单摆、机械振动的能量及合成

A1 A2
x2 y2 A12 A22 1
合振动的轨迹是的圆
讨论6
2
1
2k 2
1
k 0，1，2，
2 1 2k k 0，1，2，
则为任一椭圆方程
四、两个垂直方向不同频率简谐运动的合成
x A1 cos(1t 1)
y A2 cos(2t 2 )
1 0
2
0, π 8
,π 4
, 3π 8
大学物理学电子课件
单摆、机械振动的能量与合成
• 单摆与复摆 • 简谐运动的能量 • 简谐运动的合成 • 阻尼振动、受迫振动、共振
13－4 单摆与复摆
实际发生的振动比较复杂；例如
•回复力不一定是弹性力——而是重力，浮力等其它性 质的力； •合外力可能是非线性力——只有在一定的条件下，才 能近似当作线性回复力。
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 ) 情况3：一般情况
tg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
| A1 A2 | A | A1 A2 |
二、同方向不同频率的简谐振动的合成
质点同时参与两个不同频率且在同一条直线上的简谐振动
A
x1 A1 cos 1t 1 x2 A2 cos 2t 2
2、运动方程
F mgsin mg mg x mg x
l
l
单摆的圆频率
2 k g
ml
振动方程 周期
g
l
x x0 cost
T＝2 l
g
频率 3、说明：
1＝ 1 g T 2 l
•单摆的合外力与弹性力类似，称为准弹性力
•单摆的周期与质量无关
•单摆提供了一种测量重力加速度的方法
•单摆可以当作计时器
E＝ 1 m A2 2＝ 1 kA2
2
2
动能 势能 总能量
Ek
1 2
mv 2
1 2
mA2 2 sin2 t
Ep
1 2
kx 2＝ 1 2
kA2
cos2
t
E＝Ek＋E p
1 2
mA 2
2
sin2 t
＋ 1
2
kA2
cos2 t
简谐运动的能量与振幅的平方成正比
二、应用
•振幅
1 2
mv
来自百度文库2 0
1 2
kx02
2 A2
合振动 假设
A1
x
A2
xA1 0，x12
2
0
1 A1
1 2 1 2
o
x
x1 A1 cos1t＝A0 cos 2 1t
x2 A2 cos2t＝A0 cos 2 2t
x x1 x2 A0 cos 2 1t A0 cos 2 2t
2 A0
cos
2
2
1
2
t
cos
2
2
1
2
t
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动 的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现 象叫拍.
,π 2
1 m 2 n
应用：
•测量振动频率 •测量相位
李萨如图形
13－7 阻尼振动、受迫振动、共振
y A2 x A1
合振动的轨迹是一条通过原点的直线
y
x
讨论3
2 1 / 2
x2 y2 A12 A22 1
合振动的轨迹是的椭圆 方程，且顺时针旋转
讨论4
2 1 3 / 2
x2 y2 A12 A22 1
合振动的轨迹是的椭圆 方程，且逆时针旋转
讨论5 2 1 / 2,3 / 2
y2 A22
2 xy A1 A2
cos 2
1
sin2 2
1
是个椭圆方程，具体形状由相位差决定。
讨论1
2 1 0
x2 y2 2xy A12 A22 A1 A2 0
y A2 x A1
合振动的轨迹是一条通过原点的直线
y x
讨论2 2 1
x2 y2 2 xy A12 A22 A1 A2 0
f mg
二、复摆——物理摆
1、概念
2、运动方程
重力矩 M＝－mglsin －mgl
转动定律
－mgl＝J＝J
d 2
dt 2
2 mgl
J
3、周期与频率
d 2
dt 2
＋
2＝0
T＝2 J
m gl
mgl
J
4、应用
•测重力加速度 •测转动惯量
13－5 简谐运动的能量
一、能量的公式
x
弹簧振子
oA
x Acost v A sint
合振动 x x1 x2
x＝Acos cos t Asin sin t
＝Acos t
1、应用解析法
x x1 x2
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
＝A1 cos t 1 ＋A2 cos t 2
A1 cos1 A2 cos2 cos t A1 sin1 A2 sin2 sin t
tg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
2、应用旋转矢量法
y
A
A2
2
A1
1
A1 cos1 A2 cos2
x Acos t
合成振动 是简谐运动
3、讨论
2 1
情况1
A2 sin 2
2k
A1 sin 1
A A1 A2
情况2
x (2k 1)
A A1 A2
单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频
2 1
拍的应用：
•用音叉的振动来校准乐器 •测量超声波的频率 •测定无线电波频率以及调制
三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成
两个同频率的互相垂直方向的简谐运动
x A1 cos( t 1) y A2 cos( t 2 )
合振动的轨迹方程为
x2 A12
1 m 2v dv 1 k 2x dx 0
x Acost
13－6 简谐运动的合成
一、两个同方向同频率简谐运动的合成
质点——两个同频率且在同一条直线上的简谐运动
x1 A1 cos t 1 令 Asin A1 sin1 A2 sin2
x2 A2 cos t 2
Acos A1 cos1 A2 cos2
1 2
kA2
•简谐运动方程
d2 x m v dt 2 k xv 0
d2 x dt 2
k m
x
0
d
dt
Ek Ep
0
例题、用机械能守恒定律求弹簧振子的
运动方程。
令 2＝ k
m
解：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒
1 m v2 1 kx2 1 kA2 C
2
2
2
d2 x dt 2
2
x
0
两边对时间求导，得
研究问题的一般方法： 根据问题的性质，突出主要因素，建立合理的物理模 型，使计算简化。
本节讨论两个实际振动问题的近似处理：单摆与复摆。
一、单摆——数学摆
1、概念
单摆是一个理想化的振动系统： 它是由一根无弹性的轻绳挂一 个质点构成的。
摆锤——重物 摆线——细绳 平衡位置——O点
把质点从平衡位置略为移开， 质点就在重力的作用下，在竖 直平面内来回摆动。