用高等数学解初等数学问题
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
３ 求 ， ｎ ， （ ） ｆ ｘ ） 比较 大小 找 出 ） （ ） 厂 ６ ， （ ， 最 大值 、 小值 ． 最
例 ２ 由铁 路 线
Ａ 上 一 点 Ａ 处 要 把 Ｂ
按渐 近线定 义 ｚ ｃ ，ＰＮｌ — × ｌ 。 —Ｏ即有
ｌ ｆ ｘ） （ｚ ｉ ｍ［ （ 一 志 ＋ ） 一０ ］ ， 或 ｌ ｆ ｘ －ｋ ］ ． ｉ （ ） ｘ 一ｄ ｍ［ （） １
由（ ） ， ２式
（ ２ ）
ｂ问应该从 铁 路 线 上 选 怎样 一 点 Ｍ 修 公 路 ，
ＭＣ 使 由 Ａ 到 Ｃ 全路线 ＡＭＣ 运费 最少？ ， （ ）
２ ６
数 学 教 学 研 究
第 ３ １卷第 ４ 期
２１ ０２年 ４月
解
如 图 ２ 设 Ｍ Ｂ＝ｘ， 运 费 ， 则
ｎ ｂ Ｃ为三角形 边 ， ，， 由预 备知识
Ｐ（ ＡＢ） Ｐ（ ） Ｂ） 一 Ａ Ｐ（ ， Ｐ（ Ｃ ＝ Ｐ（ ） Ｃ）， Ａ ） ＝ Ａ Ｐ（ ： Ｐ（ ＢＣ） Ｐ （ Ｐ（ ． ＝ Ｂ） Ｃ）
厂 （
）
例 ４ 设 ０ ，， ＜ｘ ３ ＜ ｌ求 证 ｚ ， — ， ， ＋３ ＋ｚ
ｚ — ｚ — ｚ １ ≤ ．
预知 １辜 备识称 乏 耋－ ｂ ｃ： ａ ｌｌＯ ｌ ） ｘ ＋￣ 三 ｙｚ， ＋
ａ ｂ Ｃ ｌ ｌ
ａ ６ Ｃ ＝ ０． ２ ２ 。
证 明 据 ， ， Ｙ ｚ的 属性 ， Ａ， Ｃ 为 设 Ｂ， 三个两 两相 互 独 立 的 随 机 事 件 ， Ｐ（ ： 且 Ａ）
ｚ， Ｂ） ３， Ｃ） ｚ Ｐ（ 一 ，Ｐ（ 一 ．
由预备知识
Ｐ（ Ａ＋ Ｂ＋ Ｃ） Ｐ（ ） Ｐ（ ＋ Ｐ（ 一 Ａ ＋ Ｂ） Ｃ）
从上 述方 法 可 以 看 出 ， 方 法 可 以求 任 本 何存 在渐 近线 的 曲线 的渐 近线方 程如抛 物线
等．
２ 导 数 法
２
． ２
例１ 已知双曲线 一寺一１“ ＞ （＞６
“ Ｌ ，
Ｏ ， 曲线 的渐近 线． ）求
解 设 渐 近 线 方 程为 Ｙ— ｋ ｘ十 ｄ， 双 而 曲 线 方 程 Ｙ一 － ＿ ｂ ＿ ４ －
＝ １ ２， ， ； ， …
如 图 １ 曲 线 上 动 ， 点 Ｐ到渐 近线 距离 ｌ ＰＮｌ ｌ Ｍｃ ｓ口 ＝ Ｐ ｏ ｌ
—
ｉ （ ） ＋ ｆ ｚ 一‘
２若 ／（ ＜ｏ ， ） ） ｚ） ， （ 在 极 大值 ， 若 ／（ ＞０ 厂 在 极小值 ； ） ， （ ）
ｚ—
ｌ 『ｚ 一 ］ ｉＬ ｍ 忌 － ｊ
ｍ
货物 运 往 与 铁 路 相 距
为Ｃ Ｂ＝Ｚ 上一 点 Ｃ 如 （
—ｌ ｉ ［ （ －ｋ ３ ｍ Ｌ ） ｘ 一Ｏ・ ＝Ｏ ， ｄ ，
