物理建模系列(六) 四类常见平抛运动模型

物理建模系列(六) 四类常见平抛运动模型
模型一 水平地面上空h 处的平抛运动 由h ＝1
2
gt 2知t ＝
2h
g
，即t 由高度h 决定．
甲
模型二 半圆内的平抛运动(如图甲) 由半径和几何关系制约时间t ： h ＝12gt 2 R ±R 2－h 2＝v 0t 联立两方程可求t .
模型三 斜面上的平抛运动
乙
1．顺着斜面平抛(如图乙) 方法：分解位移 x ＝v 0t y ＝12
gt 2 tan θ＝y
x 可求得t ＝2v 0tan θg
丙
2．对着斜面平抛(如图丙) 方法：分解速度 v x ＝v 0 v y ＝gt tan θ＝v y v 0＝gt v 0
可求得t ＝v 0tan θ
g
模型四 对着竖直墙壁的平抛运动(如图丁)
丁
水平初速度v 0不同时，虽然落点不同，但水平位移相同． t ＝d v 0
例1 如图，从半径为R ＝1 m 的半圆AB 上的A 点水平抛出一个可视为质点的小球，经t ＝0.4 s 小球落到半圆上．已知当地的重力加速度g ＝10 m/s 2，则小球的初速度v 0可能为( )
A ．1 m/s
B ．2 m/s C.3 m/s
D ．4 m/s
【解析】 由于小球经0.4 s 落到半圆上，下落的高度h ＝12gt 2＝0.8 m ，位置可能有两处，
如图所示．
第一种可能：小球落在半圆左侧，v 0t ＝R －R 2－h 2＝0.4 m ，v 0＝1 m/s 第二种可能：小球落在半圆右侧，
v 0t ＝R ＋R 2－h 2，v 0＝4 m/s ，选项A 、D 正确． 【答案】 AD
例2 如图所示，斜面上有a 、b 、c 、d 四个点，ab ＝bc ＝cd .从a 点正上方的O 点以速度v 水平抛出一个小球，它落在斜面上b 点．若小球从O 点以速度2v 水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的( )
A ．b 与c 之间某一点
B ．c 点
C ．c 与d 之间某一点
D ．d 点
【解析】 如图所示，过b 点做水平线be ，由题意知小球第一次落在b 点，第二次速度变为原来的2倍后，轨迹为Oc ′，c ′在c 的正下方be 线上，故轨迹与斜面的交点应在bc 之间．据运动规律作图越直观，对解决问题越有利．
【答案】 A
[高考真题]
1. (2015·课标卷Ⅰ，18)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h .不计空气的作用，重力加速度大小为g .若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( )
A.L 12g
6h ＜v ＜L 1g
6h
B.L 14g
h ＜v ＜ (4L 21＋L 2
2)g
6h C.L 12g 6h ＜v ＜12 (4L 21＋L 2
2)g
6h D.L 14
g h ＜v ＜12
(4L 21＋L 2
2)g
6h
【解析】 发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动． 当速度v 最小时，球沿中线恰好过网，有： 3h －h ＝gt 21
2①
L 1
2
＝v 1t 1② 联立①②得v 1＝
L 1
4
g h
当速度最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有
12
4L 21＋L 2
2＝v 2t 2③ 3h ＝12gt 22
④
联立③④得v 2＝1
2
(4L 21＋L 2
2)g
6h
所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v 的最大取值范围为
L 1
4g h ＜v ＜12 (4L 21＋L 22)g
6h
，选项D 正确．
【答案】 D
2.(2016·上海卷，23)如图，圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中ABC 是位于竖直平面内以O 为圆心的一段圆弧，OA 与竖直方向的夹角为α.一小球以速度v 0从桌面边缘P 水平抛出，恰好从A 点沿圆弧的切线方向进入凹槽．小球从P 到A 的运动时间为 ________ ；直线P A 与竖直方向的夹角β＝ ________ .
