专题:抽象函数的单调性与奇偶性的证明.
重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型(原卷版)
重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数,由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。
抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解,但由于其表现形式的抽象性和多变性,学生往往无从下手,这类问题是高考的一个难点,也是近几年高考的热点之一。
一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法,复制规律一般有以下几种: 1、……-2,-1,0,1,2……等特殊值代入求解; 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性;3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性;4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法:(1)凑:凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;(2)赋值:给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ,判断符号时要变形为:()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ,判断符号时要变形为:()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式;2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式(0>a 且1≠a );3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式(0>a 且1≠a );4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的,在解决问题时,可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质;2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用,通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质,这个不变性质往往是解决问题的突破口;3、抽象函数性质的证明是一种代数推理,和几何推理一样,要注意推理的严谨性,每一步推理都要有充分的条件,不可漏掉一些条件,更不要臆造条件,推理过程要层次分明,书写规范。
抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
抽象函数的单调性、奇偶性、周期性高考要求函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一,考查内容灵活多样 特别是两性质的应用更加突出 本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数的图象 帮助考生学会怎样利用两性质解题,掌握基本方法,形成应用意识 一.重难点归纳 函数的周期性(1)周期性的定义:对定义域内的任意x ,若有)()(x f T x f =+ (其中T 为非零常数),则称函数)(x f 为周期函数,T 为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。
如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。
(2)三角函数的周期①π2:sin ==T x y ;②π2:cos ==T x y ;③π==T x y :tan ;④||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y ;⑤||:tan ωπω==T x y ;(3)与周期有关的结论 ①y=f(x)对x ∈R 时,f(x +a)=f(x -a) 或f(x -2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数; ②若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a 对称,则f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数;③若y=f(x)奇函数,其图像又关于直线x=a 对称,则f(x)是周期为4︱a ︱的周期函数;④若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2b a -的周期函数;⑤y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b)对称,则函数y=f(x)是周期为2b a -的周期函数;⑥y=f(x)对x ∈R 时,f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= )(1x f -,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数; 二.例题 例1已知函数f (x )在(-1,1)上有定义,f (21)=-1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(-1,1)都有f (x )+f (y )=f (xyy x ++1),试证明(1)f (x )为奇函数;(2)f (x )在(-1,1)上单调递减命题意图 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力知识依托 奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想错解分析 本题对思维能力要求较高,如果“赋值”不够准确,运算技能不过关,结果很难获得技巧与方法 对于(1),获得f (0)的值进而取x =-y 是解题关键;对于(2),判定21121x x x x --的范围是焦点证明 (1)由f (x )+f (y )=f (xyy x ++1),令x =y =0,得f (0)=0, 令y =-x ,得f (x )+f (-x )=f (21xx x --)=f (0)=0∴f (x )=-f (-x ) ∴f (x )为奇函数 (2)先证f (x )在(0,1)上单调递减令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)-f (x 1)=f (x 2)+f (-x 1)=f (21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2-x 1>0,1-x 1x 2>0,∴12121x x x x -->0,又(x 2-x 1)-(1-x 2x 1)=(x 2-1)(x 1+1)<0 ∴x 2-x 1<1-x 2x 1, ∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0,即f (x 2)<f (x 1)∴f (x )在(0,1)上为减函数,又f (x )为奇函数且f (0)=0 ∴f (x )在(-1,1)上为减函数例2设f (x )是定义在R 上的偶函数,其图象关于直线x =1对称,对任意x 1、x 2∈[0,21],都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),且f (1)=a >0(1)求f (21)、f (41);(2)证明f (x )是周期函数; (3)记a n =f (2n +n21),求).(ln lim n n a ∞→命题意图 本题主要考查函数概念,图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识,还考查运算能力和逻辑思维能力 知识依托 认真分析处理好各知识的相互联系,抓住条件f (x 1+x 2)= f (x 1)·f (x 2)找到问题的突破口错解分析 不会利用f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)进行合理变形技巧与方法 由f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)变形为()()()()2222x x x x f x f f f =+=⋅是解决问题的关键(1) 解 因为对x 1,x 2∈[0,21],都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),所以f (x )=()()()02222x xx xf f f +=≥, x ∈[0,1] 又因为f (1)=f (21+21)=f (21)·f (21)=[f (21)]2f (21)=f (41+41)=f (41)·f (41)=[f (41)]2又f (1)=a >0 ∴f (21)=a 21, f (41)=a 41(2)证明 依题意设y =f (x )关于直线x =1对称,故f (x )=f (1+1-x ),即 f (x )=f (2-x ),x ∈R又由f (x )是偶函数知 f (-x )=f (x ),x ∈R∴f (-x )=f (2-x ),x ∈R将上式中-x 以x 代换得f (x )=f (x +2),这表明f (x )是R 上的周期函数,且2是它的一个周期(3)解 由(1)知f (x )≥0,x ∈[0,1]∵f (21)=f (n ·n 21)=f (n 21+(n -1) n 21)=f (n 21)·f ((n -1)·n 21)=…… =f (n 21)·f (n 21)·……·f (n 21) =[f (n 21)]n=a 21∴f (n21)=a n 21又∵f (x )的一个周期是2∴f (2n +n 21)=f (n21), ∴a n =f (2n +n 21)=f (n21)=a n 21因此a n =a n 21∴.0)ln 21(lim )(ln lim ==∞→∞→a na n n n三.练习1 下列函数中的奇函数是( )A f (x )=(x -1)xx -+11 B f (x )=2|2|)1lg(22---x xC f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+)0()0(22x x x x x x D f (x )=x x x x sin cos 1cos sin 1++-+2.(重庆卷6)若定义在R 上的函数f (x )满足:对任意x 1,x 2∈R 有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1,,则下列说法一定正确的是( C )(A)f (x )为奇函数 (B )f (x )为偶函数(C) f (x )+1为奇函数 (D )f (x )+1为偶函数3 函数f (x )=111122+++-++x x x x 的图象( )A 关于x 轴对称B 关于y 轴对称C 关于原点对称D 关于直线x =1对称 4 函数f (x )在R 上为增函数,则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是____ 5 若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0<x 1<x 2), 且在[x 2,+∞)上单调递增,则b 的取值范围是_________6.设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足(i)f (x 1-x 2)=)()(1)()(1221x f x f x f x f -+⋅;(ii)存在正常数a 使f (a )=1 求证 (1)f (x )是奇函数 (2)f (x )是周期函数,且有一个周期是4a参考答案:1 解析 f (-x )=2222(0)() (0) (0)() (0)x x x x x x x x x x x x ⎧⎧->-+<⎪⎪=⎨⎨--<--+>⎪⎪⎩⎩ =-f (x ),故f (x )为奇函数答案 C 3 解析 f (-x )=-f (x ),f (x )是奇函数,图象关于原点对称 答案 C4 解析 令t =|x +1|,则t 在(-∞,-1]上递减,又y =f (x )在R 上单调递增,∴y =f (|x +1|)在(-∞,-1]上递减答案 (-∞,-1] 5 解析 ∵f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (0)=d =0 f (x )=ax (x -x 1)(x -x 2)=ax 3-a (x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x , ∴b =-a (x 1+x 2),又f (x )在[x 2,+∞)单调递增,故a >0 又知0<x 1<x ,得x 1+x 2>0, ∴b =-a (x 1+x 2)<0 答案 (-∞,0) 6 证明 (1)不妨令x =x 1-x 2,则f (-x )=f (x 2-x 1)=)()(1)()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+=-f (x 1-x 2)=-f (x )∴f (x )是奇函数(2)要证f (x +4a )=f (x ),可先计算f (x +a ),f (x +2a ) ∵f (x +a )=f [x -(-a )]=)1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f).(111)(1)(11)(1)(1)(1)(])[()2(x f x f x f x f x f a x f a x f a a x f a x f -=++--+-=++-+=++=+∴∴f (x +4a )=f [(x +2a )+2a ]=)2(1a x f +-=f (x ), 故f (x )是以4a 为周期的周期函数四.易错题1、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)函数f(x)在定义域R 上不是常数函数,且f(x)满足条件,对任意x ∈R ,都有f(4+x)= f(4-x),f(x+1)=f(x-1),则f(x)是( ) A 、奇函数但非偶函数 B 、偶函数但非奇函数 C 、奇函数又是偶函数 D 、非奇非偶函数 2、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)函数)(x f y =与)(x g y =有相同的定义域,且都不是常数函数,对定义域中任意x ,有f(x)+f(-x)=0,g(x)g(-x)=1,且x ≠0,g(x)≠1,则)(1)()(2)(x f x g x f x F +-=( ) A .是奇函数但不是偶函数 B .是偶函数但不是奇函数C .既是奇函数又是偶函数D .既不是奇函数也不是偶函数答案:B3、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知函数f (x )满足:f (p +q )= f (p ) f (q ),f (1)= 3,则)1()2()1(2f f f ++)3()4()2(2f f f ++)5()6()3(2f f f ++)7()8()4(2f f f ++)9() 10 ()5(2f ff+的值为A.15B.30C.75D.60答案:B4、(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)设偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x)+f(x+1)=4,当x∈[-3,-2]时,f(x)=4x+12,则f(112.5)的值为A.2 B.3 C.4 D.5答案:A5、(山东省博兴二中高三第三次月考)若奇函数()()f x x R∈满足()()()()22,22f f x f x f=+=+,则()5f的值是A.0 B.1 C.52D.5答案:D6、(广东省五校2008年高三上期末联考)定义在R上的函数()f x的图象关于点3(,0)4-成中心对称,对任意的实数x都有3()()2f x f x=-+,且(1)1,f-=(0)2f=-,则(1)(2)(3)(20f f f f+++鬃?的值为A.2-B.1-C.0 D.1答案:D.解析:本题考查了函数的对称性和周期性.由3()()2f x f x=-+,得(3)()f x f x+=,因此,()f x是周期函数,并且周期是3函数()f x的图象关于点3(,0)4-成中心对称, 因此,()f x=-3()2f x--,所以,(1)1f=(1)(2)(3)0f f f++=,(1)(2)(3)(2008)f f f f+++鬃?=(1)f7、(黑龙江省哈尔滨三中2008年高三上期末)已知)(xf是偶函数,)(,xfRx若将∈的图像向右平移一个单位又得到一个奇函数,)2008()10()9()8(,1)2(fffff++++-=则等于()A.-1004 B.1004 C.-1 D.1答案:D8、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知函数)(xfy=的定义域为R,它的反函数为)(1xfy-=,如果)(1axfy+=-与)(axfy+=互为反函数且aaf=)((a为非零常数),则)2(af的值为()A.a-B.0 C.a D.a2答案:B9、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)定义在R上的函数y=f(x)满足:f(-x)=-f(x),f(1+x)=f(1-x),当x∈[-1,1]时,f(x)=x3,则f(2 007)的值是()(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2答案:A 10、(福建省师大附中2008年高三上期期末考试)定义在R 上的函数()f x满足()(4)f x f x-=-+,当2x>时,()f x单调递增,如果1212124(2)(2)0,()()x x x x f x f x+<--<+且则的值()A.恒小于0 B.恒大于0C.可能为0 D.可正可负答案:A11、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知)(xf是定义在R上的函数,且)2()(+=xfxf恒成立,当)0,2(-∈x时,2)(xxf=,则当[]3,2∈x时,函数)(xf的解析式为()A.42-x B.42+x C.2)4(+x D.2)4(-x答案:D12、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)定义在R上的奇函数)(xf满足)3()3(xfxf-=+,若当x ∈(0,3)时,xxf2)(=,则当x∈(- 6,-3)时,)(xf=( ) A.62+x B.-62+x C.62-x D.-62-x答案:B13、(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)设定义在R 上的函数f(x)的反函数为f-1(x),且对任意的x∈R,都有f(-x)+f(x)=3,则f-1(x-1)+f-1(4-x)等于()A.0 B.—2 C.2 D.2x—4答案:A14、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)设函数f (x)是定义在R上的以5为周期的奇函数,若f(2)>1,f (2008)=33-+aa,则a的取值范围是()A. (-∞, 0)B. (0, 3)C. (0, +∞)D. (-∞, 0)∪(3, +∞) 答案:B15、(山东省济南市2008年2月高三统考)已知()f x是以2为周期的偶函数,当[0,1]x∈时,()f x x=,那么在区间[1,3]-内,关于x的方程()1f x kx k=++(其中k是为不等于l的实数)有四个不同的实根,则k的取值范围是A.(1,0)-B.1(,0)2-C.1(,0)3-D.1(,0)4-答案:C16、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)函数()f x的定义域为R,对任意实数x满足(1)(3)f x f x-=-,且(1)f x-=(3)f x-,当12x≤≤时,()f x=2x,则()f x的单调减区间是()A.[2k,2k+1](k Z∈) B.[2k-1,2k](k Z∈)C.[2k,2k+2] (k Z∈) D.[2k-2,2k](k Z∈)答案:A17、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)已知定义域为R 的函数()x f 在区间()∞+,4上为减函数,且函数 ()4+=x f y 为偶函数,则( )A .()()32f f >B .()()52f f >C .()()53f f >D .()()63f f > 答案:D18、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)若函数)(x f 满足:“对于区间(1,2)上的任意实数)(,2121x x x x ≠,||||)()(1212x x x f x f -<-恒成立,”则称)(x f 为完美函数.在下列四个函数中,完美函数是 A .xx f 1)(=B .||)(x x f =C .x x f 2)(=D .2)(x x f =答案:A。
专题10 抽象函数大题单调性奇偶性归类
