物理建模系列(六) 四类常见平抛运动模型

物理建模系列(六) 四类常见平抛运动模型

模型一 水平地面上空h 处的平抛运动 由h ＝1

2

gt 2知t ＝

2h

g

，即t 由高度h 决定．

甲

模型二 半圆内的平抛运动(如图甲) 由半径和几何关系制约时间t ： h ＝12gt 2 R ±R 2－h 2＝v 0t 联立两方程可求t .

模型三 斜面上的平抛运动

乙

1．顺着斜面平抛(如图乙) 方法：分解位移 x ＝v 0t y ＝12

gt 2 tan θ＝y

x 可求得t ＝2v 0tan θg

丙

2．对着斜面平抛(如图丙) 方法：分解速度 v x ＝v 0 v y ＝gt tan θ＝v y v 0＝gt v 0

可求得t ＝v 0tan θ

g

模型四 对着竖直墙壁的平抛运动(如图丁)

丁

水平初速度v 0不同时，虽然落点不同，但水平位移相同． t ＝d v 0

例1 如图，从半径为R ＝1 m 的半圆AB 上的A 点水平抛出一个可视为质点的小球，经t ＝0.4 s 小球落到半圆上．已知当地的重力加速度g ＝10 m/s 2，则小球的初速度v 0可能为( )

A ．1 m/s

B ．2 m/s C.3 m/s

D ．4 m/s

【解析】 由于小球经0.4 s 落到半圆上，下落的高度h ＝12gt 2＝0.8 m ，位置可能有两处，

如图所示．

第一种可能：小球落在半圆左侧，v 0t ＝R －R 2－h 2＝0.4 m ，v 0＝1 m/s 第二种可能：小球落在半圆右侧，

v 0t ＝R ＋R 2－h 2，v 0＝4 m/s ，选项A 、D 正确． 【答案】 AD

例2 如图所示，斜面上有a 、b 、c 、d 四个点，ab ＝bc ＝cd .从a 点正上方的O 点以速度v 水平抛出一个小球，它落在斜面上b 点．若小球从O 点以速度2v 水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的( )

A ．b 与c 之间某一点

B ．c 点

C ．c 与d 之间某一点

D ．d 点

【解析】 如图所示，过b 点做水平线be ，由题意知小球第一次落在b 点，第二次速度变为原来的2倍后，轨迹为Oc ′，c ′在c 的正下方be 线上，故轨迹与斜面的交点应在bc 之间．据运动规律作图越直观，对解决问题越有利．

【答案】 A

[高考真题]

1. (2015·课标卷Ⅰ，18)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h .不计空气的作用，重力加速度大小为g .若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( )

A.L 12g

6h ＜v ＜L 1g

6h

B.L 14g

h ＜v ＜ (4L 21＋L 2

2)g

6h C.L 12g 6h ＜v ＜12 (4L 21＋L 2

2)g

6h D.L 14

g h ＜v ＜12

(4L 21＋L 2

2)g

6h

【解析】 发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动． 当速度v 最小时，球沿中线恰好过网，有： 3h －h ＝gt 21

2①

L 1

2

＝v 1t 1② 联立①②得v 1＝

L 1

4

g h

当速度最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有

12

4L 21＋L 2

2＝v 2t 2③ 3h ＝12gt 22

④

联立③④得v 2＝1

2

(4L 21＋L 2

2)g

6h

所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v 的最大取值范围为

L 1

4g h ＜v ＜12 (4L 21＋L 22)g

6h

，选项D 正确．

【答案】 D

2.(2016·上海卷，23)如图，圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中ABC 是位于竖直平面内以O 为圆心的一段圆弧，OA 与竖直方向的夹角为α.一小球以速度v 0从桌面边缘P 水平抛出，恰好从A 点沿圆弧的切线方向进入凹槽．小球从P 到A 的运动时间为 ________ ；直线P A 与竖直方向的夹角β＝ ________ .

【解析】 据题意，小球从P 点抛出后做平抛运动，小球运动到A 点时将速度分解，有tan α＝v y v x ＝gt v 0，则小球运动到A 点的时间为：t ＝v 0tan αg ；从P 点到A 点的位移关系有：

tan β＝v 0t 12

gt 2＝2v 0gt ＝2

tan α＝2cot α，所以P A 与竖直方向的夹角为：β＝arctan(2cot α)．

【答案】

v 0tan α

g

arctan(2cot α) 3.(2014·江苏卷，6)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验．小锤打击弹性金属片，A 球水平抛出，同时B 球被松开，自由下落．关于该实验，下列说法中正确的有( )

A ．两球的质量应相等

B ．两球应同时落地

C ．应改变装置的高度，多次实验

D ．实验也能说明A 球在水平方向上做匀速直线运动

【解析】 小锤打击弹性金属片后，A 球做平抛运动，B 球做自由落体运动．A 球在竖直方向上的运动情况与B 球相同，做自由落体运动，因此两球同时落地．实验时，需A 、B 两球从同一高度开始运动，对质量没有要求，但两球的初始高度及击打力度应该有变化，实验时要进行3～5次得出结论．本实验不能说明A 球在水平方向上的运动性质，故选项B 、C 正确，选项A 、D 错误．

【答案】 BC

[名校模拟]

4．(2018·山东师大附中高三模拟)如图所示，A 、B 两质点从同一点O 分别以相同的水平速度v 0沿x 轴正方向抛出，A 在竖直平面内运动，落地点为P 1；B 沿光滑斜面运动，落地点为P 2，P 1和P 2在同一水平面上，不计阻力，则下列说法正确的是( )

A ．A 、

B 的运动时间相同 B ．A 、B 沿x 轴方向的位移相同

C ．A 、B 运动过程中的加速度大小相同

D ．A 、B 落地时速度大小相同

【解析】 设O 点与水平面的高度差为h ，由h ＝12gt 21，h sin θ＝1

2g sin θ·t 22可得：t 1＝2h

g

，t 2＝

2h

g sin 2θ

，故t 1＜t 2，A 错误；由x 1＝v 0t 1，x 2＝v 0t 2，可知，x 1＜x 2，B 错误；由a 1＝g ，a 2＝g sin θ可知，C 错误；A 落地的速度大小为v A ＝v 20＋(gt 1)2＝v 2

0＋2gh ，B 落地的速度大小v B ＝v 20＋(a 2·t 2)2＝v 20＋2gh ，所以v A ＝v B ，故D 正确．

【答案】 D

5．(2018·山东烟台高三上学期期中)如图所示，斜面倾角为θ，从斜面上的P 点以v 0的速度水平抛出一个小球，不计空气阻力，当地的重力加速度为g ，若小球落到斜面上，则此过程中( )

A ．小球飞行时间为2v 0tan θ

g