相交线与平行线培优题
(完整版)初一数学下册相交线与平行线试题(带答案) (一)培优试卷
一、选择题1.如图,ABC 中∠BAC =90°,将周长为12的ABC 沿BC 方向平移2个单位得到DEF ,连接AD ,则下列结论:①AC //DF ,AC =DF ;②DE ⊥AC ;③四边形 ABFD 的周长是16;④ABEO CFDO S S =四边形四边形,其中正确的个数有( )A .1个B .2个C .3个D .4个2.如图,//AB CD ,将一个含30角的直角三角尺按如图所示的方式放置,若1∠的度数为25︒,则2∠的度数为( )A .35︒B .65︒C .145︒D .155︒3.如下图,下列条件中:①∠B+∠BCD=180°;②∠1=∠2;③∠3=∠4;④∠B=∠5,能判定AB ∥CD 的条件为( )A .①②③④B .①②④C .①③④D .①②③ 4.如图所示,若AB ∥EF ,用含α、β、γ的式子表示x ,应为( )A .αβγ++B .βγα+-C .180αγβ︒--+D .180αβγ︒++- 5.如图,//,AD BC D ABC ∠=∠,点E 是边DC 上一点,连接AE 交BC 的延长线于点H ,点F 是边AB 上一点,使得FBE FEB ∠=∠,作FEH ∠的角平分线EG 交BH 于点G ,若100DEH ︒∠=,则BEG ∠的度数是( )A .30︒B .40︒C .50︒D .60︒6.如图,//AB CD ,PF CD ⊥于F ,40AEP ∠=︒,则EPF ∠的度数是( )A .120︒B .130︒C .140︒D .150︒7.如图,已知直线AB ,CD 被直线AC 所截,AB ∥CD ,E 是平面内CD 上方的一点(点E 不在直线AB ,CD ,AC 上),设∠BAE =α,∠DCE =β.下列各式:①α+β,②α﹣β,③β﹣α,④180°﹣α﹣β,⑤360°﹣α﹣β中,∠AEC 的度数可能是( )A .①②③B .①②④⑤C .①②③⑤D .①②③④⑤ 8.如图,从①12∠=∠,②C D ∠=∠,③//DF AC 三个条件中选出两个作为已知条件,另一个作为结论所组成的命题中,正确命题的个数为( )A .0B .1C .2D .39.如图,直线a ,b 被直线c ,d 所截,若12∠=∠,3125∠=︒,则4∠的度数是( )A .65︒B .60︒C .55︒D .75︒ 10.如果两个角的两边分别平行,而其中一个角比另一个角的3倍少20°,那么这两个角是( )A .50°、130°B .都是10°C .50°、130°或10°、10°D .以上都不对 二、填空题11.如图,已知//AB CD ,CE 、BE 的交点为E ,现作如下操作:第一次操作,分别作ABE ∠和DCE ∠的平分线,交点为1E ,第二次操作,分别作1ABE ∠和1DCE ∠的平分线,交点为2E ,第三次操作,分别作2ABE ∠和2DCE ∠的平分线,交点为3E ,…,第n 次操作,分别作1n ABE -∠和1n DCE -∠的平分线,交点为n E .若BEC α∠=,则n E ∠的度数是__________.12.如图,已知AB ∥CD ,点E ,F 分别在直线AB ,CD 上点P 在AB ,CD 之间且在EF 的左侧.若将射线EA 沿EP 折叠,射线FC 沿FP 折叠,折叠后的两条射线互相垂直,则∠EPF 的度数为 _____.13.如图,在平面内,两条直线1l ,2l 相交于点O ,对于平面内任意一点M ,若p ,q 分别是点M 到直线1l ,2l 的距离,则称(,)p q 为点M 的“距离坐标”.根据上述规定,“距离坐标”是(2,1)的点共有________个.14.某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯,主道路是平行,即PQ ∥MN . 如图所示,灯A 射线从AM 开始顺时针旋转至AN 便立即回转,灯B 射线从BP 开始顺时针旋转至BQ 便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.若灯A 转动的速度是每秒2度,灯B 转动的速度是每秒1度. 若灯B 射线先转动30秒,灯A 射线才开始转动,在灯B 射线到达BQ 之前,A 灯转动_________秒,两灯的光束互相平行.15.如图,AB ∥CD ,点P 为CD 上一点,∠EBA 、∠EPC 的角平分线于点F ,已知∠F =40°,则∠E =_____度.16.如图,已知∠A =(60﹣x )°,∠ADC =(120+x )°,∠CDB =∠CBD ,BE 平分∠CBF ,若∠DBE =59°,则∠DFB =___.17.如图,已知//AB CD ,BF 平分ABE ∠,//BF DE ,且40D ∠=︒,则BED ∠的度数为______.18.如图,//AB DE ,AD AB ⊥,AE 平分BAC ∠交BC 于点F .如果24CAD ∠=︒,则=E ∠__︒.19.如图,在长方形ABCD 中,4AB =,6BC =,将长方形ABCD 沿着BC 方向平移得到长方形A B C D ''''.若ABB A ''是正方形,则四边形ABC D ''的周长是______.20.如图,直线//MN PQ ,MN 与直线AB ,AC 分别交于D ,E ,PQ 与直线AB ,AC 分别交于F ,G ,若75C ∠=︒,26BGF ∠=︒,则AEN ∠=_________度.三、解答题21.如图,直线//PQ MN ,点C 是PQ 、MN 之间(不在直线PQ ,MN 上)的一个动点.(1)如图1,若1∠与2∠都是锐角,请写出C ∠与1∠,2∠之间的数量关系并说明理由; (2)把直角三角形ABC 如图2摆放,直角顶点C 在两条平行线之间,CB 与PQ 交于点D ,CA 与MN 交于点E ,BA 与PQ 交于点F ,点G 在线段CE 上,连接DG ,有BDF GDF ∠=∠,求AEN CDG∠∠的值; (3)如图3,若点D 是MN 下方一点,BC 平分PBD ∠, AM 平分CAD ∠,已知25PBC ∠=︒,求ACB ADB ∠+∠的度数.22.如图,//MN PQ ,直线AD 与MN 、PQ 分别交于点A 、D ,点B 在直线PQ 上,过点B 作BG AD ⊥,垂足为点G .(1)如图1,求证:90MAG PBG ∠+∠=︒;(2)若点C 在线段AD 上(不与A 、D 、G 重合),连接BC ,MAG ∠和PBC ∠的平分线交于点H 请在图2中补全图形,猜想并证明CBG ∠与AHB ∠的数量关系;23.已知,如图:射线PE 分别与直线AB 、CD 相交于E 、F 两点,PFD ∠的角平分线与直线AB 相交于点M ,射线PM 交CD 于点N ,设PFM α∠=︒,EMF β∠=︒且()2350αβα-+-=.(1)α=________,β=________;直线AB 与CD 的位置关系是______;(2)如图,若点G 是射线MA 上任意一点,且MGH PNF ∠=∠,试找出FMN ∠与GHF ∠之间存在一个什么确定的数量关系?并证明你的结论.(3)若将图中的射线PM 绕着端点P 逆时针方向旋转(如图)分别与AB 、CD 相交于点1M 和点1N 时,作1PM B ∠的角平分线1M Q 与射线FM 相交于点Q ,问在旋转的过程中1FPN Q∠∠的值变不变?若不变,请求出其值;若变化,请说明理由.24.如图1,点E 在直线AB 、DC 之间,且180DEB ABE CDE ∠+∠-∠=︒.(1)求证://AB DC ;(2)若点F 是直线BA 上的一点,且BEF BFE ∠=∠,EG 平分DEB ∠交直线AB 于点G ,若20D ∠=︒,求FEG ∠的度数;(3)如图3,点N 是直线AB 、DC 外一点,且满足14CDM CDE ∠=∠,14ABN ABE ∠=∠,ND 与BE 交于点M .已知()012CDM αα∠=︒<<︒,且//BN DE ,则NMB ∠的度数为______(请直接写出答案,用含α的式子表示).25.如图,已知直线12//l l ,点A B 、在直线1l 上,点C D 、在直线2l 上,点C 在点D 的右侧,()80,2,ADC ABC n BE ∠=︒∠=︒平分,ABC DE ∠平分ADC ∠,直线BE DE 、交于点E .(1)若20n =时,则BED ∠=___________;(2)试求出BED ∠的度数(用含n 的代数式表示);(3)将线段BC 向右平行移动,其他条件不变,请画出相应图形,并直接写出BED ∠的度数.(用含n 的代数式表示)【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D解析:D【分析】根据平移的性质逐一判定即可.【详解】解:∵将ABC 沿BC 向右平移2个单位得到DEF ,∴AC //DF ,AC =DF ,AB =DE ,BC =EF ,AD =BE =CF =2,∠BAC =∠EDF =90°, ∴ED ⊥DF ,四边形ABFD 的周长=AB +BC +CF +DF +AD =12+2+2=16.∵S △ABC =S △DEF ,∴S △ABC ﹣S △OEC =S △DEF ﹣S △OEC ,∴S 四边形ABEO =S 四边形CFDO ,即结论正确的有4个.故选:D.【点睛】本题考查了平移的性质:把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同;新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行且相等.也考查了平移的距离以及图形的面积.2.A解析:A【分析】过三角板60°角的顶点作直线EF∥AB,则EF∥CD,利用平行线的性质,得到∠3+∠4=∠1+∠2=60°,代入计算即可.【详解】如图,过三角板60°角的顶点作直线EF∥AB,∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠3=∠1,∠4=∠2,∵∠3+∠4=60°,∴∠1+∠2=60°,∵∠1=25°,∴∠2=35°,故选A.【点睛】本题考查了平行线的辅助线构造,平行线的判定与性质,三角板的意义,熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键.3.C解析:C【详解】解:①∵∠B+∠BCD=180°,∴AB∥CD;②∵∠1=∠2,∴AD∥BC;③∵∠3=∠4,∴AB∥CD;④∵∠B=∠5,∴AB∥CD;∴能得到AB∥CD的条件是①③④.故选C.【点睛】此题主要考查了平行线的判定,解题关键是合理利用平行线的判定,确定同位角、内错角、同旁内角. 平行线的判定:同旁内角互补,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同位角相等,两直线平行.4.C解析:C【分析】过C作CD∥AB,过M作MN∥EF,推出AB∥CD∥MN∥EF,根据平行线的性质得出α+∠BCD=180°,∠DCM=∠CMN,∠NMF=γ,求出∠BCD=180°-α,∠DCM=∠CMN=β-γ,即可得出答案.【详解】过C作CD∥AB,过M作MN∥EF,∵AB∥EF,∴AB∥CD∥MN∥EF,∴α+∠BCD=180°,∠DCM=∠CMN,∠NMF=γ,∴∠BCD=180°-α,∠DCM=∠CMN=β-γ,∴x=∠BCD+∠DCM=180αγβ︒--+,故选:C.【点睛】本题考查了平行线的性质的应用,主要考查了学生的推理能力.5.B解析:B【分析】AD∥BC,∠D=∠ABC,则AB∥CD,则∠AEF=180°-∠AED-∠BEG=180°-2β,在△AEF中,100°+2α+180°-2β=180°,故β-α=40°,即可求解.【详解】解:设FBE=∠FEB=α,则∠AFE=2α,∠FEH的角平分线为EG,设∠GEH=∠GEF=β,AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD=180°,而∠D=∠ABC,∴∠D+∠BAD=180°,∴AB∥CD,∠DEH=100°,则∠CEH=∠FAE=80°,∠AEF=180°-∠FEG-∠BEG=180°-2β,在△AEF中,在△AEF中,80°+2α+180-2β=180°故β-α=40°,而∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°,故选:B.【点睛】此题考查平行线的性质,解题关键是落脚于△AEF内角和为180°,即100°+2α+180°-2β=180°,题目难度较大.6.B解析:B【分析】过点P作MN∥AB,结合垂直的定义和平行线的性质求∠EPF的度数.【详解】解:如图,过点P作MN∥AB,∵∠AEP=40°,∴∠EPN=∠AEP=40°∵AB∥CD,PF⊥CD于F,∴PF⊥MN,∴∠NPF=90∴∠EPF=∠EPN+∠NPF=40°+90°=130°故答案为B【点睛】本题考查了平行线的判定定理和性质,作出辅助线构造平行线是解答本题的关键.7.C解析:C【分析】根据点E有6种可能位置,分情况进行讨论,依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可.【详解】解:(1)如图1,由AB∥CD,可得∠AOC=∠DCE1=β,∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C,∴∠AE1C=β﹣α.(2)如图2,过E2作AB平行线,则由AB∥CD,可得∠1=∠BAE2=α,∠2=∠DCE2=β,∴∠AE2C=α+β.(3)如图3,由AB∥CD,可得∠BOE3=∠DCE3=β,∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C,∴∠AE3C=α﹣β.(4)如图4,由AB∥CD,可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°,∴∠AE4C=360°﹣α﹣β.综上所述,∠AEC的度数可能是β﹣α,α+β,α﹣β,360°﹣α﹣β.故选:C.【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用,解题时注意:两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等.8.D解析:D【分析】分别任选其中两个条件作为已知,然后结合平行线的判定与性质,证明剩余一个条件是否成立即可.【详解】解:如图所示:(1)当①∠1=∠2,则∠3=∠2,故DB∥EC,则∠D=∠4;当②∠C=∠D,故∠4=∠C,则DF∥AC,可得:∠A=∠F,即①②可证得③;(2)当①∠1=∠2,则∠3=∠2,故DB∥EC,则∠D=∠4,当③∠A=∠F,故DF∥AC,则∠4=∠C,故可得:∠C=∠D,即①③可证得②;(3)当③∠A=∠F,故DF∥AC,则∠4=∠C,当②∠C=∠D,则∠4=∠D,故DB∥EC,则∠2=∠3,可得:∠1=∠2,即②③可证得①.故正确的有3个.故选:D.【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质,正确掌握并熟练运用平行线的判定与性质是解题关键.9.C解析:C【分析】首先证明a∥b,推出∠4=∠5,求出∠5即可.【详解】解:∵∠1=∠2,∴a∥b,∴∠4=∠5,∵∠5=180°﹣∠3=55°,∴∠4=55°,故选:C.【点睛】本题考查平行线的判定和性质,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.10.C解析:C【分析】首先由两个角的两边分别平行,可得这两个角相等或互补.然后设其中一角为x°,由其中一个角比另一个角的3倍少20°,然后分别从两个角相等与互补去分析,即可求得答案,注意别漏解.【详解】解:∵两个角的两边分别平行,∴这两个角相等或互补.设其中一角为x°,若这两个角相等,则x=3x﹣20,解得:x=10,∴这两个角的度数是10°和10°;若这两个角互补,则180﹣x=3x﹣20,解得:x=50,∴这两个角的度数是50°和130°.∴这两个角的度数是50°、130°或10°、10°.故选:C.【点睛】此题考查了平行线的性质与一元一次方程的解法.此题难度适中,解题的关键是掌握如果两个角的两边分别平行,则这两个角相等或互补,注意方程思想的应用.二、填空题11.【分析】先过E作EF∥AB,根据AB∥CD,得出AB∥EF∥CD,再根据平行线的性质,得出∠B=∠1,∠C=∠2,进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE;根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1,解析:12n α⎛⎫⎪⎝⎭【分析】先过E作EF∥AB,根据AB∥CD,得出AB∥EF∥CD,再根据平行线的性质,得出∠B=∠1,∠C=∠2,进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE;根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1,则可得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=12∠ABE+12∠DCE=12∠BEC;同理可得∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=12∠ABE1+12∠DCE1=12∠CE1B=14∠BEC;根据∠ABE2和∠DCE2的平分线,交点为E3,得出∠BE3C=18∠BEC;…据此得到规律∠E n=n12∠BEC,最后求得度数.【详解】如图1,过E作EF∥AB.∵AB∥CD,∴AB∥EF∥CD,∴∠B=∠1,∠C=∠2.∵∠BEC=∠1+∠2,∴∠BEC=∠ABE+∠DCE;如图2:∵∠ABE 和∠DCE 的平分线交点为E 1,∴∠CE 1B =∠ABE 1+∠DCE 1=12∠ABE +12∠DCE =12∠BEC .∵∠ABE 1和∠DCE 1的平分线交点为E 2,∴∠BE 2C =∠ABE 2+∠DCE 2=12∠ABE 1+12∠DCE 1=12∠CE 1B =14∠BEC ; ∵∠ABE 2和∠DCE 2的平分线,交点为E 3,∴∠BE 3C =∠ABE 3+∠DCE 3=12∠ABE 2+12∠DCE 2=12∠CE 2B =18∠BEC ; …以此类推,∠E n =n12∠BEC , ∵BEC α∠=, ∴n E ∠的度数是12n⎛⎫ ⎪⎝⎭α. 故答案为:12n ⎛⎫ ⎪⎝⎭α. 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及平行线性质:两直线平行,内错角相等的运用.解决问题的关键是作平行线构造内错角,解题时注意:从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线. 12.45°或135°【分析】根据题意画出图形,然后利用平行线的性质得出∠EMF 与∠AEM 和∠CFM 的关系,然后可得答案.【详解】解:如图1,过作,,,,,,,同理可得,由折叠可解析:45°或135°【分析】根据题意画出图形,然后利用平行线的性质得出∠EMF 与∠AEM 和∠CFM 的关系,然后可得答案.【详解】解:如图1,过M 作//MN AB ,//AB CD ,////AB CD NM ∴,AEM EMN ∴∠=∠,NMF MFC ∠=∠,90EMF ∠=︒,90AEM CFM ∴∠+∠=︒,同理可得P AEP CFP ∠=∠+∠, 由折叠可得:12AEP PEM AEM ∠=∠=∠,12PFC PFM CFM ∠=∠=∠, 1()452P AEM CFM ∴∠=∠+∠=︒, 如图2,过M 作//MN AB ,//AB CD ,////AB CD NM ∴,180AEM EMN ∴∠+∠=︒,180NMF MFC ∠+∠=︒,360AEM EMF CFM ∴∠+∠+∠=︒,90EMF ∠=︒,36090270AEM CFM ∴∠+∠=︒-︒=︒, 由折叠可得:12AEP PEM AEM ∠=∠=∠,12PFC PFM CFM ∠=∠=∠, 12701352P ∴∠=︒⨯=︒, 综上所述:EPF ∠的度数为45︒或135︒,故答案为:45°或135°.【点睛】本题主要考查了平行线的性质,关键是正确画出图形,分两种情况分别计算出∠EPF 的度数.13.4【分析】到的距离是2的点,在与平行且与的距离是2的两条直线上;同理,点在与的距离是1的点,在与平行,且到的距离是1的两直线上,四条直线的距离有四个交点.因而满足条件的点有四个.【详解】解:解析:4【分析】到1l 的距离是2的点,在与1l 平行且与1l 的距离是2的两条直线上;同理,点M 在与2l 的距离是1的点,在与2l 平行,且到2l 的距离是1的两直线上,四条直线的距离有四个交点.因而满足条件的点有四个.