变函数的表达式进行裂项，对每一个裂项进行求解，求得不可简化的分母即为极点。
(4)复数取模法：将复变函数的表达式进行复数取模，求解模趋近于
无穷大的解即为极点。
需要注意的是，以上方法仅仅是初步判断复变函数的零点和极点，并
不能保证找到所有的零点和极点。
对于更复杂的函数表达式，可能需要借
助计算机软件进行辅助计算。
此外，还有一些特殊的复变函数可以直接得到它的零点和极点：
-幂函数：复变函数形如f(z)=z^n，其中n为正整数。
这种函数的零
点就是原点z=0，而没有极点。
-指数函数：复变函数形如f(z)=e^z，其中e为自然对数的底数。
这
种函数的零点不存在，而它的极点在虚轴上的所有点。
总之，判断复变函数的零点和极点需要综合运用方程求解、函数图像、导数和复数的性质等方法，具体情况需要具体分析。
五章 留数及其应用
第五章留数及其应用§1. 孤立奇点一.孤立奇点的分类1. 孤立奇点的概念定义：若函数在点不解读，但在点的某一去心邻域内处处解读.则称为的孤立奇点.一.求下列函数的奇点，并各奇点是否为孤立奇点.<1） <2）<3）<4）注意:孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤立奇点.2. 孤立奇点的分类设为的孤立奇点,在点的洛朗展式为.(ⅰ> 若有恒成立，则称为的可去奇点.(ⅱ> 若有,但对于有恒成立，则称为的m阶极点.(ⅲ> 若有,则称为的本性奇点.说明: (1>为的洛朗展式，其和函数为在点解读的函数.(2> 无论函数在点是否有定义，补充定义则函数在点解读.3. 孤立奇点的类型的判断(1> 可去奇点的判定方法定理1设在点的某一邻域内解读,则为的可去奇点的充分必要条件是:.定理1’设是的孤立奇点,则为的可去奇点的充分必要条件是:在内有界.(2> 极点的判定方法结论：是的m阶极点的充要条件是:其中在邻域内解读,且.定理2设在点的某一邻域内解读,则为的极点的充要条件是:是的m阶极点的充要条件是:其中为一确定的非零复常数,m为正整数.(3> 本性奇点的判定方法定理3设在点的某一邻域内解读,则为的本性奇点的充要条件是:极限与均不成立.一.判断下列函数的奇点的类型：<1） <2）<3）二. 函数的零点与极点的关系定义：若有正整数m,使得,其中在点解读且,则称为的m阶零点.定理4若在点解读,则为的m阶零点的充要条件是:但一.判断函数的零点及其阶数.定理5 若为的m阶极点,则为的m阶零点.反之亦然.一.判断函数的极点及其阶数.三.函数在无穷远点的性态定义：若存在R>0,有函数在无穷远点的邻域内解读,则称无穷远点为的孤立奇点.设在无穷远点的邻域内的洛朗展式为那么规定:(ⅰ> 若有恒成立，则称为的可去奇点.(ⅱ> 若有,但对于有恒成立，则称为的m阶极点.(ⅲ> 若有,则称为的本性奇点.定理6设在区域内解读,则为的可去奇点、极点和本性奇点的充要条件分别是:极限存在、为无穷及即不存在,也不是无穷.一.判断下列函数的奇点的类型：<1）<2）<3）<4）例6. 判断函数的孤立奇点的类型.§2. 留数一.留数的概念及留数定理定义：设为解读函数的孤立奇点,其洛朗展式为,称系数为在处的留数,记作Res.例6求在孤立奇点0处的留数.例7求在孤立奇点0处的留数.例8求在孤立奇点0处的留数.定理7(柯西留数定理> 设在区域D内除有限多个孤立奇点外处处解读,C是D内包围各奇点的任意一条正向简单闭曲线,那么说明：留数定理把计算周线上的积分的整体问题转化为函数在周线所围成的区域内的各个孤立奇点处的留数的局部问题.例9 计算积分.二. 函数在极点的留数法则Ⅰ如果为的简单极点,则Res.例10 求在各孤立奇点处的留数.法则Ⅱ设,其中在点解读,如果为的一阶零点,则为的一阶极点,且例11 求在的留数.法则Ⅲ如果为的m阶极点,则Res.例12求在孤立奇点0处的留数.例13 计算积分例14 计算积分三. 无穷远点的留数定义：设函数在区域内解读,即为函数的孤立奇点,则称为在的留数,记作Res.定理8如果函数在z平面只有有限多个孤立奇点(包括无穷远点>,设为.则在所有孤立奇点处的留数和为零.法则Ⅳ(无穷远点的留数> 若为函数的孤立奇点,则Res Res.例15 求在它各有限奇点的留数之和.例16计算积分其中C为正向圆周§3. 留数在定积分计算中的应用一.形如的积分思想方法:把定积分化为一个复变函数沿某条周线的积分 .两个重要工作:1> 积分区域的转化,2> 被积函数的转化.当从0到时,z沿单位圆的正向绕行一周.例17 计算的值.二. 形如的积分设为复函数的实值形式,其中满足条件:(1> 。
