UG最全方程式曲线及详细表达式

UG方程式曲线及表达式
作者：登科设计
在UG中利用【规律曲线】|【根据方程】绘制各种方程曲线：
1、极坐标（或柱坐标r,θ,z）与直角坐标系(x,y,z)的转换关系：
x=r*cos(θ)；y=r*sin(θ)；z=z
2、球坐标系(r,θ,φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系：
x=rsinθcosφ；y=rsinθsinφ；z=rcosθ
在UG表达式中输入的theta=θ；phi=φ；r=rho
【注：所有UG表达式中，必须先在名称栏输入t，公式栏输入0，类型为恒定的，即无单位。

t是UG自带的系统变量，其取值为0~1之间的连续数】
1.直线
直线的数学方程为y-y0=tan(θ)*(x-x0)，若直线经过点（10,20），倾角θ为30°，长度L为40，即UG表达式为：
theta=30
L=40
xt=10+L*cos(theta)*t
yt=20+L*sin(theta)*t
zt=0
效果如图1
图1 图2
2.圆和圆弧
圆的数学方程为(x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2，若圆心坐标为（50,40），半径r为30，即UG 表达式为：
r=30
theta=t*360
xt=50+r*cos(theta)
yt=40+r*sin(theta)
zt=0
效果如图2
3.椭圆和椭圆弧
椭圆的数学方程为(x-x0)^2/a^2+(y-y0)^2/b^2=1，若椭圆中心坐标为（50,40），长半轴a为30（在X轴上），短半轴b为20，即UG表达式为：
a=30
b=20
theta=t*360
xt=50+a*cos(theta)
yt=40+b*sin(theta)
zt=0
效果如图3
图3 图4
4.双曲线
双曲线的数学方程为x2/a2-y2/b2=1，若中心坐标为（0,0），实长半轴a为4（在x轴上），虚半轴b为3，y的取值范围为-5~+5内的一段，即UG表达式为：
a=4
b=3
yt=10*t-5
xt=a/b*sqrt(b^2+yt^2)或xt=-a/b*sqrt(b^2+yt^2)
zt=0
做出一半后进行镜像复制，效果如图4
5.抛物线
抛物线I的数学方程为y2=2px，若抛物线的顶点为（30,20）焦点到准线的距离p=8，y的取值范围为-25~+25，即UG表达式为：
p=8
yt=50*t-25+20
xt=(yt-20)^2/(2*p)+30
zt=0
效果如图5-1
抛物线II数学参数方程：x=2pt2，y=2pt（其中t为参数）。

UG表达式为：p=8
tt=t*4-2
xt=2*p*tt^2
yt=2*p*tt
zt=0
效果如图5-2
图5-1 图5-2
6.正弦曲线
若正弦曲线一个周期X方向长度为50，振幅为10，即UG表达式为：theta=t*360
xt=50*t
yt=10*sin(theta)
zt=0
效果如图6
7.余弦曲线
若余弦曲线一个周期X方向长度为50，振幅为10，即UG表达式为：theta=t*360
xt=50*t
yt=10*cos(theta)
zt=0
效果如图7
图6 图7
8.圆柱螺旋线
若圆柱螺旋线半径r为20，螺距p为10，圈数n为5，即UG表达式为：r=20
p=10
n=5
theta=t*360
xt=r*cos(theta*n)
yt=r*sin(theta*n)
zt=p*n*t或zt=cos(theta*n)+p*n*t
效果如图8
图8 图9
9.碟形弹簧
若碟形弹簧半径r为20，螺距p为10，圈数n为5，即UG表达式为：r=20
p=10
n=5
theta=t*360
xt=r*cos(theta*n)
yt=r*sin(theta*n)
zt=cos(theta*n^2)+p*n*t或zt=cos(theta*n^2.4)+p*n*t
效果如图9
10.圆锥螺旋线和圆台螺旋线
若圆锥螺旋线底圆半径r为20，螺距p为5，圈数n为10，即UG表达式为：
r=20*（1-t），若圆台上端半径为5，则r=20*(1-t*0.75)
p=5
n=10
theta=t*360
xt=r*cos(theta*n)
yt=r*sin(theta*n)
zt=p*n*t
效果如图10-1、10-2
图10-1 图10-2
11.三尖瓣线
三尖瓣线数学方程：x=r(2cosθ+cos2θ)；y=r(2sinθ-sin2θ)若将2变为n即扩展为n+1尖瓣线。