专题10 抽象函数大题单调性奇偶性归类目录【题型一】保和函数:f (a+b )=f (a )+f (b )单调性与奇偶性 ...................................................................... 2 【题型二】类对数积函数:形如f (axb )=f (a )+f (b )单调性与奇偶性 ..................................................... 3 【题型三】类指数函数:形如f (a+b )=f (a )f (b )单调性 ........................................................................... 4 【题型四】类对数商函数:形如f (a/b )=f (a )-f (b )单调性 ..................................................................... 5 【题型五】类线性函数:f (a-b )=f (a )-f (b )单调性与奇偶性 .................................................................. 6 【题型六】保积函数:f (a*b )=f (a )*f (b )单调性与奇偶性 ...................................................................... 6 【题型七】恒“截距”线性函数:f (a+b )=f (a )+f (b )-1单调性 ............................................................. 7 【题型八】形如f (a*b )=f (a )+f (b )+t 单调性与奇偶性 ............................................................................ 8 【题型九】形如f (a+b )+f (a-b )=2f (a )f (b )奇偶性 ............................................................................... 8 【题型十】形如f (a )+f (a )=f (a b1ab++)单调性与奇偶性 ........................................................................... 9 【题型十一】形如f (a )+f (a )=f (a b)[1f (a)f (b)]+±单调性与奇偶性 ...................................................... 9 【题型十二】形如f (a-b )=1f (a)f (bf (a)f (b)+-单调性与奇偶性 (10)【题型十三】其他形式的抽象函数汇总 (11)综述一、赋值思维:抽象函数求解或者证明奇偶性和单调性基础。
专题抽象函数的单调性和奇偶性应用
抽象函数的单调性和奇偶性应用抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式,只是给出一些特殊关系式的函数。
它是高中数学中的一个难点,因为抽象,解题时思维常常受阻,思路难以展开,而高考中会出现这一题型,本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类,大概有以下几种题型:一、判断单调性和奇偶性1. 判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质,画出函数的示意图,以形助数,问题迅速获解。
例1.如果奇函数f x ()在区间[]37,上是增函数且有最小值为5,那么f x ()在区间[]--73,上是 A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析:画出满足题意的示意图,易知选B 。
例2.偶函数f x ()在(0),+∞上是减函数,问f x ()在()-∞,0上是增函数还是减函数,并证明你的结论。
分析:如图所示,易知f x ()在()-∞,0上是增函数,证明如下:任取x x x x 121200<<⇒->->因为f x ()在(0),+∞上是减函数,所以f x f x ()()-<-12。
又f x ()是偶函数,所以f x f x f x f x ()()()()-=-=1122,,从而f x f x ()()12<,故f x ()在()-∞,0上是增函数。
2. 判断奇偶性 根据已知条件,通过恰当的赋值代换,寻求f x ()与f x ()-的关系。
例3.若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称,判断:函数 y f x =()是什么函数。
解:设y f x =()图象上任意一点为P (x y 00,)y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称,∴P x y ()00,关于原点的对称点()--x y 00,在y f x =-()的图象上,∴-=--∴=-y f x y f x 0000()()又y f x 00=()∴-=f x f x ()()00即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=,所以y f x =()是偶函数。
专题07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性 (学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】1.高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题07函数的性质——单调性、奇偶性、周期性函数的单调性(1)单调函数的定义一般地,设函数()f x 的定义域为A ,区间D A ⊆:如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ,2x 当12x x <时,都有12()()f x f x <,那么就说()f x 在区间D 上是增函数.如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ,2x ,当12x x <时,都有12()()f x f x <,那么就说()f x 在区间D 上是减函数.①属于定义域A 内某个区间上;②任意两个自变量1x ,2x 且12x x <;③都有12()()f x f x <或12()()f x f x >;④图象特征:在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的,减函数的图象从左向右是下降的.(2)单调性与单调区间①单调区间的定义:如果函数()f x 在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数()f x 在区间D 上具有单调性,D 称为函数()f x 的单调区间.②函数的单调性是函数在某个区间上的性质.(3)复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”,即在对应的取值区间上,外层函数是增(减)函数,内层函数是增(减)函数,复合函数是增函数;外层函数是增(减)函数,内层函数是减(增)函数,复合函数是减函数.2.函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ,都有()()f x f x -=,那么函数()f x 就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ,都有) ()(f x f x --=,那么函数()f x 就叫做奇函数关于原点对称判断()f x -与()f x 的关系时,也可以使用如下结论:如果0(())f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠,则函数()f x 为偶函数;如果0(())f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠,则函数()f x 为奇函数.注意:由函数奇偶性的定义可知,函数具有奇偶性的一个前提条件是:对于定义域内的任意一个x ,x -也在定义域内(即定义域关于原点对称).3.函数的对称性(1)若函数()y f x a =+为偶函数,则函数()y f x =关于x a =对称.(2)若函数()y f x a =+为奇函数,则函数()y f x =关于点(0)a ,对称.(3)若()()2f x f a x =-,则函数()f x 关于x a =对称.(4)若2(2)()f x f a x b -=+,则函数()f x 关于点()a b ,对称.4.函数的周期性(1)周期函数:对于函数()y f x =,如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有(()f x T f x +=),那么就称函数()y f x =为周期函数,称T 为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数,那么称这个最小整数叫做()f x 的最小正周期.【方法技巧与总结】1.单调性技巧(1)证明函数单调性的步骤①取值:设1x ,2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量,且12x x <;②变形:作差变形(变形方法:因式分解、配方、有理化等)或作商变形;③定号:判断差的正负或商与1的大小关系;④得出结论.(2)函数单调性的判断方法①定义法:根据增函数、减函数的定义,按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断.②图象法:就是画出函数的图象,根据图象的上升或下降趋势,判断函数的单调性.③直接法:就是对我们所熟悉的函数,如一次函数、二次函数、反比例函数等,直接写出它们的单调区间.(3)记住几条常用的结论:①若()f x 是增函数,则()f x -为减函数;若()f x 是减函数,则()f x -为增函数;②若()f x 和()g x 均为增(或减)函数,则在()f x 和()g x 的公共定义域上()()f x g x +为增(或减)函数;③若()0f x >且()f x 为增函数,1()f x 为减函数;④若()0f x >且()f x 为减函数,1()f x 为增函数.2.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称;函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数()y f x =在0x =处有意义,则有(0)0f =;偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反;奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称,则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x =+-,1()[()()]2h x f x f x =--,则()()()f x g x h x =+.(6)运算函数的奇偶性规律:运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数,如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷.对于运算函数有如下结论:奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶;奇()⨯÷奇=偶;奇()⨯÷偶=奇;偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来:内偶则偶,两奇为奇.(8)常见奇偶性函数模型奇函数:①函数1()(01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+.②函数()()x x f x a a -=±-.③函数2()log log (1aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++④函数()log )a f x x =+或函数()log )a f x x =.注意:关于①式,可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+.偶函数:①函数()()x x f x a a -=±+.②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-.③函数(||)f x 类型的一切函数.④常数函数3.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系()周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数4.函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数()y f x =有两条对称轴x a =,()x b a b =<,则函数()f x 是周期函数,且2()T b a =-;(2)若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <,则函数()y f x =是周期函数,且2()T b a =-;(3)若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <,则函数()y f x =是周期函数,且4()T b a =-.5.对称性技巧(1)若函数()y f x =关于直线x a =对称,则()()f a x f a x +=-.(2)若函数()y f x =关于点()a b ,对称,则()()2f a x f a x b ++-=.(3)函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称,函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称.【题型归纳目录】题型一:函数的单调性及其应用题型二:复合函数单调性的判断题型三:利用函数单调性求函数最值题型四:利用函数单调性求参数的范围题型五:基本初等函数的单调性题型六:函数的奇偶性的判断与证明题型七:已知函数的奇偶性求参数题型八:已知函数的奇偶性求表达式、求值题型九:已知()f x =奇函数+M 题型十:函数的对称性与周期性题型十一:类周期函数题型十二:抽象函数的单调性、奇偶性、周期性题型十三:函数性质的综合【典例例题】题型一:函数的单调性及其应用例1.(2022·全国·高三专题练习)若定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ,b ,总有()-()-f a f b a b>0成立,则必有()A .f (x )在R 上是增函数B .f (x )在R 上是减函数C .函数f (x )先增后减D .函数f (x )先减后增例2.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()f x 的定义域为R ,且对任意两个不相等的实数a ,b 都有()()()0a b f a f b -->⎡⎤⎣⎦,则不等式()()315f x f x ->+的解集为().A .(),3-∞B .()3,+∞C .(),2-∞D .()2,+∞例3.(2022·全国·高三专题练习)()252f x x x =-的单调增区间为()A .1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B .1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C .1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D .1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭例4.(2022·全国·高三专题练习)已知函数1()22xxf x =-.(1)判断()f x 在其定义域上的单调性,并用单调性的定义证明你的结论;(2)解关于x 的不等式2(log )(1)f x f <.例5.(2022·全国·高三专题练习)讨论函数()1axf x x =-(0a ≠)在(11)-,上的单调性.【方法技巧与总结】函数单调性的判断方法①定义法:根据增函数、减函数的定义,按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断.②图象法:就是画出函数的图象,根据图象的上升或下降趋势,判断函数的单调性.③直接法:就是对我们所熟悉的函数,如一次函数、二次函数、反比例函数等,直接写出它们的单调区间.题型二:复合函数单调性的判断例6.(2022·全国·高三专题练习(文))函数y =)A .1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .(,1]-∞-C .112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,D .[]12-,例7.(2022·全国·高三专题练习)函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是()A .(),2-∞B .()2,+∞C .()2,2-D .()2,6-例8.(2022·全国·高三专题练习)函数2231()(2x x f x --=的单调递减区间是()A .(,)-∞+∞B .(,1)-∞C .(3,)+∞D .(1,)+∞【方法技巧与总结】讨论复合函数[()]y f g x =的单调性时要注意:既要把握复合过程,又要掌握基本函数的单调性.一般需要先求定义域,再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合,然后分别判断它们的单调性,再用复合法则,复合法则如下:1.若()u g x =,()y f u =在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数,则[()]y f g x =为增函数;2.若()u g x =,()y f u =在所讨论的区间上一个是增函数,另一个是减函数,则[()]y f g x =为减函数.列表如下:()u g x =()y f u =[()]y f g x =增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”,即内外函数的单性相同时递增;单性相异时递减.题型三:利用函数单调性求函数最值例9.(2022·河南·新乡县高中模拟预测(理))在人工智能领域的神经网络中,常用到在定义域I 内单调递增且有界的函数()f x ,即0M ∃>,x I ∀∈,()f x M ≤.则下列函数中,所有符合上述条件的序号是______.①()f x =()21x f x x =+;③()e e e ex xx x f x ---=+;④()11e x f x -=+.例10.(2022·全国·高三专题练习)定义在()0,∞+上的函数()f x 对于任意的*,x y R ∈,总有()()()f x f y f xy +=,且当1x >时,()0f x <且()1f e =-.(1)求()1f 的值;(2)判断函数在()0,∞+上的单调性,并证明;(3)求函数()f x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.例11.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()(0)2axf x a x =≠-.(1)判断函数()f x 在区间()2,2-上的单调性,并用单调性的定义加以证明;(2)若()33f =,求[]1,1x ∈-时函数()f x 的值域.例12.(2022·山西运城·模拟预测(理))已知a b <,函数()f x 的定义域为I ,若存在[,]a b I ⊆,使得()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ,我们就说()f x 是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是()①()21f x x =-+;②2()f x x =;③()2f x =+;④1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.A .①②B .②④C .②③D .③④【方法技巧与总结】利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性,再求最值.常用到下面的结论:1.如果函数()y f x =在区间(]a b ,上是增函数,在区间[)b c ,上是减函数,则函数()()y f x x a c =∈,在x b =处有最大值()f b .2.如果函数()y f x =在区间(]a b ,上是减函数,在区间[)b c ,上是增函数,则函数()()y f x x a c =∈,在x b =处有最小值()f b .3.若函数()y f x =在[]a b ,上是严格单调函数,则函数()y f x =在[]a b ,上一定有最大、最小值.4.若函数()y f x =在区间[]a b ,上是单调递增函数,则()y f x =的最大值是()f b ,最小值是()f a .5.若函数()y f x =在区间[]a b ,上是单调递减函数,则()y f x =的最大值是()f a ,最小值是()f b .题型四:利用函数单调性求参数的范围例13.(2022·河南濮阳·一模(理))“1b ≤”是“函数()()22,0log 2,20bx x f x x b x +>⎧=⎨++-<≤⎩是在()2,-+∞上的单调函数”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件例14.(2022·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习(理))已知函数()()e 4,0,2log 1,10,x m m x f x x x ⎧+>⎪=⎨-+-<≤⎪⎩若1x ∀,2x ∈R ,()()12120f x f x x x ->-,且()()2g x f x x =--仅有1个零点,则实数m 的取值范围为()A .11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .11,4e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭例15.(2022·浙江·高三学业考试)已知函数2()2f x x ax b =-+在区间(-∞,1]是减函数,则实数a 的取值范围是()A .[1,+∞)B .(-∞,1]C .[-1,+∞)D .(-∞,-1]例16.(2022·全国·高三专题练习)若函数21,1()2,,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩是R 上的单调函数,则a 的取值范围()A .20,3⎛⎫⎪⎝⎭B .20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C .(]0,1D .()0,1例17.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()f x =0a >且1a ≠)在区间[)1,3上单调递增,则实数a 的取值不可能是()A .13B .12C .23D .56例18.(2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测)函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数,则实数a的范围是_______.例19.