【新教材教案】6.4.3 (第2课时)正弦定理 教学设计(2)-人教A版必修第二册
正弦定理教学设计（精选5篇）
正弦定理教学设计正弦定理教学设计什么是教学设计教学设计是根据课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划。
一般包括教学目标、教学重难点、教学方法、教学步骤与时间分配等环节。
正弦定理教学设计（精选5篇）作为一名专为他人授业解惑的人民教师，通常会被要求编写教学设计，教学设计是一个系统设计并实现学习目标的过程，它遵循学习效果最优的原则吗，是课件开发质量高低的关键所在。
那么教学设计应该怎么写才合适呢？下面是小编精心整理的正弦定理教学设计（精选5篇），仅供参考，大家一起来看看吧。
正弦定理教学设计1一、教学内容分析本节课是高一数学第五章《三角比》第三单元中正弦定理的第一课时，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是坐标法等知识在三角形中的具体运用，是生产、生活实际问题的重要工具，正弦定理揭示了任意三角形的边角之间的一种等量关系，它与后面的余弦定理都是解三角形的重要工具。
本节课其主要任务是引入证明正弦定理及正弦定理的基本应用，在课型上属于“定理教学课”。
因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，学生通过对定理证明的探究和讨论，体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
二、学情分析对高一的学生来说，一方面已经学习了平面几何，解直角三角形，任意角的三角比等知识，具有一定观察分析、解决问题的能力;但另一方面对新旧知识间的联系、理解、应用往往会出现思维障碍，思维灵活性、深刻性受到制约。
根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，注意前后知识间的联系，引导学生直接参与分析问题、解决问题。
三、设计思想：培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要方面，也是高中新课程改革的主要任务。
如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。
新教材人教版高中数学必修第二册 6.4.3 (第2课时)正弦定理(教案)
第六章 平面向量及其应用6.4.3 第2课时 正弦定理一、教学目标1. 了解正弦定理的多种证明方法，尤其是向量证明法；2.掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；3.通过对正弦定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。
二、教学重难点1.利用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题；2. 正弦定理的证明，正弦定理在解三角形时应用思路。
三、教学过程： 1、创设情境：某游览风景区欲在两山之间架设一条观光索道,现要测的两山之间B 、C 两点的距离,如何求得B 、C 两点的距离?现在岸边选定1公里的基线AB,并在A 点处测得∠A=600，在C 点测得∠C=450,如何求得B.C 两点的距离? 学生活动1探究1：你能把它转化成数学问题，写出已知量和要求的量吗？学生活动2探究2：在ABC ∆中，如何求边BC 的长呢？回忆一下直角三角形的边角关系?（C 为直角）如右图，ABC Rt ∆中的边角关系：=A sin ___c a _____；=B sin ___c b _____； =C sin ____c c=1____； ∴sin a A =____c____；sin b B =____c____；sin cC =____c____； ∴______sin sin sin a b cA B C ==____________________________那么，上述结论，如何证明？ （学生小组活动探究）CABbca探究3：这个关系式对任意ABC ∆也成立吗 二. 建构数学探究4：如何证明这个等式？（教师点拨） (作高法)在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，1.在Rt ΔABC 中，∠C=900, csinA=a,csinB=b ，即sin a A =B b sin =C c sin 。
2. 在锐角ΔABC 中，过C 做CD ⊥AB 于D ，则|CD|=A b sin =B a sin ，即sin aA=Bb sin ，同理得sin aA=Cc sin ，故有sin sin sin a b cA B C ==。
6.4.2正弦定理教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
2. 通过跟随教师的讲解和示例，理解正弦定理的证明过程，并能够独立完成证明的步骤。
3. 应用正弦定理解决实际问题，如测量三角形的边长，能够根据已知条件，正确运用正弦定理进行计算和推理。
4. 在小组讨论中，能够积极参与，提出自己的观点和想法，并与他人进行有效的沟通和合作。
（3）多元化评价方式：采用多元化的评价方式，如课堂表现、小组讨论、实践操作等，全面评估学生的学习能力和应用能力。同时，鼓励学生进行自我评价和反思，提高他们的自我评估能力。
板书设计
1. 正弦定理的基本概念和表述
- 正弦定理：在任意三角形中，各边的长度与其对角的正弦值成比例。
- 表述：a:b = sinA:sinB = c:sinC（其中a、b、c为三角形的三边，A、B、C为对应角）
（1）学生参与度不足：在课堂上，部分学生可能缺乏积极参与讨论和提问的主动性，导致课堂氛围不够活跃。
（2）正弦定理证明过程的难度：正弦定理的证明过程可能对学生来说过于复杂和抽象，需要更多的指导和帮助。
（3）评价方式单一：目前主要依靠传统的考试和作业评价学生学习效果，可能无法全面反映学生的学习能力和应用能力。
2. 学生的学习兴趣、能力和学习风格：对于数学学科，部分学生可能对几何图形和证明过程较为感兴趣，而另一部分学生可能对实际应用问题更感兴趣。学生在学习能力上存在差异，有的学生逻辑推理能力较强，有的学生数学建模能力较为突出。在学习风格上，有的学生喜欢独立思考，有的学生喜欢与他人合作交流。
3. 学生可能遇到的困难和挑战：在学习正弦定理的过程中，学生可能遇到以下困难和挑战：
本节课的内容与学生已有知识的联系如下：
1. 三角函数的基本概念、性质和图像：正弦定理涉及到正弦函数的周期性、奇偶性等性质，学生需要对这些性质有清晰的认识。
【新教材教案】6.4.3 (第2课时)正弦定理 教学设计(2)-人教A版必修第二册
【新教材】6.4.3 余弦定理、正弦定理 教学设计（人教A 版）第2课时 正弦定理教材开门见山地提出“三角形的边与角之间有什么数量关系呢？”运用由特殊到一般的归纳思想方法，从直角三角形出发，得到C cB bA asin sin sin ==，并以等边三角形加以验证，进而提出“对其他三角形是否成立呢？”这样设置符合学生的认知。
教材中对正弦定理的证明采用了构造向量投影相等的思路。
同时设置了两个例题说明正弦定理的应用.课程目标1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的问题；2、通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律；3、通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现过程，逐步培养探索精神和创新意识；通过对正弦函数的学习体会数学的对称美，和谐美.数学学科素养1.数学抽象：正弦定理及其变形、三角形面积公式；2.逻辑推理：用正弦定理及其变形解决相关问题；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，使学生学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律.重点：正弦定理的内容，对正弦定理的证明及基本运用；难点：正弦定理的探索及证明.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、 情景导入提问：角与边之间是否存在定量关系？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本45-48页，思考并完成以下问题1、直角三角形中的边角关系是怎样的？2、什么是正弦定理？3、正弦定理可进行怎样的变形？4、已知三角形的两边及内角怎样求其面积？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．2．正弦定理的变形(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A .(5)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C. 3．正弦定理应用解三角形(1) 已知三角形的两角及任一边，求其他两边和一角；(2)已知三角形的两边和其中一边对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．4、三角形的面积公式 (1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B . 四、典例分析、举一反三题型一 已知两角及一边解三角形例1 在△ABC 中，A ＝30°，C ＝105°，a ＝10，求b ，c ，B .【答案】B ＝45°.b ＝102，c ＝52＋5 6.【解析】因为A ＝30°，C ＝105°，所以B ＝45°.因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 所以b ＝a sin B sin A ＝10sin 45°sin 30°＝102， c ＝a sin C sin A ＝10sin 105°sin 30°＝52＋5 6. 解题技巧（已知两角及一边解三角形问题的基本方法）(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．跟踪训练一1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝105°，C ＝45°，c ＝2，则b ＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．22．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 【答案】1、A. 2、102． 【解析】1、在△ABC 中，∵A ＝105°，C ＝45°，∴B ＝180°－A －C ＝180°－105°－45°＝30°.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b sin 30°＝2sin 45°，解得b ＝1. 故选A.2、因为tan A ＝13，所以sin A ＝1010.由正弦定理知AB ＝BC sin A ·sin C ＝10sin 150°＝102. 题型二 已知两边及一边的对角解三角形例2 在△ABC 中，A ＝45°，c ＝6，a ＝2，求b ，B ，C .【答案】 b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°.【解析】 ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2＝32， ∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1. 当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°.解题技巧： (已知两边及一边的对角解三角形的方法)(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．跟踪训练二1．△ABC 中，B ＝45°，b ＝2，a ＝1，则角A ＝________.2．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝30°，求边c 的长．【答案】1、30°. 2、1或2.【解析】1、由正弦定理得，1sin A ＝2sin 45°，解得sin A ＝12，所以A ＝30°或A ＝150°.又因b >a ，所以B >A ，则A ＝30°.2、由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32. ∵a <b ，∴B >A ＝30°，∴B 为60°或120°.①当B ＝60°时，C ＝180°－60°－30°＝90°.此时，c ＝ a 2＋b 2＝1＋3＝2.②当B ＝120°时，C ＝180°－120°－30°＝30°.