图 ２ ． 路 单 位 运 费 ）铁 为 ａ 公 路单 位运 费 为 ，
图２
故 走 ｌ掣 ． 一ｉ ｍ
一
，（ ） “ — ） ６、 了 ＝ ｚ一 （ ＋ ／ ．
１
Ｃ Ｓ Ｃ Ｃ Ｓ Ｂ Ｏ Ｏ
一
令厂 ｚ一 ｂ — — ， ） 丽 ｘ ｎ ｏ （ 则
一
Ｃ Ｓ Ｃ Ｏ
１
Ｃ ＳＡ ＝ ０ Ｏ ．
—
Ｃ Ｓ Ｂ Ｃ ＳＡ Ｏ Ｏ
ｌ
丛
故
Ｃ Ｓ Ａ＋ Ｃ Ｓ Ｂ＋ ＣＳ Ｃ Ｏ Ｏ。 Ｏ。
１ 极 限 法
是一 ｌ ｉ ｍ
一
± 旦 ，—２ — ２ ／ ａ Ｘ － ￣ ｌ — ｌ———一 一 土 旦 ｉ ｍ ＿
，
．
由（） ， １式
—
简单极 限理论是 中学数学 中必须掌握的． 预 备知识 渐 近线 定 义 ： 双 曲线 － ｚ 若 厂 ） （
一
ｌ ｆ ｘ －ｋ ］ ｉ （） ｘ ｍ［
一 Ⅱ ．
●
、＼ ＼
导 数是 中学 学生应 掌握 的知 识．
／ ／ ＼＼ Βιβλιοθήκη Baidu ＼
图 １
预备知 识
法：
若 － ） ａ ６ 上 连续 ，ｎ 厂 在［ ，］ （ （，
６ 可导 ， ＿ ｚ 存 在 最 大 （ 小 ） ， 体求 ） 则 厂 ） （ 最 值 具
１令 ｆ（ ） ， ） ｚ 一０ 求驻 点 （ 止 一个 ） ｉ 不 ，
简单概 率论知 识是 中学应 掌握 的 内容．
预 备知 识
１ Ｐ（ ＋ Ｂ＋ Ｃ） Ｐ（ 十 Ｐ（ ） Ａ ： Ａ） Ｂ） ＋ Ｐ（ 一 Ｐ（ Ｃ） ＡＢ） Ｐ（ 一 ＡＣ）
、
褥
＞。 ，
’
．
ｆ ｘ－ ｉ（）
故 ｚ 一
一
Ｐ（ ＢＣ） Ｐ（ ＋ ＡＢＣ）
时最 小值
２ Ａ， Ｃ两 两相互 独立 ， ） Ｂ， 则
一
Ｐ（ ＡＢ） Ｐ（ ） Ｐ（ Ｃ） Ｐ（ 一 ＡＣ 一 Ｂ ＋ ＡＢＣ ）
一 １ ２ｃ ｓ Ａ Ｃ Ｃ Ｓ Ｃ． — ｏ ＯＳＢ Ｏ
ｂ一 ｎ ‘ ０
１“ ） ≥６时 ， 不存 在 ｚ， 也就 是说 公路运 费
４ 概 率 论 知 识
小于等 于铁路运 费 时 ， 接 从 Ａ 修 一条 公 路 直
到 Ｃ运 费最 少． ２ ａ ６时 ， ）＜ 一
第 ３ 卷 第 ４期 １
２ １ 年 ４月 ０２
数 学 教 学 研 究
２ ５
用 高等 数 学 解初 等 数学 问题
王 春 林
（ 西北 师 范 大 学 数 学 与信 息科 学 学 院 ，甘 肃 兰 州 ７０ ７ ） ３ ０ ０
高等数 学知 识 可 以应 用 到新课 程 改革下 的初 等数学 中来 ， 用 高 等 数 学 方 法解 初 等 利 数学 问题 ， 不但 问题 得 以解决 ， 而且 是 简捷 的 方法 ， 本文举 例 阐述 具体 做法 ．
ｐ ｏ 。Ｌ
上 动点 Ｐ沿 着双 曲线 无 限远 离 原 点 时 ， Ｐ 点
与某定 直 线 ｚ的距 离 趋 于 零 ， 称 ｚ 双 曲 则 为
