2020秋高三开学考试数学试题(解析版)

故答案为：3.
【点睛】
一般地，抛物线 y2 2px p 0
上的点 Px0,
y0 到焦点的距离为 x0
p 2
，该距离
实际上是 P 到准线的距离，我们常常利用这个性质实现到焦点的距离的转化.
10．若 a,b1,2,3,
,11
，构造方程 x2 a2
y2 b2
1，则该方程表示的曲线为落在矩形区
域 x, y | x 11, y 9 内的椭圆的概率是_________.
故直线 AB 的方程为： x sin y cos 0 . 4
圆心 0, 0 到直线 AB 的距离为 d
00 4
1，
sin2 cos2 4
所以直线 AB 与圆相交.
故选：C.
【点睛】
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本题考查直线方程的求法以及直线与圆的位置关系的判断，求直线方程时注意判断直线 的几何要素中哪些是已知，哪些是未知的，从而假设合适的直线方程形式来求直线方程， 也可以利用方程的思想即找一个二元一次方程，而已知的点的坐标均满足该方程，那么 该方程即为所求的直线方程（此为设而不求法）.直线与圆的位置关系的判断依据圆心 到直线的距离与半径的大小关系进行判断即可.
由 a＞0，b＞0，x＞a 且 y＞b，由不等式的性质可得：x+y＞a+b，且 xy＞ab． 反之不成立，例如还可以得到 x＞b，y＞a．
x y a b x a
因此
x y ab
是
y
b
的必要不充分条件．
故选：B．
【点睛】
本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中
档题．
x y 2, 2．若变量 x，y 满足{2x 3y 9, 则 x2+y2 的最大值是
x 0,
A．4
B．9
C．10
D．12
【答案】C
【解析】试题分析：画出可行域如图所示，点 A（3， 1）到原点距离最大，所以
(x2 y2 )max 10 ，选 C.
【考点】简单线性规划
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基本事件的个数的计算，计数时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也
可以利用计数原理或排列组合的方法来计数（个数较大时）.
11．已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积
．
【答案】 3 3
【解析】【详解】试题分析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，且底面积为
S 1 2 3 1 3 ，高为 1，所以该几何体的体积为V 1 Sh 1 3 1 3 .
所以椭圆在矩形区域内的 a, b 的不同取法总数为108 8 72 ，
设 A 为事件“该方程表示的曲线为落在矩形区域 x, y | x 11, y 9 内的椭圆”，
则 P A 72 .
121
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故答案为： 72 . 121
【点睛】
本题考查古典概型的概率的计算，解决此类问题的关键是基本事件的总数和随机事件中
下列四个命题：① m1 n1 m n ；② m n m1 n1；③ m1 与 n1 相交 m 与 n 相
交或重合；④ m1 与 n1 平行 m 与 n 平行或重合；其中不正确的命题个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】解：因为选项 A 中，投影垂直时，原来的直线不一定垂直，错误
【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看， 简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的 斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题 的能力.
3．平面 外有两条直线 m 和 n ，如果 m 和 n 在平面 内的射影分别是 m1 和 n1 ，给出
2
，
a
1
1 2
，
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解得 1 a 3 ．
2
2
x,
xm
15．已知函数
f
(x)
x2
2mx
4m,
x
m
其中 m 0 ，若存在实数 b，使得关于 x
的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是________________.
【答案】 3Βιβλιοθήκη Baidu+
【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数 b，使得关于 x
抛物线的准线为 x 1 ，如图，过 P 作准线的垂线，垂足为 E ， 则 PE PF ，所以 AP PF AP PE AE d ，其中 d 为 A 到准线的距离.
因 A2,2 ，故 d 2 1 3 ，
故 AP PF 的最小值为 3 ，当且仅当 A, P, E 三点共线时取最小值.
所以展开式中 x7 的系数为
．故答案为 56 ．
【考点】二项式定理 【名师点睛】①求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定 项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件， 即 n，r 均为非负整数，且 n≥r）；第二步是根据所求的指数，再求所要求的项．
2020 秋高三开学考试数学试题
一、单选题
1．若
a
0
，
b
0
，则
x x
y a y ab
b
是
x
y
a b
的（
A．充分非必要
B．必要非充分
C．充要
必要
）条件 D．既非充分又非
【答案】B 【解析】由 a＞0，b＞0，x＞a 且 y＞b，可得：x+y＞a+b，且 xy＞ab．反之不成立，例 如 x＞b，y＞a． 【详解】
求该最小值的最大值. 【详解】
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如图，设 BD BA ，则 BP BA DP ， 当 变化时， DP 的最小值为 P 到 AB 的距离 d 即 m d ，
当 P 到 AB 的垂线过圆心时， d 最大，此时圆心到 AB 的距离为 1 1 AB 2 ， 4
A．相离
B．相切
C．相交
D．不能确定
【答案】C
【解析】利用设而不求可求 AB 的直线方程，再利用圆心到直线的距离可判断直线与圆
的位置关系.