【解析】 据题意，小球从P 点抛出后做平抛运动，小球运动到A 点时将速度分解，有tan α＝v y v x ＝gt v 0，则小球运动到A 点的时间为：t ＝v 0tan αg ；从P 点到A 点的位移关系有：
tan β＝v 0t 12
gt 2＝2v 0gt ＝2
tan α＝2cot α，所以P A 与竖直方向的夹角为：β＝arctan(2cot α)．
【答案】
v 0tan α
g
arctan(2cot α) 3.(2014·江苏卷，6)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验．小锤打击弹性金属片，A 球水平抛出，同时B 球被松开，自由下落．关于该实验，下列说法中正确的有( )
A ．两球的质量应相等
B ．两球应同时落地
C ．应改变装置的高度，多次实验
D ．实验也能说明A 球在水平方向上做匀速直线运动
【解析】 小锤打击弹性金属片后，A 球做平抛运动，B 球做自由落体运动．A 球在竖直方向上的运动情况与B 球相同，做自由落体运动，因此两球同时落地．实验时，需A 、B 两球从同一高度开始运动，对质量没有要求，但两球的初始高度及击打力度应该有变化，实验时要进行3～5次得出结论．本实验不能说明A 球在水平方向上的运动性质，故选项B 、C 正确，选项A 、D 错误．
【答案】 BC
[名校模拟]
4．(2018·山东师大附中高三模拟)如图所示，A 、B 两质点从同一点O 分别以相同的水平速度v 0沿x 轴正方向抛出，A 在竖直平面内运动，落地点为P 1；B 沿光滑斜面运动，落地点为P 2，P 1和P 2在同一水平面上，不计阻力，则下列说法正确的是( )
A ．A 、
B 的运动时间相同 B ．A 、B 沿x 轴方向的位移相同
C ．A 、B 运动过程中的加速度大小相同
D ．A 、B 落地时速度大小相同
【解析】 设O 点与水平面的高度差为h ，由h ＝12gt 21，h sin θ＝1
2g sin θ·t 22可得：t 1＝2h
g
，t 2＝
2h
g sin 2θ
，故t 1＜t 2，A 错误；由x 1＝v 0t 1，x 2＝v 0t 2，可知，x 1＜x 2，B 错误；由a 1＝g ，a 2＝g sin θ可知，C 错误；A 落地的速度大小为v A ＝v 20＋(gt 1)2＝v 2
0＋2gh ，B 落地的速度大小v B ＝v 20＋(a 2·t 2)2＝v 20＋2gh ，所以v A ＝v B ，故D 正确．
【答案】 D
5．(2018·山东烟台高三上学期期中)如图所示，斜面倾角为θ，从斜面上的P 点以v 0的速度水平抛出一个小球，不计空气阻力，当地的重力加速度为g ，若小球落到斜面上，则此过程中( )
A ．小球飞行时间为2v 0tan θ
g
B ．小球的水平位移为2v 20
tan θg
C ．小球下落的高度为2v 20sin θ
g
D ．小球刚要落到斜面上时的速度方向可能与斜面垂直
【解析】 由x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，tan θ＝y x 三式得t ＝2v 0tan θg ，水平位移x ＝2v 20tan θ
g
，小
球下落高度y ＝12gt 2＝2v 20tan 2
θ
g
.小球落在斜面上，速度方向斜向右下方，不可能与斜面垂直．A 、
B 正确．
【答案】 AB
6．(2018·山东淄博一中高三上学期期中)如图所示，位于同一高度的小球A 、B 分别以v 1和v 2的速度水平抛出，都落在了倾角为45°的斜面上的C 点，小球B 恰好垂直打到斜面上，则A 、B 到达C 点的速度之比为( )
A ．2∶1
B ．1∶1 C.2∶ 5
D ．5∶22
【解析】 对于A 球：x ＝v 1t ，y ＝12gt 2，x ＝y ，t ＝2v 1g ，v A ＝v 21＋v 2y ＝5v 1；对于B 球：v 2＝v y ＝g ·t ＝2v 1，v B ＝22v 1，所以v 1∶v 2＝5∶2 2.