此时，c ＝a ＝1.综上知c ＝1或2.题型三 正弦定理在边角互化中的应用例3 在△ABC 中，已知b ＋c ＝1，C ＝45°，B ＝30°，则b ＝________. 【答案】2－1.【解析】 由正弦定理知b sin B ＝c sin C， 所以，b ＋c sin B ＋sin C ＝b sin B ，b ＝b ＋c sin B ＋sin C ·sin B ＝sin 30°sin 45°＋sin 30°＝2－1. 例4 在△ABC 中，cos A a ＝cos B b ＝cos C c，试判断△ABC 的形状； 【答案】等边三角形.【解析】 (化边为角)根据正弦定理，得到cos A sin A ＝cos B sin B ＝cos C sin C ，整理为1tan A ＝1tan B ＝1tan C. ∵A ，B ，C ∈(0，π)，∴A ＝B ＝C ，∴△ABC 为等边三角形．解题技巧（正弦定理应用技巧）利用正弦定理将边化为角或者将角化为边处理，这是正弦定理的一种重要作用，也是处理三角形问题的重要手段．正弦定理的变形有多种形式，要根据题目选择合适的变形进行使用．再判断三角形形状时(1)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a ＝b ，a 2＋b 2＝c 2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R，sin C ＝c 2R.(2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ． 跟踪训练三1、在△ABC 中，若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( )A ．1B.12 C ．－1D ．－122．在△ABC 中，a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，判断△ABC 的形状． 【答案】1、A. 2、等腰三角形.【解析】1、由正弦定理，可得sin A cos A ＝sin 2B ，即sin A cos A ＝1－cos 2B ，所以sin A cos A ＋cos 2B ＝1.2、法一：(化角为边)∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：a ·a 2R ＝b ·b 2R. ∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形．法二：(化边为角)∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B.由正弦定理可得：2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B ，∴A ＝B (A ＋B ＝π不合题意舍去)，故△ABC 为等腰三角形.题型四 与三角形面积有关问题例5 在△ABC 中，已知B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．【答案】23或 3.【解析】 由正弦定理，得sin C ＝AB ·sin B AC ＝32， 又AB ·sin B <AC <AB ，故该三角形有两解：C ＝60°或120°.∴当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12AB ·AC ＝23； 当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3. ∴△ABC 的面积为23或 3.解题技巧（三角形面积公式应用技巧）(1)求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值．(2)事实上，在众多公式中，最常用的公式是S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式．跟踪训练四1．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则A 的大小为( ) A ．60°或120° B ．60°C ．120°D ．30°或150°2．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，A ＝30°，c ＝3，则△ABC 的面积为________．【答案】1、A. 2、34. 【解析】1、由S △ABC ＝12bc sin A 得32＝12×2×3×sin A ， 所以sin A ＝32， 故A ＝60°或120°，故选A.2、在钝角△ABC 中，由a ＝1，A ＝30°，c ＝3，利用正弦定理可知C ＝120°，得到B ＝30°，利用面积公式得S △ABC ＝12×1×3×12＝34. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本48页练习，52页习题6.4的7、10题.通过本节课的学习，从学生的情况来看，效果较好，学生能够根据以前学过的相关知识，在老师的指引下证明出正弦定理，能掌握正弦定理的计算方法，能够理解够理解公式中不同量的意义，但是在运用过程中我们发现，学生往往容易忽略解的情况问题，很多学生的出来两个解，但是没用通过以前学的知识“大边对大角”来舍去不符合题意的情况。
2019-2020学年高中数学新教材人教版A必修第二册教案：6.4.3(第二课时)正弦定理
第六章平面向量及其应用6.4.3 余弦定理、正弦定理（第二课时）正弦定理教学设计一、教学目标1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系。
2.掌握正弦定理。
3.能用正弦定理解决简单的实际问题。
二、教学重难点1.教学重点正弦定理及其应用。
2.教学难点正弦定理的应用。
三、教学过程1.新课导入余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式。
如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？2.探索新知在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论。
实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系。
从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为：在△ABC中，设A的对边为a，B的对边为b，求A，B，a，b之间的定量关系。
如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决“在△ABC 中，已知A，B，a，求b”的问题。
根据课本P45-46的推理证明，我们得到：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一个定量关系。
利用正弦定理，不仅可以解决“已知两角和一边，解三角形”的问题，还可以解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题。
3.课堂练习1．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c＝()A．4∶1∶1 B．2∶1∶1C.2∶1∶1D.3∶1∶1答案：D[∵A ＋B ＋C ＝180°，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，∴A ＝120°，B ＝30°，C ＝30°.由正弦定理的变形公式，得a ∶b ∶c ＝sinA ∶sinB ∶sinC ＝sin120°∶sin30°∶sin30°＝32∶12∶12＝3∶1∶1.故选D.] 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝15，b ＝2，A ＝60°，则tanB 等于( )A ．1 B.12 C.52 D.32答案：B[由正弦定理，得sinB ＝b a ·sinA ＝215×32＝15，根据题意，得b<a ，故B<A ＝60°，因此B 为锐角．于是cosB ＝1－sin 2B ＝25，故tanB ＝sinB cosB ＝12.] 3．在△ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )A ．a ＝7，b ＝14，A ＝30°B ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°C ．a ＝6，b ＝9，A ＝45°D ．a ＝30，b ＝40，A ＝30°答案：D[在A 中，bsinA ＝14sin30°＝7＝a ，故△ABC 只有一解；在B 中，a ＝30，b ＝25，故a>b ，又A ＝150°，故△ABC 只有一解；在C 中，bsinA ＝9sin45°＝922>6＝a ，故△ABC 无解；在D 中，bsinA ＝40sin30°＝20，因bsinA<a<b ，故△ABC 有两解．]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°答案：A[∵c ＝3a ，∴sinC ＝3sinA ＝3sin(180°－30°－C)＝3sin(30°＋C)＝3⎝⎛⎭⎫32sinC ＋12cosC ， 即sinC ＝－3cosC.∴tanC ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.]5．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosA ＝35，cosB ＝513，b ＝3，则c ＝________. 答案：145[∵cosA ＝35，cosB ＝513，∴sinA ＝45，sinB ＝1213. ∴sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝5665. 又∵sin(π－C)＝sinC ＝sin(A ＋B)，∴sinC ＝5665，由正弦定理，得b sinB ＝c sinC ，∴c ＝3×56651213＝145.] 6．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________. 答案：30°[∵b ＝2a ，∴sinB ＝2sinA ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sinA ，即sinAcos60°＋cosAsin60°＝2sinA ，化简得sinA ＝33cosA ，∴tanA ＝33，∴A ＝30°.] 7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且2a －c c ＝tanB tanC，则角B 的大小为________． 答案：60°[∵2a －c c ＝tanB tanC ，根据正弦定理，得2sinA －sinC sinC ＝tanB tanC ＝sinBcosC sinCcosB. 化简为2sinAcosB －cosBsinC ＝sinBcosC ，∴2sinAcosB ＝sin(B ＋C)．在△ABC 中，sin(B ＋C)＝sinA ，∴cosB ＝12. ∵0°<B<180°，∴B ＝60°.]4. 小结作业小结：本节课学习了正弦定理。
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：6.4.3 第2课时 正弦定理 学案
