复杂网络研究概述++小世界++无标度
复杂网络的结构特性与功能研究
复杂网络的结构特性与功能研究摘要：随着社会的不断发展，现代网络已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分。
复杂网络的研究成为了近年来计算机科学领域的热门话题之一。
本文将介绍复杂网络的结构特性和功能，并探讨这些特性和功能对网络的重要性。
一、引言近年来，复杂网络的研究吸引了广泛的关注，因为它们可以用来模拟和研究各种复杂系统，如社交网络、互联网、生物网络等等。
复杂网络的结构特性和功能不仅仅是理论上的研究，还可以应用到实际问题解决中。
二、复杂网络的结构特性1. 小世界效应复杂网络的小世界效应是指网络中的节点之间通过少量的跳数就能够相互连接。
研究表明，大多数真实世界的复杂网络具有小世界结构，这使得信息传播和交流更加高效。
2. 无标度特性复杂网络的无标度特性是指节点的度分布呈幂律分布，即少数节点连接了大多数的节点。
这使得复杂网络具有高度的鲁棒性和容错性，即使部分节点受到攻击或故障，网络仍然能够正常运行。
3. 社区结构复杂网络中常常存在着明显的社区结构，即节点之间存在着紧密的社交、聚集关系。
研究发现，社区结构在网络中起着重要的作用，它对于网络的功能和演化有着深远的影响。
三、复杂网络的功能1. 信息传播复杂网络的结构特性决定了其在信息传播方面的特殊性。
通过研究复杂网络的结构特征，可以预测信息传播的速度和范围。
这对于社交媒体、广告宣传等领域具有重要的指导作用。
2. 分析和预测复杂网络的结构特性可以用来分析和预测网络中的各种现象。
例如，可以利用网络的结构特征来预测疾病的传播路径，提高公共卫生系统的效率。
3. 纠错和优化复杂网络的鲁棒性和容错性使得它们在纠错和优化方面具有重要的应用价值。
通过研究网络的结构特性，可以找到关键节点并进行优化和保护，提高网络的性能和稳定性。
四、复杂网络的研究方法和应用复杂网络的研究方法包括数学建模、计算模拟和实验观测等多种手段。
研究人员可以通过实验证据收集、网络数据挖掘和社交网络分析等方法来获得网络的结构和功能信息。
小世界效应和无标度
小世界效应和无标度全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：小世界效应和无标度网络是网络科学中两个重要的概念，它们在描述现实世界中的网络结构和特征时起着关键作用。
小世界效应指的是在一个网络中，任意两个节点之间的路径长度都很短，通常只需要经过少数几个中间节点就可以到达。
而无标度网络则是指网络中存在着少数节点连接着大量的节点，这些少数节点被称为“超级节点”，它们的度数远远大于普通节点。
小世界效应最早由美国社会学家米尔曼提出，他在研究人际关系网络时发现，人与人之间的联系非常紧密，平均只需要六步就可以将全球任何一个人与另一个人联系起来。
这就是著名的“六度分隔理论”，也是小世界效应的一个重要实例。
小世界效应在不仅仅存在于社交网络中，在科学合作网络、互联网、神经元网络等多种网络中也有着显著的表现。
小世界效应产生的原因主要有两点：首先是网络中存在一定数量的“桥梁节点”，它们连接着不同社区或簇，起到了联系不同部分的作用；其次是网络中出现了一些环路结构，使得信息传播更加迅速高效。
小世界效应在现实世界中的广泛存在说明了网络的紧密连接和高效传播的特点，为我们深入理解复杂网络结构提供了重要线索。
与小世界效应相对应的是无标度网络的概念。
无标度网络是指网络中存在着少数超级节点，它们连接着大量的普通节点。
这种网络结构不仅在度分布上呈现出幂律分布特征，而且在结构上呈现出高度离散性和不均匀性。
无标度网络的存在可以解释很多现实世界复杂系统中的现象，比如疾病传播、互联网中网页连接、社交网络中的大V用户等。
无标度网络的特点主要有两方面：一是网络中存在着极少数量的超级节点，它们的度数远远高于其他节点；二是网络中大部分节点的度数分布呈现出幂律分布，这意味着网络中有很多度数很低的节点，但同时也存在着极少数量的度数非常高的节点。
这种不均匀的分布使得网络的结构更具鲁棒性和稳定性，因为只要保留少数几个超级节点，整个网络就不会轻易瓦解。
小世界效应和无标度网络在现实世界中广泛存在，并对我们理解复杂网络结构和特性起着重要作用。
复杂网络研究
复杂网络研究复杂网络指的是由大量节点和连接构成的网络，其中节点和连接之间的关系可能非常复杂。
复杂网络研究主要是研究网络的结构和性质，以及网络的功能和行为。
下面将介绍复杂网络研究的基本内容。
一、复杂网络的结构和性质研究复杂网络的结构主要包括节点之间的连接方式和连接的强度。
研究者通过统计网络中节点的度分布、聚集系数、平均路径长度等指标来描述和研究网络的结构。
例如，度分布指的是某个特定度的节点在网络中的数量，通过分析度分布可以揭示网络中节点的联系方式。
此外，复杂网络还有一些特殊的结构特性，如小世界和无标度网络。
小世界网络指的是网络中任意两个节点之间的距离很短，通过少数几步就可以相互连通。
无标度网络指的是网络中存在少数节点连接数非常高，而大多数节点连接数较低。
这些特殊的结构特性对于网络的传播和稳定性有重要影响，因此研究复杂网络结构和性质对于了解网络行为具有重要意义。
二、复杂网络的功能和行为研究复杂网络的功能和行为研究主要是研究网络中节点的相互作用和传播过程。
研究者通过研究网络中的动力学过程，如信息传播、意见形成、疾病传播等，来揭示网络的行为和功能。
网络中节点的相互作用是指节点之间通过连接传递信息和影响行为的过程。
例如，在社交网络中，人们通过连接与朋友、同事等进行信息交流和社交活动。
节点之间的相互作用对于信息传播和影响有重要影响，因此研究网络中节点之间的相互作用对于了解网络行为具有重要意义。
网络中信息的传播过程也是复杂网络研究的一个重要方向。
研究者通过模拟和分析网络中信息的传播过程，例如疾病传播模型、意见传播模型等，来揭示网络中信息传播的规律和机制。
这对于预测和控制网络中信息的传播具有重要意义，例如在疫情预测和社交媒体传播中的应用。
总之，复杂网络研究主要关注网络的结构和性质，以及网络的功能和行为。
通过研究网络的结构和性质，可以了解网络的联系方式和特殊结构；通过研究网络的功能和行为，可以了解网络中节点的相互作用和信息传播过程。
小世界网络和无标度网络
⼩世界⽹络和⽆标度⽹络锚点的重要性线性⽹络中锚点的识别可以有许多⽤途，例如在具有线性拓扑的社区宽带⽹络中，其中⼀个锚点可以作为因特⽹的⽹关，进⽽优化社区⽹络中的整体传输时间。
⽤于军事或者应急响应场景中时，可以通过将其中⼀个锚点作为中⼼节点来添加⼀些LL，从⽽能够创建具有⼩APL值的⽹络拓扑。
锚点的识别也有利于车间通信。
对于⼀个给定的图，最⼩化APL等价于最⼩化图的总路径长度。
锚点的固定⽐例位置始终为0.2N或者0.8N.基于启发式⽅法的确定性链路添加两种确定性链路添加策略，即最⼤CC差异（MaxCCD），和顺序确定性LL添加。
两个节点之间的接近中⼼性差异CCD定义为两个节点的CC值之间的差。
MaxCCD策略在具有最⼤CCD的节点对之间添加LL。
APL表⽰在整个⽹络上节点对之间的路径长度平均值。
AEL刻画了⽹络上平均每条链路的长度。
节点的BC值表⽰其在⽹络中的重要性。
节点的CC值刻画了该节点与其他节点的接近程度。
平均⽹络时延：（Average Network Delay,ANeD）度量了⼀组数据从源节点传播到⽬的节点所需的平均时间。
ANeD等于传播时延和传输时延之和。