【答案】 D
课时作业(十一) [基础小题练]
1.(2018·山东临沂高三上学期期中)在一次投球游戏中，某同学调整好力度，将球水平抛向放在地面的小桶中，结果球飞到小桶的右方(如图所示)，不计空气阻力，则下次再投时，他可能作出的调整为( )
A ．减小初速度，抛出点高度不变
B ．增大初速度，抛出点高度不变
C ．初速度大小不变，提高抛出点高度
D ．初速度大小不变，降低抛出点高度 【解析】 由x ＝v 0t ，y ＝1
2
gt 2，得x ＝v 0
2y
g
，球飞到小桶右方，说明水平位移偏大，可使高度不变，减小v 0，或v 0不变，降低高度，A 、D 正确．
【答案】 AD
2．从同一水平直线上的两位置分别沿同方向抛出两小球A 和B ，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力．要使两球在空中相遇，则必须( )
A ．两球的初速度一样大
B ．B 球初速度比A 大
C ．同时抛出两球
D ．先抛出A 球
【解析】 小球在竖直方向上做自由落体运动，由h ＝1
2gt 2，两小球从同一高度抛出在
空中某处相遇，则两小球下落时间相同，故说明两小球从同一时刻抛出，C 正确，D 错误；由x ＝v 0t ，A 球的水平位移大，说明A 的初速度大，A 、B 错误．
【答案】 C
3.一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m ，一小球以水平速度v 飞出，g 取10 m/s 2，欲打在第四台阶上，则v 的取值范围是( )
A. 6 m/s<v ≤2 2 m/s B ．2 2 m/s<v ≤3.5 m/s C. 2 m/s<v < 6 m/s D ．2 2 m/s<v < 6 m/s
【解析】 根据平抛运动规律有：x ＝v t ，y ＝1
2gt 2，若打在第3台阶与第4台阶边沿，
则根据几何关系有：v t ＝12gt 2，得v ＝12gt ，如果落到第四台阶上，有：3×0.4<1
2
gt 2≤4×0.4，
代入v ＝1
2
gt ，得 6 m/s<v ≤2 2 m/s ，A 正确．
【答案】 A
4．一带有乒乓球发射机的乒乓球台水平台面的长是宽的2倍，中间球网高h ，发射机安装于台面左侧边缘的中点，发射点的高度可调，发射机能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，不计空气阻力，当发射点距台面高度为3h 且发射机正对右侧台面的外边角以速度v 1发射时，乒乓球恰好击中边角，如图所示；当发射点距台面高度调为H 且发射机正对右侧台面以速度v 2发射时，乒乓球恰好能过球网且击中右侧台面边缘，则( )
A.H h ＝43，v 1v 2＝17
6 B ．H h ＝21，v 1v 2＝176
C.H h ＝43，v 1v 2＝23
D ．H h ＝21，v 1v 2＝23
【解析】 设乒乓球台宽为L ，乒乓球的运动是平抛运动，当以速度v 1发射时，由平抛规律知3h ＝1
2gt 21
，
(2L )2＋⎝⎛⎭⎫L 22＝v 1t 1，联立解得v 1＝L
2
17g
6 h
；同理，当以速度v 2发射时，H ＝12gt 22，2L ＝v 2t 2，H －h ＝12gt 23，L ＝v 2t 3，联立解得H ＝4
3 h ，v 2＝L 3g 2h ，所以H h ＝43
，v 1v 2＝176
，A 正确． 【答案】 A
5．(2018·山东师大附中高三上学期二模)如图所示，一小球从一半圆轨道左端A 点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点．O 为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R ，OB 与水平方向夹角为60°，重力加速度为g ，则小球抛出时的初速度为( )