若r=20，即UG表达式为：
r=20
n=2
theta=t*360
xt=r*(n*cos(theta)+cos(n*theta))
yt=r*(n*sin(theta)-sin(n*theta))
zt=0
效果如图11
图11 图12
12.星形线【四尖瓣线】
星形线的数学方程：x=r*cos3θ；y=r*sin3θ。

【由n+1尖瓣线通式：x=r(n*cosθ+cos(n*θ))；y=r(n*sinθ-sin(n*θ))当n=3时的情况。

三角函数公式：
sin3θ＝3sinθ－4sin3θ；cos3θ＝4cos3θ－3cosθ】若r=20，即UG表达式为：
r=20
theta=t*360
xt=r*(cos(theta))^3
yt=r*(sin(theta))^3
zt=0
效果如图12
13.渐开线
渐开线的数学方程：x=r(cosθ+θ*sinθ)；y=r(sinθ-θ*cosθ)。

假设渐开线的基圆半径r为10，展开角度θ为360*2，即UG表达式为：
r=10
theta=360*2*t
s=r*rad(theta)=r*(2*pi()/360)*theta=2*pi()*r*t*2
xt=r*cos(theta)+s*sin(theta)
yt=r*sin(theta)-s*cos(theta)
zt=0
效果如图13
图13 图14
14.阿基米德螺线(等径螺线)
阿基米德螺线(等径螺线)数学方程：r=a*θ（极坐标），假设a=10，θ=360*2，即UG 表达式为：
a=10
theta=t*360*2
r=a*theta
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图14
15.对数螺线(等角螺线)
对数螺线(等角螺线)数学方程：r=aemθ。

对数螺线的定义和性质：运动方向始终与极径保持定角λ的动点轨迹称为对数螺线。

假设a=0.005，即UG表达式为：
a=0.005
theta=t*360*2
r=exp(a*theta)
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图15
16.双曲螺线
数学方程：r=a/θ。

若a=10，即UG表达式为：
a=100
theta=t*360*2+1
r=a/theta
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图16
图15 图16 17.连锁螺线
数学方程：r2=a2/θ。

若a=10，即UG表达式为：
a=10
theta=t*360*2+1
r=a/sqrt(theta)
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图17
图17 图18 18.心脏线（肾形线）
心脏线数学方程：r=2a(1+cosθ)；肾形线数学方程：r=a(1+2sin(θ/2))。

若a=10，θ=360°，即UG表达式为：
a=10
theta=360*t
r=2*a*(1+cos(theta))
【或r=a*(1+sin(theta))】
【或r=a*(1+2*sin(theta/2))】
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图18
19.双弧外摆线
双弧外摆线的数学方程：x=3b*cosθ+a*cos3θ，y=3b*sinθ+a*sin3θ。

即UG表达式为：a=10
b=10
theta=t*360
xt=3*b*cos(theta)+a*cos(3* theta)
yt=3*b*sin(theta)+a*sin(3* theta)
zt=0
效果如图19
图19 图20
20.肾脏线
数学方程：x=a(3cost-cos3t)；y=a(3sint-sin3t)
a=10
theta=360*t
xt=a*(3*cos(theta)-cos(3*theta))
yt=a*(3*sin(theta)-sin(3*theta))
zt=0
效果如图20
21.Talbot曲线【？x=(a2+f2+sin2t)cost/a，y=(a2+f2sin2t-2f2)sint/b】
Talbot曲线数学方程：x=(a2+f2sin2θ)cosθ/a，y=(a2+f2sin2θ-2f)sinθ/b。