极线极点定义
极线极点定义1. 什么是极线和极点？在计算机视觉领域中，极线和极点是一种用于描述两张图像之间对应点关系的概念。
当我们有两张视角不同的图像时，比如来自不同相机或者同一个相机在不同的位置和朝向下拍摄的图像，我们希望能够找到它们之间的对应点，以便进行立体视觉、图像匹配或者SLAM等计算机视觉任务。
极线表示的是在一副图像上的一个像素对应于另一副图像上的一条线。
而极点则是在另一副图像上的一个像素，它恰好属于极线。
简单来说，极线是一种几何约束，它定义了对应点必须在哪些位置上寻找，而极点则是在另一张图像上的一个确定位置。
2. 极线和极点的计算方法计算极线和极点的方法有很多种，下面我们将介绍一些常用的方法。
2.1 极线的计算给定两张图像，我们可以通过基础矩阵或本质矩阵来计算它们之间的极线。
A. 基础矩阵基础矩阵是描述了两个图像间的对应关系的一个重要矩阵。
给定一对对应点，我们可以利用这些点来计算基础矩阵。
基础矩阵F满足以下条件：•对于每一对对应点(x1, x2)，我们有 x2^T * F * x1 = 0•F的秩为2通过计算基础矩阵，我们可以得到每个像素在另一张图像上的极线。
B. 本质矩阵本质矩阵是描述了两个图像间相对运动的一个重要矩阵。
给定相机的内参矩阵，我们可以通过本质矩阵来计算相机的旋转和平移。
本质矩阵E满足以下条件：•对于每一对对应点(x1, x2)，我们有 x2^T * E * x1 = 0•E的秩为2通过计算本质矩阵，我们可以得到每个像素在另一张图像上的极线。
2.2 极点的计算在得到了极线之后，我们可以通过极线来计算极点。
对于一条极线，它可以由两个像素点确定：在第一张图像上的一个像素点和在第二张图像上的一个像素点。
这两个像素点分别属于极线，它们共同决定了极线的位置。
假设给定了一条极线和一个像素点，我们可以通过求解极线与像素点的交点来得到极点。
交点的坐标即为极点的坐标。
2.3 其他计算方法除了上述介绍的基于基础矩阵和本质矩阵的计算方法，还有其他一些方法可以计算极线和极点。
极值和零点的关系
极值和零点的关系
极点与零点深刻反映了复变函数的部分重要的性质，因此，快速判断函数的零点和极点，对于研究复变函数的性质是非常重要的。
在定义上，零点和极点有相似之处，这使得极点与零点的判别紧密相关
先来看定义
可以看到，m级极点与m级零点的区别就在于(z-z0)的幂数的正负性，而一旦判别了零点或极点，就可以推知另一者，所以可以得到z0为复变函数f(z)的m级零点是z0为复变函数
1/f(z)的m级极点的充要条件
而对于零点，则有如下判定定理
有了零点和极点的关系，我们就可以简化极点级数的求解方法
p>=q时，h(z)可以写成(z-z0)^(p-q)φ(z)，于是z0为可去奇点
p<q时，z0自然为h(z)的q-p级极点
下面来看一道例题
z的孤立奇点为2kπi(k=0,±1,±2…)
k=0时，把sinz/(e^z-1)展开
h(0)=1，于是0为f(z)的一级极点
k=±1,±2…时
sinz/z≠0，e^z-1=0，(e^z-1)'=1
于是为f(z)的一级零点，也为一级极点
直接把函数展开为洛朗级数来判断极点级数是非常难的，但是如果利用函数零点来判断极点则能大大简化计算难度。
上面介绍的方法，适用于任何函数形式的极点阶数的判定
参考资料
[1]快速判断复变函数零点和极点的几种方法.张晓斌.科学咨询.2020.7
[2]关于复变函数极点的讨论.郑富年桑明煌罗开基.九江师专学报.1997.11。
习题06奇点,留数
ζk
∞
ζ k +1
t −( k +1) ，即 ∞ 点为本性奇点。 f (1/ t ) = 2∑ k = 0 ( k + 1)( 2 k + 1) !