A. 3gR
2 B ． 33gR
2 C.
3gR
2
D ．
3gR
3
【解析】 画出小球在B 点速度的分解矢量图．由图可知，tan 60°＝v 0
gt ，R (1＋cos 60°)
＝v 0t ，联立解得：v 0＝
33gR
2
，选项B 正确． 【答案】 B
6.如图所示，在距地面高为H ＝45 m 处，有一小球A 以初速度v 0＝10 m/s 水平抛出，与此同时，在A 的正下方有一物块B 也以相同的初速度同方向滑出，B 与水平地面间的动摩擦因数为μ＝0.4，A 、B 均可视为质点，空气阻力不计(取g ＝10 m/s 2)．下列说法正确的是( )
A ．小球A 落地时间为3 s
B ．物块B 运动时间为3 s
C ．物块B 运动12.5 m 后停止
D ．A 球落地时，A 、B 相距17.5 m 【解析】 根据H ＝1
2
gt 2得，t ＝
2H g
＝ 2×45
10
s ＝3 s ，故A 正确；物块B 匀减速直线运动的加速度大小a ＝μg ＝0.4×10 m/s 2＝4 m/s 2，则B 速度减为零的时间t 0＝v 0a ＝10
4 s
＝2.5 s ，滑行的距离x ＝v 02t 0＝10
2×2.5 m ＝12.5 m ，故B 错误，C 正确；A 落地时，A 的水平
位移x A ＝v 0t ＝10×3 m ＝30 m ，B 的位移x B ＝x ＝12.5 m ，则A 、B 相距Δx ＝(30－12.5)m ＝17.5 m ，故D 正确．
【答案】 ACD
[创新导向练]
7．休闲运动——通过“扔飞镖”考查平抛运动知识
飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们日常休闲的必备活动．一般打飞镖的靶上共标有10环，第10环的半径最小．现有一靶的第10环的半径为1 cm ，第9环的半径为2 cm ……以此类推，若靶的半径为10 cm ，在进行飞镖训练时，当人离靶的距离为5 m ，将飞镖对准第10环中心以水平速度v 投出，g ＝10 m/s 2.则下列说法中正确的是( )
A ．当v ≥50 m/s 时，飞镖将射中第8环线以内
B ．当v ＝50 m/s 时，飞镖将射中第6环线
C ．若要击中第10环的线内，飞镖的速度v 至少为50 2 m/s
D ．若要击中靶子，飞镖的速度v 至少为25 2 m/s
【解析】 根据平抛运动规律可得，飞镖在空中飞行有：x ＝v t ，h ＝1
2gt 2，将第8环半
径为3 cm 、第6环半径为5 cm 、第10环半径为1 cm 、靶的半径为10 cm 代入两式可知正确选项为B 、D.
【答案】 BD
8．科技前沿——轰炸机上的投弹学问
我国自主研制的“歼十五”轰炸机完成在航母上的起降．如图
，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A .已知A 点高度为h ，山坡倾角为θ，由此不能算出( )
A ．轰炸机的飞行速度
B ．炸弹的飞行时间
C ．轰炸机的飞行高度
D ．炸弹投出时的动能
【解析】 由图可得炸弹的水平位移为x ＝
h
tan θ
.设轰炸机的飞行高度为H ，炸弹的飞行时间为t ，初速度为v 0.炸弹垂直击中山坡上的目标A ，则根据速度的分解有tan θ＝v 0v y ＝v 0
gt ，
又H －h x ＝12gt
2v 0t ＝gt 2v 0，联立以上三式得H ＝h ＋h 2tan 2θ，可知能求出轰炸机的飞行高度H ，炸
弹的飞行时间t ＝
2(H －h )g ，轰炸机的飞行速度等于炸弹平抛运动的初速度，为v 0＝x
t
，故A 、B 、C 均能算出；由于炸弹的质量未知，则无法求出炸弹投出时的动能，故D 不能算出．
【答案】 D
9．体育运动——乒乓球赛中的平抛运动知识
在某次乒乓球比赛中，乒乓球先后两次落台后恰好在等高处水平越过球网，过网时的速度方向均垂直于球网，把两次落台的乒乓球看成完全相同的两个球，球1和球2，如图所示．不计乒乓球的旋转和空气阻力，乒乓球自起跳到最高点的过程中，下列说法正确的是( )
A ．起跳时，球1的重力功率等于球2的重力功率
B ．球1的速度变化率小于球2
的速度变化率
C ．球1的飞行时间大于球2的飞行时间
D ．过网时球1的速度大于球2的速度