顺序确定性L添加是另⼀种基于启发式的确定LL添加⽅法，它将正则线性⽹络转化为由k条LL构成的⼩世界⽹络。
基于⼩世界特征的平均流容量增强启发式算法ACES布雷斯悖论⼩世界⽹络中的路由路由可以被定义为将⽹络中的特定信息从源节点转发到⽬的节点的过程。
分布式路由算法⾃适应分布式路由算法前瞻式路由算法⼩世界⽹络中的容量⽹络容量定义为可以在单位时间内从⽹络的⼀部分传输到另⼀部分的信息量。
增加⽹络容量是提⾼底层⽹络整体性能的关键挑战之⼀。
可以通过两种变换⽅式将正则⽹络转为⼩世界⽹络：重连现有链路NL；添加新链路LL第五章⽆标度⽹络⾃然界中⼴泛存在的⽆标度⽹络遵循幂律度分布。
多种创建⽆标度⽹络的⽅法：通过偏好连接；通过基于适应度的模型；通过改变内在适应度；通过相似性和流⾏度的局部优化；使⽤度指数1；通过贪⼼的全局优化。
网络科学中的复杂网络研究
网络科学中的复杂网络研究随着互联网技术的不断发展，人们的生活方式和工作方式也在发生着巨大的变化。
同时，人们对于互联网的极度依赖也使得网络科学变得越来越重要。
网络科学是一门研究网络结构、行为和演化的学科，其中复杂网络研究是网络科学中的重要方向之一。
本文将探讨网络科学中的复杂网络研究。
一、复杂网络的定义复杂网络是指由大量节点（node）和连接（link）构成的一种网络结构。
在复杂网络中，节点可以代表不同的事物，如人、公司、物品等，而连接则代表节点之间的关系，如交互、联系、传递等。
复杂网络的结构往往是非常复杂的，节点和连接数量很大，而且连接关系存在着很多的变化和不确定性。
二、复杂网络的特征复杂网络具有许多独特的特征，其中比较重要的特征包括：1.小世界性：复杂网络的节点之间往往会形成一些短路径，这些短路径将整个网络连接在了一起。
这种现象称为小世界性。
小世界性意味着网络的信息传递能力很强。
2.无标度性：复杂网络中的节点往往分布不均匀，只有少数节点连接了大量的其他节点，而大多数节点只连接了少量的节点。
这种现象称为无标度性。
无标度性意味着网络的节点之间存在着重要的枢纽节点。
3.聚集性：复杂网络中的节点往往呈现出聚集集中的现象，这些节点之间存在着很多的三角形连接关系。
这种现象称为聚集性。
聚集性意味着网络的节点之间存在着很多的社区结构。
三、复杂网络的研究方法复杂网络的研究方法主要包括两类，一类是基于统计物理学的方法，另一类是基于图论的方法。
基于统计物理学的方法通常用于描述网络中的相变现象，如网络的阈值、相等温转变等。
而基于图论的方法通常用于描述网络中节点之间的联系和关系，如节点之间的距离、聚集系数等。
四、复杂网络的应用复杂网络的应用非常广泛，其中比较重要的应用包括：1.社交网络分析：通过对社交网络进行复杂网络分析，可以深入了解社交网络中的节点之间的关系、信息传播和社区结构等。
2.互联网搜索引擎：搜索引擎可以通过对互联网进行复杂网络分析，提高搜索的效果和精度。
数学领域复杂网络的结构与动力学研究
数学领域复杂网络的结构与动力学研究复杂网络是一类由大量节点（或称为顶点）和连接节点的边（或称为链接）组成的网络。
在数学领域，研究这些复杂网络的结构和动力学具有重要意义。
本文将探讨数学领域复杂网络的结构和动力学研究的相关内容。
一、复杂网络的结构1. 随机网络随机网络是复杂网络研究中最早的模型之一。
在随机网络中，节点和边都是随机地连接的，没有明显的规律可循。
它的结构呈现出一种类似于随机分布的特点，具有高度的随机性和无规则性。
2. 小世界网络小世界网络是一种介于随机网络和规则网络之间的网络模型。
它的特点是节点之间存在短路径长度和高聚类系数。
这意味着两个节点之间的距离相对较短，并且节点之间往往存在着较多的共同邻居。
3. 规则网络规则网络是指节点之间连接具有明显的规律和顺序。
在规则网络中，每个节点都与其邻居节点有相等数量的连接。
这种网络结构在数学领域中常见，例如格点上的数学模型。
4. 无标度网络无标度网络是一类具有幂律分布的网络。
这意味着网络中存在少量的高度连接节点，而绝大多数节点的连接较少。
无标度网络的结构具有高度的异质性和不均衡性。
二、复杂网络的动力学1. 网络扩展网络扩展是指在已有网络基础上添加新节点和边的过程。
在数学领域的复杂网络中，网络扩展通常用于研究节点的增长规律及其对网络结构的影响。
不同的网络扩展规则将导致不同的网络结构和动力学特性。
2. 节点演化节点演化是指网络中的节点在时间上发生变化的过程。
在数学领域的复杂网络中，节点演化可以用于研究节点的属性和行为如何随时间变化。
例如，节点的度分布、连通性和集聚现象等。
3. 动力学过程动力学过程是指在复杂网络中节点之间的相互作用和演化过程。
在数学领域的复杂网络中，常用的动力学过程包括信息传播、同步现象、随机漫步等。
研究动力学过程可以揭示网络中的重要现象和行为。
结语数学领域复杂网络的结构与动力学研究是一个活跃且有挑战性的领域。
通过研究复杂网络的结构和动力学特性，可以更好地理解和解释现实世界中复杂系统的行为。
小世界效应和无标度-概述说明以及解释
小世界效应和无标度-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分提供了关于小世界效应和无标度网络的背景和概要信息。
本节将介绍这两个概念的起源和基本定义，以及它们在网络科学领域的重要性和研究意义。
小世界效应是指在一个具有大量节点的网络中，任意两个节点之间的距离很短，通常只需要经过少数几个中间节点即可到达。
这个现象最早由社会学家斯坦利·米尔格拉姆在1967年的实验中发现，并在1998年由弗兰克和温图拉提出了更为系统的定义。
小世界网络在现实生活中存在广泛，例如社交网络、物流网络和互联网等，这种网络结构具有高效的信息传递和快速的交流特点。
无标度网络是另一个重要的网络拓扑结构，在这种网络中，节点的度数（即与其相连的边的数量）遵循幂律分布。
这意味着有少量的节点具有非常高的度数，而大多数节点的度数相对较低。
这种网络结构的重要性得到了巴拉巴西等学者的广泛研究和关注。
无标度网络具有高度的鲁棒性和抗击毁性，在信息传播、疾病传播和网络攻击等方面具有重要的应用价值。
小世界效应和无标度网络在网络科学领域被视为两个重要的研究课题。
研究人员通过模型构建、实证分析和理论解释等多种方法，探索了这两个概念之间的关系和相互作用。
理解小世界效应和无标度网络的特性和行为规律，有助于我们更好地理解和设计现实世界中的各种网络系统，并且对社会、经济和生物系统等领域的研究有着重要的启示作用。
在接下来的章节中，我们将从不同角度对小世界效应和无标度网络进行深入的研究和分析。
我们将讨论它们的定义、原理、特征，探索它们的影响和应用，并探究它们之间的关系和相互影响。
最后，我们将总结主要观点，评价小世界效应和无标度网络的意义和影响，并提出未来进一步研究的建议。
通过这篇长文的阅读，读者将对小世界效应和无标度网络有一个更全面和深入的了解。
文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：1.2 文章结构本文主要分为五个部分：引言、小世界效应、无标度网络、小世界效应和无标度网络的关系以及结论。
复杂网络与网络安全研究
复杂网络与网络安全研究一、引言随着互联网技术的不断发展，我们的生活已经变得与网络关联更多。
网络安全已经成为一个越来越重要的领域。
而复杂网络则是网络领域里一个热门的话题。
本文将介绍复杂网络的基本概念和特性，以及与网络安全相关的研究成果。
同时，对复杂网络带来的挑战和机遇进行探讨。
二、复杂网络的定义和特性1. 定义复杂网络是一个包含多个节点和边的网络系统。
