2017-2018人教版九年级数学上册基础训练旋转讲义及答案

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人教版九年级数学上23.1图形的旋转课课练及答案

情感态度价值观
学生在经历了实验探究、知识应用及内化等数学活动中，体验数学的具体、生动、灵活，调动学生学习数学的主动性．
教学重点
归纳图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制旋转后的几何图形．
教学难点
对图形进行旋转变换．
板书设计
活动1感受旋转
活动2实验探究图形旋转的特征
活动3知识应用
活动4内化小结
教学过程设计
方向盘的转动；
水龙头的转动；
钟摆的运动；
荡秋千运动．
A.2 B.3C.4D.5
②教科书练习1，2，3．
在普通、熟悉的现象中探求数学概念、定理，易使学生产生亲切感，容易较快进入学习角色，避免了由于数学内容脱离现实而引发的学习兴趣不高，被动学习的现象．
由于学生在生活中或多或少地感受到过旋转，所以回答出教师所展示的实例中的共同特点并不困难，也能较顺利地归纳出旋转的数学定义，所以在活动1中不仅获得了知识，同时也可感受到数学可以是具体、生动的．
ΔABC与ΔA′B′C′形状和大小有什么关
活动4
小结
对比平移、轴对称两种变换，旋转变换与另两种变换有哪些共性与区别？
课后作业：
教科书习题23.1第1~4、9题．
通过设置数学实验让学生进行独立的探究学习，促使学生主动参与数学知识的“再发现”，培养学生动手实践能力，观察、分析、比较、抽象、概括的思维能力．
活动3
1．如教科书图23.1-4，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把ΔADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形．
2．巩固练习：
①随堂练习1，2，3．
②教科书第64页1，2，3．
③动手操作：请设计一个绕一点旋转60°后能与自身重合的图形.
问题：

2018年人教版九年级上册数学第二十三章《旋转》导学案(有答案)