(2022·全国·高三专题练习)如果5533cos θsin θ7(cos θsin θ),θ[0,2π]->-∈,则θ的取值范围是___________.例20.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()f x 满足()()()()1,f x y f x f y x y R +=+-∈,当0x >时,()1f x >,且()12f =.(1)求()()0,1f f -的值,并判断()f x 的单调性;(2)当[]1,2x ∈时,不等式()()231f ax x f x -+<恒成立,求实数a 的取值范围.【方法技巧与总结】若已知函数的单调性,求参数a 的取值范围问题,可利用函数单调性,先列出关于参数a 的不等式,利用下面的结论求解.1.若()a f x >在[]m n ,上恒成立()a f x ⇔>在[]m n ,上的最大值.2.若()a f x <在[]m n ,上恒成立()a f x ⇔<在[]m n ,上的最小值.题型五:基本初等函数的单调性例21.(2022·全国·高三阶段练习(文))下列函数在()1,3上单调递减的是()A .24y x x =-B .12x y -=C .y =D .cos 1y x =+例22.(2022·全国·高三专题练习)下列函数中,定义域是R 且为增函数的是A .xy e -=B .3y x =C .ln y x=D .y x=例23.(2022·全国·高三专题练习)已知()f x 是奇函数,且()()12120f x f x x x ->-对任意12,x x R ∈且12x x ≠都成立,设32a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()3log 7b f =,()30.8c f =-,则()A .b a c <<B .c a b <<C .c b a<<D . a c b<<例24.(2022·山东·济南一中模拟预测)设函数()232xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,若()ln 3a f =,()5log 2b f =-,c f =(e 为自然对数的底数),则().A .a b c>>B .c b a>>C .c a b>>D .a c b>>【方法技巧与总结】1.比较函数值大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数单调性解决.2.求复合函数单调区间的一般步骤为:①求函数定义域;②求简单函数单调区间;③求复合函数单调区间(同增异减).3.利用函数单调性求参数时,通常要把参数视为已知数,依据函数图像或单调性定义,确定函数单调区间,与已知单调区间比较,利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制,遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系.题型六:函数的奇偶性的判断与证明例25.(2022·北京通州·模拟预测)已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则()f x ()A .是偶函数,且在R 是单调递增B .是奇函数,且在R 是单调递增C .是偶函数,且在R 是单调递减D .是奇函数,且在R 是单调递减例26.(2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习(理))下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A .1y x=B .ln y x x=--C .3y x x=--D .3=-+y x x例27.(2022·广东·二模)存在函数()f x 使得对于x R ∀∈都有()()f g x x =,则函数()g x 可能为()A .()sin g x x=B .()22g x x x=+C .()3g x x x=-D .()()x xg x e e-=+例28.(2022·全国·高三专题练习)判断下列函数的奇偶性:(1)f (x )(2)f (x )=(x +(3)f (x ).(4)f (x )=2221,0,21,0;x x x x x x ⎧-++>⎨+-<⎩例29.(2022·全国·高三专题练习)已知定义在R 上的函数()f x ,()g x 满足:①()01f =;②()g x 为奇函数;③()0,x ∀∈+∞,()0>g x ;④任意的x ,R y ∈,()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.(1)判断并证明函数()f x 的奇偶性;(2)判断并证明函数()f x 在()0,+∞上的单调性.【方法技巧与总结】函数单调性与奇偶性结合时,注意函数单调性和奇偶性的定义,以及奇偶函数图像的对称性.题型七:已知函数的奇偶性求参数例30.(2022·北京海淀·二模)若(),01,0x a x f x bx x +<⎧=⎨->⎩是奇函数,则()A .1,1a b ==-B .1,1a b =-=C .1,1a b ==D .1,1a b =-=-例31.(2022·河南洛阳·三模(理))若函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数,则=a ()A .-1B .0C .1D .±1例32.(2022·江苏南通·模拟预测)若函数()22x x af x a +=-为奇函数,则实数a 的值为()A .1B .2C .1-D .±1例33.(2022·江西·南昌十中模拟预测(理))已知函数()(1)1x mf x x e=++为偶函数,则m 的值为_________.例34.(2022·全国·高三阶段练习(理))已知函数()()22330x xa a a f x -+=-⋅≠为奇函数,则=a ______.例35.(2022·全国·高三阶段练习(文))已知函数()2221x xa b f x x -+⋅=+为偶函数,则=a ______.例36.(2022·陕西·西安中学模拟预测(文))已知函数)1()e ln e x xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为R 上的偶函数,则实数=a ___________.【方法技巧与总结】利用函数的奇偶性的定义转化为()()f x f x -=±,建立方程,使问题得到解决,但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦,为了使解题更快,可采用特殊值法求解.题型八:已知函数的奇偶性求表达式、求值例37.(2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测(理))设()f x 为奇函数,且0x >时,()e ln xf x x =+,则()1f -=___________.例38.(2022·重庆一中高三阶段练习)已知偶函数()f x ,当0x >时,()()212f x x f x '=-+,则()f x 的图象在点()()2,2f --处的切线的斜率为()A .3-B .3C .5-D .5例39.(2022·河北衡水·高三阶段练习)已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且0x ≤时,()232f x x x m =-+,则()f x 在[]1,2上的最大值为()A .1B .8C .5-D .16-例40.(2022·江西·模拟预测(理))(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,且()()2022sin 25+=--x f x g x x x ,则下列说法错误的是()A .(0)1g =B .()g x 在[]0,1上单调递减C .(1101)-g x 关于直线1101=x 对称D .()g x 的最小值为1例41.(2022·山西吕梁·一模(文))已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()21x f x x =+-,则当0x <时,()f x =()A .21x x ---B .21x x -++C .121x ----D .121x --++例42.(2022·北京·高三专题练习)已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =+,且当()0,1x ∈时,()241xxf x =+.(1)求()1f 和()1f -的值;(2)求()f x 在[]1,1-上的解析式.例43.(2022·全国·高三专题练习)若函数()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,且其定义域均为{R,1}x x x ∈≠±.若()1()1f xg x x +=-,求()f x ,()g x 的解析式.【方法技巧与总结】抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程,从而可得()f x 的解析式.题型九:已知()f x =奇函数+M例44.(2022·重庆一中高三阶段练习)已知()34f x ax =++(a ,b 为实数),()3lg log 102022f =,则()lg lg3f =______.例45.(2022·河南·西平县高级中学模拟预测(理))已知函数()2sin 414x xf x x -=++,且()5f a =,则()f a -=()A .2B .3C .-2D .-3例46.(2022·福建省福州第一中学高二期末)若对,x y R ∀∈,有()()()4f x y f x f y +=+-,函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值,则其最大值与最小值的和为()A .4B .8C .12D .16例47.(2022·上海·高一专题练习)若函数()()2221sin 1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ,则函数()()()sin 3g x M m x M m x π⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦图像的对称中心不可能是_______A .4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B .,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C .28,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D .416,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭例48.(2022·河南·温县第一高级中学高三月考(理))若函数()()113e sin 1ex x x f x --⋅--=在区间[]3,5-上的最大值、最小值分别为p 、q ,则p q +的值为().A .2B .1C .6D .3例49.(2022·黑龙江·哈尔滨三中高三月考(理))函数()()211()2x x f x x x e e x --=--+在区间[1,3]-上的最大值与最小值分别为M ,N ,则M N +的值为()A .2-B .0C .2D .4例50.(2022·广东潮阳·高一期末)函数()()22ln41ax a xf x x a++=++,若()f x 最大值为M ,最小值为N ,[]1,3a ∈,则M N +的取值范围是______.例51.(2022·安徽·合肥市第九中学高三月考(理))已知定义域为R 的函数2222020sin ()2x x e e x xf x x λλμ++=++有最大值和最小值,且最大值和最小值的和为6,则λ-μ=___.【方法技巧与总结】已知()f x =奇函数+M ,[,]x a a ∈-,则(1)()()2f x f x M -+=(2)max min ()()2f x f x M +=题型十:函数的对称性与周期性例52.(2022·天津三中二模)设函数()y f x =的定义域为D ,若对任意的12,x x D ∈,且122x x a +=,恒有()()122f x f x b +=,则称函数()f x 具有对称性,其中点(,)a b 为函数()y f x =的对称中心,研究函数1()1tan(1)1f x x x x =+++--的对称中心,求13540432022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()A .2022B .4043C .4044D .8086例53.(2022·全国·模拟预测)已知定义在R 上的函数()f x 满足()()24f x f x +=+,且()1f x +是奇函数,则()A .()f x 是偶函数B .()f x 的图象关于直线12x =对称C .()f x 是奇函数D .()f x 的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称例54.(2022·全国·模拟预测)已知函数()f x 的定义域为R ,且()()()2220222f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立,又函数()2021f x +的图象关于点()2021,0-对称,且()12022f =,则()2021f =()A .2021B .2021-C .2022D .2022-例55.(2022·新疆·三模(文))已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()6f x f x +=,且当[]0,3x ∈时,()e x f x x =,则下面结论正确的是()A .()()()3ln 3e e f f f <<-B .()()()3e ln 3ef f f -<<C .()()()3e e ln 3f f f <-<D .()()()3ln 3e ef f f <-<例56.(2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测)已知函数()f x 满足(3)(1)9(2)f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立,又函数(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称,且(1)2022,f =则(45)f =()A .2021B .2021-C .2022D .2022-例57.(2022·广东茂名·模拟预测)已知函数()f x 是R 上的奇函数,且3()()2f x f x -=-,且当30,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,()23f x x =-,则(2021)(2022)(2023)f f f -+--的值为()A .4B .4-C .0D .6-例58.(2022·江西鹰潭·二模(文))已知()f x 是定义在R 上的奇函数,若32f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数且()12f =,则()()()202020212022f f f ++=()A .2-B .4C .4-D .6例59.(2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习)函数()()()222f x x x x ax b =+++满足:对x R ∀∈,都有()()11f x f x +=-,则函数()f x 的最小值为()A .-20B .-16C .-15D .0例60.(2022·黑龙江·哈尔滨三中三模(理))定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件:①对于任意的实数x ∈R ,都有()()220f x f x ++-=成立;②函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称;③对任意的1x ,[]20,1x ∈,12x x ≠,都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立.则()2021f ,()2022f ,()2023f 的大小关系为()A .()()()202120232022f f f >>B .()()()202120222023f f f >>C .()()()202320222021f f f >>D .()()()202220212023f f f >>例61.(2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测(理))已知函数()f x 满足()()f x f x -=--,且函数()f x 与()cos 2g x x x =≠-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象的交点为()11,x y ,()22,x y ,()33,x y ,()44,x y ,则()41i ii x y =+=∑()A .-4πB .-2πC .2πD .4π【方法技巧与总结】(1)若函数()y f x =有两条对称轴x a =,()x b a b =<,则函数()f x 是周期函数,且2()T b a =-;(2)若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <,则函数()y f x =是周期函数,且2()T b a =-;(3)若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <,则函数()y f x =是周期函数,且4()T b a =-.题型十一:类周期函数例62.(2022·天津一中高三月考)定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=,当[]0,2x 时,()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩,若当[)4,2x ∈--时,不等式()2142m f x m ≥-+恒成立,则实数m 的取值范围是()A .[]2,3B .[]1,3C .[]1,4D .[]2,4例63.(2022·浙江·杭州高级中学高三期中)定义域为R 的函数()f x 满足(2)3()f x f x +=,当[0,2]x ∈时,2()2f x x x =-,若[4,2]x ∈--时,13()()18f x t t≥-恒成立,则实数t 的取值范围是()A .(](],10,3-∞- B.((,-∞ C .[)[)1,03,-+∞ D.))⎡+∞⎣ 例64.(2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷)定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=,当[)0,2x ∈时,()[)[)2213,0,1{ln ,1,2x x x f x x x x -+∈=∈,若当[)4,2x ∈--时,函数()22f x t t ≥+恒成立,则实数t 的取值范围为()A .30t -≤≤B .31t -≤≤C .20t -≤≤D .01t ≤≤例65.(2022·湖北·高三月考)已知函数()11,022(2),2x x f x f x x ⎧--≤≤=⎨->⎩,其中R a ∈,给出以下关于函数()f x 的结论:①922f ⎛⎫= ⎪⎝⎭②当[]0,8x ∈时,函数()f x 值域为[]0,8③当4,15k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时方程()f x kx =恰有四个实根④当[]0,8x ∈时,若()22xf x a +≤恒成立,则1a ≥-)A .1B .2C .3D .4【方法技巧与总结】1.类周期函数若()y f x =满足:()()f x m kf x +=或()()f x kf x m =-,则()y f x =横坐标每增加m 个单位,则函数值扩大k 倍.此函数称为周期为m 的类周期函数.xx类周期函数图象倍增函数图象2.倍增函数若函数()y f x =满足()()f mx kf x =或()(xf x kf m=,则()y f x =横坐标每扩大m 倍,则函数值扩大k倍.此函数称为倍增函数.注意当m k =时,构成一系列平行的分段函数,222311()[1)(1)[)()(1)[)(1)[)n n ng x x m g x m x m m f x g x m x m m g x m x m m --∈⎧⎪-+∈⎪⎪=-+∈⎨⎪⎪⎪-+∈⎩,,,,,,,,.题型十二:抽象函数的单调性、奇偶性、周期性例66.(2022·山东聊城·二模)已知()f x 为R 上的奇函数,()22f =,若对1x ∀,()20,x ∈+∞,当12x x >时,都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤--<⎢⎥⎣⎦,则不等式()()114x f x ++>的解集为()A .()3,1-B .()()3,11,1---C .()(),11,1-∞-- D .()(),31,-∞-⋃+∞例67.(2022·全国·模拟预测(理))已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称,且()y f x =在[]0,1上单调递增,若()3a f =-,12b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()2c f =,则a ,b ,c 的大小关系为()A .c b a <<B .b a c <<C .b c a <<D .c a b<<例68.(2022·黑龙江大庆·三模(理))已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x -=,当01x ≤≤时,()1e 1x f x -=-,则方程()11f x x =-在区间[]3,5-上所有解的和为()A .8B .7C .6D .5例69.(2022·全国·高三专题练习)已知定义在R 上的函数()f x ,()g x 满足:①()01f =;②任意的x ,R y ∈,()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.(1)求()()22f xg x -的值;(2)判断并证明函数()f x 的奇偶性.例70.(2022·上海·高三专题练习)定义在(-1,1)上的函数f (x )满足①对任意x 、y ∈(-1,1),都有f (x )+f (y )=f (1x y xy ++);②当x ∈(-1,0)时,有f (x )>0.求证:21111()()()()511312f f f f n n +++>++ .