正弦定理问题导学预习教材P45－P48的内容，思考以下问题： 1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？ 2．正弦定理的内容是什么？1．正弦定理对正弦定理的理解(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．2．正弦定理的变形若R 为△ABC 外接圆的半径，则 (1)a ＝2Rsin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(3)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ； (4)a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R .判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理不适用于直角三角形．( ) (2)在△ABC 中必有a sin A ＝b sin B ．( )(3)在△ABC 中，若a ＞b ，则必有sin A >sin B ．( ) (4)在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则必有A ＝B .( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15 B.59 C.53D.1解析：选B.因为a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，所以由正弦定理得sin B ＝b sin Aa ＝5×133＝59.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则c ＝( )A.22B.1C. 2D.2解析：选D.由三角形内角和定理得，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(105°＋45°)＝30°. 由正弦定理得，c ＝b sin C sin B ＝22·sin 30°sin 45°＝2.在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b，则B 的度数为________．解析：根据正弦定理知，sin A a ＝sin Bb ，结合已知条件可得sin B ＝cos B ，又0°＜B ＜180°，所以B ＝45°.答案：45°已知两角及一边解三角形在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形． 【解】 因为A ＝45°，C ＝30°，所以B ＝180°－(A ＋C )＝105°.由a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin Asin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. 因为sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64，所以b ＝c sin B sin C ＝10×sin （A ＋C ）sin 30°＝20×2＋64＝52＋5 6.已知三角形的两角和任一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．1．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b ＝( ) A ．42 B ．4 3 C ．4 6D ．323解析：选C.A ＝180°－B －C ＝45°，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin B sin A ＝8sin 60°sin 45°＝4 6.2．在△ABC 中，A ＝60°，sin B ＝12，a ＝3，求三角形中其他边与角的大小．解：因为sin B ＝12，所以B ＝30°或150°，当B ＝30°时，由A ＝60°得C ＝90°；当B ＝150°时，不合题意，舍去．所以由正弦定理b sin B ＝c sin C ＝a sin A ，得b ＝sin B sin A ·a ＝sin 30°sin 60°×3＝3，c ＝sin Csin A ·a ＝sin 90°sin 60°×3＝2 3.已知两边及其中一边的对角解三角形已知△ABC 中的下列条件，解三角形： (1)a ＝10，b ＝20，A ＝60°； (2)a ＝2，c ＝6，C ＝π3.【解】 (1)因为b sin B ＝asin A，所以sin B ＝b sin A a ＝20sin 60°10＝3>1，所以三角形无解．(2)因为a sin A ＝c sin C ，所以sin A ＝a sin C c ＝22.因为c ＞a ，所以C ＞A .所以A ＝π4.所以B ＝5π12，b ＝ c sin Bsin C＝6·sin5π12sin π3＝3＋1.[变条件]若本例(2)中C ＝π3改为A ＝π4，其他条件不变，求C ，B, b .解：因为a sin A ＝c sin C ，所以sin C ＝c sin A a ＝32.所以C ＝π3或2π3.当C ＝π3时，B ＝5π12，b ＝a sin Bsin A ＝3＋1.当C ＝2π3时，B ＝π12，b ＝a sin Bsin A＝3－1.(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的思路 ①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．(2)已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；②在△ABC 中，已知a ，b 和A ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，此弧与除去顶点A 的射线AB 的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：1．(2019·广东省揭阳市检测)在△ABC 中，cos A ＝12，a ＝43，b ＝42，则B 等于( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．60°解析：选C.由cos A ＝12，得sin A ＝32，A ＝60°，由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝22.因为三角形的内角和为180°，且a ＞b ，所以B ＝45°.2．已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x >2 B ．x <2 C ．2<x <2 2D ．2<x <2 3解析：选C.由a sin B <b <a ，得22x <2<x ，所以2<x <2 2.判断三角形的形状已知在△ABC 中，角A ，B 所对的边分别是a 和b ，若a cos B ＝b cos A ，则△ABC一定是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【解析】 由正弦定理得：a cos B ＝b cos A ⇒sin A cos B ＝sin B cos A ⇒sin(A －B )＝0，由于－π＜A －B ＜π，故必有A －B ＝0，A ＝B ，即△ABC 为等腰三角形．【答案】 A[变条件]若把本例条件变为“b sin B ＝c sin C ”，试判断△ABC 的形状． 解：由b sin B ＝c sin C 可得sin 2B ＝sin 2C ，因为三角形内角和为180°， 所以sin B ＝sin C ．所以B ＝C .故△ABC 为等腰三角形．判断三角形形状的两种途径[注意] 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，满足acos A＝bcos B＝ccos C，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：选C.由正弦定理得asin A＝bsin B＝csin C，又acos A＝bcos B＝ccos C，得sin Acos A＝sin Bcos B＝sin Ccos C，即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形．1．(2019·辽宁沈阳铁路实验中学期中考试)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝()A.33 B.63C.32 D.62解析：选B.由正弦定理，得ABsin C＝ACsin B，即2sin C＝3sin 60°，解得sin C＝33.因为AB＜AC，所以C＜B，所以cos C＝1－sin2C＝6 3.2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c ＝()A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．2∶3∶1 D．1∶3∶2解析：选D.在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C ＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶3∶2.3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC 的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D.已知c－a cos B＝(2a－b)cos A，由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A －sin B cos A，所以sin(A＋B)－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，化简得cos A(sin B－sin A)＝0，所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，则A＝90°或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．[A 基础达标]1．在△ABC 中，一定成立的式子是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin A D ．a cos B ＝b cos A解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得a sin B ＝b sin A . 2．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B ＝( ) A.π3 B.π6 C.π3或2π3D.π6或5π6解析：选C.由正弦定理，得3sin A ＝2sin B sin A ，所以sin A (2sin B －3)＝0.因为0<A <π，0<B <π，所以sin A ≠0，sin B ＝32，所以B ＝π3或2π3. 3．(2019·济南检测)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若A ＝60°，c ＝6，a ＝6，则此三角形有( )A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解解析：选B.由等边对等角可得C ＝A ＝60°，由三角形的内角和可得B ＝60°，所以此三角形为正三角形，有唯一解．4．在△ABC 中，若c ＝3，C ＝60°，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝( )A ．6B ．2 3C ．2D ． 3解析：选C.利用正弦定理的推论，得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝c sin C ＝3sin 60°＝2.5．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，则△ABC 的形状是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.将a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)代入已知条件，得sin 2A tan B ＝sin 2B tan A ，则sin 2A sin B cos B ＝sin A sin 2B cos A.因为sin A sin B ≠0，所以sin A cos B ＝sin Bcos A，所以sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．6．在△ABC 中，若a ＝3，cos A ＝－12，则△ABC 的外接圆的半径为________．解析：由cos A ＝－12，得sin A ＝1－cos 2A ＝32，设△ABC 的外接圆的半径为R ，由正弦定理，有2R ＝asin A＝23，即△ABC 的外接圆的半径为 3.答案： 37．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，B ＝2A ，cos A ＝63，则b ＝________．解析：因为cos A ＝63，所以sin A ＝33，因为B ＝2A ，所以sin B ＝sin 2A ＝2sin A cos A ＝223，又b sin B ＝asin A，所以b ＝2 6. 答案：2 68．在△ABC 中，若B ＝π4，b ＝2a ，则C ＝________．解析：在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin A ＝2a sin π4＝2a 22＝2a ，所以sin A ＝12，所以A ＝π6或56π.因为b ＝2a ＞a ，所以B ＞A ，即A ＜π4，所以A ＝π6，所以C ＝π－A －B ＝π－π6－π4＝712π.答案：712π9．