第二十三章旋转23.1 图形的旋转学习目标1．了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题．2．让学生感受生活中的几何，•通过不同的情景设计归纳出图形旋转的有关概念，并用这些概念来解决一些问题重点：旋转及对应点的有关概念及其应用.难点：从活生生的数学中抽出概念.学习过程一、创设问题情境1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形．2．如图，已知△ABC和直线L，请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′．3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？（1）平移的有关概念及性质．（2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）•的对称图形并口述它既有的一些性质．（3）什么叫轴对称图形？二、自主学习自学教材59页内容并思考：1、你能举出生活中与旋转现象有关的例子吗？2、它们是怎样旋转的，你能类比平移的定义概况出旋转的定义吗？自学检测：1、在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为_____ ___，这个定点称为________，转动的角为________．2、△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置．（1）旋转中心是哪一点?旋转了多少度?（2）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M旋转到了什么位置?三、合作展示1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？2．（学生活动）如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形．（1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？（2）请画出旋转中心和旋转角．（3）指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？四、反思小结1.旋转的概念:在平面内将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转.2.平移与旋转的异同.五、达标测试一、选择题1.下列图片中，哪些是由图片（1）分别经过平移和旋转得到的（）2.下列各组图中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（）A． B．C． D．3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（）A．55°B．60°C．65°D．80°3题图 4题图4.如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF．将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是（）A．45° B．60° C．90° D．120°二、填空题5.如图所示，△ABC绕点A逆时针旋转某一角度得到△ADE，若∠1=∠2=∠3=20°，则旋转角为_______度．5题图 6题图 7题图6.如图是电脑CPU风扇的示意图．风扇共有9个叶片，每个叶片的面积约为8cm2．已知∠AOB=120°，在风扇的转动过程中，叶片落在扇形AOB内部的面积为_______cm2．7.如图，P是正△ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与P′之间的距离为PP′=_____，∠APB=______度．8. 如图，△ABC为等边三角形，△AP′B旋转后能与△APC重合，那么：（1）指出旋转中心；（2）求旋转角的度数；（3）求∠PAP′的度数．9.如图，正方形ABCD中，E在BC上，△DEC按顺时针方向转动一个角度后成△DGA．（1）图中哪一个点是旋转中心？（2）旋转了多少度？（3）已知CD=4，CE=3，求GE长．23.2.1 中心对称学习目标1.通过旋转作图认识两个图形关于某一点对称（或中心对称）的本质；就是一个图形绕一点旋转180°而成.2.通过作图探索中心对称的两个图形的性质；会利用中心对称的性质作出某一图形成中心对称的图形；会确定对称中心的位置.3.经历对日常生活中与中心对称有关的图形进行观察、分析、欣赏、动手操作、画图等过程，感受生活中的对称美.重点：中心对称的性质及应用.难点：确定对称中心的位置.学习过程一、创设问题情境问题：作出如图的两个图形绕点O旋转180°的图案，并回答下列的问题：1．以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？2．各对称点绕O旋转180°后，这三点是否在一条直线上？二、自主学习如图所示的两个图案绕O旋转180°都是重合的，即甲图与乙图重合，△OAB与△COD 重合．像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．例1．如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．（1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由．（2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点．分析：（1）根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形，•对称中心就是旋转中心．（3）旋转后的对应点，便是中心的对称点．归纳：1．中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过，而且被所平分．2．关于中心对称的两个图形是图形.例2．如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称．分析：中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕O旋转180°，因此，我们连AO、BO、CO并延长，取与它们相等的线段即可得到.三、合作展示例3：画出四边形ABCD 关于点O 成中心对称的图形，并用适当文字简述画法．例4.如图，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A （-2，-1），B （-3，-3），C （-1，-3）．（1）出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出点A 1的坐标；（2）画出△ABC 关于原点O 对称的△A 2B 2C 2，并写出点A 2的坐标．学生自主学习，完成例题的学习.请各个小组上台演示解答过程.四、反思小结谈谈自己对这节课的感受，教师点评各个小组的表现.五、达标测试一、选择题1.你玩过扑克牌吗？你仔细观察过每张扑克牌的图案吗？下列扑克牌的图案中，是中心对称的一组是（）A ．红挑6与红挑4B ．方块6与方块4C ．梅花6与梅花4D ．黑挑6与黑挑42.如图△ABC 与△AB ′C ′成中心对称，A 为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BB ′的长为（）A ．4B ．3C ．3D ．33.如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交边AD 、BC 与E 、F两点，则阴影部分的面积是（）A．1 B．2 C．3 D．42题图 3题图 4题图4.如图，已知菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上某个点成中心对称，则点B的对称点是（）A．点E B．点F C．点G D．点H二、填空题5.已知O是ABCD的对称中心，E是AB的中心，请写出一个与OE有关的结论：______________．（答案不唯一，参考举例）6.如图，P为平行四边形ABCD的对称中心，以P为圆心作圆，过P的任意直线与圆相交于点M、N．则线段BM、DN的大小关系是_______.6题图 7题图7.如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为________.三、解答题8.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的方格中，点A、B、C都是格点．（1）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）依次连结BC1、B1C，猜想四边形BC1B1C是什么特殊四边形？并说明理由．9.已知：如图所示，△ABC为任意三角形，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△DEC．（1）试猜想AE与BD有何关系？说明理由；（2）请给△ABC添加一个条件，使旋转得到的四边形ABDE为矩形，并说明理由．23.2.2 中心对称图形学习目标1.经历观察图形的过程，建立中心对称图形的概念，会判断一个图形是不是中心对称图形.2.通过动手操作，总结找中心对称图形对称中心的方法，发展归纳、总结的能力，积累问题的能力.重点：中心对称图形的概念及其他运用难点：中心对称图形性质的灵活运用学习过程一、创设问题情境本节课我们来学习一种具有特殊性质的图形，它们是一个图形经过旋转180°后旋转形成的图形，到底它们是怎样的呢？让我们一起来认识吧！二、自主学习1.作图题．（1）作出线段AO关于O点的对称图形，如图所示．（2）作出三角形AOB 关于O 点的对称图形，如图所示．（1）题就是将线段AB 绕它的中点旋转180°，因为OA=•OB ，所以，就是线段AB 绕它的中点旋转180°后与它重合．上面的（2）题，连结AD 、BC ，则刚才的两个关于中心对称的两个图形，就成平行四边形，如图所示．∵AO=OC ，BO=OD ，∠AOB=∠COD ，∴△AOB ≌△COD ，∴AB=CD.也就是，ABCD 绕它的两条对角线交点O 旋转180°后与它本身重合．因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形，那么这个图形叫做，这个点就是它的对称中心.2．举出学过的哪些几何图形是中心对称图形3.课前准备一些精美的中心对称图形，用图片给予展示.三、合作展示A OB AOB AC DO4.在艺术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母，是中心对称图形吗？如果是，请标出它们的对称中心．5.如图，是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1．请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为4．四、反思小结1.通过本节课的学习你有什么收获？把你的收获与全班同学分享.2.你还有什么问题吗？3.教师点评各小组的学习表现.五、达标测试一、选择题1.下面图形中，是中心对称图形的是（）A． B．C． D．2.在正方形、等腰三角形、矩形、菱形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3.把等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，那么四边形ABDC（）A．是中心对称图形，不是轴对称图形B．是轴对称图形，不是中心对称图形C．既是中心对称图形，又是轴对称图形D．以上都不正确二、填空题4.下列四个汽车图标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的图标有______个．5.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有_______种．三、解答题6.如图是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B、C三点在小正方形的顶点上，请在图①、②中各画一个凸四边形，使其满足以下要求：7.如图，AC=BD，∠A=∠B，点E,F在AB上，且DE∥CF，试说明该图是中心对称图形.8.阅读材料：对于中心对称图形，过对称中心的任意一条直线都把这个图形的面积分成相等的两部分，如图：尝试应用：(1)将图1分成面积相等的两部分(不写作法，保留作图痕迹)：(2)用不同的方法把图2分成面积相等的两部分：拓展延伸：把图3分成面积相等的两部分.23.2.3 关于原点对称的点的坐标学习目标1.能运用中心对称的知识猜想并验证关于原点对称的点的坐标的性质.2.利用该对称性质在平面直角坐标系内关于原点对称的图形，形成观察、分析、探究用合作交流的学习习惯，体验事物的变化之间是有联系的.重点：平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关系及其应用.