【方法技巧与总结】抽象函数的模特函数通常如下:(1)若()()()f x y f x f y +=+,则()(1)f x xf =(正比例函数)(2)若()()()f x y f x f y +=,则()[(1)]x f x f =(指数函数)(3)若()()()f xy f x f y =+,则()log b f x x =(对数函数)(4)若()()()f xy f x f y =,则()a f x x =(幂函数)(5)若()()()f x y f x f y m +=++,则()(1)f x xf m =-(一次函数)(6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件,在所给区间内比较大小,有时需要适当变形.题型十三:函数性质的综合例71.(2022·重庆南开中学模拟预测)已知函数()()ln ln 2cos 2f x x x x=---,则关于t 的不等式()()20f t f t +<的解集为()A .()2,1-B.(-C .()0,1D.(例72.(2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三开学考试(文))已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,)+∞上单调递增.若实数a 满足212(log )(lo )g )2(1f a f f a +≤,则a 的最小值是()A .32B .1C .12D .2例73.(2022·河南许昌·高三月考(理))已知函数31()224e e x xf x x x =-++-,其中e 是自然对数的底数,若()2(6)8f a f a -+>,则实数a 的取值范围是()A .(2,)+∞B .(3,2)-C .(,3)-∞-D .(,3)(2,)-∞-⋃+∞例74.(2022·河南·新蔡县第一高级中学高三月考(文))已知函数()3112e 33ex x f x x x =-+-+,其中e是自然对数的底数,若()2(23)6f a f a -+≥,则实数a 的取值范围是()A .(,3][1,)-∞-+∞ B .(,3]-∞-C .[1,)+∞D .[]3,1-例75.(2022·江苏·南京市中华中学高三月考)定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=,且当1x ≥时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩,若对任意的[,1]x t t ∈+,不等式()()21f x f x t -≤++恒成立,则实数t 的最大值为()A .1-B .23-C .13-D .13例76.(2022·内蒙古·赤峰二中高一月考(理))设()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()2f x x =,若对任意[]2x a a ∈+,,不等式()()2f x a f x +≥恒成立,则实数a 的取值范围是()A.)+∞B.)+∞C .()1-∞,D.⎡⎣例77.(2022·湖南·岳阳一中一模)已知函数221e e ()312x x xf x --=++,若不等式2(4)(2)1f ax f ax -+≤对任意x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是()A .[]e,0-B .[]2,0-C .[]4,0-D .2e ,0⎡⎤-⎣⎦例78.(2022·全国·模拟预测)已知函数()2121xx f x -=+,若()()e 0x f f ax +<有解,则实数a 的取值范围为()A .()0,∞+B .(),e -∞-C .[]e,0-D .()(),e 0,-∞-⋃+∞例79.(2022·黑龙江·哈师大附中三模(理))已知函数()()1ln e 12x f x x =+-(e 为自然对数的底数),若()()21f a f a ≥-,则实数a 的取值范围是()A .1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B .[1,+∞)C .1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .[)1,1,3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦【方法技巧与总结】(1)奇偶性与单调性综合解题,尤其要重视利用偶函数(或轴对称函数)与单调性综合解不等式和比较大小.(2)奇偶性、单调性、周期性综合解题,尤其要注意对称性与周期性之间的关系,周期是两条对称轴(或对称中心)之间距离的2倍,是对称中心与对称轴之间距离的4倍.【过关测试】一、单选题1.(2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习(理))下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A .1y x=B .ln y x x =--C .3y x x =--D .3=-+y x x2.(2022·河南·模拟预测(文))已知0x >,0y >,且2e e sin 2sin x y x y ->-,则()A .2x y<B .2x y>C .x y>D .x y<3.(2022·湖北·房县第一中学模拟预测)已知函数()221e e 1x x f x -=+,不等式()()22f x f x >+的解集为()A .()(),12,-∞-+∞B .()1,2-C .()(),21,-∞-+∞ D .()2,1-4.(2022·浙江浙江·高三阶段练习)已知定义在R 上的奇函数()f x 在0x >时满足32()(1)62f x x x =-++,且()()8f x m f x +≤在[]1,3x ∈有解,则实数m 的最大值为()A .23B .2C .53D .45.(2022·河北·石家庄二中高三开学考试)已知函数(()cos ln 4f x x x π=+⋅+在区间[5,5]-的最大值是M ,最小值是m ,则()f M m +的值等于()A .0B .10C .4πD .2π6.(2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习(理))已知()f x 为奇函数,且当0x >时()211e xf x x-=+,则曲线()y f x =在点11,22f⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为()A .240x y ++=B .240x y -+=C .220x y -+=D .220x y ++=7.(2022·河南·模拟预测(理))已知函数()f x 的图象关于原点对称,且()()4f x f x =+,当()0,2x ∈时,()f x =32433log 4f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()A .-11B .-8C .3log 4D .38log 4-8.(2022·江西·南昌市实验中学一模(理))对于函数()y f x =,若存在0x ,使()()00f x f x =--,则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x --是函数()f x 的一对“隐对称点”.若函数()2ln ,0,0x x f x mx mx x >⎧=⎨--≤⎩的图像恰好有2对“隐对称点”,则实数m 的取值范围是()A .10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B .()0,1⋃(1,)+∞C .1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D .(1,)+∞二、多选题9.(2022·海南·模拟预测)下面关于函数23()2x f x x -=-的性质,说法正确的是()A .()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞B .()f x 的值域为RC .()f x 在定义域上单调递减D .点(2,2)是()f x 图象的对称中心10.(2022·辽宁·模拟预测)已知定义在R 上的偶函数()f x 的图像是连续的,()()()63f x f x f ++=,()f x 在区间[]6,0-上是增函数,则下列结论正确的是()A .()f x 的一个周期为6B .()f x 在区间[]12,18上单调递减C .()f x 的图像关于直线12x =对称D .()f x 在区间[]2022,2022-上共有100个零点11.(2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习)已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-,若函数()1y f x =-的图象关于1x =对称,且对任意的()12,0,2x x ∈,且12x x ≠,都有()()12120f x f x x x ->-,若()20f -=,则下列结论正确的是()A .()f x 是偶函数B .()20220f =C .()f x 的图象关于点()1,0对称D .()()21f f ->-12.(2022·河北秦皇岛·二模)已知函数())lg f x x =,()212xg x =+,()()()F x f x g x =+,则()A .()f x 的图象关于()0,1对称B .()g x 的图象没有对称中心C .对任意的[](),0x a a a ∈->,()F x 的最大值与最小值之和为4D .若()3311F x x x -+-<-,则实数x 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞三、填空题13.(2022·山东临沂·二模)已知函数e ()1xmxf x x =+-是偶函数,则m =__________.14.(2022·湖北·房县第一中学模拟预测)已知函数()()ln 0f x x a a a =-+>在21,e ⎡⎤⎣⎦上的最小值为1,则a 的值为________.15.(2022·广东佛山·三模)已知函数()22x x f x a -=+⋅的图象关于原点对称,若3(21)2f x ->,则x 的取值范围为________.16.(2022·陕西宝鸡·二模(文))若函数f (x )同时满足:(1)对于定义域上的任意x ,恒有()()0f x f x +-=;(2)对于定义域上的任意12,x x ,当12x x ≠,恒有()()12120f x f x x x -<-,则称函数f (x )为“理想函数”,下列①()1f x x=,②()=f x ,③()1212xxf x -=+,④22,0(),0x x f x x x ⎧-=⎨<⎩四个函数中,能被称为“理想函数”的有___________.(填出函数序号)四、解答题17.(2022·上海市市西中学高三阶段练习)设a ∈R ,函数2()21x x af x +=+;(1)求a 的值,使得f (x )为奇函数;(2)若3()2a f x +<对任意x ∈R 成立,求a 的取值范围.18.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的函数,()()f x f x -=-恒成立,且12.25f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)确定函数()f x 的解析式;(2)用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数;(3)解不等式()()10f x f x -+<.19.(2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习(理))设函数()()20,1,R x xf x ka a a a k -=->≠∈,()f x 是定义域为R 的奇函数(1)确定k 的值(2)若()13f =,判断并证明()f x 的单调性;(3)若3a =,使得()()()221f x f x λ≤+对一切[]2,1x ∈--恒成立,求出λ的范围.20.(2022·全国·高三专题练习)定义域均为R 的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()10x f x g x +=.(1)求函数()f x 与()g x 的解析式;(2)证明:1212()()2()2x x g x g x g ++≥;(3)试用1()f x ,2()f x ,1()g x ,2()g x 表示12()f x x -与12()g x x +.21.(2022·全国·高三专题练习)定义在R 上的函数()f x ,对任意12,x x R ∈,满足下列条件:①1212()()()2f x x f x f x +=+-②(2)4f =(1)是否存在一次函数()f x 满足条件①②,若存在,求出()f x 的解析式;若不存在,说明理由.(2)证明:()()2g x f x =-为奇函数;22.(2022·上海·二模)对于函数()f x ,若在定义域内存在实数0x ,满足00()()f x f x -=-,则称()f x 为“M 类函数”.(1)已知函数π()2cos 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,试判断()f x 是否为“M 类函数”?并说明理由;(2)设1()423x x f x m +=-⋅-是定义域R 上的“M 类函数”,求实数m 的取值范围;(3)若()22log 2,3()2,3x mx x f x x ⎧->⎪=⎨-<⎪⎩为其定义域上的“M 类函数”,求实数m 取值范围.。
高中数学专题学习:函数的单调性与奇偶性
第3讲 函数的单调性与奇偶性一、知识梳理1.奇偶性(1)定义:设函数y =)(x f 的定义域为D ,如果对于D 内任意一个x ,都有D x ∈-,且)(x f -=-)(x f ,那么这个函数叫做奇函数.设函数y =)(x g 的定义域为D ,如果对于D 内任意一个x ,都有D x ∈-,且)(x g -=)(x g ,那么这个函数叫做偶函数.(2)如果函数)(x f 不具有上述性质,则)(x f 不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则)(x f 既是奇函数,又是偶函数.函数是奇函数或是偶函数的性质称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质.(3)由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x ,则x -也一定在定义域内.即定义域是关于原点的对称点集.(4)图象的对称性质:一个函数是奇函数当且仅当它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的当且仅当它的图象关于y 轴对称.(5)奇偶函数的运算性质:设()f x ,()g x 的定义域分别是12,D D ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. (6)奇(偶)函数图象对称性的推广:若函数)(x f 的图象关于直线a x =对称,则)2()(a x f x f +=-; 若函数)(x f 的图象关于点)0,(a 对称,则)2()(a x f x f +-=-. 2.单调性(1)定义:设函数y =)(x f 的定义域为A ,区间A M ⊆. 如果取区间M 上的任意两个值x 1 , x 2,改变量12x x x -=∆>0,则 当)()(12x f x f y -=∆>0时,就称函数)(x f 在区间M 上是增函数; 当)()(12x f x f y -=∆<0时,就称函数)(x f 在区间M 上是增函数.如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M 称为单调区间).(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质.(3)设复合函数))((x g f y =,其中)(x g u =,A 是))((x g f y =定义域的某个区间,B 是映射g :x →)(x g u = 的象集.①若)(x g u =在 A 上是增(或减)函数,)(u f y =在B 上也是增(或减)函数,则函数))((x g f y =在A 上是增函数;②若)(x g u =在A 上是增(或减)函数,而)(u f y =在B 上是减(或增)函数,则函数))((x g f y =在A 上是减函数.(4)奇偶函数的单调性①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反. ③在公共定义域内:增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数; 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数; 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数; 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数.3.最值(1)定义:设函数y =)(x f 的定义域为I ,如果存在实数M 满足:①对于任意的x ∈I ,都有)(x f ≤M ;②存在0x ∈I ,使得)(0x f =M ,那么,称M 是函数y =)(x f 的最大值.设函数y =)(x f 的定义域为I ,如果存在实数m 满足:①对于任意的x ∈I ,都有)(x f ≥m ;②存在0x ∈I ,使得)(0x f =m ,那么,称m 是函数y =)(x f 的最小值.(2)函数最大(小)值首先应该是某一个函数值,即存在0x ∈I ,使得)(0x f =M (m );函数最大(小)值应该是所有函数值中的最大(小)者,即对于任意的x ∈I ,都有)(x f ≤M ()(x f ≥m ).二、方法归纳1.利用定义判断函数奇偶性的方法(1)首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; (2)确定)(x f -与)(x f 的关系; (3)作出相应结论:若)(x f -=)(x f 或)(x f --)(x f = 0,则)(x f 是偶函数; 若)(x f -=-)(x f 或)(x f -+)(x f = 0,则)(x f 是奇函数.2.利用定义证明或判断函数单调性的步骤(1)任取1x ,2x ∈D ,且1x <2x ; (2)作差)()(21x f x f y -=∆; (3)变形(通常是因式分解和配方);(4)定号(即判断差)()(21x f x f y -=∆的正负);(5)下结论(即指出函数)(x f 在给定的区间D 上的单调性). 3.求函数最大(小)值的 一般方法(1)求值域进而得到最大(小)值.求函数的值域的常见方法:直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法、反函数法、单调性法等等.(2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值. (3)利用函数的图象求函数的最大(小)值;三、典型例题精讲【例1】判断下列函数的奇偶性.(1)x x x x f -+-=11)1()(; (2)22)1lg()(2---=x x x f .【错解分析】(1)∵x x x x f -+-=11)1()(xxx -+⋅-=11)1(2 1)1)(1(2-=+-=x x x .显然有)(x f -=)(x f∴)(x f 为偶函数.(2)∵22)1lg(22)1lg()(22-+-=----=-x x x x x f , 于是)(x f -≠)(x f 且)(x f -≠-)(x f . ∴)(x f 为非奇非偶函数. 解析:(1)∵)(x f 的定义域为xx-+11≥0,即-1≤x <1. 定义域不是关于原点对称的数集,∴)(x f 为非奇非偶函数. (2)∵)(x f 的定义域为012>-x 且22--x ≠0,即-1<x <1且x ≠0,此时02<-x .∴xx x x x f --=---=)1lg(22)1lg()(22 ∴)(x f 为奇函数.【技巧提示】正确判定函数的奇偶性,必须先考虑函数的定义域. 又例:判断下列函数的奇偶性.(1)551)(2-+-=x x x f ; (2)⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f ; (3)33)(22-+-=x x x f .解析:(1)∵ 21x -≥0,即-1≤x ≤1.此时x x =-+55,∴xx x f 21)(-=,为奇函数.(2)当x >0,-x <0时,)(x f =x x +-2,)(x f -=x x x x -=-+-22)()()(x f =-)(x f -;当x <0,-x >0时,)(x f =x x +2,)(x f -=x x x x --=-+--22)()()(x f =-)(x f -; ∴ )(x f 为奇函数. (3)∵33)(22-+-=x x x f的定义域为{|x x =.此时函数化为)(x f =0,{|x x =. ∴ )(x f 既是奇函数又是偶函数.【例2】讨论函数xxx x f 22116)(++=的奇偶性. 解析:函数定义域为R ,且11161222116)(++=++=----xxx x x x f =)(22116141612x f xxx x x x=++=++⋅. ∴)(x f 为偶函数.【技巧提示】判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域,若函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变).如本题亦可先化简:14412116)(++=++=-xx xx x f ,显然)(x f 为偶函数.从这可以 看出,化简后再解决要容易得多.又例:证明函数)1(1)(22x x og x f ++=为奇函数. 解析:∵)(x f +)(x f -=)1(122x x og +++)1(122x x og -+=)]1)(1[(1222x x x x og -+++ =112og =0∴)(x f 为奇函数.再例:讨论函数aa x x a x f -+-=||)(22 (a ≠0)的奇偶性.解析: ∵ 2x ≤2a ,∴ 要分a >0与a <0两类讨论. (i )当a >0时,由⎩⎨⎧≠+≤≤-aa x ax a ||,函数的定义域为 ],0()0,[a a -,∵a x +≥0, ∴xx a x f 22)(-=,)(x f 为奇函数;(ii )当a <0时,由⎩⎨⎧≠+-≤≤aa x ax a ||,函数的定义域为[][],00,a a -,∵a x +≤0, ∴ax x a x f 2)(22---=,)(x f 既不是奇函数,也不是偶函数.【例3】求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间.