f ( z ) = 2∫ e
0
z
(
ζ
− e−
ζ
)d
ζ = 2 e z + e − z − 2 ，即除 ∞ 点外无其他奇点。
(
)
ez ez （1） ， z0 = 1 ； （2） ， z0 = 1 ； 121．求下列函数在指定点 z0 的留数： 2 z −1 ( z − 1)
( z − 2nπ i ) ( z − e z + 1)
z ( e z − 1)
z → 2 nπ i
z → 2 nπ i
= lim
z → 2 nπ i
所以 2nπ i （ n = ±1, ±2,
）是一阶奇点。由于 2nπ i → ∞ ，所以在 ∞ 点的任一邻域内有无
穷个奇点，即 ∞ 是非孤立奇点。 （6） f ( z ) = z −1 −
−1 −1 z = ( z − 2nπ ) ⎡ 1 − cos ( z − 2nπ ) ⎤ + 2nπ ⎡ 1 − cos ( z − 2nπ ) ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 − cos z
1 −1 ⎡ 2 4⎤ = 2 ( z − 2nπ ) ⎢1 + ( z − 2nπ ) + O ( z − 2nπ ) ⎥ ⎣ 12 ⎦ 1 −2 ⎡ 2 4⎤ +4nπ ( z − 2nπ ) ⎢1 + ( z − 2nπ ) + O ( z − 2nπ ) ⎥ ⎣ 12 ⎦
ez
（1） res f (1) = lim ( z − 1) f ( z ) = e 。
高数证明：极点极线
高数证明：极点极线高数（高等数学）是大学中的重要课程，其中有一部分内容是关于证明（极点极线）的。
本文将深入探讨证明中的各个方面，并分享我对这一主题的观点和理解。
一、引言在高等数学中，极点极线是一个重要的概念，它与复数、函数和几何有着紧密的联系。
证明极点极线的性质和定理是高数学习的重要内容之一，对于提高学生的逻辑思维和分析能力具有很大的帮助。
二、概念解释1. 极点：在复平面上，给定一个复数的一列值，当这个复数趋近于某个值时，如果它的绝对值趋近于无穷大，那么这个值就被称为极点。
2. 极线：在复平面上，给定一个复数的一列值，连结它们与极点的直线，这些直线称为极线。
三、证明的基本方法在证明极点极线相关定理时，通常采用直接证明或间接证明的方法。
直接证明是通过逻辑推理和运用数学公式一步一步推导出结论，而间接证明则是通过假设目标结论不成立，然后推导出一个矛盾来证明结论是正确的。
四、证明极点极线的性质和定理1. 极点和极线的存在性：对于任意一个非常数的复数函数，至少存在一个极点和一条与之对应的极线。
2. 极点的唯一性：复数函数的极点是唯一的，即一个复数函数只能有一个极点。
3. 极线的唯一性：复数函数的极线也是唯一的，即给定一个复数函数的极点，它的极线也只有一条。
4. 极点的性质：极点具有局部性质，即它只与函数在某个足够小的邻域内的取值有关。
5. 极线的性质：极线是直线或者圆。
五、对极点极线的理解和观点在我对极点极线这一概念的学习过程中，我深刻体会到它与函数、复数和几何之间的联系。
通过证明极点极线的性质和定理，我不仅提高了自己的逻辑思维和分析能力，还对复数函数的行为有了更深刻的理解。
我认为学习极点极线不仅仅是为了掌握高等数学的知识，更重要的是培养我们的思维能力和解决问题的能力。
证明极点极线需要我们运用数学公式、运算规则和推理思维，这对我们在日常生活和职业发展中都有着重要的意义。
我认为在学习极点极线的过程中，思考和探索是非常重要的。
留数及其应用
注 将 f ( z ) 在 z 0 的去心邻域内的洛朗级数，有 1 1 1 1 z , ( 0 | z | ) . f (z) e 1 2 n z 2! z n! z
(含无穷多个负幂次项)
f ( z ) lim 解 z 1 是 f ( z ) 的奇点， 由 lim z 0 z 0
m (2) 若 f ( z ) ( z z0 ) ( z ) , ( z ) 在 z0 处解析且 ( z0 ) 0 ,
则称 z z0为 f ( z ) 的 m 阶零点。
对于不恒为零的解析函数，其零点是孤立的。
即在零点的一个小邻域内，函数无其它零点。
§5.1 孤立奇点 §5.1.4 零点
sin z 1, 解 z 0 是 f ( z ) 的奇点， 由 lim f ( z ) lim z 0 z 0 z 可知，z 0 是 f ( z ) 的可去奇点。
注 将 f ( z ) 在 z 0 的去心邻域内的洛朗级数，有
sin z 1 1 3 1 5 f (z) ( z z z ) z z 3! 5!
