运用函数单调性与奇偶性解抽象函数不等式

运用函数单调性与奇偶性解抽象函数不等式

【典例1】函数()f x 是R 上的单调函数，满足()()21f f >，且()()2f m f m >-，求实数m 的取值范围；

【问题解决】

由已知函数()f x 是R 上的单调函数，且满足()()21f f >，

得函数是R 上的单调递增函数，

又()()2f m f m >-，

所以2m m >-，解得10m m <->或

所以实数m 的取值范围是10m m <->或；

【典例2】已知奇函数()f x 的定义域为[2,2]-，且在区间[2,0]-内单调递减，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围．

【问题解决】

∵()f x 的定义域为[2,2]-，

∴有2212212m m -≤-≤⎧⎨-≤-≤⎩，解得1m -≤≤① 由2(1)(1)0f m f m -+-<

∴2(1)(1)f m f m -<--

又由()f x 为奇函数，得22(1)(1)f m f m --=-

∴2(1)(1)f m f m -<-

又()f x 为奇函数，且在[2,0]-上单调递减，

∴()f x 在[2,2]-上单调递减．（要证明）

∴211m m ->-.

即21m -<< ②

综合①②，可知11m -≤<.

【牛刀小试】

1、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

x 2＋4x (x ≥0)，4x －x 2 (x ＜0)，

若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B ．(－1,2)

C ．(－2,1)

D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案：C

2、设定义在[－2,2]上的偶函数()f x 在区间[0,2]上单调递减，若(1)()f m f m -<，求实数m 的取值范围． 答案：112

m -≤<。 3、函数()f x 对任意的a ，b ∈R ，都有()()()1f a b f a f b +=+-，并且当0x >时，()1f x >，若(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --<。 答案：413

m -<<。 4、如果函数()f x 在[,]a b 上是增函数，对于任意的1212,[,],()x x a b x x ∈≠，给出下列结论：

（1）、2121

()()0f x f x x x ->-， （2）、2121()(()())0x x f x f x -->，

（3）、12()()()()f a f x f x f b <<<，

（4）、21210()()

x x f x f x ->-； 其中正确的是____________（将正确的序号都填上）； 答案：（1），（2），（4）；