线 ．（ ） 厂 ｚ 的渐 近 线．
一
ｌ 『 鱼／ －２ｘ—． ｉ ± ＂ ａ １ ０ ｍ ￣２ － ｘ
“
故 ±ｚ 得 一 詈．
例 ２ 由铁 路 线
Ａ 上 一 点 Ａ 处 要 把 Ｂ
按渐 近线定 义 ｚ ｃ ，ＰＮｌ — × ｌ 。 —Ｏ即有
ｌ ｆ ｘ） （ｚ ｉ ｍ［ （ 一 志 ＋ ） 一０ ］ ， 或 ｌ ｆ ｘ －ｋ ］ ． ｉ （ ） ｘ 一ｄ ｍ［ （） １
由（ ） ， ２式
（ ２ ）
ｂ问应该从 铁 路 线 上 选 怎样 一 点 Ｍ 修 公 路 ，
ＭＣ 使 由 Ａ 到 Ｃ 全路线 ＡＭＣ 运费 最少？ ， （ ）
２ ６
数 学 教 学 研 究
第 ３ １卷第 ４ 期
２１ ０２年 ４月
解
如 图 ２ 设 Ｍ Ｂ＝ｘ， 运 费 ， 则
ｎ ｂ Ｃ为三角形 边 ， ，， 由预 备知识
Ｐ（ ＡＢ） Ｐ（ ） Ｂ） 一 Ａ Ｐ（ ， Ｐ（ Ｃ ＝ Ｐ（ ） Ｃ）， Ａ ） ＝ Ａ Ｐ（ ： Ｐ（ ＢＣ） Ｐ （ Ｐ（ ． ＝ Ｂ） Ｃ）
厂 （
）
例 ４ 设 ０ ，， ＜ｘ ３ ＜ ｌ求 证 ｚ ， — ， ， ＋３ ＋ｚ
ｚ — ｚ — ｚ １ ≤ ．
预知 １辜 备识称 乏 耋－ ｂ ｃ： ａ ｌｌＯ ｌ ） ｘ ＋￣ 三 ｙｚ， ＋
ａ ｂ Ｃ ｌ ｌ
ａ ６ Ｃ ＝ ０． ２ ２ 。
证 明 据 ， ， Ｙ ｚ的 属性 ， Ａ， Ｃ 为 设 Ｂ， 三个两 两相 互 独 立 的 随 机 事 件 ， Ｐ（ ： 且 Ａ）
ｚ， Ｂ） ３， Ｃ） ｚ Ｐ（ 一 ，Ｐ（ 一 ．
由预备知识
Ｐ（ Ａ＋ Ｂ＋ Ｃ） Ｐ（ ） Ｐ（ ＋ Ｐ（ 一 Ａ ＋ Ｂ） Ｃ）
从上 述方 法 可 以 看 出 ， 方 法 可 以求 任 本 何存 在渐 近线 的 曲线 的渐 近线方 程如抛 物线
等．
２ 导 数 法
２
． ２
例１ 已知双曲线 一寺一１“ ＞ （＞６
“ Ｌ ，
Ｏ ， 曲线 的渐近 线． ）求
解 设 渐 近 线 方 程为 Ｙ— ｋ ｘ十 ｄ， 双 而 曲 线 方 程 Ｙ一 － ＿ ｂ ＿ ４ －
＝ １ ２， ， ； ， …
如 图 １ 曲 线 上 动 ， 点 Ｐ到渐 近线 距离 ｌ ＰＮｌ ｌ Ｍｃ ｓ口 ＝ Ｐ ｏ ｌ
—
ｉ （ ） ＋ ｆ ｚ 一‘
２若 ／（ ＜ｏ ， ） ） ｚ） ， （ 在 极 大值 ， 若 ／（ ＞０ 厂 在 极小值 ； ） ， （ ）
ｚ—
ｌ 『ｚ 一 ］ ｉＬ ｍ 忌 － ｊ
ｍ
货物 运 往 与 铁 路 相 距
为Ｃ Ｂ＝Ｚ 上一 点 Ｃ 如 （
—ｌ ｉ ［ （ －ｋ ３ ｍ Ｌ ） ｘ 一Ｏ・ ＝Ｏ ， ｄ ，
图 ２ ． 路 单 位 运 费 ）铁 为 ａ 公 路单 位运 费 为 ，
图２
故 走 ｌ掣 ． 一ｉ ｍ
一
，（ ） “ — ） ６、 了 ＝ ｚ一 （ ＋ ／ ．