(2019·浙江温州月考)在△ABC 中，A ＝30°，C ＝45°，c ＝2，求a ，b 及cos B . 解：因为A ＝30°，C ＝45°，c ＝2， 所以由正弦定理，得a ＝c sin A sin C ＝2sin 30°sin 45°＝1.又B ＝180°－(30°＋45°)＝105°， 所以cos B ＝cos 105°＝cos(45°＋60°)＝2－64，b ＝c sin Bsin C ＝2sin 105°sin 45°＝2sin 105°＝2sin(45°＋60°)＝6＋22. 10．如图所示，AB ⊥BC ，CD ＝33，∠ACB ＝30°，∠BCD ＝75°，∠BDC ＝45°，求AB 的长．解：在△BCD 中，∠DBC ＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理知，33sin 60°＝BCsin 45°，可得BC ＝116，在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝116×tan 30°＝11 2.[B 能力提升]11．在△ABC 中，已知B ＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，则三角形的最大角为( ) A ．60° B ．75° C ．90°D ．115°解析：选B.不妨设a 为最大边，c 为最小边，由题意有a c ＝sin A sin C ＝3＋12，即sin Asin （120°－A ）＝3＋12，整理，得(3－3)sin A ＝(3＋3)cos A ．所以tan A ＝2＋3，所以A ＝75°，故选B.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋3b sin C －a －c ＝0，则角B ＝________．解析：由正弦定理知，sin B cos C ＋3sin B sin C －sin A －sin C ＝0.(*) 因为sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，代入(*)式得3sin B sin C －cos B sin C －sin C ＝0. 因为sin C ＞0，所以3sin B －cos B －1＝0， 所以2sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫ B －π6＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. 答案：π313．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，B ＝2π3，若a 2＋c 2＝4ac ，则sin （A ＋C ）sin A sin C＝________．解析：因为a 2＋c 2ac ＝b 2＋2ac cos B ac ＝4，B ＝2π3，所以b 2＝5ac .由正弦定理得sin 2B ＝5sin A sin C ＝34，所以sin A sin C ＝320，所以sin （A ＋C ）sin A sin C ＝sin B sin A sin C ＝1033.答案：103314．已知△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，b ＝3，求c 的值． 解：(1)由a cos C ＋32c ＝b ， 得sin A cos C ＋32sin C ＝sin B . 因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以32sin C ＝cos A sin C . 因为sin C ≠0，所以cos A ＝32. 因为0<A <π，所以A ＝π6.(2)由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝32.所以B ＝π3或2π3.①当B ＝π3时，由A ＝π6，得C ＝π2，所以c ＝2；②当B ＝2π3时，由A ＝π6，得C ＝π6，所以c ＝a ＝1.综上可得c ＝1或2.[C 拓展探究]15．在△ABC 中，已知a ＋b a ＝sin Bsin B －sin A ，且cos(A －B )＋cos C ＝1－cos 2C .(1)试确定△ABC 的形状；(2)求a ＋c b 的取值范围．解：(1)在△ABC 中，设其外接圆半径为R ， 根据正弦定理得，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，代入a ＋b a ＝sin Bsin B －sin A ，得a ＋b a ＝bb －a ，所以b 2－a 2＝ab .①因为cos(A －B )＋cos C ＝1－cos 2C ， 所以cos(A －B )－cos(A ＋B )＝2sin 2C ， 所以sin A sin B ＝sin 2C .由正弦定理，得a 2R ·b2R ＝⎝⎛⎭⎫c 2R 2，所以ab ＝c 2.②把②代入①得，b 2－a 2＝c 2，即a 2＋c 2＝b 2.所以△ABC 是直角三角形．(2)由(1)知B ＝π2，所以A ＋C ＝π2，所以C ＝π2－A .所以sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝cos A .根据正弦定理，得a ＋cb ＝sin A ＋sin Csin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4.因为ac <ab ＝c 2，所以a <c ，所以0＜A ＜π4，所以π4＜A ＋π4＜π2. 所以22＜sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4<1，所以1＜2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4<2，即a ＋cb 的取值范围是(1， 2 )．。
正弦定理教案
正弦定理教案正弦定理教案「篇一」教学目标：1．让学生从已有的几何知识出发,通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。
2．通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。
3．通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。
4．培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重点与难点教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。
教学难点：正弦定理的猜想提出过程。
教学准备：制作多媒体，学生准备计算器，直尺，量角器。
教学过程：（一）结合实例，激发动机师生活动：师：每天我们都在科技楼里学习，对科技楼熟悉吗？生：当然熟悉。
师：那大家知道科技楼有多高吗？学生不知道。
激起学生兴趣！师：给大家一个皮尺和测角仪，你能测出楼的高度吗？学生思考片刻，教师引导。
生1：在楼的旁边取一个观测点C，再用一个标杆，利用三角形相似。
师：方法可行吗？生2：B点位置在楼内不确定，故BC长度无法测量，一次测量不行。
师：你有什么想法？生2：可以再取一个观测点D。
师：多次测量取得数据，为了能与上次数据联系，我们应把D点取在什么位置？生2：向前或向后师：好，模型如图（2）：我们设正弦定理教学设计，正弦定理教学设计 ,CD=10,那么我们能计算出AB吗？生3：由正弦定理教学设计求出AB。
师：很好，我们可否换个角度，在正弦定理教学设计中，能求出AD,也就求出了AB。
6.4.3正弦定理的概念教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
数学必修第二册第六章平面向量的应用6.4.3正弦定理（一）授课班级高一（12班）授课时间2024.3.13课型新授课教学目标1.能通过对任意三角形边角关系的探索，归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力；3.通过亲身体验数学规律的发现，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。
学科素养1.数学抽象：正弦定理的概念；2.逻辑推理：正弦定理的推导；3.数学运算：正弦定理公式的简单应用；4.直观想象：直角、锐角、钝角三角形的边角关系；5.数学建模：在亲身体验、探索、归纳过程中建立正弦定理的概念；学情分析本节课是在学习了正弦定理的推导过程，以及正弦定理的常见变形公式。
学生对三角函数的基础知识有了一定的了解，为学习本节课内容打下了一个很好的基础。
本节课的知识点在研究三角函数中起到很关键的作用，正弦定理是三角恒等式证明的基础也是三角应用的前提，有利于更好的研究三角函数。
同时通过学习本节知识，也可以培养学生的数学思维能力逻辑推理能力。
本节课内容比拟基础，学生容易理解和掌握，相信生能够积极配合。
重点难点重点:正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用；难点:正弦定理的猜想提出过程。
教学策略目标引领问题导向任务驱动自主学习合作学习教具准备多媒体课件教学过程师生互动一、复习导入回顾初中解三角形的有关知识：1.三角的关系：2.三边的关系：3.边角的关系：4.直角三角形勾股定理：教师提出问题，由学生抢答.教师课件展示思二、探究新知思考1：如果已知三角形的任意两边及一角或两角和一边，是否可以用公式直接解三角形的其他边角呢？三角形的边角之间又有怎样的关系呢？如图，在直角∆ABC中，各角的正弦如何表示？Asin= c⇒=Bsin= c⇒=Csin= c⇒=你有何结论?思考2：那么对于一般的三角形,以上关系式是否仍然成立？三、深入学习对于一般三角形，可分为锐角三角形和钝角三角形（请同学们4人为一小组,用三角函数知识讨论下列两种情况）（1）锐角三角形：Bsin= Csin=AD= =同理可得：你有何结论?（2）钝角三角形：Csin= Bsin=AD= =同理可得：你有何结论? 考一，由学生思考之后举手回答.课件展示思考二及深入学习部分，由学生思考之后小组为单位讨论，探究.讨论5分钟之后请小组代表起来分享本组讨论的结果，教师点评分小组合作讨论深入学习部分自己存在的疑惑.教师巡堂，对问题较大小组可作指导.教师展示正弦定理的概念，简单向学生解释.四、概念深化1.正弦定理：文字语言符号语言 注意：正弦定理实际上是 个等式，分别为：2.利用正弦定理可以解决三角形的哪类问题？ （1）已知两角和任意一边，解三角形 （2）已知两边及一边的对角，解三角形五、合作探究以小组为单位核对和讨论概念深化部分的问题，并完成导学案上相应的例题.例1：在∆ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,已知32,4530===a B A，，求b 的值.例2:在∆ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,已知3π=A ，3=a ，1=b ，解这个三角形.五、随堂练习(检测部分)1.在△ABC 中,三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知 2=a ,3=a ,B=60°,那么A 等于( )A.135°B.90°C.45°D.30° 2.在∆ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,已知36,2π===B b a ，,求△A 的值.六、课堂小结教师引导学生根据所推导的正弦定理公式，完成例1和例2，并同桌讨论结果，教师巡堂，对问题较大学生作相应指导.完成后师生共同对答案，对有疑问的地方进行分析讲解教师依次展示题目，抽2名学生上台板演，其余学生在学案上独立完成.（1）谈谈你这节课学到了什么？（2）你能简述正弦定理的推导过程及公式吗？（3）利用正弦定理可以解决三角形的哪类问题？教师给出提纲，学生回顾课本及学案，举手回答.板书设计6.4.3正弦定理一、正弦定理的概念：三、应用举例符号语言：例1：二、应用例2：1.已知三角形的任意两角与一边，求其他两边和另一角2.已知三角形的两边与其中一边的对角，出三角形的其他的边和角作业布置必做题：完成课本48页练习第2,3题选做题：完成课本48页练习第1题课后反思。
人教A版必修第二册高中数学6.4.3余弦定理正弦定理(二)2.正弦定理-教案
