抽象函数奇偶性的判定

抽象函数奇偶性的判定 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
专题一抽象函数奇偶性的判定及应用
探究一：抽象函数的单调性和奇偶性问题 抽象函数的具体模型
)()()(y f x f y x f +=+ )()()(y f x f xy f += )()()(y f x f y x f =+ )()()(y f x f xy f =
类型一：抽象函数证明函数的奇偶性问题
① x R ∈，()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，如何证明()f x 为奇函数
② x R ∈，()f x 满足()()()f xy f x f y =+，如何证明()f x 为偶函数
类型二：抽象函数证明函数的单调性问题
① 若,R x ∈且()()()f x y f x f y +=+、()()()f xy f x f y =+证明其单调性
② 若,R x ∈()()()f x y f x f y +=、()()()f xy f x f y =证明其单调性
探究二：函数性质（单调性、奇偶性）定义经典试题 一、判断单调性和奇偶性 1. 判断单调性
根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。

例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间
[]--73，上是
A. 增函数且最小值为-5
B. 增函数且最大值为-5
C. 减函数且最小值为-5
D. 减函数且最大值为-5
分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。

例2．偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是增函数还是减函数，并证明你的结论。

分析：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下： 任取x x x x 121200<<⇒->-> 因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以
f x f x ()()-<-12。

又f x ()是偶函数，所以f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，， 从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。

2. 判断奇偶性
根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。

例3．若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，判断：函数
y f x =()是什么函数。

解：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，） y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称， ∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上，
∴-=--∴=-y f x y f x 0000()()
又y f x 00=() ∴-=f x f x ()()00
即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=，所以y f x =()是偶函数。

二、证明单调性和奇偶性
1.证明单调性
例4．已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0
时，f x ()>1，求证：（1）x >0时，01<<f x ()；（2）f x ()在R 上为减函数。

证明： 对一切x y R ，∈有f x y f x f y ()()()+=⋅。

且f ()00≠，令x y ==0，得f ()01=，
现设x >0，则-<x 0，f x ()->1， 而f f x f x ()()()01=⋅-=
∴-=
>f x f x ()()
1
1 ∴<<01f x ()， 设x x R 12，∈且x x 12<， 则0121<-<f x x ()，
f x f x x x ()[()]2211=-+=-⋅<f x x f x f x ()()()2111 ∴>f x f x ()()12， 即f x ()为减函数。

2.证明奇偶性
例5．已知f x ()的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足f xy f x f y ()()()=+，求证：f x ()是偶函数。

分析：在f xy f x f y ()()()=+中，令x y ==1，
得f f f f ()()()()11110=+⇒=
令x y ==-1，得f f f f ()()()()11110=-+-⇒-=
于是f x f x f f x f x ()()()()()-=-⋅=-+=11 故f x ()是偶函数。

三、求参数范围
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定
义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数
定义域的作用。

例6．已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足
f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围。

解： f x ()是偶函数，且在（0，1）上是增函数， ∴f x ()在()-10，上是减函数，
由-<-<-<-<⎧⎨⎩121141
2
a a 得35<<a 。

（1）当a =2时， f a f a f ()()()-=-=2402，不等式不成立。

2）当32<<a 时，
f a f a f a a a a a a ()()
()-<-=-⇔-<-<-<-<->-⎧⎨⎪
⎩⎪<<2441201402432
2
222解之得，
（3）当25<<a 时， f a f a ()()-<-242
=-⇔<-<<-<-<-⎧⎨⎪
⎩
⎪<<f a a a a a a ()22240210412425
解之得，
综上所述，所求a 的取值范围是()()3225，， 。

四、不等式
1.解不等式 这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f ”，转化为代数不等式求解。

例7．已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，
f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集。

解：设x x R 12、∈且x x 12< 则x x 210-> ∴->f x x ()212， 即f x x ()2120-->，
∴=-+=-+->∴>f x f x x x f x x f x f x f x f x ()[()]()()()()()22112111212 故f x ()为增函数，
又f f f f f ()()()()()3212123145=+=+-=-=
3
1122)1(3)22(3
)1(2
2<<-∴<--=<--∴=∴a a a f a a f f 即，
因此不等式f a a ()2223--<的解集为{}a a |-<<13。

2. 讨论不等式的解
求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。

例8，. 已知)(x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，若[]1,1,-∈b a ，且0≠+b a 时，恒有
0)
()(>++b a b f a f .（1）判断)(x f 在[]1,1-上是增函数还是减函数，并证明你的结
论；
（2）解不等式)6()15(2x f x f <-
五、比较函数值大小 利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单
调区间内，然后利用其单调性使问题获解。

例9，已知函数f x ()是定义域为R 的偶函数，x <0时，f x ()是增函数，若x 10<，
x 20>，且||||x x 12<，则f x f x ()()--12，的大小关系是_______。

