抽象函数之——单调性、奇偶性与周期性

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抽象函数的单调性、奇偶性、周期性

抽象函数的单调性、奇偶性、周期性高考要求函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样特别是两性质的应用更加突出本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识一．重难点归纳函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。

如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

(2）三角函数的周期①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ；④||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ；(3)与周期有关的结论 ①y=f(x)对x ∈R 时，f(x +a)=f(x －a) 或f(x －2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； ②若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数；③若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为4︱a ︱的周期函数；④若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2b a -的周期函数；⑤y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2b a -的周期函数；⑥y=f(x)对x ∈R 时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= )(1x f -，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；二．例题例1已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xyy x ++1),试证明(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减命题意图本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力知识依托奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想错解分析本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得技巧与方法对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定21121x x x x --的范围是焦点证明 (1)由f (x )+f (y )=f (xyy x ++1),令x =y =0,得f (0)=0, 令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (21xx x --)=f (0)=0∴f (x )=－f (－x ) ∴f (x )为奇函数 (2)先证f (x )在(0，1)上单调递减令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)+f (－x 1)=f (21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴12121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0 ∴x 2－x 1<1－x 2x 1, ∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0，即f (x 2)<f (x 1)∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0 ∴f (x )在(－1，1)上为减函数例2设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1、x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),且f (1)=a >0(1)求f (21)、f (41);(2)证明f (x )是周期函数； (3)记a n =f (2n +n21),求).(ln lim n n a ∞→命题意图本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力知识依托认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f (x 1+x 2)＝ f (x 1)·f (x 2)找到问题的突破口错解分析不会利用f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)进行合理变形技巧与方法由f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)变形为()()()()2222x x x x f x f f f =+=⋅是解决问题的关键(1) 解因为对x 1,x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),所以f (x )=()()()02222x xx xf f f +=≥, x ∈［0,1］又因为f (1)=f (21+21)=f (21)·f (21)=［f (21)］2f (21)=f (41+41)=f (41)·f (41)=［f （41）］2又f (1)=a >0 ∴f (21)=a 21, f (41)=a 41(2)证明依题意设y =f (x )关于直线x =1对称，故f (x )=f (1+1－x ),即 f (x )=f (2－x ),x ∈R又由f (x )是偶函数知 f (－x )=f (x ),x ∈R∴f (－x )=f (2－x ),x ∈R将上式中－x 以x 代换得f (x )=f (x +2)，这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期(3)解由(1)知f (x )≥0,x ∈［0,1］∵f (21)=f (n ·n 21)=f (n 21+(n －1) n 21)=f (n 21)·f ((n －1)·n 21)=…… =f (n 21)·f (n 21)·……·f (n 21) =［f (n 21)］n=a 21∴f (n21)=a n 21又∵f (x )的一个周期是2∴f (2n +n 21)=f (n21), ∴a n =f (2n +n 21)=f (n21)=a n 21因此a n =a n 21∴.0)ln 21(lim )(ln lim ==∞→∞→a na n n n三．练习1 下列函数中的奇函数是( )A f (x )=(x －1)xx -+11 B f (x )=2|2|)1lg(22---x xC f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+)0()0(22x x x x x x D f (x )=x x x x sin cos 1cos sin 1++-+2.（重庆卷6)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1,x 2∈R 有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1,,则下列说法一定正确的是（ C ）(A)f (x )为奇函数（B ）f (x )为偶函数(C) f (x )+1为奇函数（D ）f (x )+1为偶函数3 函数f (x )=111122+++-++x x x x 的图象( )A 关于x 轴对称B 关于y 轴对称C 关于原点对称D 关于直线x =1对称 4 函数f (x )在R 上为增函数，则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是____ 5 若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0<x 1<x 2), 且在［x 2,+∞)上单调递增，则b 的取值范围是_________6．设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足(i)f (x 1－x 2)=)()(1)()(1221x f x f x f x f -+⋅；(ii)存在正常数a 使f (a )=1 求证 (1)f (x )是奇函数 (2)f (x )是周期函数，且有一个周期是4a参考答案:1 解析 f (－x )=2222(0)() (0) (0)() (0)x x x x x x x x x x x x ⎧⎧->-+<⎪⎪=⎨⎨--<--+>⎪⎪⎩⎩ =－f (x )，故f (x )为奇函数答案 C 3 解析 f (－x )=－f (x ),f (x )是奇函数，图象关于原点对称答案 C4 解析令t =|x +1|,则t 在(－∞,－1]上递减，又y =f (x )在R 上单调递增，∴y =f (|x +1|)在(－∞,－1]上递减答案 (－∞,－1] 5 解析 ∵f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (0)=d =0 f (x )=ax (x －x 1)(x －x 2)=ax 3－a (x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x ， ∴b =－a (x 1+x 2),又f (x )在［x 2,+∞)单调递增，故a >0 又知0＜x 1＜x ,得x 1+x 2>0, ∴b =－a (x 1+x 2)＜0 答案 (－∞,0） 6 证明 (1）不妨令x =x 1－x 2,则f (－x )=f (x 2－x 1)=)()(1)()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+=－f (x 1－x 2)=－f (x )∴f (x )是奇函数(2）要证f (x +4a )=f (x ),可先计算f (x +a ),f (x +2a ) ∵f (x +a )=f ［x -(-a )］=)1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f).(111)(1)(11)(1)(1)(1)(])[()2(x f x f x f x f x f a x f a x f a a x f a x f -=++--+-=++-+=++=+∴∴f (x +4a )=f ［(x +2a )+2a ］=)2(1a x f +-=f (x ), 故f (x )是以4a 为周期的周期函数四．易错题1、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)函数f(x)在定义域R 上不是常数函数，且f(x)满足条件，对任意x ∈R ，都有f(4+x)= f(4-x),f(x+1)=f(x-1),则f(x)是（） A 、奇函数但非偶函数 B 、偶函数但非奇函数 C 、奇函数又是偶函数 D 、非奇非偶函数 2、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)函数)(x f y =与)(x g y =有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x ，有f(x)＋f(－x)＝0,g(x)g(－x)＝1，且x ≠0,g(x)≠1，则)(1)()(2)(x f x g x f x F +-=（） A ．是奇函数但不是偶函数 B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数答案：B3、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知函数f (x )满足：f (p +q )= f (p ) f (q )，f (1)= 3，则)1()2()1(2f f f ++)3()4()2(2f f f ++)5()6()3(2f f f ++)7()8()4(2f f f ++)9() 10 ()5(2f ff+的值为A.15B.30C.75D.60答案：B4、(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x）+f（x+1）=4，当x∈[-3,-2]时，f（x）=4x+12，则f（112.5）的值为A．2 B．3 C．4 D．5答案：A5、(山东省博兴二中高三第三次月考)若奇函数()()f x x R∈满足()()()()22,22f f x f x f=+=+，则()5f的值是A．0 B．1 C．52D．5答案：D6、(广东省五校2008年高三上期末联考)定义在R上的函数()f x的图象关于点3(,0)4-成中心对称，对任意的实数x都有3()()2f x f x=-+，且(1)1,f-=(0)2f=-，则(1)(2)(3)(20f f f f+++鬃?的值为A．2-B．1-C．0 D．1答案：D．解析：本题考查了函数的对称性和周期性．由3()()2f x f x=-+，得(3)()f x f x+=，因此，()f x是周期函数，并且周期是３函数()f x的图象关于点3(,0)4-成中心对称, 因此，()f x=-3()2f x--，所以，(1)1f=(1)(2)(3)0f f f++=，(1)(2)(3)(2008)f f f f+++鬃?＝(1)f7、(黑龙江省哈尔滨三中2008年高三上期末)已知)(xf是偶函数，)(,xfRx若将∈的图像向右平移一个单位又得到一个奇函数，)2008()10()9()8(,1)2(fffff++++-=则等于（）A．－1004 B．1004 C．－1 D．1答案：D8、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知函数)(xfy=的定义域为R，它的反函数为)(1xfy-=，如果)(1axfy+=-与)(axfy+=互为反函数且aaf=)(（a为非零常数），则)2(af的值为（）A．a-B．0 C．a D．a2答案：B9、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)定义在R上的函数y＝f（x）满足：f（－x）＝－f（x），f（1＋x）＝f（1－x），当x∈[－1,1]时，f（x）＝x3，则f（2 007）的值是（）(A)－1 (B)0 (C)1 (D)2答案：A 10、(福建省师大附中2008年高三上期期末考试)定义在R 上的函数()f x满足()(4)f x f x-=-+，当2x>时，()f x单调递增，如果1212124(2)(2)0,()()x x x x f x f x+<--<+且则的值（）A．恒小于0 B．恒大于0C．可能为0 D．可正可负答案：A11、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知)(xf是定义在R上的函数，且)2()(+=xfxf恒成立，当)0,2(-∈x时，2)(xxf=，则当[]3,2∈x时，函数)(xf的解析式为（）A．42-x B．42+x C．2)4(+x D．2)4(-x答案：D12、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)定义在R上的奇函数)(xf满足)3()3(xfxf-=+，若当x ∈(0，3)时，xxf2)(=，则当x∈(- 6，-3)时，)(xf=( ) A.62+x B.-62+x C.62-x D.-62-x答案：B13、(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)设定义在R 上的函数f(x)的反函数为f－1(x)，且对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝3，则f－1(x－1)＋f－1(4－x)等于（）A．0 B．—2 C．2 D．2x—4答案：A14、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)设函数f (x)是定义在Ｒ上的以5为周期的奇函数，若f(2)>１，f (2008)=33-+aa，则a的取值范围是（）A. (－∞, 0)B. (0, 3)C. (0, +∞)D. (－∞, 0)∪(3, +∞) 答案：B15、(山东省济南市2008年2月高三统考)已知()f x是以2为周期的偶函数，当[0,1]x∈时，()f x x=，那么在区间[1,3]-内，关于x的方程()1f x kx k=++（其中k是为不等于l的实数）有四个不同的实根，则k的取值范围是A．(1,0)-B．1(,0)2-C．1(,0)3-D．1(,0)4-答案：C16、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)函数()f x的定义域为R，对任意实数x满足(1)(3)f x f x-=-，且(1)f x-＝(3)f x-，当12x≤≤时，()f x＝2x，则()f x的单调减区间是（）A.[2k，2k+1](k Z∈) B.[2k-1，2k](k Z∈)C.[2k，2k+2] (k Z∈) D.[2k-2，2k](k Z∈)答案：A17、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)已知定义域为R 的函数()x f 在区间()∞+，4上为减函数，且函数 ()4+=x f y 为偶函数，则（）A ．()()32f f >B ．()()52f f >C ．()()53f f >D ．()()63f f > 答案：D18、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)若函数)(x f 满足：“对于区间（1，2）上的任意实数)(,2121x x x x ≠，||||)()(1212x x x f x f -<-恒成立，”则称)(x f 为完美函数.在下列四个函数中，完美函数是 A ．xx f 1)(=B ．||)(x x f =C ．x x f 2)(=D ．2)(x x f =答案：A。

最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。

把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。

[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。

分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。

抽象函数单调性、奇偶性、周期性和对称性典例分析

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性一、典例分析1.求函数值例 1.设是上的奇函数，当时，，则等于（）（A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5.例2．已知是定义在实数集上的函数，且，求的值.。