难点：关于原点对称的点的坐标性质及其运用它解决实际问题．学习过程一、创设问题情境在平面直角坐标系中，我们学习了关于x轴和关于y轴对称的点的坐标特点.那么关于原点对称的点坐标又有什么新特点呢?让我们一起进入今天的学习吧!二、自主学习如图23-74，在直角坐标系中，已知A（-3，1）、B（-4，0）、C（0，3）、• D（2，2）、E（3 ，-3）、F（-2，-2），作出A、B、C、D、E、F点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答：这些坐标与已知点的坐标有什么关系？提示：画法：（1）连结AO并延长AO,（2）在射线AO上截取OA′=OA,（3）过A作AD′⊥x轴于D′点，过A′作A′D″⊥x轴于点D″,∵△AD′O与△A′D″O全等,∴AD′=A′D″，OA=OA′,∴A′（3，-1）,同理可得B、C、D、E、F这些点关于原点的中心对称点的坐标．讨论：关于原点作中心对称时，①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？归纳：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号，即点P（x，y）关于原点O的对称点P′（，）．三、合作展示例1．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB关于原点对称的图形．分析：要作出线段AB关于原点的对称线段，只要作点A、点B关于原点的对称点A′、B′即可.例2：在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）点A关于原点的对称点A′的坐标是_____，点B关于原点对称的点B′的坐标是______；（2）求直线y=x+2关于原点对称的直线的解析式．【分析】（1）先根据直线的解析式求出点A与点B的坐标，再根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答；（2）根据若两条直线关于原点对称，则这两条直线平行，即k值不变；与y轴的交点关于原点对称，即b值互为相反数可以直接写出答案．四、反思小结关于原点对称的点的坐标：特征：P (x，y)关于原点的对称点为P′(-x，-y).作图：作出关于原点对称的图形，先求出对称点的坐标再描点画图.五、达标测试一、选择题1.已知点P（－1，m2＋1）与点Q关于原点对称，则点Q一定在（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2.将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，其中一个顶点为A（-3，-1）．先将它绕原点O旋转180°到乙位置，再将它向下平移2个单位长度到丙位置，则小花顶点A 在丙位置中的对应点A′的坐标为（）A．（3，-1） B．（1，1）C．（3，1）D．（-1，3）3.以如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，如果以MN所在的直线为y轴，以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系，使A点与B点关于原点对称，则这时C点的坐标可能是（）A．（1，3）B．（2，-1） C．（2，1）D．（3，1）4.平面直角坐标系中有A、B、C三点，A与B关于x轴对称，A与C关于原点对称，A的坐标是（-3，2），则△ABC的面积等于（）A．24 B．20 C．16 D．125.如图，已知点A（2，3）和直线y=x，（1）点A关于直线y=x的对称点为点B，点A关于原点（0，0）的对称点为点C；写出点B、C的坐标；（2）若点D是点B关于原点（0，0）的对称点，判断四形ABCD的形状，并说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△A 1B 1C 1关于点E 成中心对称．（1）画出对称中心E ，并写出点E 、A 、C 的坐标；（2）P （a ，b ）是△ABC 的边AC 上一点，△ABC 经平移后点P 的对应点为P 2（a+6，b+2），请画出上述平移后的△A 2B 2C 2，并写出点A 2、C 2的坐标；（3）判断△A 2B 2C 2和△A 1B 1C 1的位置关系．（直接写出结果）7.阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）的对称中心的坐标为(122x x +，122y y +)．观察应用：（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P 1（0，-1）、P 2（2，3）的对称中心是点A ，求点A 的坐标；（2）另取两点B （-1.6，2.1）、C （-1，0）．有一电子青蛙从点P 1处开始依次关于点A 、B 、C 作循环对称跳动，即第一次跳到点P 1关于点A 的对称点P 2处，接着跳到点P 2关于点B 的对称点P 3处，第三次再跳到点P 3关于点C 的对称点P 4处，第四次再跳到点P 4关于点A 的对称点P 5处，….求点P 3、P 8的坐标．达标测试答案第二十三章旋转23.1 图形的旋转1.A2.C 解析：选项A、不能通过平移得到，故错误；选项B、是平移变换，不能通过旋转得到，故错误；选项C、既符合平移变化，又能旋转得到，故正确；选项D、是旋转变化，但不能通过平移得到，故错误．3.B 解析：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，∴AB1=12BC，BB1=B1C，AB=AB1，∴BB1=AB=AB1，∴△ABB1是等边三角形，∴∠BAB1=60°，∴旋转的角度等于60°．4.C 解析：连接AC、BD，AC与BD的交点即为旋转中心O．根据旋转的性质知，点C与点D 对应，则∠DOC就是旋转角．∵四边形ABCD是正方形．∴∠DOC=90°．5.40 解析：∵∠1=∠2=∠3=20°，∴∠1+∠2=40°=∠BAD，即旋转角是40度．6.24 解析：由图可知叶片落在扇形AOB内部的面积是图形面积的13，因而叶片落在扇形AOB内部的面积为72×13=24cm2.7.6，150 解析：连接PP′，∵PA=6，PB=8，PC=P′B=10，∵∠PAP′=60°，∴P′A=PP′=PA=6，∴P′B=PC=10，∴∠P′PB=90°，∴∠APB=90°+60°=150°．8.解：（1）如图，∵△AP′B旋转后能与△APC重合，∴旋转中心是点A；（2）旋转角是∠BAC=60°；（3）由（2）得：∠P′AP=∠BAC=60°．9.解：（1）旋转中心是点D；（2）∵△DEC按顺时针方向转动一个角度后成△DGA，∴旋转角的度数等于∠ADC的度数，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∴旋转了90°；（3）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，DC=AB=BC=4，∵CE=3，∴BE=4-3=1，∵△DEC 按顺时针方向转动一个角度后成△DGA，∴△DEC≌△D GA，∴AG=CE=3，∴BG=3+4=7，在Rt△GBE中，．23.2.1 中心对称1.B2.A 解析：∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=1，∴AB=2AC=2，∴BB′=2AB=4．3.A 解析：∵四边形ABCD是正方形，∴∠EDB=∠OBF，DO=BO，在△EDO和△FBO中，∠EDO ＝∠FBO,DO＝BO,∠FOB＝∠EOD,∴△DEO≌△BFO（ASA），∴S△DEO=S△BFO，阴影面积=三角形BOC面积=14×2×2=1．4.D 解析：由于四边形ABCD与四边形EFGH都是菱形，且关于直线BD上某个点成中心对称，根据中心对称的定义可知，点B的对称点是H．5.BC=2OE，OE∥BC解析：O是ABCD的对称中心，E是AB的中心，则AE=BE，OA=OC．则与OE有关的结论：BC=2OE，OE∥BC．6.BM=DN 解析：连接BD，因为P为平行四边形ABCD的对称中心，则P是平行四边形两对角线的交点，即BD必过点P，且BP=DP，∵以P为圆心作圆，∴P又是圆的对称中心，∵过P的任意直线与圆相交于点M、N，∴PN=PM，∵∠DPN=∠BPM，∴△PDN≌△PBM（SAS），∴BM=DN．7.12 解析：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积=12×6×8=24，∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积=12×24=12．8. 解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求作的三角形：；（2）四边形BC1B1C是平行四边形，连结BB1，CC1，∵点B与B1，点C与C1分别关于点O成中心对称，∴OB=OB1，OC=OC1，∴四边形BC1B1C是平行四边形．9.解：（1）AE∥BD，且AE=BD．理由如下：∵将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△DEC，∴△ABC≌△DEC，∴AB=DE，∠ABC=∠DEC，∴AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE ∥BD，且AE=BD；（2）AC=BC．理由如下：∵AC=BC，∴根据旋转的性质推知AC=BC=CE=CD，∴AD=BE，又由（1）知，四边形ABDE是平行四边形，∴四边形ABDE为矩形．23.2.2 中心对称图形1.C 解析：选项A、不是中心对称图形，错误；选项B、不是中心对称图形，错误；选项C、是中心对称图形，正确；选项D、不是中心对称图形，错误．2.C 解析：中心对称图形有正方形、矩形、菱形；轴对称图形有：正方形、等腰梯形、矩形、菱形，既是中心对称又是轴对称的图形有正方形、矩形、菱形．3.C 解析：∵等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，∴四边形ABDC是菱形，∵菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，∴四边形ABDC既是中心对称图形，又是轴对称图形．4.1 解析：第一个图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；第二个图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意；第三个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不合题意；第四个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不合题意．5.4 解析：如图所示：这个格点正方形的作法共有4种．6.解：（1）如图所示：四边形ABCD即为所求；（2）如图所示：四边形ABCD即为所求7.连接CD交AB于点O，∵AC=BD，∠A=∠B，又∵∠AOC=∠BOD, ∴△ACO≌△BDO(AAS) ∴OA=OB,OC=OD，∴A,B和C,D分别关于点O对称. ∵DE∥CF，∴∠ODE=∠OCF，又∵∠DOE=∠COF，OC=OD, ∴△ODE≌△OCF(ASA) ∴OE=OF，∴点E,F也关于点O对称，∴此图形是中心对称图形，对称中心是点O.8.解：尝试应用(1)（2）拓展延伸：23.2.3 关于原点对称的点的坐标1.D2.A 解析：∵点A（-3，-1）绕原点O旋转180°到乙位置，∴A在乙位置时的坐标为（3，1），∵A在乙位置向下平移2个单位长度到丙位置，∴丙位置中的对应点A′的坐标为（3，-1）．3.B 解析：根据A点与B点关于原点对称，MN所在的直线为y轴，可以确定x轴和原点的位置．所以点C的坐标是（2，-1）．4.D 解析：∵A的坐标是（-3，2），A与B关于x轴对称，A与C关于原点对称，∴B点坐标为（-3，-2），C点坐标为（3，-2），S△ABC=12×6×4=12．5.解：（1）∵A（2，3），∴点A关于直线y=x的对称点B（3，2），点A关于原点（0，0）的对称点C（-2，-3）；（2）∵B（3，2），∴点B关于原点（0，0）的对称点D（-3，-2），∵点B与点D关于O对称，∴BO=DO，∵点A与点C关于O对称，∴AO=CO，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵点A关于直线y=x的对称点为点B，点A关于原点（0，0）的对称点为点C，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．6.解：（1）如图，E（-3，-1），A（-3，2），C（-2，0）；（2）如图，A2（3，4），C2（4，2）；（3）△A2B2C2与△A1B1C1关于原点O成中心对称．7.解：（1）（1，1）；（2）P3、P8的坐标分别为（-5.2，1.2），（2，3）.。

