第三章、逐次逼近法

第三章 逐次逼近法1.1内容提要1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。

由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。

2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。

3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。

4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()(超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bxb L D x U D L D xkk k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。

5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。

6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。

7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。

证明：首先证Jacob 法收敛，因为A 严格对角占优，则),...,2,1(,,1n i a a nij j ij ii =>∑≠-，于是),...,2,1(,11,1n i a a nij j ij ii=<∑≠-，从而1)(1<+∞-U L D，这又有1))((1<+-U L Dρ，因此Jacob 迭代法收敛。

再证G-S 法收敛，因为1)(1<+∞-U L D，由定理1.6，)(1U L DI ++-非奇异，而0)det()det()det())(det())(det(1111≠==++=++----A DA D U L D DU L DI ，所以0)d e t (≠A ，从而严格对角占优矩阵一定可逆。

在G-S 法中，0)det(1≠=-∏=ni ii a L D ，从而0))det((1≠--L D ，求矩阵特征值时，))(det())det()))(()det(())(det(111=---=---=-----U L D L D U L D L D U L D I λλλ只能是0))(det(=--U L D λ，因为A 严格对角占优，),...,2,1(,,1n i a a nij j ij ii =>∑≠-，如果1≥λ，两边乘∑∑∑∑∑+---+---≠-+>+=>ni j ij i j ij n i j ij i j ij n ij j ij ii a a a a a a 111111,1,λλλλλλ那么，这说明矩阵U L D --)(λ仍然严格对角占优，前面已证明，该行列式不能为0，这是一个矛盾。

因此，只能是1<λ，而这恰好说明Gauss-Seidel 迭代法收敛。

2、证明：如果A 的对角元非零，超松弛迭代法收敛的必要条件是20<<ω证明：令])1[()(1U D L D L ωωωω+--=-，如果超松弛迭代法收敛，应该有1)(<ωρL∏∏∏===--=-=-=+--=ni inni iinn i ii dd U D L D L 11111)1()1()())1det(())det(()det(λωωωωωω而11,1)max (1)1(,1max )(1111<-<≤=-=-<=≤≤==≤≤∏∏ωλλωλωλρωni ni ni i nni ini ni L ，所以，从而必须满足20<<ω。

3、分析方程2x -3x +4x -5x +6x -7x +8x -9x +10x =10是否有实根，确定根所在的区间，写出求根的Newton 迭代公式,并确定迭代的初始点。

解：0)ln()1()(,0)2(,0)1(,10)1()(102'102>-=><--=∑∑==i ix f f f ix f xi i xi i 显然令因此该方程在[1,2]有且仅有一个实根，Newton 迭代公式为(1-=+n n x x )10)1(102--∑=nx i i i/（)ln()1(102i inx i i∑=-），x 0=1.5 即可 4、由求a 的Newton 迭代公式 ,...,2,1,0,0),(211=>+=+k x x a x x k kk k证明：对一切,...,,,121x x a x k k 并且有≥≥ 是递减序列。

证明：首先，如果{}∞=>10,0k k x x 则迭代序列中的x k >0 ，于是 ,...2,1,0,,1.2.21)(2111=≥=≥+=++k a x x a a x x a ax a x k k k k k k 所以。

又因为k=1开始，为递减序列所以，于是1221,1))(1(21)1(21++≥=+≤+=≥k k kkk k x x a a xa x x a x5、若f(x)在零点ξ的某个邻域中有二阶连续导数，并且f ’(ξ)≠0，试证：由Newton 迭代法产生的x k (k=0,1,2,…)有)(2)(lim '''2211ξξf f x x x x k k k k k -=-----∞→证明：由Taylor 公式，得证。

，，由于，整理得到）式变为）后，（）代替（用（）（）（迭代公式整理可以得到由）（）（,)(2)()(!2)())(()()(23440))(()(30))(()(2)(!2)())(()()(1)(!2)())(()()(111111'''2211221''11'1111'1212'2221''212'2122''22'2ξξξξξξ ----------------------------------=---+-+=-----=-+----=-+---+-+=--------+-+=k k k k x k k x k k k k k k x k k k k k k k k k k k k k k k x k k k k k k x k k k x x f f x x x x x x f x x x f x f x f x x x f x f x x x f x f Newton x x f x x x f x f x f x x f x x x f x f x f6、证明：A ∈C n*n ,对任意范数有，)(lim A Akkk ρ=∞→证明：首先存在某种范数 )()()()(*A A A AA kkkkkρρερρ=+≤≤，而 所以))(/1)(()()(*A A A AA kkkkkρερερρ+=+≤≤，取)(A kρε= 得到)(2)(*A AA kkk ρρ≤≤ ，对不等式同时取极限即得到 )(lim*A Akkk ρ=∞→再根据范数的等价性*2*1kkk Ac AA c ≤≤ 对不等式同时取极限即得到对任意范数有结果 )(limA Akkk ρ=∞→7、确定常数p,q,r ，使如下迭代法收敛到52213,kkk k x ra x qa px x a ++=+，该方法至少几阶？解：根据定理3.6，一个迭代格式，在根附近它的p-1阶导数为零，就至少有p 阶收敛速度速度。

附近，至少有三阶收敛，此时该迭代格式在根立即可以解出：右端求函数和导数值对数值和各阶导数，令为根，在此处求函，那么如果它收敛到由迭代格式91,95)(,0)(,0)(,)(,)(3"3'3333522-=======++=r q p x a a a a a x a xra xqa px x ϕϕϕϕϕ1.3 习题解答1、 判断正误、选择和填空：1）、对于迭代过程，x n+1=φ(x n )，若迭代函数在x * 的邻域有连续的二阶导数，且1)(*'<x φ，则迭代过程为超线性收敛。

（不正确），x n+1=φ(x n )的迭代收敛条件有两条，1）映内性x n ∈[a,b]，φ(x n ) ∈[a,b] 2）压缩性1)(*'<≤L x φ。

更不能保证有超线性收敛，例如：，它只有线性收敛速度但是满足，迭代收敛，并有根023)(311)(,38197.0)1(31)(*21212112**21limlim>=--=--<=+==-++∞→+++∞→+xxx x x x x x x x x x x x k kk k k kk k k k k k k ϕϕ2） 用Newton 迭代法求任何非线性方程 均局部平方收敛。

（不正确）3） 若线性方程组Ax=b 的系数矩阵A 为严格对角占优，则Jacobi 迭代法和G-S 迭代法都收敛。

（正确） 4） 解非线性方程f(x)=0的弦解法迭代具有（局部超线性敛速 1.618）。

（A ） 局部平方收敛；（B ）局部超线性收敛；（C ）线性收敛5） 任给初始向量x (0)及右端向量f ，迭代法x (k+1)=Bx (k)+f 收敛于方程组Ax=b 的精确解x *的充要条件是（1)(<B ρ）。