【错解分析】设41)23(23)(22--=+-=x x x x t ,∴)23,(-∞为函数)(x t 的单调递减区间;),23(+∞为函数)(x t 的单调递增区间. 又t x x y 7.027.0log )23(log =+-=为t 的减函数,∴)23,(-∞为函数20.7log (32)y x x =-+的单调递增区间;),23(+∞为函数20.7log (32)y x x =-+的单调递减区间.解析:设23)(2+-=x x x t , 由0232>+-x x 得函数的定义域为),2()1,(+∞-∞ ,区间)1,(-∞和),2(+∞分别为函数23)(2+-=x x x t 的单调递减区间和单调递增区间. 又t y 7.0log =,根据复合函数的单调性的规则,得区间)1,(-∞和),2(+∞分别为函数t y 7.0log =的单调递增区间和单调递减区间.【技巧提示】函数的单调区间是包含在定义域内的某个区间,因此,求函数的单调区间必须考虑函数的定义域.运用复合函数的单调性规则求函数的单调区间时,要考虑各个基本函数都要有意义.又例:设函数)(x f =bx ax ++(a >b >0),求)(x f 的单调区间,并证明)(x f 在其单调区间上的单调性.解析:在定义域内任取1x <2x , ∴)()(21x f x f -=1212x a x ax b x b++-++ ))(())(())((212121b x b x a x b x b x a x ++++-++=))(())((2121b x b x x x a b ++--=, ∵a >b >0,∴b -a <0,1x -2x <0,只有当1x <2x <-b 或-b <1x <2x 时函数才单调. 当1x <2x <-b 或-b <1x <2x 时)()(21x f x f ->0.∴(-b ,+∞)和(-∞,-b )都是函数)(x f 的单调减函数区间.【例4】设0a >,()x xe af x a e =+是R 上的偶函数. (1) 求a 的值;(2)证明()f x 在(0,)+∞上为增函数. 解析:(1)依题意,对一切x R ∈,有()()f x f x -=,即1x xx x e a ae ae a e+=+. ∴11()()xx a e ae--0= 对一切x R ∈成立,则10a a-=,即1a =±. ∵0a >,∴1a =.(2)设120x x <<,则12121211()()x xx x f x f x e e e e -=-+- 2121121122111()(1)(1)x x x x x x x x x x x e e e e ee e+-++-=--=-,由12210,0,0x x x x >>->,得21120,10x x x x e -+>->,2110x x e +-<,∴12()()0f x f x -<,即12()()f x f x <,∴)(x f 在(0,)+∞上为增函数.【技巧提示】两小题都只要抓住偶函数、增函数的定义解决问题就不难.两小题中变形的都是因式分解,第(2)小题的变形以容易判别符号为目标.又例:已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在),0[+∞上为减函数,若)12()2(2->--a f a a f ,求实数a 的取值范围.解析:)(x f 是R 上的偶函数且在),0[+∞上为减函数.∴由)12()2(2->--a f a a f ,有|12||2|2-<--a a a ,⎩⎨⎧-<--≥--222)12(202a a a a a ,解得a ≤-1或a ≥2.再例:二次函数)(x f 的二次项系数为正,且对任意实数x ,恒有)2(x f +=)2(x f -,若)21(2x f -<)21(2x x f -+,则x 的取值范围是_________.解析:由二次函数)(x f 的二次项系数为正,知函数的图象为开口向上的抛物线, 由)2(x f +=)2(x f -,知x =2为对称轴,于是有结论:距对称轴较近的点的纵坐标较小. ∴22122122--+<--x x x 即22)1(12-<+x x ,22)1(12-<+x x ∴-2<x <0. 答案:-2<x <0.【例5】已知)(x f 是定义在R 上的增函数,对x ∈R 有)(x f >0,且)5(f =1,设)(x F =)(x f +)(1x f ,讨论)(x F 的单调性,并证明你的结论.解析:在R 上任取1x 、2x ,设1x <2x ,∴)(1x f <)(2x f ,],)()(11)][()([])(1)([])(1)([)()(2112112212x f x f x f x f x f x f x f x f x F x F --=+-+=-∵)(x f 是R 上的增函数,且)5(f =1,∴当x <5时0<)(x f <1,而当x >5时)(x f >1; ① 若1x <2x <5,则0<)(1x f <)(2x f <1, ∴0<)(1x f )(2x f <1, ∴)()(1121x f x f -<0,∴)(2x F <)(1x F ;②若2x >1x >5,则)(2x f >)(1x f >1 , ∴)(1x f )(2x f >1, ∴)()(1121x f x f ->0,∴)(2x F >)(1x F .综上,)(x F 在(-∞,5)为减函数,在(5,+∞)为增函数.【技巧提示】该题属于判断抽象函数的单调性问题.抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题,其基本能力是变量代换、换元等,应熟练掌握它们的这些特点.又例:已知函数)(x f 的定义域关于原点对称,且满足:(1))()(1)()()(122121x f x f x f x f x x f -+⋅=-;(2)存在正常数a ,使)(a f =1.求证:(Ⅰ))(x f 是奇函数;(Ⅱ))(x f 是周期函数,并且有一个周期为4a .解析:(Ⅰ)设21x x t -=,则)()()()(1)()()()(1)()()()(211221211212t f x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x f t f -=--=-+⋅-=-+⋅=-=-所以函数)(x f 是奇函数.(Ⅱ)令a x a x ==212,,则)2()(1)()2()(a f a f a f a f a f -+⋅=即)2(11)2(1a f a f -+=,解得:)2(a f =0.于是有 )()2(1)2()()2(x f a f a f x f a x f --+-⋅=+)(1)()2(1)]2([)(x f x f a f a f x f -=--+-⋅=.所以)()(11)2(1)4(x f x f a x f a x f =--=+-=+. 因此,函数)(x f 是周期函数,并且有一个周期为4a .【例6】设函数)(x f =xx 1-.对任意),1[+∞∈x ,有0)()(<+x mf mx f 恒成立, 则实数m 的取值范围是 .解析:方法一 显然m ≠0,由于函数)(x f =xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数, 则当m >0时,0)()(<+x mf mx f 不恒成立,因此m <0.当m <0时,函数)()()(x mf mx f x h +=在),1[+∞∈x 上是减函数, 因此,当1=x 时,)(x h 取得最大值mm h 1)1(-=, 于是,0)()()(<+=x mf mx f x h 恒成立等价于)(x h 在),1[+∞∈x 上的最大值小于零,即01)1(<-=m m h ,解⎪⎩⎪⎨⎧<<-01m m m ,得m <-1. 于是实数m 的取值范围是)1,(--∞. 方法二 显然m ≠0,由于函数)(x f =xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数,则当m >0时,0)()(<+x mf mx f 不恒成立, 因此m <0.若xm mx mx mx x mf mx f -+-=+1)()( =mx m mx 212+-=mxm x m 22212--<0恒成立,因为),1[+∞∈x ,m <0,则需22212m x m -->0恒成立, 设函数22212)(m x m x g --=,则)(x g 在),1[+∞∈x 时为增函数, 于是1=x 时,)(x g 取得最小值1)1(2-=m g .解 ⎩⎨⎧<>-012m m ,得m <-1.于是实数m 的取值范围是)1,(--∞.方法三 显然m ≠0,由于函数)(x f =xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数, 则当m >0时,0)()(<+x mf mx f 不恒成立,因此m <0. 因为对任意),1[+∞∈x ,0)()(<+x mf mx f 恒成立, 所以对1=x ,不等式0)()(<+x mf mx f 也成立,于是0)1()(<+mf m f ,即01<-mm , 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<<-001m m m ,得m <-1. 于是实数m 的取值范围是)1,(--∞. 【技巧提示】函数)(x f =xx 1-在)0,(-∞和),0(+∞上都是增函数.在)1,(-∞和)1,0(上小于零;在)0,1(-和),1(+∞上大于零. 又例:已知函数)(x f =xax +2),0(R a x ∈≠, (1)判断函数)(x f 的奇偶性;(2)若)(x f 在区间),2[+∞是增函数,求实数a 的取值范围。
重难点2-4-抽象函数及其性质8大题型(解析版) (1)
重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数,由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。
抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解,但由于其表现形式的抽象性和多变性,学生往往无从下手,这类问题是高考的一个难点,也是近几年高考的热点之一。
一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法,复制规律一般有以下几种: 1、……-2,-1,0,1,2……等特殊值代入求解; 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性;3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性;4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法:(1)凑:凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;(2)赋值:给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ,判断符号时要变形为:()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ,判断符号时要变形为:()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式;2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式(0>a 且1≠a );3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式(0>a 且1≠a );4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的,在解决问题时,可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质;2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用,通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质,这个不变性质往往是解决问题的突破口;3、抽象函数性质的证明是一种代数推理,和几何推理一样,要注意推理的严谨性,每一步推理都要有充分的条件,不可漏掉一些条件,更不要臆造条件,推理过程要层次分明,书写规范。
抽象函数单调性、奇偶性、周期性和对称性典例分析
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性一、典例分析1.求函数值例1.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数,),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时,x x f =)(,则)5.7(f 等于( )(A )0.5;(B )-0.5; (C )1.5; (D )-1.5.例2.已知)(x f 是定义在实数集上的函数,且[])(1)(1)2(x f x f x f +=-+,,32)1(+=f 求)1989(f 的值.(1989)f = 。
2、比较函数值大小例3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数,当[]1,0∈x 时,,)(19981xx f =试比较)1998(f 、)17101(f 、)15104(f 的大小.3、求函数解析式例4.设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数,对Z k ∈,用k I 表示区间),12,12(+-k k 已知当0I x ∈时,.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式.例5.设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数,且)(x f 是偶函数,在区间[]3,2上,.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时,)(x f 的解析式.4、判断函数奇偶性例6.已知)(x f 的周期为4,且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立,判断函数)(x f 的奇偶性.5、确定函数图象与x 轴交点的个数例7.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+,=+)7(x f ,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.6、在数列中的应用例8.在数列{}n a 中,)2(11,3111≥-+==--n a a a a n n n ,求数列的通项公式,并计算.1997951a a a a ++++7、在二项式中的应用例9.今天是星期三,试求今天后的第9292天是星期几?8、复数中的应用例10.(XX 市1994年高考题)设)(2321是虚数单位i i z +-=,则满足等式,z z n =且大于1的正整数n 中最小的是()(A ) 3 ; (B )4 ; (C )6 ; (D )7.9、解“立几”题例11.ABCD —1111D C B A 是单位长方体,黑白二蚁都从点A 出发,沿棱向前爬行,每走一条棱称为“走完一段”。
高中函数周期性奇偶性抽象函数
函数专题抽象函数的类型和解法二、抽象函数:1、f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x)2、.232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 3、f (x).1),x 0(x ,x 1)x1x (f )x (f 求且已知≠≠+=-+ 4、对任意实数x,y ,均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 5、定义在R +上的函数f(x)满足: ①对任意实数m,f(x m )=mf(x); ②f(2)=1. (1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y 都成立; (2)证明f(x)是R +上的单调增函数; (3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值范围. 6、已知f(x)是定义在R 上的函数,f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.7、设定义在R 上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y ∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2.1)2(f )3x (f 21)]x (f [)2(;,4)x x 3(f )1(22+=++>-解方程解不等式8、)xy1yx (f )y (f )x (f ),1,1(y ,x )1(:)x (f )1,1(++=+-∈-都有对任意满足上的函数定义在 (2)当x ∈(-1,0)时,有f(x)>0.求证:(Ⅰ)f(x)是奇函数;(Ⅱ)).31(f )5n 5n 1(f )191(f )111(f 2>+++++函数专题函数的奇偶性题型一:奇偶性证明(两大步骤) 1.一般函数: 例1:f(x)=12+x x例2:f(x)=22-12--x x2,含参数函数例:f(x)=R a a x a x ∈--+, 3.分段函数例1:⎪⎩⎪⎨⎧--∈-+∈--=]1,6(,4)5()6,1[,4)5()(22x x x x x f 例2:⎪⎩⎪⎨⎧<---=>+-=0,320,00,32)(22x x x x x x x x f4.抽象函数例1:f(a)+f(b)=f(a+b) 例2:f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b) 5,指数函数例:f(x)=x x 214+6,对数函数 例:f(x)=xxa -+11log题型二:利用奇偶性求值问题1.8)(35-++=bx ax x x f ,f(2)=10,求f(2)的值2.x x eaa e x f +=)(是定义在R 上的偶函数(1).求a 的值(2).求证f(x)在(0,+∞)是增函数 3.f(x)=)(212R x a x∈--是奇函数,求实数a 的值题型三:利用奇偶性求解析式问题例1:X>0时,f(x)=13++x x ,求x<0时f(x)的解析式 例2:f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且11)()(-=+x x g x f ,求f(x),g(x)题型四:奇偶性单调性结合1.奇函数在关于原点对称的两个区间内单调性相同2.偶函数在关于原点对称的两个区间内单调性相反例1:f(x)是定义在(-1,1)的奇函数,若0)1()1(2>-+-t f t f ,求t例2:定义在[]1.1-上的偶函数f(x),当x ≥0时,f(x)为增函数,若)2()1(m f m f <+成立,求m 的取值范围。
专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案
专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案一、选择题1.设()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递减函数,且()f x 为奇函数.若()11f =-,则不等式()121f x -≤-≤的解集为A . []1,1-B . []0,4C . []2,2-D . []1,3【答案】D2.若函数()f x 的定义域为()32,1a a -+,且函数()1f x -为奇函数,则实数a 的值为( )A . 2B . 4C . 6D . 8【答案】C【解析】函数()f x 的定义域为()32,1a a -+,且函数()1f x -为奇函数,则函数()f x 的图象关于点()1,0对称,故有()132{3212a a a a +>--++=,求得2a =,故选A .3.已知()f x 是偶函数,它在[)0,+∞上是减函数,若()()lg 1f x f > ,则x 的取值范围是( ) A . 1,110⎛⎫⎪⎝⎭ B . 1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ C . ()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D . ()()0,110,⋃+∞ 【答案】B【解析】试题分析:偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数,则在(],0-∞上为增函数,由()()lg 1f x f >可知,得,故选项B 正确.考点:偶函数的单调性及其运用.【易错点睛】解答本题时考生容易错误的理解为:偶函数在整个定义域上的单调性是一致的,而列出不等式,解得,没有正确的选项可选.偶函数的图象关于y 轴对称,则其在原点两侧对称区间的单调性也是不同的,即一侧为单调增函数,则对称的另一侧为单调减函数.只有清楚了函数的单调性,才能正确的列出不等式,进而求出正确的解.4.已知函数()y f x =是R 上的偶函数,且在[)0+∞,上单调递增,则下列各式成立的是( )A . ()()()201f f f ->>B . ()()()102f f f >>-C . ()()()210f f f ->>D . ()()()120f f f >->【答案】A【解析】因为函数()y f x =是R 上的偶函数,所以()()22f f -= ,又因为()f x 在[)0+∞,上单调递增,所以()()()201f f f >>,故()()()201f f f ->>. 本题选择A 选项. 5.已知定义域为R 的偶函数在上是减函数,且,则不等式的解集为( )A .B .C .D .【答案】B 【解析】6.已知偶函数f (x )在[0,+∞)单调递增,若f (2)=﹣2,则满足f (x ﹣1)≥﹣2的x 的取值范围是 ( ) A . (﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) B . (﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) C . [﹣1,﹣3] D . (﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) 【答案】B 【解析】根据题意,偶函数在单调递增,且,可得,若,即有, 可得,解可得: 即的取值范围是;故选:B .7.若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减, ()()3224log 3,log 5,2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则满足( )A . a b c <<B . b a c <<C . c a b <<D . c b a <<【答案】B8.