2、比较函数值大小例 3.若是以2为周期的偶函数，当时，试比较、、的大小.3、求函数解析式例4.设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.例5．设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.4、判断函数奇偶性例6.已知的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性.5、确定函数图象与轴交点的个数例7.设函数对任意实数满足，判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.6、在数列中的应用例8.在数列中，，求数列的通项公式，并计算7、在二项式中的应用例9.今天是星期三，试求今天后的第天是星期几？8、复数中的应用例10.（上海市1994年高考题）设，则满足等式且大于1的正整数中最小的是（A） 3 ；（B）4 ；（C）6 ；（D）7.9、解“立几”题例11.ABCD—是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。

白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是（A）1；（B）；（C）；（D）0.例题与应用例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007) 的值例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值。

例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)=－2x+1，则当时求f(x)的解析式例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=，f(999+x)=f(999－x)，试判断函数f(x)的奇偶性.例5：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)是减函数，求证当时f(x)为增函数例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a的值.例7：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0，求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？例8、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（）A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称例9、设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。

函数单调性、奇偶性、周期性

函数单调性、奇偶性、周期性◆知识点梳理（一）函数的奇偶性：1、定义域关于原点对称奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；2、)(x f 是奇函数⇔)()(x f x f -=-⇔)(x f 图像关于原点对称；3、)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇔⇔)(x f 图像关于y 轴对称；4、一些判断奇偶性的规律: ①奇±奇=奇，偶±偶=偶②奇×/÷奇=偶，奇×/÷偶=奇，偶×/÷偶=偶（二）函数的单调性方法：①导数法； ②规律判断法；③图像法。

1、单调性的定义：)(x f 在区间M 上是增（减）函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时)0(0)()(21><-x f x f2、采用单调性的定义判定法应注意：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断正负； 3、对于已知单调区间求参数围，一般有以下两种方法： ①转化为恒成立问题，接着用求最值的视角去解决；②先求出该函数的完整单调区间，根据此区间比已知单调区间大去求解。

4、一些判断单调性的规律: ①减 + 减 =减，增 + 增 = 增；②1()()()f x f x f x -与、的单调性相反；（三）复合函数单调性的判定：定义域优先考虑1、首先将原函数)]([x g f y =分解为基本初等函数：)(x g u =与)(u f y =；2、分别研究两个函数在各自定义域的单调性；3、根据“同增异减”来判断原函数在其定义域的单调性。

（四）函数的周期性1、周期性的定义：若有)()(x f T x f =+，则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。

如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

2、三角函数的周期①π==T x y :tan ，||:tan ωπω==T x y ②||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y 3、与周期有关的结论：①)()(a x f a x f -=+或(2)()f x a f x +=⇒)(x f 的周期为a 2； ②)()(x f a x f -=+⇒)(x f 的周期为a 2；③1()()f x a f x +=⇒)(x f 的周期为a 2；◆考点剖析（一）考查一般函数的奇偶性例1、设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值围是 .变式1、若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2变式2、函数1()f x x x=-的图像关于（）A ．y 轴对称B ．直线x y -=对称C ．坐标原点对称D ．直线x y =对称（二）考查函数奇偶性的判别例2、判断下下列函数的奇偶性（1）22(1),0()(1),0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩ （2）24()|3|3x f x x -=--变式3、已知函数0()(2≠+=x xax x f ，常数)a ∈R ．（1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；变式4、判断下下列函数的奇偶性（1）21()log 1x f x x -=+ （2）1,0()1,0x x f x x x ->⎧=⎨--≤⎩（三）考查抽象函数的奇偶性例3、已知函数f(x),当x,y ∈R 时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).求证：f(x)是奇函数；变式5A 、若定义在R 上的函数f(x)满足：对任意12,x x ∈R 有1212()()()1f x x f x f x +=++，则下列说法一定正确的是( )(A)f(x)为奇函数（B ）f(x)为偶函数 (C) f(x)+1为奇函数（D ）f(x)+1为偶函数变式5B 、已知函数()f x ，当,x y R ∈时，恒有()()()f x y xf y yf x +=+，求证()f x 是偶函数。