【详解】
因为 a2 sin a cos ，故点 A a2 , a 在直线 x sin y cos 0 上，
4
4
同理， B b2 ,b 在直线 x sin y cos 0 上， 4
13．已知函数 f x x2 bx ，则“ b 0 ”是“ f f x 的最小值与 f x 的最小值相
等”的_____条件. 【答案】充分不必要
【解析】找到 f f x 的最小值与 f x 的最小值相等的充要条件后可得两者之间的
条件关系. 【详解】
f
x
x2
bx
x
b 2 2
b2 4
设双曲线方程为： x2 2y2 ，双曲线过点 M 6,3 ，
则： x2 2y2 36 29 18 ，
故双曲线方程为： x2 2y2 18 ，即 x2 y2 1. 18 9
【点睛】 求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定 双曲线标准方程的形式，然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值．如 果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程
选项 C 中，投影相交则原来直线不可能重合，错误。
选项 D 中，投影平行，则原来直线可能相交，错误。选 B
4．已知两个不相等的实数 a、b 满足以下关系式：
a2 sin a cos ,b2 sin b cos ，则连接 A a2 , a 、 B b2 ,b 两点的直
4
4
线与圆心在原点的单位圆的位置关系是（ ）
二、填空题
5．复数 1 2i 的虚部为__________． 2i
【答案】-1
【解析】首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可.
【详解】
1 2i
由复数的运算法则有：
2i
1 2i2 i 2i2i
5i 5
i
，
则复数 1 2i 的虚部为 1. 2i
【点睛】
本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能
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②有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根 据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．
8．过点 M 6,3 且和双曲线 x2 2y2 2 有相同的渐近线的双曲线方程为
______．
【答案】 x2 y2 1 18 9
【解析】结合题意设出双曲线方程，结合双曲线所过的点利用待定系数法确定双曲线的 方程即可. 【详解】
16．已知 AB 为单位圆上的弦， P 为单位圆上的点，若 f BP BA 的最小值为
m (其中 R )，当点 P 在单位圆上运动时，m 的最大值为 3 ，则 AB 的值为________. 2
【答案】 3
【解析】先利用 BP BA 的几何意义求 变化时 f 的最小值，再利用圆的性质可
力.
6．设集合
则
=____．
【答案】
【解析】因为
，所以
，应填答
案
。
7． (x2 1 )8 的展开式中 x7 的系数为__________.（用数字作答） x
【答案】 56
【解析】试题分析：展开式通项为 Tr 1
C8r
(
x
2
)8r
(
1 x
)r
(1)r C8r x163r ，令
16 3r 7 ，得 r 3 ，
（1）若 p 是 q 的必要不充分条件，则 q 对应集合是 p 对应集合的真子集，反之也成立； （2） p 是 q 的充分不必要条件， 则 p 对应集合是 q 对应集合的真子集，反之也成立； （3） p 是 q 的充分必要条件，则 p 对应集合与 q 对应集合相等，反之也成立； （4） p 是 q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与 p 对应集合互不包含，反之也成
【答案】 72 121
【解析】根据椭圆在矩形区域内可得 a 11,b 9 且 a b ，算出满足条件的 a, b 的个
数后根据概率公式可求概率. 【详解】
因为 a,b1, 2,3, ,11，故 a, b 的不同取法总数为112 121.
因为椭圆在矩形区域内，故 a 11,b 9 且 a b ，
的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 4m m2 m ，解得 m 3 ，故 m 的取值范围是
(3, ) .
【考点】分段函数，函数图象 【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解 答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式. 本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.
为
x2 a2
y2 b2
0，再由条件求出 λ 的值即可.
9．F 是抛物线 y2 4x 的焦点，定点 A2, 2 ，若点 P 在抛物线上运动，那么 AP PF
的最小值为____________. 【答案】3
【解析】利用抛物线的几何性质可求 AP PF 的最小值.
【详解】
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很明显数列的公比 q 1，且 q 0 ，结合题意和等比数列前 n 项和公式有：
a1
1 q
Sk
ak ，即： a1 1 q
a1
1 qk 1 q
a1qk1 ，
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整理可得：1 1 qk qk1 qk ，据此有： 2qk qk1 ，则 q 1 . 2
【点睛】 本题主要考查等比数列前 n 项和公式，极限的应用等知识，意在考查学生的转化能力和 计算求解能力.
立．
14．已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（− ，0）上单调递增.若实数 a 满
足 f（2|a-1|）＞f（ 2 ），则 a 的取值范围是______. 【答案】 (1 , 3)
22
【解析】【详解】
由题意 f (x) 在 (0, ) 上单调递减，又 f (x) 是偶函数，
则不等式 f (2a1 ) f ( 2) 可化为 f (2a1 ) f ( 2) ，则 2 a1
，故
f
x min
b2 4
，
f f x 的最小值与 f x 的最小值相等的充要条件为 b2 b ，即 b 0 或 b 2 . 42
因为 b 0 为 b 0 或 b 2 的真子集，
故“ b 0 ”是“ f f x 的最小值与 f x 的最小值相等”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要. 【点睛】
2
33
3
【考点】1.三视图；2.几何体的体积.
12．等比数列
an
的前 n 项和为 Sn ，若对于任意的正整数 k
，均有 ak
lim
n
Sn
Sk
成立，则公比 q __________．
【答案】 1 2
【解析】由题意结合等比数列前 n 项和公式和极限的运算公式整理计算即可求得最终结 果. 【详解】