【详解】解:到1l 的距离是2的点,在与1l 平行且与1l 的距离是2的两条直线上;到2l 的距离是1的点,在与2l 平行且与2l 的距离是1的两条直线上;以上四条直线有四个交点,故“距离坐标”是(2,1)的点共有4个.故答案为:4.【点睛】本题主要考查了到直线的距离等于定长的点的集合.14.30或110【分析】分两种情况讨论:两束光平行;两束光重合之后(在灯B射线到达BQ之前)平行,然后利用平行线的性质求解即可.【详解】解:设灯转动t秒,两灯的光束互相平行,即AC∥BD,①当解析:30或110【分析】分两种情况讨论:两束光平行;两束光重合之后(在灯B射线到达BQ之前)平行,然后利用平行线的性质求解即可.【详解】解:设灯转动t秒,两灯的光束互相平行,即AC∥BD,①当0<t≤90时,如图1所示:∵PQ∥MN,则∠PBD=∠BDA,∵AC∥BD,则∠CAM=∠BDA,∴∠PBD=∠CAM有题意可知:2t=30+t解得:t=30,②当90<t<150时,如图2所示:∵PQ∥MN,则∠PBD+∠BDA=180°,∵AC∥BD,则∠CAN=∠BDA,∴∠PBD+∠CAN=180°,∴30+t+(2t-180)=180解得:t=110综上所述,当t=30秒或t=110秒时,两灯的光束互相平行.故答案为:30或110【点睛】本题主要考查补角、角的运算、平行线的性质的应用,解题的关键是熟练掌握平行线的性质,注意分两种情况谈论.15.80【详解】如图,根据角平分线的性质和平行线的性质,可知∠FMA=∠CPE=∠F+∠1,∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA,即∠E=2∠F=2×40°=80°.故答案为80.解析:80【详解】如图,根据角平分线的性质和平行线的性质,可知∠FMA=12∠CPE=∠F+∠1,∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA,即∠E=2∠F=2×40°=80°.故答案为80.16.【分析】根据题意可得,设,分别表示出,进而根据平行线的性质可得∠DFB.【详解】∠A=(60﹣x)°,∠ADC=(120+x)°,,,,,,BE 平分∠CBF ,,设,∠DB解析:62︒【分析】根据题意可得//AB CD ,设EBF EBC α∠=∠=,分别表示出,ABD DBF ∠∠,进而根据平行线的性质可得∠DFB .【详解】∠A =(60﹣x )°,∠ADC =(120+x )°,180A ADC ∴∠+∠=︒,//AB CD ∴,CDB ABD ∴∠=∠,CDB CBD ∠=∠,ABD CBD ∴∠=∠,BE 平分∠CBF ,EBF EBC ∴∠=∠,设EBF EBC α∠=∠=,∠DBE =59°,∴59DBF α∠=︒-,59ABD DBC α∴∠=∠=︒+,5959118ABF ABD DBF αα∴∠=∠+∠=︒++︒-=︒,//AB CD ,180********DFB ABF ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒.故答案为:62︒.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,角平分线的定义,证明//AB CD 是解题的关键. 17.140°【分析】延长DE 交AB 的延长线于G ,根据两直线平行,内错角相等可得∠D =∠AGD ,再根据两直线平行,同位角相等可得∠AGD =∠ABF ,然后根据角平分线的定义得∠EBF =∠ABF ,再根据平解析:140°【分析】延长DE 交AB 的延长线于G ,根据两直线平行,内错角相等可得∠D =∠AGD ,再根据两直线平行,同位角相等可得∠AGD =∠ABF ,然后根据角平分线的定义得∠EBF =∠ABF ,再根据平行线的性质解答.【详解】解:如图,延长DE 交AB 的延长线于G ,∵//AB CD ,∴∠D =∠AGD =40°,∵BF //DE ,∴∠AGD =∠ABF =40°,∵BF 平分∠ABE ,∴∠EBF =∠ABF =40°,∵BF //DE ,∴∠BED =180°﹣∠EBF =140°.故答案为:140°.【点睛】本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,熟记性质并作辅助线是解题的关键. 18.33【分析】根据求出∠C=90°,再求出∠BAD=66°,根据角平分线性质得∠DAE=33°,由三角形的外角性质得∠ADE=114°,最后由三角形内角和定理可得结论.【详解】解:∵,,∴∠解析:33【分析】根据//AB DE 求出∠C=90°,再求出∠BAD=66°,根据角平分线性质得∠DAE=33°,由三角形的外角性质得∠ADE=114°,最后由三角形内角和定理可得结论.【详解】解:∵//AB DE ,AD AB ⊥,∴∠180BAD D ∠+∠=︒,且90BAD ∠=︒∴90D ∠=︒∵∠CAD =24°∴∠BAC =90°-∠CAD =90°-24°=66°,∵AE 是∠BAC 的平分线∴∠EAB =11663322BAC ∠=⨯︒=︒ ∵//AB DE ,∴33E EAB ∠=∠=︒故答案为:33【点睛】此题主要考查了平行线的性质,角平分线的定义,准确识图,灵活运用相关知识是解题的关键.19.28【分析】根据平移的性质求出,再由长方形的周长公式求解即可.【详解】解:由题意可知,四边形是正方形,∴,,又∵长方形由长方形平移得到,∴∵∴四边形的周长为:故答案为:28【点解析:28【分析】根据平移的性质求出10BC '=,再由长方形的周长公式求解即可.【详解】解:由题意可知,四边形ABB A ''是正方形,∴4BB AB '==,642B C BC '==-=,又∵长方形A B C D ''''由长方形ABCD 平移得到,∴6B C BC ''==∵4610BC BB B C ''''=+=+=∴四边形ABC D '的周长为:(104)228+⨯=故答案为:28【点睛】此题主要考查了平移的性质,求出10BC '=是解答此题的关键.20.131【分析】过点C 作CH ∥MN ,根据平行线的性质求出∠NEC 即可.【详解】解:过点C 作CH ∥MN ,∵,∴CH ∥PQ ,∴,∵,∴,∵CH ∥MN ,∴,∴故答案为:131.解析:131【分析】过点C 作CH ∥MN ,根据平行线的性质求出∠NEC 即可.【详解】解:过点C 作CH ∥MN ,∵//MN PQ ,∴CH ∥PQ ,∴26HCB BGF ∠=∠=︒,∵75ACB ∠=︒,∴49ACH ∠=︒,∵CH ∥MN ,∴49CEN ACH ∠=∠=︒,∴131180CEN AEN ∠︒∠==︒-故答案为:131.【点睛】本题考查了平行线的性质与判定,解题关键是恰当作平行线,根据平行线的性质进行推理计算.三、解答题21.(1)见解析;(2)12;(3)75°【分析】(1)根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解.(2)根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可.(3)根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可.【详解】解:(1)∠C=∠1+∠2,证明:过C作l∥MN,如下图所示,∵l∥MN,∴∠4=∠2(两直线平行,内错角相等),∵l∥MN,PQ∥MN,∴l∥PQ,∴∠3=∠1(两直线平行,内错角相等),∴∠3+∠4=∠1+∠2,∴∠C=∠1+∠2;(2)∵∠BDF=∠GDF,∵∠BDF=∠PDC,∴∠GDF=∠PDC,∵∠PDC+∠CDG+∠GDF=180°,∴∠CDG+2∠PDC=180°,∴∠PDC=90°-12∠CDG,由(1)可得,∠PDC+∠CEM=∠C=90°,∴∠AEN=∠CEM,∴190(90)90122CDGAEN CEM PDCCDG CDG CDG CDG︒-︒-∠∠∠︒-∠====∠∠∠∠,(3)设BD交MN于J.∵BC平分∠PBD,AM平分∠CAD,∠PBC=25°,∴∠PBD=2∠PBC=50°,∠CAM=∠MAD,∵PQ∥MN,∴∠BJA=∠PBD=50°,∴∠ADB=∠AJB-∠JAD=50°-∠JAD=50°-∠CAM,由(1)可得,∠ACB=∠PBC+∠CAM,∴∠ACB+∠ADB=∠PBC+∠CAM+50°-∠CAM=25°+50°=75°.【点睛】本题考查了平行线的性质、余角和补角的性质,解题的关键是根据平行找出角度之间的关系.22.(1)证明见解析;(2)补图见解析;当点C 在AG 上时,290AHB CBG ∠-∠=︒;当点C 在DG 上时,290AHB CBG ∠+∠=︒.【分析】(1)过点G 作//GE MN ,根据平行线的性质即可求解;(2)分两种情况:当点C 在AG 上,当点C 在DG 上,再过点H 作//HF MN 即可求解.【详解】(1)证明:如图,过点G 作//GE MN ,∴MAG AGE ∠=∠,∵//MN PQ ,∴//GE PQ .∴PBG BGE ∠=∠.∵BG AD ⊥,∴90AGB ∠=︒,∴90MAG PBG AGE BGE AGB ∠+∠=∠+∠=∠=︒.(2)补全图形如图2、图3,猜想:290AHB CBG ∠-∠=︒或290AHB CBG ∠+∠=︒.证明:过点H 作//HF MN .∴1AHF ∠=∠.∵//MN PQ ,∴//HF PQ∴2BHF ∠=∠,∴12AHB AHF BHF ∠=∠+∠=∠+∠.∵AH 平分MAG ∠,∴21MAG ∠=∠.如图3,当点C 在AG 上时,∵BH 平分PBC ∠,∴22PBC PBG CBG ∠=∠+∠=∠,∵//MN PQ ,∴MAG GDB ∠=∠,2212290AHB MAG PBG CBGGDB PBG CBG CBG∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒+∠即290AHB CBG ∠-∠=︒.如图2,当点C 在DG 上时,∵BH 平分PBC ∠,∴22PBC PBG CBG ∠=∠-∠=∠.∴2212290AHB MAG PBG CBG CBG ∠=∠+∠=∠+∠-∠=︒-∠.即290AHB CBG ∠+∠=︒.【点睛】本题考查了平行线的基本性质、角平分线的基本性质及角的运算,解题的关键是准确作出平行线,找出角与角之间的数量关系.23.(1)35,35,平行;(2)∠FMN +∠GHF =180°,证明见解析;(3)不变,2【分析】(1)根据(α-35)2+|β-α|=0,即可计算α和β的值,再根据内错角相等可证AB ∥CD ; (2)先根据内错角相等证GH ∥PN ,再根据同旁内角互补和等量代换得出∠FMN +∠GHF =180°;(3)作∠PEM 1的平分线交M 1Q 的延长线于R ,先根据同位角相等证ER ∥FQ ,得∠FQM 1=∠R ,设∠PER =∠REB =x ,∠PM 1R =∠RM 1B =y ,得出∠EPM 1=2∠R ,即可得1FPN Q∠∠=2. 【详解】解:(1)∵(α-35)2+|β-α|=0,∴α=β=35,∴∠PFM =∠MFN =35°,∠EMF =35°,∴∠EMF =∠MFN ,∴AB ∥CD ;(2)∠FMN +∠GHF =180°;理由:由(1)得AB ∥CD ,∴∠MNF =∠PME ,∵∠MGH =∠MNF ,∴∠PME =∠MGH ,∴GH ∥PN ,∴∠GHM =∠FMN ,∵∠GHF +∠GHM =180°,∴∠FMN +∠GHF =180°;(3)1FPN Q∠∠的值不变,为2, 理由:如图3中,作∠PEM 1的平分线交M 1Q 的延长线于R ,∵AB ∥CD ,∴∠PEM 1=∠PFN ,∵∠PER =12∠PEM 1,∠PFQ =12∠PFN ,∴∠PER =∠PFQ ,∴ER ∥FQ ,∴∠FQM 1=∠R ,设∠PER =∠REB =x ,∠PM 1R =∠RM 1B =y ,则有:122y x Ry x EPM ⎧⎨⎩=+∠=+∠, 可得∠EPM 1=2∠R ,∴∠EPM 1=2∠FQM 1,∴11EPM FQM ∠∠=1FPN Q∠∠=2. 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质,熟练掌握内错角相等证平行,平行线同旁内角互补等知识是解题的关键.24.(1)见解析;(2)10°;(3)18015α︒-【分析】(1)过点E 作EF ∥CD ,根据平行线的性质,两直线平行,内错角相等,得出,CDE DEF ∠=∠结合已知条件180DEB ABE CDE ∠+∠-∠=︒,得出180,FEB ABE ∠+∠=︒即可证明;(2)过点E 作HE ∥CD ,设,,GEF x FEB EFB y ∠=∠=∠= 由(1)得AB ∥CD ,则AB ∥CD ∥HE ,由平行线的性质,得出20,DEF D EFB y ∠=∠+∠=︒+再由EG 平分DEB ∠,得出,DEG GEB GEF FEB x y ∠=∠=∠+∠=+则2DEF DEG GEF x y ∠=∠+∠=+,则可列出关于x 和y 的方程,即可求得x ,即GEF ∠的度数;(3)过点N 作NP ∥CD ,过点M 作QM ∥CD ,由(1)得AB ∥CD ,则NP ∥CD ∥AB ∥QM ,根据14CDM CDE ∠=∠和CDM α∠=,得出3,MDE α∠=根据CD ∥PN ∥QM ,DE ∥NB ,得出,PND CDM DMQ α∠=∠=∠=3,EDM BNM α∠=∠=即4,BNP α∠=根据NP ∥AB ,得出4,PNB ABN α∠=∠=再由14ABN ABE ∠=∠,得出16,ABM α∠=由AB ∥QM ,得出18016,QMB α∠=︒-因为NMB NMQ QMB ∠=∠+∠,代入α的式子即可求出BMN ∠.【详解】(1)过点E 作EF ∥CD ,如图,∵EF ∥CD ,∴,CDE DEF ∠=∠∴,DEB CDE DEB DEF FEB ∠-∠=∠-∠=∠∵180DEB ABE CDE ∠+∠-∠=︒,∴180,FEB ABE ∠+∠=︒∴EF ∥AB ,∴CD ∥AB ;(2)过点E 作HE ∥CD ,如图,设,,GEF x FEB EFB y ∠=∠=∠=由(1)得AB ∥CD ,则AB ∥CD ∥HE ,∴20,,D DEH HEF EFB y ∠=∠=︒∠=∠=∴20,DEF DEH HEF D EFB y ∠=∠+∠=∠+∠=︒+又∵EG 平分DEB ∠,∴,DEG GEB GEF FEB x y ∠=∠=∠+∠=+∴2,DEF DEG GEF x y x x y ∠=∠+∠=++=+即220,x y y +=︒+解得:10,x =︒即10GEF ∠=︒;(3)过点N 作NP ∥CD ,过点M 作QM ∥CD ,如图,由(1)得AB ∥CD ,则NP ∥CD ∥AB ∥QM ,∵NP ∥CD ,CD ∥QM ,,CDM α∠=∴PND CDM DMQ α∠=∠=∠=,又∵14CDM CDE ∠=∠, ∴33,MDE CDM α∠=∠=∵//BN DE ,∴3,MDE BNM α∠=∠=∴34,PNB PND BNM ααα∠=∠+∠=+=又∵PN ∥AB ,∴4,PNB NBA α∠=∠= ∵14ABN ABE ∠=∠, ∴44416,ABM ABN αα∠=∠=⨯=又∵AB ∥QM ,∴180,ABM QMB ∠+∠=︒∴18018016,QMB ABM α∠=︒-∠=︒-∴1801618015NMB NMQ QMB ααα∠=∠+∠=+︒-=-.【点睛】本题考查平行线的性质,角平分线的定义,解决问题的关键是作平行线构造相等的角,利用两直线平行,内错角相等,同位角相等来计算和推导角之间的关系.25.(1)60°;(2)n °+40°;(3)n °+40°或n °-40°或220°-n °【分析】(1)过点E 作EF ∥AB ,然后根据两直线平行内错角相等,即可求∠BED 的度数; (2)同(1)中方法求解即可;(3)分当点B 在点A 左侧和当点B 在点A 右侧,再分三种情况,讨论,分别过点E 作EF ∥AB ,由角平分线的定义,平行线的性质,以及角的和差计算即可.【详解】解:(1)当n =20时,∠ABC =40°,过E 作EF ∥AB ,则EF ∥CD ,∴∠BEF =∠ABE ,∠DEF =∠CDE ,∵BE 平分∠ABC ,DE 平分∠ADC ,∴∠BEF =∠ABE =20°,∠DEF =∠CDE =40°,∴∠BED =∠BEF +∠DEF =60°;(2)同(1)可知:∠BEF=∠ABE=n°,∠DEF=∠CDE=40°,∴∠BED=∠BEF+∠DEF=n°+40°;(3)当点B在点A左侧时,由(2)可知:∠BED=n°+40°;当点B在点A右侧时,如图所示,过点E作EF∥AB,∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=2n°,∠ADC=80°,∴∠ABE=12∠ABC=n°,∠CDG=12∠ADC=40°,∵AB∥CD∥EF,∴∠BEF=∠ABE=n°,∠CDG=∠DEF=40°,∴∠BED=∠BEF-∠DEF=n°-40°;如图所示,过点E作EF∥AB,∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=2n°,∠ADC=80°,∴∠ABE=12∠ABC=n°,∠CDG=12∠ADC=40°,∵AB∥CD∥EF,∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-n°,∠CDE=∠DEF=40°,∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°-n°+40°=220°-n°;如图所示,过点E作EF∥AB,∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=n°,∠ADC=70°,∴∠ABG=12∠ABC=n°,∠CDE=12∠ADC=40°,∵AB∥CD∥EF,∴∠BEF=∠ABG=n°,∠CDE=∠DEF=40°,∴∠BED=∠BEF-∠DEF=n°-40°;综上所述,∠BED的度数为n°+40°或n°-40°或220°-n°.【点睛】此题考查了平行线的判定与性质,以及角平分线的定义,正确应用平行线的性质得出各角之间关系是解题关键.。
平行线相交线 培优
第5题 A FE C B D 第6题 E D CB A γβα平行线相交线培优1.如图, l 1∥l 2,∠1 = 105°,∠2 = 140°,则∠α = .2.如图2,是我们生活中经常接触的小刀,刀柄外形是一个直角梯形(下底挖去一小半圆),刀片上、下是平行的,转动刀片时会形成∠1、∠2,则∠1+∠2= 度.3.如图3,a b ∥,M N ,分别在a b ,上,P 为两平行线间一点,那么123∠+∠+∠=4.用等腰直角三角板画45AOB =∠,并将三角板沿OB 方向平移到如图4所示的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转22,则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为______.5.如图,将一副三角板如图放置,使点A 在DE 上,BC//DE ,则AFC 的度数为________第4题 6. 如图所示,已知AB//CD ,则α、β、γ之间的等量关系为_______________7.如图7,把长方形纸片沿EF 折叠,使D ,C 分别落在D ',C '的位置,若65EFB =∠,则AED '∠等于( )A.50 B.BA CD EF G MNC.60 D.658.如图,把长方形纸片ABCD 沿EF 折叠,若∠EFG=50º, (1)找出图中也是50º的角;(2)说明∠FGM=2∠EFG=100º的理由.ab MP N 12 3第1题第2题 第3题 BA CD EF G MN12O M B A 22 α9.如图,AB//CD ,试解决下列问题:⑴∠1+∠2=___ __;⑵∠1+∠2+∠3=___ __; ⑶试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n = .10.已知:如图,AB ∥CD ,求证:∠B+∠D+∠F=∠E+∠G11.如图,直线AC ∥BD ,连结AB ,直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:线上各点不属于任何部分.当动点P 落在某个部分时,连结PA 、PB ,构成∠PAC 、∠APB 、∠PBD 三个角.(提示:有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°) (1)当动点P 落在第①部分时,求证:∠APB =∠PAC +∠PBD ;(2)当动点P 落在第②部分时,∠APB =∠PAC +∠PBD 是否成立(直接回答成立或不成立)?(3)当动点P 落在第③部分时,全面探究∠PAC 、∠APB 、∠PBD 之间的关系,并写出动点P 的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.12.如图,四个矩形的长均为a ,宽均为b 。