若a=1.1，b=0.666，θ=360°，f=1，即UG表达式为：
theta=360*t
a=1.1
b=0.666
c=sin(theta)
f=1
xt=(a^2+f^2*c^2)*cos(theta)/a
yt=(a^2-2*f+f^2*c^2)*sin(theta)/b
zt=0
效果如图21
图21 图22
22.四叶线
四叶线数学方程：r=a*cos2θ，若a=10，θ=360°，即UG表达式为：
a=10
theta=t*360
r=a*cos(2*theta)
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图22
23.三叶线
三叶线数学方程：r=a*cos3θ=a*cosθ*(4sin2θ-1)，若a=10，θ=180°，即UG表达式为：a=10
theta=t*180
r=a*cos(3*theta)
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图23
图23 图24
24.双叶线
双叶线数学方程：r=4a*cosθ*sin2θ，若a=10，θ=89.999°，即UG表达式为：a=10
theta=t*89.999
r=4*a*cos(theta)*sin(2*theta)
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
绘制一半后利用y轴镜像，效果如图24
25.Rhodonea曲线
Rhodonea曲线数学方程：r=a*sin(kθ)，若UG表达式为：
theta=t*360*3
xt=(10-6)*cos(theta)+10*cos((10/6-1)*theta)
yt=(10-6)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta)
zt=0
则效果如图25-1
若UG表达式为：
theta=t*360*5
xt=4*cos(theta)+10*cos(0.8*theta)
yt=4*sin(theta)-10*sin(0.8*theta)
zt=0
则效果如图25-2
图25-1 图25-2
26.外摆线
外摆线数学方程：x=(a+b)cosθ-r cos((a+b)/bθ)；y=(a+b)sinθ-r sin((a+b)/bθ)
【其中a、b、r分别是基圆、滚圆、摆点半径，θ为公转角】。

UG表达式为：theta=360*t*10
a=5
b=8
r=8
xt=(a+b)*cos(theta)-r*cos((a/b+1)*theta)
yt=(a+b)*sin(theta)-r*sin((a/b+1)*theta)
zt=0
效果如图26
图26 图27
27.内摆线
内摆线数学方程：x=(a-b)cosθ+rcos((b-a)/bθ)；y=(a-b)sinθ+rsin((b-a)/bθ)
【其中a、b、r分别是基圆、滚圆、摆点半径，θ为公转角】。

UG表达式为：theta=360*t*10
a=5
b=8
xt=(a-b)*cos(theta)+r*cos((1-a/b)*theta)
yt=(a-b)*sin(theta)+r*sin((1-a/b)*theta)
zt=0
效果如图27
28.长短幅圆内旋轮线
UG表达式为：
a=5
b=7
c=2.2
theta=360*t*10
xt=(a-b)*cos(theta)+c*cos((a/b-1)*theta)
yt=(a-b)*sin(theta)-c*sin((a/b-1)*theta)
zt=0
效果如图28
图28 图29 29.长短幅圆外旋轮线
UG表达式为：
theta=360*t*10
a=5
b=3
c=5
xt=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta)
yt=(a+b)*sin(theta)-c*sin((a/b+1)*theta)
zt=0
效果如图29
30.封闭球形环绕曲线
r=10
theta=360*t
phi=360*t*10
yt=r*sin(theta)*sin(phi)
zt=r*cos(theta)
效果如图30
图30 图31
31.费马线（有点像螺纹线）
费马线数学方程：r2=a2θ(需分两段做)。

UG表达式为：
a=4
theta=t*360*5
r=a*sqrt(rad(theta))
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
绘制一半后，绕原点旋转180复制，效果如图31
32.球面螺旋线
球面螺旋线采用球坐标系的方程：rho=10，theta=t*180，phi=t*360*20。

若UG表达式为：
r=10
theta=t*180
phi=t*360*20
xt=r*sin(theta)*cos(phi)
yt=r*sin(theta)*sin(phi)
zt=r*cos(theta)
则效果如图32-1
球面螺旋线(罩形)
UG表达式为：
r=10
theta=t*120
phi=t*360*20
xt=r*sin(theta)*cos(phi)
zt=r*cos(theta)
则效果如图32-2
图32-1 图32-2
33.圆内螺旋线
圆内螺旋线的UG表达式为：
theta=t*360
r=10+10*sin(6*theta)
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=2*sin(6*theta)
效果如图33-1、33-2
图33-1 图33-2（俯视图）34.蝴蝶曲线
蝴蝶曲线球坐标方程：rho=8*t，theta=360*t*4，phi=-360*t*8。