z z0
lim f ( z ) c (常数)；
lim f ( z ) ; (该条件只能判断是极点) zz
0
1 f (z) [ a N a N 1 ( z z0 ) ]; N ( z z0 )
z z0
(3) 本性奇点
lim f ( z ) 不存在且不为 .
且 ( z0 ) 0 , 则 z0 为 f ( z ) 的 N 阶极点。
事实上， z0为 f ( z ) 的 N 阶极点的充要条件(即定义)为：
§5.1 孤立奇点 §5.1.5 极点阶数判别方法
滤波器阶数计算器
滤波器阶数计算器滤波器的阶数是指滤波器的极点（pole）和零点（zero）的数量。
在信号处理中，阶数越高的滤波器通常具有更高的滤波效果，但也伴随着更高的计算复杂度。
滤波器的阶数可以通过不同的方法进行计算。
下面将介绍两种常用的计算方法：级联法（cascaded method）和并联法（parallel method）。
1.级联法：级联法是一种通过级联（串联）多个一阶滤波器来实现高阶滤波器的方法。
一阶滤波器是指只有一个极点或一个零点的滤波器。
首先，根据滤波器的频率响应要求选择一阶滤波器的类型，如低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器或带阻滤波器。
然后，根据所需的阶数，将多个一阶滤波器级联。
每个一阶滤波器的输出作为下一个一阶滤波器的输入。
通过级联多个一阶滤波器，可以实现任意阶数的滤波器。
但需要注意的是，级联的滤波器阶数越高，计算复杂度越高。
2.并联法：并联法是一种通过并联（并联）多个一阶滤波器来实现高阶滤波器的方法。
首先，根据滤波器的频率响应要求选择一阶滤波器的类型，如低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器或带阻滤波器。
然后，根据所需的阶数，将多个一阶滤波器并联。
每个一阶滤波器的输入是相同的信号，每个滤波器的输出加权相加得到总输出。
通过并联多个一阶滤波器，可以实现任意阶数的滤波器。
并联的滤波器的阶数越高，计算复杂度越低。
选择级联法还是并联法取决于具体的应用需求。
如果需要高阶滤波器以实现更高的滤波效果，可以选择级联法；如果需要降低计算复杂度，可以选择并联法。
需要注意的是，滤波器阶数的增加会导致滤波器的频率响应更陡峭，但也会带来更大的时域延迟。
因此，在设计滤波器时需要在频域和时域之间权衡，选择适当的阶数。
总结起来，滤波器的阶数可以通过级联法或并联法进行计算。
级联法通过级联多个一阶滤波器来实现高阶滤波器，而并联法则通过并联多个一阶滤波器来实现高阶滤波器。
选择合适的计算方法需考虑滤波器的频率响应要求和计算复杂度。
第四篇留数定理
数值积分
留数定理也可用于提高数值积分的精度 和收敛速度。通过分析被积函数的奇点 并计算留数,可以优化数值积分算法并 得到更准确的结果。
留数定理在电路分析中的应用
频域分析
留数定理可用于求解复变函数 在极点附近的积分,从而分析 电路中的频域特性,如振荡频 率、带宽等。
极点和零点分析
留数定理可用于确定电路系统 的极点和零点,从而预测系统 的动态特性和稳定性。
统中复杂的数学模型,分析 系统的安全性和稳定性。
。
3 抗攻击设计
4 信号处理应用
利用留数定理的特性,可以 设计出更加抗攻击的密码学
留数定理在数字信号处理中 的应用,可用于加解密数字
算法和协议。
信号的分析和处理。
留数定理在神经网络中的应用
系统参数分析
通过运用留数定理,可以分 析动力系统对参数的敏感 性,从而优化系统的性能和 稳定性。这在工程设计中 有广泛应用。
混沌理论研究
留数定理为动力系统混沌 行为的研究提供了理论基 础,有助于更好地理解和预 测复杂非线性系统的行为 。
留数定理在量子计算中的应用
量子位编码
留数定理在确定量子位编码时发挥重要作用,用于分析复杂的量子态波函数。
留数定理在代数几何中的应用
曲线积分计算
留数定理可用于计算复平面上闭合 曲线的复积分,在代数几何中广泛应 用于求解各种代数曲线的面积、长 度等几何量。
奇点分析
利用留数定理可以确定代数曲线上 的奇点位置和性质,有助于描述代数 曲线的几何特性。
复平面映射
留数定理可应用于研究复平面上的 解析函数对域的映射,在代数几何中 具有重要的理论意义。