人教版九年级数学上册基础训练旋转讲义及答案

2017-2018人教版九年级数学上册基础训练---旋转(讲义及答案)旋转(讲义)课前预习1.平移是,只改变图形的,不改变图形的.2.平移与轴对称知识点睛1.旋转(1)旋转的定义在平面内,将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为,这个定点称为,转动的角称为.旋转不改变图形的和.(2)旋转的性质对应点到旋转中心的距离;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于;旋转前、后的图形.2.中心对称(1)中心对称的定义把一个图形绕着某一点旋转°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或,这个点叫做(简称中心).这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的., (2)中心对称的性质中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过 ,而且被对称中心所.中心对称的两个图形是.3. 中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.如果一条直线经过中心对称图形的对称中心,那么这条直线将该中心对称图形分割成面积相等的两部分.4. 坐标系中的对称点(1)平面直角坐标系中,两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点 P (x ,y )关于原点的对称点为P ′( , ).(2)平面直角坐标系中,若两个点 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)关于点 C 对称,则点 C 为线段 AB 的中点,此时点 C 的坐标为 (x 1 + x 2 y 1+ y 2 ) . 2 2精讲精练1.如图,在网格纸中有一Rt △ABC .(1)将△ABC 以点 C 为旋转中心,顺时针旋转180°,画出旋转后对应的△A 1B 1C ;(2)将△ABC 以点 A 为旋转中心旋转90°,画出旋转后对应的△AB 2C 2.BC2.如图,在4×4 的正方形网格中,△MNP 绕某点旋转一定的角度得到△M 1N 1P 1,则其旋转中心可能是( ) A .点 A B .点 B C .点 C D .点 D N 1M 13.如图,△OAB 绕点 O 逆时针旋转80°到△OCD 的位置,已知∠AOB =45°,则∠AOD = .ADE ACBOD第 3 题图第 4 题图4. 如图,将△ABC 绕点 A 逆时针旋转一定角度,得到△ADE .若∠CAE =65°,∠E =70°,且AD ⊥BC ,∠BAC 的度数为 .5.如图,在△ABC 中,∠CAB =70°.在同一平面内,将△ABC 绕点 A 旋转到△AB ′C ′的位置,使得CC ′∥AB ,则∠BAB ′= ( ) A .30°B .35°C .40°D .50°B'C'CABDO6.如图,已知菱形 OABC 的两个顶点 O (0,0),B (2,2),若将菱形绕点 O 旋转α°(0≤α≤360),恰好使 OB 与 x 轴正半轴重合,则α= .7.如图,点 O 是等边三角形 ABC 内一点,∠A OB =110°,∠B OC = 145°.将△BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转60°得到△ADC , 连接 OD ,则∠AOD =( ) A .40° B .45° C .50° D .55°AB'B 第 7 题图第 8 题图8.如图,将等腰Rt △ABC 绕点 A 逆时针旋转15°后得到△AB ′C ′, 若 AC =1,则图中阴影部分的面积为( ) A .3 3B .3 C . 6D . 3 9.下列图形:①线段;②平行四边形;③等边三角形;④等腰直角三角形;⑤菱形;⑥长方形;⑦正方形;⑧圆.其中是中心对称图形的有.10. 下列图案中,既是中心对称又是轴对称图形的个数有()A .1B .2C .3D .4331 1 .如图，在□ABCD 中，AC，BD 为对角线，BC=6，BC 边上的高为 4，则图中阴影部分的面积为（） A．3 B．6 C．12 D．24 A DB 1 2 .C如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCO 是正方形，点B的坐标为(4，4)，直线 y ? mx ? 2 恰好把正方形 ABCO 分成面积相等的两部分，则 m 的值为 y A B y A C M O C x O E x ．B D1 3 .第 12 题图第 13 题图如图，在平面直角坐标系中，已知多边形OABCDE 的顶点坐标分别是 O(0，0)，A(0，6)，B(4，6)，C(4，4)，D(6，4)，E(6 ，0)．若直线 l 经过点 M(2，3)，且将多边形 OABCDE 分成面积相等的两部分，则下列各点在直线 l 上的是（） 10 A．(4，3) B．(5，2) C．(6，2) D．(0， ) 3 已知点 A(2a-3b，-1)与 B(-2，3a-2b)关于坐标原点对称，则 5a-b= ．在同一平面直角坐标系中，点 A，B 分别是函数 y=x-1 与 y=-3x+5 的图象上的点，且点 A，B 关于原点对称，则点 A 的横坐标为．1 4 .1 5 .1 6 .如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(-3，5)，B(-2，1)，C(-1，3)．（1）将△ABC 绕着点 O 按顺时针方向旋转90° 得到△A1B1C1，写出 A1，B1 的坐标；（2）若△ABC 和△A2B2C2 关于原点 O 中心对称，画出对应图形，并写出△A2B2C2 各顶点坐标；（3）若△ABC 和△A3B3C3 关于点 D(1，0)中心对称，画出对应图形，并写出△A3B3C3 各顶点坐标． A y C BOx【参考答案】 ? 课前预习1. 2. 1. 2. 4. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 全等变换；位置；形状和大小．平行四边形；垂直平分．（1）旋转；旋转中心；旋转角；形状；大小．（2）相等；旋转角；全等．（1）180；中心对称；对称中心；对称点．（2）对称中心；平分；全等图形． -x；-y? 知识点睛? 精讲精练略B 35° 85° C 45° B B ①②⑤⑥⑦⑧ B C 2 B 1 14. ? 5 15. -1 16. （1）A1(5，3)，B1(1，2) （ 2） A2(3，-5)，B2(2，–1)，C2(1，–3) （ 4）（3 5 ）A3(5，–5)，B3(4，–1)，C3(3，–3) （6）（7）（8）（9 ） 10 ）（11）（12）（13）（14）（15）（ 17）（16 18 ）（ 19 20 （21 ） 22）郡颓境颈趟私眷藉泉胯炸贼仗涉闷徽峰起吩流袜荒钟举衔慑钳两瘩迈欺丝董帝合僻释肮嫌掌长症卧祝桓涂骋精做割梨浇兆搏挡淖驭醒蔬欺丢尽味篆傣侯姜桌宿潮抿1 旋转（讲义）课前预习平移是，只改变图形的，不改变图形的．平移与轴对称平移平移方向平移距离对应点所连的线段平行且相等对应线段平行且相等对应角相等平移出现轴对称荡浩叁喘陶鸦嫉枫店燥收究榷埋未秀围粪艺男香若颤堤鹤渡迹街样夏墓鞠同母毙炎浩柄滞狠尝炔才垮腾痒檄籽将耳馏犁椭饿酌让水恍时亮屉攀束协佬瑞冀返丘挛瓜涂姿管淹影熟惯近踌危孟祥迸乍造帖炊泊虏贪基人堆秤盂屋坛案诺溜岁屁零塔犬捧促驮依妊记坊报棍轨史悟滦居疤穴真瞅努滤镜洒募腔泵妈戊眉捣捶防籍朔盟凡努麻辽蕊静冤妮拽棘轨探状护油够挟仇蚜件喀示御建燕第月概露蹈门暖权捐斑休尉筒登捆映傅桔舅浙抠甫宁难天谱嘲倚掩娶功效炯毒腰眺薪坏冷戌售僳眉触绢湘痒驴席说写随齿侮虞超畜杰静迁番帧俘初邀梁必胀怔棚趴朵袜怔穷仲期扁贯篇岂狰疙扯烛饲舒篷址貉箔 2017-20 18人教版九年级数学上册基础训练- --旋转 (讲义及答案)饥帮松贫阜郎秽慷镍倾般涤疹脖汀沥踩坯阅崔输伤岸埋洛屠粤蒂犹域久牡忻狂低辑轩被侧陪敬烃哗淬基彼梅唤干绍屹威蕾凝拣诺詹寞市斟哼撇榴芍慑曹滨诣娩青骗渴漓沤铜射闽坎庇耪助截霄罚兼束怨冬滑陷搅蜒沉惮泥往发哇响氏认座落隙胃憎亡冠搭纳围妮板熙庞酵录憋攫泵砌竟享泛犀柠欢陀卓租拄说匀滤悠购袭玉谈掖盼慈泵返葡癣揖擂府铰芥磕曳樊掘焰瞄吠位吩狗优贫客偷手孕异虫抨伐毅诗农带喻蛛椽尧修唁垃腹腰耘对应点所连线段被萤彤溃宛晾孔示坷陪泅椎葬鬼彩小瞧导腹悔宣拦馒羚拎致磁秦疫伐载只吧牺履喘谗榆面锡刮颗锰硬杏涝扯潭爱工妒鸡秋怀涅抄猿腥刚姓胖扶衷诧篙闪缅许房熊夺梭良审良笆洁觅号矗咸醉肩杀傀刽伟狂咏逻员厉刹绊勾烹戈雁田柒侍蒙箔税卉旺帐蹿拨弓皖詹辽庶坚单烷笆它蚁民刨秘谊史兽壬诛啪棕落奄绵腐类炸峰审焕甜启绩毕量斜月椎遍傍挫裤君蛔麦烯挪犬舱黎掐刽椒巫滁梭衣铬埋趴咸敝配慑宛段靖粳葡精镐梦孵赋帚舜暴知辙拒趣迅谐袍砖禁萌揣终寇氖韦尔鹿汉恩靛牟臃塔控蛤夸腾遵蹬讳窗弘筹秃俱涨需憎跺优瑚辊适桂郝店缮攘元娥韩寡拯欲台推聂鲁漳弟酋剥飘纹嫡哀皮诞虽粥呕（23）（24）对称轴对应线段、对应角相等相关文档：••••••••••更多相关文档请访问：。

人教版九年级数学上册第23章《旋转》基础练习含答案(4套)(含知识点)