这个网络系统不仅存在规则的、规则的和随机的部分，而且节点之间还存在着复杂的联系和交互。
复杂网络因此被称为“小世界”网络。
2. 特性（1）小世界和无标度性小世界指的是网络中节点之间的距离很短，可以很快地到达任何一个节点。
而无标度性则是指网络中只有少数节点有大量的连接数，其他节点只有少数的连接数。
（2）聚类系数和度分布聚类系数描述了节点之间的联系密度和连接度的关系。
而度分布则是描述网络中节点的连接数分布情况。
（3）同步现象同步现象指的是网络中的节点往往会形成一些类似于震荡的规律运动。
这种同步现象在复杂网络中尤其显著。
三、复杂网络和网络安全的关系1. 数据隐私复杂网络在数据隐私保护方面扮演着重要的角色。
复杂网络可以通过区分节点等级和实现节点数据发散来维护数据的隐私性。
这种方式已经被广泛应用于互联网银行、医疗保健等领域。
2. 信息传输复杂网络在信息传输方面有很多研究成果。
通过构建复杂网络模型，可以研究网络中的信息传输速率和拓扑结构对信息传输的影响。
这些成果对于优化网络传输和提高网络安全具有重要价值。
3. 网络攻击复杂网络和网络安全之间最常见的联系则是网络攻击。
网络攻击具有随机性、复杂性和高度危险性。
攻击者可能利用复杂网络的小世界特征和无标度性，通过部分节点的攻击拦截整个网络。
为了应对这种攻击，网络安全研究者则需要研究网络的鲁棒性和可靠性。
四、复杂网络和网络安全研究的未来1. 深度学习技术随着机器学习和深度学习技术的广泛应用，复杂网络和网络安全研究也带来了更多的机遇和挑战。
复杂网络的结构特性与动力学模型研究
复杂网络的结构特性与动力学模型研究一、引言在当今社会中，网络已经成为人们生活中不可或缺的一部分。
网络作为一种交流工具，能够将人与人之间、人与信息之间进行有效的联系与传递。
而在网络中，复杂网络的研究则是一个重要的领域。
复杂网络是由大量的节点和连接组成的网络，具有许多特性，它们的结构特性和动力学模型的研究，对于了解和应用网络具有重要的意义。
二、复杂网络的结构特性1. 复杂网络的小世界特性复杂网络的小世界特性是指在复杂网络中，每个节点与其他节点具有较短的平均距离。
这种特性使得在网络中进行信息传递更加高效快捷。
小世界网络的形成通常有两个关键因素，一是网络中包含有随机连接，二是网络中存在少量的长程连接。
通过这种结构特性，复杂网络能够在局部和全局之间平衡信息的传播效率。
2. 复杂网络的无标度特性复杂网络的无标度特性是指在网络中，只有少数节点连接了大部分的其他节点。
这种特性使得复杂网络具有较高的鲁棒性和健壮性。
当网络中的某些节点发生故障或者被攻击时，由于具有无标度特性的节点更多地连接着其他节点，因此网络的连通性相对稳定，不容易被破坏。
3. 复杂网络的社群结构特性复杂网络中常常存在着社群结构，即节点集合之间的紧密连接和节点集合之间的稀疏连接。
这种结构特性使得网络中的节点能够形成社群，并在社群内进行更紧密的联系和信息传递，同时与其他社群之间的联系相对较弱。
社群结构的存在对于网络的稳定性和信息传播具有重要的影响。
三、复杂网络的动力学模型1. 随机网络模型随机网络模型是最简单的复杂网络动力学模型之一。
在随机网络模型中，网络中的连接是完全随机的，所有节点具有相同的平均度数。
这种模型在研究网络中的随机行为和传播动力学等方面具有一定的应用价值。
2. 尺度无关网络模型尺度无关网络模型是一类生成无标度网络的模型。
在尺度无关网络模型中，网络的节点度数分布符合幂律分布。
这种模型能够更加准确地描述真实世界网络中的无标度特性，例如互联网、社交网络等。
复杂网络理论基础题
复杂网络理论基础题复杂网络理论作为计算机科学和网络科学领域的重要分支，旨在研究复杂系统中的网络拓扑结构及其动态演化规律。
本文将介绍复杂网络理论的基础知识，包括网络拓扑结构、节点度分布、小世界网络和无标度网络等内容。
一、网络拓扑结构网络拓扑结构是指网络中各节点之间连接关系的模式。
最简单的网络拓扑结构是随机网络，其中每个节点以等概率与其他节点相连。
然而，在许多实际网络中，节点的连接并不是完全随机的，而是具有某种特定的模式或结构。
二、节点度分布节点度是指节点连接的边的数量，节点度分布描述了网络中不同节点度值的节点数量。
在随机网络中，节点度分布通常呈现泊松分布，即节点度相差不大。
而在复杂网络中，节点度分布往往呈现幂律分布，即存在少数高度连接的节点（大度节点），大部分节点的度较低。
这也是复杂网络与随机网络的一个显著区别。
三、小世界网络小世界网络是指同时具有较高聚集性和较短平均路径长度的网络。
在小世界网络中，节点之间的平均距离较短，通过少数的中心节点即可实现较快的信息传递。
同时，小世界网络中也存在着高度的聚集性，即节点之间存在较多的局部连接。
四、无标度网络无标度网络是指网络中节点度分布呈现幂律分布的网络。
在无标度网络中，只有少数节点具有极高的度，而大部分节点的度较低。
这些高度连接的节点被称为“超级节点”或“中心节点”，它们在网络中起到关键的作用。
五、复杂网络的动态演化复杂网络的动态演化是指网络随时间发展过程中结构和拓扑特性的变化。
常见的复杂网络动态演化模型包括BA 模型和WS 模型。
BA 模型通过优先连接原则，使具有较高度的节点更容易吸引连接，从而形成无标度网络。
WS 模型则通过随机重连机制，在保持网络聚集性的同时，增加了节点之间的短距离连接。
六、复杂网络的应用复杂网络理论在许多领域都有广泛的应用。
例如，在社交网络中，研究人们之间的联系方式和信息传播规律；在生物学领域中，研究蛋白质相互作用网络和基因调控网络；在物流和供应链中，研究供应商和客户之间的联系。
复杂网络
表现
复杂网络复杂网络简而言之即呈现高度复杂性的网络。其复杂性的主要表现以下几个方面：
1）结构复杂的主要表现为节点数目巨大，网络结构呈现多种不同特征。
2）网络进化的主要表现为节点或连接的产生与消失。例如world-wide network，网页或链接随时可能出现 或断开，导致网络结构不断发生变化。
复杂网络
具有自组织、自相似或全部性质的网络
01 概念
03 内容 05 研究方向
目录
02 表现 04 特性
复杂网络（Complex Network），是指具有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部分或全部性质的 网络。特征：小世界、集群即集聚程度的概念、幂律的度分布概念。
概念
复杂网络钱学森给出了复杂网络的一个较严格的定义：具有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部 分或全部性质的网络称为复杂网络。
第二，集群即集聚程度(clustering coefficient)的概念。例如，社会网络中总是存在熟人圈或朋友圈， 其中每个成员都认识其他成员。集聚程度的意义是网络集团化的程度；这是一种网络的内聚倾向。连通集团概念 反映的是一个大网络中各集聚的小网络分布和相互联系的状况。例如，它可以反映这个朋友圈与另一个朋友圈的 相互关系。
3）连接样性：节点之间的连接权重存在差异，且有可能存在方向性。
4）动力学复杂性：节点集可能属于非线性动力学系统，例如节点状态随时间发生复杂变化。
5）节点多样性：复杂网络中的节点可以代表任何事物，例如，人际关系构成的复杂网络节点代表单独个体， 万维网组成的复杂网络节点可以表示不同网页。
6）多重复杂性融合：即以上多重复杂性相互影响，导致更为难以预料的结果。例如，设计一个电力供应网络 需要考虑此网络的进化过程，其进化过程决定网络的拓扑结构。当两个节点之间频繁进行能量传输时，他们之间 的连接权重会随之增加，通过不断的学习与记忆逐步改善网络性能。