《正弦定理》广东番禺中学周净【学习目标】1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.2.能用向量方法发现和证明正弦定理.3.会用正弦定理求解已知两边和其中一条边的对角、已知两角和夹边等解三角形问题.【学习重点】1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理.2.运用正弦定理解三角形.【学习难点】1.正弦定理的证明.2.正弦定理在解三角形中的应用.【教学过程】教学环节教学内容设计意图环节一：情境引入探究问题：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式．如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论.实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系.从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为：在ABC ∆中，设C 的对边为,a B 的对边为b ，求,,,b A B a 之间的定量关系.如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决“在ABC ∆中，已知“,A ,B a 求b ”的问题.我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手.根据锐角三角函数，在R ABC ∆t 中（如图），有sin sin a b A B c c==，，这两个式子有共同元c ，利用它把两个式子联系起来，可得.sin sin a bc A B==又因为sin sin 901C == ，上式可以写成边与它的对角的正弦的比相等的形式，即sin sin sin a b cA B C==.从学生熟悉的余弦定理引入，激发学生的学习兴趣.环节二：探究新知在直角三角形中，有sin sin sina b cA B C==对锐角三角形和钝角三角形，以上关系是否任然成立？因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量的方法来研究.我们希望获得ABC∆中的边,,a b c与它们所对角,,A B C的正弦之间的关系式．在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究．让学生从初中已经掌握的锐角三函数入手，回顾如何利用锐角三角函数解决直角三角形中的边角关系；并提出问题让学生思考锐角三角形和钝角三角形中的情形,启发学生继续借助向量法进行边角关系的研究，加强向量在几何问题中的应用.思考1：向量的数量积运算中出现的是角的余弦,而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？由诱导公式cos sin2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系.下面先研究锐角三角形的情形.如图，在锐角ABC∆中，过点A作与AC垂直的单位向量j，则j与AB的夹角为2Aπ⎛⎫-⎪⎝⎭，j与CB的夹角为2Cπ⎛⎫-⎪⎝⎭.因为AC CB AB+=，所以(),AC CB AB⋅+=⋅j j由分配律，得AC CB AB,⋅+⋅=⋅j j j即||||cos||||cos()||||cos(),222AC CB C AB Aπππ⋅+⋅-=⋅-j j j也即sin sin,a C c A=所以.sin sina cA C=思考1引导学生通过构造角之间的互余关系.通过巧妙的构造单位向量j，描述j与AB及j与CB的夹角，应用向量数量积运算得到余弦关系，并通过诱导公式转为正弦关系，最终得到锐角三角形的正弦定理.同理，过C 作与CB垂直的单位向量m ，可得.sin sin c bC B=所以在锐角三角形中有：sin sin sin a b cA B C==.当ABC ∆是钝角三角形时，不妨设A 为钝角（如图）.过点A 作与AC垂直的单位向量j ，则j 与AB 的夹角为2A π⎛⎫- ⎪⎝⎭，j 与CB 的夹角为2C π⎛⎫- ⎪⎝⎭.仿照上述方法，同样可得sin sin sin a b cA B C==.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即sin sin sin a b cA B C==这个公式表达形式的统一性、对称性，不仅使结果更和谐优美，而且更突显了三角形边角关系的本质。
人教版数学正弦定理优秀教案及教学设计
人教版数学正弦定理优秀教案及教学设计人教版数学正弦定理优秀教案及教学设计一、教学目标：1.知识与技能：通过创设问题情境，引导学生发现正弦定理，并推证正弦定理。
会初步运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。
2.过程与方法：引导学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角正弦的比值之间的关系，培养学生通过观察，猜想，由特殊到一般归纳得出结论的能力和化未知为已知的解决问题的能力。
3.情感、态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。
二、教学重点与难点：1.重点：正弦定理的探索发现及其初步应用。
2.难点：①正弦定理的证明;②了解已知两边和其中一边的对角解三角形时，解的情况不唯一。
三、教学过程：㈠创设情境：宁静的夜晚，明月高悬，当你仰望夜空，欣赏这美好夜色的时候，会不会想要知道：那遥不可及的月亮离我们究竟有多远呢?1671年两个法国天文学家首次测出了地月之间的距离大约为385400km，你们想知道他们当时是怎样测出这个距离的吗?学习了__《解三角形》的内容之后，这个问题就会迎刃而解。
㈡新课学习：⒈提出问题：我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角关系的准确量化的表示呢?⒉解决问题：回忆直角三角形中的边角关系：根据正弦函数的定义有：，sinC=1。
经过学生思考、交流、讨论得出：，问题1：这个结论在任意三角形中还成立吗?(引导学生首先分为两种情况，锐角三角形和钝角三角形，然后按照化未知为已知的思路，构造直角三角形完成证明。
)①当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据锐角三角函数的定义，有,。
由此，得，同理可得，故有.从而这个结论在锐角三角形中成立.②当ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义，有，。
高中数学必修5《正弦定理》第二课时教学设计
《正弦定理》第二课时 教学设计高中数学 人教A 版 必修5 1.1.1正弦定理 共2课时 第2课时教学目标：1. 通过新旧知识的联系，加深对正弦定理的理解，并能熟练地运用正弦定理;2.已知两边和其中一边的对角不解三角形时会判断解的个数;3.掌握正弦定理的变形并运用其统一边角关系解三角形，判断三角形的形状以及解决与三角知识的交汇问题。
教学重点：解三角形解的个数不定问题及正弦定理的变形应用。
教学难点：已知两边及其中一边对角时三角形解的个数。
教学过程：【课前活动】巩固正弦定理，完成作业。
（上课订正问题并引入新知）教学活动活动1【复习引入】（1）实际测量问题：测量地球与月球距离（2）巩固旧知，引入新知 复习提问：1.正弦定理 2.三角形的面积公式3.△ABC 重要结论 (1) (2)活动2【作业讲评】投影订正解三角形S c a C b B A ABC 面积求中，,,,,22,45,105.1=︒=︒=∆BA b a ABC 求中，,45,3,2)1.(2︒===∆BA b a ABC 求中，,45,3,6)2(︒===∆R Cc B b A a 2sin sin sin ===B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆BA >b a >B A sin sin>π=++C B A A sin )sin(C B +=A cos )cos(C B +-=A tan )tan(C B +-=活动3【新知探究】问题1：比较两类题目条件，为何第2类中已知三要素三角形不确定，即解的个数不定？ 问题2：利用正弦定理求解出sinB 后有哪些情况？问题3：再从几何角度研究，利用几何图形，已知两边及其中一边对角，判断何时无解，一解，两解？（结合ppt 动态演示，由学生讨论、分析得出结论）活动4【讲授新知】一.解三角形1.已知两角和一边2.已知两边a 、b 和其中边 a 的对角 A可分为A 为锐角和A 为钝角两种情况:1.A 为锐角 (1) a < b sin A ，无解;(2) a = b sin A ，一个解；(3) b sin A < a < b ，两个解；(4) a ≥ b ，一个解.2.A 为钝角(1) a > b ，一个解(2) a ≤ b ，无解活动5【典例分析】例1. 不解三角形，判断三角形解的个数B A b a ABC 求中，,30,6,2)3(︒===∆BA b a ABC 求中，,120,1,3)4(︒===∆︒===30,6,2)1(A b a活动6【练习巩固】活动7【新知探究】问题4：正弦定理如何变形？边a=? sinA=?二.正弦定理的变形1.边化角 角化边2. 活动8【典例分析】 例2. 在△ABC 中，若 acosA =bcosB ， 判断三角形的形状。
人教A版高中数学必修5《正弦定理》教案
《正弦定理》教学设计一．教材分析：三角形是最基本的几何图形，有着极其广泛的应用。
在实际问题中，经常遇到解任意三角形的问题，因此必须进一步学习任意三角形的边角关系和解任意三角形的一些基本方法。
重点:正弦定理的发现与证明，及利用定理解三角形。
难点:锐角三角形中正弦定理的证明；已知两边及其一边对解三角形的情况。
二．学情分析:本节课是在学生已经于初中学习了直角三角形的边角关系和解直角三角形的方法，在高中学习了三角函数与平面向量的基础上的深化拓展。
故在此引入正弦定理,使“解三角形”的学习变得合情合理，学生思想上易于接受。
三．教学目标：1.知识与能力目标①掌握正弦定理,能利用正弦定理解三角形,判断解的个数;②培养学生归纳、猜想、论证能力能力；③培养学生的创新意识与逻辑思维能力。
2.过程与方法目标①分析研究正弦定理的探索过程；②体验先猜想后证明，由特殊到一般，分类讨论的方法。
3.情感态度价值观目标通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，激发学生的求知欲望，给学生成功的体验，感受数学活动的探索与创造，数学的严谨性以及数学结论的确定性。
四．设计理念：建构主义认为：教师的角色是学生建构知识的帮助者、引导者和忠实支持者。
因此为了有效的突出重点，突破难点，达到三维教学目标，本节课采用支架式教学法。
教师引导学生质疑、探索、反思，以生活中的实际问题引入，以"正弦定理的发现"为基本内容，让学生由问题开始，从而得出猜想、证明猜想，并逐步得到深化。
学生以自主探究,合作交流为主要学习方式,结合“观察——归纳——猜想——证明——应用”的方法将直角三角形、三角函数的知识应用于对任意三角形边角关系的探究。
体现学生的主体地位，提升学生的数学思维能力。
五．教学过程设计及简要分析：（一）创设情境，引入课题；问题一：索马里海盗日益猖獗，为保护商船我国坚决予以出兵打击海盗。
某日我A舰队突然发现其正东处有一海盗舰艇B正以30节的速度朝正北方向追击商船,我方决定全速拦截海盗。
第6章 6.4 6.4.3 第2课时 正弦定理-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课件
释 疑 难
sin A＝2aR，a＝2Rsin A；sin B＝2bR，b＝2Rsin B；sin C＝2cR，c＝2Rsin
作 业
C．由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化． 返 首 页
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情
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课
境
堂
导
小
学
结
·
探 新
【例 3】
在△ABC 中，若 sin A＝2sin Bcos C，且 sin2A＝sin2B
第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理
第2课时 正弦定理
2
·
情
学习目标
核心素养
课
境 导
1.通过对任意三角形边长和角度 1.通过对正弦定理的推导及应用
堂 小
学
结
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探 关系的探索，掌握正弦定理的内容 正弦定理判断三角形的形状，培养 提
新
素
知 及其证明．(难点)
逻辑推理的核心素养．
时 分
层
释
疑 思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．
作 业
难
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情 境
[跟进训练]
课 堂
导
小
学
探 新
1．如图，锐角△ABC 的外接圆 O 半径为 R，证明sina A＝2R.
