抽象函数单调性及奇偶性练习及答案

1、已知的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足，求

证：是偶函数。

2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值;

(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. 3、函数f(x)对任意x?y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, <0,

f(3)=-2.

(1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

4、已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (2

1)=－1,当且仅当0

且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (

xy

y

x ++1),试证明 (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减

5、已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足:

()()()f a b af b bf a •=+.

(1)求(0),(1)f f 的值;

(2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论;

6、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1；

（2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数；

（4）若f(x)·f(2x-x 2

)>1，求x 的取值范围。

7、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1

()()()2

f m n f m f n +=++,

且1()02f =,当1

2x >时, ()f x >0.

(1)求(1)f ;

(2) 判断函数()f x 的单调性,并证明.

8、函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任

意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1

()13

f >.

(1)求(0)f 的值;

(2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数;

9、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=•,且当0x >时,0()1f x <<.

(1)证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1; (2)证明: ()f x 在R 上单调递减; 10、

函数

()

f x 对于x>0有意义，且满足条件

(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。

（1）证明：(1)0f =；

（2）若()(3)2f x f x +-≥成立，求x 的取值范围。 11、

定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （3） 求证：f(0)=1；

（4） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数；

（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。

12、 已知函数,在R 上有定义，对任意的有 且 （1）求证：为奇函数 （2）若， 求的值

13、

已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有)()()(y f x f y x f +=+且当x ＞0，

.2)1(.0)(-=

(1)判断)(x f 的奇偶性；

(2)求)(x f 在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于x 的不等式.4)()(2)(2+<-ax f x f ax f

14、定义在R 上的函数f （x ）对任意实数a 、b 都有

f （a +b ）+ f （a －b ）=2 f （a ）·f （b ）成立，且f ()00≠。 （1）求f （0）的值； （2）试判断f （x ）的奇偶性；

15、已知定义在R 上的函数()f x 满足：

（1）值域为()1,1-，且当0x >时，()10f x -<<； （2）对于定义域内任意的实数,x y ，均满足： 试回答下列问题： （Ⅰ）试求()0f 的值；

（Ⅱ）判断并证明函数的单调性；

16、定义域为R 的函数f(x)满足：对于任意的实数x ，y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x ＞0时f(x)＜0恒成立.

(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；

(2)证明f(x)为减函数；若函数f(x)在[-3，3）上总有f(x)≤6成立，试确定f(1)应满足的条件；

)

0a ,n (),a (f )x a (f n 1

)x (f )ax (f n 1x )3(22<->-是一个给定的自然数的不等式解关于

参考答案

1、分析：在中，令

，得

令，得

于是

故

是偶函数

2、解析:(1)∵f(x)对任意x,y 都有

f(xy)=yf(x)+xf(y),

令x=y=1,有f(1×1)=1·f(1)+1·f(1). ∴f(1)=0,令x=y=-1,有

f[(-1)×(-1)]=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1), ∴f(-1)=0.

(2)∵f(x)对任意x,y 都有f(xy)=yf(x)+xf(y), 令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1). 将f(-1)=0代入,得f(-x)=-f(x). ∴函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数.

3、解析:(1)令x=y=0,f(0)=0, 令x=-y,可得f(-x)=-f(x),

设x1?x2∈(-∞,+∞)且x1>x2,

则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2) ∵x1>x2,∴x1-x2>0. 又∵x>0时,f(x)<0. ∴f(x1-x2)<0. 即f(x1)-f(x2)<0.

由定义可知f(x)在区间(-∞,+∞)上为单调递减函数.

(2)∵f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,

∴f(x)在[-3,3]上也是减函数. ∴f(-3)最大,f(3)最小.

f(-3)=-f(3)=2. 即f(x)在[-3,3]上最大值为2,最小值为-2.

4、思路分析：对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，

判定

2

11

21x x x x --的范围是焦点

证明 (1)由f (x )+f (y )=f (

xy

y

x ++1)可令x =y =0,得f (0)=0, 令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (2

1x x

x --)=f (0)=0 ∴f (x )=－f (－x )

∴f (x )为奇函数

(2)先证f (x )在(0，1)上单调递减