北师大版初1数学7年级下册 第2章(相交线与平行线)培优试题(含答案)
北师大版七年级数学下册第2章《相交线与平行线》培优试题与简答一.选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.如图,将一副三角尺按图中位置摆放( )A .90αβ∠+∠=︒B .αβ∠>∠C .αβ∠=∠D .45α∠=︒2.若α∠与β∠互补()αβ∠<∠,则α∠与1()2βα∠-∠的关系是( )A .互补B .互余C .和为45︒D .和为22.5︒3.平面内两两相交的3条直线,其交点个数最少为m 个,最多为n 个,则m n +等于( )A .4B .5C .6D .以上都不对4.如图,AD AC ⊥交BC 的延长线于点D ,AE BC ⊥交BC 的延长线于点E ,CF AB ⊥于点F ,则图中能表示点A 到直线BC 的距离的是( )A .AD 的长度B .AE 的长度C .AC 的长度D .CF 的长度A .AD 的长度B .AE 的长度C .AC 的长度D .CF 的长度5.如图,直线DE 与BC 相交于点O ,1∠与2∠互余,116AOE ∠=︒,则BOE ∠的度数是( )A .144︒B .164︒C .154︒D .150︒6.以下说法正确的是( )A .两点之间直线最短B .延长直线AB 到点E ,使BE AB =C .相等的角是对顶角D .连结两点的线段的长度就是这两点间的距离7.如图,下列结论中错误的是( )A .1∠与2∠是同旁内角第4题图第5题图B .1∠与4∠是内错角C .5∠与6∠是内错角D .3∠与5∠是同位角8.如图,在下列条件中,不能判定直线a 与b 平行的是( )A .12∠=∠B .23∠=∠C .15∠=∠D .34180∠+∠=︒9.如图,已知//AB CD ,CE 平分ACD ∠,交AB 于点B ,150ABE ∠=︒,则A ∠为( )A .110︒B .120︒C .135︒D .150︒10.如图,//AB EF ,90C ∠=︒,则α、β、γ的关系为( )A .βαγ=+B .90αβγ+-=︒C .180αβγ++=︒D .90βγα+-=︒二.填空题(共8小题,每小题3分,共24分)11.如图,直角三角形ABC 中,AC BC ⊥,CD AB ⊥,点A 到直线BC 的距离等于线段 的长度,点A 到直线CD 的距离等于线段 的长度.12.已知1∠与2∠互余,2∠与3∠互补,若13327'∠=︒,则3∠= .13.如图,直线AB 、CD 相交于点O ,OE 平分AOC ∠,OF 平分BOC ∠,则EOF ∠= 度.第7题图第8题图第9题图第10题图第11题图14.如图,与1∠是同旁内角的是 ,与2∠是内错角的是 .15.根据给出的图形,写出一个使得//a b 的条件: .(写出一个即可,多写不加分)16.如图,已知//AB CE ,50B ∠=︒, CE 平分ACD ∠,则ACD ∠= ︒17.如图,////AB CD EF ,且CF 平分AFE ∠,若20C ∠=︒,则A ∠的度数是 .18.如图,将木条a ,b 和c 钉在一起,150∠=︒,275∠=︒,要使木条a 和b 平行,木条a 至少要旋转的度数为 .三.解答题(共6小题,满分46分,其中19题6分20、21每小题7分,22、23每小题8分,24题10分)19.一个角的补角加上10︒后,等于这个角的余角的3倍,求这个角以及它的余角和补角的度数.20.如图,OB 是AOC ∠的平分线,OD 是COE ∠的平分线.(1)若42AOB ∠=︒,36DOE ∠=︒,求BOD ∠的度数;(2)若AOD ∠与BOD ∠互补,且30DOE ∠=︒,求AOC ∠的度数.第13题图第14题图第15题图第16题图第17题图第18题图21.已知,如图,ABC ADC∠=∠,BF,DE分别平分ABC∠与ADC∠,且13∠=∠.求证://AB DC,请根据条件进行推理,得出结论,并在括号内注明理由.证明:BF,DE分别平分ABC∠与ADC∠,(已知)1 12ABC∴∠=∠,122ADC∠=∠.( )ABC ADC∠=∠,( )∴∠ =∠ (等量代换)13(∠=∠ )2∴∠=∠ .( )∴ // .( )22.如图,E,F分别是AB和CD上的点,CE,BF分别交AD于G,H,12∠=∠,B C∠=∠.求证://AB CD.23.如图,将一张上、下两边平行(即//)AB CD的纸带沿直线MN折叠,EF为折痕.(1)试说明12∠=∠;(2)已知240∠=︒,求BEF∠的度数.24.将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C 按如图方式叠放在一起(其中,60A ∠=︒,30D ∠=︒;45)E B ∠=∠=︒.(1)如图1,①若40DCE ∠=︒,求ACB ∠的度数;②若150ACB ∠=︒,直接写出DCE ∠的度数是 度.(2)由(1)猜想ACB ∠与DCE ∠满足的数量关系是 .(3)若固定ACD ∆,将BCE ∆绕点C 旋转,①当旋转至//BE AC (如图2)时,直接写出ACE ∠的度数是 度.②继续旋转至//BC DA (如图3)时,求ACE ∠的度数.北师大版七年级数学下册第2章《相交线与平行线》培优试题参考简答一.选择题(共10小题)1.C . 2.B . 3.A . 4.B . 5.C . 6.D . 7.B . 8.C .9.B . 10.B .二.填空题(共8小题)11. AC , AD . 12. 12327'︒ . 13. 90 . 14. 5∠ , 3∠ .15. 13∠=∠ . 16. 100 ︒ 17. 40︒ . 18. 25︒ .三.解答题(共6小题)19.一个角的补角加上10︒后,等于这个角的余角的3倍,求这个角以及它的余角和补角的度数.【解】:设这个角为x ︒,则180103(90)x x -+=-,解得:40x =.即这个角的余角是50︒,补角是140︒.20.如图,OB 是AOC ∠的平分线,OD 是COE ∠的平分线.(1)若42AOB ∠=︒,36DOE ∠=︒,求BOD ∠的度数;(2)若AOD ∠与BOD ∠互补,且30DOE ∠=︒,求AOC ∠的度数.【解】:(1)OB 是AOC ∠的平分线,OD 是COE ∠的平分线,42AOB ∠=︒,36DOE ∠=︒,1422AOB BOC AOC ∴∠=∠=∠=︒,36COD DOE ∠=∠=︒,423678BOD BOC DOC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒;(2)AOD ∠ 与BOD ∠互补,12BOC AOC ∠=∠,180AOD BOD ∴∠+∠=︒,11802AOC COD AOC COD ∴∠+∠+∠+∠=︒,30DOE ∠=︒ ,30COD∴∠=︒,∴321802AOC COD∠+∠=︒,∴32301802AOC∠+⨯︒=︒,80AOC∴∠=︒.21.已知,如图,ABC ADC∠=∠,BF,DE分别平分ABC∠与ADC∠,且13∠=∠.求证://AB DC,请根据条件进行推理,得出结论,并在括号内注明理由.证明:BF,DE分别平分ABC∠与ADC∠,(已知)1 12ABC∴∠=∠,122ADC∠=∠.( 角平分线的定义 )ABC ADC∠=∠,( )∴∠ =∠ (等量代换)13(∠=∠ )2∴∠=∠ .( )∴ // .( )【证明】:BF,DE分别平分ABC∠与ADC∠,(已知)1 12ABC∴∠=∠,122ADC∠=∠.(角平分线的定义)ABC ADC∠=∠,(已知)12∴∠=∠,(等量代换)13∠=∠,(已知)23∴∠=∠.(等量代换)//AB DC∴.(内错角相等,两直线平行)22.如图,E,F分别是AB和CD上的点,CE,BF分别交AD于G,H,12∠=∠,B C∠=∠.求证://AB CD.【证明】:如图,13∠=∠,∠=∠,12∴∠=∠,32∴,CE BF//∴∠=∠,BFD C,∠=∠B C∴∠=∠,BFD B∴.AB CD//AB CD的纸带沿直线MN折叠,EF为折痕.23.如图,将一张上、下两边平行(即//)(1)试说明12∠=∠;∠的度数.(2)已知240∠=︒,求BEF∴∠=∠,【解】:(1)//AB CD,MEB MFD'',//A E C F∴∠'=∠',MEA MFC∴∠'-∠=∠'-∠,MEA MEB MFC MFD∠=∠;即12(2)由折叠知,1802702C FN ︒-∠∠'==︒,//A E C F '' ,70A EN C FN ∴∠'=∠'=︒,12∠=∠ ,7040110BEF ∴∠=︒+︒=︒.24.将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C 按如图方式叠放在一起(其中,60A ∠=︒,30D ∠=︒;45)E B ∠=∠=︒.(1)如图1,①若40DCE ∠=︒,求ACB ∠的度数;②若150ACB ∠=︒,直接写出DCE ∠的度数是 度.(2)由(1)猜想ACB ∠与DCE ∠满足的数量关系是 .(3)若固定ACD ∆,将BCE ∆绕点C 旋转,①当旋转至//BE AC (如图2)时,直接写出ACE ∠的度数是 度.②继续旋转至//BC DA (如图3)时,求ACE ∠的度数.【解】:(1)①40DCE ∠=︒ ,50ACE ACD DCE ∴∠=∠-∠=︒,5090140ACB ACE ECB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒;②150ACB ∠=︒ ,90ACD ∠=︒,1509060ACE ∴∠=︒-︒=︒,906030DCE ACD ACE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒,(2)9090ACB ACD BCE DCE DCE ∠=∠+∠-∠=︒+︒-∠ ,180ACB DCE ∴∠+∠=︒,(3)①//,BE ACACE E∴∠=∠=︒,45②//,BC DA∴∠+∠=︒,180A ACB又60A,∠=︒∴∠=︒-︒=︒,18060120ACB,∠=︒90BCE∴∠=∠-∠=︒-︒=︒.1209030 BCD ACB ECB。
完整版)相交线和平行线提高题与常考题型和培优题(含解析)
完整版)相交线和平行线提高题与常考题型和培优题(含解析)相交线和平行线是初中数学中重要的几何概念,涉及到很多考试题型,包括提高题和常考题,也是培优题的内容。
以下是一些选择题和填空题。
1.在图中,已知AB∥CD,CD⊥EF,且∠1=124°,则∠2=()A.56°B.66°C.24°D.34°2.如图,是婴儿车的平面示意图,其中AB∥CD,∠1=120°,∠3=40°,那么∠2的度数为()A.80°B.90°C.100°D.102°3.在图中,直线a∥b,若∠2=55°,∠3=100°,则∠1的度数为()A.35°B.45°C.50°D.55°4.在图中,△ABC的面积为2,将△ABC沿AC方向平移至△DFE,且AC=CD,则四边形AEFB的面积为()A.6B.8C.10D.125.在图中,点D、E、F分别在AB,BC,AC上,且EF∥AB,要使DF∥BC,只需再有条件()A.∠1=∠2B.∠1=∠DFEC.∠1=∠AFDD.∠2=∠AFD6.在图中,与∠1是同旁内角的是()A.∠2B.∠3C.∠4D.∠57.在图中,以下条件不能判定直线a与b平行的是()A.∠1=∠2 B.∠2=∠3 C.∠3=∠5 D.∠3+∠4=180°8.在图中,直线a、b被直线c所截,下列条件能使a∥b 的是()A.∠1=∠6 B.∠2=∠6 C.∠1=∠3 D.∠5=∠79.在图中,将一副三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于点O,AB∥OC,DC与OB交于点E,则∠DEO的度数为()A.85°B.70°C.75°D.60°10.在图中,AB∥CD,AE平分∠CAB交CD于点E,若∠C=50°,则∠AED=()A.65°B.115°C.125°D.130°11.在图中,AB∥CD,DA⊥AC,垂足为A,若∠ADC=35°,则∠1的度数为()A.65°B.55°C.45°D.35°12.在图中,直线a∥b,∠1=85°,∠2=35°,则∠3=()A.85°B.60°C.50°D.35°13.在图中,已知BD∥AC,∠1=65°,∠A=40°,则∠2的大小是_______。
(完整版)人教版七年级(下册)相交线与平行线数学试卷培优试卷
一、选择题1.下列几个命题中,真命题有( )①两条直线被第三条直线所截,内错角相等;②如果1∠和2∠是对顶角,那么12∠=∠;③一个角的余角一定小于这个角的补角;④三角形的一个外角大于它的任一个内角.A .1个B .2个C .3个D .42.如图,已知//BC DE ,BF 平分ABC ∠,DC 平分ADE ∠,则下列判断:①ACB E ∠=∠;②DF 平分ADC ∠;③BFD BDF ∠=∠;④ABF BCD ∠=∠中,正确的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个3.如图,直线//a b ,三角板的直角顶点在直线b 上,已知125∠=︒,则2∠等于( ).A .25°B .55°C .65°D .75°4.如图,C 为AOB ∠的边OA 上一点,过点C 作//CD OB 交AOB ∠的平分线OE 于点F ,作CH OB ⊥交BO 的延长线于点H ,若EFD α∠=,现有以下结论:①COF α∠=;②1802AOH α∠=︒-;③CH CD ⊥;④290OCH α∠=-︒.结论正确的个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个5.如图,直线AB ,CD 被直线ED 所截,//AB CD ,1140∠=︒,则D ∠的度数为( ).A .40°B .60°C .45°D .70°6.如图,直线////AB CD EF ,点O 在直线AB 上,下列结论正确的是( )A .12390∠+∠-∠=︒B .12390∠+∠+∠=︒C .321180∠+∠-∠=︒D .132180∠+∠-∠=︒7.如图,AB ∥EF ∥CD ,EG ∥DB ,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( )A .6个B .5个C .4个D .3个8.为增强学生体质,感受中国的传统文化,学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间,小聪把它抽象成图2的数学问题:已知AB ∥CD ,∠EAB =80°,110ECD ∠=︒,则∠E 的度数是( )A .30°B .40°C .60°D .70°9.已知,如图,点D 是射线AB 上一动点,连接CD ,过点D 作//DE BC 交直线AC 于点E ,若84ABC ∠=︒,20CDE ∠=︒,则ADC ∠的度数为( )A .104︒B .76︒C .104︒或76︒D .104︒或64︒ 10.直线12//l l ,125A ∠=︒,85B ∠=︒,115∠=︒,则2∠=( )A .15°B .25°C .35D .20°二、填空题11.一副三角尺按如图所示叠放在一起,其中点,B D 重合,若固定三角形AOB ,将三角形ACD 绕点A 顺时针旋转一周,共有 _________次 出现三角形ACD 的一边与三角形AOB 的某一边平行.12.如图,AB ∥CD ,CF 平分∠DCG ,GE 平分∠CGB 交FC 的延长线于点E ,若∠E =34°,则∠B 的度数为____________.13.如图,AB ∥CD,BF 平分∠ABE,DF 平分∠CDE,∠BFD=35°,那么∠BED 的度数为_______.14.如图,两直线AB 、CD 平行,则12345∠+∠+∠+∠+∠=__________.15.如图,已知AB ∥CD,∠EAF =14∠EAB,∠ECF=14∠ECD ,则∠AFC 与∠AEC 之间的数量关系是_____________________________16.如图,a ∥b ,∠2=∠3,∠1=40°,则∠4的度数是______度.17.已知,//BC OA ,100B A ∠=∠=︒,点E ,F 在BC 上,OE 平分BOF ∠,且FOC AOC ∠=∠,下列结论正确得是:__________.①//OB AC ;②45EOC ∠=︒;③:1:3OCB OFB ∠∠=;④若OEB OCA ∠=∠,则60OCA ∠=︒.18.如图,已知40ABC ∠=︒,点D 为ABC ∠内部的一点,以D 为顶点,作EDF ∠,使得//DE BC ,//DF AB ,则EDF ∠的度数为___________.19.如图,直线//MN PQ ,MN 与直线AB ,AC 分别交于D ,E ,PQ 与直线AB ,AC 分别交于F ,G ,若75C ∠=︒,26BGF ∠=︒,则AEN ∠=_________度.20.如图,//AB CD ,2P E 平分1PEB ∠,2P F 平分1PFD ∠,若设1PEB x ∠=︒,1PFD y ∠=︒则1P ∠=______度(用x ,y 的代数式表示),若3PE 平分2P EB ∠,3PF 平分2P FD ∠,可得3P ∠,4P E 平分3P EB ∠,4P F 平分3P FD ∠,可得4P ∠…,依次平分下去,则n P ∠=_____度.三、解答题21.如图1,已知直线m ∥n ,AB 是一个平面镜,光线从直线m 上的点O 射出,在平面镜AB 上经点P 反射后,到达直线n 上的点Q .我们称OP 为入射光线,PQ 为反射光线,镜面反射有如下性质:入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角,即∠OPA=∠QPB .(1)如图1,若∠OPQ =82°,求∠OPA 的度数;(2)如图2,若∠AOP =43°,∠BQP =49°,求∠OPA 的度数;(3)如图3,再放置3块平面镜,其中两块平面镜在直线m 和n 上,另一块在两直线之间,四块平面镜构成四边形ABCD ,光线从点O 以适当的角度射出后,其传播路径为 O→P→Q→R→O→P→…试判断∠OPQ 和∠ORQ 的数量关系,并说明理由.22.如图,∠EBF =50°,点C 是∠EBF 的边BF 上一点.动点A 从点B 出发在∠EBF 的边BE 上,沿BE 方向运动,在动点A 运动的过程中,始终有过点A 的射线AD ∥BC .(1)在动点A 运动的过程中, (填“是”或“否”)存在某一时刻,使得AD 平分∠EAC ? (2)假设存在AD 平分∠EAC ,在此情形下,你能猜想∠B 和∠ACB 之间有何数量关系?并请说明理由;(3)当AC ⊥BC 时,直接写出∠BAC 的度数和此时AD 与AC 之间的位置关系.23.点A ,C ,E 在直线l 上,点B 不在直线l 上,把线段AB 沿直线l 向右平移得到线段CD .(1)如图1,若点E 在线段AC 上,求证:∠B +∠D =∠BED ;(2)若点E 不在线段AC 上,试猜想并证明∠B ,∠D ,∠BED 之间的等量关系;(3)在(1)的条件下,如图2所示,过点B 作PB //ED ,在直线BP ,ED 之间有点M ,使得∠ABE =∠EBM ,∠CDE =∠EDM ,同时点F 使得∠ABE =n ∠EBF ,∠CDE =n ∠EDF ,其中n ≥1,设∠BMD =m ,利用(1)中的结论求∠BFD 的度数(用含m ,n 的代数式表示). 24.直线AB ∥CD ,点P 为平面内一点,连接AP ,CP .(1)如图①,点P 在直线AB ,CD 之间,当∠BAP =60°,∠DCP =20°时,求∠APC 的度数;(2)如图②,点P 在直线AB ,CD 之间,∠BAP 与∠DCP 的角平分线相交于K ,写出∠AKC 与∠APC 之间的数量关系,并说明理由;(3)如图③,点P 在直线CD 下方,当∠BAK =23∠BAP ,∠DCK =23∠DCP 时,写出∠AKC 与∠APC 之间的数量关系,并说明理由.25.如图,直线//PQ MN ,一副直角三角板,ABC DEF ∆∆中,90,45,30,60ACB EDF ABC BAC DFE DEF ︒︒︒︒∠=∠=∠=∠=∠=∠=.(1)若DEF ∆如图1摆放,当ED 平分PEF ∠时,证明:FD 平分EFM ∠.(2)若,ABC DEF ∆∆如图2摆放时,则PDE ∠=(3)若图2中ABC ∆固定,将DEF ∆沿着AC 方向平移,边DF 与直线PQ 相交于点G ,作FGQ ∠和GFA ∠的角平分线GH FH 、相交于点H (如图3),求GHF ∠的度数.(4)若图2中DEF ∆的周长35,5cm AF cm =,现将ABC ∆固定,将DEF ∆沿着CA 方向平移至点F 与A 重合,平移后的得到''D E A ∆,点D E 、的对应点分别是''D E 、,请直接写出四边形'DEAD 的周长.