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结
提 素
知
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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[证明] 连接 BO 并延长，交外接圆于点 A′，连接 A′C，
人教A版新教材高中数学第二册教学设计4：6.4.3第1课时余弦定理 第2课时正弦定理教案
6.4.3 第1课时余弦定理~6.4.3 第2课时正弦定理『教学要求』1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 『知识网络』『考点梳理』要点一、三角形中的边与角之间的关系约定：ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对应的三边分别为a 、b 、c . 1．边的关系：(1) 两边之和大于第三边：a b c +>，a c b +>，c b a +>； 两边之差小于第三边：a b c -<，a c b -<，c b a -<；(2) 勾股定理：ABC ∆中，22290a b c C +=⇔=︒.2．角的关系：ABC ∆中，A B C π++=,222C B A ++=2π （1）互补关系：sin()sin()sin A B C C π+=-= cos()cos()cos A B C C π+=-=- tan()tan()tan A B C C π+=-=-（2）互余关系：sinsin()cos 2222A B C Cπ+=-= cos cos()sin 2222A B C C π+=-=tan tan()cot 2222A B C C π+=-=应用解三角形正弦定理 余弦定理3．直角三角形中的边与角之间的关系Rt ABC ∆中，90C =︒（如图），有：c cC c b B c a A ====1sin ,sin ,sin ， cos ,cos ,cos 0b aA B C c c===.要点二、正弦定理、余弦定理1.正弦定理：在—个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即：2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ∆的外接圆半径）⇒⎪⎩⎪⎨⎧===CR c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 2. 余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即：2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎫=+-⎪=+-⎬⎪=+-⎭⇒222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形；每个等式可视为一个方程：知三求一. （2）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边. （3）利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角. (4) 利用余弦定理判断三角形形状：①勾股定理是余弦定理的特殊情况，22290cos 0a b c C C +=⇔=︒⇔=.②在ABC ∆中，222222cos 0902b c a c b a A A bc+-+>⇔=>⇔<︒，所以A 为锐角； 若222a c b +>，222a b c +>，同理可得角B 、C 为锐角.当222a c b +>，222a b c +>，222c b a +>都成立时，ABC ∆为锐角三角形．③在ABC ∆中，若222222cos 0902b c a c b a A A bc+-+<⇔=<⇔>︒， 所以A 为钝角，则ABC ∆是钝角三角形．同理：若222a cb +<，则ABC ∆是钝角三角形且B 为钝角；若222a b c +<，则ABC ∆是钝角三角形且C 为钝角．要点三、解斜三角形的类型1.已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解.2.已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在ABC ∆中，已知,a b 和角A 时，解的情况如下：(1)若A 为锐角时：a bsin Aa bsin A()bsin A a b ()a b ()<⎧⎪=⎪⎨<<⎪⎪≥⎩无解一解直角二解一锐，一钝一解锐角如图：(2)若A 为直角或钝角时：a b a b ()≤⎧⎨>⎩无解一解锐角3.已知三边，用余弦定理有解时，只有一解.4.已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解.1．在利用正弦定理理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍.2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变换（如因式分解、配方等）求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会漏掉一种形状的可能． 要点四、三角形面积公式1．12a S a h =⋅（a h 表示a 边上的高）； 2．111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===；3．22sin sin sin S R A B C =；4．4abcS R=；5. 1()2S p a b c ==++ 要点五、实际问题中的常用角 1. 仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：2.方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角. 方位角的取值范围为0°～360°.如图，点B 的方位角是0135α=.坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i 表示.坡比是坡角的正切值. 『典型例题』类型一、利用正弦、余弦定理解三角形 例1. 在ABC ∆中，已知下列条件，解三角形.（1）10a =, b =45A =︒；（2）=a c 45B =︒.『思路点拨』画出示意图（1）正弦定理的运用；（2）余弦定理的运用.『『解 析』』（1）∵101sin sin 45sin 2o B B =⇒=， 法一：∵000180B <<，∴30B =︒或150B =︒，①当30B =︒时，105C =︒，1)c =； ②当150B =︒时，180A B +>︒（舍去）.法二：∵b a <，∴B A <，即00045B <<，∴30B =︒，105C =︒，1)c =.（2）∵222222cos 2b a c ac B =+-=+-⋅︒2121)8=+-=∴b =法一：∵2222221cos ,22b c a A bc +-=∴60A =︒，75C =︒法二：∵0sin sin sin45a A B b=a c <∴A C <，有00090A <<，∴60A =︒，75C =︒. 『总结升华』①解三角形时，可以依据题意画出恰当的示意图，然后正确选择正、余弦定理解答； ②解三角形时，要留意三角形内角和为180°，同一个三角形中大边对大角等性质的应用. 举一反三：『变式1』在△ABC 中，abB ＝45°.求角A ，C 和边c . 『『解 析』』由正弦定理得sin sin a b A B =，sin sin 45A =， ∴sin A ＝2.∵a ＞b ，∴A ＝60°或A ＝120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c＝sin sin b C B =； 当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c＝sin sin b C B =『变式2』在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )．A ．B ．C.3D ．『『答 案』』C『『解 析』』由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°，由正弦定理得：sin sin a cA C ==c ＝3. 『变式3』在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，1AB BC ⋅=，则BC ＝()B.C ．D. 『『答 案』』A『『解 析』』∵1AB BC ⋅=，∴2cos()1BC B π⋅⋅-=,∴1cos 2BC B ⋅=-， 由余弦定理有2223222cos BC BC B =+-⨯∴23BC =，从而BC例2. 在△ABC 中，已知22tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状． 『思路点拨』将等式左边正切化为正弦、余弦形式，右边运用正弦定理将边化为角的形式，化简再判断.也可以直接将等式左边化为边的形式判断. 『『解 析』』方法一：化边为角由题意得BAA B B A 22sin sin cos sin cos sin =，化简整理得sin A cos A =sin B cos B 即sin2A =sin2B∴2A =2B 或2A +2B =π∴A =B 或2π=+B A ，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形． 方法二：化角为边由已知得22cos sin cos sin b a A B B A =结合正、余弦定理得2222222222b a bca cb b ac b c a a =-+⋅-+⋅， 整理得0))((22222=-+-c b a b a ∴22222c b a b a =+=或即三角形为等腰三角形或直角三角形.『总结升华』依据正、余弦定理定理的结构特点，若在式子中出现的为与边相关的一次式，则一般多用正弦定理，；若在式子中出现的为与边相关的二次式，则一般多用余弦定理. 举一反三：『变式1』在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是（） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形 『『答 案』』B『『解 析』』解法一：由已知结合正、余弦定理得2222222a c b a c ac R R+-⋅⋅=，整理得a 2=b 2，∴a =b ，∴△ABC 一定是等腰三角形.解法二：∵sin sin[()]sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B π=-+=+=+， ∴由已知得sin A cos B ―cos A sin B =0，即sin （A ―B ）=0.又A ―B ∈（－π，π），∴A －B =0，即A =B ，∴△ABC 为等腰三角形. 『变式2』在ABC ∆中，若b =a sin C ,c =a cos B ，试判断ABC ∆的形状． 『『答 案』』ABC ∆为等腰直角三角形 『『解 析』』由b =a sin C 可知ABC a b sin sin sin ==， 由c =a cos B 可知acb c a a c 2222-+⋅=整理得222a c b =+，即三角形一定是直角三角形，∠A =90，∴sin C =sin B ∴∠B =∠C ，∴△ABC 为等腰直角三角形． 类型二、解三角形及其综合应用例3.在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且c =1. （1）求tan A ； （2）求△ABC 的面积.『思路点拨』（1）利用两角和的正切公式表示出tan()B C +，由三角形的内角和定理及诱导公式得到tan A 的值；（2）由tan A 的值求得角A 是一个特殊角，再由tan ,tan B C 的值得到B 和C 的范围及大小关系，分别算出sin B ，sin C 的值，利用正弦定理可求得a 的值，最后利用三角形面积公式可求出面积.『『解 析』』（1）因为1tan 2B =，1tan 3C =，tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=-， 代入得到1123tan()111123B C ++==-⨯.因为A =180°―B ―C ，所以tan tan[180()]tan()1A B C B C =︒-+=-+=-. （2）0°＜A ＜180°，由（1）结论可得：A =135°. 因为11tan tan 023B C =>=>，所以0°＜C ＜B ＜90°.所以sin 5B =，sin 10C =.由sin sin a cA C=得a = 所以△ABC 的面积为11sin 22ac B =.『总结升华』有关三角形中的三角函数问题，灵活运用正弦、余弦定理把边、角之间的关系相互转化，然后应用三角函数的有关概念及公式进行恒等变换，从而达到解题的目的. 举一反三：『变式1』在ABC ∆中2a =，b =15C =︒，求A ,ABC S ∆. 『『解 析』』000ABC 111S sin 2230)222∆==⨯⨯=⨯⨯-ab C1212=⨯⨯=由余弦定理得：22222cos 8c a b ab C =+-=-=∴c =由正弦定理得：02sin 1sin 2a C A c ==== ∵a b <，∴30A =︒.『变式2』在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知1cos 24C =- (I)求sin C 的值；(Ⅱ)当a =2， 2sin A =sin C 时，求b 及c 的长． 『『答 案』』Ⅱ)4,c b ==例4.如图，A ，B是海面上位于东西方向相距5(3海里的两个观测点. 现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里／小时，该救援船到达D 点需要多少时间？『思路点拨』在△DAB 中，由正弦定理得sin sin DB ABDAB ADB=∠∠，由此可求得DB ；然后在△DAB 中，由余弦定理可求得CD ；最后根据时间=路程\速度，即可求得该救援船到达D 点需要的时间. 准确找出题目中的方向角是解题的关键之处. 『『解 析』』由题意知5(3AB =（海里）， ∠DBA =90°－60°=30°，∠DAB =90°－45°=45°， ∴∠ADB =180°－(45°+30°)=105°， 在△DAB 中，由正弦定理得sin sin DB ABDAB ADB=∠∠，∴sin 5(3sin 455(3sin 45sin sin105sin 45cos60cos 45sin 60AB DAB DB ADB ⋅∠⋅︒⋅︒===∠︒︒︒+︒+︒==.又∠DBC =∠DBA +∠ABC =30°+(90°－60°)=60°，BC = 在△DBC 中，由余弦定理得22212cos 300120029002CD BD BC BD BC DBC =+-⋅⋅∠=+-⨯=， ∴CD =30（海里），则需要的时间30130t ==（小时）. 『总结升华』对图形进行有效的分析，便于使用正弦、余弦定理. 举一反三：『变式1』如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时,乙船位于甲船的北偏西105的方向1B 处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?『『解 析』』如图，连结12A B ，∵22A B =122060A A =⨯=22160B A A ∠= ∴122A A B ∆是等边三角形，1121056045B A B ∠=︒-︒=︒，在121A B B ∆中，由余弦定理得:2222212111211122cos 4520220200B B A B A B A B A B =+-⋅︒=+-⨯⨯=，∴12B B =60=答：乙船每小时航行.『变式2』已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（）A ．a kmB kmC kmD ．2a km『『答 案』』B『『解 析』』利用余弦定理解△ABC . 易知∠ACB =120°， 在△ABC 中，由余弦定理得22222212cos12022()32AB AC BC AC BC a a a =+-⋅︒=-⨯-=，∴AB =km.。