【解析】 乒乓球起跳后到最高点的过程，其逆过程可看成平抛运动．重力的瞬时功率等于重力乘以竖直方向的速度，两球起跳后能到达的最大高度相同，由v 2＝2gh 得，起跳时竖直方向分速度大小相等，所以两球起跳时重力功率大小相等，A 正确；速度变化率即加速度，两球在空中的加速度都等于重力加速度，所以两球的速度变化率相同，B 错误；由h ＝12
gt 2
可得两球飞行时间相同，C 错误；由x ＝v t 可知，球1的水平位移较大，运动时间相同，则球1的水平速度较大，D 正确．
【答案】 AD
10．体育运动——足球运动中的平抛运动规律
(2015·浙江卷，17)如图所示为足球球门，球门宽为L .一个球员在球门中心正前方距离球门s 处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P 点)．球员顶球点的高度为h .足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则( )
A ．足球位移的大小x ＝ L 24
＋s 2 B ．足球初速度的大小v 0＝ g 2h (L 24
＋s 2) C ．足球末速度的大小v ＝
g 2h (L 24
＋s 2
)＋4gh D ．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝L
2s
【解析】 足球位移大小为x ＝(L
2
)2＋s 2＋h 2＝L 24
＋s 2＋h 2
，A 错误；根据平抛运动规律有：h ＝1
2
gt 2,
L 24＋s 2
＝v 0t ，解得v 0＝g 2h (L 24＋s 2)，B 正确；根据动能定理mgh ＝12
m v 2－1
2m v 20可得v ＝v 20＋2gh ＝g 2h (L 24
＋s 2
)＋2gh ，C 错误；足球初速度方向与球门线夹角正切值tan θ＝s L 2
＝2s
L ，D 错误．
【答案】 B
[综合提升练]
11．(2016·浙江卷，23)在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示，P
是个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒．高度为h 的探测屏AB 竖直放置，离P 点的水平距离为L ，上端A 与P 点的高度差也为h .
(1)若微粒打在探测屏AB 的中点，求微粒在空中飞行的时间； (2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围；
(3)若打在探测屏A 、B 两点的微粒的动能相等，求L 与h 的关系． 【解析】 (1)打在中点的微粒32h ＝1
2gt 2①
t ＝
3h g
② (2)打在B 点的微粒v 1＝L t 1，2h ＝1
2gt 21③v 1＝L
g 4h
④ 同理，打在A 点的微粒初速度v 2＝L g 2h
⑤ 微粒初速度范围L
g
4h
≤v ≤L g 2h
⑥ (3)由能量关系12m v 22＋mgh ＝12m v 2
1＋2mgh ⑦ 代入④、⑤式L ＝22h ⑧ 【答案】 (1)3h
g
(2)L g
4h
≤v ≤L g 2h
(3)L ＝22h
12.如图所示，倾角为37°的斜面长l ＝1.9 m ，在斜面底端正上方的O 点将一小球以v 0
＝3 m/s 的速度水平抛出，与此同时静止释放顶端的滑块，经过一段时间后小球恰好能够以垂直斜面的方向击中滑块．(小球和滑块均可视为质点，重力加速度g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：
(1)抛出点O 离斜面底端的高度； (2)滑块与斜面间的动摩擦因数μ.
【解析】 (1)设小球击中滑块时的竖直速度为v y ，由几何关系得v 0
v y ＝tan 37°
设小球下落的时间为t ，竖直位移为y ，水平位移为x ，由运动学规律得 v y ＝gt ，y ＝1
2
gt 2，x ＝v 0t
设抛出点到斜面最低点的距离为h ，由几何关系得 h ＝y ＋x tan 37° 由以上各式得h ＝1.7 m.
(2)在时间t 内，滑块的位移为x ′，由几何关系得 x ′＝l －
x
cos 37°
， 设滑块的加速度为a ，由运动学公式得x ′＝1
2at 2，
对滑块由牛顿第二定律得 mg sin 37°－μmg cos 37°＝ma ， 由以上各式得μ＝0.125. 【答案】 (1)1.7 m (2)0.125。