二次函数PPT教学课件

• ⑴求证：两个函数的图象交于不同的 两点A、B；
• ⑵求线段AB在x轴上的射影A1B1之长
的取值范a 围b。 c a b c
0
2
c a
1 2
解： (1) y=ax2+bx+c
∴ax2+bx+c=-3x
y=-bx
ax2+2bx+c=0①
△=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac
=4[(a+
08《二次函数》
基础知识
• 1、二次函数的解析式（待定系数法） • ①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)
• ②顶点式：y=a(x－h)2+k,a≠0，其中 (h,k)为抛物线的顶点坐标。
• ③零点式(两根式)：y=a(x－x1)(x－ x2)，a≠0其中x1、x2是抛物线与x轴两 交点的横坐标。
ax2+bx+c>0(a> 0)的解集
x<x1或x>x2 x≠－b/2a
R
一元二次不等式
ax2+bx+c<0(a> 0)的解集
x1<x<x2
Φ
Φ
• 1.y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0)的图
象只可能是( )D
y
y
0
x
y
y
A
0
x
B
0
x
0
x
C
D
• 变：两个二次函数f(x)=ax2+bx+c
与(x)=bx2+ax+c的图象只可能是
注：方程、不等式问题等价转化 图形问题 等价转化简单不等式组
Δ= b2－4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数 f(x)=ax2+bx+c
(a>0) 的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0
(a≠0)的根
有相异两
实根x1,x2 (x1<x2)
有相等两实 根x1＝ x2 没有实根 ＝－b/2a
一元二次不等式
③若a2-b≤0则f(x)在区间[a,+∞)上是 增 函数
④f(x)的最大值|a2-b|其中正确的序号是 _____
4.已知二次函数f(x)同时满足条件： • ⑴f(1+x)=f(1－x)； • ⑵f(x)的最大值为15； • ⑶f(x)=0的两根立方和等于17， • 求f(x)的解析式。
待定系数法
等价于f(x)在[-2,2]的最值大于等于0
• 若x≥0,y≥0,且x + 2y＝1，则2x + 3y2的最小值为（ ）B
• A.2
B.3/4
• C.2/3
D.0
• 例2、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和 一次函数g(x)= －bx,其中a、b、c满 足a>b>c，a+b+c=0(a、b、c∈R).
• －1≤x≤1时|f(x)|≤1. • ⑴证明：|c|≤1； • ⑵证明：当－1≤x≤1时|g(x)|≤2； • ⑶设a＞0，当－1≤x≤1时g(x)的最大
值为2，求f(x)。
二次函数在区间上的最值
• 例1求函数y＝x2―2ax―1在 ［0,2］上的值域。 分类讨论
• 变：已知函数f(x)=x2+ax+3－a， 若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立， 求实数a的取值范围。
=4
a>b>c a+b+c=0
c a
1 2
)
2
∴a>0
3 4
]
c<0
a∴>|-Aa-1cB>1c|2∈(3,a1c 2)∈(-2,-
5.已知二次函数f(x)的定义域为R， f(1)=2，在x=t处取得最值， 若y=g(x)为一次函数，且 f(x)+g(x)=x2+2x－3。
• ⑴求f(x)的解析式； • ⑵若x∈［－1,2］时f(x)≥－1恒成立，
求t的取值范围。
6、老师给出一个函数f(x)，四个学生 甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个 性质： 甲：对于x∈R，都有f(1+x)=f(1－x)； 乙：在（－∞，1］上函数递减； 丙：在（－∞，1）上函数递增； 丁：f(0)不是函数的最小值。 如果其中恰有三个说的正确，请写出一 个这样的函数_______________。
变1：函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1对 任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立， 若当x∈[-1，1]时，f(x)>0,则b的 范围？
变2：函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R).给出 下列命题：
①f(x)必是偶函数
②当f(0)=f(2)时，f(x)的图象必关于x=1 对称
c 2
)2+
3 4
c2]
∵a>b>c a+b+c=0 ∴a>0 c<0
∴△>0 ∴两函数图象交于两个不
同点。
（2）设方程两个根分别为x1,x2 则|A1Bx11|+2==x((2-x=21a-+b)x22a2-b)42a-c4=x1x4b2x2a1x242a=c
c a
[( = 4(ac)2 4ac a2
y
图中的(
y
D
)
0xy源自yA0x
C
0
x
D
0
x
B
2、在区间[-4，-1]上函数
f(x)=-x2+px+q与g(x)=x+4/x同时取 到一样的最大值，求在该区间上函 数f(x)的最小值____
• 3、函数f(x)=4x2－mx+5在区间 [－2,+∞)上是增函数，则f(1)的取 值范围是( A)
• A.f(1)≥25 B.f(1)=25 C.f(1)≤25 D.f(1)>25
2、二次函数研究的四元素：
开口a；对称轴-b/2a；顶点；与
坐标轴的交点
1、配方法 2、顶点公式
(
b
4ac b2
,
)
3、对称代入法 2a 4a
1、与y轴的交点:(0,c) 2、与x轴的交点：y=0时， 转化成一元二次方程
3、二次函数的相关量 1）单调性的相关量：开口；对称轴 2）最值注相：关以量静制：动 10定义域R： 20定义域[m,n]： 3）对称轴相关量： 10:对称轴x=-b/2a 20:f(a)=f(b)(a≠b)对称轴x=(a+b)/2
4）二次方程、二次不等式 10与x轴的交点坐标是方程f(x)=0的 实根，它在x轴上的线段长为
| x1 x2 |
( x1
x2 )2
4 x1 x 2
|
a|
20突现函数图象，研究二次方程 ax2+bx+c=0的根的分布问题：
①二次项系数a的符号； ②判别式的符号； ③区间端点函数值的正负； ④对称轴x=－b/2a与区间端点的关系
变：若二次函数f1(x)=a1x2+b1x+c1 和f2(x)=a2x2+b2x+c2，使得f1(x)－ f2(x)在［1,2］上是单调减函数， 且在［1,2］上有最大值5和最小值 3。请写出一组满足上述要求的二 次函数：
f1(x)=_________,f2(x)=_______
• 7.已知实数a、b、c，函数 f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b，当