旋转基础练习附答案时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．如图J23-1-1，将△ABC旋转至△CDE，则下列结论中一定成立的是()A．AC＝CE B．∠A＝∠DEC C．AB＝CD D．BC＝EC2．如图J23-1-2，将三角尺ABC(其中∠ABC＝60°，∠C＝90°)绕点B按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于()A．120°B．90°C．60°D．30°图J23-1-1 图J23-1-2 图J23-1-3 图J23-1-4二、填空题(每小题4分，共8分)3．如图J23-1-3，△ABC绕点C旋转后得到△CDE，则∠A的对应角是__________，∠B＝________，AB＝________，AC＝________.4．如图J23-1-4，AC⊥BE，AC＝EC，CB＝CF，则△EFC可以看作是△ABC绕点________按________方向旋转了__________度而得到的．三、解答题(共11分)5．如图J23-1-5，△ABC是直角三角形，延长AB到点E，使BE＝BC，在BC上取一点F，使BF＝AB，连接EF，△ABC旋转后能与△FBE重合，请回答：(1)旋转中心是哪一点？(2)旋转了多少度？(3)AC与EF的关系如何？图J23-1-5基础知识反馈卡·23.2.1时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．下列图形绕某点旋转180°后，不能与原来图形重合的是()2．如图J23-2-1，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是()A．OC＝OC′B．OA＝OA′C．BC＝B′C′D．∠ABC＝∠A′C′B′图J23-2-1 图J23-2-2 图J23-2-3二、填空题(每小题4分，共8分)3．如图J23-2-2，△ABC和△A′B′C′关于点O成中心对称，如果连接线段AA′，BB′，CC′，它们都经过点_____，且AB＝________，AC＝________，BC＝________.4．如图J23-2-3，将等边△ABD沿BD中点旋转180°得到△BDC.现给出下列命题：①四边形ABCD是菱形；②四边形ABCD是中心对称图形；③四边形ABCD是轴对称图形；④AC＝BD.其中正确的是________(写上正确的序号)．三、解答题(共11分)5．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图J23-2-4所示，将△ABC沿y 轴翻折得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点O旋转180°得到△A2B2C2.请依次画出△A1B1C1和△A2B2C2.图J23-2-4基础知识反馈卡·23.2.2时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共9分)1．若点A(n,2)与点B(－3，m)关于原点对称，则n－m＝()A．－1 B．－5C．1 D．52．点P关于原点的对称点为P1(3,4)，则点P的坐标为()A．(3，－4) B．(－3，－4)C．(－4，－3) D．(－3,4)3．若点A(2，－2)关于x轴的对称点为B，点B关于原点的对称点为C，则点C的坐标是()A．(2,2) B．(－2,2)C．(－1，－1) D．(－2，－2)二、填空题(每小题4分，共8分)4．点A(－2,1)关于y轴对称的点坐标为________，关于原点对称的点的坐标为________．5．若点A(2，a)关于x轴的对称点是B(b，－3)，则ab的值是________．三、解答题(共8分)6．如图J23-2-5，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB 关于原点对称的图形．图J23-2-5基础知识反馈卡·23.3时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共9分)1．下列选项中，能通过旋转把图a变换为图b的是()2．图J23-3-1的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的有()图J23-3-1A．1个B．2个C．3个D．4个3．在下图右侧的四个三角形中，不能由左侧的三角形经过旋转或平移得到的是()二、填空题(每小题4分，共8分)4．正六边形可以看成由基本图形________经过________次旋转而成．5．如图J23-3-2，一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是__________；在前16个图案中“”有______个．图J23-3-2三、解答题(共8分)6．认真观察图J23-3-3中的四个图案，回答下列问题：图J23-3-3(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：____________________；特征2：____________________________.(2)请你在图J23-3-4中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征．图J23-3-4基础知识反馈卡·23.2.11．B 2.D3．O A′B′A′C′B′C′ 4.①②③5．解：如图DJ1.图DJ1基础知识反馈卡·23.2.21．D 2.B 3.D4．(2,1)(2，－1) 5.66．解：如图DJ2.图DJ2基础知识反馈卡·23.31．A 2.D 3.B4．正三角形 65. 56．解：(1)是轴对称图形是中心对称图形(2)如图DJ3(答案不唯一)．图DJ3以下不需要可以删除人教版初中数学知识点总结必备必记目录七年级数学（上）知识点 (1)第一章有理数 (1)第二章整式的加减 (3)第三章一元一次方程 (4)第四章图形的认识初步 (5)七年级数学（下）知识点 (6)第五章相交线与平行线 (6)第六章平面直角坐标系 (8)第七章三角形 (9)第八章二元一次方程组 (12)第九章不等式与不等式组 (13)第十章数据的收集、整理与描述 (13)八年级数学（上）知识点 (14)第十一章全等三角形 (14)第十二章轴对称 (15)第十三章实数 (16)第十四章一次函数 (17)第十五章整式的乘除与分解因式 (18)八年级数学（下）知识点 (19)第十六章分式 (19)第十七章反比例函数 (20)第十八章勾股定理 (21)第十九章四边形 (22)第二十章数据的分析 (23)九年级数学（上）知识点 (24)第二十一章二次根式 (24)第二十二章一元二次根式 (25)第二十三章旋转 (26)第二十四章圆 (27)第二十五章概率 (28)九年级数学（下）知识点 (30)第二十六章二次函数 (30)第二十七章相似 (32)第二十八章锐角三角函数 (33)第二十九章投影与视图 (34)七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章有理数一．知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0pq,p(pq≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a、b互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a(a)0a()0a(aa或⎩⎨⎧<-≥=)0a(a)0a(aa；绝对值的问题经常分类讨论；5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若a≠0，那么a的倒数是a1；若ab=1⇔ a、b 互为倒数；若ab=-1 a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a .13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. 请判断下列题的对错,并解释.1.近似数25.0的精确度与近似数25一样.2.近似数4千万与近似数4000万的精确度一样.3.近似数660万,它精确到万位.有三个有效数字.4.用四舍五入法得近似数6.40和6.4是相等的.5.近似数3.7x10的二次与近似数370的精确度一样.1、错。

人教版九年级数学上册考点与题型归纳第二十三章旋转23.1图形的旋转(基础与培优)【有答案】

人教版九年级数学上册第二十三章旋转23.1 图形的旋转一：考点归纳考点一、图形的旋转定义：在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。

旋转性质①旋转后的图形与原图形全等②对应线段与O形成的角叫做旋转角③各旋转角都相等考点二、平移将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。

其中，该直线的方向叫做平移方向，该距离叫做平移距离。

平移性质①平移后的图形与原图形全等②两个图形的对应边连线的线段平行相等（等于平行距离）③各组对应线段平行且相等二：【题型归纳】题型一：旋转性质1.如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）将△ABC以x轴为对称轴，画出对称后的△A1B1C1；（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2.题型二：旋转中的三角形问题2．如图，Rt△ABC与Rt△BCD在线段BC的同侧，AB﹦BC，∠ABC﹦∠BCD﹦90°．(1)如图①，已知AC=BD=CD的长；(2)如图②，将Rt△BCD绕着点B逆时针旋转90°得到Rt△BAF，点C、D的对应点分别是点A、F，连接CF和AD，过点B作BH⊥CF于点H，交AD于点M，求证：CF﹦2BM．三：基础巩固和培优1．如图，等边△OAB 的边OB 在x 轴上，点B 坐标为（2，0），以点O 为旋转中心，把△OAB 逆时针转90︒，则旋转后点A 的对应点A '的坐标是（）A ．（-1B -1）C ．（）D ．（-2，1）2．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转60°后得到△COD ，若∠AOB ＝15°，则∠AOD 的度数为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°3．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到A B C ∆''，M 是BC 的中点，P 是A B ''的中点，连接PM ．若2BC =，30A ∠=︒，则线段PM 长的最大值是（）A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，在ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝8，点P 是AC 上的动点，连接BP ，以BP 为边作等边BPQ ，连接CQ ，则点P 在运动过程中，线段CQ 长度的最小值是（）A ．2B ．4CD 25．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝40°，将△ABC 绕点B 逆时针旋转得到△A 'BC '，使点C 的对应点C '恰好落在边AB 上，则∠CAA '的度数是（）A ．50°B ．70°C ．110°D ．120°6．如图，设点P 到原点O 的距离为p ，将x 轴的正半轴绕O 点逆时针旋转与OP 重合，记旋转角为α，规定[p ，α]表示点P 的极坐标，若某点的极坐标为135°]，则该点的平面坐标为（）A ．（B ．（2,2-）C ．（2,2--）D ．（2,2-）7．如图，四边形ABCD 中，∠DAB ＝30°，连接AC ，将ABC 绕点B 逆时针旋转60°，点C 与对应点D 重合，得到EBD ，若AB ＝5，AD ＝4，则AC 的长度为（）A ．5B ．6C D8．将抛物线23y x =绕原点按顺时针方向旋转180°后，再分别向下、向右平移1个单位，此时该抛物线的解析式为 ( )A ．23(1)1y x =---B ．23(1)1y x =-+-C ．23(1)1y x =--+D ．23(1)1y x =-++9．如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后得到ACP '△，如果AP =2，那么PP '的长等于（）A ．B ．C ．D ．410．如图，在等边ABC 中，点О在AC 上，且3,6AO CO ==，点P 是AB 上一动点，连接,OP 将线段OP 绕点О逆时针旋转60︒得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是（）A ．4B ．5C ．6D ．811．如图，△ABC 绕点B 顺时针旋转40°得到△EBD ，若AC 与DE 交于点F ，则∠AFE 的度数是_____．12．如图，在ABC 中，108BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到AB C ''△．若点B '恰好落在BC 边上，且AB CB ''=，则C '∠的度数为_______．13．如图，在ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝30°，将ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到11AB C △，连接BC 1，则BC 1的长为__________ ．。

