二次函数(一般式)的图像和性质(精品课件).ppt

2．确定抛物线的开口方向、对称轴 及顶点坐标。 3．在对称轴的两侧以顶点为中心左 右对称描点画图。
例3 画出 y 2x2 8x 6 的图像，利用函 数图像回答：
(1)x取什么值时，y＝0？ (2)x取什么值时，y＞0？ (3)x取什么值时，y＜0？ (4)x取什么值时，y有最大值或最小值？
分析：我们可以用顶点坐标公式求出图 象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就 是图象的对称轴．在对称轴的一侧再找 两个点，则根据对称性很容易找出另两 个点，这四个点连同顶点共五个点，过 这五个点画出图像．
· · （0,－6）
（4,－6）
y有最大值2。
练习3 画出 y x2 2x 2 的图像。 x … －1 0 1 2 3 … y … 5 2 1 2 5…
y=x2－2x＋2 x=1
4．二次函数 y ax2 bx c 的性质：
（1）顶点坐标
b 2a
,
4ac 4a
b2
;
（2）对称轴是直线 x b
解：列表 y 2x2 8x 6 0 x …0 1 2 3 4 … y … －6 0 2 0 －6 …
y
·（2,2）y 2x2 8x 6
由图像知：
· · （1,0）
（3,0）
x
(1)当x＝1或x＝3时， y＝0；
(2)当1＜x＜3时，
y＞0；
(3)当x＜1或x＞3时，
y＜0；
x=2
(4)当x＝2时，
的两实数根
(7)抛物线 y ax2 bx c 与x轴的交点情况 可由对应的一元二次方程ax2 bx c 0 的根的判别式判定： ① △＞0有两个交点抛物线与x轴相交； ② △＝0有一个交点抛物线与x轴相切； ③ △＜0没有交点抛物线与x轴相离。
x2
3x
5 2
1 2
x2
6x
5
1 x2
2
6x
9 9 5
1 2
x
32
4
1 x 32 2
2
顶点坐标为（－3，－2），对称轴为x＝－3
练习1 用配方法把 y 2x2 4x 7 化为
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标
和对称轴。
答案：y 2 x 12 5 ，顶点坐标是(1，5)，
二次函数（一般式）图象和性质
陈国彬
复习提问
1．y a x h2 k 的顶点坐标是_（__h_，__k_）_，
对称轴是__直__线__x_＝__h_ 2．怎样把 y 3x2的图象移动，便可得到
y 3 x 22 5 的图象？
3．y 3 x 22 5 的顶点坐标是(－2，－5)，
对称轴是直线 x＝－2 ． 4．在上述移动中图象的开口方向、形状、 顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没 有变化？
2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开
口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
（4）最值：
如果a＞0，当 x
b 2a
时，函数有最小值，
y最小＝
4ac 4a
b2
,
如果a＜0，当
x
b 2a
时，函数有最大值，
y最大＝
4ac 4a
b2
;
（5）增减性：
①若a＞0，当
x
b 2a
时，y随x的增大而增大；
当
x
c a
a
x2
b a
x
b 2a
2Leabharlann b 2a2c
a
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a2
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a
所以抛物线 y ax2 bx c 的顶点坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
，对称轴是直线 x b 。
2a
例2 用公式法把 y 1 x2 x 5 化为
x
b 2a
时，y随x的增大而减小。
②若a＜0，当
x
b 2a
时，y随x的增大而减小；
当
x
b 2a
时，y随x的增大而增大。
(6)抛物线 y ax2 bx c 与坐标轴的交点
①抛物线 y ax2 bx c 与y轴的交点坐标 为（0，c） ②抛物线y ax2 bx c与x轴的交点坐标为
x1,0, x2,0，其中 x1, x2为方程ax2 bx c 0
练习2 用公式法把y 2x2 8x 6 化成
y a x h2 k 的形式，并求出顶点坐标和
对称轴。
答案：y 2 x 22 2 ，顶点坐标为
（2，2）对称轴是直线 x＝2
3． y ax2 bx c 图象的画法．
步骤：1．利用配方法或公式法把y ax2 bx c
化为y a x h2 k 的形式。
(1)用顶点坐标公式，可求出顶点为(2，2)， 对称轴是x＝2. (2) 当x＝1时，y＝0，即图 象与x轴交于点(1，0)，根据轴对称，很容 易知道(1 ，0)的轴对称点是点(3，0) ．又当 x＝0时，y＝－6，即图象与y轴交于点(0， －6)，根据轴对称，很容易知道(0，－6)的 轴对称点是点(4，－6)．用光滑曲线把五个 点(2，2)，(1，0)，(3，0)，(0，－6)，(4， －6)连结起来，就是 y 2x2 8x 6 的0图象。
那么一般地，函数y ax2 的图象怎样平 移就得到 y ax2 bx c 的图象呢？
1．用配方法把 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
例1 用配方法把 y 1 x2 3x 5 化为
2
2
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标和对称轴。
解：y
1 2
2
2
y a x h2 k 的形式，求出对称轴和顶点
坐标．
解：在 y 1 x2 x 5 中，a 1 ,b 1, c 5
2
2
2
2
b
1
1,
4ac b2
4
1 2
5 2
12
4
2
2a
y
21
1 2
x
1
2
4a
2
，
4
1 2
2
2
∴顶点为（1，－2），对称轴为直线 x＝1。
对称轴是直线 x＝1．
2．用公式法把抛物线 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
把 y ax2 bx c 变形为 y a x h2 k的方法
和我们前面学过的用配方法解二次方程 “ax2 bx c 0 ”类似．具体演算如下：
y
ax2
bx
c
a
x2
b a
有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴， 没有变化的：抛物线的开口方向、形状
新课
我们复习了将抛物线 y 3x2向左平移2个单位
再向下平移5个单位就得到 y 3 x 22 5的图 象，将 y 3 x 22 5 化为一般式为
y 3x2 12x 7 ，那么如何将抛物线 y 3x2的图 像移动，得到的 y 3x2 12x 7 图像呢？