(5)若图2中DEF ∆固定,(如图4)将ABC ∆绕点A 顺时针旋转,1分钟转半圈,旋转至AC 与直线AN 首次重合的过程中,当线段BC 与DEF ∆的一条边平行时,请直接写出旋转的时间.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.B解析:B【分析】根据平行线的性质对①进行判断;根据对顶角的性质对②进行判断;根据余角与补角的定义对③进行判断;根据三角形外角性质对④进行判断.【详解】解:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等,所以①错误;如果∠1和∠2是对顶角,那么∠1=∠2,所以②正确;一个角的余角一定小于这个角的补角,所以③正确;三角形的外角大于任何一个与之不相邻的一个内角,所以④错误.故选:B.【点睛】本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.2.B解析:B【分析】根据平行线的性质求出ACB E∠=∠,根据角平分线定义和平行线的性质求出BF DC,再根据平行线的性质判断即可.ABF CBF ADC EDC∠=∠=∠=∠,推出//【详解】BC DE,∵//∴ACB E∠=∠,∴①正确;BC DE,∵//∠=∠,∴ABC ADE∵BF 平分ABC ∠,DC 平分ADE ∠, ∴12ABF CBF ABC ∠=∠=∠,12ADC EDC ADE ∠=∠=∠, ∴ABF CBF ADC EDC ∠=∠=∠=∠,∴//BF DC ,∴BFD FDC ∠=∠,∴根据已知不能推出ADF CDF ∠=∠,∴②错误;③错误;∵ABF ADC ∠=∠,ADC EDC ∠=∠,∴ABF EDC ∠=∠,∵//DE BC ,∴BCD EDC ∠=∠,∴ABF BCD ∠=∠,∴④正确;即正确的有2个,故选:B .【点睛】本题考查了平行线的性质和判定,角平分线定义的应用,能灵活运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键.3.C解析:C【分析】利用平行线的性质,可证得∠2=∠3,利用已知可证得∠1+∠3=90°,求出∠3的度数,进而求出∠2的度数.【详解】解:如图∵a //b∴∠2=∠3,∵∠1+∠3=180°-90°=90°∴∠3=90°-∠1=90°-25°=65°∴∠2=65°.故选C .【点睛】本题主要考查了平行线的性质,灵活运用“两直线平行、同位角相等”是解答本题的关键. 4.D解析:D【分析】根据平行线的性质可得EOB EFD α∠=∠=,结合角平分线的定义可判断①;再由平角的定义可判断②;由平行线的性质可判断③;由余角及补角的定义可判断④.【详解】解://CD OB ,EFD α∠=,EOB EFD α∴∠=∠=, OE 平分AOB ∠,COF EOB α∴∠=∠=,故①正确;2AOB α∠=,180AOB AOH ∠+∠=︒,1802AOH α∴∠=︒-,故②正确;//CD OB ,CH OB ⊥,CH CD ∴⊥,故③正确;90HCO HOC ∴∠+∠=︒,180AOB HOC ∠+∠=︒,290OCH α∴∠=-︒,故④正确.正确为①②③④,故选:D .【点睛】本题主要考查平行线的性质,角平分线的定义,垂直的定义,灵活运用平行线的性质是解题的关键.5.A解析:A【分析】根据平行线的性质得出∠2=∠D ,进而利用邻补角得出答案即可.【详解】解:如图,∵AB ∥CD ,∴∠2=∠D ,∵∠1=140°,∴∠D =∠2=180°−∠1=180°−140°=40°,故选:A .【点睛】此题考查平行线的性质,关键是根据两直线平行,内错角相等解答.6.D解析:D【分析】根据两直线平行,同旁内角互补可得∠1+∠AOF =180°,再根据两直线平行,内错角相等可得∠3=∠AOC ,而通过∠AOF =∠AOC-∠2,整理可得∠1+∠3-∠2=180°.【详解】解:∵AB ∥EF ,∴∠1+∠AOF =180°,∵CD ∥AB ,∴∠3=∠AOC ,又∵∠AOF =∠AOC −∠2=∠3-∠2,∴∠1+∠3-∠2=180°.故选:D .【点睛】本题主要考查平行线的性质,从复杂图形中找出内错角,同旁内角是解题的关键. 7.B解析:B【分析】根据平行线的性质解答.【详解】解:∵AB ∥EF ∥CD ,∴1BDC ABD BHF ∠=∠=∠=∠∵EG ∥DB ,∴ABD AGE HEG ∠=∠=∠,故选:B .【点睛】此题考查平行线的性质:两直线平行,内错角相等,熟记性质定理是正确解题的关键. 8.A解析:A【分析】过点E 作//EF AB ,先根据平行线的性质可得100AEF ∠=︒,再根据平行公理推论、平行线的性质可得70CEF ∠=︒,然后根据角的和差即可得.【详解】解:如图,过点E 作//EF AB ,80EAB ∠=︒,180100A E B E A F ∠=︒-=∴∠︒,CD EF∴,//∴∠+∠=︒,CEF ECD180∠=︒,ECD110CEF ECD∴∠=︒-∠=︒,18070∴∠=∠-∠=︒-︒=︒,AEC AEF CEF1007030故选:A.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的性质是解题关键.9.D解析:D【分析】分点D在线段AB上及点D在线段AB的延长线上两种情况考虑:当点D在线段AB上时,由DE∥BC可得出∠ADE的度数,结合∠ADC=∠ADE+∠CDE可求出∠ADC的度数;当点D 在线段AB的延长线上时,由DE∥BC可得出∠ADE的度数,结合∠ADC=∠ADE-∠CDE可求出∠ADC的度数.综上,此题得解.【详解】解:当点D在线段AB上时,如图1所示.∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC=84°,∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=84°+20°=104°;当点D在线段AB的延长线上时,如图2所示.∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC=84°,∴∠ADC=∠ADE-∠CDE=84°-20°=64°.综上所述:∠ADC=104°或64°.【点睛】本题考查了平行线的性质,分点D在线段AB上及点D在线段AB的延长线上两种情况,求出∠ADC的度数是解题的关键.10.A解析:A【分析】分别过A、B作直线1l的平行线AD、BC,根据平行线的性质即可完成.【详解】分别过A、B作直线1l∥AD、1l∥BC,如图所示,则AD∥BC∵l∥2l1∴l∥BC2∴∠CBF=∠2∵l∥AD1∴∠EAD=∠1=15゜∴∠DAB=∠EAB-∠EAD=125゜-15゜=110゜∵AD∥BC∴∠DAB+∠ABC=180゜∴∠ABC=180゜-∠DAB=180゜-110゜=70゜∴∠CBF=∠ABF-∠ABC=85゜-70゜=15゜∴∠2=15゜故选:A.【点睛】本题考查了平行线的性质与判定等知识,关键是作两条平行线.二、填空题11.【分析】要分类讨论,不要漏掉任何一种情况,也可实际用三角板操作找到它们之间的关系,再计算.【详解】解:分10种情况讨论:(1)如图1,AD边与OB边平行时,∠BAD=45°或135°;;解析:8【分析】要分类讨论,不要漏掉任何一种情况,也可实际用三角板操作找到它们之间的关系,再计算.【详解】解:分10种情况讨论:(1)如图1,AD边与OB边平行时,∠BAD=45°或135°;;(2)如图2,当AC边与OB平行时,∠BAD=90°+45°=135°或45°;(3)如图3,DC边与AB边平行时,∠BAD=60°+90°=150°,(4)如图4,DC边与OB边平行时,∠BAD=135°+30°=165°,(5)如图5,DC边与OB边平行时,∠BAD=45°﹣30°=15°;(6)如图6,DC边与AO边平行时,∠BAD=15°+90°=105°(7)如图7,DC边与AB边平行时,∠BAD=30°,(8)如图8,DC边与AO边平行时,∠BAD=30°+45°=75°;综上所述:∠BAD的所有可能的值为:15°,30°,45°,75°,105°,135°,150°,165°.故答案为:8.【点睛】本题考查了平行线的性质及判定,画出所有符合题意的示意图是解决本题的关键.12.68°【分析】如图,延长DC交BG于M.由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x,∠CGE=∠MGE=y.构建方程组证明∠GMC=2∠E即可解决问题.【详解】解:如图,延长DC交BG于M.由题意解析:68°【分析】如图,延长DC交BG于M.由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x,∠CGE=∠MGE=y.构建方程组证明∠GMC=2∠E即可解决问题.【详解】解:如图,延长DC交BG于M.由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x,∠CGE=∠MGE=y.则有22x y GMCx y E=+∠⎧⎨=+∠⎩①②,①-2×②得:∠GMC=2∠E,∵∠E=34°,∴∠GMC=68°,∵AB∥CD,∴∠GMC=∠B=68°,故答案为:68°.【点睛】本题考查平行线的性质,角平分线的定义等知识,解题的关键是熟悉基本图形,学会添加常用辅助线,学会利用参数构建方程组解决问题,属于中考填空题中的能力题.13.70°【分析】此题要构造辅助线:过点E,F分别作EG∥AB,FH∥AB.然后运用平行线的性质进行推导.【详解】解:如图所示,过点E,F分别作EG∥AB,FH∥AB.∵EG∥AB,FH∥A解析:70°【分析】此题要构造辅助线:过点E,F分别作EG∥AB,FH∥AB.然后运用平行线的性质进行推导.【详解】解:如图所示,过点E,F分别作EG∥AB,FH∥AB.∵EG∥AB,FH∥AB,∴∠5=∠ABE,∠3=∠1,又∵AB∥CD,∴EG∥CD,FH∥CD,∴∠6=∠CDE,∠4=∠2,∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠BFD=35°.∵BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∴∠ABE=2∠1,∠CDE=2∠2,∴∠BED=∠5+∠6=2∠1+2∠2=2(∠1+∠2)=2×35°=70°.故答案为70°.【点睛】本题主要考查了平行线的性质,根据题中的条件作出辅助线EG∥AB,FH∥AB,再灵活运用平行线的性质是解本题的关键.14.【分析】根据题意,通过添加平行线,利用内错角和同旁内角,把这五个角转化成4个的角.【详解】分别过F点,G点,H点作,,平行于AB利用内错角和同旁内角,把这五个角转化一下,可得,有4个的角,解析:720【分析】根据题意,通过添加平行线,利用内错角和同旁内角,把这五个角转化成4个180的角.【详解】分别过F点,G点,H点作2L,3L,4L平行于AB利用内错角和同旁内角,把这五个角转化一下,可得,有4个180的角,∴⨯=.1804720故答案为720.【点睛】本题考查了平行线的性质:两直线平行,同旁内角互补,添加辅助线是解题关键.15.4∠AFC=3∠AEC【详解】【分析】连接AC,设∠EAF=x°,∠ECF=y°,∠EAB=4x°,∠ECD=4y°,根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°,求出∠CAE+∠ACE=18解析:4∠AFC=3∠AEC【详解】【分析】连接AC,设∠EAF=x°,∠ECF=y°,∠EAB=4x°,∠ECD=4y°,根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°,求出∠CAE+∠ACE=180°-(4x°+4y°),求出∠AEC=4(x°+y°),∠AFC═3(x°+y°),即可得出答案.【详解】连接AC,设∠EAF=x°,∠ECF=y°,∠EAB=4x°,∠ECD=4y°,∵AB∥CD,∴∠BAC+∠ACD=180°,∴∠CAE+4x°+∠ACE+4y°=180°,∴∠CAE+∠ACE=180°-(4x°+4y°),∠FAC+∠FCA=180°-(3x°+3y°),∴∠AEC=180°-(∠CAE+∠ACE)=180°-[180°-(4x°+4y°)]=4x°+4y°=4(x°+y°),∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=180°-[180°-(3x°+3y°)]=3x°+3y°=3(x°+y°),∴∠AFC=34∠AEC,即:4∠AFC=3∠AEC,故正确答案为:4∠AFC=3∠AEC.【点睛】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用,注意:两直线平行,同旁内角互补.16.40【解析】试题分析:如图,分别作a、b的平行线,然后根据a∥b,可得∠1=∠5,∠6=∠7,∠8=∠4,然后根据∠2=∠3,即∠5+∠6=∠7+∠8,然后由∠1=40°,可求得∠4=40°.解析:40【解析】试题分析:如图,分别作a、b的平行线,然后根据a∥b,可得∠1=∠5,∠6=∠7,∠8=∠4,然后根据∠2=∠3,即∠5+∠6=∠7+∠8,然后由∠1=40°,可求得∠4=40°.故答案为:40.17.①④【分析】①由BC∥OA,∠B=∠A=100°,∠AOB=∠ACB=180°-100°=80°,得到∠A+∠AOB=180°,得出OB∥AC.②OE平分∠BOF,得出∠FOE=∠BOE=∠BO 解析:①④【分析】①由BC∥OA,∠B=∠A=100°,∠AOB=∠ACB=180°-100°=80°,得到∠A+∠AOB=180°,得出OB∥AC.②OE平分∠BOF,得出∠FOE=∠BOE=12∠BOF,∠FOC=∠AOC=12∠AOF,从而计算出∠EOC=∠FOE+∠FOC=40°.③由∠OCB=∠AOC,∠OFB=∠AOF=2∠AOC,得出∠OCB:∠OFB=1:2.④由∠OEB=∠OCA=∠AOE=∠BOC,得到∠AOE-∠COE=∠BOC-∠COE,∠BOE=∠AOC,再得到∠BOE=∠FOE=∠FOC=∠AOC=14∠AOB=20°,从而计算出∠OCA=∠BOC=3∠BOE=60°.【详解】解:∵BC∥OA,∠B=∠A=100°,∴∠AOB=∠ACB=180°-100°=80°,∴∠A+∠AOB=180°,∴OB∥AC.故①正确;∵OE平分∠BOF,∴∠FOE=∠BOE=12∠BOF,∴∠FOC=∠AOC=12∠AOF,∴∠EOC=∠FOE+∠FOC=12(∠BOF+∠AOF)=12×80°=40°.故②错误;∵∠OCB=∠AOC,∠OFB=∠AOF=2∠AOC,∴∠OCB:∠OFB=1:2.故③错误;∵∠OEB=∠OCA=∠AOE=∠BOC,∴∠AOE-∠COE=∠BOC-∠COE,∴∠BOE=∠AOC,∴∠BOE=∠FOE=∠FOC=∠AOC=14∠AOB=20°,∴∠OCA=∠BOC=3∠BOE=60°.故④正确.故答案为:①④.【点睛】本题考查了平行线的性质及判定,以及角的计算,熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键.18.或【分析】由题意可分两种情况分别画出图形,然后根据平行线的性质进行求解即可.【详解】解:由题意得:①如图,∵,,∴,∵,∴;②如图,∵,,∴,∵,∴,∴;综上所述解析:40︒或140︒【分析】由题意可分两种情况分别画出图形,然后根据平行线的性质进行求解即可.【详解】解:由题意得:①如图,∵//DF AB ,40ABC ∠=︒,∴40DFC ABC ∠=∠=︒,∵//DE BC ,∴40DFC EDF ∠=∠=︒;②如图,∵//DF AB ,40ABC ∠=︒,∴40DFC ABC ∠=∠=︒,∵//DE BC ,∴180DFC EDF ∠+∠=︒,∴140EDF ∠=︒;综上所述:EDF ∠的度数为40︒或140︒;故答案为40︒或140︒.【点睛】本题主要考查平行线的性质,熟练掌握平行线的性质是解题的关键,注意分类讨论. 19.131【分析】过点C 作CH ∥MN ,根据平行线的性质求出∠NEC 即可.【详解】解:过点C 作CH ∥MN ,∵,∴CH ∥PQ ,∴,∵,∴,∵CH ∥MN ,∴,∴故答案为:131.解析:131【分析】过点C 作CH ∥MN ,根据平行线的性质求出∠NEC 即可.【详解】解:过点C 作CH ∥MN ,∵//MN PQ ,∴CH ∥PQ ,∴26HCB BGF ∠=∠=︒,∵75ACB ∠=︒,∴49ACH ∠=︒,∵CH ∥MN ,∴49CEN ACH ∠=∠=︒,∴131180CEN AEN ∠︒∠==︒-故答案为:131.【点睛】本题考查了平行线的性质与判定,解题关键是恰当作平行线,根据平行线的性质进行推理计算.20.【分析】过点P1作PG ∥AB ∥CD ,根据平行线的性质:两直线平行,内错角相等即可证得,再根据角平分线的定义总结规律可得.【详解】解:过点作∥AB ,可得∥CD ,∴,,解析:()x y + 12n x y -+⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点P 1作PG ∥AB ∥CD ,根据平行线的性质:两直线平行,内错角相等即可证得1E x PF y ︒=∠︒+,再根据角平分线的定义总结规律可得n P ∠. 【详解】解:过点1P 作1PG ∥AB ,可得1PG ∥CD ,设1PEB x ∠=︒,1PFD y ∠=︒, ∴11G x PEB EP =︒∠=∠,11G y PFD FP =︒∠=∠,∴11111P EP FP PEB P E F G G x y FD ∠=+=︒∠∠∠=︒++∠;同理可得:222P P EB P FD ∠+∠∠=,333P P EB P FD ∠+∠∠=,...,∵2P E 平分1PEB ∠,2P F 平分1PFD ∠, ∴()22212P P EB P FD x y ∠+∠=︒+︒∠=,()33314P P EB P FD x y ∠+∠=︒+︒∠=, ..., ∴12n n n n x y P P EB P FD -∠︒+︒∠+∠==, 故答案为:()x y +,12n x y -+⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了平行线性质的应用和角平分线的定义,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造平行线解决问题,学会探究规律,利用规律解决问题,属于中考常考题型.三、解答题21.(1)49°,(2)44°,(3)∠OPQ =∠ORQ【分析】(1)根据∠OPA =∠QP B .可求出∠OPA 的度数;(2)由∠AOP =43°,∠BQP =49°可求出∠OPQ 的度数,转化为(1)来解决问题; (3)由(2)推理可知:∠OPQ =∠AOP +∠BQP ,∠ORQ =∠DOR +∠RQC ,从而∠OPQ =∠ORQ .解:(1)∵∠OPA=∠QPB,∠OPQ=82°,∴∠OPA=(180°-∠OPQ)×12=(180°-82°)×12=49°,(2)作PC∥m,∵m∥n,∴m∥PC∥n,∴∠AOP=∠OPC=43°,∠BQP=∠QPC=49°,∴∠OPQ=∠OPC+∠QPC=43°+49°=92°,∴∠OPA=(180°-∠OPQ)×12=(180°-92°)×1244°,(3)∠OPQ=∠ORQ.理由如下:由(2)可知:∠OPQ=∠AOP+∠BQP,∠ORQ=∠DOR+∠RQC,∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角,∴∠AOP=∠DOR,∠BQP=∠RQC,∴∠OPQ=∠ORQ.【点睛】本题主要考查了平行线的性质和入射角等于反射角的规定,解决本题的关键是注意问题的设置环环相扣、前为后用的设置目的.22.(1)是;(2)∠B=∠ACB,证明见解析;(3)∠BAC=40°,AC⊥AD.【分析】(1)要使AD平分∠EAC,则要求∠EAD=∠CAD,由平行线的性质可得∠B=∠EAD,∠ACB=∠CAD,则当∠ACB=∠B时,有AD平分∠EAC;(2)根据角平分线可得∠EAD=∠CAD,由平行线的性质可得∠B=∠EAD,∠ACB=∠CAD,则有∠ACB=∠B;(3)由AC⊥BC,有∠ACB=90°,则可求∠BAC=40°,由平行线的性质可得AC⊥AD.【详解】解:(1)是,理由如下:要使AD平分∠EAC,则要求∠EAD=∠CAD,由平行线的性质可得∠B=∠EAD,∠ACB=∠CAD,则当∠ACB=∠B时,有AD平分∠EAC;故答案为:是;(2)∠B=∠ACB,理由如下:∵AD平分∠EAC,∴∠EAD=∠CAD,∵AD∥BC,∴∠B=∠EAD,∠ACB=∠CAD,∴∠B=∠ACB.(3)∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°,∵∠EBF=50°,∴∠BAC=40°,∵AD∥BC,∴AD⊥AC.