UG表达式为：theta=t*360*4
r=8*t
phi=-360*t*8
xt=r*sin(theta)*cos(phi)
yt=r*sin(theta)*sin(phi)
效果如图34-1、34-2
图34-1 图34-2
35.太阳线
太阳线柱坐标方程：r=1.5*cos(50*theta)+1，theta=t*360，z=0。

即UG表达式为：theta=t*360
r=1.5*cos(50*theta)+1
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图35
图35 图36
36.九瓣花
九瓣花的UG表达式为：
r=20*t
theta=t*360*90
phi=t*360*10
xt=r*sin(theta)*cos(phi)
yt=r*sin(theta)*sin(phi)
zt=r*cos(theta)
俯视图效果如图36
37.蝶线
蝶线球坐标方程：rho=4*sin(t*360)+6*cos(t*360^2)，theta=t*360，
phi=log(1+t*360)*t*360。

即UG表达式为：
theta=t*360
phi=log(1+t*360)*t*360
r=4*sin(t*360)+6*cos(t*360^2)
xt=r*sin(theta)*cos(phi)
yt=r*sin(theta)*sin(phi)
zt=r*cos(theta)
效果如图37
38.无底篮子曲线
无底篮子曲线方程：r=5+0.3*sin(t*180)+t，theta=t*360*30，z=t*5。

即UG表达式为：theta=360*t*30
r=5+0.3*sin(t*180)+t
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=t*5
效果如图38
图37 图38
39.飞蝶曲线UFO（漩涡线）
漩涡线的UG表达式为：
r=20^2*t
theta=30*log(30)*t
phi=360*t*20
xt=r*sin(theta)*cos(phi)
yt=r*sin(theta)*sin(phi)
zt=r*cos(theta)
则效果如图39-1
图39-1 图39-2
UFO的球坐标方程：rho=t*20^2，theta=t*log(30)*60，phi=t*7200。

即UG表达式为：r=20^2*t
theta=60*log(30)*t
phi=360*t*20
xt=r*sin(theta)*cos(phi)
yt=r*sin(theta)*sin(phi)
zt=r*cos(theta)
效果如图39-2
40.蘑菇曲线
蘑菇曲线的球坐标：
rho=t^3+t*(t+1)
theta=60*log(60)*t
phi=t^2*360*100
xt=r*sin(theta)*cos(phi)
yt=r*sin(theta)*sin(phi)
zt=-r*cos(theta)
效果如图40-1、40-2
图40-1 图40-2
41.叶（葉）形线
叶（葉）形线I的数学方程：x=3at/(1+t3)；y=3at2/(1+t3)。

若a=10，即UG表达式为：a=10
xt=3*a*t/(1+(t^3))
yt=3*a*(t^2)/(1+(t^3))
zt=0
效果如图41-1
叶形线II数学方程：r=4a*cosθsin2θ-bcosθ。

若a=10，b=2，θ=89°即UG表达式为：a=10
b=2
theta=89
r=4*a*cos(theta)*(sin(theta))^2-b*cos(theta)
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图41-2
图41-1 图41-2
42.概率曲线
概率曲线UG表达式为：
xt=t*10-5
yt=exp(0-xt^2)
zt=0
效果如图42
图42 图43-1 43.箕舌线(魔线)
箕舌线I的UG表达式为：
a=10
xt=t*100-50
yt=8*a^3/(xt^2+4*a^2)
zt=0
效果如图43-1
箕舌线II数学方程：x=tanθ，y=cos2θ。

UG表达式为：
theta=160*t-80
xt=tan(theta)
yt=(cos(theta))^2
zt=0
效果如图43-2
魔线数学方程：x=aθ；y=a/(1+θ2)
a=10
theta=t*360-180
xt=a*rad(theta)
yt=a/(1+(rad(theta))^2)
zt=0
效果如图43-3
图43-2 图43-3 44.正切曲线
正切曲线方程：x=t*8.5-4.25，y=tan(x*20)。

即UG表达式为：
xt=t*8.5-4.25
yt=tan(xt*20)
zt=0
效果如图44
45.双曲正弦曲线
双曲正弦曲线方程：x=6*t-3，y=(exp(x)-exp(0-x))/2。