已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数,且在[]0,1b -上单调递增,则()()1f x f ≤的解集为( )A . []1,2B . []3,5C . []1,1-D . 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由函数奇偶性的定义可知2101b b b +-=⇒=-,所以函数()f x 在[]0,2单调递增,则不等式可化为1{1102x x x ≤⇒-≤≤≤≤,应选答案C .9.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,在(],0-∞上有单调性,且()()21f f -<,则下列不等式成立的是 ( )A . ()()()123f f f -<<B . ()()()234f f f <<-C . ()()1202f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭D . ()()()531f f f <-<-【答案】D【解析】根据函数为偶函数,有()()()221f f f -=<,故函数在[)0,+∞上递减,所以()()()()()()10123452f f f f f f f ⎛⎫>>>>>> ⎪⎝⎭,故选D .10.若是奇函数,且在内是增函数,又,则的解集是( )A .B .C .D .【答案】D 【解析】11.定义在的函数,已知是奇函数,当时,单调递增,若且,且值( ).A . 恒大于B . 恒小于C . 可正可负D . 可能为【答案】A【解析】由是奇函数,所以图像关于点对称,当时,单调递增,所以当时单调递增,由,可得,,由可知,结合函数对称性可知12.已知是定义在上的奇函数,对任意的,均有.当时,,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】f()=f()=14,∵<<,二、填空题13.设f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则f(–2),f(–π),f(3)的大小顺序是__________.【答案】f(–π)>f(3)>(–2)【解析】由已知是上的偶函数,所以有,,又由在上单调增,且,所以有,所以π),故答案为:.14.已知偶函数在区间上单调增加,则满足的的取值范围是__________.【答案】【解析】∵是偶函数,15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减,且()10f =. 若实数a 满足()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭, 则实数a 的取值范围是____________.【答案】][10,1,55⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减, 根据对称性,所以函数()f x 在区间()0,+∞上也单调递减.又易推出()()()1100f f f -===.从而根据函数()f x 的性质作出图象, 即可求得()0f x ≥的解集为][(,10,1⎤-∞-⋃⎦.()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭等价于()5log 0f a ≥,故5log 1a ≤-或50log 1a ≤≤,解得105a <≤或15a ≤≤. 16.定义在区间[]2,2-上的偶函数()g x ,当0x ≥时()g x 单调递减,若()()1g m g m -<,则实数m 的取值范围是____________.【答案】1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】不等式等价于:212 {221mmm m-≤-≤-≤≤->,求解关于实数m的不等式组可得实数m的取值范围是1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.17.设偶函数在上为减函数,且,则不等式的解集为_________;【答案】【解析】18.已知函数是定义在区间上的偶函数,它在区间上的图像是如图所示的一条线段,则不等式的解集为__________.【答案】【解析】 由题意,函数过点,,∴,又因为是偶函数,关于轴对称,所以,即,又作出函数在上的图像,当的时候,的图像恒在的上方,当的时候,令,,即当的时候,满足,即.故答案为:. 19.定义在上的奇函数是增函数,且,则的取值范围为__________.【答案】【解析】20.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=,且对于任意1x , [)20,x ∈+∞, 12x x ≠,均有()()21120f x f x x x ->-.若1132f ⎛⎫-=⎪⎝⎭, 182log 1f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭,则x 的取值范围为__________. 【答案】()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=,且对于任意1x , [)20,x ∈+∞, 12x x ≠,均有()()21120f x f x x x ->-, ()f x ∴ 在()0,+∞ 上递减,在(),0-∞ 上递增,12811112log ,log 2333f x f f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=--<- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,因为()f x 是偶函数,所以2211log ,log 133x x ->->或2log 1x <- ,可得2x >或102x << ,故答案为()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.三、解答题21.已知函数()y f x =是定义在()0,+∞上的增函数,对于任意的0,0x y >>,都有()()()f xy f x f y =+,且满足()21f =.(1)求()()14f f 、的值;(2)求满足()()32f x f x +->的x 的取值范围. 【答案】(1)()10f =, ()42f =;(2)4x >. 【解析】22.定义在R 上的函数()y f x =对任意的,x y R ∈,满足条件: ()()()1f x y f x f y +=+-,且当0x >时, ()1f x >. (1)求()0f 的值;(2)证明:函数()f x 是R 上的单调增函数;(3)解关于t 的不等式()221f t t -<.【答案】(Ⅰ) ()01f =;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ) 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】23.若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数,且对一切x , 0y >,满足()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (1)求()1f 的值;(2)若()61f =,解不等式()1323f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭. 【答案】(1)0;(2)()3,9- 【解析】24.已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,且()11f =,若m , []1,1n ∈-, 0m n +≠时,有()()0f m f n m n+>+.(1)证明()f x 在[]1,1-上是增函数; (2)解不等式1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭; (3)若()221f x t at ≤-+对任意[]1,1x ∈-, []1,1a ∈-恒成立,求实数t 的取值范围. 【答案】(1)增函数;(2)3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭;(3)0t =或2t ≥或2t ≤-. 【解析】∵()f x 在[]1,1-上是增函数∴()()max 11f x f == ∴2221120t at t at -+≥⇒-≥对任意[]1,1a ∈-恒成立. 令()22g a at t =-+,则0{00t =≥恒成立或()20{120t g t t >=-+≥或()20{120t g t t <-=+≥,∴0t =或2t ≥或2t ≤-∴实数t 的取值范围为0t =或2t ≥或2t ≤-.25.函数()f x 的定义域为{|0}D x x =≠,且满足对任意12,x x D ∈,有()()1212f x x f x x ⋅=+)(. (1)求()1f 的值;(2)判断()f x 的奇偶性并证明你的结论;(3)如果()41f =, ()12f x -<,且()f x 在()0,+∞上是增函数,求x 的取值范围. 【答案】(1)()10f =;(2)见解析:(3)()()15,11,17-⋃. 【解析】点睛:本题给出抽象函数,求特殊的函数值、讨论函数的奇偶性,并依此解关于x 的不等式.着重考查了函数的单调性、奇偶性和绝对值不等式的解法等知识,属于中档题.运用“赋值法”进行求值和化简,是解决抽象函数问题的一般方法.26.设函数()y f x =是定义在R 上的函数,并且满足下面三个条件:①对任意正数,x y ,都有()()()f xy f x f y =+;②当1x >时, ()0f x <;③()31f =-.(1)求()1f , 19f ⎛⎫⎪⎝⎭的值;(2)证明()f x 在()0,+∞上是减函数;(3)如果不等式()()22f x f x +-<成立,求x 的取值范围.【答案】(Ⅰ)2;(Ⅱ)见解析; (Ⅲ)(1,133-+). 【解析】点晴:本题属于对函数单调性的证明和单调性应用的考察,若函数()f x 在区间上单调递增,则()()1212,,x x D f x f x ∈>且时,有12x x >,事实上,若12x x ≤,则()()12f x f x ≤,这与()()12f x f x >矛盾,类似地,若()f x 在区间上单调递减,则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <;据此可以解不等式,由函数值的大小,根据单调性就可以得自变量的大小关系. 27.已知函数的定义域为,若对于任意的实数,都有,且时,有.(1)判断并证明函数的奇偶性; (2)判断并证明函数的单调性;(3)设,若对所有,恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)奇函数,(2)单调递增函数,(3)或.【解析】(1)奇函数,证明如下:由题意知,令,得,所以;点睛:抽象函数单调性的证明绝大多数情况下都是用“定义法”去证,其步骤是:(1)取值:在给定区间上任取,且;(2)作差:将变形整理为其结果为因式乘积的形式或能够判断的符号的形式;(3)判断的符号;(4)根据定义得出结论.28.已知函数是定义在上的不恒为零的函数,对于任意非零实数满足,且当时,有.(Ⅰ)判断并证明的奇偶性;(Ⅱ)求证:函数在上为增函数,并求不等式的解集.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析:⑴先求出,继而,令代入得⑵构造,然后利用已知代入证明详解:(Ⅰ)是偶函数。
专题三 抽象函数的单调性与奇偶性
专题三抽象函数的单调性与奇偶性抽象函数是一种没有具体函数解析式或图像,但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数。
这类函数问题能够全面考查学生对函数概念的理解及性质的应用、推理和论证能力,同时也能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力。
因此,抽象函数问题倍受命题者的青睐,体现了函数与方程、数形结合、一般与特殊等重要的数学思想。
然而,由于抽象函数问题比较抽象,学生难以理解和接受,教材也没有很好地讲解处理,因此这类问题时常困惑着不少师生。
但是,这类问题对于发展学生的思维能力,进行数学思想方法的渗透,培养学生的创新思想,提高学生的数学素质,有着重要作用。
因此,本文将从解题思路及方法方面谈点看法。
首先,我们可以在中学函数部分教材中找到一些抽象型函数的特殊模型,如正比例函数、幂函数、指数函数等。
若充分利用这些模型解题,既可使学生掌握解决数学问题的规律,培养了解题能力,又使学生体会到人们对事物的认识,总是在感性认识的基础上,通过抽象概括上升为理性认识,最终揭示事物的本质,这样一种认识规律。
对于抽象函数解答题,虽然不可用特殊模型代替求解,但可借助特殊模型理解题意;同时,对于有些对应的特殊模型不是学生熟悉的基本初等函数的抽象函数解答题,要启发学生通过适当变通去寻求特殊模型,从而得到抽象函数问题的求解方法。
其次,对于用常规解法难以解决的数学问题,若利用一些特殊的数学思想方法求解,有时会收到事半功倍的效果。
比如,抽象函数奇偶性的判断一般通过合理赋值,抽象函数单调性的判断一般用定义,解关于抽象函数的不等式,一般利用用单调性脱去f。
综上所述,虽然抽象函数问题比较抽象,但是通过利用特殊模型和特殊方法,我们可以更好地解决这类问题,培养学生的数学思维能力和创新思维。
3.已知函数$f(x)$对任意实数$x,y$恒有$f(x+y)=f(x)+f(y)$且当$x>0$时,$f(x)<0$。
已知$f(1)=-2$。
函数性质—抽象函数奇偶性、单调性综合解答题-解析版
函数性质—抽象函数奇偶性、单调性综合解答题参考答案与试题解析一.解答题(共 12 小题)1. 函数 f (x ) 对于任意的实数 x , y 都有 f (x + y ) = f (x ) + f ( y ) 成立,且当 x > 0 时 f (x ) < 0 恒成立. (1) 求 f (0) 的值,并证明函数 f (x ) 为奇函数;(2) 求证 f (x ) 在 R 上为减函数;(3) 若 f (1) = -2 且关于 x 的不等式 f (x 2 - x + k ) < 4 恒成立,求k 的取值范围.【解答】解:(1)令 x = y = 0 得 f (0) = 0 .令 y = -x 代入原式得 f (x - x ) = f (x ) + f (-x ) = f (0) = 0 , 所以 f (-x ) = - f (x ) ,故该函数是奇函数. (2)由已知得 f (x + y ) - f (x ) = f ( y ) = f [(x + y ) - x ] . 所以任取 x 2 > x 1 ,则f (x 2 - x 1 ) = f (x 2 ) + f (-x 1 ) = f (x 2 ) - f (x 1 ) ,因为 x 2 - x 1 > 0 且当 x > 0 时 f (x ) < 0 ,所以 f (x 2 - x 1 ) < 0 ,即 f (x 2 ) - f (x 1 ) < 0 ,所以 f (x 2 ) < f (x 1 ) ,故该函数在 R 上是减函数.(3)因为 f (1) = -2 ,所以 f (-1) = - f (1) = 2 ,所以 f (-2) = 2 f (-1) = 4 . 所以原不等式可化为: f (x 2 - x + k ) < f (-2) . 结合(2)知,函数 f (x ) 在 R 上是增函数.所以 x 2 - x + k > -2 恒成立.即 k > -x 2 + x - 2 = -(x - 1)2 + 9恒成立.24 所以只需k > 9即可.42. 已知函数 f (x ) 对一切 x , y ∈ R ,都有 f (x + y ) = f (x ) + f ( y ) ,当 x > 0 ,有 f (x ) < 0 .(1)求: f (0) = 0 ;(2)证明:函数 f (x ) 为奇函数;(3)若 f (1) = -2 ,求 f (x ) 在[-3 , 3] 上的最值;(4) 若对任意t ∈ R ,不等式 f (t 2 - 2t ) + f (2t 2 - k ) < 0 恒成立,求k 的取值范围.【解答】解:(1)令 x = y = 0 ,可得 f (0) = f (0) + f (0) , ∴ f (0) = 0 .(2)证明:令 y = -x 可得: f (0) = f (x ) + f (-x ) ,∴ f (-x ) + f (x ) = 0 , 又 f (x ) 的定义域为 R , ∴ f (x ) 是奇函数.(3)设 x 1 , x 2 是 R 上任意两个数,且 x 1 < x 2 ,则 x 2 - x 1 > 0 ,∴ f (x 2 - x 1) < 0 ,∴ f (x 2 ) - f (x 1 ) = f (x 2 ) + f (-x 1 ) = f (x 2 - x 1 ) < 0 ,∴ f (x ) 在 R 上是减函数,(1) = -2 ,∴ f (2) = 2 f (1) = -4 , ∴ f (3) = f (1) + f (2) = -6 . ∴ f (-3) = 6 .∴ f (x ) 在[-3 , 3] 上的最小值是 f (3) = -6 ,最大值是 f (-3) = 6 .(4)由 f (t 2 - 2t ) + f (2t 2 - k ) < 0 得: f (t 2 - 2t ) < - f (2t 2 - k ) = f (k - 2t 2 ) ,∴t 2 - 2t > k - 2t 2 , 即 k < 3t 2 - 2t .= 3(t - 1)2- 1- 1 ,∴ k < - 1.33 3 3 3.已知 f (x ) 是定义在[-1 ,1] 上的奇函数,且 f (1) = 3 ,若a , b ∈[-1 ,1] , a + b ≠ 0 时,有 f (a ) + f (b ) > 0 成a + b立.(1) 判断 f (x ) 在[-1 ,1] 上的单调性,并证明; (2) 解不等式: f (x + 1) < f (21) ;x - 1(3) 若当a ∈[-1 ,1] 时, f (x ) m 2 - 2am + 3 对所有的 x ∈[-1,1] 恒成立,求实数m 的取值范围.【解答】解:(1)任取 x 1 , x 2 ∈[-1,1] ,且 x 1 < x 2 ,则-x 2 ∈[-1,1] ,f (x ) 为奇函数,∴ f (x ) - f (x ) = f (x ) + f (-x ) = f (x 1 ) + f (-x 2 ) (x- x ) , 1212x - x 1 2由已知得 f (x 1 ) + f (-x 2 ) > 0 , x - x 1 2< 0 ,∴ f (x ) - f (x ) < 0 ,即 f (x ) < f (x ) .x - x1 21 2 1 2 1 2∴ f (x ) 在[-1 ,1] 上单调递增.f 3t 2- 2tf ⎨ 22 ⎪ ⎧x + 1 < 1 ⎪x -1 (2) f (x ) 在[-1 ,1] 上单调递增,∴ ⎪-1 ⎪ ⎪-1 ⎩x + 1 2 1 x - 1 1 ,解得-3 1 x < -1, ∴不等式的解集为{x | - 3 2x < -1} .(3) (1) = 3 , f (x ) 在[-1 ,1] 上单调递增,∴在[-1 ,1] 上, f (x ) 3 ,即m 2 - 2am + 3 3 ,∴m 2 - 2am 0 对 a ∈[-1 ,1] 恒成立,求m 的取值范围.设 g (a ) = -2m a + m 2 0 ,①若m = 0 ,则 g (a ) = 0 0 ,自然对a ∈[-1 ,1] 恒成立.②若m ≠ 0 ,则 g (a )为a 的一次函数,若 g (a ) 0 对 a ∈[-1 ,1] 恒成立, 则必须 g (-1) 0 ,且 g (1) 0 ,∴ m ∴ m 的取值范围是m = 0 或 m - 2 或m - 2 或m 2 .2 或 m = 0 . 4. 已知定义在 R 上的函数 f (x ) 对任意 x , y ∈ R ,总有 f (x ) + f ( y ) = f (x + y ) +1 ,且当 x > 0 时, f (x ) > 1 .( I ) 若令h (x ) = f (x ) -1 ,证明:函数h (x ) 为奇函数; ( II ) 证明:函数 f (x ) 在 R 上是增函数;( III ) 解关于 x 的不等式 f (x 2 ) - f (3tx ) + f (2t 2 + 2t - x ) < 1 .其中t ∈ R .【解答】解: ( I ) 证明:令 x = y = 0 ,则 f (0) = 1 令 y = -x ,即 f (x ) + f (-x ) = f (0) +1 ,即 f (x ) + f (-x ) = 2 所以: f (-x ) -1 = - f (x ) + 1,即h (-x ) = -h (x )故函数h (x ) 为奇函数; (3 分)( II ) 证明:设任意 x 1 , x 2 ∈ R 且 x 1 > x 2则 f (x 1 ) - f (x 2 ) = f (x 1 ) + f (-x 2 ) - 2 = f (x 1 - x 2 ) +1 - 2 = f (x 1 - x 2 ) -1因为: x 1 > x 2 所以 x 1 - x 2 > 0 ,故 f (x 1 - x 2 ) > 1所以 f (x 1 ) > f (x 2 ) ,故函数 f (x ) 在 R 上是增函数; (7 分)( III ) 因为 f (x 2 ) - f (3tx ) + f (2t 2 + 2t - x ) < 1所以 f (x 2 ) + f (2t 2 + 2t - x ) < f (3tx ) +1即 f (x 2 + 2t 2 + 2t - x ) +1 < f (3tx ) +1即 f (x 2 + 2t 2 + 2t - x ) < f (3tx )又因为函数 f (x ) 在 R上是增函数所以 x 2 + 2t 2 + 2t - x < 3tx即: x 2 - (3t + 1)t + 2t 2 + 2t < 0即: (x - 2t )(x - t -1) < 0 ⅰ ) 当t = 1 时,原不等式无解;ⅱ ) 当t > 1 时,原不等式的解集{x | t + 1 < x < 2t }ⅲ ) 当t < 1 时,原不等式的解集{x | 2t < x < t + 1}⋯ (12 分)5. 已知函数 f (x ) 为奇函数,且当 x 0 时, f (x ) = (x -1)2 - 3x + a .(1) 求a 的值,并求 f (x ) 在(-∞, 0) 上的解析式;(2) 若函数 g (x ) = f (x ) + kx 在[-3 , -1] 上单调递减,求k 的取值范围.