复杂网络理论研究状况综述
ＩＩ
■现代管理科学
ＩＩ ＩＩＩ
一管理创新
ｍ＿
复杂网络理论研究状况综述
●刘晓庆陈仕鸿
摘要：文章首先简要介绍了复杂网络理论；然后重点论述了小世界网络模型的研究背景、基础概念及模型的统计特 性；最后对于小世界网络在各个领域的研究进行了简单的概述． 关键词：复杂网络：小世界网络；无标度网络
络——小世界网络（Ｓｍａｌｌ—ｗｏｄｄ Ｎｅｔｗｏｒｋｓ）。显然，当ｐ＝０
时，相当于各边未动．还是规则网络；当ｐ＝ｌ时就成了’随机 网络。１９９９年．Ｂａｒａｂａｓｉ＆Ａｌｂｅｒｔ在Ｓｃｉｅｎｅｅ上发表文章指 出。许多实际的复杂网络的连接度分布具有幂律函数形
万方数据
一管理创新
■现代管珲科学
１２０１０年第９期
的捷径总数仍近似为拦攀。对于足够小的Ｐ和很大的Ｎ，
Ｚ
改进模型与Ｗ—Ｓ模型基本等价。 小世界网络因为重新布线。虽然平均度仍然为Ｋ．但 每个节点的度数不再保持常数。对于Ｎｅｗｍａｎ＆Ｗ８ｔｔｓ改 进的模型，因为每个节点的度数至少为规则网的度数Ｋ．
而增加的捷径是以概率拿连线，因此小世界网络的度分
州
布形态与随机网的度分布形态相似．都是近似服从对称的 泊松分布。表达式如下：
ｃ莳ｐ＝鲁
二、小世界网络概述 １．小世界网络珲论。 （１）小世界问题的提出。小世界理论最早提出来源于 １９６７年．哈佛大学社会心理学家斯坦利．米尔格拉姆 （Ｓｔａｎｌｅｙ Ｍｉｌｇｒａｍ）作了这样的一个实验．他要求３００多人把 他的一封信寄到某市一个“目标”人。于是形成ｒ发信人的 链条．链上的每个成员都力图把这封信寄给他们的朋友、家 庭成员、商业同事或偶然认识的人．以便尽快到达目标人。 实验结果是．一共６０个链条最终到达目标人．链条中平均 步骤大约为６。人们把这个结果说成“六度分离”并广为传 播。现代版本则是．２００２年Ｗａｔｔｓ和哥伦比亚大学社会学系 合作用Ｅ—ｍａｉｌ进行了同样实验。而且实验规模也扩展到了 全球范围。１６６个国家６万人．发ｅｍａｉｌ给１８个目标人。有 科学家甚至从这个现象推演出一个可以评估的数学模型。 你也许不认识奥巴马．但是在优化的情况下．你只需要通过 六个人就可以结识他。“六度分隔”说明了社会中普遍存在 一些“弱链接”关系．但是却发挥着非常强大的作用。 这个玄妙理论表明“世界真小啊！”．“小世界”由此得 名。它引来ｎｒ数学家、物理学家和电脑科学家纷纷投入研 究。结果发现，世界上许多其他的网络也有极相似的结构。 比如，人际网络和ＷＷＷ的架构几乎完全一样．通过超文 本链接的网络、经济活动中的商业联系网络、甚至人类脑 神经元、以及细胞内的分子交互作用网络．有着完全相同 的组织结构。科学家们把这种现象称为小世界效应。 （２）小世界原理及网络模型。小世界效应的精确定义 还在讨论中，目前有一个较为合理的解释是：若网络中任 意两者间的平均距离Ｌ随网络节点数Ｎ的增加呈对数增 长，即Ｌ．ＩｎＮ，当网络中结点数增加很快时。Ｌ变化相对缓 慢，则称该网络具有小世界效应。 １９９８年Ｗａｔｔｓ＆Ｓｔｒｏｇａｔｚ提出了“小世界”网络模型 （Ｗ—Ｓ模型）。小世界网络既具有与规则网络类似的分簇特 性，又具有与随机网络类似的较小的平均路径长度，刻画 了真实网络所有的大聚簇和短平均路径长度的特性。小世 界网络的基本模型是Ｗ—Ｓ模型，算法描述如下： （１）给定规则网：假如我们有～个节点总数为Ｎ．每个 节点与它最近邻的节点Ｋ＝２ｋ相连线的一维有限规则网． 通常要求Ｎ＞＞Ｋ＞＞ｌ。 （２）改写旧连线：以概率Ｐ为规则网的每条旧连线重 新布线．方法是将该连线的一个端点随机地放到一个新位 置上，但需要排除自身到自身的连线和重复连线。
复杂网络的控制与优化
复杂网络的控制与优化复杂网络是由许多相互连接的节点和边所组成的网络结构。
无论是社交网络、互联网、生物网络还是交通网络，都具有复杂的结构和动态的特性。
因此，研究复杂网络的控制和优化是一项非常重要的课题。
一、复杂网络的结构和特性1. 复杂网络的结构复杂网络的结构具有随机性、小世界性、无标度性等特点。
随机性：复杂网络的节点和边的连接没有明显的规律性，呈现出随机性。
小世界性：复杂网络中任意两个节点之间的距离很短，具有“六度分隔”现象。
无标度性：复杂网络中有一些节点拥有更多的连接，这些节点称为“中心节点”，连接数量呈现出幂律分布。
2. 复杂网络的特性复杂网络具有健壮性、可塑性、可靠性、自组织性等特点。
健壮性：复杂网络在遭受攻击或故障时仍能保持功能，具有一定的韧性和恢复能力。
可塑性：复杂网络可以通过节点和边的增删改来适应不同环境下的需求和变化。
可靠性：复杂网络可以通过冗余连接等方式提高其可靠性和稳定性。
自组织性：复杂网络可以通过局部节点之间的相互作用，实现全局的行为和协同。
二、复杂网络的控制与优化1. 复杂网络的控制复杂网络的控制是指通过节点和边的控制，使复杂网络在预定目标下实现最优控制的过程。
常见的复杂网络控制方法包括传统控制方法、动态反馈控制方法、自适应控制方法、非线性控制方法等。
2. 复杂网络的优化复杂网络的优化是指通过调整节点和边的属性，使得复杂网络在某种指标下达到最优的状态。
常见的复杂网络优化方法包括最小生成树算法、最小路径覆盖算法、节点覆盖算法、社区发现算法等。
三、应用实例1. 交通网络优化交通网络是一种复杂的网络结构，通过优化交通网络的节点和边，可以实现交通流量的平衡和最优控制。
例如，在城市交通中，可以通过调整交通信号灯的周期和时间，使得交通流量在不同道路之间平衡，减少拥堵现象。
2. 电网控制电网也是一种复杂的网络结构，通过调整发电机和负荷节点的连接和属性，可以实现电力系统的最优控制和优化。
例如，在电力系统中，可以通过调整发电机的输出功率和负荷节点的用电量，使得电力系统的总体效率最大化。
复杂网络理论及应用研究
复杂网络理论及应用研究网络是现代社会中不可或缺的一部分。
复杂网络理论和应用研究的发展是近年来网络领域中的热点之一。
本文将探讨复杂网络理论的基础知识、应用研究与发展趋势。
一、复杂网络理论的基础知识复杂网络是指由大量节点和连接线交织在一起的网络。
这些网络可以是社交媒体、电力网、生物网络、物流系统等。
复杂网络的结构复杂多样，但通常具有以下特点：1.小世界性：即网络上的任意两个节点间的距离较短，也就是任意两个人之间可能存在一个较短的路径。
2.无标度性：即网络中大部分节点的度数很低，但少数几个节点的度数极高，这些节点被称为“超级节点”。
例如，Facebook和Twitter中的明星用户。
3.聚集性：即节点之间往往呈现出一定的集群现象，即同一社群内的节点之间联系紧密。
例如，朋友之间形成的社交圈子。
复杂网络理论主要研究网络的结构、特征，以及节点之间的相互作用规律。
其中，最常用的方法是网络拓扑结构研究。
这种方法可以显示节点之间的关联方式，例如，节点的度数、聚集系数等。
二、复杂网络的应用研究复杂网络理论在众多领域中都有着广泛的应用。
下面列举一些具体的应用研究。
1.社交网络中的信息传播社交网络是复杂网络应用的重要领域之一。
在社交网络中，如果一个节点发布了某种内容，那么它可以通过与之相连的其他节点将信息传递给更广泛的人群。
因此，社交网络可以被用来研究信息传播的速度、路径和影响力。
2.网络犯罪的预测和预防网络犯罪是一个与日俱增的全球问题。
复杂网络理论可以分析网络犯罪的结构和特点，以及预测犯罪所需要的技术和资源。
例如，可以使用聚类算法对不同的犯罪事件进行聚类，以便了解不同犯罪之间的关系，或者预测未来的犯罪趋势。