微专题抽象函数与奇偶性、周期性、对称性等综合问题

微专题抽象函数与奇偶性、周期性、对称性等综合问题抽象函数是高中数学的难点，也是近几年考试的热点和重点，尤其函数奇偶性、周期性、对称性结合的题目往往使考生无从下手，本文从多方面例举其应用．考向1 抽象函数的单调性【例1】（2019秋•静宁县校级期末）已知偶函数()f x 在区间(-∞，0]单调递减，则满足(21)()f x f x -的x 取值范围是( )A ．[1，)+∞B ．(-∞，1]C ．(-∞，1][13，)+∞D ．1[3，1]解：根据题意，偶函数()f x 在区间(-∞，0]单调递减，则()f x 在[0，)+∞上为增函数，则22(21)()(|21|)(||)|21|||(21)f x f x f x f x x x x x -⇒-⇒-⇒-，解可得：113x ，即x 取值范围是1[3，1]；故选：D ．【例2】（2019秋•武汉期末）若146()7a -=，157()6b =，27log 8c =，定义在R 上的奇函数()f x 满足：对任意的1x ，2[0x ∈，)+∞且12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-，则f （a ），f （b ），f （c ）的大小顺序为( ) A ．f （b ）f <（a ）f <（c ） B ．f （c ）f >（b ）f >（a ） C ．f （c ）f >（a ）f >（b ）D ．f （b ）f >（c ）f >（a ）解：根据题意，函数()f x 满足：对任意的1x ，2[0x ∈，)+∞且12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-，则()f x 在[0，)+∞上为减函数，又由()f x 为定义在R 上的奇函数，则函数()f x 在(-∞，0]上为减函数，则函数()f x 在R 上为减函数，27log 08c =<，14467()()76a -==，而157()6b =，则0a b >>，故f （c ）f >（b ）f >（a ）．故选：B ．【变式训练】（2020•南开区模拟）已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(2)y f x =+为偶函数，且()f x 对任意1x ，2[2x ∈，12)()x x +∞≠，都有2121()()0f x f x x x -<-，若f （a ）(31)f a +，则实数a 的取值范围是()A ．13[,]24-B ．[2-，1]-C ．1(,]2-∞-D ．3(,)4+∞【解答】解：根据题意，函数(2)y f x =+为偶函数，则函数()f x 的图象关于2x =对称，()f x 对任意1x ，2[2x ∈，12)()x x +∞≠，都有2121()()0f x f x x x -<-，则函数()f x 在[2，)+∞上为减函数，则f （a ）(31)|2||312|f a a a +⇔-+-，即|2||31|a a --，解可得：1324a-，即a 的取值范围为1[2-，3]4．故选：A ．考向2 抽象函数的周期性【例3】（2020•汉中一模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，33()()22f x f x +=-，且3(,0)2x ∈-时，2()log (31)f x x =-+，则(2020)(f = )A ．4B ．2log 7C ．2D ．2-解：根据题意，()f x 满足33()()22f x f x +=-，即(3)()f x f x +=，函数()f x 是周期为3的周期函数，则(2020)(12019)f f f =+=（1），又由()f x 为奇函数，则f （1）2(1)log (31)2f =--=-+=-，故选：D ．【例4】（2020春•天心区校级月考）已知函数()f x 对x R ∀∈满足(2)()f x f x +=-，(1)()(2)f x f x f x +=+，且()0f x >，若f （1）4=，则(2019)(2020)(f f += ) A ．34B ．2C ．52D ．4解：根据题意，(1)()(2)f x f x f x +=+，则有(2)(1)(3)f x f x f x +=++，变形可得(2)()(2)(3)f x f x f x f x +=++，又由()0f x >，则有()(3)1f x f x +=，变形可得1(3)()f x f x +=，则有1(6)()(3)f x f x f x +==+，即函数()f x 是周期为6的周期函数；()(6)f x f x =+，即函数()f x 的周期为6，则有(2019)(33366)f f f =+⨯=（3），(2020)(43366)f f f =+⨯=（4），则(2019)(2020)f f f +=（3）f +（4），对于1(3)()f x f x +=，令1x =可得f （4）11(1)4f ==；对于(1)()(2)f x f x f x +=+和(2)()f x f x +=-，令0x =可得f （1）(0)f f =（2）4=且(0)f f =（2），()0f x >，则有(0)f f =（2）2=，则f （3）11(0)2f ==；故f （3）f +（4）113424=+=故选：A ．【变式训练】（2019秋•胶州市期末）已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，满足(1)(1)f x f x -=+，()()f x f x -=-，且()f x 在[0，1]上单调递增，若2(log 3)a f=，b f =，(2020)c f =，则( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<解：因为(1)(1)f x f x -=+，所以函数()f x 关于1x =对称，又因为()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数，所以(1)(1)(1)f x f x f x +=-=--，令1x x =-，则()(2)f x f x =--①令2x x =-，则(2)(4)f x f x -=--②，由①②得，()(4)f x f x =-，即函数()f x 的周期为4．又因为()f x 在[0，1]上单调递增，于是可以作出如图所示的函数图象，而2log 3(1,2)∈(3,4)，所以0a >，0b <，(2020)(5054)(0)0f f f =⨯==，所以0c =，因此b c a <<．故选：D ．考向3 抽象函数的零点问题【例5】（2019秋•水富市校级期末）若偶函数()()y f x x R =∈满足()(2)f x f x =-，且[1x ∈-，0]时，2()1f x x =-，函数(0)()1(0)lnx x g x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[5-，5]内的零点的个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解：因为()(2)f x f x =-以及函数为偶函数，所以函数()f x 是周期为2的函数．因为[1x ∈-，0]时，2()1f x x =-，所以作出它的图象，利用函数()f x 是周期为2的函数，如图，可作出()f x 在区间[5-，5]上的图象，再作出函数(0)()1(0)lnx x g x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩的图象，可得函数()()()h x f x g x =-在区间[5-，5]内的零点的个数为6个，故选：B ．【例6】（2019秋•珠海期末）若偶函数()f x 的图象关于32x =对称，当3[0,]2x ∈时，()f x x =，则函数20()()log ||g x f x x =-在[20-，20]上的零点个数是( )A ．18B ．26C ．28D ．30解：令20()log ||h x x =，则()h x 为偶函数且0x ≠，因为()f x 是偶函数，所以()g x 是偶函数且0x ≠，由20()()log ||0g x f x x =-=得20()log ||f x x =，当0x >时有20()log f x x =，因为偶函数()f x 的图象关于32x =对称，所以()()f x f x -=且()(3)f x f x =-，则(3)[3(3)]()()f x f x f x f x +=-+=-=，即()f x 是3T =的周期函数，32kx =，k Z ∈为()f x 的对称轴，又因为当3[0,]2x ∈时，()f x x =，所以(20)(211)(1)f f f f =-=-=（1）1(20)h ==当(0x ∈，20]，()f x ，()h x 在同一坐标系中的图象如下可知()f x 与()h x 在(0，20]上有13个交点，即()g x 在(0，20]上有13个零点，又因为()g x 是偶函数，所以()g x 在[20-，20]上共有26个零点．故选：B ．【变式训练】（2019秋•益阳期末）已知()f x 是在R 上的奇函数，满足()(2)f x f x =-，且[0x ∈，1]时，函数()21x f x =-，函数()()log (1)a g x f x x a =->恰有3个零点，则a 的取值范围是( ) A ．1(0,)9B ．11(,)95C ．(1,5)D ．(5,9)解：()f x 是在R 上的奇函数，满足()(2)f x f x =-，函数关于1x =对称，()(2)f x f x =--，可得(4)()f x f x +=，函数的周期为4，且[0x ∈，1]时，函数()21x f x =-，函数的图象如图：当1a >时，函数()()log a g x f x x =-恰有3个零点，就是方程()log a f x x =的解个数为3，可得()y f x =与log a y x =由3个交点，两个函数的图象夹在蓝色与红色，之间满足条件，所以log 51a <，并且log 91a >，解得(5,9)a ∈．故选：D ．课后训练1．（2020•模拟）函数()f x 满足3()()()()(f x f y f x y f x y x =++-，)y R ∈，且f （1）13=，则(2020)(f =) A ．23B ．23-C ．13-D ．13【解答】解：取1x =，0y =，得3(0)f f （1）f =（1）f +（1）23=，2(0)3f ∴=，取x n =，1y =，有3()f n f （1）(1)(1)f n f n =++-，即()(1)(1)f n f n f n =++-，同理：(1)(2)()f n f n f n +=++，(2)(1)f n f n ∴+=--，()(3)(6)f n f n f n ∴=--=- 所以函数是周期函数，周期6T =，故(2020)(33364)f f f =⨯+=（4）． 3()()()()f x f y f x y f x y =++-令1x y ==，得23f （1）f =（2）(0)f +，可得f （2）13=-，令2x =，1y =，得3f （2）f （1）f =（3）f +（1），解得f （3）23=-，令3x =，1y =，得3f （3）f （1）f =（4）f +（2），解得f （4）13=-．1(2020)3f ∴=-；选：C ．2．（2019秋•北碚区校级期末）已知函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足2(1)(1)f x f x +=--，f （1）2<且f （1）0≠，则(2019)f 的取值范围为( ) A ．(,1)-∞- B ．(1,)-+∞C ．(1,)+∞D ．(-∞，1)(0-⋃，)+∞解：由题意，令1t x =-，则12x t +=+，故2(2)()f t f t +=-． 22(4)()2(2)()f t f t f t f t +=-=-=+-．∴函数()f x 是以4为最小正周期的周期函数．201945043÷=⋯，(2019)f f ∴=（3）22(21)(21)(1)f f f =+=-=--． f （1）2<且f （1）0≠，∴10(1)f <，或11(1)2f >，则20(1)f ->，或21(1)f -<-． (2019)f ∴的取值范围为(-∞，1)(0-⋃，)+∞．故选：D ．3．（2020•许昌一模）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x -=，1(2)()f x f x +=，当[0x ∈，2]时，2()2log (3)f x x =+，则(923)(f = )A ．16B ．923C ．4D ．1解：因为定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x -=，所以函数()f x 是偶函数，又因为1(2)()f x f x +=，所以11(4)()1(2)()f x f x f x f x +===+，所以函数()f x 的周期是4，所以(923)(42303)f f f =⨯+=（3）(1)f f =-=（1），因为当[0x ∈，2]时，2()2log (3)f x x =+，所以(923)f f =（1）22log 44==，故选：C ．4．（2019秋•大理市校级期末）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x R ∈都有33()()22f x f x +=-，当3(,0)2x ∈-时，12()log (1)f x x =-，则(2017)(2019)(f f += )A ．1B ．2C ．1-D ．2-解：根据题意，函数()f x 满足任意的x R ∈都有33()()22f x f x +=-，则()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，(2017)(16723)f f f =+⨯=（1），(2019)(6733)(0)f f f =⨯=，又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，3(,0)2x ∈-时，12()log (1)f x x =-，则12(1)log [1(1)]1f -=--=-，则f （1）(1)1f =--=；故(2017)(2019)(0)f f f f +=+（1）1=；故选：A ．5．（2020•宝鸡二模）已知函数1()3()3x x f x =+，则使得(2)(1)f x f x >+成立的x 的取值范围是( )A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．1(3-，1)D ．1(,)(1,)3-∞-+∞解：根据题意，函数1()3()3x x f x =+，有1()3()3x x f x -=+，则函数()f x 为偶函数，其导数()3333(33)30x x x x f x ln ln ln --'=-=-，即函数()f x 在[0，)+∞上为增函数，若(2)(1)f x f x >+，则有(|2|)(|1|)f x f x >+，即|2||1|x x >+，解可得：13x <-或1x >，即不等式的解集为(-∞，1)(13-⋃，)+∞；故选：D ．6．若函数()y f x =在区间[a ，]b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( ) A ．若f （a ）f （b ）0>，不存在实数(,)c a b ∈使得f （c ）0=B ．若f （a ）f （b ）0>，有可能存在实数(,)c a b ∈使得f （c ）0=C ．若f （a ）f （b ）0<，存在且只存在一个实数(,)c a b ∈使得f （c ）0=D ．若f （a ）f （b ）0<，有可能不存在实数(,)c a b ∈使得f （c ）0= 解：首先，设函数()y f x =在区间[a ，]b 上的图象如下图：上图满足f （a ）f （b ）0>，有可能存在实数(,)c a b ∈使得f （c ）0=，故A 错误，B 正确；其次，设函数()y f x =在区间[a ，]b 上的图象如图：上图满足f （a ）f （b ）0<，但C 都错误，D 、根据零点存在定理，一定存在实数(,)c a b ∈使得f （c ）0=，所以D 错误，故选：B ．7设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，对任意的实数x ，恒()()0f x f x --=，当[1x ∈-，0]时，2()f x x =，若()()log (||1)a g x f x x =-+在R 上有且仅有五个零点，则a 的取值范围为( ) A ．[3，5] B ．.[2，4]C ．.(3,5)D ．.(2,4)解：())()0f x f x --=，()()f x f x ∴=-，()f x ∴是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出()f x 的图象如图所示()()log (||1)a g x f x x =-+在R 上有且仅有五个零点，又log (||1)a y x =+也是偶函数且都过(0,0)()y f x ∴=和log (||1)a y x =+在(0,)+∞上只有2个交点，∴(11)1(31)11a a log log a +'<⎧⎪+<⎨⎪>⎩，解得24a <<．故选：D ．8．（2019秋•上饶期末）若函数2()1af x lg x =+在(0,)+∞内存在两个互异的x ，使得(1)()f x f x f +=+（1）成立，则a 的取值范围是( ) A．(3-+B．(3C．(1,3 D．(2,3+解：根据条件可得f （1）2alg=，0a >，且在(0,)+∞上，存在两个不同的x 使得22(1)112a a alglg lgx x =++++成立，即存在两个互异的(0,)x ∈+∞，使得2222(2)2(22)0a a x a x a a -++-=成立， ①若220a a -=，即2a =时，方程可化为840x +=，解得12x =-，不满足条件，②若220a a -≠时，2()20i a a ->，即2a >时，要想满足条件，则422222244(2)(22)02022202a a a a a a a a a aa a⎧⎪=--->⎪⎪->⎨-⎪⎪->⎪-⎩，此时因为20a >，220a a ->，故22202a a a-<-矛盾；2()20ii a a -<，即02a <<时，则422222244(2)(22)02022202a a a a a a a a a aa a⎧⎪=--->⎪⎪->⎨-⎪⎪->⎪-⎩，此时(1,3a ∈-，故选：B ． 9．（2019秋•安徽期中）定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x -=，且当[0x ∈，2]时，()f x x =，则(2019)f 的值为( )A ．1-B ．0C ．1D ．2解：根据题意，()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，又由(4)()f x f x -=，则有(4)()f x f x -=-，变形可得(4)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，又由[0x ∈，2]时，()f x x =，则()f x 的图象如图所示，则(2019)(20194505)(1)f f f f =-⨯=-=（1）1=，故选：C ．10．（2019秋•运城期中）已知定义在R 上的函数()f x 满足(32)(21)f x f x -=-，且()f x 在[1，)+∞上单调递增，则( )A ．0.3 1.13(0.2)(log 0.5)(4)f f f <<B ．0.3 1.13(0.2)(4)(log 0.5)f f f <<C ． 1.10.33(4)(0.2)(log 0.5)f f f <<D ．0.3 1.13(log 0.5)(0.2)(4)f f f <<解：因为由(32)(21)f x f x -=-，所以函数()f x 关于1x =对称，又因为()f x 在[1，)+∞上单调递增，所以()f x 在(,1)-∞上单调递减，0.3 1.131log 0.500.2144-<<<<<<，所以0.3 1.13(02)(0.5)(4)f f log f <<，故选：A ．11．已知定义在R 上的函数()f x ，对任意实数x ，y 满足：()()()f x y f x f y +=，若(0,)x ∈+∞时，0()1f x <<恒成立，则满足不等式2(4)1f x -<的实数x 的取值范围是．解：特值法，不妨设()(01)x f x a a =<<，满足()()()f x y f x f y +=，且(0,)x ∈+∞时，0()1f x <<恒成立，则不等式2(4)1f x -<等价于2(4)(0)f x f -<，由函数()f x 为R 上的减函数，故240x ->，解得2x <-或2x >；故答案为：(-∞，2)(2-⋃，)+∞．12．（2019秋•沙坪坝区校级期末）定义在R 上的函数()f x 满足(2)f x -是偶函数，且对任意x R ∈恒有(3)(1)2020f x f x -+-=，又(2)2019f -=，则(2020)f = ．解：定义在R 上的函数()f x 满足(2)f x -是偶函数，(2)(2)f x f x ∴--=-， x R ∀∈，有(3)(1)2020f x f x -+-=，(4)(2)2020f x f x ∴-+-=，(4)(2)2020f x f x ∴-+--=，即(4)(2)2020f x f x ++-=，从而有(6)()2020f x f x ++=，(12)(6)2020f x f x +++=，(12)()f x f x ∴+=，即函数()f x 的最小正周期为12，(2020)(121684)f f f ∴=⨯+=（4）2020(2)1f =--=，故答案为：1． 13．（2019秋•天河区校级期末）已知定义在R 上的函数()F x 满足()()()F x y F x F y +=+，且当0x >时，()0F x <，若对任意[0x ∈，1]，不等式组22(2)(4)()(3)F kx x F k F x kx F k ⎧-<-⎨-<-⎩恒成立，则实数k 的取值范围是．解：设12x x <，则210x x ->，则21()0F x x -<；则22111()()()()F x F x x F x F x =-+<，则函数()F x 在R 上为减函数；则对任意[0x ∈，1]，不等式组22(2)(4)()(3)F kx x F k F x kx F k ⎧-<-⎨-<-⎩恒成立可化为 22243kx x k x kx k ⎧->-⎨->-⎩对[0x ∈，1]成立，依题22()240()30f x x kx k g x x kx k ⎧=-+-<⎨=--+>⎩对[0x ∈，1]成立，由于()0f x <对[0x ∈，1]成立，则(0)40(1)30f k f k =-<⎧⎨=--<⎩，解得，34k -<<；由于()0g x >对[0x ∈，1]成立，234(1)211x k x x x +∴<=++-++恒成立；2k ∴<；综上所述，32k -<<．故答案为：(3,2)-．14．（2020•攀枝花一模）已知函数()f x 对x R ∀∈满足(2)()f x f x +=-，(1)()(2)f x f x f x +=+，且()0f x >，若f （1）4=，则(2019)(2020)f f += ．解：(1)()(2)f x f x f x +=+，(2)(1)(3)f x f x f x ∴+=++，(2)()(2)(3)f x f x f x f x ∴+=++，且()0f x >， ()(3)1f x f x ∴+=，即1()(3)f x f x =+，则1(3)(6)f x f x +=+，()(6)f x f x ∴=+，即函数()f x 的周期为6，(2019)(2020)f f f ∴+=（3）f +（4），令0x =，则f （1）(0)f f =（2）4=，且(0)f f =（2），()0f x >，(0)f f ∴=（2）2=，令1x =，则f （2）f =（1）f （3），即24f =（3），∴1(3)2f =，令2x =，则f （3）f =（2）f （4），即12(4)2f =，∴1(4)4f =， ∴113(2019)(2020)(3)(4)244f f f f +=+=+=．故答案为：34．。