留数定理在微分几何中的应用
1 曲面拓扑
2 曲率计算
第5章 留数 1
返回
§1 孤立奇点
一、孤立奇点的概念
1.定义1:
f (z ) 在 z0 处不解析，但在 z0 的某个去心邻域
0 | z z0 |
的孤立奇点。
内处处解析， 则称
z0 为 f (z )
z0 处解析
z0 及 z0 的邻域内处处可导
奇点：使函数不解析的点称为奇点
在孤立奇点 z0 处的空心邻域中展开成的幂级数——洛朗级数
解：由 z 2 2 z 2 0 z 1 i 为奇点
1 1 f ( z) sin m z, z (1 i ) z (1 i)
而 sin mz 在 z 1 i 处解析， 且 sin mz z 1i 0 所以 z 1 i 为１级极点。
z 1
解：因为
lim( z 1) 2 f ( z )
z 1
所以 z 1 为3 级极点
1 lim( z 1) f ( z ) , z 1 2
3
返回
╬
4、[例3] 求下列各函数在z平面上的所有 奇点，并指出它们的类型；
（1）
z2 ( z 1) 3
（4）
e
1 z
sin mz （2） 2 z 2z 2
Part 5. 留数
Lesson11: 孤立奇点 Lesson12: 零点和极点的关系; 留数
前情提要
Taylor级数和Laurent级数的形式
作业
级数逐项求导时,
注意n的范围 通项一律写成n次(或2n,2n+1)
第五章 留数
主要内容
§1
孤立奇点 §2 留数 §3 留数在定积分上的应用
极点极线10个二级结论
极点极线10个二级结论摘要：一、引言二、极点极线的概念1.极点2.极线三、10 个二级结论1.极点与极线的关系2.极点与极线的性质3.极点与极线的应用四、结论正文：【引言】极点极线是数学中的一个基本概念，它在几何学、微积分学等学科中都有着广泛的应用。
本文将详细介绍极点极线的概念以及10 个二级结论，帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。
【极点极线的概念】极点是数学中的一个点，它满足某个函数在此点处的导数等于零。
换句话说，极点是函数的局部最小值或最大值点。
极线是与极点相关的直线，它表示函数在极点处的切线。
【10 个二级结论】1.极点与极线的关系：极点处的切线就是极线。
极线是函数在极点处的局部性质，反映了函数在极点处的变化趋势。
2.极点与极线的性质：极点与极线是相互关联的，它们共同决定了函数在极点处的局部性质。
极点的性质包括局部最小值、局部最大值等，极线的性质包括切线的斜率、切线方程等。
3.极点与极线的应用：极点与极线在数学的许多分支中都有着广泛的应用。
例如，在微积分学中，极点与极线可以用来求解函数的极值；在几何学中，极点与极线可以用来分析图形的性质。
4.函数的极值与极点极线的关系：函数的极值点就是极点，函数在极值点处的导数值就是极线的斜率。
5.函数的单调性与极点极线的关系：函数的单调区间与极点极线密切相关。
在单调递增的区间，函数的导数大于零，极线是上升的；在单调递减的区间，函数的导数小于零，极线是下降的。
6.函数的凹凸性与极点极线的关系：函数的凹凸性决定了极点极线的性质。
在凹函数的区间，极点是局部最小值点，极线是下凸的；在凸函数的区间，极点是局部最大值点，极线是上凸的。
7.极点极线在微分方程中的应用：微分方程中的极点极线可以用来分析系统的稳定性和动态行为。
例如，在常微分方程中，极点可以表示系统的平衡状态，极线可以表示系统在平衡状态下的动态行为。
8.极点极线在数值分析中的应用：极点极线在数值分析中有着广泛的应用，例如在插值和拟合问题中，极点极线可以用来提高算法的收敛性和准确性。
留数——精选推荐
留数5. 留数⽬录⾸先说明⼀下为什么会有留数？对于图中的这样⼀个积分路径，由于内部区域不完全解析。
所以根据柯西积分定理，我们可以将其转化为下图的积分路径：当通往奇点的两条路线⽆限接近时，就可以得到下图：即对于⼤回路的积分等于对所有奇点的路径的积分之和的相反数。
即：∮L=∮L−1+L−2+L−3所以问题变成了如何求对于奇点的路径的积分∮L f(z)dz由上⼀章的洛朗级数知，洛朗级数在幂次为-1项的系数为c−1=12πi∮Cf(ζ)(ζ−z0)−1+1dζ=12πi∮C f(ζ)dζ由于这个系数很有⽤，所以专门称复变函数在某⼀点的洛朗级数展开式的幂次为-1的项的系数为留数。