【解答】解:(1) f (x ) 为奇函数,∴ f (0) = 0 ,即1 + a = 0 ,∴ a = -1 ,令 x < 0 ,则-x > 0 ,∴ f (-x ) = (-x -1)2 + 3x -1 = (x + 1)2 + 3x -1 = - f (x ) ,∴ f (x ) = -(x + 1)2 - 3x + 1 ,故 f (x ) 在(-∞, 0) 上的解析式为 f (x ) = -(x + 1)2 - 3x + 1.(2) g (x ) = f (x ) + kx = -(x +1)2 - 3x +1 + kx = -x 2 + (k - 5)x ,开口向下,对称轴为 x = k - 5 ,2g (x ) 在[-3 , -1] 上单调递减,∴ k - 52- 3 ,解得k -1. 故 k 的取值范围为(-∞ , -1] .6. 设函数 f (x ) 是实数集 R 上的单调增函数,令 F (x ) = f (x ) - f (2 - x ) . (1) 求证: F (x ) 在 R 上是单调增函数;(2)若 F (x 1 ) + F (x 2 ) > 0 ,求证: x 1 + x 2 > 2 .【解答】解:(1)任取 x 1 , x 2 ∈ R ,且 x 1 < x 2 ,则 F (x 1 ) - F (x 2 ) = [ f (x 1 ) - f (2 - x 1 )] -[ f (x 2 ) - f (2 - x 2 )] = [ f (x 1 ) - f (x 2 )] +[ f (2 - x 2 ) - f (2 - x 1 )] ;f (x ) 是实数集 R 上的增函数,且 x 1 < x 2 ,则 f (x 1 ) - f (x 2 ) < 0 , 由 x 1 < x 2 ,得-x 1 > -x 2 ,∴2 - x 1 > 2 - x 2 ,∴f (2 -x1) >f (2 -x2 ) ,5f ∴ f (2 - x 2 ) - f (2 - x 1) < 0 ,∴[ f (x 1 ) - f (x 2 )] +[ f (2 - x 2 ) - f (2 - x 1 )] < 0 ;即 F (x 1) < F (x 2 ) ;∴ F (x ) 是 R 上的增函数.(2) 证明: F (x 1 ) + F (x 2 ) > 0 ,∴ F (x 1) > -F (x 2 ) > 0 ;由 F (x ) = f (x ) - f (2 - x ) 知,-F (x 2 ) = -[ f (x 2 ) - f (2 - x 2 )] = f (2 - x 2 ) - f (x 2 ) = f (2 - x 2 ) - f [2 - (2 - x 2 )] = F (2 - x 2 ) ,∴ F (x 1) > F (2 - x 2 ) ;又 F (x ) 是实数集 R 上的增函数, 所以 x 1 + > 2 - x 2 ., 即 x 1 + x 2 > 2 .7. 已知函数 y = f (x ) 对任意的实数ab 都有: f (a + b ) = f (a ) + f (b ) -1 ,且 x > 0 时, f (x ) > 1 ,(1)求证: f (x ) 是 R 上的增函数;(2)若 f (4) = 5 ,求 f (2)的值,并解不等式 f (3m 2 - m - 2) < 3 .【解答】解:(1)证明: f (a + b ) = f (a ) + f (b ) -1 ,且 x > 0 时, f (x ) > 1 ,设 x 1 < x 2 ,则 x 2 - x 1 > 0 , f (x 2 - x 1 ) > 1 ,∴ f (x 2 ) - f (x 1 ) = f [(x 2 - x 1 ) + x 1 ] - f (x 1 ) = f (x 2 - x 1 ) + f (x 1 ) -1 - f (x 1 ) = f (x 2 - x 1 ) -1 > 1 -1 = 0 ,∴ f (x ) 是 R 上的增函数;(2) (4) = f (2 + 2) = f (2) + f (2) -1 = 5 , ∴ f (2) = 3 .∴ f (3m 2 - m - 2) < 3 = f (2),又 f (x ) 是 R 上的增函数;∴3m 2 - m - 2 < 2 ,∴-1 < m < 43∴不等式 f (3m 2 - m - 2) < 3 的解集为:{m | -1 < m < 4} .38. 已知定义域为 R 的函数 f (x ) 对任意的实数a , b 均有 f (a + b ) = f (a )(b ),且当 x < 0 时, f (x ) > 1 .(1) 求 f (0) 的值;(2) 求证:对任意的 x ∈ R 都有 f (x ) > 0 ;ff f (3) 求证: f (x ) 在 R 上为减函数;(4)当 f (4) = 1 16 时,解不等式 f (x - 3) < 1.4【解答】(1)解:由于 f (a + b ) = f (a ) (b ),则 f (0) = f 2 (0) ,即有 f (0) = 0 或 1.若 f (0) = 0 ,则令a = x , b = 0 ,有 f (x ) = 0 不成立, 故 f (0) = 1.(2)证明:由于 f (a + b ) = f (a ) (b ),可令a = b = x,则 f (x ) = f 2 ( x) 0 ,由当 x < 0 时, f (x ) > 1 ,22则 f (x ) ≠ 0 ,故有对任意的 x ∈ R 都有 f (x ) > 0 ;(3)证明:设 x 1 > x 2 ,则 x 2 - x 1 < 0 ,当 x < 0 时, f (x ) > 1 恒成立,则 f (x 2 - x 1 ) > 1 ,∴ f (x 1 ) + f (x 2 - x 1 ) = f (x 2 ) > f (x 1 ) ,∴函数 y = f (x ) 是 R 上的减函数;(4)解:当 f (4) = 1 16即有 f (2) = 1,4时,则有 f (4) = f 2 (2),不等式 f (x - 3) < 1,即为 f (2 + x - x 2 ) < f (2), 4由于函数 y = f (x ) 是 R 上的减函数, 则 2 + x - x 2 > 2 ,解得0 < x < 1. 即有解集为(0,1) .9. 已知 f (x ) 对任意实数a , b 都有 f (a + b ) = f (a ) + f (b ) -2 且当 x > 2 时,有 f (x ) > 2 . (1) 求证: f (x ) 在 R 上为增函数;(2) 若 f (1) = 2 ,求满足不等式 f (3t - 2) + f (t - t 2 ) < 4 的实数t 的取值范围.【解答】(1)证明:任取 x 1 , x 2 ∈ R 且 x 1 < x 2 , 则 x 2 - x 1 > 0 , f (x 2 - x 1 ) > 2 .f (a + b ) = f (a ) + f (b ) -2 ,∴ f (x 2 ) = f [(x 2 - x 1 ) + x 1 ] = f (x 2 - x 1 ) + f (x 1 ) - 2 > 2 + f (x 1 ) - 2 = f (x 1 ) ,∴ f (x 2 ) > f (x 1) ,∴ f (x ) 在 R 上为增函数.f (5 - x 2 ) f (5 - x 2 )1 x (2)解: f (3 - 2) + f (t - t2 ) < 4 ,即 f (3t - 2) + f (t - t 2 ) - 2 < 2 ,∴ f (3t - 2 + t - t 2 ) < 2 .(1) = 2 ,∴ f (4t - 2 - t 2 ) < f (1),又 f (x ) 在 R 上为增函数, ∴4t - 2 - t 2 < 1, 即t 2 - 4t + 3 > 0 解得t > 3 或t < 1故实数t 的取值范围为(-∞ ,1) ⋃(3 , +∞) .10. 已知函数 f (x ) 的定义域为(0, +∞) ,当 x > 1 时, f (x ) > 0 且 f (xy ) = f (x ) + f ( y )(1)求 f (1),并求证: f ( 1) =- f (x )x(2) 证明 f (x ) 在定义域上是增函数.(3) 如果 f (1) = -1求满足不等式 f ( 31 x - 2) 2 的 x 的取值范围.【解答】解:(1) f (xy ) = f (x ) + f ( y ) 令 x = y = 1 ,则 f (1) = f (1) + f (1) 解得 f (1) = 0令 y = 1 ,则 f (x 1) = f (x ) + f ( ) = f (1) = 0xx x故 1f ( ) =- f (x )x(2)设0 < x < x ,则 x 2 > 1 ,则 f ( x2 ) > 0 ,1 211 则令 x = x , y = x2 ,1则 f (x ) = f (x x 1 x 2 ) = f (x ) + x 2> f (x )2 1 x f ( ) 1 x11 1故 f (x ) 在定义域上是增函数 1f ( ) 3 = -1 ,∴ f (3) = 1, f (9) = f (3) + f (3) = 2 又 f (x ) 在定义域上是增函数, 故不等式 f (即1x - 21x - 2 ) 2 可化为 f ( (9) f 1 ) f x - 29 (3) xf (x + y ) = f (x ) f ( y ) ,解得2 < x即满足条件的 x 的取值范围为(2 , 19]911. 已知函数 y = f (x ) 满足对任意实数 x , y 有 f (x + y ) = f (x ) (1)求 f (0) 的值;(2)求证: x < 0 , f (x ) > 1 ; (3)讨论函数 y = f (x ) 的单调性;(4)解不等式 f (x 2 + x ) < f (3 - x ) .f ( y ) ,且当 x > 0 , 0 < f (x ) < 1 .【解答】解:(1)令 y = 0 ,可得 f (x + 0) = f (x ) (2)设 x < 0 ,则-x > 0 , 当 x > 0 , 0 < f (x ) < 1, ∴0 < f (-x ) < 1 ,f (x - x ) = f (x ) f (-x ) = 1,f (0) ,∴ f (0) = 1 ;∴ f (-x ) = 1 ,f (x )∴0 <1f (x )< 1 , ∴ f (x ) > 1 ;(3)在函数 f (x ) 定义域 R 上任取自变量 x 1 , x 2 且 x 1 < x 2 ,∴ x 2 - x 1 > 0 .∴ f (x 2 ) - f (x 1 ) = f [x 1 + (x 2 - x 1 )] - f (x 1 ) = f (x 1 ) f (x 2 - x 1 )] - f (x 1 ) = f (x 1 )[ f (x 2 - x 1 ) -1] . 当 x > 0 时,有0 < f (x ) < 1, ∴ f (x 2 - x 1) < 1.∴函数 f (x ) 定义域 R 上单调递减.(4) f (x 2 + x ) < f (3 - x ) ,∴ x 2 + x > 3 - x . ∴ x 2 + 2x - 3 > 0 ,∴ x < -3 或 x > 1 ,∴不等式的解集为: (-∞ , -3) ⋃(1, +∞) .12. 已知函数 f (x ) 定义域为[-1 ,1] ,若对于任意的 x ,y ∈[-1 ,1] ,都有 f (x + y ) = f (x ) + f ( y ) ,且x > 0 时,有 f (x ) > 0 .(Ⅰ)证明函数 f (x ) 是奇函数;19 9⎩ ⎩ (Ⅱ)讨论函数 f (x ) 在区间[-1 ,1] 上的单调性;(Ⅲ)设 f (1) = 1,若 f (x ) < m 2 - 2am + 1,对所有 x ∈[-1,1] , a ∈[-1 ,1] 恒成立,求实数m 的取值范围.【解答】证明:(Ⅰ)因为有 f (x + y ) = f (x ) + f ( y ) ,令 x = y = 0 ,得 f (0) = f (0) + f (0) ,所以 f (0) = 0 , 令 y = -x 可得: f (0) = f (x ) + f (-x ) = 0 , 所以 f (-x ) = - f (x ) , 所以 f (x ) 为奇函数.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f (x ) 是定义在[-1 ,1] 上的奇函数,由题意设-1 x 1 < x 2 1 ,则 f (x 2 ) - f (x 1 ) = f (x 2 ) + f (-x 1 ) = f (x 2 - x 1 )由题意 x > 0 时,有 f (x ) > 0 ,∴ f (x 2 ) > f (x 1 )∴ f (x ) 是在[-1 ,1] 上为单调递增函数;(Ⅲ)根据(Ⅰ)(Ⅱ)结论可得 f (x ) 在[-1 ,1] 上为单调递增函数,所以 f (x ) 在[-1 ,1] 上的最大值为 f (1) = 1,所以要使 f (x ) < m 2 - 2am + 1,对所有 x ∈[-1,1] , a ∈[-1 ,1] 恒成立, 只要m 2 - 2am + 1 > 1,即m 2 - 2am > 0 , 令 g (a ) = m 2 - 2am = -2am + m 2⎧g (-1) > 0由⎨g (1) > 0 ⎧2m + m 2 > 0 ,可得⎨-2m + m 2 > 0解得: m > 2 或m < -2故实数m 的取值范围是(-∞ , -2) ⋃(2 , +∞)。
抽象函数的奇偶性_单调性问题
练习:函数f(x)对任意 a, b R, 都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时,都有f(x)>1, 求证:f(x)是R上的增函数。
3.抽象函数奇偶性证明 例4:函数f(x)的定义域为全体实数,且f(Байду номын сангаас)不 恒等于0,若对任意实数a,b,都有 f(a+b)=f(a)+f(b).求证:f(x)为奇函数。
练习:函数f(x)的定义域为全体实数,且f(x)不恒 为0,若对任意实数a,b都有f(a+b)+f(ab)=2f(a)f(b). 求证:f(x)为偶函数。
(2)已知函数f(g(x))的定义域,求f(x)的定义域。 一般地,若函数f(g(x))的定义域为[a,b], 则函数f(x)的定义域就是函数g(x)在区间[a,b] 上的取值范围(即函数g(x)的值域)。
例2:已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],求 函数y=f(x)的定义域。
2. 抽象函数单调性的证明 例3:已知函数f(x)对任意 x, y R ,总有 f (x) f ( y) f (x y),且当x>0时,都有f(x)<0. 求证:f(x)是R上的减函数。
1. 抽象函数的定义域求法
(1)已知函数f(x)的定义域,求f(g(x))的定义域 一般地,若f(x)的定义域为[a,b],则f(g(x)) 的定义域是指满足不等式 a g ( x) b 的x的取 值范围,即不等式 a g ( x) b 的解集。 例1: 已知函数f(x)的定义域为[1,2],求函数 y=f(2x+1)的定义域。
专题抽象函数的单调性与奇偶性的证明
特殊模型抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=x nf(xy)=f(x)f(y) [或)y (f )x (f )yx (f =]指数函数 f(x)=a x(a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [)y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )yx (f -=或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=+ 余切函数 f(x)=cotx)y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-=+1.已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立,且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
证明:令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。
2.奇函数()f x 在定义域(-1,1)内递减,求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。
解:由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--,∵()f x 为函数,∴2(1)(1)f m f m -<-又∵()f x 在(-1,1)内递减,∴221111110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩3.如果()f x =2ax bx c ++(a>0)对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小解:对任意t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2ax bx c ++的对称轴 又∵其开口向上∴f (2)最小,f (1)=f (3)∵在[2,+∞)上,()f x 为增函数 ∴f (3)<f (4),∴f (2)<f (1)<f (4)4. 已知函数f (x )对任意实数x ,y ,均有f (x +y )=f (x )+f (y ),且当x >0时,f (x )>0,f (-1)=-2,求f (x )在区间[-2,1]上的值域。
函数专题:利用函数单调性与奇偶性解不等式的6种常见考法-【题型分类归纳】
函数专题:利用函数单调性与奇偶性解不等式的6种常见考法一、单调性定义的等价形式(1)函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x <,都有()()021<-x f x f ; ⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()02121>--x x x f x f ;⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()()[]02121>--x f x f x x ; ⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()02121>--x f x f x x .(2)函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x <,都有()()021>-x f x f ; ⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()02121<--x x x f x f ;⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()()[]02121<--x f x f x x ; ⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()02121<--x f x f x x .二、定义法判断函数奇偶性判断()f x -与()f x 的关系时,也可以使用如下结论:如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠,则函数()f x 为偶函数; 如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠,则函数()f x 为奇函数. 三、利用单调性、奇偶性解不等式原理 1、解()()<f m f n 型不等式(1)利用函数的单调性,去掉函数符号“f ”,将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解;(2)若不等式一边没有函数符号“f ”,而是常数(如()<f m a ),那么我们应该将常数转化带有函数符号“f ”的函数值再解。
专题07 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性(知识梳理)(新高考地区专用)(解析版)
专题07 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性(知识梳理)一、函数的单调性(一)函数的单调性和单调区间定义:1、增函数与减函数的定义:设函数)(x f y =的定义域为A ,区间A M ⊆,如果取区间M 中的任意两个值1x 、2x ,改变量012>-=∆x x x ,则当0)()(12>-=∆x f x f y 时,就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数;当0)()(12<-=∆x f x f y 时,就称函数)(x f y =在区间M 上是减函数。
2、函数的单调性与单调区间:如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M 称为单调区间)。
此时也说函数是这一区间上的单调函数。
在单调区间上,增函数的图像是上升的,减函数的图像是下降的。
[多选]例1-1.下列给定函数中,在区间)10(,上单调递减的函数是( )。
A 、x x f =)(B 、)1(log )(21+=x x g C 、|1|)(-=x x h D 、12)(+=x x w【答案】BC【解析】x x f =)(在)0[∞+,上是增函数,)1(log )(21+=x x g 在)1(∞+-,上是减函数,|1|)(-=x x h 在]1(,-∞上是减函数,12)(+=x x w 在R 上是增函数,则)(x g 和)(x h 在区间)10(,上单调递减的函数,选BC 。
(二)对函数单调性定义的理解1、函数的单调性是局部性质:从定义上看,函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质,即单调区间是定义域的子集,是函数的局部特征。
函数的单调性只在定义域内讨论,可以是整个定义域,也可以是定义域的某个子区间;如果一个函数在某个区间上是单调的,那么在这个区间的子区间上也是单调的。
但在某个区间上单调,在整个定义域上不一定单调。
如函数2x y =的定义域为R ,当)0[∞+∈,x 时是增函数,当]0(,-∞∈x 时是减函数。
抽象函数的性质-奇偶性、对称性、周期性、单调性课件-2024届高三数学一轮复习
∓()()
f(x±y)=
余弦函数f(x)=cos x
正切函数f(x)=tan x
常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型:
抽象函数f(x)具有的性质
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x+y)=f(x)+f(y)-b
f(xy)=f(x)f(y)
f(xy)= f(x)f(y)或者
g(x)=f′(x).若 f( -2x),g(2+x)均为偶函数,则(
A.f(0)=0
解析:法一
B.g(-)=0
C.f(-1)=f(4)
)
D.g(-1)=g(2)
不妨取 f(x)=1(x∈R),经验证满足题意,但 f(0)=1,所以选项 A 不正确.