１
Ｃ Ｓ Ｃ Ｃ Ｓ Ｂ Ｏ Ｏ
一
令厂 ｚ一 ｂ — — ， ） 丽 ｘ ｎ ｏ （ 则
一
Ｃ Ｓ Ｃ Ｏ
１
Ｃ ＳＡ ＝ ０ Ｏ ．
—
Ｃ Ｓ Ｂ Ｃ ＳＡ Ｏ Ｏ
ｌ
丛
故
Ｃ Ｓ Ａ＋ Ｃ Ｓ Ｂ＋ ＣＳ Ｃ Ｏ Ｏ。 Ｏ。
１ 极 限 法
是一 ｌ ｉ ｍ
一
± 旦 ，—２ — ２ ／ ａ Ｘ － ￣ ｌ — ｌ———一 一 土 旦 ｉ ｍ ＿
，
．
由（） ， １式
—
简单极 限理论是 中学数学 中必须掌握的． 预 备知识 渐 近线 定 义 ： 双 曲线 － ｚ 若 厂 ） （
一
ｌ ｆ ｘ －ｋ ］ ｉ （） ｘ ｍ［
一 Ⅱ ．
●
、＼ ＼
导 数是 中学 学生应 掌握 的知 识．
／ ／ ＼＼ Βιβλιοθήκη Baidu ＼
图 １
预备知 识
法：
若 － ） ａ ６ 上 连续 ，ｎ 厂 在［ ，］ （ （，
６ 可导 ， ＿ ｚ 存 在 最 大 （ 小 ） ， 体求 ） 则 厂 ） （ 最 值 具
１令 ｆ（ ） ， ） ｚ 一０ 求驻 点 （ 止 一个 ） ｉ 不 ，
简单概 率论知 识是 中学应 掌握 的 内容．
预 备知 识
１ Ｐ（ ＋ Ｂ＋ Ｃ） Ｐ（ 十 Ｐ（ ） Ａ ： Ａ） Ｂ） ＋ Ｐ（ 一 Ｐ（ Ｃ） ＡＢ） Ｐ（ 一 ＡＣ）
、
褥
＞。 ，
’
．
ｆ ｘ－ ｉ（）
故 ｚ 一
一
Ｐ（ ＢＣ） Ｐ（ ＋ ＡＢＣ）
时最 小值
２ Ａ， Ｃ两 两相互 独立 ， ） Ｂ， 则
一
Ｐ（ ＡＢ） Ｐ（ ） Ｐ（ Ｃ） Ｐ（ 一 ＡＣ 一 Ｂ ＋ ＡＢＣ ）
一 １ ２ｃ ｓ Ａ Ｃ Ｃ Ｓ Ｃ． — ｏ ＯＳＢ Ｏ
ｂ一 ｎ ‘ ０
１“ ） ≥６时 ， 不存 在 ｚ， 也就 是说 公路运 费
４ 概 率 论 知 识
小于等 于铁路运 费 时 ， 接 从 Ａ 修 一条 公 路 直
到 Ｃ运 费最 少． ２ ａ ６时 ， ）＜ 一
第 ３ 卷 第 ４期 １
２ １ 年 ４月 ０２
数 学 教 学 研 究
２ ５
用 高等 数 学 解初 等 数学 问题
王 春 林
（ 西北 师 范 大 学 数 学 与信 息科 学 学 院 ，甘 肃 兰 州 ７０ ７ ） ３ ０ ０
高等数 学知 识 可 以应 用 到新课 程 改革下 的初 等数学 中来 ， 用 高 等 数 学 方 法解 初 等 利 数学 问题 ， 不但 问题 得 以解决 ， 而且 是 简捷 的 方法 ， 本文举 例 阐述 具体 做法 ．
ｐ ｏ 。Ｌ
上 动点 Ｐ沿 着双 曲线 无 限远 离 原 点 时 ， Ｐ 点
与某定 直 线 ｚ的距 离 趋 于 零 ， 称 ｚ 双 曲 则 为
线 ．（ ） 厂 ｚ 的渐 近 线．
一
ｌ 『 鱼／ －２ｘ—． ｉ ± ＂ ａ １ ０ ｍ ￣２ － ｘ
“
故 ±ｚ 得 一 詈．