即UG表达式为：xt=t*6-3
yt=(exp(xt)-exp(-xt))/2
zt=0
效果如图45
图44 图45 46.双曲余弦曲线
双曲余弦曲线方程：x=6*t-3，y=(exp(x)+exp(0-x))/2。

即UG表达式为：xt=t*6-3
yt=(exp(xt)+exp(-xt))/2
zt=0
效果如图46
图46 图47
47.双曲正切曲线
双曲正切曲线方程：x=6*t-3，y=(exp(x)-exp(0-x))/(exp(x)+exp(0-x))。

即UG表达式为：xt=t*6-3
yt=(exp(xt)-exp(0-xt))/(exp(xt)+exp(0-xt))
zt=0
效果如图47
48.蔓叶线
蔓叶线数学方程：r=2a*tanθ*sinθ（分2段做），若a=10，θ=75，即UG表达式为：theta=75
a=10
r=2*a*tan(theta)*sin(theta)
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图48
图48 图49
49.Lissajous曲线
Lissajous曲线数学方程：x=a*sin(nθ+c)，y=b*sinθ。

若a=10，b=10，c=100，n=3，θ=360，即UG表达式为：
theta=t*360
a=10
b=10
c=100
n=3
xt=a*sin(n*theta+c)
yt=b*sin(theta)
zt=0
效果如图49
50.“8”字线
“8”字线方程I：x=a*cos(t*360)，y=b*sin(t*(2*360))。

若a=2，b=1，即UG表达式为：
theta=360*t
a=2
b=3
xt=a*cos(theta)
yt=b*sin(2*theta)
zt=0
效果如图50-1
图50-1 图50-2
“8”字线方程II【Gernono曲线数学方程：x=cost；y=sintcost】
theta=360*t
xt=cos(theta)
yt=sin(theta)* cos(theta)
zt=0
效果如图50-2
“8”字线方程III（墨镜线）的UG表达式为：
theta=360*t
r=10+(8*sin(theta))^2
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图50-3
“8”字线方程IV的UG表达式为：
theta=360*t
a=10
b=10
xt=3*b*cos(theta)+a*cos(3*theta)
yt=b*sin(theta)+a*sin(3*theta)
zt=0
效果如图50-4
图50-3 图50-4 51.一峰三驻点曲线
一峰三驻点曲线方程：x=3*t-1.5，y=(x^2-1)^3+1。