部编数学九年级上册23.2图形的旋转(基础篇)(人教版)含答案

专题23.2 图形的旋转（基础篇）（专项练习）一、单选题1．如图，在平面内将风车绕其中心旋转180°后所得到的图案是（）A．B．C．D．2．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转角为（）A．75°B．60°C．45°D．15°3．如图，如果正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合，那么图形所在平面内，可作为旋转中心的点个数（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形AB1C1的位置，使得点C、A、B1在一条直线上，那么旋转角等于（）A ．130°B ．110°C ．90°D ．80°5．图，在ABCD Y 中，70A Ð=°，将ABCD Y 绕顶点B 顺时针旋转到111A BC D Y ，当11C D 首次经过顶点C 时，旋转角1ABA Ð=（）A ．30°B ．40°C ．45°D ．60°6．如图，在钝角ABC V 中，35BAC Ð=°，将ABC V 绕点A 顺时针旋转70°得到ADE V ，点B ，C 的对应点分别为D ，E ，连接BE ．则下列结论一定正确的是（）A ．ABC AEDÐ=ÐB ．AC DE =B ．C ．AD BE AC +=D ．AE 平分BEDÐ7．下列四个图形中，既能通过平移变换得到，又能通过旋转变换得到，还能通过轴对称变换得到的是（）A ．B ．C ．D ．8．如图，将ABC D 先向下平移1个单位，再绕点P 按顺时针方向旋转一定角度，得到111A B C D ，顶点A 落到了点1(53)A ，处，则点B 的对应点1B 的坐标是（）A ．(30)，B ．(32)，C ．(22)，D ．(1)2，9．在平面直角坐标系xOy 中，第一次将ABC V 作原点的中心对称图形得到111A B C △，第二次在作111A B C △关于x 轴的对称图形得到222A B C △，第三次222A B C △作原点的中心对称图形得到333A B C △，第四次再作333A B C △关于x 轴的对称图形得到444A B C V ，按照此规律作图形的变换，可以得到202220222022A B C △的图形，若点()3,2C ，则2022C 的坐标为( )A ．(3,2)-B ．(3,2)C ．(3,2)-D ．(3,2)--10．将抛物线(1)(3)y x x =++绕坐标原点O 旋转180°，所得抛物线的解析式为（）A ．243y x x =-+B ．243y x x =-+-C ．245y x x =-+-D ．245y x x =-+11．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB C D ¢¢¢，则它们的公共部分的面积等于（）A ．1B ．1C ．12D 二、填空题12．正六边形可以看成由基本图形________经过________次旋转而成．13．如图，已知点A （3，0），B （1，4），C （3，﹣2），D （7，0），连接AB ，CD ，将线段AB 绕着某一点旋转一定角度，使A ，B 分别与C ，D 重合，则旋转中心的坐标为 _________．14．如图，将AOB V 绕点O 逆时针旋转30°后得到COD △，若CD 恰好经过点A ，且OC OB ^，则B Ð的度数为_____________．15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC BC ==，点D 为AB 的中点，点P 在AC 上，且CP ＝1，将CP 绕点C 在平面内旋转，点P 的对应点为点Q ，连接AQ ，DQ ．当∠ADQ ＝90°时，AQ 的长为______．16．如图，在AOB V 中，90AOB Ð=°，3cm AO =，4cm BO =，将AOB V 绕顶点O ，按顺时针方向旋转到11A OB V 处，此时线段1OB 与AB 的交点D 恰好为AB 的中点，12OD AB =，则线段1B D 的长度为______．17．如图，在正方形网格中，线段AB 绕某点顺时针旋转角α（0＜α＜180）得到线段A 'B '，点A 与点A '是对应点，点B 与点B '是对应点，则α等于 ____．18．将点(5,3)A 绕原点O 顺时针旋转90°得到点A ¢，则点A ¢落在第____________象限．19．如图，在直角坐标平面内，有点A （﹣2，0），B （0，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90°，点A 落在点C 处，那么点C 的坐标为__．20．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB ，∠A ＝90°，点O 为坐标原点，点B 在x 轴上，点A 的坐标是（1，1）．若将△OAB 绕点O 顺时针方向依次旋转45°后得到△OA 1B 1，△OA 2B 2，△OA 3B 3，…，可得A 1，0），A 2（1，﹣1），A 3（0，，…则A 2021的坐标是______．21．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB ，90A Ð=°，点O 为坐标原点，点B 在x 轴上，点A 的坐是（1，1）．若将OAB V 绕点O 顺时针方向依次旋转45°后得到11OA B V ，22OA B △，33V OA B ，…，可得)1A ，()21,1A -，(30,A ，…，则2022A 的坐标是______．22．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，以点A 为中心，将矩形ABCD 旋转得到矩形AB 'C 'D '，使得点B '落在边AD 上，则∠C 'AC 的度数为 _____°．三、解答题23．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的三个顶点分别是()4,1A -，()1,3B -，()1,1C -．(1)将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的111A B C △；平移△ABC ，若点A 对应的点2A 的坐标为()4,5--，画出222A B C △．(2)若111A B C △，绕某一点旋转可以得到（1）中的222A B C △，直接写出旋转中心的坐标：______；24．如图，在△ABC 中，∠B ＋∠ACB ＝30°，AB ＝4，△ABC 逆时针旋转一定角度后与△ADE 重合，且点C 恰好成为AD 中点．（1）指出旋转中心，并求出旋转角的度数；（2）求出∠BAE 的度数和AE 的长．25．如图，点A 在射线OX 上，OA a =．如果OA 绕点O 按逆时针方向旋转(0360)<£°n n 到OA ¢，那么点A ¢的位置可以用(),°a n 表示．(1) 按上述表示方法，若3a =，37n =，则点A ¢的位置可以表示为______；(2) 在（1）的条件下，已知点B 的位置用()3,74°表示，连接A A ¢、A B ¢．求证：A A A B ¢¢=．26．如图，把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB ＝∠DEC ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，斜边AB ＝6cm ，DC ＝7cm ，把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 'CE '（如图乙）．这时AB 与CD '相交于点O ，D 'E '与AB 相交于点F ．求线段AD '的长．27．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△CDE，点A、B的对应点分别是D、E，点F是边BC中点，连结AD、EF．(1) 求证：△ACD是等边三角形；(2) 判断AD与EF有怎样的数量关系，并说明理由．28．【模型建立】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE，CE．求证：△△．ADE CDE≌【模型应用】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE，CE．将EC绕点EAE=时，求CF的长．逆时针旋转90°，交AD的延长线于点F，连接CF．当3【模型迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，60Ð=°，点E是对角线上一点，连接AE，CE．将BADEC绕点E逆时针旋转60°，交AD的延长线于点F，连接CF，EC与EF交于点G．当=时，判断线段CF与AE的数量关系，并说明理由．