[抽象函数的定义域]抽象函数

[抽象函数的定义域]抽象函数抽象函数篇一:论文有关抽象函数的全面探析抽象函数是一种重要的数学概念。

我们把没有给出具体解析式，其一般形式为y=f(某)，且无法用数字和字母的函数称为抽象函数。

由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身。

这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力。

解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高。

所以近几年来高考题中不断出现，在2022年的全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花。

但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心。

下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法。

一、抽象函数的定义域例1已知函数f(某)的定义域为[1,3]，求出函数g(某)=f(某+a)+f(某-a)（a＞0）的定义域。

解析：由由a＞0知只有当0＜a＜1时，不等式组才有解，具体为{某|1+a＜某≤3-a；否则不等式组的解集为空集，这说明当且仅当0＜a＜1时，g(某)才能是某的函数，且其定义域为（1+a,3-a]。

点评：1.已知f(某)的定义域为[a,b]，则f[g(某)]的定义域由a≤g(某)≤b，解出某即可得解；2.已知f[g(某)]的定义域为[a,b]，则f(某)的定义域即是g(某)在某[a,b]上的值域。

二、抽象函数的值域解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定。

例2若函数y=f(某+1)的值域为[-1，1]求y=(3某+2)的值域。

解析：因为函数y=f(3某+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(某+1)的定义域与对应法则完全相同，故函数y=f(3某+2)的值域也为[-1，1]。

三、抽象函数的奇偶性四、抽象函数的对称性例3已知函数y=f(2某+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(某)的图像与函数y=f(某)的图像关于y=某对称,则g(某)+g(-某)的值为（）A、2B、0C、1D、不能确定解析：由y=f(2某+1)求得其反函数为y=，∵y=f(2某+1)是奇函数，∴y=也是奇函数，∴。

函数的单调性奇偶性与周期性

函数的单调性、奇偶性与周期性基础知识一、函数的单调性 1．单调性概念如果函数y= f (x )对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时， ①都有f (x 1)< f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是增函数（或单调递增），而这个区间称函数的一个单调递增区间；②都有f (x 1)> f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.注意，若函数f (x )在整个定义域I 内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x )称单调函数.2．函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果/()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递增；如果/()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递减。

二、函数的奇偶性 3．奇偶性概念如果对于函数f (x )定义域内的任意x ，①都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；②都有f (－x )= f (x )，则称f (x )为偶函数；③如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

注意：函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。

4．性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称。

5．函数f (x )为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =三、函数的周期性 6．周期性概念如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数。

T 是f (x )的一个周期。

若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期。

函数的单调性、奇偶性、周期性

函数的单调性、奇偶性、周期性一、函数的单调性 1．增函数定义设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调增函数．I 称为y=f(x)的单调增区间。

2、减函数定义：设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1) >f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调减函数．I 称为y=f(x)的单调减区间。

注意：（1）函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2）必须是对于区间I 内自变量x 的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2)（或f(x 1) >f(x 2)），才能说函数y=f(x) 在区间I 上具有单调增减性。

（3）判断函数的单调性：一利用定义，二利用函数的图象，三是利用导数。

（4）利用函数的图象分别指出：一次函数y=kx+b 、反比例函数y= kx(k ≠0)、二次函数y=a x 2+bx+c 的单调区间(5) 定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.(6)、利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：① 任取x 1，x 2∈I ，且x 1<x 2； ② 作差f(x 1)－f(x 2)；③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间I 上的单调性）．（7）函数单调性的判定：（1）图象法；（2）定义法（3导数法）二、复合函数))((x g f y =单调性的判断：对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性，当),(b a x ∈ ，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性，则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同得增，异得减”或“同增异减”.三、单调性的有关结论：1．若f(x), g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x) 函数； 2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为；3．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。

抽象函数函数之单调性及奇偶性部分

函数之单调性及奇偶性部分单调性问题（抽象函数的单调性多用定义法解决）例1设函数f(x)对任意实数x,y ，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值. 解析:由单调性的定义步骤设x 1<x 2, 则f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1)+f(x 1)< f(x 1). （∵x 2-x 1>0,∴f(x 2-x 1)<0）所以f(x)是R 上的减函数, 故f(x)在[-3,3]上的最大值为f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值为f(-3),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)为奇函数.∴f(-3)=-f(3)=6.练习1：设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x 、y ，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R 上为增函数。

证明：设R 上x 1<x 2，则f(x 2-x 1)>1，f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1)f(x 1),(注意此处不能直接得大于f(x 1)，因为f(x 1)的正负还没确定) 。

取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f （0）=0,令x>0,y=0，则f(x)=0与x>0时，f(x)>1矛盾，所以f(0)=1，x>0时，f(x)>1>0,x<0时，-x>0，f(-x)>1,∴由0)(1)(1)()()0(>-==-=x f x f x f x f f 得，故f(x)>0，从而f(x 2)>f(x 1).即f(x)在R 上是增函数。

（注意与例4的解答相比较，体会解答的灵活性）练习2：已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且f (－21)=0,当x >－21时，f (x )>0. 求证：f (x )是单调递增函数；证明：设x 1＜x 2,则x 2－x 1－21>－21,由题意f (x 2－x 1－21)>0, ∵f (x 2)－f (x 1)=f ［(x 2－x 1)+x 1］－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1=f (x 2－x 1)+f (－21)－1=f ［(x 2－x 1)－21］>0, ∴f (x )是单调递增函数.练习3、定义在R 上的函数y =f （x ），f （0）≠0，当x ＞0时，f （x ）＞1，且对任意的a 、b ∈R ，有f （a +b ）=f （a ）·f （b ）.（1）求证：f （0）=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0；（3）求证：f （x ）是R 上的增函数；（4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围.（1）证明：令a =b =0，则f （0）=f 2（0）.又f （0）≠0，∴f （0）=1.（2）证明：当x ＜0时，－x ＞0，∴f （0）=f （x ）·f （－x ）=1.∴f （－x ）=)(1x f ＞0.又x ≥0时f （x ）≥1＞0，∴x ∈R 时，恒有f （x ）＞0.（3）证明：设x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0.∴f （x 2）=f （x 2－x 1+x 1）=f （x 2－x 1）·f （x 1）.∵x 2－x 1＞0，∴f （x 2－x 1）＞1.又f （x 1）＞0，∴f （x 2－x 1）·f （x 1）＞f （x 1）.∴f （x 2）＞f （x 1）.∴f （x ）是R 上的增函数.（4）解：由f （x ）·f （2x －x 2）＞1，f （0）=1得f （3x －x 2）＞f （0）.又f （x ）是R 上的增函数，∴3x －x 2＞0.∴0＜x ＜3.关键点注：解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f （x 2）=f ［（x 2－x 1）+x 1］”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略练习4、已知函数f(x)对任何正数x,y 都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)≠0,当x>1时,f(x)<1.试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并说明理由.解:0)x (f ,0)x (f ,0)x (f )x x (f )x (f R x 2>≠≥=∙=∈+故又有对，则则且设,1x x ,x x ,R x ,x 122121><∈+ 1)x x (f )x (f )x (f )x x (f )x (f )x x x (f )x (f )x (f 121112111212<=∙=∙=，所以f(x 1)>f(x 2),故f(x)在R +上为减函数.)2()0,2()1,3()2()1,3()2,1()1,2()(0)1()1(0)2()0,()(5∞+⋃---∞+⋃-⋃-->+-=-∞，、、，、、的解集为，则上单调递减，且在、奇函数练习D C B A Cx f x f x f奇偶性问题例2. （1）已知函数f(x)(x ≠0的实数)对任意不等于零的实数x 、y 都有f(x ﹒y)=f(x)+f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性。

如何解答抽象函数问题

解题宝典抽象函数问题的难度一般不大.常见的抽象函数问题有求抽象函数的值域，求抽象函数的定义域，判断抽象函数的周期性、单调性、奇偶性等.下面结合实例，谈一谈三类常见的抽象函数问题的解法.一、求抽象函数的值域求抽象函数的值域问题，往往要求根据已知关系式和定义域来求函数的值域.解答此类问题，需对已知关系式进行赋值，以便根据函数单调性的定义，判断出函数的单调性，然后根据函数的单调性求得函数在定义域内的最值，即可确定函数的值域.若定义域包含了多个单调区间，则需在每个区间内讨论函数的单调性，再比较各个区间上的最大、最小值，即可解题.例1.若对任意实数x ，y 都有f ()x +y =f ()x +f ()y ，当x >0时恒有f ()x >0，且f ()-1=-2，求函数f ()x 在区间[]-2,1上的值域.解:令x 1=y ，x 2=x +y ，可得x 2-x 1>0，∵f ()x 2-f ()x 1=f ()()x 2-x 1+x 1-f ()x 1=f ()x 2-x 1+f ()x 1-f ()x 1>0，∴f ()x 1<f ()x 2，可得f ()x 在R 上单调递增，∴当x ∈[]-2,1时，f ()-2≤f ()x ≤f ()1，∵f ()-2=f ()-1-1=f ()-1+f ()-1=-4，f ()1=f ()-1+2=f ()-1+f ()2=f ()-1+f ()1+f ()1=2，∴f ()x 在区间[]-2,1上的值域为[]-4,2.解答本题，需对已知关系式f ()x +y =f ()x +f ()y 进行赋值，令x 1=y ，x 2=x +y ，通过等量代换判断出f ()x 2-f ()x 1的符号，便可判断出函数f ()x 的单调性.再根据函数的单调性，即可求得抽象函数的值域.二、抽象函数的单调性问题抽象函数的单调性问题通常要求根据已知关系式或函数的性质判断函数的单调性，求得函数的单调区间.解答此类问题，需灵活运用单调性的定义.解题的基本思路为：①在定义域内任选两个数x 1、x 2，且使x 1＜x 2，②结合已知条件，化简f ()x 2-f ()x 1或f ()x 2f ()x 1，并将其与0、1比较，③得出结论.若f ()x 2>f ()x 1，则函数在定义域上单调递增；若f ()x 2<f ()x 1，则函数f ()x 单调递减.例2.已知对任意x ∈R ，恒有f ()x >0，当x >0时，f ()x >1.对任意x ,y ∈R ，均有f ()x +y =f ()x f ()y ，试证明：f ()x 在R 上单调递增.分析：我们需先设出x 1，x 2，然后通过等量代换，判断出f ()x 2f ()x 1与1的大小关系，以便根据函数单调性的定义证明抽象函数f ()x 在R 上单调递增.证明：令x 1<x 2，则f ()x 2>0，f ()x 1>0，x 2-x 1>0，f ()x 2f ()x 1=f ()x 2-x 1+x 1f ()x 1=f ()x 2-x 1f ()x 1f ()x 1=f ()x 2-x 1>1,所以f ()x 2>f ()x 1，故函数f ()x 在R 上单调递增.三、抽象函数的奇偶性问题对于抽象函数的奇偶性问题，通常需根据奇偶函数的定义来求解.在解题时，要首先对已知关系式进行赋值，如令x =0、1、-1、-x 等，并将其代入式子中，以便判断出f ()-x 与f ()x 之间的关系.若f ()-x =f ()x ，则函数为偶函数；若f ()-x =-f ()x ，则该函数为奇函数.例3.若函数f ()x ，g ()x 的定义域为R ，对于任意x ,y ∈R ，均有f (x +y )+f ()x -y =2f ()x f ()y ，且f ()0≠0，试判断函数f ()x 的奇偶性.解:令x =y =0，由f (x +y )+f ()x -y =2f ()x f ()y 可得2f 2()0=2f ()0，因为f ()0≠0，所以f ()0=1，令x =0，可得f ()0+y +f ()0-y =2f ()0f ()y =2f ()y ，则f ()y =f ()-y ，故函数f ()x 为偶函数.要判断出函数的奇偶性，需令x =y =0，通过多次赋值，才能判断出f ()-x 与f ()x 之间的关系.总之，抽象函数是一类较为特殊的函数，它没有具体的解析式和图象，因而在解答抽象函数问题时，需重点研究已知关系式和抽象函数的性质，从中找到解题的突破口.（作者单位：云南省曲靖市会泽县实验高级中学）方琼41。