分析： x x 1200<>，且||||x x 12<， ∴<-<⇒-<<001221x x x x 又x <0时，f x ()是增函数，
∴-<f x f x ()()21 f x ()是偶函数 ∴-=f x f x ()()11
故f x f x ()()->-12 1. 对于定义在R 上的函数)(x f ，给出三个命题：
（1）若)2()2(-f f =，则)(x f 是偶函数；（2）若)2()2(-f f ≠，则)(x f 不是偶函数；
（3）若)2()2(-f f =，则)(x f 一定不是奇函数.其中正确命题的序号为________________
2. 下列命题中，说法正确的是____________
（1）若定义在R 上的函数)(x f 满足)1()2(f f >，则函数)(x f 是R 上的单调增函数；
（2）若定义在R 上的函数)(x f 满足)1()2(f f >，则函数)(x f 不是R 上的单调减函数；
（3）若定义在R 上的函数)(x f 在区间(]0,∞-上是单调增函数，在区间[)+∞,0上也是单
调增函数，则函数)(x f 是R 上的单调增函数；
（4）若定义在R 上的函数)(x f 在区间(]0,∞-上是单调增函数，在区间()+∞,0上也是单
调增函数，则函数)(x f 是R 上的单调增函数；
变式：若定义在R 上的函数对任意的R x x ∈21,都有2)()()(2121++=+x f x f x x f 成立，且当0>x 时，.2)(->x f （1）求证：2)(+x f 是奇函数；（2）求证：)(x f 是R 上的增函数；
函数=y f(x)，满足R x x ∈∀21,都有f(x 1+x 2)= f(x 1)+ f(x 2)-3, （1）判断函数f(x)-3的奇偶性并予以证明 ⑵若f(x) 最大值为M ，最小值为m ，求M+m
分析;恰当赋值，用定义可证奇偶性，应用奇偶性可求M+m
解析；令,021==x x 则f(0+0)= f(0)+ f(0)-3得()30=f ，令x x x x -==21,则f(x-x)= f(x)+ f(-x)-3得f(x)+ f(-x)=6，令()()3-=x f x g 则
()()()()x g x f x f x g -=-=--=-33所以f(x)-3为奇函数。

⑵()3max -=M x g ，()3min -=m x g ，()x g 为奇函数图像关于原点对称()03x g M =- ，()
03x g m -=-所以6=+m M
点评: 奇偶性定义是判断抽象函数奇偶性的重要方法，恰当赋值找出f(x)+ f(-x)=6是关键
2，函数=y f(x)，满足),()()(,,a bf b af ab f R b a +=∈（1）求)1(),0(f f 的值，⑵判断并证明f(x)的奇偶性
解析；令,0==b a 则()00=f ，令1==b a 则()01=f ⑵()()()[]111-⨯-=f f =()()()()()121111--=-⨯-+-⨯-f f f 得()01=-f 再令
()()()()()x f f x x f x f x b a -=-•+⨯-=-⇒=-=11,1，所以f(x) 为奇函数
点评:要判断f(x)的奇偶性必先求出()1-f ，而把1写成()()11-⨯-是关键
3， 定义在R 上的函数=y f(x)满足),2()2(x f x f +=-且在[]7,0上只有
0)3()1(==f f ，判断f(x)的奇偶性并说明理由
解析； f(x)在[]7,0上只有0)3()1(==f f 令3=x 则
()()()()0532321≠=+=-=-f f f f 所以()()11f f ≠-，()()11f f -≠-所以f(x)既不
是奇函数也不是偶函数。

点评:判定一个命题不成立，只需举出反例即可。

4， 已知定义在R 上的函数=y f(x)满足条件()()x f x f -=+2
3，且函数=y ()43-x f 是奇函数，判断=y f(x)的奇偶性并说明理由 解析；因为=y ()43-x f 是奇函数，所以()=--43x f ()4
3--x f ，用x 替代43
-x 得
()=--2
3
x f ()x f -又()()x f x f -=+2
3∴()=--23x f ()23+x f ()()x f x f =-⇒所以f(x)
为偶函数
5， 定义在R 上的函数=y f(x)满
足:(),141=f ()()()()()R y x y x f y x f y f x f ∈-++=,4 判断=y f(x)的奇偶性并说明
理由
解析；令0=x 得()()()()y f y f y f f -+=04，只需求出()0f ，故再令1,0==x y 得
()()()()()21011014=⇒+=f f f f f ，所以()()()y f y f y f -+=2()()y f y f =-⇒
所以f(x) 为偶函数
6，已知偶函数f(x)在区间[)+∞,0上单调递增求满足()()x f x f <-2的x 取值范围 解析；由偶函数性质得()()|||2|x f x f <-，又f(x)在区间[)+∞,0上单调递增
()()022202222
<-⇒<--⇒<-∴x x x x x 解得1>x
点评：运用偶函数性质()()()x f x f x f ==-可把变量转化为同一单调区间再利用单调性求解，本题若分类讨论，则要分四种情况繁琐，显示了运用性质的重要性。

7，函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，,0)1(=-g 且f(x) g(x)在()0,∞-上单调递增，解不等式f(x) g(x)<0
解析；令()=x F f(x) g(x)，()=-x F f(-x) g(-x)=-()x F 所以()x F 为奇函数，又()=-1F f(-1) g(-1)=0，()01=F ，()x F 在()0,∞-上单调递增，由奇函数在其对称区间上单调性相同得()x F 在()+∞,0上单调递增作出()x F 的简图 所以f(x) g(x)<0即()x F 0<的解是()()+∞⋃-,10,1。