记作Res[f(z),z0]所以就可以提前给出留数定理，对于正向闭合路径C，如果其所围区域内除了有限个孤⽴奇点z1,z2,⋯,z k 外处处解析，则有∮C f(z)dz=2πin∑k=1Res[f(z),z k]所以留数定理本质上是对于柯西积分定理的应⽤。
5.1 孤⽴奇点5.1.1 解析函数的孤⽴奇点及分类若函数f(z)在z0的邻域内除z0外处处解析，则称z0为f(z)的⼀个孤⽴奇点。
根据洛朗级数的定理，我们可以将f(z)展开成洛朗级数f(z)=⋯+a−m(z−z0)−m+⋯+a0+a1(z−z0)+⋯+a n(z−z0)n,z∈D如果上式中的负幂项系数均为零，若记剩下的幂级数的和函数为F(z)，则F(z)是在z0处解析的函数。
且当z∈D时，F(z)=f(z)，当z=z0时，F(z)=a0。
于是令f(z0)=a0，所以f(z)在z0处就是解析的了，所以点z0被称为可去奇点。
如果上式只有有限个(z−z0)的负幂项的系数不为零，那么孤⽴奇点z0称为函数f(z)的极点。
如果负幂项的最⾼次幂为(z−z0)−m，则称z0为函数f(z)的m阶极点。
如果(z−z0)的负幂项系数有⽆穷多个不为零，那么孤⽴奇点z0称之为f(z)的本性奇点。
5.1.2 解析函数在有限孤⽴奇点的性质定理：设函数f(z)在0<|z−z0|<δ内解析，则z0是f(z)的可去奇点的充要条件为：存在着有限极限lim z→zf(z).定理：设函数f(z)在0<|z−z0|<δ内解析，则z0是f(z)的极点的充要条件为：lim z→zf(z)=∞.定理：设函数f(z)在0<|z−z0|<δ内解析，则z0是f(z)的本性奇点的充要条件为：不存在有限或⽆穷的极限lim z →z 0f (z ).如e 1z在z=0处为本性奇点，因为其展开成洛朗级数后有⽆穷多个负幂项不为05.1.3 函数的零点与极点的关系设函数f(z)在z 0的邻域N (z 0,δ)={z :|z −z 0|<δ}内解析，并且f (z 0)=0，则点z 0称为f(z)的⼀个零点。
判断极点阶数的方法
判断极点阶数的方法（一）如果n m ≠，则0z 是()()z g z f ±的),max(n m 阶极点的二级极点是则级极点的级极点，是的是例如：1110;11121022-+=-=z z e z z e z z如果n m =，则需要把()()z g z f +通分成()()z g z f 11这种形式 ()判断。
再用下面（三）的方法通分成需要把的一级极点却不是则的一级极点的一级极点，是是例如：,111111110;1110-------=-=zz z z z e z ze e z e z z e z z 已知0z 是()zf 1的n 级零点，是()zg 1的m 级零点。
（二）0z 是()()z g z f 11的m-n 级极点，其中0>-n m ， ()()级极点的是则级零点的级零点，是的是例如：21sin 0;311sin 022-=-=z z e z zz e z z z如果0≤-n m ，则0z 是()()z g z f 11的可去奇点。
()()的可去奇点是则级零点的级零点，是的是例如：110;21210---=---=z z zze z ze z e z z e z 判断零点阶数的方法已知0z 是()z f 1的n 级零点，是()z g 1的m 级零点。
（四）0z 是()()z g z f 11的m+n 级零点()的二级零点是则的一级零点的一级零点，是是例如：10;10-=-=zze z z e z z（五）如果n m ≠，则0z 是()()z g z f ±的),min(n m 阶零点()级零点的是则级零点的级零点，是的是例如：110;112022-+=-=z z e z z e z z如果n m =，则需要对()()z g z f ±用（六）的方法判断()级零点。
级零点，而是的却不是级零点的级零点，是的是例如：211;1110z e e z z z z ---=（六）判断0z 是()z f 1的n 级零点的方法有两个1. 求导法，如果()()()()0;1,,1,0,00101≠-==z f n k z f n k ，则0z 是()z f 1的n 级零点 简单的说，就是求导一直到在0z 点的导数不等于零了，导几次就是几级零点。