【点睛】此题考查了角平分线和平行线的性质,熟练掌握角平分线和平行线的有关性质是解题的关键.23.(1)见解析;(2)当点E在CA的延长线上时,∠BED=∠D-∠B;当点E在AC的延长线上时,∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D;(3)()12m nn-【分析】(1)如图1中,过点E作ET∥A B.利用平行线的性质解决问题.(2)分两种情形:如图2-1中,当点E在CA的延长线上时,如图2-2中,当点E在AC的延长线上时,构造平行线,利用平行线的性质求解即可.(3)利用(1)中结论,可得∠BMD=∠ABM+∠CDM,∠BFD=∠ABF+∠CDF,由此解决问题即可.【详解】解:(1)证明:如图1中,过点E作ET∥A B.由平移可得AB∥CD,∵AB∥ET,AB∥CD,∴ET∥CD∥AB,∴∠B=∠BET,∠TED=∠D,∴∠BED=∠BET+∠DET=∠B+∠D.(2)如图2-1中,当点E在CA的延长线上时,过点E作ET∥A B.∵AB ∥ET ,AB ∥CD ,∴ET ∥CD ∥AB ,∴∠B =∠BET ,∠TED =∠D ,∴∠BED =∠DET -∠BET =∠D -∠B .如图2-2中,当点E 在AC 的延长线上时,过点E 作ET ∥A B .∵AB ∥ET ,AB ∥CD ,∴ET ∥CD ∥AB ,∴∠B =∠BET ,∠TED =∠D ,∴∠BED =∠BET -∠DET =∠B -∠D .(3)如图,设∠ABE =∠EBM =x ,∠CDE =∠EDM =y ,∵AB ∥CD ,∴∠BMD =∠ABM +∠CDM ,∴m =2x +2y ,∴x +y =12m ,∵∠BFD =∠ABF +∠CDF ,∠ABE =n ∠EBF ,∠CDE =n ∠EDF ,∴∠BFD =()111n n n x y x y n n n ---+=+=112n m n -⨯=()12m n n -. 【点睛】本题属于几何变换综合题,考查了平行线的性质,角平分线的定义等知识,解题的关键是学会条件常用辅助线,构造平行线解决问题,属于中考常考题型.24.(1)80°;(2)∠AKC =12∠APC ,理由见解析;(3)∠AKC =23∠APC ,理由见解析【分析】(1)先过P作PE∥AB,根据平行线的性质即可得到∠APE=∠BAP,∠CPE=∠DCP,再根据∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP进行计算即可;(2)过K作KE∥AB,根据KE∥AB∥CD,可得∠AKE=∠BAK,∠CKE=∠DCK,进而得到∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK,同理可得,∠APC=∠BAP+∠DCP,再根据角平分线的定义,得出∠BAK+∠DCK=12∠BAP+12∠DCP=12(∠BAP+∠DCP)=12∠APC,进而得到∠AKC=12∠APC;(3)过K作KE∥AB,根据KE∥AB∥CD,可得∠BAK=∠AKE,∠DCK=∠CKE,进而得到∠AKC=∠BAK﹣∠DCK,同理可得,∠APC=∠BAP﹣∠DCP,再根据已知得出∠BAK﹣∠DCK=23∠BAP﹣23∠DCP=23∠APC,进而得到∠BAK﹣∠DCK=23∠APC.【详解】(1)如图1,过P作PE∥AB,∵AB∥CD,∴PE∥AB∥CD,∴∠APE=∠BAP,∠CPE=∠DCP,∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°;(2)∠AKC=12∠APC.理由:如图2,过K作KE∥AB,∵AB∥CD,∴KE∥AB∥CD,∴∠AKE=∠BAK,∠CKE=∠DCK,∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK,过P作PF∥AB,同理可得,∠APC=∠BAP+∠DCP,∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K,∴∠BAK+∠DCK=12∠BAP+12∠DCP=12(∠BAP+∠DCP)=12∠APC,∴∠AKC=12∠APC;(3)∠AKC=23∠APC理由:如图3,过K作KE∥AB,∵AB∥CD,∴KE∥AB∥CD,∴∠BAK=∠AKE,∠DCK=∠CKE,∴∠AKC=∠AKE﹣∠CKE=∠BAK﹣∠DCK,过P作PF∥AB,同理可得,∠APC=∠BAP﹣∠DCP,∵∠BAK=23∠BAP,∠DCK=23∠DCP,∴∠BAK﹣∠DCK=23∠BAP﹣23∠DCP=23(∠BAP﹣∠DCP)=23∠APC,∴∠AKC=23∠APC.【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义,解题的关键是作出平行线构造内错角相等计算.25.(1)见详解;(2)15°;(3)67.5°;(4)45cm;(5)10s或30s或40s【分析】(1)运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论;(2)如图2,过点E作EK∥MN,利用平行线性质即可求得答案;(3)如图3,分别过点F、H作FL∥MN,HR∥PQ,运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案;(4)根据平移性质可得D′A=DF,DD′=EE′=AF=5cm,再结合DE+EF+DF=35cm,可得出答案;(5)设旋转时间为t秒,由题意旋转速度为1分钟转半圈,即每秒转3°,分三种情况:①当BC∥DE时,②当BC∥EF时,③当BC∥DF时,分别求出旋转角度后,列方程求解即可.【详解】(1)如图1,在△DEF中,∠EDF=90°,∠DFE=30°,∠DEF=60°,∵ED平分∠PEF,∴∠PEF=2∠PED=2∠DEF=2×60°=120°,∵PQ∥MN,∴∠MFE=180°−∠PEF=180°−120°=60°,∴∠MFD=∠MFE−∠DFE=60°−30°=30°,∴∠MFD=∠DFE,∴FD平分∠EFM;(2)如图2,过点E作EK∥MN,∵∠BAC=45°,∴∠KEA=∠BAC=45°,∵PQ∥MN,EK∥MN,∴PQ∥EK,∴∠PDE=∠DEK=∠DEF−∠KEA,又∵∠DEF=60°.∴∠PDE=60°−45°=15°,故答案为:15°;(3)如图3,分别过点F、H作FL∥MN,HR∥PQ,∴∠LFA=∠BAC=45°,∠RHG=∠QGH,∵FL∥MN,HR∥PQ,PQ∥MN,∴FL∥PQ∥HR,∴∠QGF+∠GFL=180°,∠RHF=∠HFL=∠HFA−∠LFA,∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H,∴∠QGH=12∠FGQ,∠HFA=12∠GFA,∵∠DFE=30°,∴∠GFA=180°−∠DFE=150°,∴∠HFA=12∠GFA=75°,∴∠RHF=∠HFL=∠HFA−∠LFA=75°−45°=30°,∴∠GFL=∠GFA−∠LFA=150°−45°=105°,∴∠RHG=∠QGH=12∠FGQ=12(180°−105°)=37.5°,∴∠GHF=∠RHG+∠RHF=37.5°+30°=67.5°;(4)如图4,∵将△DEF沿着CA方向平移至点F与A重合,平移后的得到△D′E′A,∴D′A=DF,DD′=EE′=AF=5cm,∵DE+EF+DF=35cm,∴DE+EF+D′A+AF+DD′=35+10=45(cm),即四边形DEAD′的周长为45cm;(5)设旋转时间为t秒,由题意旋转速度为1分钟转半圈,即每秒转3°,分三种情况:BC∥DE时,如图5,此时AC∥DF,∴∠CAE=∠DFE=30°,∴3t=30,解得:t=10;BC∥EF时,如图6,∵BC∥EF,∴∠BAE=∠B=45°,∴∠BAM=∠BAE+∠EAM=45°+45°=90°,∴3t=90,解得:t=30;BC∥DF时,如图7,延长BC交MN于K,延长DF交MN于R,∵∠DRM=∠EAM+∠DFE=45°+30°=75°,∴∠BKA=∠DRM=75°,∵∠ACK=180°−∠ACB=90°,∴∠CAK=90°−∠BKA=15°,∴∠CAE=180°−∠EAM−∠CAK=180°−45°−15°=120°,∴3t=120,解得:t=40,综上所述,△ABC绕点A顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时,线段BC与△DEF的一条边平行.【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定,角平分线定义,平移的性质等,添加辅助线,利用平行线性质是解题关键.。
完整版七年级数学相交线与平行线培优复习附详细答案
宝蕾家教中心印发七年级数学:相交线与平行线培优复习例题精讲例1.如图(1),直线a与b平行,∠1=(3x+70)°,∠2=(5x+22)°,求∠3的度数。
,a∥b解:∵la3(两直线平行,内错角相等)3=∠4∴∠)平角的定义°(2+∠4=180∠∵∠1+3=∠4) 等式性质(∠1=∠2 ∴b2x=24 3x+70=5x+22解得则142°即∠1=(1) 图1=38°∴∠3=180°-∠,是几何计算常用的方法。
评注:建立角度之间的关系,即建立方程(组)D =192°,B+∠BED+∠EF∥CD,EG平分∠BEF,∠例2.已知:如图(2),AB∥GEF的度数。
-∠D=24°,求∠∠B B EF∥CD 解:∵AB∥G D(两直线平行,内错角相等)∴∠B=∠BEF,∠DEF=∠°(已知)D =192 ∵∠B+∠BED+∠EF BEF+∠DEF+∠D=192°即∠B+∠CD°(等量代换)D)=192∴2(∠B+∠D=96B+∠°(等式性质)则∠(2) (已知)图∵∠B-∠D=24°∴∠B=60°(等式性质)BEF=60°(等量代换)即∠BEF(已知)∵EG平分∠1BEF=30∴∠GEF=°(角平分线定义)∠2DEB的度数。
°,∠D=70°,求∠,已知3)AB∥CD,且∠B=40例3.如图(DCAB 作EF∥E解:过∥CD(已知)∵AB ∥CD(平行公理)∴EF AB D=70°(两直线平行,内错角相等)∠°∠DEF=∠∴BEF=∠B=40 ∠BEF DEB=∠DEF-∵∠FE°-∠B=30∴∠DEB =∠D,则应添出辅助线。
评注:证明或解有关直线平行的问题时,如果不构成“三线八角”3)图(条以上直线共点,有多少个不同交点?3n平面上条直线两两相交且无3条或.例4个交点,条直线产生解:21 1宝蕾家教中心印发第3条直线与前面2条均相交,增加2个交点,这时平面上3条直线共有1+2=3个交点;第4条直线与前面3条均相交,增加3个交点,这时平面上4条直线共有1+2+3=6个交点;…1n(n-1) + (n-1)=1+2+3+…则n条直线共有交点个数:2评注:此题是平面上n条直线交点个数最多的情形,需要仔细观察,由简及繁,深入思考,从中发现规律。
相交线与平行线专题培优练习
相交线与平行线专题培优练习1余角与补角1.了解互余、互补、临补的概念2.了解对顶角的概念,掌握对顶角相等的性质3.掌握同角或等角的余(补)角相等的性质1.若一个角的补角是这个角的余角的三倍,则这个角是________2.如图,已知AO⊥CO,BO⊥DO,且∠BOC=50°,则∠AOD=_________3.如果∠1和∠2互为补角,且∠1>∠2,那么∠2的余角是________4.如图,直线CD和∠1和∠AOB两边相交于点M、N,已知∠CMO+∠CNO=180°。
(1)试找出图中所有与∠CMO、∠CNO相等的角(2)写出图中所有互补的角。
5.若一个角的余角与这个角的补角纸币是2:7,求这个角的邻补角。
BCOMNA6.如图AB∥CD,AC⊥BC,AC≠BC,则图中与∠BAC互余的角有__________7.如图,AB∥CD,那么图中共有同位角________对8.如图,平面上有A、B、C、D五个点,其中点B、C、D及点A、E、C分别在同一条直线上,那么以这五个点中的三个点为顶点的三角形有9.如果∠1和∠2互为补角,且∠1>∠2,那么∠2的余角是_________(表示出来)10.如果一个角的余角比这个角的补角的13还小10°,求这个角的余角及这个角的补角。
2探索平行线的平行条件1.了解同位角、内错角、同旁内角的概念2.会寻找出同位角、内错角、同旁内角3.会用同位角、内错角、同旁内角之间的数量关系来说明两直线平行4.熟练地运用平行线的判定判断两条直线的位置关系,正确的进行分析推理1.如图所示,已知直线AB,CD被直线EF所截,如果∠BMN=∠DNF,∠1=∠2,那么MQ ∥NP.为什么?2.如图所示,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别落在D′,C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于3.已知:如图,∠A0B的两边0A、0B均为平面反光镜,∠A0B=40°.若平行于OB的光线经点Q反射到P,则∠QPB=4.一条公路修到湖边时需拐弯绕湖而过,如果第一次拐的角∠A是120°,第二次拐的角是∠B是150°,第三次拐的角是角∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,那么∠C是多少度?。
相交线与平行线培优专题.docx
第五章相交线与平行线培优专题训练1.已知:如,AB∥ EF∥ CD, EG平分∠ BEF,∠ B+∠ BED+∠ D =192°,∠B-∠ D=24°,求∠ GEF的度数。
A BGE FC D2.如,已知AB∥ CD,且∠ B=40°,∠ D=70°,求∠ DEB 的度数。
解: E 作 EF∥ ABC DA BEF3.如,直 AB 与 CD 相交于 O, EFAB于 F, GHCD于 H,求 EF与 GH 必相交。
分析:欲EF 与 GH 相交,直接很困,可考用反法。
明:假EF 与 GH 不相交。
∵EF、 GH 是两条不同的直∴ EF∥ GH∵EFAB∴GHABE GAD FHOCB又因 GHCD 故 AB∥ CD (垂直于同一直的两直平行 )( 4)与已知AB 和 CD 相交矛盾。
所以 EF与 GH 不平行,即EF与 GH 必相交注:本用:(1)垂直于同一条直的两直平行。
(2)两条平行中的一条直垂直于第三条直,那么另一条直也平行于第三条直;4.平面上n 条直两两相交且无 3 条或 3 条以上直共点,有多少个不同交点解: 2 条直生个交点,第 3 条直与前面 2 条均相交,增加个交点,平面上 3 条直共有个交点;第 4 条直与前面 3 条均相交,增加个交点,平面上 4 条直共有个交点;⋯n 条直共有交点个数:。
5. 6 个不同的点,其中只有 3 点在同一条直 上, 2 点确定一条直 , 能确定多少条直 解: 6 条不同的直 最多确定:条直 ,除去共 的3 点中重合多算的 2 条直 ,即能确定的直15-2=13 条。
另法: 3 点所在的直 外的3 点 最多能确定 3 条直 ,3 点与直 上的3 点最多有 3×3=9 条直 ,加上3 点所在的直 共有:3+9+1=13 条注:一般地,平面上n 个点最多可确定直 的条数 :1+2+3+⋯ +(n-1)= 1n(n-1)26. 10 条直 两两相交,最多将平面分成多少 不同的区域解: 2 条直 最多将平面分成 2+2=4 个不同区域;3 条直 中的第3 条直 与另两条直 相交,最多有两个交点,此直 被 两点分成3 段,每一段将它所在的区域一分 二, 区域增加 3 个,即最多分成2+2+3=7 个不同区域;同理: 4 条直 最多分成2+2+3+4=11 个不同区域;⋯∴10 条直 最多分成推广: n 条直 两两相交,最多将平面分成1 1 2+2+3+4+⋯+n=1+n(n+1)=22区域个不同区域。
七(下)培优训练相交线与平行线
相交线与平行线一、知识要点:1.平面上两条不重合的直线,位置关系只有两种:相交和平行。
2.两条不同的直线,若它们只有一个公共点,就说它们相交。
即,两条直线相交有且只有一个交点。
3.垂直是相交的特殊情况。
有关两直线垂直,有两个重要的结论:(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;(2)直线外一点与直线上所有点的连线中,垂线段最短。
4.两条直线被第三条直线所截,构成八个角,在那些没有公共顶点的角中,⑴如果两个角分别在两条直线的同一方,并且都在第三条直线的同侧,具有这种关系的一对角叫做___________ ;⑵如果两个角都在两直线之间,并且分别在第三条直线的两侧,具有这种关系的一对角叫做____________ ;⑶如果两个角都在两直线之间,但它们在第三条直线的同一旁,具有这种关系的一对角叫做_______________.5.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线______.推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么_____________________.6.平行线的判定:⑴两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成:_______________________.⑵两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成:___________________________.⑶两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成:_______________________. 7.在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线_______ .8.平行线的性质:⑴两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:__________.⑵两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:__________.⑶两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:__________________。
人教版初一数学7年级下册 第5章(相交线与平行线)单元培优卷(含答案)