即UG表达式为：
xt=3*t-1.5
yt=(xt^2-1)^3+1
zt=0
效果如图51
图51 图52 52.蛇形线
蛇形线UG表达式为：
xt=2*cos((t+1)*360)
yt=2*sin(t*(5*360))
zt=t*(t+1)
效果如图52
53.梅花线(圆角五星)
梅花线I(圆角五星)的UG表达式为：
theta=360*t
r=10+(3*sin(theta*2.5))^2
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图53-1
梅花线II的UG表达式为：
theta=t*360
r=100+50*cos(5*theta)
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=2*cos(5*theta)
效果如图53-2
图53-1 图53-2 54.手掌
手掌的UG表达式为：
theta=360*t+180
r=cos(360*t^3*6)*2+5
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图54
55.直叶六叶线
直叶六叶线的UG表达式为：
theta=360*t
r=10-(3*sin(theta*3))^2
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=-4*sin(theta*3)^2
效果如图55
图54 图55 56.弯叶六叶线
弯叶六叶线的UG表达式为：
theta=360*t
r=10-(3*sin(theta*3))^2
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=-(r*sin(theta*3))^2
效果如图56
图56 图57 57.六叶花形
theta=t*360
r=5-(3*sin(theta*3))^2
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=(r*sin(theta*3))^2
效果如图57
58.空间螺旋椭圆线
a=10
b=20
theta=t*360*3
xt=a*cos(theta)
yt=b*sin(theta)
zt=t*3*4
效果如图58
图58 图59 59.空间螺旋梅花线
theta=t*360*4
r=10+(3*sin(theta*2.5))^2
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=t*16
效果如图59
60.鼓形线（灯笼形）
r=5+3.3*sin(t*180)+t
theta=t*360*10
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=t*10
效果如图60
图60 图61 61.鼓鼓形线
r=6*sin(t*360)+t
theta=t*360*40
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=t*20
效果如图61
62.蝴蝶结曲线(簪形线)
蝴蝶结曲线方程：
xt=200*t*sin(t*3600)
yt=250*t*cos(t*3600)
zt=300*t*sin(t*1800)
效果如图62-1
簪形线方程：
r=200*t
theta=900*t
phi=t*900
xt=r*sin(theta)*cos(phi)
yt=r*sin(theta)*sin(phi)
zt=r*cos(theta)
效果如图62-2
图62-1 图62-2 63.锁呐线
锁呐线I方程：
r=t^10
theta=t^3*360*6*3+t^3*360*3*3
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=t^3*(t+1)
效果如图63-1
锁呐线II方程：
xt=2*cos(t*360*3)*t
yt=2*sin(t*360*3)*t
zt=(sqrt(sqrt(sqrt(t))))^3*5
效果如图63-2
图63-1 图63-2 64.手把曲线
theta0=t*360
theta1=t*360*6
r0=400
r1=40
r=r0+r1*cos(theta1)
xt=r*cos(theta0)
yt=r1*sin(theta1)
zt=0
效果如图64
65.向日葵线
theta=t*360
r=30+10*sin(theta*30)
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图65
图64 图65 66.环形二次曲线
xt=50*cos(t*360)
yt=50*sin(t*360)
zt=10*cos(t*360*8)
效果如图66
67.柱面正弦波线
r=30
theta=t*360
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=5*sin(5*theta-90)
效果如图67
图66 图67 68.环形螺旋线
n=15
theta=t*360
xt=(50+10*sin(theta*n))*cos(theta)
yt=(50+10*sin(theta*n))*sin(theta)
zt=10*cos(theta*n)
效果如图68
69.内接弹簧
xt=2*cos(t*360*10)+cos(t*180*10)
yt=2*sin(t*360*10)+sin(t*180*10)
zt=t*6
效果如图69
图68 图69 70.多变内接式弹簧
xt=3*cos(t*360*8)-1.5*cos(t*480*8)
yt=3*sin(t*360*8)-1.5*sin(t*480*8)
zt=t*8
效果如图70
图70 图71 71.正弦周弹簧
theta1=t*360
theta2=t*360*20
xt=2*theta1*2*pi/360【注：在UG中可输入xt=2*rad(theta1)】
yt=sin(theta1)*5+cos(theta2)
zt=sin(theta2)
效果如图71
72.双元宝线
r=sin(t*360*10)+30
theta=sin(t*360*15)
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=sin(t*3)*10
效果如图72
73.变形阿基米德螺线(双向)
theta=360*2*(t-0.5)
r=10*theta
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图73
图72 图73 74.双鱼曲线
r=30+10*sin(t*360*10)
theta=t*180*cos(t*360*10)
phi=t*360*30
xt=r*sin(theta)*cos(phi)
yt=r*sin(theta)*sin(phi)
zt=r*cos(theta)
效果如图74
图74 图75 75.“两相望”曲线
r=30+10*sin(t*360*10)
theta=t*180*cos(t*360*10)
phi=t*360*20
xt=r*sin(theta)*cos(phi)
yt=r*sin(theta)*sin(phi)
zt=r*cos(theta)
效果如图75
76.小蜜蜂
xt=cos(t*360)+cos(3*t*360)
yt=sin(t*360)+sin(5*t*360)
zt=0
效果如图76
图76 图77 77.弯月
xt=cos(t*360)+cos(2*t*360)
yt=sin(t*360)*2+sin(t*360)*2
zt=0
效果如图77
78.热带鱼
a=5
xt=(a*(cos(t*360*3))^4)*t
yt=(a*(sin(t*360*3))^4)*t
zt=0
效果如图78
79.燕尾剪
xt=3*cos(t*360*4)
yt=3*sin(t*360*3)
zt=t
效果如图79
图78 图79 80.天蚕丝
theta=t*3600
r=(cos(360*t*20)*0.5*t+1)*t
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图80
图80 图81 81.蜗轨线
theta=t*360*2
r=cos(t*360*30)*t*0.5+t*2
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图81
82.变化后的星形线
theta=t*360
xt=10*cos(theta)^3
yt=10*sin(theta)^3
zt=cos(theta)
效果如图82
图82 图83 83.心电图
r=sin(t*360*2)+0.2
theta=10+t*(6*360)
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=t*3
效果如图83
84.次声波
xt=t*5
yt=t*cos(t*360*8)
zt=0
效果如图84
85.小白兔
theta=t*360-90
r=cos(360*(t/(1+t^(6.5)))*6*t)*3.5+5
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图85
图84 图85 86.蜘蛛网
theta=t*360*5
r=t*sin(t*360*25)*5+8
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图86
图86 图87 87.十字渐开线
theta=t*360*4
r=(cos(t*360*16)*0.5*t+1)*t*10
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图87
88.五环
theta=t*360*4
r=(cos(t*360*5)+1)*10
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图88
图88 图89 89.蜗牛线
蜗牛线数学方程：r=a*sin(θ)/θ。