3.交通系统的优化在城市交通系统中，复杂网络理论可以应用于分析城市交通网络的结构和稳定性，以及优化交通流和减少拥堵。
例如，可以通过分析不同交通节点的连接方式，以便预测交通拥堵的范围和程度。
三、复杂网络理论的发展趋势随着大数据技术的不断发展，复杂网络理论已经成为了一个蓬勃发展的领域。
复杂网络研究概述
复杂网络研究概述作者：李彦来源：《科学与财富》2012年第10期摘要：自然界中的大量系统都可以用复杂网络进行描述，比如万维网、社交网络、生物网络等。
目前，复杂网络已经成为国际上一个引人注目的新兴研究领域。
在回顾了复杂网络的研究背景后，首先介绍了复杂网络中常用到的一些概念，然后按照时间顺序对复杂网络研究中依次出现的三个经典模型（随机图模型、小世界网络、无标度网络）做了详细介绍。
关键词：复杂网络随机图小世界网络无标度网络一、复杂网络研背景复杂系统由多个相互作用的子系统组成，当把子系统抽象成节点，把子系统之间的相互作用抽象成节点间的边，则复杂系统就可以抽象成一个复杂网络。
复杂网络的复杂性通常体现在两个方面：其一，复杂网络常常包含海量的节点，即节点数量非常庞大；其二，复杂网络中节点之间的连接关系通常非常复杂，即不像规则网络具有完全确定的连接关系，也不像随机网络那样具有完全不确定的连接关系，而是介于两者之间。
复杂系统作为一门独立的学科出现于20世纪90年代，而复杂网络作为研究复杂系统的一个行之有效的方法则产生于90年代末。
一般将具有自组织、自相似、小世界及无标度中的一个或几个特性的大型网络称为复杂网络。
复杂网络广泛存在于自然界、生物界、工程界和人类社会界，如食物链网络、蛋白质网络、新陈代谢网络、基因调控网络、神经网络、因特网、万维网、电力网等[4]。
深入研究复杂网络，可以揭示隐藏在自然界、生物界和人类社会界中大量复杂系统中的共同规律。
这种一般性规律对于把握复杂系统的宏观特征，对于调节复杂网络上的动力学行为都将具有重要意义。
二、复杂网络相关概念用网络的观点描述客观世界起源于1736年瑞士数学家Euler解决哥尼斯堡七桥问题。
复杂网络研究的不同之处在于首先从统计角度考察网络中大规模节点及其连接之间的性质。
复杂网络中最重要的一些性质和参数包括度和度分布、聚集系数、平均最短路径长度、介数等。
网络上一个节点的度通常定义为这个节点具有的连接边的数目，网络中节点的度分布用函数来表示，其含义为一个任意选择的节点恰好有的概率，也等于网络中度数为的结点的个数占网络结点总个数的比例。
无标度复杂网络、小世界及相关随机过程的开题报告
无标度复杂网络、小世界及相关随机过程的开题报告一、研究背景和意义网络科学在过去几十年中得到了迅速的发展和广泛的应用。
网络模型是研究网络结构和动态性质的关键工具。
最早的网络模型是随机图模型，用于描述随机连接的网络。
此后，研究者提出了更加逼近实际网络的模型，其中包括无标度网络和小世界网络。
无标度网络是一类具有幂律分布的度分布的复杂网络，其度分布的异质性非常明显。
这类网络存在少数高度连通的“超级节点”，而绝大多数节点的度数相对较小。
无标度网络的一些性质，如鲁棒性和快速传播等，在复杂网络中具有重要的应用价值。
因此，研究无标度网络的拓扑结构和相关的随机过程对于深入理解复杂网络的结构和动态行为，具有重要的理论和应用价值。
另一方面，小世界网络是介于随机网络和规则网络之间的一类网络。
小世界网络的度分布不是幂律分布，但其具有很小的平均路径长度和高度聚集的特点。
这些特征使其成为高效的信息传递和系统控制的网络拓扑结构。
研究小世界网络的拓扑结构和相关随机过程有助于更好地理解信息传递和系统控制等问题。
因此，本文将从无标度网络和小世界网络两个方面，探讨复杂网络的结构和动态行为，从而深入理解复杂网络的本质和应用价值。
二、研究内容本文将分为以下几个部分：1. 复杂网络的基本概念和理论基础。
介绍复杂网络的基本概念和度分布的幂律分布特征及其在理论上的意义。
2. 无标度网络的拓扑结构和相关随机过程。
详细介绍无标度网络的拓扑结构和其展现出来的“超级节点”特征，以及无标度网络的重要性质，包括鲁棒性、快速传播、群集行为等。
同时，讨论无标度网络的一些基本随机过程，如优先连接、重复连接、撤销连接等。
3. 小世界网络的拓扑结构和相关随机过程。
详细介绍小世界网络的基本特征，如平均路径长度、聚集系数等，并讨论小世界网络的重要随机过程，如随机重连和半随机重连等过程。
4. 无标度网络和小世界网络的结合。
介绍二者的相似点和区别，探讨它们对信息传递和系统控制的影响。
复杂网络的性质与演化规律研究
复杂网络的性质与演化规律研究随着计算机与网络技术的不断进步，网络系统变得越来越复杂，复杂网络因此成为了一种研究热点。
复杂网络有很多独特的性质，例如小世界现象、无标度分布、社团结构、同步现象等等。
这篇文章将会探讨这些性质的含义和演化规律。
一、小世界现象小世界现象最早由美国社会学家米尔曼和沃茨在20世纪90年代提出。
它所指的是社会网络中平均路径长度短，即两个节点之间的平均距离较短。
在随机网络中，平均路径长度与节点数量呈正比例关系，即路径长度较长。
而在完全连接的网络中，平均路径长度与节点数量呈反比例关系，即路径长度很短。
而在现实社交网络中，节点数量可能达到数百万或数千万级别，很难完全连接，也很难保证随机相连，因此小世界网络出现得更为普遍和合理。
此外，小世界网络的另一个显著特征是聚类系数较高。
聚类系数是指一个节点的邻居中有多少对之间也相互连接。
在随机网络中，节点之间的连接分布是随机的，因此聚类系数较低。
而在完全连接的网络中，节点之间的连接分布完全相同，因此聚类系数为1。
在现实网络中，节点往往有固定的社区结构，网络中的节点容易形成团体内部联系紧密、团体之间联系稀少的性质，因此聚类系数较高。
二、无标度分布无标度网络的节点度数分布呈现幂律分布，即节点度数呈现长尾现象。
这意味着网络中有少数节点度数非常高，而大多数节点的度数较低。
这些高度连接的节点被称为“中心节点”或“枢纽节点”。
网络中的这个枢纽节点数量较少，但是它们在网络中的作用巨大，因为它们连接了网络中许多节点。
例如，在互联网结构中，如果几个路由器失败，互联网的整个链路将会中断。
三、社团结构社团是指网络中密切相连的节点集合，一些节点形成的团体，这是由于其性质或功能的相似性造成的。
同一社团内节点之间往往非常相似，而不同社团的节点则差别很大。
社团结构是指复杂网络中组成这些社团的规律。
细想之后就会发现，同一类节点往往有着相似的性质、功能、状态和行为，因此它们之间会有更多的联系。
小世界效应和无标度
小世界效应和无标度全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：小世界效应和无标度网络是现代网络理论中的两个重要概念，它们分别描述了网络中节点之间的联系方式和网络的特征。
在网络科学中，研究人员通过研究这两个概念，可以更好地理解网络的结构和行为，为网络优化提供理论基础。
让我们来了解一下小世界效应。
小世界效应是由心理学家斯坦利·米洛格拉德切（Stanley Milgram）在上世纪60年代提出的，他的著名实验称为“六度分隔实验”。
在这个实验中，米洛格拉德切要求参与者将一份信件通过他们认识的人传递给一个目标个体，但只能通过社交关系转交，而不是直接发送给目标人。
实验结果显示，平均只需要六个中间人就可以将信件传递给目标个体。
这就是“六度分隔定理”的由来，人们之间的联系非常紧密，构成了一个小世界网络。
小世界效应实际上是描述了一个节点与其他节点之间的短距离联系。