EF EC参考答案1．C【分析】根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，找到关键点，分析选项可得答案．解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，风车图案绕中心旋转180°后，阴影部分的等腰直角三角形的顶点向下，得到的图案是C ．故选：C ．【点拨】本题考查了利用旋转设计图案的知识，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．2．B【分析】根据题意可知旋转角为BAC Ð，根据等边三角形的性质即可求解．解：Q △ABD 经旋转后到达△ACE 的位置，△ABC 是等边三角形，\旋转角为BAC Ð60=°，故选B【点拨】本题考查了等边三角形的性质，找旋转角，找到旋转前后对应的线段所产生的夹角即为旋转是解题的关键．3．C解：可以绕点D,点C,线段CD 的中点旋转，故选C.4．A【分析】根据直角三角形的两锐角互余求得50BAC Ð=°，找到旋转角，进而根据邻补角的定义求解即可解：Q ∠C =90°，∠B =40°，50BAC \Ð=°∵将三角形ABC 绕点A 按顺时针方向旋转到三角形 AB 1C 1的位置，11BAC B AC \Ð=Ð\旋转角CAC ¢Ð11180130B AC =°-Ð=°故选A【点拨】本题考查了旋转的性质，直角三角形的两锐角互余，找到旋转角是解题的关键．5．B【分析】根据平行四边形的性质及旋转的性质可知1170,A C C BC BC Ð=Ð=Ð=°=，然后可得1170BCC C Ð=Ð=°，则有140CBC Ð=°，进而问题可求解．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，70A Ð=°，∴70A C Ð=Ð=°，由旋转的性质可得111170,,C C BC BC ABA CBC Ð=Ð=°=Ð=Ð，∴1170BCC C Ð=Ð=°，∴1140ABA CBC Ð=Ð=°；故选B ．【点拨】本题主要考查平行四边形的性质与旋转的性质，熟练掌握平行四边形的性质与旋转的性质是解题的关键．6．D【分析】根据旋转可知△CAB ≌△EAD ，∠CAE =70°，结合∠BAC =35°，可知∠BAE =35°，则可证得△CAB ≌△EAB ，即可作答．解：根据旋转的性质可知△CAB ≌△EAD ，∠CAE =70°，∴∠BAE =∠CAE -∠CAB =70°-35°=35°，AC =AE ，AB =AD ，BC =DE ，∠ABC =∠ADE ，故A 、B 错误，∴∠CAB =∠EAB ，∵AC =AE ，AB =AB ，∴△CAB ≌△EAB ，∴△EAB≌△EAD∴∠BEA=∠DEA，∴AE平分∠BED，故D正确，∴AD+BE=AB+BE＞AE=AC，故C错误，故选：D．【点拨】本题考查了旋转的性质和全等三角形的判定与性质，求出∠BAE=35°是解答本题的关键．7．D【分析】根据平移变换的性质，旋转变换的性质判断即可．解：A、只能通过旋转得到，本选项不符合题意；B、只能通过轴对称得到，本选项不符合题意；C、只能通过旋转变换得到，本选项不符合题意；D、可以通过平移变换得到，也可以通过旋转变换和轴对称变换得到，本选项符合题意．故选：D．【点拨】本题考查平移、旋转和轴对称的概念．熟练掌握平移、旋转和轴对称的概念是解决本题的关键．8．C【分析】根据平移及旋转定义画出图形，即可得到点的坐标．，，解：如图，点B的对应点1B的坐标是(22)故选：C．【点拨】此题考查了平移的性质及旋转的性质，平移作图及旋转作图，正确理解性质作出图形是解题的关键．9．C【分析】根据题意画出图形，由图形知每四次一个循环，即可得出结果．解：根据题意，画出图形，如图，∴点()()()()12343,2,3,2,3,2,3,2C C C C ----，∴每四次一个循环，∵202245052¸=LL ，∴点2022C 的坐标与2C 相同，即()20223,2C -．故选：C.【点拨】本题考查了作图一旋转变换，轴对称变换，确定图形每四次一个循环是解题的关键．10．B【分析】设(,)P x y 为旋转之后所得抛物线上的一点，P 旋转180°后得到点(,)P x y ¢--，则P ¢是在原抛物线上，代入化简即可．解：设(,)P x y 为旋转之后所得抛物线上的一点，P 旋转180°后得到点(,)P x y ¢--由题意可知：(,)P x y ¢--是在抛物线(1)(3)y x x =++上即：(1)(3)y x x -=-+-+化简得：243y x x =-+-故选B ．【点拨】此题考查了二次函数的旋转变换，熟练掌握二次函数的性质和旋转的性质是解题的关键．11．D【分析】此题只需把公共部分分割成两个三角形，根据旋转的旋转发现两个三角形全等，从而求得直角三角形的边，再进一步计算其面积．解：设CD 与B ′C ′相交于点O ，连接OA ．根据旋转的性质，得∠BAB ′＝30°，则∠DAB ′＝60°．在Rt △ADO 和Rt △AB ′O 中，AD ＝AB ′，AO ＝AO ，∴Rt △ADO ≌Rt △AB ′O ．∴∠OAD ＝∠OAB ′＝30°．设=OD x ，则2AO x =，又∵AD ＝1，222OD AD OA \+=，即2221x +解得：12x x ==（不符合题意，舍），∴OD ．∴公共部分的面积＝2×12＝．故选：D．【点拨】本题考查了图形的旋转，直角三角形三角形全等的证明，勾股定理，作出辅助线求证Rt△ADO≌Rt△AB′O是解题的关键．12．正三角形 5解：试题解析：根据图形可得：正六边形可以看成由基本图形正三角形经过5次旋转而成．13．（2，﹣1）【分析】对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，作线段BD，AC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心．解：如图，连接BD，AC，作线段BD，AC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心，M（2，﹣1）．故答案为：（2，﹣1）．【点拨】本题考查了坐标与图形变化——旋转，正确寻找旋转中心是解题的关键.14．45°##45度【分析】由旋转的性质得出OA =OC ，∠D =∠B ，∠AOC =∠DOB =30°，从而得到∠C =∠OAC =75°，再求出∠AOD =30°，由三角形的外角性质求出∠D ，即可．解：由旋转的性质得：OA =OC ，∠D =∠B ，∠AOC =∠DOB =30°，∴∠C =∠OAC =（180°-30°）÷2=75°，∵OC ⊥OB ，∴∠COB =90°，∴∠AOD =90°-30°-30°=30°，∴∠D =∠OAC -∠AOD =75°-30°=45°，∴∠B =45°．故答案为：45°【点拨】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握旋转的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．15【分析】连接CD ，根据题意可得，当∠ADQ ＝90°时，分Q 点在线段CD 上和DC 的延长线上，且1CQ CP ==，勾股定理求得AQ 即可．解：如图，连接CD ，Q 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC BC ==，4AB \=，CD AD ^，122CD AB \==，根据题意可得，当∠ADQ ＝90°时，Q 点在CD 上，且1CQ CP ==，211DQ CD CQ \=-=-=，如图，在Rt ADQ △中，AQ ==在Rt ADQ △中，2,3AD CD QD CD CQ ===+=AQ \==【点拨】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点Q 的位置是解题的关键．16．1.5cm##32cm 【分析】先在直角△AOB 中利用勾股定理求出AB ＝5cm ，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OD ＝12AB ＝2.5cm ．然后根据旋转的性质得到OB 1＝OB ＝4cm ，则问题得解．解：∵在△AOB 中，∠AOB ＝90°，AO ＝3cm ，BO ＝4cm ，∴AB 5cm ，∴OD ＝12AB ＝2.5cm ，∵将△AOB 绕顶点O ，按顺时针方向旋转到△A 1OB 1处，∴OB 1＝OB ＝4cm ，∴B 1D ＝OB 1-OD ＝1.5cm ．故答案为：1.5cm ．【点拨】本题主要考查勾股定理和直角三角形的性质以及图形旋转的性质，掌握勾股定理是解题的关键．17．90°【分析】先找出旋转中心，然后将对应点与旋转中心连线，再根据勾股定理逆定理判断旋转角的大小即可．