七年级数学下册第五章相交线与平行线培优卷一、选择题1.下列说法不正确的是()A.过任意一点可作已知直线的一条平行线B.在同一平面内两条不相交的直线是平行线C.在同一平面内,过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直D.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短2.如图所示,下列说法不正确的是()A.∠1和∠2是同旁内角B.∠1和∠3是对顶角C.∠3和∠4是同位角D.∠1和∠4是内错角3.如图,直线a,b被直线c所截,则下列说法中错误的是( )A.∠1与∠2是邻补角B.∠1与∠3是对顶角C.∠2与∠4是同位角D.∠3与∠4是内错角4.如图,直线a,b被直线c所截,下列条件不能判定直线a与b平行的是( )A.∠1=∠3B.∠2+∠4=180°C.∠1=∠4D.∠3=∠45.如图,已知∠1=∠2,∠3=30°,则∠B的度数是( )A.20 B.30 C.40 D.606.如图,AB∥CD,直线EF与AB,CD分别交于点M,N,过点N的直线GH与AB交于点P,则下列结论错误的是()A.∠EMB=∠ENDB.∠BMN=∠MNCC.∠CNH=∠BPGD.∠DNG=∠AME7.如图,面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置,平移的距离是边BC长的2倍,则图中四边形ACED的面积为( )A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.无法确定8.如图,已知AB∥CD∥EF,则∠x、∠y、∠z三者之间的关系是( )A .180x y z ++=°B .180x y z +-=°C .360x y z ++=°D .+=x z y9.如图,ABC 的角平分线CD 、BE 相交于F ,90A ∠=︒,//EG BC ,且CG EG ⊥于G ,下列结论:①2CEG DCB ∠=∠;②CA 平分BCG ∠;③ADC GCD ∠=∠;④12DFB CGE ∠=∠.其中正确的结论是( )A .①③④B .①②③C .②④D .①③10.将下面的如图平移后,可以得到选项图形中的( )A .B .C .D .二、填空题11.若平面上4条直线两两相交且无三线共点,则共有同旁内角________对.12.规律探究:同一平面内有直线1a 、2a 、3a ,⋯,100a ,若12//a a ,23a a ⊥,34//a a ,45a a ⊥,⋯,按此规律,1a 与100a 的位置关系是______.13.如果∠α与∠β的两边分别平行,∠α比∠β的3倍少40°,则∠α的度数为_______.14.如图,AB ∥CD ,CF 平分∠DCG ,GE 平分∠CGB 交FC 的延长线于点E ,若∠E =34°,则∠B 的度数为____________.15.如图,在△ABC 中,6BC cm =,将△ABC 以每秒2cm 的速度沿BC 所在直线向右平移,所得图形对应为△DEF ,设平移时间为t 秒,若要使2AD CE =成立,则t 的值为_____秒.三、解答题16.实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.(1)如图,一束光线m 射到平面镜a 上,被a 反射到平面镜b 上,又被b 反射,若被b 反射出的光线n 与光线m 平行,且∠1=50°,则∠2=_________,∠3=________.(2)在(1)中,若∠1=55°,则∠3=_______;若∠1=40°,则∠3=________;(3)由(1)、(2),请你猜想:当两平面镜a 、b 的夹角∠3=________时,可以使任何射到平面镜a 上的光线m ,经过平面镜a 、b 的两次反射后,入射光线m 与反射光线n 平行.请说明理由.17.如图,线段,点沿射线运动(不与、两点重合),连接、,作平分,作,设,1.如图1,当,探究与、的数量关系;2.当点位置发生变化时,请你利用提供的图2、3、4继续操作,探究⑴中的问题.18.如图,已知OD 是∠AOB 的角平分线,C 为OD 上一点.(1)过点 C 画直线CE∥OB,交OA 于E;(2)过点 C 画直线CF∥OA,交OB 于F;(3)过点 C 画线段CG⊥OA,垂足为G.根据画图回答问题:①线段______的长度就是点C到OA的距离;②比较大小:CE______CG(填“>”或“=”或“<”);③通过度量比较∠AOD与∠ECO的关系是:∠AOD______∠ECO(填“>”或“=”或“<”);19.已知:如图(1),直线AB∥CD,EF分别交AB、CD于E、F两点,∠BEF、∠DFE的平分线相交于点K.(1)求∠EKF的度数.(计算过程不准用三角形内角和)(2)如图(2),∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1,问∠K1与∠K的度数是否存在某种特定的等量关系?写出结论并证明.(3)在图2中作∠BEK1、∠DFK1的平分线相交于点K2,作∠BEK2、∠DFK2的平分线相交于点K3,依此类推,作∠BEK n、∠DFK n的平分线相交于点K n+1,请用含的n式子表示∠K n+1的度数.(直接写出答案,不必写解答过程)20.(1)、如图(1),AB∥CD,点P在AB、CD外部,若∠B=40°,∠D=15°,则∠BPD °.(2)、如图(2),AB∥CD,点P在AB、CD内部,则∠B,∠BPD,∠D之间有何数量关系?证明你的结论;(3)、在图(2)中,将直线AB绕点B按逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点M,如图(3),若∠BPD=90°,∠BMD=40°,求∠B+∠D的度数.21.AB∥CD,点C在点D的右侧,∠ABC,∠ADC的平分线交于点E(不与B,D点重合),∠ABC=n°,∠ADC=80°.(1)若点B在点A的左侧,求∠BED的度数;(用含n的代数式表示)(2)将(1)中线段BC沿DC方向平移,当点B移动到点A右侧时,请画出图形并判断∠BED的度数是否改变.若改变,请求出∠BED的度数(用含n的代数式表示);若不变,请说明理由.22.如图,直线AB、CD相交于点O,OM⊥AB (1)若∠1=∠2,求∠NOC的度数;(2)若∠1=14∠BOC,求∠MOD的度数.23.(1)、如图,AC平分∠DAB,∠1=∠2,试说明AB与CD的位置关系,并予以证明;(2)、如图,在(1)的条件下,AB的下方两点E,F满足:BF平分∠ABE,CF 平分∠DCE,若∠CFB=20°,∠DCE=70°,求∠ABE的度数.(3)、在前面的条件下,若P是BE上一点;G是CD上任一点,PQ平分∠BPG,PQ∥GN,GM平分∠DGP,下列结论:①∠DGP﹣∠MGN的值不变;②∠MGN 的度数不变.可以证明,只有一个是正确的,请你作出正确的选择并求值.【参考答案】1.A 2.A 3.D 4.D 5.B 6.D 7.B 8.B 9.A 10.A 11.2412.互相垂直.13.125︒或20︒14.68°15.2或616.(1)100°,90°;(2)90°,90°;(3)90°.17.(1)1122EPF βα∠=-,(2)1122EPF βα∠=-或1122EPF βα∠=+18.①CG ;②>;③=19.(1)∠EKF=90°;(2)∠K=2∠K ;(3)归纳总结得:∠K n+1=112n + ×90°.20.(1)、25°;(2)、∠BPD=∠B+∠D ;(3)、50°.21.(1)∠BED=n°+40°;(2)∠BED 的度数改变,∠BED=220°﹣n°.22.(1)90°;(2)150°23.(1)、AB ∥CD ;(2)、30°;(3)、①∠DGP ﹣∠MGN 的值随∠DGP 的变化而变化;②∠MGN 的度数为15°不变.。
第五章 相交线与平行线(过关测试)【培优卷】(解析版)
第五章 相交线与平行线(培优卷)考试时间:120分钟 满分:120分一、单选题(每小题3分,共18分)1.已知三角形ABC ,过AC 的中点D 作AB 的平行线,根据语句作图正确的是( )A .B .C .D .【答案】B 【分析】根据中点的定义,平行线的定义判断即可.【详解】解:过AC 的中点D 作AB 的平行线,正确的图形是选项B ,故选:B .【点睛】本题考查作图——复杂作图,平行线的定义,中点的定义等知识,解题关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.2.如图,直线1l ,2l 被3l 所截得的同旁内角为a ,b ,要使12l l ∥,只要使( )A .90a b +=°B .a b=C .116033a b +=°D .090a °<£°,90180b °£<°【答案】C【分析】由同旁内角互补两直线平行即可判定出12l l ∥,变形后即可得到正确的选项.【详解】解:当180°a b +=,即116033a b +=°时,12l l ∥,故C 正确.故选:C .【点睛】本题主要考查了平行线的判定,熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键.3.在同一平面内,两条直线的位置关系可能是( )A .相交或垂直B .垂直或平行C .平行或相交D .相交或垂直或平行【答案】C 【分析】根据两条直线有一个交点的直线是相交线,没有交点的直线是平行线,可得答案.【详解】在同一平面内,两条直线有一个交点,两条直线相交;在同一平面内,两条直线没有交点,两条直线平行,故C 正确;故选:C .【点睛】本题主要考查了同一平面内,两条直线的位置关系,注意垂直是相交的一种特殊情况,不能单独作为一类.4.(2021·安徽·统考中考真题)设a ,b ,c 为互不相等的实数,且4155b a c =+,则下列结论正确的是( )A .a b c>>B .c b a >>C .4()a b b c -=-D .5()a c a b -=-【答案】D【分析】举反例可判断A 和B ,将式子整理可判断C 和D .【详解】解:A .当5a =,10c =,41655b a c =+=时,c b a >>,故A 错误;B .当10a =,5c =,41955b a c =+=时,a b c >>,故B 错误;C .4()a b b c -=-整理可得1455b a c =-,故C 错误;D .5()a c a b -=-整理可得4155b a c =+,故D 正确;故选:D .【点睛】本题考查等式的性质,掌握等式的性质是解题的关键.5.已知直线a 、b 、c 在同一平面内,则下列说法错误的是( )A .如果a ∥b ,b ∥c ,那么a ∥cB .a ⊥b ,c ⊥b ,那么a ∥cC .如果a 与b 相交,b 与c 相交,那么a 与c 一定相交D .如果a 与b 相交,b 与c 不相交,那么a 与c 一定相交【答案】C【分析】根据如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行,同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行进行分析即可.【详解】A.如果a∥b,b∥c,那么a∥c,说法正确;B.a⊥b,c⊥b,那么a∥c,说法正确;C.如果a与b相交,b与c相交,那么a与c一定相交,说法错误;D.如果a与b相交,b与c不相交,那么a与c一定相交,说法正确.故选C.【点睛】此题主要考查了平行公理及推论,关键是熟练掌握所学定理.6.一副直角三角尺叠放如图所示,现将30°的三角尺ABC固定不动,将45°的三角尺BDE绕顶点B逆时Ð所有符合条件的针转动,点E始终在直线AB的上方,当两块三角尺至少有一组边互相平行时,则ABE度数为()A.45°,75°,120°,165°B.45°,60°,105°,135°C.15°,60°,105°,135°D.30°,60°,90°,120°【答案】A【分析】分DE∥AB,DE∥AC,BE∥AC,AC∥BD,分别画出图形,根据平行线的性质和三角板的特点求解.【详解】解:如图,①DE∥AB,∴∠D+∠ABD=180°∴∠ABD=90°∴∠ABE=45°;②DE∥AC,∵∠D=∠C=90°,∴B ,C ,D 共线,∴∠ABE=∠CBE+∠ABC=180°-45°+30°=165°;③BE ∥AC ,∴∠C=∠CBE=90°,∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=120°;④AC ∥BD ,∴∠ABD=180°-∠A=120°,∴∠ABE=∠ABD-∠DBE=75°,综上:∠ABE 的度数为:45°或75°或120°或165°.【点睛】本题考查了三角板中的角度计算,平行线的性质,解题的关键是注意分类讨论,做到不重不漏.二、填空题(每小题3分,共18分)7.“若0ab >,则0a >,0b >”_____命题(选填“是”或“不是”).【答案】是【分析】根据命题的定义判断即可.【详解】若0ab >,则0a >,0b >是一个命题.故答案为:是.【点睛】本题主要考查了命题的判断,掌握定义是解题的关键.即是表示判断一件事情的句子是命题. 8.有一个密码箱,密码由三个数字组成,甲、乙、丙三个人都开过,但都记不清了.甲记得:这三个数字分别是7,2,1,但第一个数字不是7;乙记得:1和2的位置相邻;丙记得:中间的数字不是1.根据以上信息,可以确定密码是__.【答案】127【分析】先根据第一个数字不是7,得出第一个数字是1或2,再根据1和2相邻,进而得出第三个是7,即可得出结论.【详解】解:∵三个数字分别是7,2,1,但第一个数字不是7,∴第一个数为1或2,∵1和2的位置相邻,∴前两个数字是1,2或2,1,第三位是数字7,∵中间的数字不是1,∴第一个数字只能是1,第二个数字为2,即密码为127,故答案为:127【点睛】此题主要考查了推理与论证,判断出第三个数是7是解本题的关键.9.(2022秋·黑龙江佳木斯·七年级校考期中)将直角梯形ABCD平移得梯形EFGH,若===,则图中阴影部分的面积为_________平方单位.10,2,4HG MC MG【答案】36【分析】根据图形可知图中阴影部分的面积等于梯形ABCD的面积减去梯形EFMD的面积,恰好等于梯形EFGH的面积减去梯形EFMD的面积.【详解】根据平移的性质得S梯形ABCD =S梯形EFGH,Q DC = HG = 10,MC= 2,MG = 4,\DM = DC - MC = 10 - 2 = 8,\S阴影= S梯形ABCD-S梯形EFMD=S梯形EFGH-S梯形EFMD =S梯形HGMD=()12DM HG MG+g=12×(8+10)×4= 36.故答案为:36.【点睛】主要考查了梯形的性质和平移的性质,要注意平移前后图形的形状和大小不变,本题的关键是能得到:图中阴影部分的面积等于梯形ABCD的面积减去梯形EFMD的面积,恰好等于梯形EFGH的面积减去梯形EFMD的面积.10.把命题“等角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式:__________________________. 是______命题(填“真”或“假”)【答案】如果两个角是两个相等角的余角,那么这两个角相等. 真【分析】根据命题由题设和结论组成,把条件“两个角是同角的余角”写在如果的后面,把结论“这两个角相等"写在那么的后面即可【详解】命题“同角的余角相等”改写成“如果..,那么."的形式是“如果两个角是同角的余角,那么这两个角相等”如果两个角是同角的余角,那么这两个角相等是真命题【点睛】此题考查命题与定理,掌握三角形的性质是解题关键11.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=5,现将△ABC沿着CB的方向平移到△A′B′C′的位置.若平移的距离为2,则图中阴影部分的面积为________.【答案】8【分析】图中阴影部分的面积等于大三角形的面积减小三角形的面积,根据面积公式计算即可.【详解】解:∵∠C=90°,AC=BC=5,平移的距离为2,∴BC′=DC′=3∴阴影面积=5×5÷2-3×3÷2=8.故答案为8.【点睛】本题考查平移的性质,比较简单,解答此题的关键是利用平移的性质得出小三角形的底和高.12.(2022秋·重庆·七年级重庆市綦江中学校考阶段练习)如图,直线MN∥PQ,点A在直线MN与PQ之间,点B在直线MN上,连接AB.∠ABM的平分线BC交PQ于点C,连接AC,过点A作AD⊥PQ交PQ于点D,作AF⊥AB交PQ于点F,AE平分∠DAF交PQ于点E,若∠CAE=45°,∠ACB=52∠DAE,则∠ACD的度数是_____.【答案】27°##27度【分析】延长FA与直线MN交于点K,通过角度的不断转换解得∠BCA=45°,然后结合图形,利用各角之间的关系求解即可.【详解】解:延长FA与直线MN交于点K,由图可知∠ACD=90°-∠CAD=90°-(45°+∠EAD)=45°-12∠FAD=45°-12(90°-∠AFD)=12∠AFD,∵MN∥PQ,∴∠AFD=∠BKA=90°-∠KBA=90°-(180°-∠ABM)=∠ABM-90°,∴∠ACD=12∠AFD=12(∠ABM-90°)=∠BCD-45°,即∠BCD-∠ACD=∠BCA=45°,∴∠ACD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠EAD=45°-25∠BCA=45°-18°=27°,故∠ACD的度数是27°,故答案为:27°.【点睛】本题利用平行线、垂直、角平分线综合考查角度的计算,理解题意,综合运用这些知识点是解题关键.三、解答题(每小题6分,共30分)13.(2022秋·福建福州·七年级统考期末)如图,已知AGF ABC Ð=Ð,12180Ð+Ð=°.(1)试判断BF 与DE 的位置关系,并说明理由;(2)若BF AC ^,2140Ð=°,求AFG Ð的度数.【答案】(1)//BF DE ,理由见解析;(2)50°【分析】(1)根据已知条件,先证明 FG//BC ,继而得 ∠1=∠3 ,根据 ∠1+∠2=180° 等量代换得 ∠3+∠2=180° ,从而得证;(2)由(1)的结论,求得 ∠1 ,再根据 BF ⊥AC ,求得 ∠1 的余角即可.【详解】解:()1//BF DE ,理由如下:AGF ABC Ð=ÐQ ,//GF BC \,13\Ð=Ð,12180Ð+Ð=°Q ,32180\Ð+Ð=°,//BF DE \;()2//BF DE Q ,BF AC ^,DE AC \^,12180Ð+Ð=°Q ,2140Ð=°,140\Ð=°,904050AFG \Ð=°-°=°.【点睛】本题考查了平行线的性质与判定,求一个角的余角,熟练平行线的性质与判定是解题的关键.14.学习了两条直线平行的判定方法1后,谢老师接着问:“由同位角相等,可以判断两条直线平行,那么能否利用内错角相等来判定两条直线平行呢?”如图,直线AB 和CD 被直线EF 所截,∠2=∠3,AB ∥CD 吗?说明理由.现请你补充完下面的说理过程:答:AB ∥CD理由如下:∵∠2=∠3(已知)且( )∴∠1=∠2∴AB ∥CD ( )【答案】∠1=∠3;对顶角相等;同位角相等,两直线平行【分析】根据已知条件及对顶角相等得出∠1=∠2,由同位角相等,两直线平行即可证明.【详解】解:AB ∥CD理由如下:∵∠2=∠3(已知)且∠1=∠3(对顶角相等)∴∠1=∠2∴AB ∥CD (同位角相等,两直线平行),故答案为:∠1=∠3;对顶角相等;同位角相等,两直线平行.【点睛】题目主要考查对顶角相等及平行线的判定,理解题意,熟练掌握平行线的判定是解题关键.15.如图,己知点P 、Q 分别在AOB Ð的边OA OB 、上,按下列要求画图:(1)画射线PQ;(2)过点P画垂直于射线OB的线段PC,垂足为点C;(3)过点Q画直线QM平行于射线OA.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】根据题意过用直尺作图,分别P画垂直于射线OB的射线PC,垂足为点C;过点Q画直线QM平行于射线OA.【详解】(1)如图,射线PQ为所求;(2)如图,线段PC为所求;(3)如图,直线QM为所求【点睛】此题主要考查了基本作图,正确把握相关定义是解题关键.16.指出下列命题的题设和结论,并判断它们是真命题还是假命题,如果是假命题,举出一个反例.(1)两个角的和等于平角时,这两个角互为补角;(2)内错角相等;(3)两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.【答案】(1)题设:如果两个角的和等于平角时,结论:那么这两个角互为补角;是真命题;(2)题设:如果两个角是内错角,那么这两个角相等;是假命题,反例见解析;(3)题设:如果两条平行线被第三条直线所截,结论:那么内错角相等.是真命题.【分析】(1)根据将命题写成“如果…,那么…”的形式,“如果”后面写题设,“那么”后面写结论可得题设和结论,根据平角的定义可得该命题是真命题;(2)根据将命题写成“如果…,那么…”的形式,“如果”后面写题设,“那么”后面写结论可得题设和结论,根据平行线的性质可得该命题是假命题;利用相交直线被第三条直线所截,内错角不相等可举反例;(3)根据将命题写成“如果…,那么…”的形式,“如果”后面写题设,“那么”后面写结论可得题设和结论,根据平行线的性质可得该命题是真命题;.【详解】(1)题设:如果两个角的和等于平角,结论:那么这两个角互为补角;是真命题;(2)题设:如果两个角是内错角,那么这两个角相等;是假命题,如图∠1与∠2是内错角,∠2>∠1;(3)题设:如果两条平行线被第三条直线所截,结论:那么内错角相等.是真命题.【点睛】本题考查了命题与定理的相关知识.将命题写成“如果…,那么…”的形式,就是要明确命题的题设和结论,“如果”后面写题设,“那么”后面写结论.关键是明确命题与定理的组成部分,会判断命题的题设与结论.17.如图,AE⊥BC,FG⊥BC,∠1=∠2,求证:AB∥CD.【答案】见解析【分析】首先由AE⊥BC,FG⊥BC可得AE∥FG,根据两直线平行,同位角相等及等量代换可推出∠A=∠2,利用内错角相等,两直线平行可得AB∥CD.【详解】证明:如图,设BC与AE、GF分别交于点M、N.∵AE⊥BC,FG⊥BC,∴∠AMB=∠GNB=90°,∴AE∥FG,∴∠A=∠1;又∵∠2=∠1,∴∠A=∠2,∴AB∥CD.【点睛】本题考查了平行线的性质及判定,熟记定理是正确解题的关键.四、解答题(每小题8分,共24分)18.如图,点O是直线AB上一点,OD平分∠AOC,∠BOE=3∠COE,∠DOE=81°,求∠BOE,∠AOD的度数.【答案】∠BOE=27°,∠AOD=72°.【分析】设∠COE=x ,则∠AOD=81°-x ,则∠BOE=3x ,∠AOC=2 ∠AOD ,由∠AOC+∠BOC=180° ,列方程2()81x °-+4x=180°,解方程求解即可.【详解】解:设∠COE=x ,∵∠BOE=3∠COE ,OD 平分∠AOC ,∠DOE DOC COE=Ð+Ð81ADO DOC DOE COE x\Ð=Ð=Ð-Ð=°-Q ∠BOE=3∠COE ,则∠BOE=3x ,∠AOC=2()81x °-,∵O 是直线AB 上一点,∴ ∠AOC+∠BOC=180° ,∴2()81x °-+4x=180°,解得9x =°∠AOD=81°-972°=°∴∠BOE=27°,∠AOD= 72°.