在一个小世界网络中，节点之间的平均路径长度很短，即使网络规模很大。
这种短距离联系的存在，使得信息在网络中传播得非常迅速。
对于社交网络、互联网和脑神经网络等复杂系统来说，小世界效应是一个普遍存在的现象。
下面我们来看一下无标度网络。
无标度网络是指网络中节点的度分布符合幂律分布的网络。
在一个无标度网络中，绝大多数节点的度数很小，但有少数节点的度数非常大，呈现出“富者愈富”的特征。
这种特殊的度分布使得网络更加鲁棒和稳健，即使有少数节点被破坏或移除，网络仍然可以保持连接性。
无标度网络的典型例子就是互联网和社交网络。
在这些网络中，有少数“超级节点”拥有大量的连接，而大部分节点只有少量的连接。
这种网络结构使得信息在网络中传播更为高效，同时也增强了网络的抗干扰能力。
小世界效应和无标度网络之间存在着一些联系。
事实上，许多现实世界中的网络同时具备小世界效应和无标度特性。
社交网络中的节点之间联系紧密，呈现出小世界效应；少数“意见领袖”节点拥有大量的粉丝，呈现出无标度的度分布。
复杂网络的特性与应用研究
复杂网络的特性与应用研究复杂网络是指由大量节点和边组成的非线性网络。
在复杂网络中，节点之间相互连接形成了复杂的拓扑结构，这种结构使得网络的行为表现出多样性和非线性，产生了许多有趣的特性。
本文将介绍一些复杂网络的特性和应用研究。
一、小世界网络小世界网络是指在网络中，节点之间的连接呈现出高度的局部聚集性和短路径的全局连通性。
这种结构是由于存在一些“枢纽节点”，这些节点具有极高的度数，连接了大量的节点。
小世界网络在现实世界中广泛存在，例如社交网络、互联网等。
小世界网络的特点是具有高度的效率和鲁棒性。
在网络中引入大量的短程边可以加速信息传播的速度，而且在攻击或随机故障的情况下，小世界网络仍然可以维持连通性和稳定性。
二、无标度网络无标度网络是指节点的度分布呈现出幂律分布的网络。
换句话说，少数节点具有极高的度数，而绝大多数节点的度数较低。
无标度网络可以模拟许多现实世界中的现象，如互联网中的超链接结构、社交网络中的社区结构等。
无标度网络的特点是具有高度的鲁棒性和易受攻击性。
因为少数的高度连接节点对于整个网络的连通性至关重要，所以在攻击或随机故障的情况下，无标度网络的稳定性会受到很大的影响。
三、复杂网络的应用研究复杂网络的应用研究具有广泛的领域，包括社交网络、生物网络、金融网络、交通运输网络等。
在社交网络中，复杂网络可以用来研究人际关系的网络结构和信息传播的机制。
在生物网络中，复杂网络可以应用于研究基因相互作用网络、蛋白质相互作用网络等生物信息学问题。
在金融网络中，复杂网络可以用于分析金融市场的稳定性和研究风险管理策略。
在交通运输网络中，复杂网络可以应用于交通拥堵的模拟和路网优化问题等。
总之，复杂网络是现代科学研究中不可缺少的工具之一。
通过对其特性和应用研究的深入探索，我们可以更好地理解和应对现实中面临的各种问题。
复杂网络研究概述
复杂网络研究概述3周 涛 柏文洁 汪秉宏 刘之景 严 钢(中国科学技术大学近代物理系 合肥 230026)摘 要 近年来,真实网络中小世界效应和无标度特性的发现激起了物理学界对复杂网路的研究热潮.复杂网络区别于以前广泛研究的规则网络和随机网络最重要的统计特征是什么?物理学家研究复杂网络的终极问题是什么?物理过程以及相关的物理现象对拓扑结构是否敏感?物理学家进入这一研究领域的原因和意义何在?复杂网络研究领域将来可能会向着什么方向发展?文章围绕上述问题,从整体上概述了复杂网络的研究进展.关键词 复杂网络,小世界,无标度,拓扑性质A brief revie w of complex net worksZHOU Tao BAI Wen 2Jie WAN G Bing 2Hong L IU Zhi 2Jing YAN G ang(Depart ment of Modern Physics ,U niversity of Science and Technology of China ,Hef ei 230026,China )Abstract In recent years the discovery of small 2world effects and scale 2free properties of real 2life networks has attracted a much interest among physicists.Which are the most important statistical characteristics for complex networks that are known from regular networks and random networks ?What is the ultimate goal of the study of complex networks ?Are physical processes sensitive to the topological structure of networks ?What are the reason and meaning for physicists to enter the research field of complex networks ?What are the direc 2tions for future research ?In this paper we concentrate on the above questions and present a general overview of complex networks.K eyw ord complex networks ,small 2world ,scale 2free ,topological characters3 国家重点基础研究发展计划项目;国家自然科学基金(批准号:70271070,70471033,10472116)、中国与加拿大大学工业联合基金(批准号:CCU IPP 2NSFC 70142005)、高等教育博士点专项基金(批准号:SRFDP 20020358009)资助项目2004-06-30收到初稿,2004-08-07修回 通讯联系人.E 2mail :bhwang @1 引言自然界中存在的大量复杂系统都可以通过形形色色的网络加以描述.一个典型的网络是由许多节点与连接两个节点之间的一些边组成的,其中节点用来代表真实系统中不同的个体,而边则用来表示个体之间的关系,通常是当两个节点之间具有某种特定的关系时连一条边,反之则不连边.有边相连的两个节点在网络中被看作是相邻的.例如,神经系统可以看作是大量神经细胞通过神经纤维相互连接形成的网络[1];计算机网络可以看作是自主工作的计算机通过通信介质如光缆、双绞线、同轴电缆等相互连接形成的网络[2].类似的还有电力网络[1]、社会关系网络[1,3,4]、交通网络[5]等等.数学家和物理学家在考虑网络的时候,往往只关心节点之间有没有边相连,至于节点到底在什么位置,边是长还是短,是弯曲还是平直,有没有相交等等都是他们不在意的.在这里,我们把网络不依赖于节点的具体位置和边的具体形态就能表现出来的性质叫做网络的拓扑性质,相应的结构叫做网络的拓扑结构.那么,什么样的拓扑结构比较适用于描述真实的系统呢?两百多年来,对这个问题的研究经历了三个阶段.在最初的一百多年里,科学家们认为・13・ 34卷(2005年)1期真实系统各因素之间的关系可以用一些规则的结构表示,例如二维平面上的欧几里德格网,它看起来像是格子体恤衫上的花纹;又如最近邻环网,它总是会让你想到一群手牵着手、围着篝火跳圆圈舞的姑娘.