趣谈抽象函数的性质

趣谈抽象函数的性质作者：奚宁平来源：《新一代》2009年第09期摘要:抽象函数指一类只给出具有某类特征或性质,用一种符号表示的函数,这类函数没有给出或没有具体的函数解析式,是高中函数部分的重要知识点,也是高考的一个热点。

关键词:抽象;函数;性质中图分类号:G642 文献标识码:A文章编号:1003-2851(2009)09-0071-01抽象函数指一类只给出具有某类特征或性质,用一种符号表示的函数,这类函数没有给出或没有具体的函数解析式,是高中函数部分的重要知识点,也是高考的一个热点。

由于抽象函数的抽象性和隐蔽性,让大多数学生感到无从下手,本文对抽象函数的性质进行了详细的归纳小结,有助于从总体上把握抽象函数的性质。

一、抽象函数的定义域例1. 若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)= 的定义域是()解:∵ y=f(x)定义域是[0,2],∴使函数g(x)= 有意义,必须满足x-1不等于0,2x大于等于0小于等于2,解之得:0≤x∴ =的定义域为,故选B。

点评:解决抽象函数定义域问题,必须明确抽象函数的定义,运用了整体等价转化的思想。

二、抽象函数的值域例2 . 若函数y=f(x+3)的值域为[-1,2],则函数y=f(2x+1)的值域为_。

解:函数的值域主要由定义域和对应法则决定,当对应法则没有改变时,函数y=f(2x+1)的值域不变,故的值域仍是[-1,2]。

例3. 若函数y=fx()的值域是[ ,3],则函数F(x)=f(x)+ 的值域为_。

解: 令t=y=f(x),则≤x≤3,而函数g(t)=t+ 在区间[ ,3]上是减函数,在[1,3]上是增函数,且g( )= ,g(1)=2,g(3)= 故值域为[2, ]。

点评:求解抽象函数的值域首先明确值域由定义域和对应法则决定,然后结合抽象函数的其它性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)进行求解。

三、抽象函数的单调性例4.已知函数y=f(x)的定义域是(0,+∞),当>1时,f(x)>0且,f(xy)=f(x)+f(y),判断函数f(x)在定义域上的单调性。

抽象函数和复合函数的应用解析版-高中数学

抽象函数与复合函数的应用①抽象函数的性质(定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性)②常见抽象函数模型①-一次函数、二次函数、反比例函数③常见抽象函数模型②-指对幂函数、三角函数④复合函数的应用一、必备知识整合一、抽象函数的性质1.周期性：f x +a =f x ⇒T =a ；f x +a =−f x ⇒T =2a ；f x +a =kf x⇒T =2a ；(k 为常数)；f x +a =f x +b ⇒T =a −b 2.对称性：对称轴：f a −x =f a +x 或者f 2a −x =f x ⇒f x 关于x =a 对称；对称中心：f a −x +f a +x =2b 或者f 2a −x +f x =2b ⇒f x 关于a ,b 对称；3.如果f x 同时关于x =a 对称，又关于b ,c 对称，则f x 的周期T =a −b 4.单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题①f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2>0；f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2<0；②f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 >x 2 (不变号加绝对值)；f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 <x 2 (变号加绝对值)；③f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2>2a ；f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2<2a ；④f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a >x 2−a (不变号加绝对值)；f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a <x 2−a (不变号加绝对值)；5.常见的特殊函数性质一览①f x =log a 1+mx 2±mx 是奇函数②f x =log ak −x k +x f x =log a k +xk −x(k 为常数)是奇函数③f x =1−a x 1+a x 或者f x =1+a x 1−a x 或者f x =a x +1a x −1或者f x =a x −1a x +1是奇函数④f x =m a x+1关于0,m2 对称⑤f g x 复合函数的奇偶性：有偶为偶，全奇为奇二、抽象函数的模型【反比例函数模型】反比例函数：f (x +y )=f (x )f (y )f (x )+f (y )，则f (x )=f (1)x ，x ,f (x ),f (y ),f (x +y )均不为0【一次函数模型】模型1：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )=f (1)x ；模型2：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )为奇函数；模型3：若f (x +y )=f (x )+f (y )+m ,则f (x )=f 1 +m x -m ；模型4：若f (x -y )=f (x )-f (y )+m ,则f (x )=f 1 -m x +m ；【指数函数模型】模型1：若f (x +y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型2：若f (x -y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型3：若f (x +y )=f (x )f (y )m ，则f (x )=f 1 mxm；模型4：若f (x -y )=m f (x )f (y )，则f (x )=m f 1 m x ；【对数函数模型】模型1：若f (x n )=nf (x )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x >0模型2：若f (xy )=f (x )+f (y )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x ,y >0模型3：若fxy=f(x)-f(y)，则f(x)=f a log a x a>0且≠1,x,y>0模型4：若f(xy)=f(x)+f(y)+m，则f(x)=f a +mlog a x-m a>0且≠1,x,y>0模型5：若fxy=f(x)-f(y)+m，则f(x)=f a -mlog a x+m a>0且≠1,x,y>0【幂函数模型】模型1：若f(xy)=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1模型2：若fxy=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1,y≠0,f y ≠0代入f a 则可化简为幂函数；【余弦函数模型】模型1：若f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx模型2：若f(x)+f(y)=2fx+y2f x-y2f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx【正切函数模型】模型：若f(x±y)=f(x)±f(y)1∓f(x)f(y)f(x)f(y)≠1，则f(x)=tan wx模型3：若f(x+y)+f(x-y)=kf(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=2kcos wx三、复合函数1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。

函数的基本性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)

函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。

1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇； ③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称非奇非偶例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数常用性质：1．0)(=x f 是既奇又偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足：（1）奇函数±奇函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数奇函数±偶函数=非奇非偶（2）奇函数×奇函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数奇函数×偶函数=奇函数6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数2)()()(x f x f x --=ϕ和一个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。

2. 单调性定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论（二）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常用结论（1）奇函数在对称区间上的单调性相同（2）偶函数在对称区间上的单调性相反（3）复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T ，使得一切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。

抽象函数,函数奇偶性对称性周期性,函数恒成立与存在问题

个性化学科教师辅导教案）证明f(x)在x>0）求证：对任意R x ∈都有对任意,x y R ∈，都有()f xy =时，[)()0,1f x ∈。

（I ）判断9，求a 的取值范围。

（2）已知()f x 为奇函数，当0x ≥时,2()2f x x x =+，当0x <时，求)(x f 解析式5.利用奇偶性求参数的值例5：（1）定义R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞单调递减，若)123()12(22+-<++a a f a a f 恒成立，求a 的范围.（2）定义R 上单调递减的奇函数()f x 满足对任意t R ∈，若22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的范围.6.利用图像解题例6：（1）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式()0<x f 的解是 .（2）若函数()f x 在(,0)(0,)-∞⋃+∞上为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增,(2)0f -=,则不等式()0xf x <的解集为 .7.利用性质选图像例7：（1）设1a >，实数,x y 满足1||log 0a x y-=，则y 关于x 的函数的图像形状大致是（）xy1xy1xy1xy1A B C D（2）函数x xx xe eye e--+=-的图象大致为三、周期函数结论：（1）()()f x f x a=+，T a=f(x-a)=f(x+a)(a>0), T=2a函数的奇偶性对称性与周期性综合例已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013)的值．1.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则（）．A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)2.奇函数满足对任意都有，且，则的值为（）Ａ．－９Ｂ．９Ｃ．０Ｄ．3.函数()f x 为奇函数，定义域为R ，若()2f x +为偶函数，且()11f =，则( )A. 2-B. 1-C. 0D. 1()f x x R ∈(2)(2)0f x f x ++-=(1)9f =(2010)(2011)(2012)f f f ++。