不知道传递函数 判断系统阶数
不知道传递函数判断系统阶数
传递函数是描述线性时不变系统输入输出关系的数学表示。
它通常用于控制系统和信号处理领域。
传递函数是一个复数函数，它将输入信号的频率域特性映射到输出信号的频率域特性。
判断系统的阶数是指系统的最高阶导数的次数。
阶数越高，系统的复杂性和动态特性就越强。
判断系统的阶数有多种方法，下面我会从多个角度进行解释。
1. 传递函数的分母多项式阶数，传递函数通常以有理函数的形式表示，其中分母多项式的阶数就是系统的阶数。
例如，传递函数的分母为s^3 + 2s^2 + s + 1，那么系统的阶数就是3。
2. 系统的微分方程阶数，线性时不变系统的微分方程阶数与传递函数的分母多项式阶数相同。
通过分析系统的微分方程可以确定系统的阶数。
3. 系统的零极点个数，系统的阶数等于传递函数的零极点个数之差。
零点是使得传递函数为零的输入点，而极点是使得传递函数为无穷大的输入点。
通过计算传递函数的零极点个数，可以确定系
统的阶数。
4. 系统的单位冲激响应，通过对系统施加单位冲激信号，观察系统的响应可以确定系统的阶数。
单位冲激响应是指在t=0时刻施加一个幅度为1的冲激信号，观察系统的输出响应。
5. 系统的频率响应曲线特性，通过分析系统的频率响应曲线可以确定系统的阶数。
频率响应曲线描述了系统对不同频率的输入信号的响应情况。
通过观察频率响应曲线的特性，可以推断系统的阶数。
需要注意的是，以上方法只是判断系统阶数的一些常用方法，对于特殊情况或者复杂系统可能需要更加深入的分析和计算。
5 留数
第五章 留数例 0是63sin )1(z ze z -的 级极点。
------------------------------------------------------------------------------------例 z z e z cos 1,sin 1,11±的极点阶数。
[解] 就是z z e z cos ,sin ,1±的零点阶数：z sin ：零点为Z k k ∈,π，0)1(cos sin'≠-==kk k z ππ， 全是一阶零点，z sin 在πk 展开为 [] +-+-=)()(sin 21ππk z c c k z zz cos ：零点为Z k k ∈+,2ππ，也是一阶零点。
1+z e ：零点为Z k i k Ln z ∈+=-=,)12()1(π全在虚轴上，()011)12()12(≠-===+++θππi i k ik lze e e，全是一阶零点。
1-ze ：零点为Z k i k Ln z ∈==,)2()1(π全在虚轴上，()01122≠==-i k ik l ze eππ，全是一阶零点。
------------------------------------------------------------------------------------P153 例 2 ()()33332sin )2)(1)(1(sin )2)(1()(z z z z z z z z f ππ--+=--=的所有奇点及类型、阶数。
[解]分母()3sin z π的零点是函数的奇点：Z k z k z ∈=⇒=⋅ππ，且全是3阶零点， (1) 1,1-=z 是2阶极点。
(2) 2=z 是可去奇点。
(3) 2,1,1-≠z 的整数是3阶极点。
[-由于奇点序列k z =延伸向无穷远，不存在无穷大的解析的去心邻域，所以无穷大不是它的奇点。
]------------------------------------------------------------------------------------ P183 例1 下列函数有什么奇点？如果是极点，阶数是多少？(1) 22)1(1+z z (2) 3sin z z(3) )1()1(111223+-=+--z z z z z (4) z z )1ln(+ (5) )1)(1(2z e z zπ++,1+z e 的零点为i k z )12(+=π。