到了20世纪50年代末,数学家们想出了一种新的构造网络的方法,在这种方法下,两个节点之间连边与否不再是确定的事情,而是根据一个概率决定.数学家把这样生成的网络叫做随机网络,它在接下来的40年里一直被很多科学家认为是描述真实系统最适宜的网络[6—8].直到最近几年,由于计算机数据处理和运算能力的飞速发展,科学家们发现大量的真实网络既不是规则网络,也不是随机网络,而是具有与前两者皆不同的统计特征的网络.这样的一些网络被科学家们叫做复杂网络(complex net2 works),对于它们的研究标志着第三阶段的到来.遗憾的是,就目前而言,科学家们还没有给出复杂网络精确严格的定义,从这几年的研究来看,之所以称其为复杂网络,大致上包含以下几层意思:首先,它是大量真实复杂系统的拓扑抽象;其次,它至少在感觉上比规则网络和随机网络复杂,因为我们可以很容易地生成规则和随机网络,但就目前而言,还没有一种简单方法能够生成完全符合真实统计特征的复杂网络;最后,由于复杂网络是大量复杂系统得以存在的拓扑基础,因此对它的研究被认为有助于理解“复杂系统之所以复杂”这一至关重要的问题.2 复杂网络的统计特征如前所述,复杂网络具有很多与规则网络和随机网络不同的统计特征,其中最重要的是小世界效应(small2world effect)[1,9]和无标度特性(scale2free property)[10,11].在网络中,两点间的距离被定义为连接两点的最短路所包含的边的数目,把所有节点对的距离求平均,就得到了网络的平均距离(average distance).另外一个叫做簇系数(clustering coefficient)的参数,专门用来衡量网络节点聚类的情况.比如在朋友关系网中,你朋友的朋友很可能也是你的朋友;你的两个朋友很可能彼此也是朋友.簇系数就是用来度量网络的这种性质的.用数学化的语言来说,对于某个节点,它的簇系数被定义为它所有相邻节点之间连边的数目占可能的最大连边数目的比例,网络的簇系数C则是所有节点簇系数的平均值.研究表明,规则网络具有大的簇系数和大的平均距离,随机网络具有小的簇系数和小的平均距离.1998年,Watts 和Strogatz通过以某个很小的概率p切断规则网络中原始的边,并随机选择新的端点重新连接,构造出了一种介于规则网络和随机网络之间的网络(WS 网络),它同时具有大的簇系数和小的平均距离,因此既不能当作规则网络处理,也不能被看作是随机网络[1].随后,Newman和Watts给出了一种新的网络的构造方法,在他们的网络(NW网络)中,原有的连边并不会被破坏,平均距离的缩短源于以一个很小的概率在原来的规则网络上添加新的连边[12].后来物理学家把大的簇系数和小的平均距离两个统计特征合在一起称为小世界效应,具有这种效应的网络就是小世界网络(small2world networks)(见图1).图1 小世界网络拓扑结构示意图(左边的网络是规则的,右边的网络是随机的,中间的网络是在规则网络上加上一点随机的因素而形成的小世界网络,它同时具有大的簇系数和小的平均距离)大量的实验研究表明,真实网络几乎都具有小世界效应[1—5,13],同时科学家还发现大量真实网络的节点度服从幂率分布[2,4,13—15],这里某节点的度是指该节点拥有相邻节点的数目,或者说与该节点关联的边的数目.节点度服从幂律分布就是说,具有某个特定度的节点数目与这个特定的度之间的关系可以用一个幂函数近似地表示.幂函数曲线是一条下降相对缓慢的曲线,这使得度很大的节点可以在网络中存在.对于随机网络和规则网络,度分布区间非常狭窄,几乎找不到偏离节点度均值较大的点,故其平均度可以被看作是其节点度的一个特征标度.在这个意义上,我们把节点度服从幂律分布的网络叫做无标度网络(scale2free networks),并称这种节点度的幂律分布为网络的无标度特性.1999年, Barabási和Albert给出了构造无标度网络的演化模型[10,11],他们所用的方法与Price的方法类似[16,17].Barabási和Albert把真实系统通过自组织生成无标度的网络归功于两个主要因素:生长和优先连接,而他们的网络模型(BA网络)正是模拟这两个关键机制设计的.除了小世界效应和无标度特性外,真实网络还・23・物理有很多统计上的特征,例如,混合模式特性[18],度相关特性[19—21],超小世界性质[13]等等.限于篇幅,本文不再赘述,有兴趣的读者可以参考相关文献.图2 无标度网络的拓扑结构示意图(本图展示了有130个节点的BA 网络,其节点度服从幂指数为-3的幂律分布.图中标注的5个节点是网络中度最大的5个节点)3 复杂网络上的物理过程对于物理学家而言,研究复杂网络的终极目标是理解网络拓扑结构对物理过程的影响.在以前的研究中,物理学家往往忽略了网络的拓扑性质,在讨论逾渗、传播、同步等物理过程时,他们自然地选择了最容易模拟和分析的规则网络或随机网络,而没有仔细思考和研究这种选择是不是应该的,不同的选择会不会对物理过程产生不可忽略的影响.以网络上的传播动力学模型为例,由于传统的网络传播模型大都是基于规则网络的,因此,复杂网络不同统计特征的发现使科学家面临更改既有结论的危险.当然,如果理论研究和实验结果都说明复杂网络上的传播动力学行为与规则网络别无二致,那么我们至少暂时还可以心安理得地使用以前的结论.但是,不幸的是,复杂网络上的传播行为与规则网络相比确实存在根本上的不同.类似的情况还出现在其他的物理过程中,下面我们将简略地介绍网络拓扑性质对某些典型物理过程的影响.3.1 逾渗模型与疾病传播动力学之所以在这里把逾渗模型和网络上的疾病传播动力学问题归在一起讨论,是因为网络上的疾病传播模型可以等价于键逾渗模型[22,23].以前的基于规则网络的研究表明,疾病在网络中的平均波及范围与疾病的传染强度正相关,而疾病的传染强度有一个阈值,只有当其值大于这个阈值时,疾病才能在网络中长期存在,否则感染人数会呈指数衰减[24—26].根据这个理论,疾病若是持久存在,则必然波及大量个体.但实验研究表明,计算机病毒、麻疹等一般仅波及少数个体但能够长期存在[27,28].这一理论与实验的矛盾在很长时间里一直困扰着科学界.近年来的研究表明,在无标度网络中,没有正的传播阈值[29—31],也就是说,即使疾病的传染强度接近零,只波及非常少的个体,也能在网络中长期存在.由于大部分真实网络是无标度网络,因此该结论很好地解决了上面的矛盾.3.2 混沌同步近十余年来,混沌动力系统在网络上的同步性能吸引了大量科学家的关注.早期的研究主要是针对以最近邻环网为代表的规则网络,研究表明,对于给定的非零耦合强度,当节点数目很大时,网络无法实现同步[32].最近几年的研究却表明,尽管小世界网络只是在规则网络进行一个非常小的修正的结果[1,12],但其实现混沌同步的能力却远远好于规则网络[33,34].对于小世界上的广义混沌同步[35]与超混沌同步[36]的研究同样表明,小世界网络有明显好于规则网络的同步能力.物理学家还考察了无标度网络,研究表明,其混沌同步的能力与星形网络几乎是一样的,这可能是因为它与星形网络都具有很不均匀的节点度分布[37](见图3).图3 网络中疾病平均波及范围与传染强度关系的示意图(图中位于右侧的实线表示疾病在规则网络中传播的情况,位于左侧的实线表示疾病在小世界网络中传播的情况,虚线表示疾病在无标度网络中传播的情况.可以看到,疾病在无标度网络中没有正的传播阈值,而小世界网络的传播阈值明显小于规则网络.