质点力学习题课

G
3
例.一质点沿 X轴作直线运动，其 v t曲线 如图所示。当 t 0时，质点位于坐标原点 ，
vm
s
则t 4.5s时，质点在 X轴上的位置为： A 0. B 5m. C 2m. D 2m. E 5m.
2
1
0
解：x v( t )dt
2.5 4.5
位 置 矢 量 和 速 度 都 可与 能加 速 度 垂 直 。
位 置 矢 量 和 速 度 都 不能 可与 加 速 度 垂 直 。
解: 欲判断r , , a 是否可能互相垂直，只要判断
他们彼此的标量积是否可能为零即可。 dr d 2i 2tj a 2 j dt dt
21
x
y
VM地
例. 一轻绳绕过一轻滑轮，质量为m的人抓住了绳的 一端A，绳的另一端B系了一个与人等重的重物。设 人从静止开始上爬，如不计摩擦，求当人相对于绳以 匀速u向上爬时，B端重物上升的速度等于多少？ 解： 系统（人、重物、滑轮、绳） 外力(重力 、屋顶拉力) 对O轴的合外力矩为零 o 系统对O轴的角动量守恒 R 设: 重物B相对地面上升速度为v , LB=Rmv ⊙ 人A相对地面速度为(u-v), LA=Rm(u-v) 取角动量方向向外为正方向 A
7
例.如 图 所 示 ， 用 一 斜 向 的 上 力F 与 水 平 成 300 角 ， 将 一 重 为 G


的 木 块 压 靠 在 竖 直 壁上 面， 如 果 不 论 用 怎 样的 大 力F都 不 能 使
木 块 向 上 滑 动 ， 则 说木 明块 与 壁 面 间 的 静 摩系 擦 数的 大 小 为 ： 1 1 A D 3 B C 2 3 2 3
16
r
例：一质点在外力作用下运动时，下述哪种说法正确： A、质点的动量改变时，质点的动能一定改变。 B、质点的动能不变时，质点的动量也一定不变。 C、外力的冲量是零，外力的功一定为零。 D、外力的功为零，外力的冲量一定为零。
dp F dt Fdt 0
pC
p2 Ek C 2m
动量、动能、功 （不考虑相对论效应）
例. 如图所示。一斜面固定在卡车上，一物体置于该 斜面上。在卡车沿水平方向加速起动的过程中，物块 在斜面上无相对滑动，说明在此过程中摩擦力对物块 的冲量。 （A） 水平向前。
m
（B）只可能沿斜面向上。
（C）只可能沿斜面向下。

选D
（D）沿斜面向上或向下均有可能。
答案：C
A外 0
17
m ，且以匀速率 v 在水平面内 例、如图一圆锥摆，摆球质量为 作圆周运动，圆周半径为 R。则此球环绕一周过程中张力的
冲量大小为（ ）
A) C)
mg tan mg cos
2 R
2 R
答案：D
mg 2 R B) sin T 2 R D) mg m
mg
θ
R
18
2 2 例: 质点作圆周运动,所受外力为: F y i ( x R) j
当质点从o点运动到a点,求:此过程中外力所作功 y a 解: A F dr
a o
o 2 2 ( y i ( x R) j ) (dxi dyj )
v
m m′
(m m)v m(u v) mv ( m m)v mu v m m
u
v
20
例、 半径为R、质量为M、表面光滑的半球放在光滑的水 平面上，在其正上方放置一质量为m的小滑块，当小滑块 从顶端无初速度地滑下后，在图示的 角位置处开始脱 离半径。已知 cos 0.7，求M/m 解：选择m+M为系统，系统水平方向动量守恒：有 m 0 0 MV mv
质点力学习题课
1
例
两质点的速度分别为
v1 3i
v2 3i 4 j
求：两质点的相对速度和两运动方向之间的夹角 解： 相对速度为：
v v2 v1 0i 4 j
两运动方向之间的夹角：
v1 v2 v1 v2 cos
9 3 3 4 cos
2 2
===>
3 cos 5
1
2
例：以匀加速度a上升的升降机的顶棚悬挂一质量均 匀分布的绳子，绳子的线密度为 。绳子下面吊一质 量为m的物体。求绳上各处的张力。
y
a
y
T
y
T G (m y )a
T (m y )( g a )
A外 mgl1 cos
2 2
根据动能定理： A外 A内 EKB EKA
A外 1 mv2 1 mu 2 mgl1 cos
mu 2gl1 cos
13
例. 下列物理量：质量、动量、冲量、动能、势能、 功中与参考系的选取有关的物理量是 。
2 1
v v1
2 0
x
2
m m mv v1 v 2 2 2
分量式
m mv0 cos v 2 cos 2
m m 0 v1 v2 sin 2 2
10
v 2 v 4v cos v1 1 tg 2v 0 cos
小球第一次到达最低位置时，相对于地面的速率为
v v u 2gl 1 cos u
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m
u
相 对于 地 面 ， 在 这一 摆 下 过程 中 摆 线对 小 球 所作 总 功是 多 少？
x
以地面为参考系
: 系统小球与地球 外力： 拉力 做功 内力： 引力 做功
1 1 2 2 mv mu 2 2
v0 x y ud
6
2 例.已知质点的运动方程为 r 2ti 4 t j