UG表达式为：
a=10
theta=360*t*5+0.001
r=a*sin(theta)/rad(theta)
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图89
90.内五环
theta=t*360*4
xt=2+(10-5)*cos(theta)+6*cos((10/6-1)*theta)
yt=2+(10-5)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta)
zt=0
效果如图90-1
内五角星
a=5
b=3
s=t*19*180/pi()=t*deg(19)
xt=(a-b)*cos(s)+b*cos((a/b-1)*s)
yt=(a-b)*sin(s)-b*sin((a/b-1)*s)
zt=0
效果如图90-2
图90-1 图90-2 91梨形线
梨形线数学方程：x=1+sint；y=a*cost*(1+sint)。

即UG表达式：
theta=t*360
a=0.8
xt=1+sin(theta)
yt=a*cos(theta)*(1+sin(theta))
zt=0
效果如图91-1
图91-1 图91-2 梨形四次曲线数学方程：b2y2=x3(a-x)
a=10
b=6
xt=10*t
yt=sqrt(xt^3*(a-xt)/b^2)
zt=0
绘制后镜像，效果如图91-2
92.空间梅花形
the=t*360
r=10+(3*sin(theta*2.5))^2
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=5*sin(6*theta)
效果如图92
图92 图93 93.一朵小花
theta=t*360
r=3*cos(360*(t/(1+t^6))*6)+5
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图93
94.红十字
theta=t*360
r=cos(360*t*4)*0.5+1
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图94
图94 图95
95.波浪花环
r=5
theta=t*720
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=sin(3.5*theta-90)
效果如图95
96.正弦波带
xt=5*t^2
yt=sin(t*8*360)*0.5
zt=0
效果如图96
图96 图97 97.悬链线数学方程：y=a*cosh(x/a)
a=5
xt=t*10-5
yt=a*(exp(xt/a)+exp(-xt/a))/2
zt=0
效果如图97
98.塔形螺旋线
r=t*80+50
theta=t*360*10
z=t*80
效果如图98
图98 图99 99.铃铛形线
r=t^3+t*(t+1)
theta=t*360
phi=t^2*360*50
xt=r*cos(phi)
yt=r*sin(phi)
zt=-r*cos(theta)
效果如图99
100.克莱线数学方程：r=4a*cos3(θ/3)
a=5
theta=359*t
r=4*a*(cos(theta/3))^3
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图100
图100 图101 101.对数曲线
对数函数的数学方程：y=log(x)，若x的取值范围从0.0001~10.0001，即对数曲线的UG表达式为：
xt=10*t
yt=log(10*t+0.0001)
zt=0
效果如图101
102.正环索线数学方程：r=a*cos(2θ)/cosθ
a=10
theta=t*178-89或【theta=t*178+91】
r=a*cos(2*theta)/cos(theta)
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
当theta=t*120-60时的效果如图102
图102 图103
103.三等分角线数学方程：r=2a*sin3θ/sin2θ
a=10
theta=89*t+0.1和theta=89*t+90.1
r=2*a*sin(3*theta)/sin(2*theta)
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图103
104.平摆线数学方程：x=at-h*sin(t)；y=a-h*cos(t)
a=3
h=6
theta=360*t*5
xt=a*rad(theta)-h*sin(theta)
yt=a-h*cos(theta)
效果如图104
图104 图105
105.平稳曲线数学方程：x=a*sin(m+n)t/sin(m-n)t；y=2a*sin(mt)sin(nt)/sin(m-n)t a=10
