高中数学基础知识归纳

高中数学基础知识归纳第一部分 集合1.理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… 2 .数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决3.(1) 元素与集合的关系：U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. （4）集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空真子集有2n –2个.4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.第二部分 函数与导数1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2222b a ba ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（xa 、x sin 、x cos 等）；⑨平方法；⑩ 导数法 3．复合函数的有关问题: （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出② 若f[g(x)]的定义域为[],求 f(x)的定义域，相当于x∈[]时，求g(x)的值域. （2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y = ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

5．函数的奇偶性:⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．． ⑵)(x f 是奇函数)()(x f x f -=-⇔；)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇔. ⑶奇函数)(x f 在0处有定义，则0)0(=f⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性 ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性6．函数的单调性: ⑴单调性的定义：①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x <； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x >；⑵单调性的判定：①定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法 注：证明单调性主要用定义法和导数法。

7．函数的周期性：(1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。

如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

（2）三角函数的周期：①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ；④||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y(3)与周期有关的结论：)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ⇒)(x f 的周期为a 28．基本初等函数的图像与性质：㈠.⑴指数函数：)1,0(≠>=a a a y x；⑵对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ； ⑶幂函数：αx y = （)R ∈α ；⑷正弦函数:x y sin =；⑸余弦函数：x y cos = ； （6）正切函数：x y tan =；⑺一元二次函数：02=++c bx ax （a ≠0）；⑻其它常用函数：① 正比例函数：)0(≠=k kx y ；②反比例函数：)0(≠=k x k y ；③函数)0(>+=a xax y ㈡.⑴分数指数幂：mna=1mnm naa-=（以上0,,a m n N *>∈，且1n >）.⑵.①b N N a a b=⇔=log ； ②()N M MN a a a log log log +=；③N M N M a a alog log log -=； ④log log m n a a nb b m=. ⑶.对数的换底公式:log log log m a m N N a=.对数恒等式:log a Na N =.9．二次函数：⑴解析式：①一般式：c bx ax x f ++=2)(；②顶点式：k h x a x f +-=2)()(，),(k h 为顶点；③零点式：))(()(21x x x x a x f --= （a ≠0）.⑵二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是abx 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，。

10．函数图象：⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ③导数法 ⑵图象变换：① 平移变换：ⅰ))()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“－”； ⅱ))0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“－”；② 对称变换：ⅰ))(x f y =−−→−)0,0()(x f y --=；ⅱ))(x f y =−→−=0y )(x f y -=； ⅲ) )(x f y =−→−=0x )(x f y -=； ⅳ))(x f y =−−→−=xy ()x f y =； ③ 翻折变换：ⅰ)|)(|)(x f y x f y =→=———（去左翻右）y 轴右不动，右向左翻（)(x f 在y 左侧图象去掉）；ⅱ)|)(|)(x f y x f y =→=———（留上翻下）x 轴上不动，下向上翻（)(x f 在x 下面无图象）；11．函数图象（曲线）对称性的证明：(1)证明函数)(x f y =图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明函数)(x f y =与)(x g y =图象的对称性，即证明)(x f y =图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在)(x g y =的图象上，反之亦然。

注：①曲线C 1()=0关于原点（0,0）的对称曲线C 2方程为：f(－x,－y)=0;曲线C 1()=0关于直线0的对称曲线C 2方程为：f(－x, y)=0; 曲线C 1()=0关于直线0的对称曲线C 2方程为：f(x, －y)=0; 曲线C 1()=0关于直线的对称曲线C 2方程为：f(y, x)=0②f()(b－x) （x∈R）⇔(x)图像关于直线2ba +对称； 特别地：f()(a －x) （x∈R）⇔(x)图像关于直线对称. ③()y f x =的图象关于点(,)ab 对称⇔()()b x a f x a f 2=-++. 特别地：()y f x =的图象关于点(,0)a 对称⇔()()x a f x a f --=+. ④函数()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称; 函数)(x a f y +=与函数()y f a x =-的图象关于直线0=x 对称。

12．函数零点的求法：⑴直接法（求0)(=x f 的根）；⑵图象法；(4)零点定理：若(x)在[]上满足f(a)·f(b)<0 , 则(x)在（)内至少有一个零点。

13．导数：⑴导数定义：f(x)在点x 0处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(00000⑵常见函数的导数公式: ①'C 0=；②1')(-=n n nxx ；③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a xx ln )('=；⑥xx e e =')(；⑦ax x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '=。

⑶导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2vv u v u vu v u v u uv v u v u '-'=''+'=''±'='± ⑷（理科）复合函数的导数：;x u x u y y '⋅'='⑸导数的应用：①利用导数求切线：注意：ⅰ)所给点是切点吗？ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线？②利用导数判断函数单调性：i ）)(0)(x f x f ⇒>'是增函数；）)(0)(x f x f ⇒<'为减函数；）)(0)(x f x f ⇒≡'为常数； ③利用导数求极值：ⅰ）求导数)(x f '；ⅱ）求方程0)(='x f 的根；ⅲ）列表得极值。

④利用导数求最大值与最小值：ⅰ）求极值；ⅱ）求区间端点值（如果有）；ⅲ）比较得最值。

第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形 1．⑴角度制与弧度制的互化：π弧度180=，1801π=弧度，1弧度 )180(π='1857 ≈⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：22121R lR S θ==。

2．三角函数定义:角α终边上任一点（非原点）P ),(y x ,设r OP =|| 则：,cos ,sin r x r y ==ααxy=αtan 3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全s t c ”）4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限” 5．⑴)sin(ϕω+=x A y 对称轴：令2x k πωϕπ+=+，得; =x 对称中心：))(0,(Z k k ∈-ωϕπ； ⑵)cos(ϕω+=x A y 对称轴：令πϕωk x =+，得ωϕπ-=k x ；对称中心：))(0,2(Z k k ∈-+ωϕππ；6．同角三角函数的基本关系：x xxx x tan cos sin ;1cos sin 22==+ 7．三角函数的单调区间及对称性： ⑴sin y x =的单调递增区间为2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,单调递减区间为32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，对称轴为()2x k k Z ππ=+∈,对称中心为(),0k π()k Z ∈.⑵cos y x =的单调递增区间为[]2,2k k k Z πππ-∈,单调递减区间为[]2,2k k k Z πππ+∈，对称轴为()x k k Z π=∈,对称中心为,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()k Z ∈. ⑶tan y x =的单调递增区间为,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛0,2πk ()Z k ∈. 8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.②22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-；22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.③sin cos a b αα+)αϕ+(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,tan baϕ=). 9．二倍角公式：①αααcos sin 22sin =.2(sin cos )12sin cos 1sin 2ααααα±=±=±②2222cos 2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（升幂公式）. 221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==（降幂公式）. 10．正、余弦定理： ⑴正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === （R 2是ABC ∆外接圆直径） 注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③CB A cb a Cc B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。