第三章逐次逼近法

第三章 逐次逼近法

1.1

1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：

1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。

2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：

1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。

3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。

4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(

Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式

f Bx

b L D x U D L D x

k

k k +=-++--=--+ωωωωω111

)(])1[()(

三种迭代方法当1)(

5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。

6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。

7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2

2

11'

'

'2

1lim

)

(2)(lim

---∞

→+∞

→--=-=

=--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξα

α

8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )

()('

1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)

()())((111--+---

=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-1

10、Aitken 加速公式1

1211112)

(),(),(+-

-

--

+-

+-

-

+-

--

+---

===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ

1.2 典型例题分析

1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。

证明：首先证Jacob 法收敛，因为A 严格对角占优，则),...,2,1(,,1n i a a n

i

j j ij ii =>

∑

≠-，于是

),...,2,1(,11,1n i a a n

i

j j ij ii

=<∑

≠-，从而1)

(1

<+∞

-U L D

，这又有1))((1

<+-U L D

ρ，因

此Jacob 迭代法收敛。

再证G-S 法收敛，因为1)

(1

<+∞

-U L D

，由定理1.6，)(1

U L D

I ++-非奇异，而

0)det()det()det())(det())(det(1

1

1

1

≠==++=++----A D

A D U L D D

U L D

I ，所以

0)d e t (≠A ，从而严格对角占优矩阵一定可逆。

在G-S 法中，0)det(1

≠=

-∏=n

i ii

a

L D ，从而0))

det((1

≠--L D ，求矩阵特征值时，

))(det())

det()))(()

det(())(det(1

1

1=---=---=-----U L D L D U L D L D U L D I λλλ只能是0))(det(=--U L D λ，因为A 严格对角占优，),...,2,1(,,1n i a a n

i

j j ij ii =>

∑

≠-，如果

1≥λ，两边乘∑

∑

∑

∑

∑

+---+---≠-+

>

+

=

>

n

i j ij i j ij n

i j ij i j ij n

i

j j ij ii a a a a a a 1

11

1

1

1

,1,λλλλλλ那么，这说

明矩阵U L D --)(λ仍然严格对角占优，前面已证明，该行列式不能为0，这是一个矛盾。因此，只能是1<λ，而这恰好说明Gauss-Seidel 迭代法收敛。

2、证明：如果A 的对角元非零，超松弛迭代法收敛的必要条件是20<<ω

证明：令])1[()(1

U D L D L ωωωω+--=-，如果超松弛迭代法收敛，应该有1)(<ωρL

∏∏∏===--=

-=-=+--=n

i i

n

n

i ii

n

n i ii d

d U D L D L 1

1

1

1

1

)1()

1()())1det(())det(()det(λ

ωωωωωω而11,1)max (1)

1(,1max )(11

1

1<-<≤=

-=

-<=≤≤==≤≤∏

∏ωλλω

λ

ωλρωn

i n

i n

i i n

n

i i

n

i n

i L ，所以，

从而必须满足20<<ω。

3、分析方程2x -3x +4x -5x +6x -7x +8x -9x +10x =10是否有实根，确定根所在的区间，写出求根的Newton 迭代公式,并确定迭代的初始点。

解：0)ln()1()(,0)2(,0)1(,10)1()(10

2

'

10

2

>-=

><--=

∑∑==i i

x f f f i

x f x

i i x

i i 显然令

因此该方程在[1,2]有且仅有一个实根，Newton 迭代公式为

(

1-=+n n x x )10)1(10

2

--∑

=n

x i i

i

/（)ln()1(10

2

i i

n

x i i

∑=-）

，x 0=1.5 即可