m=8
n=7
theta=179.9*t+0.01
xt=a*sin((m+n)*theta)/sin((m-n)*theta)
yt=2*a*sin(m*theta)*sin(n*theta)/sin((m-n)*theta)
zt=0
效果如图105
106.半立方抛物线数学方程：y3=ax2
a=10
xt=15*t
yt=a^(1/3)*xt^(2/3)
zt=0
【或yt=15*t，xt=sqrt(yt^3/a)，zt=0】
效果如图106
图106 图107
107.追踪曲线数学方程：y=ax2-log(x)
xt=10*t+0.01
yt=a*xt^2-log(xt)
zt=0
效果如图107
108.杖头线数学方程：r=b2/(a*cos2θ)
a=10
b=6
theta=t*120-60
r=(b^2)/(a*(cos(theta)^2))
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图108
图108 图109 109.双扭线数学方程：r2=a2cos(2θ)
a=5
theta=t*90-45
r=a*sqrt(cos(2*theta))
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图109
110.曳物线数学方程：x=1/cosh(t)；y=t-tanh(t) (分两段做) xt=2/(exp(t)+exp(-t))
yt=t-(exp(t)-exp(-t))/(exp(t)+exp(-t))
zt=0
效果如图110
111.L曲线数学方程：(x/a)n+(y/b)n=1
b=8
n=5
xt=t*22.5-10
yt=(1-(xt/a)^n)^(n/1)
zt=0
效果如图111
图110 图111 112.Devils曲线数学方程：r=((25-24tan2θ)/(1-tan2θ))1/2 theta=t*44.9-22.45
r=sqrt((25-24*tan(2*theta))/(1-tan(2*theta)))
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图112
图112 图113 113.八字曲线数学方程：r2=a2cos2θsec4θ
a=5
theta=t*44.9-22.45
r=a*sqrt(cos(2*theta)/cos(4*theta))
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图113
114.蛇状线数学方程：x2y+aby-a2x=0
a=5
b=3
xt=40*t-20
yt=a^2*xt/(xt^2+a*b)
zt=0
效果如图114
图114 图115 115.蚌线数学方程：a(r*cosθ-a)=k2cos2θ
a=5
k=16
theta=t*178-89
r=(k^2*cos(2*theta)+a^2)/(a*cos(theta))
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=0
效果如图115
116.瓦特曲线数学方程：r2=b2-(a*sinθ±(c2-a2cos2θ)1/2)2
a=3
b=8
c=5
theta=t*360
r1=sqrt(b^2-(a*sin(theta)+(c^2-a^2*(cos(theta))^2)^(1/2))^2)
r2=sqrt(b^2-(a*sin(theta)-(c^2-a^2*(cos(theta))^2)^(1/2))^2)
xt=r1*cos(theta)或xt=r2*cos(theta)
yt=r1*sin(theta)或yt=r2*sin(theta)
效果如图116-1或116-2
图116-1 图116-2 117.桃形线
r=t^3+t*(t+1)
theta=t*360
phi=t^2*360*100
xt=r*sin(theta)*cos(phi)
yt=r*sin(theta)*sin(phi)
zt=r*cos(theta)
效果如图117
图117 图118 118.蝴蝶兰线
蝴蝶兰线的UG表达式为：
theta=360*t
r=10-(3*sin(theta*3))^2
xt=r*cos(theta)
yt=r*sin(theta)
zt=r*sin(theta*3)
效果如图118
119.长命锁曲线
a=1*t*359.5 若a=1*t*359.5
b=q2*t*360 b=6*t*360
c=q3*t*360 c=16*t*360
rr1=w1 rr1=10
rr2=w2 rr2=8
rr3=w3 rr3=6
x=rr1*cos(a)+rr2*cos(b)+rr3*cos(c)
y=rr1*sin(a)+rr2*sin(b)+rr3*sin(c)
该曲线方程中q2、q3、w1、w2、w3不知是多少？
效果如图119、120
图119 图120。