高中数学函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像

函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像(一)复习指导单调性：设函数y ＝f (x)定义域为A ，区间MA ，任取区间M 中的两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f(x 2)－f(x 1)＞0时，就称f(x)在区间M 上是增函数，当Δy=f(x 2)－f(x 1)＜0时，就称f(x)在区间M 上是减函数．如果y ＝f(x)在某个区间M 上是增(减)函数，则说y=f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间M 叫做y=f(x)的单调区间．函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x 1，x 2，当x 1＜x 2时判断相应的函数值f(x 1)与f(x 2)的大小．利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的．对于y=f[φ(x)]型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令u=φ(x)，然后分别根据u=φ(x)，y=f(u)在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律．此外，利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述．奇偶性：(1)设函数f(x)的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f(－x)=－f(x)，则这个函数叫做奇函数；设函数f(x)的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f(－x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数．函数的奇偶性有如下重要性质：f(x)奇函数f(x)的图象关于原点对称．f(x)为偶函数f(x)的图象关于y 轴对称．此外，由奇函数定义可知：若奇函数f(x)在原点处有定义，则一定有f(0)=0，此时函数f(x)的图象一定通过原点．周期性：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)成立，则函数f(x)叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．关于函数的周期性，下面结论是成立的．(1)若T 为函数f(x)的一个周期，则kT 也是f (x)的周期(k 为非零整数)．(2)若T 为y=f(x)的最小正周期，则||T 为y=Af(ωｘ+φ)+b 的最小正周期，其中ω≠０．对称性：若函数y=f(x)满足f(a －x)=f(b+x)则y=f(x)的图象关于直线2ba x对称，若函数y=f (x)满足f(a －x)=－f(b+x)则y=f(x)的图象关于点(2ba ，0)对称．函数的图象：函数的图象是函数的一种重要表现形式，利用函数的图象可以帮助我们更好的理解函数的性质，我们首先要熟记一些基本初等函数的图象，掌握基本的作图方法，如描点作图，三角函数的五点作图法等，掌握通过一些变换作函数图象的方法．同时要特别注意体会数形结合的思想方法在解题中的灵活应用．(1)利用平移变换作图：y=f(x)左右平移y=f(x ＋a) y=f(x)上下平移y=f(x)＋b(2)利用和y=f(x)对称关系作图：y=f(－x)与y=f (x)的图象关于y 轴对称；y=－f(x)与y=f(x)的图象关于x 轴对称y=－f(－x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称；y=f -1(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x 对称(3)利用y=f(x)图象自身的某种对称性作图y=|f(x)|的图象可通过将y=f(x)的图象在x 轴下方的部分关于x 轴旋转180°，其余部分不变的方法作出．y=f(|x|)的图象：可先做出y=f(x)，当x ≥0时的图象，再利用偶函数的图象关于y 轴对称的性质，作出y=f(x)(x＜0)的图象．此外利用伸缩变换作图问题，待三角的复习中再进行研究．还要记住一些结论：若函数y=f(x)满足f (a －x)=f(b+x)则y=f(x)的图象关于直线2ba x对称，若函数y=f (x)满足f(a －x)=－f(b+x)则y=f(x)的图象关于点(2ba ，0)对称．(二)解题方法指导例1．设a ≠０，试确定函数21)(xax x f 在(－1，1)上的单调性．例2．讨论xxx f 2)(的增减性．例3．f(x)在(－∞，2)上是增函数，且对任意实数x 均有f(4－x)=f(x)成立，判断f(x)在(2，+∞）上的增减性．例4*．已知函数f(x)的定义域为R ，对任意实数m ，n ，都有21)()()(n f m f n m f 且当21x时，f(x)＞0．又.0)21(f (Ⅰ)求证;1)21(,21)0(f f (Ⅱ)判断函数f(x)的单调性并进行证明例5．在R 上求一个函数，使其既是奇函数，又是偶函数例6．判断下列函数的奇偶性)1lg()()1(2xxx f (2)11)()(xx aa x x f (其中φ(x)为奇函数，a ＞0且a ≠1)．例7．设函数])1,1[(1)(2x bxxa x x f 是奇函数，判断它的增减性．例8．设f(x)是定义域为R 且以2为一个周期的周期函数，也是偶函数，已知当x ∈[2，3]时f (x)=(x －1)2+1，求当x ∈[1，2]时f(x)的解析式．例9．作出112xx y的图象，并指出函数的对称中心，渐近线，及函数的单调性．例10．作出函数的图象(1)1)1(32x y(2)y=|lg|x||例11．(1)作出方程｜x ｜+｜y ｜=1所表示的曲线．(2)作出方程｜x －1｜+｜y+1｜=1所表示的曲线．例12．已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x 2+2x ．(1)求函数g(x)的解析式；(2)解不等式g(x)≥f(x)－｜x －1｜．例题解析例1解：任取x 1，x 2∈(－1，1)，且Δx=x 2－x 1＞0，则)1)(1()1)((11)()(2221211222122212x x x x x x a x ax x ax x f x f y由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以Δx=x 2－x 1＞0，1＋x 1x 2＞0，1－21x ＞0，1－22x ＞0．因此当a ＞0时，Δy=f(x 2)－f(x 1)＞0，当a ＜0时，Δy=f(x 2)－f(x 1)＜0．所以当a ＞0时f(x)在(－1，1)上是增函数，当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是减函数．例2分析：可先在(0，＋∞）上研究f(x)的增减性，然后根据f(x)的奇偶性判断其在(－∞，0)上的增减性，而当x ＞0时，有,222)(xxx f 当且仅当x x2即2x 时“=”成立，即当2x 时，f(x)取得最小值,2由此可知x=2是函数单调区间的一个分界点．解：任取x 1，x 2∈(0，2]，且Δx=x 2－x 1＞0则)21)(()2()2()()(2112112212x x x x x x x x x f x f y因为,2021x x Δx=x 2－x 1＞0，且02121x x ，因此Δy=f(x 2)－f(x 1)＜0，故f(x)在]2,0(上是减函数．同理可证f(x)在),2[是增函数．又由),(2)(x f xxx f 可知f(x)是奇函数，其图像关于原点对称，所以可知f(x)在]2,(上是增函数，在)0,2[上是减函数．综上所述，x xx f 2)(在]2,(和),2[上是增函数，在)0,2[，]2,0(上是减函数．例3解：任取x 1，x 2∈(2，＋∞），且x 1＜x 2，则由2＜x 1＜x 2得2＞4－x 1＞4－x 2 因为f(x)在(－∞，2)上是增函数，所以有f(4－x 1)＞f(4－x 2)而由已知又有f(4－x 1)=f(x 1)，f(4－x 2)=f(x 2)，所以f(x 1)＞f(x 2)，故f(x)在(2，＋∞）上是减函数．小结：注意体会解题中的划归思想．此题若是一个小题，由f(4－x)=f(x)可知f (x)的图像关于x=2对称，立即就可以判断出f(x)在(2，＋∞）上是减函数．例4分析：判断这类抽象函数的单调性，关键是根据已知去创造条件，利用单调性的定义进行和判断，可以采用分析法寻求解题思路．解：(Ⅰ)由f(m ＋n)=f(m)＋f(n)21得f(0)=f(0＋0)=2f(0)21有f(0)=－21又由及0)21(f 得1)21(f (Ⅱ)任取x 1，x 2∈R 且Δx ＝x 2－x 1＞0则212112x x 根据已知可得)21(12x x f 则有21)()()()(1121122x f x x f x x x f x f 21)(21)21()21(21)()2121(112112x f f x x f x f x x f ).(1)(11)()21(0111x f x f x f f 函数f(x)在R 上为增函数．例5解：设所求的R 上的函数为f(x)，则由函数奇偶性定义得f(－x)=－f(x)①，f(－x)=f(x)②，联立①②，消去f(－x)，得f(x)=0．显然函数f(x)=0既是奇函数又是偶函数，所以f(x)=0就是所求的函数．例6解：(1)因为对任意x ∈R ，都有0||122xx x xx x，所以函数定义域为R任取x ∈R ，则－x ∈R 且有)()1lg()1lg()1lg()(2122x f xxxxxx x f 所以)1lg()(2xxx f 是奇函数(2)函数的定义域为R ．任取x ∈R ，则－x ∈R ，且有.11)(11)(11)()(xx xxxx aa x a a x aa x x f 所以11)()(xx aa x x f 是偶函数．例7解：显然x ∈[－1，1]，－x ∈[－1，1]，因为f(x)为奇函数，所以对区间[－1，1]内任意实数x 均有f(－x)=－f(x)成立，即1122bx xa x bxxa x ，也就是1122bxxa x bxxa x 这是关于x 的恒等式，比较两端分子分母对应项的系数，可得a=b=0．所以1)(2xx x f 任取x 1，x 2∈[－1，1]，且Δx=x 2－x 1＞0 则)1)(1()1)((11)()(2221211221122212xxx x x x x x x x x f x f y因为－1≤x 1＜x 2≤1，所以Δx=x 2－x 1＞0，1－x 1x 2＞0，因此Δy=f(x 2)－f(x 1)＞0，所以当x ∈[－1，1]时1)(2xx x f 为增函数．注：此题也可以通过f(0)=0，f(－1)=－f (－1)求得a=b=0例8分析：此题的解答要抓住两个关键点，一个是f(x)为偶函数，再一个是f(x)为周期函数，通过画出草图，就会发现可以先求出当x ∈[－3，－2]时函数的解析式，在利用周期性求出当x ∈[1，2]时f(x)的解析式，要注意体会划归的思想方法．解：当x ∈[－3，－2]时－x ∈[2，3]所以f(－x)=(－x －1)2＋1=(x ＋1)2＋1，因为f(x)是偶函数，因此当x ∈[－3，－2]时，f(x)=(x ＋1)2＋1当x ∈[1，2]时，x －4∈[－3，－2]，有f(x －4)=(x －4＋1)2＋1=(x －3)2＋1，因为2为f(x)的周期，可知－4也为f(x)一个周期，有f(x －4)=f(x)故x ∈[1，2]时f(x)=(x －3)2＋1．例9解：因为112112x x x y所以将xy1的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位，即可得到112xx y的图象，如图由图象可以得到：对称中心为(－1，2)渐近线分别为x=－1，y=2函数在(－∞，－1)和(－1，＋∞）上都是增函数．例10解：(1)将函数32x y的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即可的得到1)1(32xy ，如图．(2)y=｜lg ｜x ｜｜为偶函数，当x ＞0时先作出y=lg x 的图象，在根据奇偶性作出y=lg ｜x ｜的图象，最后将y=lg ｜x ｜在横轴下面的图象关于x 轴旋转180°，其余部分不变．即可得到y=｜lg ｜x ｜｜的图象，如图．例11分析，曲线｜x ｜＋｜y ｜=1是关于x 轴，y 轴和原点的对称图形，利用对称性可以很快的作出曲线，至于曲线｜x －1｜＋｜y ＋1｜=1，只需通过将曲线｜x ｜＋｜y ｜＝1适当平移即可得到．解：(1)先作出线段x ＋y=1(x ≥1，y ≥1)，再作出该线段分别关于x 轴，y 轴和原点分别对称的线段，就得到方程｜x ｜＋｜y ｜=1所表示的曲线，如图．(2)将(1)中方程｜x ｜＋｜y ｜=1所表示的曲线右移一个单位，下移一个单位就得到方程｜x －1｜＋｜y ＋1｜=1所表示的曲线，如图．例12解：(1)设f(x)上任意一点P(x 0，y 0)关于原点的对称点为P (x ，y)则220y y x x 即yy x x 00因为点P(x 0，y 0)在f (x)=x 2＋2x 的图像上，所以20xy 2x 0，即－y=(－x)2＋2(－x)故g(x)=－x 2＋2x ．(2)由g(x)≥f(x)－｜x －1｜得2x 2≤｜x －1｜当x ≥1时，不等式化为2x 2－x ＋1≤0，此式无实数解．当x ＜1时，不等式化为2x 2＋x －1≤0解得211x，因此g(x)≥f(x)－｜x －1｜解集为].21,1[。

