11正弦定理A 知识讲解

正弦定理【学习目标】1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题； （1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）. 【要点梳理】要点一、学过的三角形知识 1.ABC ∆中（1）一般约定：ABC ∆中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ； （2）0180A B C ++=；（3）大边对大角，大角对大边，即B C b c >⇔>； 等边对等角，等角对等边，即B C b c =⇔=；（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即a c b +>，a c b -<. 2.Rt ABC ∆中，090C ∠=， （1）090B A +=， （2）222a b c += （3）sin a A c =，sin bB c =，sin 1C =； cos b A c =，cos aB c=，cos 0C =要点二、正弦定理及其证明正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：sin sin sin a b cA B C==直角三角形中的正弦定理的推导证明：sin a A c =， sin bB c =， sin 1C =， 即：sin a c A =，sin b c B =，sin cc C =，∴sin sin sin a b cA B C==． 斜三角形中的正弦定理的推导证明： 法一：向量法（1）当ABC ∆为锐角三角形时过A 作单位向量垂直于，则+= 两边同乘以单位向量，得j ⋅(AC +CB )=j ⋅， 即j AC j CB j AB ⋅+⋅=⋅∴0||||cos90||||cos(90)||||cos(90)j AC j CB C j AB A ⋅+⋅-=⋅-，∵0j AC ⋅=，||1j =，||CB a =，||AB c =，cos(90)sin C C -=，cos(90)sin A A -=∴A c C a sin sin =， ∴sin sin a cA C=， 同理：若过C 作j 垂直于得：sin sin b cB C=∴sin sin sin a b c A B C==， （2）当ABC ∆为钝角三角形时设90A ∠>，过A 作单位向量垂直于向量， 同样可证得：sin sin sin a b cA B C==．法二：圆转化法（1）当ABC ∆为锐角三角形时如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，直径为2AD R =，则C D ∠=∠，∴sin sin 2c C D R==， ∴2sin cR C=（R 为ABC ∆的外接圆半径） 同理：2sin a R A =，2sin bR B =故：2sin sin sin a b cR A B C=== （2）当ABC ∆为钝角三角形时如图，sin sin sin 2a A E F R===. 法三：面积法任意斜ABC ∆中，如图作CH AB ⊥，则sin CH AC A =111sin sin 222ABC S AB CH AB AC A bc A ∆=⋅=⋅= 同理：1sin 2ABC S ab C ∆=，1sin 2ABC S ac B ∆=故111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===，两边同除以abc 21即得：sin sin sin a b cA B C==要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一。

（4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。

要点三、解三角形的概念一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角.在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角.要点四、正弦定理在解三角形中的应用利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 要点诠释：已知a ，b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况；(1)若A 为锐角时：a bsin Aa bsin A()bsin A a b ()a b ()<⎧⎪=⎪⎨<<⎪⎪≥⎩无解一解直角二解一锐，一钝一解锐角如图：(2)若A 为直角或钝角时：a b a b ()≤⎧⎨>⎩无解一解锐角判断三角形形状判断三角形形状的思路通常有以下两种：（1）化边为角；（2）化角为边.对条件实施转化时，考虑角的关系，主要有：(1)两角是否相等？(2)三个角是否相等？（3）有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：（1）两边是否相等？（2）三边是否相等要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。

但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。

比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。

此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解.【典型例题】类型一：正弦定理的简单应用： 【高清课堂：正弦定理 例1】例1．已知在ABC ∆中，10c =，45A =，30C =，求,a b 和B. 【答案】102,5652,105a b B === 【解析】sin sin a cA C=， ∴sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯=== ∴ 180()105B A C =-+=， 又sin sin b cB C=， ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ⨯====⨯= 【总结升华】1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】（2015 广东高考）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若13,sin ,26a B C π===，则b=________.【答案】656,21sin ππ或=∴=B B ，又6π=C ，故6π=B ，所以 32π=A 由正弦定理得，BbA a sin sin =，所以b=1。

【变式2】在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c【答案】根据正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 【变式3】（2016 宝鸡一模）在ABC ∆，2,3,3a b B π===，则A 等于（ ）A.6π B. 4πC. 34πD. 344ππ或【答案】由正弦定理可得：2sin 23sin A=3a B bπ==23a b =<=，03A π∴<∠<，,4A π∴∠=故选B 。

例2．在3,60,1ABC b B c ∆===中，，求a 和A ，C ． 【解析】由正弦定理得：sin sin b cB C=， ∴sin 1sin 23c B C b ===， （方法一）∵0180C <<， ∴30C =或150C =， 当150C =时，210180B C +=>，（舍去）； 当30C =时，90A =，∴222a b c =+=． （方法二）∵b c >，60B =， ∴C B <， ∴60C <即C 为锐角， ∴30C =，90A = 【总结升华】1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。

2. 在利用正弦定理求角C 时，因为0sin sin(180)C C =-，所以要依据题意准确确定角C 的范围，再求出角C .3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍. 举一反三：【高清课堂：正弦定理 例3】【变式1】在ABC ∆中，c =45A =，2a =，求b 和,B C ．【答案】∵sin sin a cA C=， ∴sin 453sin c A C a ===， ∵0180C <<， ∴60C =或120C =∴当60C =时，75B =，sin 7531sin 60c B b C ===； ∴当120C =时，15B =，sin sin1531sin 60c B b C ===；所以，1,75,60b B C ===或1,15,120b B C ===．【变式2】在ABC ∆中20a =, 210b =,45A =, 求B 和c ；【答案】 ∵sin 45sin o a B =， ∴1sin 2B =∵0180B <<， ∴30B =或150B = ①当30B =时，105C =，)13(10c +=； ②当150B =时，195180A B +=>（舍去）。

【变式3】在ABC ∆中，60B =，14a =, b =求A ∠.【答案】由正弦定理，得226760sin 14sin sin 0=⨯==b B a A . ∵a b <, ∴A B <，即 060A << ∴45A =类型二：正弦定理的综合运用例3.（2015 湖南高考文）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =。

（I ）证明：sin cos B A =； (II)若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C 。

【答案】（I ）略；(II) 30,120,30.A B C === 【思路点拨】（I ）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得sin sin cos sin A AA B=，所以sin cos B A = ；(II)根据两角和公式化简所给条件可得3sin sin cos cos sin 4C A B A B -==，可得23sin 4B =，结合所给角B 的范围可得角B,进而可得角A,由三角形内角和可得角C. 【解析】（I ）由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B==，所以sin cos B A =。