第1章：流体力学基本概念

t 时刻，
t t 时刻，
泰勒级数展开， ( x x, y y, z z , t t )
( x, y , z , t )
t x y z t x y z
D 1 lim ( x x, y y, z z , t t ) ( x, y, z, t ) Dt t 0 t x y z lim t 0 t t x t y t z u v w t x y z
x t

x0 , y0 , z0
x y
x , z ,t
y t

x0 , y0 , z0
z
x , y ,t
z t
x0 , y0 , z0
u v w t x y z
矢量和张量形式的随体导数
D u1 u2 u3 uk Dt t x1 x2 x3 t xk
1.1 连续介质假说
流体质点 由确定流体分子组成的流体团，流体由流体质点连续无间隙地 组成，流体质点的体积在微观上充分大，在宏观上充分小。 流体质点是流体力学研究的最小单元。 当讨论流体速度、密度等变量时，实际上是指流体质点的速 度和密度。
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
欧拉参考系 着眼于空间点，在空间的每一点上描述流体运动随时间的变化。 独立变量x, y, z, t
连续介质方法
1.1 连续介质假说
当流体分子的平均自由程远远小于流场的最小宏观尺度时， 可用统计平场的方法定义场变量如下：
u lim (
V
v m ) m
lim (
V
m ) V

在微观上充分大，宏观上充分小。
连续介质方法的适用条件
1.1 连续介质假说
1 L3 n
d t CV
u ndA CS
高斯公式，
D D dv [ ( u )] dv , dv [ （ uk )]dv V V V V Dt t Dt t xk
1.5
流线、迹线和脉线
1．流线
某一时刻，由许多流体质点构成流场中的一条空间曲线，曲 线上各点的速度矢量方向和曲线在该点的切线方向相同。
n为单位体积的分子数（特征微观尺度是分子自由程）， L为最小宏观尺度。 在通常温度和压强下，边长2微米的立方体中大约包含2×108个气 体分子或2×1011液体分子；在日常生活和工程中，绝大多数场合 均满足上述条件，连续介质方法无论对气体和液体都适用。
1.1 连续介质假说
连续介质方法失效场合
导弹和卫星在高空的稀薄气体中飞行，此时微观特征尺度接近宏 观特征尺度； 研究激波结构，此时宏观特征尺度接近微观特征尺度。
CSI
I
dA1
II
u
dA3
III
n
u
D DN d Dt Dt
t
n
t t
N sys (t t ) N sys (t ) DN lim Dt t 0 t {N (t t ) N I (t t ) N III (t t )} NCV (t ) lim CV t t 0 N (t t ) NCV (t ) N I (t t ) N III (t t ) lim CV lim lim t t t t 0 t 0 t 0
式中x0, y0, z0 是 t =t 0 时刻流体质点空间位置的坐标。可以是曲
线坐标，也可以是直角坐标，是流体质点的标号。
独立变量x0, y0, z0, t。 x, y, z 不再是独立变量，x - x0 = u ( t - t0), y - y0 = v (t - t0), z - z0 = w (t - t0), T =T(x0, y0, z0, t), ρ=ρ(x0, y0, z0, t)。 用x0, y0, z0来区分不同的流体质点，而用t来确定流体质点 的不同空间位置。
，即一个观察者随同流体一起运动，并且一直盯着某一特定流 体质点时所看到的 随时间的变化。
D 是拉格朗日参考系下的时间导数。 Dt
D Dt
在欧拉参考系下的表达式（在欧拉参考系下推导 ）
( x, y, z, t )
( x x, y y, z z, t t )
把时间当作常数积分以上方程组，即可得流线方程。 电力线，磁力线，用于理论分析。
V
l
流线的性质
v1
（1）流线彼此不能相交。
交点
v2
s1
（2）流线是一条光滑的曲线， 不可能出现折点。
s2
v1
折点
v2
s
（3）定常流动时流线形状不变，流线和迹线重合；非定 常流动时流线形状发生变化。
流线的性质
（4）流场中每一点都有流线通过，流线充满整个流场， 这些流线构成某一时刻流场内的流谱。
欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
欧拉参考系： u u ( x, y, z, t ) u 某一空间点上的流体速度变化，称当地导数或局部 导数。 t x , y , z
拉格朗日参考系：
u u ( x0 , y0 , z0 , t )
t 0
DN d u ndA u ndA CS1 CS III Dt t CV CS1 CSIII CS DN d u ndA CS Dt t CV
CSIII CSI I
dA1
II
u
dA3
III
n
u
t
n
u t x0 , y0 , z0
流体质点的速度变化，即加速度。
Du 在欧拉参考系下用 表示流体质点的速度变化。 Dt
随体导数
流体质点携带的物理量随时间的变化率称为质点的随体倒数。 随体导数又称质点导数，物质导数。
设场变量 ，则
D 表示某一流体质点的 随时间的变化 Dt
t t
物理意义
DN d u ndA CS Dt t CV
CSIII
CSI I
dA1
II
u
dA3
III
n
u
t
DN Dt
n
t t
系统中的变量N对时间的变化率 固定控制体内的变量N对时间的变化率， 由 的不定常性引起 N 流出控制体的净流率，由于系统的 空间位置和体积随时间改变引起
u u ( x, y, z, t )
( x, y, z, t )
当采用欧拉参考系时，定义了空间的场。
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
拉格朗日参考系
着眼于每个流体质点，描述每个流体质点自始至终的运动过 程，即它们的位置随时间变化的规律，
r r ( x0 , y0 , z0 , t )
第一章
流体力学基本概念
1.1 连续介质假说
推导流体力学基本方程的两条途径
统计方法
把流体看作由运动的分子组成，认为宏观现象起源于分子运动，采用统 计平均的方法建立宏观物理量满足的方程，并确定流体的性质。 对于偏离平衡态不远的流体可推导出质量、动量和能量方程，给出输运 系数（μ ，κ ）的表达式。 对于单原子气体已有成熟理论，对多原子气体和液体理论尚不完整。 连续介质方法 把流体看作连续介质，认为流体是由质点组成的，质点是由分子组 成的，质点在微观上充分大，在宏观上充分小。假设场变量（速度 、密度、压强等）在连续介质的每一点都有唯一确定的值，连续介 质遵守质量、动量和能量守恒定律。从而推导出场变量的微分方程 组。流体力学采用连续介质的方法。
D u Dt t
D Dt
u u i v j w k i j k u v w x y z x y z


随体导数； 欧拉时间导数，称局部导数或就地导数，表示空间某一点流 体物理量随时间的变化； 称对流导数或位变导数，流体物性随空间坐标变化而变化，当流 体质点空间位置随时间变化时，在流动过程中会取不同的 值， 因此也会引起 的改变。
D DtBiblioteka 在欧拉参考系下的表达式（在拉格朗日参考系下推导）
x x( x 0 , y 0 , z 0 , t )
y y( x0 , y0 , z0 , t )
z z ( x0 , y 0 , z 0 , t )
此时 x, y , z 不再是独立变量，而是
x0 , y0 , z 0 , t 的函数

设 (r , t ) 是单位体积流体的物理分布函数，而 统体积内包含的总物理量，则
DN D dv V Dt Dt
N dv 是系 V
举例， 取 " , u,
1 2 u "， 则 N 为 "M , 1 MU , 1 MU 2 " 2 2 2
公式推导
CSIII
系统和CV 在初始时刻 重合，CV固定不动
t
uk
x k
上式把拉格朗日导数和欧拉参考系中的就地导数和对流导数联系起来。
1.4
雷诺输运定理
对系统体积分的随体导数
通常的力学和热力学定理都是应用于系统的，于是就会遇到求对系 统体积分的随体导数。 D dk 动量定理 F udv k udv F V Dt V dt
系统和控制体
系统
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
某一确定流体质点集合的总体。随时间改变其空间位置、大小和形状；系统边 界上没有质量交换；始终由同一些流体质点组成。 在拉格朗日参考系中，通常把注意力集中在流动的系统上，应用质量、动量和 能量守恒定律于系统，即可得到拉格朗日参考系中的基本方程组