函数的性质——奇偶性、单调性、周期性

第三节函数的性质——奇偶性、单调性、周期性考纲解读1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义，会利用单调性解决函数的最值问题.2.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.3.会利用函数的图像理解和研究函数的性质.命题趋势研究有关函数性质的高考试题，考查重点是求函数的单调区间，利用函数单调性求函数的最值（值域）、比较大小及求解函数不等式.函数奇偶性的判断及其应用是常考知识点，常与函数的单调性、周期性、对称性、最值等结合综合考查.知识点精讲函数奇偶性定义设D D x x f y (),(∈=为关于原点对称的区间），如果对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f =-，则称函数)(x f y =为偶函数；如果对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称函数)(x f y =为奇函数.性质(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数)(x f 是偶函数⇔函数)(x f 的图象关于y 轴对称；函数)(x f 是奇函数⇔函数)(x f 的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则有0)0(=f ；偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数)(x f 的定义域关于原点对称，则函数)(x f 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记)]()([21)(x f x f x g -+=，)]()([21)(x f x f x h --=，则)()()(x h x g x f +=. (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如)()(),()(),()(),()(x g x f x g x f x g x f x g x f ÷⨯-+.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇)(÷⨯奇=偶；奇)(÷⨯偶=奇；偶)(÷⨯偶=偶.（7）复合函数)]([x g f y =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.函数的单调性定义一般地，设函数)(x f 的定义域为D ，区间D M ⊆，若对于任意的M x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f <（或)()(21x f x f >），则称函数)(x f 在区间M 上是单调递增（或单调递减）的，区间M 为函数)(x f 的一个增（减）区间.注：定义域中的M x x ∈21,具有任意性，证明时应特别指出“对于任意的M x x ∈21,”. 单调性是针对定义域内的某个区间讨论的.熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：设],[,21b a M x x =∈且21x x <，则)(0)()(2121x f x x x f x f ⇔>--在],[b a 上是增函数⇔过单调递增函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零⇔0)]()()[(2121>--x f x f x x . )(0)()(2121x f x x x f x f ⇔<--在],[b a 上是减函数⇔过单调递减函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒小于零⇔0)]()()[(2121<--x f x f x x .性质对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减. 一般地，对于乘除运算没有必然的结论.如“增×增=增”不一定成立；“若)(x f 为增函数，则)(1x f 为减函数”也是错误的.如)0,()(≠∈=x R x x x f ，则xx f y 1)(1==为减函数是不正确的，但若具备如下特殊要求，则结论成立:若)(x f 为增函数，且(0)(>x f 或)(x f 0<），则)(1x f 为减函数. 若)(x f 为减函数，且(0)(>x f 或)(x f 0<），则)(1x f 为增函数. 复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.函数的周期性定义设函数))((D x x f y ∈=，如存在非零常数T ，使得对任何D T x D x ∈+∈,，且)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正周期.注：函数的周期性是函数的“整体”性质，即对于定义域D 中的任何一个x ，都满足)()(x f T x f =+；若)(x f 是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够完全重合. 性质若)(x f 的周期为T ，则)0,(≠∈n Z n nT 也是函数)(x f 的周期，并且有)()(x f nT x f =+. 有关函数周期性的重要结论（如表所示） ()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x a f x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数)(x f y =有两条对称轴)(,b a b x a x <==，则函数)(x f 是周期函数，且)(2a b T -=；（2）若函数)(x f y =的图象有两个对称中心))(,(),,(b a c b c a <，则函数)(x f y =是周期函数，且)(2a b T -=；（3）若函数)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心))(0,(b a b <，则函数)(x f y =是周期函数，且)(4a b T -=.题型归纳及思路提示题型16 函数的奇偶性思路提示：判断函数的奇偶性，常用以下两种方法：（1）定义法.①首先看定义域是否关于原点对称；②若)()(x f x f -=-，则函数)(x f 为奇函数；若)()(x f x f =-，则函数)(x f 为偶函数.（2）图像法.根据函数图像的对称性进行判断，若函数)(x f 的图像关于原点中心对称，则)(x f 为奇函数；若函数)(x f 的图像关于y 轴对称，则)(x f 为偶函数.【例2.25】判断下列函数的奇偶性.（1）3|3|36)(2-+-=x x x f ；（2）11)(22-+-=x x x f ；（3）)1(log )(22++=x x x f ；（4）2|2|)1(log )(22---=x x x f ；（5）⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f .评注利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点：①首先必须判断)(x f 的定义域是否关于原点对称.若不关于原点对称，则是非奇非偶函数.若关于原点对称，则对定义域任意x 说明满足定义.若否定奇偶性只需有一个自变量不满足. ②有些函数必须根据定义域化简解析式后才可判断，否则可能无法判断或判断错误，如本例（2），若不化简可能误判为偶函数，而本例（4）可能误判为非奇非偶函数.③本例（3）若用奇偶性的等价形式，则01l o g )1(l o g )1(l o g )()(22222==+++-+=+-x x x x x f x f ，即)()(x f x f -=-，故)(x f 为奇函数，显然，等价形式的整理较定义法更为容易.这提醒我们，在函数解析式较复杂时，有时使用等价形式来判断奇偶性较为方便.变式1：判断下列函数的奇偶性.（1）xx x x f -+-=11)1()(；（2）24|3|3)(x x x f -+-=；（3）⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--<+=)1(2)11(0)1(2)(x x x x x x f ；（4）|2||2|)(++-=x x x f .变式2：已知函数2lg )2lg()(2-++=x x x f ，试判断其奇偶性.【例2.26】已知函数),0()(2R x x xa x x f ∈≠+=，试判断其奇偶性.评注 ①函数)(x f 是奇函数⇔0)()(=-+x f x f ；函数)(x f 是偶函数0)()(=--⇔x f x f .奇偶函数的前提是函数的定义域关于原点对称.②若要说明一个函数为非奇非偶函数，可以举一个反例.③本题的结论还可以借用运算函数的的奇偶性的规律获得，已知函数是一个由2x 与x a 通过加法法则运算得到的函数，而2x y =为偶函数，)0(≠=a xa y 为奇函数，故当0≠a 时，)(x f 为“偶+奇”形式，故为非奇非偶函数；当0=a 时，则2)(x x f =为偶函数.变式1：函数)()1221()(x f x F x ⋅-+=是偶函数，并且)(x f 不等于零，则)(x f 是（） A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数变式2：对于函数R x x f y ∈=),(，“|)(|x f y =的图象关于y 轴对称”是“)(x f 是奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【例 2.27】定义在实数集上的函数)(x f ，对任意R y x ∈,都有)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++，且0)0(≠f ，试判断)(x f 的奇偶性.评注对于抽象函数奇偶性的判断，常通过赋值法（如令1,1,0-=x 等）凑成含有)(x f 与)(x f -的关系的式子，然后进行判断.变式1：已知函数)(x f 在R 上有定义，且对任意R y x ∈,都有)()()(y f x f y x f +=+，试判断)(x f 的奇偶性.变式2：若定义在R 上的函数)(x f 满足对任意R x x ∈21,有1)()()(2121++=+x f x f x x f ，则下列说法正确的是（）A.)(x f 是奇函数B.)(x f 是偶函数C.)(x f +1为奇函数D.)(x f +1为偶函数变式3：已知函数)(x f 在)1,1(-上有定义，且对任意)1,1(,-∈y x 都有)1()()(xyy x f y f x f ++=+，试判断函数)(x f 的奇偶性.变式4：已知)(x f ，)(x g 在R 上有定义，对任意的R y x ∈,，有)()()()()(y f x g y g x f y x f -=-，且0)1(≠f .(1)求证：)(x f 为奇函数；(2)若)2()1(f f =，求)1()1(-+g g 的值.【例 2.28】已知偶函数1)1()(23++-=mx x a x f 的定义域为),83(2m m m --，则=+a m 2______________.变式1：若函数))(12()(a x x x x f -+=为奇函数，则=a （） 21.A 32.B 43.C 1.D变式2：若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则=a _____________.变式3：若a x f x +-=121)(是奇函数，则=a _____________.变式4：函数k k k x f x x(212)(⋅+-=为常数）为其定义域上的奇函数，则=k ____________.变式5：函数)1)(11(log )(>--=a x kx x f a 为其定义域上的奇函数，则=k __________.【例2.29】已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，当)0,(-∞∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(+∞∈x 时，)(x f =_______________.评注解此类题分三步：第一步将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；第2步将转化后的自变量代入已知解析式；第3步利用函数的奇偶性求出解析式.变式1：已知函数)(x f 为R 上的奇函数，且当0>x 时，2)(x x x f -=，求函数)(x f 的解析式.【例 2.30】已知)(x f 为定义域是关于原点对称区间上的函数，求证：)(x f 一定可以写成一个奇函数与一个偶函数之和的形式. 变式1：已知定义在R上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足)1,0(2)()(≠>+-=+-a a a a x g x f x x .若a g =)2(，则)2(f =（）2.A 415.B 417.C 2.a D变式2：设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论正确的是（） A.|)(|)(x g x f +是偶函数 |)(|)(.x g x f B -是奇函数)(|)(|.x g x f C +是偶函数 )()(|.x g x f D -是奇函数【例2.31】函数)(1sin )(3R x x x x f ∈++=，若2)(=a f ，则)(a f -的值为（） 3.A 0.B 1.-C 2.-D评注本题中虽然函数整体没有奇偶性，但可利用局部的奇偶性求解，尤其是当)(x f 为奇函数时，0)()(=+-x f x f ，特别地0)()(max min =+x f x f .变式1：对于函数c bx x a x f ++=sin )(（其中Z c R b a ∈∈,,），选取c b a ,,的一组计算)1(f 和)1(-f ，所得出的正确结果一定不可能是（）A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2变式2：已知函数),(4sin )(3R b a x b ax x f ∈++=，5))10(lg(log 2=f ，则=))2(lg(lg f ( )A.5-B.5-C.3D.4变式3：设函数1sin )1()(22+++=x xx x f 的最大值为M ，最小值为m ，则.______=+n M题型17 函数的单调性（区间）思路提示判断函数的单调性一般有四种方法：定义法、图像法、复合函数单调性法和导数法. 【例2.32】求证：函数)0()(>+=a xax x f 在),[+∞a 上是增函数.评注利用函数单调性的定义判定时，其步骤为：（1）取值；（2）作差比较；（3）定量；（4）判断.解题时注意所设的21,x x 在区间内须具有任意性.若否定函数单调性时，只要取两个特殊自变量说明不满足即可.变式1：已知函数)(x f 对任意R y x ∈,，满足2)()()(++=+y x f y f x f ，当0>x 时，2)(>x f ，求证：)(x f 在R 上是增函数.变式2：定义在R 上的函数0)0(),(≠=f x f y ，当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈,，有)()()(b f a f b a f ⋅=+. （1）求证：1)0(=f ；（2）求证：对任意的R x ∈，恒有0)(>x f ；（3）证明：)(x f 是R 上的增函数；（4）若1)2()(2>-⋅x x f x f ，求x 的取值范围.【例2.33】设),(a -∞是函数5||42+-=x x y 的一个减区间，则实数a 的取值范围是（） ),2.[+∞-A ]2,.(--∞B ),2.[+∞C ]2,.(-∞D变式1：下列区间中，函数|)2ln(|)(x x f -=在其上为增函数的是（） ]1,.(-∞A ]34,1.[-B )23,0.[C )2,1.[D变式2：已知函数a ex f a x ()(||-=为常数）.若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是__________________.变式3：定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=，若)(x f 在区间]2,1[上是减函数，则)(x f （）A.在区间]1,2[-上是增函数，在区间]4,3[上是减函数B.在区间]1,2[--上是增函数，在区间]4,3[上是减函数C.在区间]1,2[-上是减函数，在区间]4,3[上是增函数D.在区间]1,2[--上是减函数，在区间]4,3[上是增函数变式4：已知⎩⎨⎧≥<+-=)1(log )1(4)13()(x x x a x a x f a 是R 上的减函数，那么a 的取值范围是（）)1,0.(A )31,0.(B )31,71.[C )1,71.[D题型18 函数的周期性思路提示（1）)0(||)()(≠=⇒=+a a T x f a x f ；)(||)()(b a b a T b x f a x f ≠-=⇒+=+；（2）)0(||2)()(≠=⇒-=+a a T x f a x f ； )(||2)()(b a b a T b x f a x f ≠-=⇒+-=+； )0,(||2)()(≠≠-=⇒=+⋅+c b a b a T c b x f a x f . （3）)0(||6),2()()(≠=---=a a T a x f a x f x f .【例 2.34】已知函数)(x f 对任意实数x 都满足)(1)1(x f x f =+，若8)1(=f ，则=)2014(f ___________.变式1：函数)(x f 对任意实数x 都满足)(1)2(x f x f =+，若5)1(-=f ，则=))5((f f ____.【例2.35】已知函数)(x f 满足),)(()()()(4,41)1(R y x y x f y x f y f x f f ∈-++==，则=)2010(f _____________.【例2.36】已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒等于零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是（） A.0 B.21 C.1 D.25评注本题也可以从另外一方面解答，先构造一个函数，当Z x ∉时，xx f x x f )(1)1(=++.令x x f x g )()(=，则1)1()1(++=+x x f x g .所以)()1(x g x g =+，1=T ，令21-=x ，得0)21(),21(21)21(21)21(21==-=-f f f f .因为)21(25(g g =），即021)21(25)25(==f f .故0)25(=f .变式1：已知a 为非零常数，R x ∈且)(1)(1)(x f x f a x f -+=+，试判断)(x f 的周期性.题型19 函数性质的综合思路提示（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍. 如函数)(x f 的图象关于点)0,(a 和点)0,(b 中心对称，可得)(||2b a b a T ≠-=.)2()(),2()(x b f x f x a f x f --=--=，所以)2()2(x b f x a f -=-，可得||2b a T -=.如函数)(x f 的图象关于直线a x =和直线b x =轴对称，可得)(||2b a b a T ≠-=.)2()(),2()(x b f x f x a f x f -=-=，所以)2()2(x b f x a f -=-，可得||2b a T -=.如函数)(x f 关于点)0,(a 中心对称，且关于直线b x =轴对称，可得)(||4b a b a T ≠-=.)2()(),2()(x b f x f x a f x f -=--=，所以)2()2(x b f x a f -=--，故)()44(x f x a b f =+-，||4b a T -=.【2.37】定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的)](0,(,2121x x x x ≠-∞∈，有0)]()()[(2121>--x f x f x x ，则当*N n ∈时，有（）)1()1()(.+<-<-n f n f n f A )1()()1(.+<-<-n f n f n f B )1()()1(.-<-<+n f n f n f C )()1()1(.n f n f n f D -<-<+变式1：已知定义域为R 的函数)(x f 在区间),8(+∞上减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（）)7()6(.f f A > )7()6(.f f B > )9()7(.f f C > )10()7(.f f D >变式2：已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)31()12(f x f <-的x 的取值范围是（）)32,31.(A )32,31.[B )32,21.(C )32,21.[D变式3：设函数)(x f 是奇函数，并且在R 上为增函数，若20πθ≤≤时，0)1()s i n (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是（）)1,0.(A )0,.(-∞B )21,.(-∞C )1,.(-∞D变式4：设函数}{,1)3()(3n a x x x f -+-=是公差不为0的等差数列，14)(...)()(721=+++a f a f a f ，则=+++721...a a a （）A. 0B. 7C. 14D. 21【例2.38】函数)(x f 的定义域为R ，若)1(+x f 与)1(-x f 都是奇函数，则（）A.)(x f 是偶函数B.)(x f 是奇函数C.)2()(+=x f x fD.)2(+x f 是奇函数变式1：定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在]0,1[-上单调递增，设)3(f a =，)2(),2(f c f b ==，则c b a ,,的大小关系是（）c b a A >>. b c a B >>. a c b C >>. a b c D >>.变式2：已知定义在R 上奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-，且在区间]2,0[上是增函数，则（）)80()11()25(.f f f A <<- )25()11()80(.-<<f f f B)25()80()11(.-<<f f f C )11()80()25(.f f f D <<-【例 2.39】定义在R 上的函数)(x f 是奇函数，且是以2为周期的周期函数，则)7()4()1(f f f ++=( )1.-A 0.B 1.C 4.D变式1：已知)(x f 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当20<≤x 时，x x x f -=3)(，则函数)(x f 的图象在区间]6,0[上与x 轴的交点的个数为（）A.6B.7C.8D.9【例 2.40】函数)(x f 的定义域为D ，若对任意的D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f ≤，则称函数)(x f 在D 上为非减函数，设函数)(x f 在]1,0[上为非减函数，且满足以下3个条件：①0)0(=f ；②)(21)3(x f xf =；③)(1)1(x f x f -=-，则=+)81()31(f f ( ) 43.A 21.B 1.C 32.D变式1：定义在R 上的函数满足1)1()(,0)0(=-+=x f x f f ，)(21)3(x f xf =，且当1021≤<≤x x 时，)()(21x f x f ≤，则=)20101(f ___________.变式2：设)(x g 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数)()(x g x x f +=在区间]4,3[上的值域为]5,2[-，则)(x f 在区间]10,10[-上的值域为_____________.变式3：对于定义域为]1,0[的连续函数)(x f ，如果同时满足以下3个条件：①对任意的]1,0[∈x ，总有0)(≥x f ；②1)1(=f ；③若1,0,02121≤+≥≥x x x x ，都有)()()(2121x f x f x x f +≥+成立，则)(x f 为理想函数.（1）若函数为理想函数，求)(x f 的值域；（2）判断函数])1,0[(12)(∈-=x x g x是否为理想函数，并予以证明；（3）若函数)(x f 为理想函数，假定存在]1,0[0∈x ，使得]1,0[)(0∈x f ，且00))((x x f f =，求证：00)(x x f =.最有效训练题6（限时45分钟）1.已知函数)32(log )(22--=x x x f ，现使)(x f 为减函数的区间是（）)6,3.(A )0,1.(-B )2,1.(C )1,.(--∞D2.已知函数]3,2[,)(2-∈=x x x f ，如果存在实数]3,2[,21-∈x x ，使得对任意实数]3,2[-∈x ，都有)()()(21x f x f x f ≤≤，则||21x x -的值是（）A.0B.2C.3D.53.函数)(x f )(R x ∈的图象如图所示，则下列哪个区间是函数)10)((log )(<<=a x f x g a 的单调减区间（）]21,0.[A ),21[)0,.(+∞-∞ B ]1,.[a C ]1,.[+a a D4.已知函数⎩⎨⎧≥<-=)2()2()4()(x a x x a x f x 在R上单调递增，则a 的取值范围是（） ]4,1.(A )4,2.(B )4,2.[C ),4.(+∞D5.函数)(x f 是以2为周期的偶函数，且当)1,0(∈x 时，12)(-=x x f ，则)12(log 2f 的值为（）31.A 34.B 2.C 11.D 6.设2)(3-+=x x x f ，若5)(,1)(-==b f a f ，则=+b a ( )2.-A 0.B 1.C 2.D7.设函数))(()(R x ae e x x f x x ∈+=-是偶函数，则实数=a __________.8.(1)奇函数)(x f 的定义域为]5,5[-，若当]5,0[∈x 时，)(x f 的图象如图所示，则不等式0)(<x f 的解集是__________.(2)已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，且在]0,(-∞上是减函数，若()(2)f a f ≥，则实数a 的取值范围是________.9．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且2()()23f x g x x x +=++，则()()f x g x -=_________. 10.已知函数||sin 1()||1x x f x x -+=+()x R ∈的最大值为M ,最小值为m ，则M m +的值为___________. 11.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒有(2)()f x f x +=-.当[0,2]x ∈时, 2()2f x x x =-.（1）求证: ()f x 是周期函数；（2）当[2,4]x ∈时，求()f x 的解析式；（3）计算(0)(1)(2)(2015)f f f f ++++.12．已知定义域为R 的函数1()41x f x a =++是奇函数.（1）求a 的值；（2）判断()f x 的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.。