【点睛】本题考查的是角平分线的定义,角的和差运算,邻补角的含义,解本题的关键是运用方程的思想解决几何问题.19.如图,直线AB ,CD 相交于点O ,OB 平分∠EOD .(1)若∠BOE :∠EOC =1:4,求∠AOC 的度数;(2)在(1)的条件下,画OF ⊥CD ,请直接写出∠EOF 的度数.【答案】(1)30°(2)30°或150°【分析】(1)设BOE x Ð=,则4EOC x Ð=,先根据角平分线的定义可得BOD BOE x Ð=Ð=,22EOD BOE x Ð=Ð=,再根据邻补角的定义求出x 的值,从而可得BOD Ð的度数,然后根据对顶角相等即可得;(2)先求出60,90EOD FOD Ð=°Ð=°,再分①点F 在AB 的上方和②点F 在AB 的下方两种情况,根据角的和差即可得.【详解】(1)解:由题意,设BOE x Ð=,则4EOC x Ð=,OB Q 平分EOD Ð,22EOD BOE x \Ð=Ð=,BOD BOE x Ð=Ð=,180EOD EOC Ð+Ð=°Q ,24180x x \+=°,解得30x =°,30BOD \Ð=°,由对顶角相等得:30AOC BOD Ð=Ð=°.(2)解:由(1)可知,23060EOD Ð=´°=°,OF CD ^Q ,90FOD \Ð=°,由题意,分以下两种情况:①如图,当点F 在AB 的上方时,则150EOF EOD FOD Ð=Ð+Ð=°;②如图,当点F 在AB 的下方时,则30EOF FOD EOD Ð=Ð-Ð=°;综上,EOF Ð的度数为30°或150°.【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算、对顶角相等、一元一次方程的应用,较难的是题(2),正确分两种情况讨论是解题关键.20.如图,已知直线,,AB CD AC 上的点M ,N ,E 满足ME NE ^,90,AME CNE ACD Ð+Ð=а的平分线CG 交MN 于G ,作射线GF AB ∥.(1)直线AB 与CD 平行吗?为什么?(2)若66CAB Ð=°,求CGF Ð的度数.【答案】(1)平行,理由见解析(2)123°【分析】(1)利用已知条件和三角形内角和定理,通过等量代换可得180A ACD Ð+Ð=°,由同旁内角互补,两直线平行,可得//AB CD ;(2)利用,66AB CD CAB Ð=°∥,求出ACD Ð,再利用角平分线的定义求出GCD Ð,再证GF CD ∥,利用两直线平行,同旁内角互补,即可求出CGF Ð.(1)解://AB CD .理由如下:∵ME NE ^,∴90MEN Ð=°,∴90AEM CEN Ð+Ð=°,∵180A AEM AME Ð+Ð+Ð=°,180ACD CEN CNE Ð+Ð+Ð=°,∴360A ACD AEM CEN AME CNE Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°,∵90AME CNE Ð+Ð=°,90AEM CEN Ð+Ð=°,∴180A ACD Ð+Ð=°,∴//AB CD ;(2)解:∵66AB CD CAB ∥,Ð=°,∴180114ACD CAB Ð=°-Ð=°,∵CG 平分ACD Ð,∴1572GCD ACD Ð=Ð=°,∵AB CD GF AB ∥,∥,∴GF CD ∥.∴180CGF GCD Ð+Ð=°,∴18057123CGF Ð=°-°=°.【点睛】本题考查平行线的判定与性质,角平分线的定义,三角形内角和定理,垂直的定义等,熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键.五、解答题(每小题9分,共18分)21.如图,//AC BD ,BC 平分ABD Ð,设ACB Ð为a ,点E 是射线BC 上的一个动点.(1)若30a =°时,且BAE CAE Ð=Ð,求CAE Ð的度数;(2)若点E 运动到1l 上方,且满足100BAE Ð=°,:5:1BAE CAE ÐÐ=,求a 的值;(3)若:()1BAE CAE n n ÐÐ=>,求CAE Ð的度数(用含n 和a 的代数式表示).【答案】(1)60°;(2)50°;(3)18021n a °--或18021n a°-+【分析】(1)根据平行线的性质可得CBD Ð的度数,再根据角平分线的性质可得ABE 的度数,应用三角形内角和计算BAC Ð的度数,由已知条件BAE CAE Ð=Ð,可计算出CAE Ð的度数;(2)根据题意画出图形,先根据:5:1BAE CAE ÐÐ=可计算出CAE Ð的度数,由100BAE Ð=°可计算出BAC Ð的度数,再根据平行线的性质和角平分线的性质,计算出CBD Ð的度数,即可得出结论;(3)根据题意可分两种情况,①若点E 运动到1l 上方,根据平行线的性质由a 可计算出CBD Ð的度数,再根据角平分线的性质和平行线的性质,计算出BAC Ð的度数,再:BAE CAE n ÐÐ=,BAE BAC CAE Ð=Ð+Ð,列出等量关系求解即可等处结论;②若点E 运动到1l 下方,根据平行线的性质由a 可计算出CBD Ð的度数,再根据角平分线的性质和平行线的性质,计算出BAC Ð的度数,再:BAE CAE n ÐÐ=,BAE BAC CAE Ð=Ð-Ð列出等量关系求解即可等处结论.【详解】解:(1)30a =°Q ,//AC BD ,30CBD \Ð=°,BC Q 平分ABD Ð,30ABE CBD \Ð=Ð=°,1801803030120BAC ABE a \Ð=°-Ð-=°-°-°=°,又BAE CAE Ð=ÐQ ,111206022CAE BAC \Ð=Ð=´°=°;(2)根据题意画图,如图1所示,100BAE Ð=°Q ,:5:1BAE CAE ÐÐ=,20CAE \Ð=°,1002080BAC BAE CAE \Ð=Ð-Ð=°-°=°,//AC BD Q ,180100ABD BAC \Ð=°-Ð=°,又BC Q 平分ABD Ð,111005022CBD ABD \Ð=Ð=´°=°,50CBD a \=Ð=°;(3)①如图2所示,//AC BD Q ,CBD ACB a \Ð=Ð=,BC Q 平分ABD Ð,22ABD CBD a \Ð=Ð=,1801802BAC ABD a \Ð=°-Ð=°-,又:BAE CAE n ÐÐ=Q ,():BAC CAE CAE n \Ð+ÐÐ=,(1802):CAE CAE n a °-+ÐÐ=,解得18021CAE n a°-Ð=-;②如图3所示,//AC BD Q ,CBD ACB a \Ð=Ð=,BC Q 平分ABD Ð,22ABD CBD a \Ð=Ð=,1801802BAC ABD a \Ð=°-Ð=°-,又:BAE CAE n ÐÐ=Q ,():BAC CAE CAE n \Ð-ÐÐ=,(1802):CAE CAE n a °--ÐÐ=,解得18021CAE n a°-Ð=+.综上CAE Ð的度数为18021n a °--或18021n a°-+.【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质,两直线平行,同位角相等.两直线平行,同旁内角互补. 两直线平行,内错角相等.合理应用平行线的性质是解决本题的关键.22.如图,//AB CD ,C 在D 的右侧,BE 平分ABC Ð,DE 平分ADC Ð,,BE DE 所在直线交于点E ,80ADC Ð=°.(1)若50ABC Ð=°,求BED Ð的度数;(2)将线段BC 沿DC 方向平移,使得点B 在点A 的右侧,其他条件不变,若120ABC Ð=°,求BED Ð的度数.【答案】(1)65°;(2)20°或160°【分析】1)作//EF AB ,如图1,利用角平分线的定义得到25ABE Ð=°,40EDC Ð=°,利用平行线的性质得到25BEF ABE Ð=Ð=°,40FED EDC Ð=Ð=°,从而得到BED Ð的度数;(2)作//EF AB ,如图2,利用角平分线的定义得到60ABE Ð=°,40EDC Ð=°,利用平行线的性质得到120BEF Ð=°,40FED EDC Ð=Ð=°,从而得到BED Ð的度数;如图3,利用//AB CD 得到240Ð=°,然后根据三角形外角性质可计算出BED Ð.【详解】解:(1)作//EF AB ,如图1,BE Q 平分ABC Ð,DE 平分ADC Ð,1252ABE ABC \Ð=Ð=°,1402EDC ADC Ð=Ð=°,//AB CD Q ,//EF CD \,25BEF ABE Ð=Ð=°Q ,40FED EDC Ð=Ð=°,254065BED \Ð=°+°=°;(2)作//EF AB ,如图2,BE Q 平分ABC Ð,DE 平分ADC Ð,1602ABE ABC \Ð=Ð=°,1402EDC ADC Ð=Ð=°,//AB CD Q ,//EF CD \,180120BEF ABE Ð=°-Ð=°Q ,40FED EDC Ð=Ð=°,12040160BED \Ð=°+°=°.如图3,BE Q 平分ABC Ð,DE 平分ADC Ð,11602ABC \Ð=Ð=°,1402EDC ADC Ð=Ð=°,//AB CD Q ,240\Ð=°,12BED Ð=Ð+ÐQ ,604020BED \Ð=°-°=°.如图4,BE Q 平分ABC Ð,DE 平分ADC Ð,1602ABE ABC \Ð=Ð=°,12402ADC Ð=Ð=°,//AB CD Q ,160ABE \Ð=Ð=°,3240Ð=Ð=°Q ,而12BED Ð=Ð+Ð,604020BED \Ð=°-°=°.综上所述,BED Ð的度数为20°或160°.【点睛】本题考查了平移的性质:解题的关键是把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同;新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等.也考查了平行线的性质.六、解答题(本大题共12分)23.(2022秋·贵州黔西·七年级校考阶段练习)已知:直线EF 分别与直线AB ,CD 相交于点G ,H ,并且∠AGE+∠DHE =180°.(1)如图1,求证:AB ∥CD ;(2)如图2,点M 在直线AB ,CD 之间,连接GM ,HM ,求证:∠M =∠AGM+∠CHM ;(3)如图3,在(2)的条件下,射线GH 是∠BGM 的平分线,在MH 的延长线上取点N ,连接GN ,若∠N=∠AGM ,∠M =∠N+12∠FGN ,求∠MHG 的度数.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)60°【分析】(1)根据已知条件和对顶角相等即可证明;(2)如图2,过点M 作MR ∥AB ,可得AB ∥CD ∥MR .进而可以证明;(3)如图3,令∠AGM =2α,∠CHM =β,则∠N =2α,∠M =2α+β,过点H 作HT ∥GN ,可得∠MHT =∠N =2α,∠GHT =∠FGN =2β,进而可得结论.【详解】(1)证明:如图1,∵∠AGE+∠DHE =180°,∠AGE =∠BGF .∴∠BGF+∠DHE =180°,∴AB ∥CD ;(2)证明:如图2,过点M 作MR ∥AB ,又∵AB ∥CD ,∴AB ∥CD ∥MR .∴∠GMR =∠AGM ,∠HMR =∠CHM .∴∠GMH =∠GMR+∠RMH =∠AGM+∠CHM .(3)解:如图3,令∠AGM =2α,∠CHM =β,则∠N =2α,∠M =2α+β,∵射线GH 是∠BGM 的平分线,∴()111809022FGM BGM AGM a Ð=Ð=°-Ð=°-,∴∠AGH =∠AGM+∠FGM =2α+90°﹣α=90°+α,∵12M N FGN Ð=Ð+Ð,∴1222FGN a b a +=+Ð,∴∠FGN =2β,过点H 作HT ∥GN ,则∠MHT =∠N =2α,∠GHT =∠FGN =2β,∴∠GHM=∠MHT+∠GHT=2α+2β,∠CHG=∠CHM+∠MHT+∠GHT=β+2α+2β=2α+3β,∵AB∥CD,∴∠AGH+∠CHG=180°,∴90°+α+2α+3β=180°,∴α+β=30°,∴∠GHM=2(α+β)=60°.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,对顶角的性质,角平分线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质.。
七年级下数学相交线与平行线培优训练(含解析)
相交线与平行线培优训练(含解析)一、单选题1.如图,已知直线AB 、CD 被直线AC 所截,AB ∥CD ,E 是平面内任意一点(点E 不在直线AB 、CD 、AC 上),设∠BAE=α,∠DCE=β.下列各式:①α+β,②α﹣β,③180°﹣α﹣β,,④360°﹣α﹣β,∠AEC 的度数可能是( )A . ①②③B . ①②④C . ①③④D . ①②③④【答案】B【解析】试题解析:点E 有4种可能位置.(1)如图,由AB ∥CD , 可得1AOC DCE β∠=∠=,11AOC BAE AE C ∠=∠+∠, 1AE C βα∴∠=-.(2)如图,过2E 作AB 平行线,则由AB ∥CD ,可得2212BAE DCE αβ∠=∠=∠=∠=,, 2AE C αβ∴∠=+.(3)如图,由AB ∥CD ,可得33BOE DCE β∠=∠=, 333BAE BOE AE C ∠=∠+∠,3AE C αβ∴∠=-.(4)如图,由AB ∥CD ,可得444360BAE AE C DCE ∠+∠+∠=︒, 4360AE C αβ∴∠=︒--.AEC ∴∠的度数可能为360βααβαβαβ-+-︒--,,,.故选:D .2.如图, //AB CD ,用含123∠∠∠,,的式子表示4∠,则4∠的值为( )A . 123∠+∠-∠B . 132∠+∠-∠C . 18031?2+∠-∠-∠D . 231180∠+∠-∠-【答案】D【解析】试题解析:过点E 作EG ∥AB ,过点F 作FH ∥CD ,∵AB ∥CD ,∴AB ∥CD ∥EG ∥FH ,∴∠1=∠AEG ,∴∠GEF=∠2-∠1,∵EG ∥FH ,∴∠EFH=180°-∠GEF=180°-(∠2-∠1)=180°-∠2+∠1,∴∠CFH=∠3-∠EFH=∠3-(180°-∠2+∠1)=∠3+∠2-∠2-180°,∵FH ∥CD ,∴∠4=∠3+∠2-∠1-180°,故选:D .3.下列说法:①平方等于其本身的数有0,±1;②32xy 3是4次单项式;③将方程x−10.3−x+20.5=1.2中的分母化为整数,得10x−103−10x+205=12;④平面内有4个点,过每两点画直线,可画6条.其中正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个【答案】A【解析】根据负数没有平方根,可知①不正确;根据单项式的意义,可知次数为所有字母因式的指数和,故②正确;根据分数的基本性质,可知将方程x−10.3−x+20.5=1.2中的分母化为整数,得10x−103−10x+205=1.2,故③不正确;根据两点确定一条直线,可知平面内有4个点,过每两点画直线,条数不确定:当四个点在同一直线上时,只有一条;当只有每任意三点不在同一直线上的四个点才能画6条直线,故④不正确.故选:A.点睛:本题考查了数的平方,单项式的概念,方程的分母化为整数,点与直线条数的关系.4.如图,将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放,两个三角板的一直角边重合,含30︒角直角三角板的斜边与纸条一边重合,含45︒角的三角板的一个顶点在纸条的另一边,则1∠的度数是()A.14°B.15°C.20°D.30°【答案】B【解析】分析:过A点作AB∥a,利用平行线的性质得AB∥b,所以∠1=∠2,∠3=∠4=30°,加上∠2+∠3=45°,易得∠1=15°.详解:如图,过A点作AB∥a,∴∠1=∠2,∵a∥b,∴AB∥b,∴∠3=∠4=30°,而∠2+∠3=45°,∴∠2=15°,∴∠1=15°.故选:B.点睛:本题考查了平行线的性质,解题时注意:两直线平行,内错角相等.5.下列说法不正确的是()A.过任意一点可作已知直线的一条平行线B.在同一平面内两条不相交的直线是平行线C.在同一平面内,过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直D.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短【答案】A【解析】试题分析:平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故A不正确;在同一平面内两条不相交的直线是平行线,这是平行线的概念,故B正确;在同一平面内,过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直,故C正确;直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,故D正确;故选:A.6.6.如图所示,AB∥CD,EF,HG相交于点O,∠1=40°,∠2=60°,则∠EOH的角度为()A.80°B.100°C.140°D.120°【答案】B【解析】试题分析:如图,根据平行线的性质,可知∠3=∠2=60°,然后根据三角形的外角等于不相邻两内角的和,可得∠EOH=100°.故选:B7.如图,直角三角形ABC的直角边AB=6,BC=8,将直角三角形ABC沿边BC的方向平移到三角形DEF的位置,DE交AC于点G,BE=2,三角形CEG的面积为13.5,下列结论:①三角形ABC平移的距离是4;②EG=4.5;③AD∥CF;④四边形ADFC的面积为6.其中正确的结论是()A.①②B.②③C.③④D.②④【答案】B【解析】分析:(1)对应线段的长度即是平移的距离;(2)根据EC的长和△CEG的面积求EG;(3)平移前后,对应点的连线平行且相等;(4)根据平行四边形的面积公式求.详解:(1)因为点B,E是对应点,且BE=2,所以△ABC平行的距离是2,则①错误;②根据题意得,13.5×2=(8-2)EG,解得EG=4.5,则②正确;③因为A,D是对应点,C,F是对应点,所以AD∥CF,则③正确;④平行四边形ADFC的面积为AB·CF=AB·BE=6×2=12,则④错误.故选B.点睛:本题考查了平移的性质,平移的性质有:①平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小;②平移得到的图形与原图形中的对应线段平行(或在同一条直线上)且相等,对应角相等;对应点连线平行(或在同一条直线上)且相等.8.如图,AB∥CD,EG⊥AB,垂足为G.若∠1=50°,则∠E=().A.60°B.50°C.40°D.30°【答案】C【解析】试题分析:先根据对顶角相等求出∠1的对顶角,然后根据两直线平行,同位角相等,求出直角三角形的一个内角,然后可求得∠E=90°-50°=40°.故选:C9.①如图1,AB∥CD,则∠A +∠E +∠C=180°;②如图2,AB∥CD,则∠E =∠A +∠C;③如图3,AB∥CD,则∠A +∠E-∠1=180° ;④如图4,AB∥CD,则∠A=∠C +∠P.以上结论正确的个数是( )A.、1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】①如图1,过点E作EF∥AB,因为AB∥CD,所以AB∥EF∥CD,所以∠A+∠AEF=180°,∠C+∠CEF=180°,所以∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°,则①错误;②如图2,过点E作EF∥AB,因为AB∥CD,所以AB∥EF∥CD,所以∠A=∠AEF,∠C=∠CEF,所以∠A+∠C=∠AEC+∠AEF=∠AEC,则②正确;③如图3,过点E作EF∥AB,因为AB∥CD,所以AB∥EF∥CD,所以∠A+∠AEF=180°,∠1=∠CEF,所以∠A+∠AEC-∠1=∠A+∠AEC-∠CEF=∠A+∠AEF=180°,则③正确;④如图4,过点P作PF∥AB,因为AB∥CD,所以AB∥PF∥CD,所以∠A+∠APF,∠C+∠CPF,所以∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC,则④正确;故选C.10.给出下列说法:(1)两条直线被第三条直线所截,同位角相等;(2)不相等的两个角不是同位角;(3)平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交,则它与另一条也相交;(4)从直线外一点到这条直线的垂线段,叫做该点到直线的距离;(5)过一点作已知直线的平行线,有且只有一条。
数学第五章 相交线与平行线的专项培优练习题(含答案
,
,
,
本题的答案为:1, .
【点睛】
本题考查了平面内直线两两相交交点数的计算,涉及到一种很重要的数学方法数学归纳法的初步应用接触,此方法在推导证明中比较常用.