因为 f( -2x)为偶函数,所以 f( -2x)=f( +2x), 所以 f( -2× )=f( +2× ),即 f(-1)=f(4),所以 C 正确;
()
f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y)
f(x±y)=f(x)f(y)∓g(x)g(y)
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
()±()
f(x±y)=
∓()()
正弦函数f(x)=sin x 余弦函数g(x)=cos x
余弦函数f(x)=cos x 正弦函数g(x)=sin x
f(2)=3f(2)=3,所以 f(2)=1.
因为 f(2)=f( × )=f( )+f( )=2f( ),所以 2f( )=1,
所以 f( )= .
答案:(1)
专题:抽象函数的单调性与奇偶性的证明
专题:抽象函数的单调性与奇偶性的证明抽象函数单调性与奇偶性特殊模型:正比例函数$f(x)=kx$($k≠0$)幂函数$f(x)=x^n$($n$为正整数)指数函数$f(x)=a^x$($a>0$且$a≠1$)对数函数$f(x)=\log_a x$($a>0$且$a≠1$)正、余弦函数$f(x)=\sin x$,$f(x)=\cos x$正切函数$f(x)=\tan x$余切函数$f(x)=\cot x$抽象函数:f(x+y)=f(x)+f(y)$f(xy)=f(x)f(y)$或$\frac{f(x)}{f(y)}$f(x+y)=f(x)f(y)$或$f(x-y)=\frac{f(x)}{f(y)}$f(xy)=f(x)+f(y)$或$f(x)=f(x)-f(y)$1.已知$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$,对一切实数$x$、$y$都成立,且$f(0)≠0$,求证$f(x)$为偶函数。
证明:令$x=0$,则已知等式变为$f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)$……①在①中令$y=0$则$2f(0)=2f(0)$,由$f(0)≠0$得$f(0)=1$f(y)+f(-y)=2f(y)$,即$f(-y)=f(y)$,故$f(x)$为偶函数。
2.奇函数$f(x)$在定义域$(-1,1)$内递减,求满足$f(1-m)+f(1+m)<0$的实数$m$的取值范围。
解:由$f(1-m)+f(1+m)<0$得$f(1-m)<-f(1+m)$。
f(x)$为函数,∴$f(1-m)<f(m-1)$because f(x)$在$(-1,1)$内递减,∴$-1<1-m<1$,$-1<m-1<1$,即$-1<m<1$又$f(1-m)>f(m-1)$,故$m<0$,所以$-1<m<0$3.如果$f(x)=ax^2+bx+c(a>0)$对任意的$t$有$f(2+t)=f(2-t)$,比较$f(1)$、$f(2)$、$f(4)$的大小。
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特殊模型抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k≠0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=x nf(xy)=f (x)f(y) [或)y (f )x (f )yx (f =]指数函数 f(x)=a x(a>0且a ≠1)f(x+y )=f(x )f(y)[)y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x )=lo ga x (a 〉0且a≠1)f(xy)=f(x )+f(y)[)]y (f )x (f )yx (f -=或正、余弦函数 f(x )=si nx f (x)=cosxf(x+T )=f(x )正切函数 f(x )=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=+ 余切函数 f(x)=co tx)y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-=+1。
已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立,且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
证明:令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵(0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。
2.奇函数()f x 在定义域(-1,1)内递减,求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。
解:由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--,∵()f x 为函数,∴2(1)(1)f m f m -<-又∵()f x 在(—1,1)内递减,∴221111110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩3。
如果()f x =2ax bx c ++(a 〉0)对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小解:对任意t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2ax bx c ++的对称轴 又∵其开口向上∴f (2)最小,f (1)=f (3)∵在[2,+∞)上,()f x 为增函数 ∴f (3)〈f (4),∴f (2)〈f (1)〈f (4)4。
已知函数f (x )对任意实数x,y ,均有f(x +y )=f (x )+f (y ),且当x >0时,f (x)>0,f (-1)=-2,求f (x )在区间[-2,1]上的值域。
分析:由题设可知,函数f (x )是的抽象函数,因此求函数f (x )的值域,关键在于研究它的单调性。
解:设,∵当,∴,∵,∴,即,∴f (x )为增函数.在条件中,令y =-x ,则,再令x =y=0,则f (0)=2 f (0),∴f (0)=0,故f(-x)=f (x ),f(x )为奇函数,∴f (1)=-f (-1)=2,又f (-2)=2 f (-1)=-4, ∴f(x )的值域为[-4,2]。
5. 已知函数f(x)对任意,满足条件f(x)+f(y)=2 + f(x+y),且当x>0时,f(x)>2,f(3)=5,求不等式的解.分析:由题设条件可猜测:f(x)是y=x+2的抽象函数,且f(x)为单调增函数,如果这一猜想正确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。
解:设,∵当,∴,则,即,∴f(x)为单调增函数。
∵,又∵f(3)=5,∴f(1)=3。
∴,∴, 即,解得不等式的解为-1 〈a〈3.6。
设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在,使得,对任何x和y,成立。
求:(1)f(0);(2)对任意值x,判断f(x)值的正负.分析:由题设可猜测f(x)是指数函数的抽象函数,从而猜想f(0)=1且f(x)>0.解:(1)令y=0代入,则,∴。
若f(x)=0,则对任意,有,这与题设矛盾,∴f(x)≠0,∴f(0)=1。
(2)令y=x≠0,则,又由(1)知f(x)≠0,∴f(2x)>0,即f(x)>0,故对任意x,f(x)>0恒成立.7.是否存在函数f(x),使下列三个条件:①f(x)>0,x∈N;②;③f(2)=4。
同时成立?若存在,求出f(x)的解析式,如不存在,说明理由。
分析:由题设可猜想存在,又由f(2)=4可得a=2.故猜测存在函数,用数学归纳法证明如下:(1)x=1时,∵,又∵x∈N时,f(x)>0,∴,结论正确。
(2)假设时有,则x=k+1时,,∴x=k+1时,结论正确。
综上所述,x为一切自然数时。
8。
设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足,求:ﻫ(1)f(1);(2)若f(x)+f(x-8)≤2,求x的取值范围.分析:由题设可猜测f(x)是对数函数的抽象函数,f(1)=0,f(9)=2.解:(1)∵,∴f(1)=0。
(2),从而有f(x)+f(x-8)≤f(9),即,∵f(x)是(0,+∞)上的增函数,故,解之得:8<x≤9。
9.设函数y=f(x)的反函数是y=g(x)。
如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(a+b)=g(a)·g(b)是否正确,试说明理由。
分析: 由题设条件可猜测y=f(x)是对数函数的抽象函数,又∵y=f(x)的反函数是y=g(x),∴y=g(x)必为指数函数的抽象函数,于是猜想g(a+b)=g(a)·g(b)正确。
解:设f(a)=m,f(b)=n,由于g(x)是f(x)的反函数,∴g(m)=a,g(n)=b,从而,∴g(m)·g(n)=g(m+n),以a、b分别代替上式中的m、n 即得g(a+b)=g(a)·g(b).10.己知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三条件:①当是定义域中的数时,有;②f(a)=-1(a>0,a是定义域中的一个数);③当0<x<2a时,f(x)<0。
试问:(1)f(x)的奇偶性如何?说明理由。
(2)在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?说明理由。
分析:由题设知f(x)是y=—cotx的抽象函数,从而由y=-cotx及题设条件猜想:f(x)是奇函数且在(0,4a)上是增函数(这里把a看成进行猜想).解:(1)∵f(x)的定义域关于原点对称,且是定义域中的数时有,∴在定义域中。
∵,∴f(x)是奇函数.(2)设0<x1<x2<2a,则0<x2-x1<2a,∵在(0,2a)上f(x)<0,∴f(x1),f(x2),f(x2-x1)均小于零,进而知中的,于是f(x1)<f(x2),∴在(0,2a)上f(x)是增函数。
又,∵f(a)=-1,∴,∴f(2a)=0,设2a<x<4a,则0<x-2a<2a,,于是f(x)>0,即在(2a,4a)上f(x)>0。
设2a<x1<x2<4a,则0<x2-x1<2a,从而知f(x1),f(x2)均大于零。
f(x2-x1)<0,∵,∴,即f(x1)<f(x2),即f(x)在(2a,4a)上也是增函数。
综上所述,f(x)在(0,4a)上是增函数。
11。
已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)·f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当时,. (1)判断f(x)的奇偶性;(2)判断f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明;(3)若,求a的取值范围。
分析:由题设可知f(x)是幂函数的抽象函数,从而可猜想f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数。
解:(1)令y=-1,则f(-x)=f(x)·f(-1),∵f(-1)=1,∴f(-x)=f(x),f(x)为偶函数.(2)设,∴,,∵时,,∴,∴f(x1)<f(x2),故f(x)在0,+∞)上是增函数。
(3)∵f(27)=9,又,∴,∴,∵,∴,∵,∴,又,故.12. 设f(x)定义于实数集上,当时,,且对于任意实数x、y,有,求证:在R上为增函数。
证明:在中取,得若,令,则,与矛盾所以,即有当时,;当时,而所以又当时,所以对任意,恒有设,则所以所以在R上为增函数。
13。
已知函数对任意不等于零的实数都有,试判断函数f(x)的奇偶性。
解:取得:,所以又取得:,所以再取则,即因为为非零函数,所以为偶函数。
14。
定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数m,n,总有,且当x〉0时,0〈f(x)〈1。
判断f(x)的单调性;解:在中,令,得,因为,所以。
在中,令因为当时,所以当时而所以又当x=0时,,所以,综上可知,对于任意,均有。
设,则所以所以在R上为减函数。
15。
设函数f(x )对任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x 〉0时f(x )<0,且f(1)= —2,求f (x)在[—3,3]上的最大值和最小值.解析:由单调性的定义步骤设x 1〈x2, 则f(x2)=f (x 2—x1+x 1)=f(x 2—x 1)+f (x 1)< f(x1). (∵x 2—x 1>0,∴f (x 2—x1)<0)所以f (x )是R 上的减函数, 故f (x)在[-3,3]上的最大值为f (3)=f(1)+f (2)=3f(1)=—6,最小值为f(—3),令x=y=0,得f(0)=0,令y=—x ,得f(-x )+f(x)=f(0)=0,即f(x )为奇函数.∴f(—3)=—f (3)=6。
16.设f (x )定义于实数集上,当x 〉0时,f(x)>1,且对于任意实数x、y,有f(x+y)=f(x)f(y),求证:f (x)在R上为增函数。
证明:设R 上x 1<x 2,则f (x 2—x 1)>1,f(x 2)=f (x 2—x1+x 1)=f (x2—x1)f (x 1),(注意此处不能直接得大于f (x 1),因为f(x1)的正负还没确定) 。
取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f(0)=0,令x>0,y=0,则f(x)=0与x>0时,f(x)〉1矛盾,所以f(0)=1,x >0时,f(x)〉1>0,x<0时,—x 〉0,f(-x)>1,∴由0)(1)(1)()()0(>-==-=x f x f x f x f f 得,故f (x )>0,从而f (x2)〉f(x 1)。
即f(x )在R 上是增函数。
17。
已知偶函数f (x )的定义域是x ≠0的一切实数,对定义域内的任意x 1,x2都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+,且当1x >时()0,(2)1f x f >=,(1)f (x )在(0,+∞)上是增函数; (2)解不等式2(21)2f x -<解: (1)设210x x >>,则221111()()()()x f x f x f x f x x -=⋅-221111()()()()x x f x f f x f x x =+-=∵210x x >>,∴211x x >,∴21()xf x 0>,即21()()0f x f x ->,∴21()()f x f x > ∴()f x 在(0,)+∞上是增函数(2)(2)1f =,∴(4)(2)(2)2f f f =+=,∵()f x 是偶函数∴不等式2(21)2f x -<可化为2(|21|)(4)f x f -<,又∵函数在(0,)+∞上是增函数,∴0≠2|21|4x -<,解得:{|x x x <<≠18.已知函数f (x )的定义域为R,且对m 、n∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )-1,且f (-21)=0,当x 〉-21时,f (x)>0。