(新课标)高中数学正弦定理教学设计新人教A版必修
人教版高中数学必修精品教案资料1.1.1 正弦定理从容说课本章内容是处理三角形中的边角关系,与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系,与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系．教科书在引入正弦定理内容时,让学生从已有的几何知识出发,提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”在引入余弦定理内容时,提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样,用联系的观点,从新的角度看过去的问题,使学生对于过去的知识有了新的认识,同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上,形成良好的知识结构．教案重点1.正弦定理的概念；2.正弦定理的证明及其基本应用．教案难点1.正弦定理的探索和证明；2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．教具准备直角三角板一个一、知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．二、过程与方法1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系；2.引导学生通过观察、推导、比较,由特殊到一般归纳出正弦定理；3.进行定理基本应用的实践操作．三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.培养学生探索数学规律的思维能力,通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．教案过程导入新课师如右图,固定△ABC 的边CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动．师思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？生显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大．师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？师在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系．如右图,在Rt△ABC 中,设BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有c a =sin A ,c b =sin B ,又sin C =1=c c ,则c simC c B b A a ===sin sin .从而在直角三角形ABC 中, simCcB b A a ==sin sin . 推进新课 [合作探究]师那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如右图,当△ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD =A sin B =B sin A ,则B b A a sin sin =,同理,可得B bC c sin sin =.从而CcB b A a sin sin sin ==. （当△ABC 是钝角三角形时,解法类似锐角三角形的情况,由学生自己完成）正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即CcB b A a sin sin sin ==师是否可以用其他方法证明这一等式？生可以作△ABC 的外接圆,在△ABC 中,令BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等,来证明CcB b A a sin sin sin ==这一关系． 师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题,我们一起来看下面的证法. 在△ABC 中,已知BC =A ,AC =B ,AB =C ,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAB′=90°,∠C =∠B′,∴sin C =sin B′=Rc B C 2sin sin ='=∴R Cc2sin =同理,可得R B bR A a 2sin ,2sin ==∴R Cc B b A a 2sin sin sin ===这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式CcB b A a sin sin sin ==点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫[知识拓展师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢生向量的数量积的定义式A ·B =|A ||B |C os θ,其中θ为两向量的夹角师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢生 可以通过三角函数的诱导公式sin θ=Co s(90°-θ)进行转化师这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j 的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j 垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j 垂直于三角形一边的原因师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得=+而添加垂直于AC 的单位向量j 是关键,为了产生j 与、、的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,也就在情理之中了师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点点评: (1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用向量法证明过程(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于,则j 与的夹角为-A ,j与的夹角为90°-C由向量的加法原则可得=+为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到j j ∙=+∙)(由分配律可得j j ∙=∙+∴|j|Co s90°+|j|Co s(90°-C Co s(90°-A∴A sin C =C sin A ∴CcA a sin sin =另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j,则j 与的夹角为90°+C ,j 与的夹角为90°+B ,可得BbC c sin sin =(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与的夹角为90°-C ,j与AB 的夹角为90°-B∴CcB b A a sin sin sin ==(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为A -90°,j 与的夹角为90°-C由=+,得j·=j·AB即A ·Co s(90°-C )=C ·Co s(A -∴A sin C =C sin A∴CcA a sin sin =另外,过点C 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为90°+C ,j 与夹角为B .同理,可得C cB b sin sin =∴Cc B b simA a sin sin ==（形式1）综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用[教师精讲]（1）正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使A =ksin A ,B =ksin B ,C =ksin C ；（2）C cB b A a sin sin sin == 等价于CcA aB bC c B b A a sin sin ,sin sin ,sin sin === (形式我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题. ①已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边,如BAb a sin sin =.这类问题由于两角已知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本P 4的例1就属于此类问题②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如B baA sin sin =．此类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件．一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形．师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结［例题剖析］【例1】在△ABC 中,已知A =32.0°,B =81.8°,A =42.9 c m,解三角形分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B ,若求边C ,再利用正弦定理即可解：根据三角形内角和定理,C =180°-(A +B )=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°。
【新教材教案】6.4.3 余弦定理、正弦定理(第2课时)正弦定理 教学设计(1)-人教A版必修第二册
6.4.3 余弦定理、正弦定理第2课时 正弦定理本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A 版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习正弦定理，用正弦定理来解三角形。
《正弦定理》是三角形理论中的一个重要内容,与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系。
在此之前,学生已经学习过了正弦函数和余弦函数、余弦定理,知识储备已足够。
它是后续课程中解三角形的理论依据,也是解决实际生活中许多测量问题的工具。
因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础,并能在实际应用中灵活变通。
A理解并掌握正弦定理的证明；B.运用正弦定理解三角形；C.探索正弦定理的证明过程，并能掌握多种证明方法。
1.教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及应用；2.教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和一对角解三角形时三角形解的个数。
多媒体教学过程 教学设计意图 核心素养目标一、复习回顾，温故知新 1.余弦定理及其推论 【答案】B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2222222-+=-+=，C ab b a c cos 2222-+=ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 222222-+=-+=，，ab c b a C 2cos 222-+=二、探索新知探究：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角，已知三边直接解三角形的公式。
如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？在直角三角形中，能得到三边、三角之间的什么关系式？【分析】 在直角三角形ABC 中，由锐角三角函数， 再根据正弦函数的定义，可得c bB c a A ==sin ,sin ，所以c B bA a ==sin sin ，因为1sin =C ，所以CcB b A a sin sin sin == 思考1：对于一般的三角形，CcB b A a sin sin sin ==仍然成立吗？ 【解析】分锐角三角形、钝角三角形证明。
6.4.3.2正弦定理教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册+
正弦定理教学设计内容教学目的1.通过创设问题情境，引导学生发现正弦定理，并推证正弦定理。
会初步运用正弦定理与三角形的角和定理解斜三角形的两类问题。
2.引导学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角正弦的比值之间的关系，培养学生通过观察，猜测，由特殊到一般归纳得出结论的能力和化未知为的解决问题的能力。
教学重点难点教学重点：1.正弦定理的探索和证明及其根本应用。
教学难点：1.正弦定理的证明。
2.了解两边和其中一边的对角解三角形时，解的情况不唯一。
教学过程一、情境导入思考一下：（1）在△ABC中，若A＝30°，B＝45°，AC＝4，你还能直接运用余弦定理求出边BC吗？（2）在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？我们看一段动画来了解一下边与角之间的关系吧！（播放动画）二、定理推导因此我们由那视频可以得出：sinA=ac；sinB=bc。
