导数及其应用教案设计

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课题:变化率问题

教学目标:

1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义;

3.会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率; 教学难点:平均变化率的概念. 教学过程: 一、情景导入

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;

三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 二、知识探究

探究一:气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33

4)(r r V π=

⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3

43)(π

V V r = ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为

)/(62.00

1)

0()1(L dm r r ≈--

⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为

)/(16.01

2)

1()2(L dm r r ≈--

可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.

思考:当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?

1

212)

()(V V V r V r --

探究二:高台跳水:

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述

其运动状态?

思考计算:5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v

在5.00≤≤t 这段时间里,)/(05.405.0)

0()5.0(s m h h v =--=;

在21≤≤t 这段时间里,)/(2.812)

1()2(s m h h v -=--=

探究:计算运动员在49

65

0≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题:

⑴运动员在这段时间内使静止的吗?

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

探究过程:如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像,结合图形可知,

)0()49

65

(

h h =,所以)/(0049

65)

0()4965

(

m s h h v =--=,虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的

平均速度为)/(0m s ,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态。 探究(三):平均变化率

1、平均变化率概念:上述问题中的变化率可用式子

1

212)

()(x x x f x f --表示,

称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率

2.若设12x x x -=∆, 21()()y f x f x ∆=- (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 则平均变化率为

y x ∆=

∆x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)

()()()(111

212 思考:观察函数f (x )的图象:平均变化率y

∆=

12)

()(x f x f -表示什么? 直线AB 的斜率

3、函数f(x)从x 0到x 0+△x 的平均变化率怎么表示? 0

0()()

f x x f x x

三、典例分析

例1.已知函数f (x )=x x +-2

的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,

=∆∆x

y

. 解:)1()1(22

x x y ∆+-+∆+--=∆+-,

∴x x

x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2、求2

x y =在0x x =附近的平均变化率。

解:2

02

0)(x x x y -∆+=∆,所以x

x x x x y ∆-∆+=∆∆2

20)( x x x

x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=02

0202022

所以2

x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02

例3、求函数y =5x 2+6在区间[2,2+△x]内的平均变化率

例4、某盏路灯距离地面高8m ,一个身 高1.7m 的人从路灯的正底下出发,以1.4m/s 的速

度匀速沿某直线离开路灯,求人影长度的平均变化率. 解:略

四.课堂练习

1.质点运动规律为32

+=t s ,则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 . 2.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率. 3.过曲线y =f (x )=x 3上两点P (1,1)和Q (1+Δx ,1+Δy )作曲线的割线,求出当Δx =0.1时割线的斜率. 五.回顾总结

1.平均变化率的概念

2.函数在某点处附近的平均变化率 六.布置作业 课后记:

253t

∆+

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