注意,图中的曲线只是为了帮助我们定性地理解,并不是通过数值模拟得到的定量的曲线)3.3 沙堆模型与自组织临界性网络拓扑结构是否会影响沙堆模型中的自组织临界现象,一直就是该领域争论的焦点[38—43].Zhou 和Wang 对复杂网络上沙堆模型的研究表明,沙堆模型中的雪崩动力学性质对网络拓扑结构非常敏感,相比规则网络,无标度网络上大雪崩发生更为频・33・ 34卷(2005年)1期图4 雪崩规模分布图[曲线1和曲线2分别代表在二维欧几里德格网和无标度网络上雪崩规模的分布,其中P(S)表示在100万次微扰中规模为S的雪崩出现的次数.试验中,欧几里德格网和无标度网络的节点数均为4900,平均度均为4.在无标度网络中,最大的雪崩规模为8829,而在欧几里德格网中相应的值仅为1799]繁,最大雪崩的规模也大得多[44](见图4).物理性质明显依赖于网络拓扑结构的物理过程还很多,例如随机游走[45—48]、玻色-爱因斯坦凝聚[49—51]、XY临界模型[52,53]等等.在此我们无法一一介绍,读者可以参阅相关文献.总的来说,物理学家已经开始学会把网络拓扑性质看作影响系统行为的一个特征量,这也在很大程度上改变了我们对很多物理过程原有的认识.4 总结与展望关于网络的研究,数学家早在两百多年前就开始了,他们已经发展出了成体系的理论与技术,而物理学家的进入只有五年左右的历史!到底是什么鼓动物理学家来趟这塘浑水,他们的到来有意义吗?在我们看来,研究对象特殊的尺度效应是召唤物理学家到来的根本原因.数学家经典的网络理论,要么是分析包含几十数百个顶点,可以画在一张纸上,从而形成直观印象的网络;要么是讨论不含有限尺度效应,可以精确求解的网络性质.“随机移走一个顶点会对网络的性能产生什么样的影响?”这个问题对于研究有限规则网络的数学家是有意义的,但对于拥有几千万个节点,连接方式复杂多样的真实网络而言,或许“随机移走3%的顶点会对网络性能产生什么样的影响?”这个问题更有意义.这个尺度的网络,是被物理学家称作“足够大”的网络,对它们的研究,需要使用统计物理的方法.有的读者可能会问,数学家除了经典的网络理论外,还构造了一套随机图的理论,这套理论就是专门对付“足够大”的网络的,统计力学的方法到底能不能得到随机图论不能得到的新的有意义的结果呢?需要强调的是,随机图论的方法的确在复杂网络的研究中扮演了不可或缺的角色,但是,数学家的“足够大”和物理学家的“足够大”完全不是一个概念,虽然他们都使用顶点数趋于无穷的假设.对于物理学家而言,平均场的近似,主方程的求解,在网络顶点数达到百十万甚至只需几万时,误差就已经可以接受了;而随机图的大量有意义的结果,要求节点数在连续求取3次常用对数后还要比10大[8],在我们的宇宙中,目前还没有任何一个有物理意义的数值达到如此的量级.从前面的介绍中我们已经看到,物理学家不仅在方法论上为网络研究注入了新的活力,而且大大地拓展了网络研究的视野.他们不仅和数学家一样关心网络自身的拓扑性质,而且关注网络上进行的各种物理过程和动力学行为,诸如传播、同步、自组织临界、玻色-爱因斯坦凝聚等等,他们发现了网络拓扑结构对各种动力学行为的影响,并给出了很多虽不严谨但很美妙的解释.这些工作很有可能会推动相关数学物理理论的发展.近几年来,大量关于复杂网络的文章发表在Science,Nature,PRL,PNAS等国际一流的刊物上,从一个侧面反映了复杂网络已经成为物理界的一个新兴的研究热点.香港城市大学的陈关荣教授统计了几年来被SCI收录的关于复杂网络的文章数量(见图5),从中可以看出明显的增长趋势.Evans统计了6年来在arXiv:cond-mat上提交的标题含有“network”的文章数,也同样发现了逐年递增的趋势(见图6).复杂网络的研究刚刚起步,前景看好,我国科学家应当尽快加入这个行列,争取做出原创性质的工作.5 结束语作为文章的结束,我们将为读者介绍一些重要的综述,希望这会有助于读者以更快的速度进入复杂网络研究的前沿阵地.关于小世界网络的研究,Newman[54]和Hayes[55,56]给出了不算太长的3篇综述,更短的1篇由Strogatz完成[57],发表在Nature上;Albert和Barabási给出了一篇更像是教科书的综述[58],他们讨论的重点是演化的无标度网络,这篇文献在两年之内已经被引用了近千次;最为详尽的综述是Dorogovtsev和Mendes给出的[59],在这篇文章中,・43・物理图5 SCI 收录的关于复杂网络的研究论文数量(统计了从1998年到2004年第一季度的情况,从图中可以看出,复杂网络的研究方兴未艾)图6 arXiv :cond 2mat 上关于网络的研究论文数量(统计了从1997年到2003年cond 2mat 上标题含有“network ”的文章数目,从图中可以看出,网络的研究在近6年来越来越受到物理学家的关注)他们用超过100页的篇幅穷举了在此之前几乎所有关于演化网络的结论,包括相当详细的实验与分析的过程;2003年Newman 的综述堪称精品[60],漂亮的组织结构,地道风趣的语言和独到的视角,使你在阅读时会忘掉是在读一篇学术文献,后面所附的400多篇参考文献,足以填饱任何人的肚子;Wang 和Chen 在IEEE 期刊上的一篇短综述[61],非常适合作为入门读物,一个完全不谙此道的人都可以通过一个下午的阅读对复杂网络的研究概貌有所了解;Wang 的另一篇综述像是上一篇文章的扩展版[62],在这篇文献中,Wang 强调了复杂网络上的混沌同步,对这方面工作感兴趣的读者切不可放过该文献.最新的综述是Evans 在2004年5月完成的[63],这篇文献中包含了很多最新研究的结果.参考文献[1]Watts D J ,Strogatz S H.Nature ,1998,393:440[2]Faloutsos M ,Faloutsos P ,Faloutsos puter Communi 2cations Review ,1999,29:251[3]Liljeros F et al .Nature ,2001,411:907[4]Ebel H ,Mielsch L I ,Borbholdt S.Phys.Rev.E 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编译自Alnaser A S et al .Phys.Rev.Lett.,2004,93:113003)图1 病人手腕上的脉络图像寻找脉络为了能很好地管理静脉血液,在皮下寻找必要的脉络是一件不容易的事情.最近,美国田纳西大学健康科学中心的H.Zeman 教授和他的同事们,在美国Rochester 召开的“前沿光学会议”上,展示了他们所发明的一台新的仪器———脉络对比增长器(Vein Constrast Enhancer ,简称为VCE ).这种仪器是利用灵敏的红外传感器去寻找皮下的脉络,然后投射为脉络图像,再明显地展示在病人的手腕上(如图1所示).这种图像能使医务工作者们非常容易地进行各种注射.这台仪器的工作原理极为简单.它是由一组发光二极管将红外光照射在对象上,利用红外光对红血球与其周围的脂肪组织有着极不相同的散射性能,当散射光线通过滤光片后就被CCD TV 摄像机接收,并转变为每秒可形成30帧画面的图像.这些经过细致矫正后就形成为解剖学所要求的皮下图像.H.Zeman 教授的研究组利用VCE 进行了大量的临床试验,并且对投影能力也作了各种测试.现在,VCE可探测到皮下8mm 深处的脉络,并形成图像,图像的空间分辨率一般为011mm.(云中客 摘自Frontiers in Optics Meeting ,15October 2004)・63・物理。