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判断极点阶数的方法
已知0z 是()z f 的n 级极点，是()z g 的m 级极点。
（一）0z 是()()z g z f 的m+n 级极点
()
的二级极点是则的一级极点的一级极点，是是例如：1
1
0;1110-=-=z z e z z e z z
（二）如果n m ≠，则0z 是()()z g z f ±的),max(n m 阶极点
的二级极点是则级极点的级极点，是的是
例如：1
110;11121022-+=-=z z e z z e z z 如果n m =，则需要把()()z g z f +通分成
()
()
z g z f 11这种形式 ()
判断。
再用下面（三）的方法通分成需要把的一级极点
却不是则的一级极点的一级极点，是是例如：,1
111111
10;1110-------=-=z
z z z z e z z
e e z e z z e z z 已知0z 是()z
f 1的n 级零点，是()z
g 1的m 级零点。
（三）0z 是
()
()
z g z f 11的m-n 级极点，其中0>-n m ， (
)
(
)
级极点的是
则级零点的级零点，是的是例如：21
sin 0;311sin 02
2
-=-=z z e z z
z e z z z
如果0≤-n m ，则0z 是
()
()
z g z f 11的可去奇点。
(
)
()
的可去奇点
是则级零点的级零点，是的是例如：1
10;21210---=---=z z z
z
e z z
e z e z z e z 判断零点阶数的方法
已知0z 是()z f 1的n 级零点，是()z g 1的m 级零点。
（四）0z 是()()z g z f 11的m+n 级零点
(
)
的二级零点
是则的一级零点的一级零点，是是例如：10;10-=-=z
z
e z z e z z
（五）如果n m ≠，则0z 是()()z g z f ±的),min(n m 阶零点
()
级零点
的是则级零点的级零点，是的是例如：110;112022-+=-=z z e z z e z z
如果n m =，则需要对()()z g z f ±用（六）的方法判断
()
级零点。
级零点，而是的却不是级零点的级零点，是的是例如：211;1110z e e z z z z ---=（六）判断0z 是()z f 1的n 级零点的方法有两个
1. 求导法，如果()()()
()0;1,,1,0,00101≠-==z f n k z f n k Λ，则0z 是()z f 1的n 级零点
简单的说，就是求导一直到在0z 点的导数不等于零了，导几次就是几级零点。
级零点的是所以例如：1sin 0,010cos 0n si ,00sin z ≠=='=
(
)级零点的是所以例如：110,011
,010
0-≠=='
-=-==z z z
z z e e e e
()
()级零点
的是所以例如：2cos 10,010cos 0n si ,00sin cos 1,00cos 10
z z z -≠=='=='-=-=(
)(
)级零点
的是所以例如：210,011
,011,0100
00
z e e e e z
e z e z z z z z z --≠=='
-=-='
--=--== 2. 级数法， 如果()()
()()
Λ+-+-=-=
+++∞
=∑1
0100
1n n n
n n
k k
k
z z c z z c z z c z f ，则0z 是()z f 1的n 级零点
也就是说()z f 1在0z 点展成泰勒级数的第一项的幂次是n ，那0z 就是()z f 1的n 级零点
级零点
的是所以例如：1sin 0,!3sin 3z z z z Λ+-=级零点的是所以例如：110,!
212
-++=-z z
e z z e Λ
()级零点的是所以例如：2cos 10,!
4121cos 14
2z z z z -+-=
-Λ （七）0z 是()k
z
f 1的n k *级零点
级零点的是级零点的是例如：2sin 0,1sin 02z z
级零点的是级零点的是例如：41,1104
--z z e e。