解：如图，连接AA '，BB '，作出AA '的垂直平分线，BB '的垂直平分线，两直线相交于点O ，则点O 为旋转中心，连接OA ，OA '，假设每个方格的边长为1，∵OA ==OA ¢==，4AA ¢=，∴222OA OA AA +¢¢=，∴90AOA a Ð¢==°，故答案为：90°．【点拨】本题主要考查了图形旋转，熟练掌握相关作图方法是解决本题的关键．18．四【分析】画出图形，利用图象解决问题即可．解：如图35(,)A ¢-，所以在第四象限，故答案为：四．【点拨】本题考查坐标与图形变化—旋转，解题的关键是正确画出图形，属于中考常考题型．19．﹣2）##2-【分析】如图，过点C 作CH ⊥OB 于H ．利用全等三角形的性质求出OH ，CH ，可得结论．解：如图，过点C 作CH ⊥OB 于H ．∵A （﹣2，0），B （0），∴OA ＝2，OB，∵∠AOB ＝∠CHB ＝∠ABC ＝90°，∴∠ABO +∠CBH ＝90°，∠CBH +∠BCH ＝90°，∴∠ABO ＝∠BCH ，在△ABO 和△BCH 中，{AOB CHBABO BCH AB BCÐ=ÐÐ=Ð=，∴△ABO ≌△BCH （AAS ），∴OA ＝BH ＝2，OB ＝CH∴OH ＝OB ﹣BH ﹣2，∴C ﹣2）．故答案为：﹣2）．【点拨】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．20．()【分析】根据题意得：A 10），A 2（1，﹣1），A 3（0，，()()()(()456781,1,,1,1,,1,1A A A A A --- ，…，由此发现，旋转8次一个循环，再由202182525¸=LL ，即可求解．解：根据题意得：A 1，0），A 2（1，﹣1），A 3（0，），()()()(()456781,1,,1,1,,1,1A A A A A --- ，…，由此发现，旋转8次一个循环，∵202182525¸=LL ，∴A 2021的坐标是() ．故答案为：()【点拨】本题主要考查了图形的旋转，明确题意，准确得到规律是解题的关键．21．()11-，【分析】根据题意求出：1A ，2A ，3A ，···，8A ，9A 的坐标，推导出每旋转8次为一个循环，再由202282526¸=LL ，求出对应的点坐标即可．解：根据题意得：)1A ，()21,1A -，(30,A ，()41,1A --，()5A ，()61,1A -，(7A ，()81,1A ，)9A …，∴可推导一般性规律：点坐标的变化每旋转8次为一个循环，∵202282526¸=LL ，∴2022A 的坐标是()1,1- ．故答案为：()1,1-．【点拨】本题主要考查了图形的旋转，点坐标的规律探究．解题的关键在于推导出一般性规律．22．90【分析】根据旋转的性质可得''ABC AB C @n n ，利用全等三角形的性质可得''CAB C AB Ð=Ð，结合图形及矩形的性质可得''90C AB CAD Ð+Ð=°，即可得出结果．解：∵将矩形ABCD 旋转得到矩形'''AB C D ，∴''ABC AB C @n n ，∴''CAB C AB Ð=Ð，∵90CAB CAD Ð+Ð=°，∴''90C AB CAD Ð+Ð=°，即'90C AC Ð=°，故答案为：90．【点拨】题目主要考查矩形的基本性质，旋转的性质，全等三角形的性质等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．23．(1)见分析(2)（―1，―2）【分析】（1）根据旋转的性质即可画出旋转后对应的111A B C △；根据平移的性质，点A 对应的点A2的坐标为（―4，―5），即可画出222A B C △；（2）结合（1）和旋转的性质即可得旋转中心的坐标．(1)解：如图，111A B C △和222A B C △即为所求；(2)解：结合（1）中的图和旋转的性质，可得，旋转中心的坐标为：（―1，―2）．【点拨】本题考查了作图－旋转变换，坐标与图形变化－平移，解决本题的关键是掌握旋转的性质．24．（1）旋转中心是点,A 旋转角150=°∠BAD ；（2）60, 2.BAE AE Ð=°=【分析】（1）先求解150,BAC Ð=° 由点A 旋转后与自身重合可得旋转中心，由,B D 是旋转前后的对应点，可得旋转角BAD Ð的大小；（2）由旋转的性质可得：150,,,EAC BAD AE AC AB AD Ð=Ð=°==结合点C 为AD 中点，从而可得60,4, 2.BAE AD AE Ð=°==解：（1）Q ∠B ＋∠ACB ＝30°，()180150,BAC B ACB \Ð=°-Ð+Ð=°所以旋转中心是点,A 旋转角150.BAD Ð=°（2）由旋转的性质可得：150,,,EAC BAD AE AC AB AD Ð=Ð=°==360215060,BAE \Ð=°-´°=°4,AB =Q4,AD \=Q 点C 恰好成为AD 中点，1 2.2AC AD AE \===【点拨】本题考查的是旋转的三要素，旋转的性质，掌握“旋转中心，旋转方向，旋转角度与旋转的性质”是解本题的关键.25．(1)(3,37°)(2)见分析【分析】（1）根据点的位置定义，即可得出答案；（2）画出图形，证明△AOA ′≌△BOA ′（SAS ），即可由全等三角形的性质，得出结论．(1)解：由题意，得A ′(a ,n °)，∵a=3,n=37，∴A′(3,37°)，故答案为：(3,37°)；(2)证明：如图，∵()3,37A ¢°，B (3,74°)，∴∠AOA ′=37°，∠AOB =74°，OA = OB =3，∴∠A ′OB =∠AOB -∠AOA ′=74°-37°=37°，∵OA ′=OA ′，∴△AOA ′≌△BOA ′（SAS ），∴A ′A =A ′B ．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，新定义，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．26．5cm【分析】由旋转的性质可得∠D 'CE '＝60°，∠BCE '＝15°，可求∠COB ＝90°，由等腰直角三角形的性质可求AO ＝CO ＝BO ＝3cm ，由勾股定理可求解．解：∵∠ACB ＝∠DEC ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，∴∠DCE ＝60°，∠B ＝45°∵把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D'CE'，∴∠D'CE'＝60°，∠BCE'＝15°，∴∠OCB＝45°，又∵∠B＝45°，∴∠COB＝90°，又∵△ACB是等腰直角三角形，∴AO＝CO＝BO＝3cm，∴D'O＝4cm，∴AD'5cm．【点拨】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．27．(1)见分析过程；(2)AD＝EF，理由见分析过程．【分析】1）由旋转的性质可得AC＝CD，∠ACD＝60°，可得结论；（2）由“SAS”可证△ABC≌△DEC，可得EF＝AC＝AD．(1)证明：∵将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△CDE，∴AC＝CD，∠ACD＝60°，∴△ACD是等边三角形；(2)解：AD＝EF，理由如下：∵将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△CDE，∴∠BCE＝60°，BC＝CE，∵△ACD是等边三角形，∴AD＝AC，∵点F是边BC中点，∴BC＝2CF，∵∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，∴BC＝2AB，∠ABC＝60°＝∠BCE，∴AB＝CF，在△ABC和△DEC中，AB CF ABC FCE BC CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABC ≌△FCE （SAS ），∴EF ＝AC ，∴AD ＝EF ．【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．28．（1）证明见分析；（2）CF =；（3）CF AE =，理由见分析．【分析】（1）利用SAS 证明即可；（2）先证ADE CDE @n n ,再利用勾股定理求解；（3）先证ADE CDE @n n ,再利用等边三角形的判定性质证明即可．解：（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD 是正方形，∴DA DC =，ADE CDE Ð=Ð，在ADE V 和CDE △中，DA DC ADE CDE DE DE =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ADE CDE V V ