江苏省扬州市宝应中学2017-2018学年高三上学期第一次月考数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年江苏省扬州市宝应中学高三（上）第一次月考数
学试卷
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1．已知集合A={1，4}，B={0，1，a}，A∪B={0，1，4}，则a= ．
2．若（其中表示复数z的共轭复数），则复数z的模为．
3．运行如图语句，则输出的结果T= ．
4．已知向量=（1，2），=（﹣3，2），则（+）•= ．
5．若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行则实数a= ．6．若“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假，则实数a的取值范围为．
7．若m∈（0，3），则直线（m+2）x+（3﹣m）y﹣3=0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为．
8．要得到函数y=cos2x的图象，需将函数y=sin（2x+）的图象向左至少平移
个单位．
9．直线2x﹣y+3=0与椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点和一个顶点的连线垂直，则该椭圆的离心率为．
10．已知函数y=x2+（a∈R）在x=1处的切线与直线2x﹣y+1=0平行，且此切线也是圆x2+y2+mx ﹣（3m+1）y=0的切线，则m= ．
11．已知函数f（x）=x3+x2+（2a﹣1）x+a2﹣a+1若函数f（x）在（1，3]上存在唯一的极值点．则实数a的取值范围为．
12．若函数f（x）=2sin（x+）（2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l
与f（x）的图象交于B、C两点，O为坐标原点，则（+）•= ．
13．已知函数f（x）=﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m，且y=|f（x）|在[﹣1，0]上为单调减函数，则实数m的取值范围为．
14．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）和圆C2：x2+y2=r2都过点P（﹣1，0），且椭圆C1
的离心率为，过点P作斜率为k1，k2的直线分别交椭圆C1，圆C2于点A，B，C，D（如图），k1=λk2，若直线BC恒过定点Q（1，0），则λ= ．
二、解答题：（本大题共6小题，共90分．）
15．如图，在△ABC中，∠C=45°，D为BC中点，BC=2．记锐角∠ADB=α．且满足cosα=﹣．
（1）求cos∠CAD；
（2）求BC边上高的值．
16．已知圆C的一般方程为：x2+y2﹣2x+2y﹣2=0
（1）过点P（3，4）作圆C的切线，求切线方程；
（2）直线l在x，y轴上的截距相等，且l与圆C交于A，B两点，弦长|AB|=，求直线l的方程．
17．设p：函数的定义域为R，q：不等式，对一切正实数x恒成立，如果“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．
18．为丰富农村业余文化生活，决定在A，B，N三个村子的中间地带建造文化中心．通过测量，发现三个村子分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B和以边AB的中心M为圆心，以MC
长为半径的圆弧的中心N处，且AB=8km，BC=4km．经协商，文化服务中心拟建在与A，B 等距离的O处，并建造三条道路AO，BO，NO与各村通达．若道路建设成本AO，BO段为每公里a万元，NO段为每公里a万元，建设总费用为w万元．
（1）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离N村的距离；
（2）若建设总费用最少，求该文化中心离N村的距离．
19．已知A（﹣2，0），B（2，0），点C、D依次满足．
（1）求点D的轨迹；
（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为
，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，设点Q的坐标为（1，0），是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PA，PB都相切，如存在，求出P点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．
20．已知函数f（x）=x3﹣x﹣．
（I）求函数y=f（x）的零点的个数；
（Ⅱ）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（0，）内有极值，求实数a的取
值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意t∈（1，+∞），s∈（0，1），求证：g（t）﹣g（s）＞e+2﹣．
2014-2015学年江苏省扬州市宝应中学高三（上）第一次
月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1．已知集合A={1，4}，B={0，1，a}，A∪B={0， 1，4}，则a= 4 ．
考点：并集及其运算．
专题：集合．
分析：由已知中集合A={1，4}，B={0，1，a}，A∪B={0，1，4}，可得：a∈A，再由集合元素的互异性，可得答案．
解答：解：∵集合A={1，4}，B={0，1，a}，A∪B={0，1，4}，
∴a∈A，
即a=1，或a=4，
由集合元素的互异性可得：a=1不满足条件，
故a=4，
故答案为：4
点评：本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集及其运算，难度不大，属于基础题．
2．若（其中表示复数z的共轭复数），则复数z的模为 3 ．
考点：复数求模．
专题：计算题．
分析：先设z=a+bi，则=a﹣bi，由可得a2+b2，从而可求复数z的模
解答：解：设z=a+bi，则=a﹣bi
∵
∴（a+bi）（a﹣bi）=a2﹣b2i2=a2+b2=9
∴|z|==3
故答案为：3
点评：本题主要考查了复数基本概念；复数的模，共轭复数及复数的基本运算，属于基本试题
3．运行如图语句，则输出的结果T= 625 ．
考点：伪代码．
专题：计算题；图表型．
分析：本题所给的是一个循环结构的算法语句，由图可以看出，此是一个求等差数列和的算法语句，由公式计算出T的值，即可得到答案．
解答：解：T=1，I=3，
第1次循环，T=1+3，I=5＜50，符合循环条件，
第2次循环，T=1+3+5，I=7＜50，符合循环条件，
…，
第23次循环，T=1+3+…+47，I=49＜50，符合循环条件，
第24次循环，T=1+3+…+49，I=51＞50，不符合循环条件，输出T，
∴T=1+3+…+49==625，
∴输出的结果T=625．
故答案为：625．
点评：本题考查了伪代码，即循环结构的算法语句，解题的关键是理解题设中语句的意义，从中得出算法，由算法求出输出的结果．属于基础题．
4．已知向量=（1，2），=（﹣3，2），则（+）•= 14 ．
考点：平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．
专题：平面向量及应用．
分析：由向量的坐标运算可得+=（﹣2，4），由数量积的坐标运算可得．
解答：解：∵=（1，2），=（﹣3，2），
∴+=（1，2）+（﹣3，2）=（﹣2，4），
∴（+）•=﹣2×（﹣3）+4×2=14
故答案为：14
点评：本题考查平面向量的数量积的坐标运算，属基础题．
5．若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行则实数a= ﹣1 ．
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．
专题：直线与圆．
分析：由直线的平行关系可得a的方程，解方程验证可得．
解答：解：∵直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行，
∴a（a﹣1）﹣2×1=0，解得a=﹣1或a=2，
经验证当a=2时，直线重合，a=﹣1符合题意，
故答案为：﹣1
点评：本题考查直线的一般式方程和直线的平行关系，属基础题．
6．若“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假，则实数a的取值范围为[0，4）．
考点：特称．
专题：函数的性质及应用；简易逻辑．
分析：“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假，即ax2+ax+1＞0恒成立，分当a=0时和当a≠0时两种情况分别讨论满足条件的a的取值，最后综合讨论结果，可得答案．
解答：解：∵“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假，
∴ax2+ax+1＞0恒成立，
当a=0时，1＞0恒成立，满足条件，
当a≠0时，若ax2+ax+1＞0恒成立，
则，
解得：a∈（0，4），
综上所述：a∈[0，4），
故答案为：[0，4）
点评：本题考查的知识点是特称，恒成立问题，其中正确理解“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假的含义是ax2+ax+1＞0恒成立，是解答的关键．
7．若m∈（0，3），则直线（m+2）x+（3﹣m）y﹣3=0与x轴、y轴围成的三角形的面积小
于的概率为．
考点：几何概型．
专题：概率与统计．
分析：由题意，分别令x，y=0可得截距，进而可得××＜，解不等式可得m
的范围，由几何概型求出相等长的比值即可．
解答：解：∵m∈（0，3），∴m+2＞0，3﹣m＞0
令x=0，可解得y=，令y=0，可解得x=，
故可得三角形的面积为S=××，
由题意可得××＜，即m2﹣m﹣2＜0，
解得﹣1＜m＜2，结合m∈（0，3）可得m∈（0，2），
故m总的基本事件为长为3的线段，满足题意的基本事件为长为2的线段，
故可得所求概率为：
故答案为：
点评：本题考查几何概型的求解决，涉及直线的方程和一元二次不等式的解集，属中档题．
8．要得到函数y=cos2x的图象，需将函数y=sin（2x+）的图象向左至少平移个单位．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
解答：解：y=cos2x=sin（2x+），﹣=，把将函数y=sin（2x+）的图象向左至少平移个单位，
可得函数ysin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x的图象，
故答案为：．
点评：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．
9．直线2x﹣y+3=0与椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点和一个顶点的连线垂直，则该
椭圆的离心率为．
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由题意得：K AB=﹣=﹣，从而b=，由a2=b2+c2得：的比值，进而求出e=的值．解答：解：画出草图，如图示：
，
由题意得：k AB=﹣=﹣，
∴b=，由a2=b2+c2得：=，
∴e==，
故答案为：．
点评：本题考查了椭圆的简单性质，考查直线的斜率问题，是一道基础题．
10．已知函数y=x2+（a∈R）在x=1处的切线与直线2x﹣y+1=0平行，且此切线也是圆x2+y2+mx
﹣（3m+1）y=0的切线，则m= ．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题；导数的概念及应用；直线与圆．
分析：求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件可得a，求得切点，求出切线方程，求出圆的圆心和半径，应用直线与圆相切则d=r，由点到直线的距离公式，列出方程，解出m即可．
解答：解：∵函数y=x2+（a∈R）在x=1处的切线与直线2x﹣y+1=0平行，
∴f′（1）=2，
由于f′（x）=2x﹣，
即f′（1）=2﹣a=2，解得a=0，
函数y=x2，
则切点为（1，1），切线方程为：y﹣1=2（x﹣1），
即2x﹣y﹣1=0，
由于圆x2+y2+mx﹣（3m+1）y=0的圆心为（﹣，），半径为，
由直线与圆相切得，=，
化简，解得m=．
故答案为：．
点评：本题考查导数的应用：求切线方程，考查直线与圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．
11．已知函数f（x）=x3+x2+（2a﹣1）x+a2﹣a+1若函数f（x）在（1，3]上存在唯一的极值点．则实数a的取值范围为[﹣7，﹣1）．
考点：利用导数研究函数的极值．
专题：计算题；导数的综合应用．
分析：求出函数的导数，由已知条件结合零点存在定理，可得f′（1）•f′（3）＜0或f′（3）=0，解出不等式求并集即可．
解答：解：∵f（x）=x3+x2+（2a﹣1）x+a2﹣a+1，
∴f′（x）=x2+2x+2a﹣1，
∵函数f（x）在（1，3]上存在唯一的极值点，
∴f′（1）•f′（3）＜0或f′（3）=0，
∴（1+2+2a﹣1）（9+6+2a﹣1）＜0或9+6+2a﹣1=0，
即有（a+1）（a+7）＜0或a=﹣7
解得﹣7≤a＜﹣1．
故答案为：[﹣7，﹣1）．
点评：本题考查导数的运用：求函数的极值，考查函数的零点存在定理，注意导数为0与函数的极值的关系，属于易错题，也是中档题．
12．若函数f（x）=2sin（x+）（2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l
与f（x）的图象交于B、C两点，O为坐标原点，则（+）•= 32 ．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：根据“f（x）=2sin（x+）（2＜x＜10）的图象与x轴交于点A”求出A点坐标，
设B（x1，y1），C（x2，y2），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解
解答：解：由f（x）=2sin（x+）=0，可得x+=kπ，
∴x=6k﹣2，k∈Z
∵2＜x＜10
∴x=4即A（4，0）
设B（x1，y1），C（x2，y2）
∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点
∴B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0
∴（+）•=（x1+x2，y1+y2）•（4，0）=4（x1+x2）=32
故答案为：32．
点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键正弦函数对称性质的应用．
13．已知函数f（x）=﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m，且y=|f（x）|在[﹣1，0]上为单调减函数，则实数m的取值范围为m≤0或m≥2 ．
考点：函数单调性的判断与证明．
专题：函数的性质及应用．
分析：通过讨论判别式△的范围，得到不等式组，解出即可．
解答：解：判别式△=m2﹣8m+12=（m﹣2）（m﹣6），
①当△≤0时，即2≤m≤6时，函数f（x）≤0恒成立，
∴|f（x）|=﹣f（x）=x2﹣（m﹣2）x+m﹣2，
对称轴方程为：x=，
∴当≥0即m≥2时符合题意（如图1），
此时2≤m≤6；
②当△＞0时，即m＜2或m＞6时，
方程f（x）=0的两个实根为x=，
不妨设x1＜x2，由题意及图象得x1≥0 或，
即m﹣2≥（如图2）或（如图3）
解得m≥2或m≤0，此时m≤0或m＞6，
综上得m的取值范围是：m≤0或m≥2；
故答案为：m≤0或m≥2．
点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了数形结合思想，分类讨论思想，是一道中档题．
14．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）和圆C2：x2+y2=r2都过点P（﹣1，0），且椭圆C1
的离心率为，过点P作斜率为k1，k2的直线分别交椭圆C1，圆C2于点A，B，C，D（如图），k1=λk2，若直线BC恒过定点Q（1，0），则λ= 2 ．
考点：直线与圆锥曲线的关系．
专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据k1=λk2，应该找到k1，k2的关系式，再结合直线分别与直线相交，交点为A，B，C，D，用k把相应的点的坐标表示出来（将直线代入椭圆的方程消去关于x的一元二次方程，借助于韦达定理将A，B，C，D表示出来），再想办法把Q点坐标表示出来，再利用B，C，Q 三点共线构造出关于k1，k2的方程，化简即可．
解答：解：
设A（x A，y A）、B（x B，y B）、C（x C，y C）、D（x D，y D），
由得：，
∵x P=﹣1，∴，则点A的坐标为：
由得：，
∵x P=﹣1，∴，则点B的坐标为：
同理可得：，
根据B、C、Q三点共线，，结合Q（1，0）
所以=λ（）
化简得λ=2
故答案为：2．
点评：本题的计算量较大，关键是如何找到k1，k2间的关系表示出来，最终得到λ的值．
二、解答题：（本大题共6小题，共90分．）
15．如图，在△ABC中，∠C=45°，D为BC中点，BC=2．记锐角∠ADB=α．且满足cosα=﹣．
（1）求cos∠CAD；
（2）求BC边上高的值．
考点：解三角形的实际应用．
专题：应用题；解三角形．
分析：（1）由二倍角公式cos2α=2cos2α﹣1，可求cosα，根据∠CAD=α﹣45°，即可求cos∠CAD；
（2）由（1）得，sin∠CAD=sin（α﹣45°）sinαcos45°﹣sin45°cosα=，再由正弦定理，可求AD，从而可由h=ADsin∠ADB求解．
解答：解：（1）∵cos2α=2cos2α﹣1，∴cos2α=，
∵α∈（0°，45°），∴cosα=，
∴，
∵∠CAD=α﹣45°，∴=．
（2）由（1）得，sin∠CAD=sin（α﹣45°）=sinαcos45°﹣sin45°cosα=，
在△ACD中，由正弦定理得：，
∴AD===5，
∴高h=ADsin∠ADB==4．
点评：本题主要考查了同角平方关系、和差角公式及正弦定理在求解三角形中的应用，解题的关键是熟练应用基本公式．
16．已知圆C的一般方程为：x2+y2﹣2x+2y﹣2=0
（1）过点P（3，4）作圆C的切线，求切线方程；
（2）直线l在x，y轴上的截距相等，且l与圆C交于A，B两点，弦长|AB|=，求直线l的方程．
考点：圆的切线方程；直线与圆的位置关系．
专题：直线与圆．
分析：（1）把圆C的一般方程化成标准方程，分当斜率k不存在时和当斜率k存在时两种情况，分别根据圆心到直线的距离等于半径，求出圆的方程，综合可得结论．
（2）由题意可得，弦心距d=1，再分直线经过原点和直线不经过原点两种情况，利用点到直线的距离公式求得截距a的值，可得直线l的方程．
解答：解：（1）圆C的一般方程为：x2+y2﹣2x+2y﹣2=0化成标准方程为：（x﹣1）2+（y+1）2=4．
当斜率k不存在时，圆的切线的方程为x=3．
当斜率k存在时，设切线的方程为：y﹣4=k（x﹣3），化成一般式为kx﹣y+4﹣3k=0，
圆心（1，﹣1）到直线kx﹣y+4﹣3k=0的距离为d==r=2，解得，．
所以直线l的方程为：21x﹣20y+17=0．
综上得：直线l的方程为：x=3或21x﹣20y+17=0．
（2）当直线过原点时，设直线的方程为：y=kx，化成一般式为：kx﹣y=0．
∵弦长|AB|=，所以圆心（1，﹣1）到kx﹣y=0的距离d=1，则，
解得k=0，所以直线方程为：y=0（舍去）．
当直线不过原点时，设直线的方程为：，化成一般式为：x+y﹣a=0，
所以，，解得：，所以直线l方程为：．
综上得：直线l的方程为：．
点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．
17．设p：函数的定义域为R，q：不等式，对一切正实数x恒成立，如果“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．
考点：的真假判断与应用．
专题：综合题．
分析：由已知中p：函数的定义域为R，q：不等式
，对一切正实数x恒成立，我们可以求出p与q为真或假时，实数a的取值范围，又由“p或q”为真，“p且q”为假，构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到实数a的取值范围．
解答：解：p为真⇔在R上恒成立．
当a=0时，x＜0，解集不为R
∴a≠0∴得a＞2
∴P真⇔a＞2（4分）
=
对一切正实数x均成立
∵x＞0∴∴∴
∴q真⇔a≥1（8分）
∵p，q一真一假
∴或（10分）
∴a∈[1，2]（12分）
点评：本题考查的知识点是的真假判断与应用，其中根据已知条件，求出p与q为真或假时，实数a的取值范围，是解答本题的关键．
18．为丰富农村业余文化生活，决定在A，B，N三个村子的中间地带建造文化中心．通过测量，发现三个村子分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B和以边AB的中心M为圆心，以MC
长为半径的圆弧的中心N处，且AB=8km，BC=4km．经协商，文化服务中心拟建在与A，B 等距离的O处，并建造三条道路AO，BO，NO与各村通达．若道路建设成本AO，BO段为每公里a万元，NO段为每公里a万元，建设总费用为w万元．
（1）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离N村的距离；
（2）若建设总费用最少，求该文化中心离N村的距离．
考点：函数模型的选择与应用．
专题：应用题；函数思想；函数的性质及应用．
分析：（1）设∠AOB=θ，三条道路建设的费用相同，则
，利用三角变换求解．
（2）总费用，即
，求导判断极值点，令
，再转换为三角变换求值解决．解答：解：（1）不妨设∠AOB=θ，依题意得，
且，由，
若三条道路建设的费用相同，则
所以，所以．
由二倍角的正切公式得，
即，
答：该文化中心离N村的距离为．
（2）总费用
即，
令
当，
所以当有最小值，
这时，
答：该文化中心离N村的距离为．
点评：本题综合考查了函数的性质在实际问题中的应用，转换为三角函数最值求解．19．已知A（﹣2，0），B（2，0），点C、D依次满足．
（1）求点D的轨迹；
（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为
，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，设点Q的坐标为（1，0），是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PA，PB都相切，如存在，求出P点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．
专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（1）设C（x0，y0），D（x，y），由可得C、D两点坐标关系①，由||=2可得②，由①②消掉x0，y0即得所求轨迹方程，进而得其轨迹；
（2）设直线l的方程为y=k（x+2）椭圆的方程，由l与圆相切
可得k2值，联立直线方程与椭圆方程消掉y并代入k2值，可用a表示出由中点坐标公式及MN的中点到y轴的距离为可得a的方程，解出即可；
（3）假设存在椭圆上的一点P（x0，y0），使得直线PA，PB与以Q为圆心的圆相切，易知点Q到直线PA，PB的距离相等，根据点到直线的距离公式可得一方程，再由点P在椭圆上得一方程联立可解得点P，进而得到圆的半径；
解答：解：（1）设．
=（x+2，y），则，
．
所以，点D的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆．
（2）设直线l的方程为y=k（x+2）．①
椭圆的方程；②
由l与圆相切得：．
将①代入②得：（a2k2+a2﹣4）x2+4a2k2x+4a2k2﹣a4+4a2=0，
又，可得，
有，
∴，解得a2=8．
∴．
（3）假设存在椭圆上的一点P（x0，y0），使得直线PA，PB与以Q为圆心的圆相切，
则Q到直线PA，PB的距离相等，
A（﹣2，0），B（2，0），PA：（x0+2）y﹣y0x﹣2y0，PB：（x0﹣2）y﹣y0x+2y0=0，
==d2，
化简整理得：，
∵点P在椭圆上，∴，
解得：x0=2或x0=8（舍）
x 0=2时，，r=1，
∴椭圆上存在点P，其坐标为（2，）或（2，﹣），使得直线PA，PB与以Q为圆心的圆（x﹣1）2+y2=1相切．
点评：本题考查直线方程、圆的方程、椭圆方程及其位置关系，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，能力要求较高．
20．已知函数f（x）=x3﹣x﹣．
（I）求函数y=f（x）的零点的个数；
（Ⅱ）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（0，）内有极值，求实数a的取
值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意t∈（1，+∞），s∈（0，1），求证：g（t）﹣g（s）＞e+2﹣．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：综合题；导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）易知x=0是y=f（x）的零点，从而x＞0时，f（x）=x（x2﹣1﹣），设φ（x）=，利用导数及零点判定定理可求函数零点个数；
（Ⅱ）化简得g（x）=lnx+，其定义域是（0，1）∪（1，+∞），求导得g'（x）
=，令h（x）=x2﹣（2+a）x+1，则问题转化为h（x）=0有两个不同的根x1，x2，从而△=（2+a）2﹣4＞0，且一根在（0，）内，不妨设0＜x1＜，再由x1x2=1，得0＜x1＜＜e＜x2，根据零点判定定理可知只需h（）＜0，由此可求a的范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可求y=g（x）在（1，+∞）内的最小值为g（x2），y=g（x）在（0，1）内的最大值为g（x1），由（Ⅱ）同时可知x1+x2=2+a，x1x2=1，，x2∈（e，+
∞），故g（t）﹣g（s）≥g（x2）﹣g（x1）=lnx2+﹣
==（x2＞e），令k（x）=lnx2+x
﹣=2lnx+x﹣，利用导数可判断k（x）在（e，+∞）内单调递增，从而有k（x）＞k（e），
整理可得结论；
解答：解：（Ⅰ）∵f（0）=0，∴x=0是y=f（x）的一个零点，
当x＞0时，f（x）=x（x2﹣1﹣），设φ（x）=，
φ'（x）=2x+＞0，∴φ（x）在（0，+∞）上单调递增．
又φ（1）=﹣1＜0，φ（2）=3﹣＞0，
故φ（x）在（1，2）内有唯一零点，
因此y=f（x）在（0，+∞）内有且仅有2个零点；
（Ⅱ）g（x）=+lnx=+lnx=lnx+，
其定义域是（0，1）∪（1，+∞），
则g'（x）===，
设h（x）=x2﹣（2+a）x+1，要使函数y=g（x）在（0，）内有极值，则h（x）=0有两个不同的根x1，x2，
∴△=（2+a）2﹣4＞0，得a＞0或a＜﹣4，且一根在（0，）内，不妨设0＜x1＜，
又x1x2=1，∴0＜x1＜＜e＜x2，
由于h（0）=1，则只需h（）＜0，即+1＜0，
解得a＞e+﹣2；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当x∈（1，x2）时，g'（x）＜0，g（x）递减，x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）递增，
故y=g（x）在（1，+∞）内的最小值为g（x2），即t∈（1，+∞）时，g（t）≥g（x2），
又当x∈（0，x1）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（x1，1）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，
故y=g（x）在（0，1）内的最大值为g（x1），即对任意s∈（0，1），g（s）≤g（x1），
由（Ⅱ）可知x1+x2=2+a，x1x2=1，，x2∈（e，+∞），
因此，g（t）﹣g（s）≥g（x2）﹣g（x1）=lnx2+﹣
==（x2＞e），
设k（x）=lnx2+x﹣=2lnx+x﹣，k'（x）=+1+＞0，
∴k（x）在（e，+∞）内单调递增，
故k（x）＞k（e）=2+e﹣，即g（t）﹣g（s）＞e+2﹣．
点评：本题考查利用导数研究函数的零点、极值、最值，考查转化思想，考查学生综合运用数学知识分析解决问题的能力，综合性强，能力要求比较高．。