显然，上述两个关系式在一般三角形中不成立。
观察发现，它们有一个共同元素c，利用它把两个式子联系起来，可得：asin A=bsin B=c又因为sinC=sin90°=1，所以上式可以写成边与它的对角的正弦的比相等的形式，即：a sin A= b sin B = c sin C 思考一下：对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦。
如何实现转化?由诱导公式 cos(π/2-a)=sin a 可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系。
接下来我们一起推导一下吧！利用向量法证明正弦定理如图，△ABC 为锐角三角形，过点A 作与AC →垂直的单位向量j ，则j 与AB →的夹角为π2－A ，j 与CB →的夹角为π2－C 。
因为AC →＋CB →＝AB →，所以j ·(AC →＋CB →)＝j ·AB →。
由分配律，得j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →，即|j ||AC →|cos π2＋|j ||CB →|cos (π2－C )＝|j ||AB →|cos (π2－A )， 也即a sin C ＝c sin A ，即a sin A ＝c sin C。
6.4.3.2正弦定理教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
3.采用多媒体教学：利用多媒体教学，如PPT、动画演示等，使抽象的概念更加直观和生动，提高学生的学习兴趣和理解能力。
（二）存在主要问题
1.学生的自主学习能力不足：学生在自主学习过程中，存在依赖教师的倾向，缺乏自主探索和解决问题的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正弦定理的证明和应用这两个重点。对于证明部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
三、实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正弦定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示正弦定理的基本原理。
学生学习效果
1.知识掌握：学生能够准确理解正弦定理的定义和表述，掌握正弦定理的证明过程，以及了解正弦定理在解决三角形问题中的应用。
2.能力培养：学生能够运用逻辑推理和数学抽象能力，进行正弦定理的证明和应用。通过解决实际问题，学生能够提高数学建模能力，将数学知识应用于实际情境中。
3.学习兴趣：通过引入生活中的实际问题和案例分析，学生对正弦定理的学习产生兴趣，激发学生的好奇心，提高学生对数学学科的兴趣。
7.思维发展：通过正弦定理的学习和应用，学生能够培养数学思维能力，提高学生的逻辑思维和创造性思维。
8.学习习惯：学生在课堂参与、作业完成和自主学习等方面能够养成良好的学习习惯，提高学习效率。
课堂
1.课堂评价：
2.作业评价：
对学生的作业进行认真批改和点评，及时反馈学生的学习效果，鼓励学生继续努力。在学生完成作业后，我会仔细批改并进行详细的点评。对于学生的正确解答，我会给予肯定和鼓励，以增强学生的自信心。对于学生的错误，我会指出并给予解释，帮助学生理解错误的原因，并指导学生如何正确解答。同时，我会在批改作业的过程中发现学生的共性问题，并在课堂上进行针对性的讲解和复习，以提高学生的学习效果。
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【新教材】6.4.3 余弦定理、正弦定理 教学设计（人教A 版）第2课时 正弦定理教材开门见山地提出“三角形的边与角之间有什么数量关系呢？”运用由特殊到一般的归纳思想方法，从直角三角形出发，得到C cB bA asin sin sin ==，并以等边三角形加以验证，进而提出“对其他三角形是否成立呢？”这样设置符合学生的认知。
教材中对正弦定理的证明采用了构造向量投影相等的思路。
同时设置了两个例题说明正弦定理的应用.课程目标1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的问题；2、通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律；3、通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现过程，逐步培养探索精神和创新意识；通过对正弦函数的学习体会数学的对称美，和谐美.数学学科素养1.数学抽象：正弦定理及其变形、三角形面积公式；2.逻辑推理：用正弦定理及其变形解决相关问题；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，使学生学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律.重点：正弦定理的内容，对正弦定理的证明及基本运用；难点：正弦定理的探索及证明.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、 情景导入提问：角与边之间是否存在定量关系？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本45-48页，思考并完成以下问题1、直角三角形中的边角关系是怎样的？2、什么是正弦定理？3、正弦定理可进行怎样的变形？4、已知三角形的两边及内角怎样求其面积？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．2．正弦定理的变形(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A .(5)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C. 3．正弦定理应用解三角形(1) 已知三角形的两角及任一边，求其他两边和一角；(2)已知三角形的两边和其中一边对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．4、三角形的面积公式 (1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B . 四、典例分析、举一反三题型一 已知两角及一边解三角形例1 在△ABC 中，A ＝30°，C ＝105°，a ＝10，求b ，c ，B .【答案】B ＝45°.b ＝102，c ＝52＋5 6.【解析】因为A ＝30°，C ＝105°，所以B ＝45°.因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 所以b ＝a sin B sin A ＝10sin 45°sin 30°＝102， c ＝a sin C sin A ＝10sin 105°sin 30°＝52＋5 6. 解题技巧（已知两角及一边解三角形问题的基本方法）(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．跟踪训练一1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝105°，C ＝45°，c ＝2，则b ＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．22．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 【答案】1、A. 2、102． 【解析】1、在△ABC 中，∵A ＝105°，C ＝45°，∴B ＝180°－A －C ＝180°－105°－45°＝30°.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b sin 30°＝2sin 45°，解得b ＝1. 故选A.2、因为tan A ＝13，所以sin A ＝1010.由正弦定理知AB ＝BC sin A ·sin C ＝10sin 150°＝102. 题型二 已知两边及一边的对角解三角形例2 在△ABC 中，A ＝45°，c ＝6，a ＝2，求b ，B ，C .【答案】 b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°.【解析】 ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2＝32， ∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1. 当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°.解题技巧： (已知两边及一边的对角解三角形的方法)(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．跟踪训练二1．△ABC 中，B ＝45°，b ＝2，a ＝1，则角A ＝________.2．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝30°，求边c 的长．【答案】1、30°. 2、1或2.【解析】1、由正弦定理得，1sin A ＝2sin 45°，解得sin A ＝12，所以A ＝30°或A ＝150°.又因b >a ，所以B >A ，则A ＝30°.2、由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32. ∵a <b ，∴B >A ＝30°，∴B 为60°或120°.①当B ＝60°时，C ＝180°－60°－30°＝90°.此时，c ＝ a 2＋b 2＝1＋3＝2.②当B ＝120°时，C ＝180°－120°－30°＝30°.此时，c ＝a ＝1.综上知c ＝1或2.题型三 正弦定理在边角互化中的应用例3 在△ABC 中，已知b ＋c ＝1，C ＝45°，B ＝30°，则b ＝________. 【答案】2－1.【解析】 由正弦定理知b sin B ＝c sin C， 所以，b ＋c sin B ＋sin C ＝b sin B ，b ＝b ＋c sin B ＋sin C ·sin B ＝sin 30°sin 45°＋sin 30°＝2－1. 例4 在△ABC 中，cos A a ＝cos B b ＝cos C c，试判断△ABC 的形状； 【答案】等边三角形.【解析】 (化边为角)根据正弦定理，得到cos A sin A ＝cos B sin B ＝cos C sin C ，整理为1tan A ＝1tan B ＝1tan C. ∵A ，B ，C ∈(0，π)，∴A ＝B ＝C ，∴△ABC 为等边三角形．解题技巧（正弦定理应用技巧）利用正弦定理将边化为角或者将角化为边处理，这是正弦定理的一种重要作用，也是处理三角形问题的重要手段．正弦定理的变形有多种形式，要根据题目选择合适的变形进行使用．再判断三角形形状时(1)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a ＝b ，a 2＋b 2＝c 2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R，sin C ＝c 2R.(2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ． 跟踪训练三1、在△ABC 中，若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( )A ．1B.12 C ．－1D ．－122．在△ABC 中，a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，判断△ABC 的形状． 【答案】1、A. 2、等腰三角形.【解析】1、由正弦定理，可得sin A cos A ＝sin 2B ，即sin A cos A ＝1－cos 2B ，所以sin A cos A ＋cos 2B ＝1.2、法一：(化角为边)∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：a ·a 2R ＝b ·b 2R. ∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形．法二：(化边为角)∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B.由正弦定理可得：2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B ，∴A ＝B (A ＋B ＝π不合题意舍去)，故△ABC 为等腰三角形.题型四 与三角形面积有关问题例5 在△ABC 中，已知B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．【答案】23或 3.【解析】 由正弦定理，得sin C ＝AB ·sin B AC ＝32， 又AB ·sin B <AC <AB ，故该三角形有两解：C ＝60°或120°.∴当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12AB ·AC ＝23； 当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3. ∴△ABC 的面积为23或 3.解题技巧（三角形面积公式应用技巧）(1)求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值．(2)事实上，在众多公式中，最常用的公式是S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式．跟踪训练四1．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则A 的大小为( ) A ．60°或120° B ．60°C ．120°D ．30°或150°2．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，A ＝30°，c ＝3，则△ABC 的面积为________．【答案】1、A. 2、34. 【解析】1、由S △ABC ＝12bc sin A 得32＝12×2×3×sin A ， 所以sin A ＝32， 故A ＝60°或120°，故选A.2、在钝角△ABC 中，由a ＝1，A ＝30°，c ＝3，利用正弦定理可知C ＝120°，得到B ＝30°，利用面积公式得S △ABC ＝12×1×3×12＝34. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本48页练习，52页习题6.4的7、10题.通过本节课的学习，从学生的情况来看，效果较好，学生能够根据以前学过的相关知识，在老师的指引下证明出正弦定理，能掌握正弦定理的计算方法，能够理解够理解公式中不同量的意义，但是在运用过程中我们发现，学生往往容易忽略解的情况问题，很多学生的出来两个解，但是没用通过以前学的知识“大边对大角”来舍去不符合题意的情况。