在t 0的时间内，质点的运动 状况是（
）。
a
位置矢 量可能和加 速度 垂直，速度不 可能和加 速度垂 直。
b
位置矢 量不可能和 加速 度垂直 ，速度可 能和加 速度垂 直。
c d

R
o
y dx ( x R) dy
2 2 o 2R
2 2 0
a
o
2
a
R
x
( x R) dx ( R
0
y )dy
2
2 3 R 3
( x R)2 y 2 R2
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例.一质量为m的人，站在以速度v前进的小船上，船的质 量为m′。突然发现船的前方有人落水，此人即以相对船 为u的速度，从船的前方跳入水中救人。此人跳离船后， 船的速度为： 人和船为系统，水平方向上动量守 恒。设人跳离船后，船的速度为v’ m m′
y 水 流
变的划速 u 垂直于水流方向离岸划出，求船划过中流
之前相对于岸的运动轨迹。 解： 船，岸 船，水 水，岸 V0 ui xj d/2 t
x

t 0
0
udt ut
o u
V
x 划 船
2
y
V0 xdt d 2

t
0
V0 utd t V 0 ut 2 d d 2
f G
N
解：受力分析如图： 列 方 程 N F cos300 0
0
30
F
则
F sin300 f G 0
由于 F G
F sin300 G 得出： F cos 300
F sin300 1 0 F cos 30 3
f N
选 B
8
例.设有水平力 F作用于斜面上的质点 m.为了使
1
2
3 4 5 t s
t
v(t ) t曲线下的面积
0
1
x 2m
例.质点作曲线运动， r 表位矢，S表路程，
at 表切向加速度。下列表 达式正确的是： c 答案： ds d d dr a . a b. c . d . at dt dt dt dt
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例、如图示光滑斜面固定在水平面上，
子弹m 水平射入静止在斜面上的木块中 求木块沿斜面升高的最大高度 hmax
M v0
m
k
O
பைடு நூலகம்
hmax
x
解： 如图取x 坐标轴
m+M系统碰撞瞬间沿斜面动量守恒；
碰后，m +M +弹簧+地球系统机械能守恒

mv0 cos (m M )V (1) 1 1 2 2 ( m M )V kxmax ( 2 ) 2 2
4
ct 例. 质点沿半径为 R 的圆周按规律: S bt 2 2 运动，其中 b,c 是正常数，且 b c R, 则在切向加速度与法向加速度数值相等以前所经 历的时间是多少？ ds b ct 解： dt d 2 (b ct ) 2 at c, a n R R dt
hmax
mv0 sin2 2 k (m M )
17页
15
hmax xmax sin
(3)
例：从地球表面在与竖直方向成 角方向发射一质量为 m的抛射体，初速度为 v GM M、R为地球的质量与 0 v0 半径 R vmax 求：抛射体上升的最大高度 rmax
解：距地心的最大距离为 rmax R rmax 速度为 vmax 以物体和地球为系统，机械能守恒 O Mm 1 Mm 1 2 2 mvmax G ……..(1) mv0 G 2 R 2 r max 抛射体所受力矩 M r F 0 角动量守恒： mRv0 sin mrmax vmax ……..(2) 解(1)、(2)两个方程，得到：rmax R(1 cos )

m
u
11

m
u
解：以车厢为参考系 : 系统小球与地球
外力： 拉力 内力： 引力 不做功 做功
x
根据动能定理： A外 A内 EKB EKA 1 mgl 1 cos mv 2 0 2 v 是小球相对车厢的速度
v
2 gl 1 cos
R c 2 t 2 2bct b 2 Rc 0
b R t c c
b R 2 b R, t c c c
5
2
at an c
b ct
2
例. 河宽为 d ,靠岸处水流速度为零，中流的速度最快 为
vo 。从岸边到中流，流速按正比增大。某人以不
9
例.已 知 炮 弹 初 速 V0 , 以 仰 角 发 射 ， 到 达 最 高 点 爆 成 炸质量
与 块的速度大小和方向 。水 平 方 向 夹 角 标 定 向 方
y
v0
m
不 计 阻 力 ， 求 另 一 相等的两块。其中一以 块V1垂 直 下 落

v2
解：爆炸过程动量守恒。
o

例.如 图 所 示 ， 车 厢 在 水 轨 平道 上 以 恒 定 的 速 度 u向 右 行 驶 ， 车厢内有一摆线长为 l,小 球 质 量 为 m的 单 摆 。 开 始 时 摆 线 与竖直方向夹角为 ， 摆 球 在 图 示 位 置 相 车 对厢 静 止 ， 而 后 自 由 摆 下 ， 那 么 摆第 球一 次 到 达 最 低 位 置相 时对 地 面 的 速 率 为 多 少 ？ 相 对 于面 地， 在 这 一 下 摆 过 程摆 中线 对 小 球 所作总功是多少？
选择m+M+地球为系统，机械能守恒： v R mM 1 1 2 2 v m地 M mgR (1 cos ) mv MV 2 2 x v 2 mg cos N m R 联立解之可得： 在 处m所受的支持力为0， N 0 M 2 2 2 2 2 2 2.43 v v x v y (v cos V ) v sin m
物体不滑动，对 F的大小有何限制？
已知斜面倾角 ，且 tg m y
F
N

解：研究 m 受力分析图： 列方程:
x
mg
f
F

y: N mg cos F sin 0 x: mg sin F cos f N
代入 tg ,
mg tg F mg tg