抽象函数的性质-奇偶性、对称性、周期性、单调性课件-2024届高三数学一轮复习

()±()
∓()()
f(x±y)=
余弦函数f(x)=cos x
正切函数f(x)=tan x
常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型:
抽象函数f(x)具有的性质
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x+y)=f(x)+f(y)-b
f(xy)=f(x)f(y)

f(xy)= f(x)f(y)或者
g(x)=f′(x).若 f( -2x),g(2+x)均为偶函数,则(

A.f(0)=0
解析:法一

B.g(-)=0
C.f(-1)=f(4)
)
D.g(-1)=g(2)
不妨取 f(x)=1(x∈R),经验证满足题意,但 f(0)=1,所以选项 A 不正确.
因为 f( -2x)为偶函数,所以 f( -2x)=f( +2x), 所以 f( -2× )=f( +2× ),即 f(-1)=f(4),所以 C 正确;
()

f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y)
f(x±y)=f(x)f(y)∓g(x)g(y)
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
()±()
f(x±y)=
∓()()
正弦函数f(x)=sin x 余弦函数g(x)=cos x
余弦函数f(x)=cos x 正弦函数g(x)=sin x
f(2)=3f(2)=3,所以 f(2)=1.
因为 f(2)=f( × )=f( )+f( )=2f( ),所以 2f( )=1,

所以 f( )= .
答案:(1)

最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论

（三）抽象函数的对称性与周期性 1、抽象函数的对称性
性质 1 若函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x) 性质 2 若函数 y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝－f(a－x) （2）f(2a－x)＝－f(x) （3）f(2a＋x)＝－f(－x)
（2）例题
1、 f (x) a x 关于点（ 1 ，1）对称： f (x) f (1 x) 1;
ax a
22
f
(x)
4x 2
1（ 0，1）对称：
f
(x)
f
(x)
2
f
(x)
1 x
1
(
R, x
0)关于（1 ，1）对称：f（x) 22
f
(1) x
1
2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称： f (x) f (x) 0 。
12、 y f (x) 有两个对称中心 (a,0) 和 (b,0) (b a) y f (x) 周期T 2(b a)
推论：奇函数 y f (x) 满足 f (a x) f (a x) y f (x) 周期T 4a
13、 y f (x) 有一条对称轴 x a 和一个对称中心 (b,0) (b a) f (x) 的T 4(b a)
3、若 f (x) f (2a x)或f (a x) f (a x), 则y f (x) 的图像关于直线 x a 对
称。设 f (x) 0有n个不同的实数根，则
x1 x2 xn x1 (2a x1) x2 (2a x2 ) xn (2a xn ) na .

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