13.【解析】
【分析】
首先过点E作EM∥AB,过点F作FN∥AB,由AB∥CD,即可得EM∥AB∥CD∥FN,然后根据两直线平行,同旁内角互补,由∠BED=110°,即可求得∠ABE+∠CDE=25
13.如图, 平分 平分 ,则 ______.
14. 与 的两边互相垂直,且 ,则 的度数为_________.
15.如图,图①是长方形纸带,∠DEF=25°,将纸带沿EF折叠成图②,则图②中的∠CFG的度数是_____________.
16.两个角的两边分别平行,一个角是50°,那么另一个角是__________.
∴∠ABF+∠CDF= (∠ABE+∠CDE)=125°,
【详解】
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠BFE=∠DEF=26°,
∴∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2∠BFE-∠EFG=180°-3×26°=102°,
故选:A.
【点睛】
本题考查了翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、平行线的性质;熟练掌握翻折变换和矩形的性质,弄清各个角之间的关系是解决问题的关键.
17.如图,已知EF∥GH,A、D为GH上的两点,M、B为EF上的两点,延长AM于点C,AB平分∠DAC,直线DB平分∠FBC,若∠ACB=100°,则∠DBA的度数为________.
18.如图所示,AB∥CD,EC⊥CD.若∠BEC=30°,则∠ABE的度数为_____.
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35.如图,∠ 1= 70°,∠ 2= 110°,∠ C=∠ D ,试探索∠ A 与∠ F 有怎样的数量关系,并 说明理由.
1 个单位长度.
( 1)求出四边形 ABCD 的面积;
( 2)请画出将四边形 ABCD 向上平移 5 个单位长度, 再向左平移 2 个单位长度后所得的
四边形 A′ B′ C′D ′.
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42.如图所示,点 B,E 分别在 AC, DF 上, BD,CE 均与 AF 相交,∠ 1=∠ 2,∠ C=∠ D , 求证:∠ A=∠ F .
A .∠ 3=∠ 4
B .∠ 1=∠ 5
C.∠ 1+∠ 2= 180° D.∠ 3=∠ 5
14.如图,三角形 ABC 沿着由点 B 到点 E 的方向平移到三角形 DEF 的位置,已知 BC= 8,
EC= 5,那么平移的距离为(
)
A .13
B.8
C. 5
15.如图, AB∥ EF ,则∠ A、∠ C、∠ D、∠ E 满足的数量关系是(
( 1)请画出平移前后的△ ABC 和△ A′ B′ C′;
( 2)利用网格画出△ ABC 中 BC 边上的中线 AD ;
( 3)利用网格画出△ ABC 中 AB 边上的高 CE;
( 4)△ A′ B′ C′的面积为
.
第11页(共 53页)
45.如图,直线 EF 分别与直线 AB、CD 相交于点 M、 N,且∠ 1=∠ 2,MO 、NO 分别平分 ∠ BMF 和∠ END,试判断△ MON 的形状,并说明理由.
相交线与平行线的计算与证明能力训练培优卷
相交线与平行线的计算与证明能力训练培优卷(解答题20题)1.如图,点A、B、C、D在一条直线上,CE与BF交于点G,∠A=∠1,CE∥DF,求证:∠E =∠F.2.如图,直线AB∥CD,BC平分∠ABD,∠1=54°,求∠2的度数.3.光线在不同介质中传播速度不同,从一种介质射向另一种介质时会发生折射.如图,水面AB与水杯下沿CD平行,光线EF从水中射向空气时发生折射,光线变成FH,点G在射线EF上,已知∠HFB=20°,∠FED=45°,求∠GFH的度数.4.阅读理解:如图①,图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中,若线段PA1最短,则线段PA1的长度称为点P到图形l的距离.例如:图②中,线段P1A的长度是点P1到线段AB的距离;线段P2H的长度是点P2到线段AB的距离.解决问题:如图③,平面直角坐标系xOy中,点A、B的坐标分别为(8,4),(12,7),点P从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动了t秒.(1)当t=4时,求点P到线段AB的距离;(2)t为何值时,点P到线段AB的距离为5?(3)t满足什么条件时,点P到线段AB的距离不超过6?(直接写出此小题的结果)5.如图,AB∥CD,△EFG的顶点F,G分别落在直线AB,CD上,GE交AB于点H,GE平分∠FGD.若∠EFG=90°,∠E=35°,求∠EFB的度数.6.如图,AB∥CD,点E是CD上一点,∠AEC=42°,EF平分∠AED交AB于点F,求∠AFE 的度数.7.如图,AB∥CD,∠1=∠2.求证:AM∥CN.8.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=80°.(1)求∠BAD的度数;(2)AE平分∠BAD交BC于点E,∠BCD=50°.求证:AE∥DC.9.如图,AB∥CD,∠B=∠D,直线EF与AD,BC的延长线分别交于点E,F,求证:∠DEF =∠F.10.如图,直线EF 分别与直线AB ,CD 交于点E ,F .EM 平分∠BEF ,FN 平分∠CFE ,且EM ∥FN .求证:AB ∥CD .11.如图,已知AB ∥CD ,直线分别交AB 、CD 于点E ,F ,∠EFB =∠B ,FH ⊥FB .(1)已知∠B =20°,求∠DFH ;(2)求证:FH 平分∠GFD ;(3)若∠CFE :∠B =4:1,则∠GFH 的度数 .12.已知AM ∥CN ,点B 为平面内一点,AB BC ⊥于B .(1)如图1,直接写出∠A 和∠C 之间的数量关系是______________;(2)如图2,过点B 作BD AM ⊥于点D ,求证:ABD C ∠=∠.13.已知AB ∥CD ,点C 在点D 的右侧,∠ABC ,∠ADC 的平分线交于点E (不与B ,D 点重合).∠ABC=n °,∠ADC=80°.(1)若点B 在点A 的左侧,求∠BED 的度数(用含n 的代数式表示);(2)将(1)中的线段BC 沿DC 方向平移,当点B 移动到点A 右侧时,请画出图形并判断∠BED 的度数是否改变.若改变,求出∠BED 的度数(用含n 的代数式表示)若不变说明理由14.长江汛期即将来临,防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯,便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图1,灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转,灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是a度/秒,灯B转动的速度是b度/秒,且a、b满足|a﹣3b|+(a+b﹣4)2=0.假定这一带长江两岸河堤是平行的,即PQ∥MN,且∠BAN=45°(1)求a、b的值;(2)若灯B射线先转动20秒,灯A射线才开始转动,在灯B射线到达BQ之前,A灯转动几秒,两灯的光束互相平行?(3)如图2,两灯同时转动,在灯A射线到达AN之前.若A射出的光束与B射出的光束交于点C,过C作CD⊥AC交PQ于点D,则在转动过程中,∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化?若不变,请求出其数量关系;若改变,请求出其取值范围.15.已知直线AB∥CD.(1)如图1,直接写出∠ABE,∠CDE和∠BED之间的数量关系是.(2)如图2,BF,DF分别平分∠ABE,∠CDE,那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系?请说明理由.(3)如图3,点E在直线BD的右侧,BF,DF仍平分∠ABE,∠CDE,请直接写出∠BFD和∠BED 的数量关系 .16.如图,已知l1∥l2,MN 分别和直线l1、l2交于点A 、B ,ME 分别和直线l1、l2交于点C 、D ,点P 在MN 上(P 点与A 、B 、M 三点不重合).(1)如果点P 在A 、B 两点之间运动时,∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系请说明理由;(2)如果点P 在A 、B 两点外侧运动时,∠α、∠β、∠γ有何数量关系(只须写出结论).17.实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.(1)如图,一束光线m 射到平面镜a 上,被a 反射到平面镜b 上,又被b 反射.若被b 反射出的光线n 与光线m 平行,且∠1=50°,则∠2= °,∠3= °.(2)在(1)中,若∠1=55°,则∠3= °;若∠1=40°,则∠3= °.(3)由(1)、(2),请你猜想:当两平面镜a 、b 的夹角∠3= °时,可以使任何射到平面镜a 上的光线m ,经过平面镜a 、b 的两次反射后,入射光线m 与反射光线n 平行.你能说明理由吗?321nm b aP D C B A O x y 18.如图,在平面直角坐标系中,点A ,B 的坐标分别为A (m ,0), B (n ,0)且m 、n 满足|m+2|+n 5-=0,现同时将点A ,B 分别向上平移3个单位,再向右平移2个单位,分别得到点A ,B 的对应点C ,D ,连接AC ,BD ,CD .(12分)(1)求点C ,D 的坐标及四边形OBDC 的面积;(2)点P 是线段BD 上的一个动点,连接PC ,PO ,当点P 在BD 上移动时(不与B ,D 重合)DCP BOP CPO∠+∠∠的值是否发生变化,并说明理由。
相交线与平行线拓展与探究(培优篇)(含答案)
(2)当点,在线段EG的延长线上时,,请先在图2中补全图形,猜想并证明:nBEG与匚HFG之间的数量关系.9.如图1,已 4B口CD,□C=□4(1)求证:AD BC;(2)如图2,若点E是在平行线CQ内,右侧的任意一点,探究BAE,□CQE,之间的数量关系,并证明.(3)如图3,若□C=90%且点上在线段8C上,。
尸平分□EQC,射线。
尸在□即C的内部,且交于点/,交/£延长线于点孔□JEZ)+□∕IEC= 180°,□直接写出口ZEQ与□WC的数量关系:.口点P在射线DA上,旦满足[OEP=2□片口。
£4 - □PEA = = [ DEB,补全图形后,求匚"。
14的度数10. (1)如图,若口8+nθ=匚£ 则宜线48与CD有什么位置关系?请证明(不需要注明理由).(2)如图中,AB//CD,又能得出什么结论?请直接写出结论_________________________ .(3)如图□,己知AB//CD,则□l+□2+…〃的度数为.(1)如图1,求证:ABHCD ;(2)如图2,作 的平分线交CD 于点/,点G 为上一点,连接FG,若NC~G 的平分线交线段AG 于点",连接AC,若NACE = ∕β4C+∕BGM,过点〃作切交尸G的延长线于点且3NE-5Z4FH = 18。
,求/£4b+ NGWH 的度数.12.已知,45二CQ,点E 为射线EG 上一点. (1)如图 1,若口区4F=25°, ΠEDG=45o f W ∣J ∖2AED=.(2)如图2,当点£在bG 延长线上时,此时C 。
与力£交于点〃,贝I 」/4、EAF 、EDG 11.已知, AE∕∕BD, ZA = AD.图1(1)如图1,求证:ABHCD ;(2)如图2,作 的平分线交CD 于点/,点G 为上一点,连接FG,若NC~G 的平分线交线段AG 于点",连接AC,若NACE = ∕β4C+∕BGM,过点〃作切交尸G的延长线于点且3NE-5Z4FH = 18。
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第十二讲 相交线与平行线板块一 相交线、对顶角、邻补角、垂直相交直线:如果直线a 与直线b 只有一个公共点,则称直线a 与直线b 相交。
相交线的性质:两直线相交只有一个交点。
对顶角:一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫做对顶角。
如图中,1∠和2∠,3∠和4∠是对顶角。
对顶角的一个重要性质是:对顶角相等。
邻补角:两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角。
如图中,1∠和3∠,1∠和4∠,2∠和3∠,2∠和4∠互为邻补角。
注意:互为邻补角的两个角一定互补,但两个角互补不一定是互为邻补角。
垂线:垂直是相交的一种特殊情况,两条直线互相垂直,其中一条叫另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足。
如图所示,可以记作“AB CD ⊥于O ” 注意:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直;直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短,简单说成:垂线段最短。
【例1】已知:如图1,直线AB 、CD 交于点O ,且120AOD BOC ∠+∠=°,求AOC ∠的度数。
图1OBDAC1234abOC BD AO1234ab O【例2】如图2,AB 、CD 、EF 交于点O ,25AOE ∠=°,45DOF ∠=°,求AOD ∠的对顶角和邻补角的度数。
图2OF EBD AC【例3】如图3,直线AB 、CD 交于O ,OE 平分AOD ∠,30BOC BOD ∠=∠-°,求COE ∠的度数。
图3O EBD A C【例4】如图1,已知90ACB ∠=°.CD AB ⊥,垂足为D ,则点A 到直线CB 的距离为线段 的长;线段DB 的长为点 到直线 的距离。
【例5】如图2,在直角三角形ABC 中,90C ∠=°,AB c =,AC b =,BC a =,则||||||AC AB AB BC AC BC AB -+-++-= 。
【例6】如图3,直线AB 与CD 相交于O ,OE CD ⊥,OF AB ⊥, 65DOF ∠=°,求AOC ∠和BOE ∠ 的度数。
图1D C BA cb aC BA 图2图2OFEDC BA 图3【例7】(北京市海淀区2009-2010学年初一第一学期期末考试)如图4,已知直线AB 和CD 相交于点O ,COE ∠是直角,OF 平分AOE ∠。
若35COF ∠=°,求BOD ∠的度数。
板块二 “三线八角”同位角:两条直线被第三条直线所截,位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同一侧,并且在第三条直线的同旁)叫做同位角。
如图所示,1∠与5∠,2∠与6∠,3∠与7∠,4∠与8∠都是同位角。
内错角:两条直线被第三条直线所截,两个角都在两条直线之间,并且位置交错(即分别在第三条直线的两旁),这样的一对角叫做内错角。
如图中,3∠与5∠,4∠与6∠都是内错角。
同旁内角:两条直线被第三条直线所截,两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线的同旁,这样的一对角叫做同旁内角,如图中,3∠与6∠,4∠与5∠都是同旁内角。
【例8】(北京市海淀区2009-2010学年初一第一学期期末考试)下列图形中1∠和2∠是同位角的是( )21211221A .B .C .D .图4 F E O DCBA F E DCB A 87654321F EDCB A 87654321【例9】(2008年清华附中统练)如图1,①1∠与3∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角。
②3∠与4∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角。
③2∠与4∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角。
④5∠与6∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角。
【例10】用数码标出图中与1∠是同位角的所有角。
板块三 平行线的判定及性质平行线定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
平行线之间的距离处处相等。
平行公理: 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
简单说成:平行于同一条直线的两条直线平行。
平行线的判定方法:⑴平行线的定义(在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线);⑵平行公理推论:平行于同一条直线的两条直线平行; ⑶垂直于同一条直线的两条直线平行;⑷同位角相等,两条直线平行; ⑸内错角相等,两条直线平行; ⑹同旁内角互补,两直线平行。
平行线的性质:⑴平行线不相交(根据定义) ⑵两条直线平行,同位角相等 ⑶两条直线平行,内错角相等⑷两条直线平行,同旁内角互补【例11】(北京市海淀区2009-2010学年初一第一学期期末考试)如图,AB CD ∥,B D ∠=∠,请说明12∠=∠,请你完成下列填空,把解答过程补充完整。
解:∵AB CD ∥, ∴180BAD D ∠+∠=°( )。
∵B D ∠=∠, ∴BAD ∠+ 180=°(等量代换)。
∴ (同旁内角互补,两直线平行)。
∴12∠=∠( )。
图1l 3l2l 16543217ba654321l 3l 2l 121D CBA【例12】(北京市朝阳区2009~2010学年初一第一学期期末统一考试)填空,完成下列说理过程。
如图,DP 平分∠ADC 交AB 于点P ,∠DPC =90°,如果 ∠1+∠3=90°,那么∠2和∠4相等吗?说明理由。
解:∵DP 平分∠ADC , 。
∴∠3=∠( ) ∵∠APB = °,且∠DPC =90°,∴∠1+∠2=90°。
又∵∠1+∠3=90°, ∴∠2=∠3。
( ) ∴∠2=∠4。
【例13】(2009年湖北黄石)如图,已知直线AB CD ∥, 115C ∠=°,25A ∠=°,求E ∠的度数为 度。
【例14】(09福建泉州丰泽)如图,不添加辅助线,请写出一个能判定EB AC ∥的条件: 。
【例15】如图,点E 在AC 的延长线上,给出下列条件:①12∠=∠;②34∠=∠;③A DCE ∠=∠;④D DCE ∠=∠; ⑤180A ABD ∠+∠=°;⑥180A ACD ∠+∠=°;⑦AB CD =能说明AC BD ∥的条件有 。
【例16】(2009重庆綦江)如图,直线EF 分别与直线AB 、CD 相交于点G 、H ,已知1260∠=∠=°,GM平分HGB ∠交直线CD 于点M 。
则3∠=( )A .60°B .65°C .70°D .130°【例17】如图,已知AD BC ⊥于点D ,EG BC ⊥于点G ,1E ∠=∠。
证明:AD 平分BAC ∠。
4321E DCB AA E BG C DM H F 1 2 3 图3E D C B AF A B C D E4321PDAB C D EG 321【例18】已知如图,12∠=∠,34∠=∠,56∠=∠,求证:CE BF ∥。
测试题1.⑴(09湖南株洲)如图1,AB CD ∥,AD AC ⊥,32ADC ∠=°,则CAB ∠的度数是 。
图1DCBA⑵(09山东威海)如图2,直线l 与直线a ,b 相交。
若a b ∥,170∠=°,则2∠的度数是 。
图221ba l⑶(09江西)如图3,直线m n ∥,155∠=°,245∠=°,则3∠的度数为( ) A .80°B .90°C .100°D .110°图3nm 3212.已知:如图,AB 、CD 交于点O ,OA 平分EOD ∠,80EOD ∠=°。
⑴ 写出图中所有的对顶角、邻补角;⑵ 求BOC ∠。
3.已知如图,1C ∠=∠,2B ∠=∠,MN 与EF 平行吗?为什么?8765G 3F 421E B DA COEBDA CN M 1A4.(2009年东城区测试题)⑴根据右图在( )内填注理由:①∵B CEF ∠=∠(已知)∴AB CD ∥( ) ②∵B BED ∠=∠(已知)∴AB CD ∥( )③∵180B CEB ∠+∠=°(已知) ∴AB CD ∥( )⑵如图:已知12∠=∠,A C ∠=∠,求证: ①AB DC ∥ ②AD BC ∥证明:∵12∠=∠( )∴( )∥( )( ) ∴C CBE ∠=∠( ) 又∵C A ∠=∠( ) ∴A ∠= ( ) ∴( )∥( )( )⑶ 如右图, ∵3E ∠=∠(已知),12∠=∠(已知)又∵∠ =∠ ( ) ∴∠ =∠ ( ) ∴AB CE ∥( )5.如图,已知DA AB ⊥,DE 平分ADC ∠,CE 平分BCD ∠,1290∠+∠=°,求证:BC AB ⊥。
6.如图,已知12180∠+∠=,3B ∠=∠,试判断AED ∠与ACB ∠的大小关系,并对于结论进行证明。
图2F C EB D A 图1E D CBA 2112图3F 3C E BD A 12A B C DE 123ABD E F答案1.⑴122°;⑵110°;⑶ C2.⑴对顶角:AOD∠∠与BOD∠、AOC∠与BOC邻补角:BOC∠与DOE∠、∠、COE∠与AOC∠与BOD∠∠。
BOC∠、AOCBOE∠与AOE∠与AOD⑵40BOC∠=°。
3.∵1C∥(内错角相等,两直线平行)∠=∠(已知),∴MN BC∵2B∠=∠(已知),∴EF BC∥(同位角相等,两直线平行)∴MN EF∥(平行于同一条直线的两直线平行)4.⑴①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行。
⑵已知,AB,CD;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等;已知;CBE∠;等量代换;AD,BC;同位角相等,两直线平行。
⑶ 2;3;对顶角相等;1;E;等量代换;内错角相等,两直线平行。
5.略6.略。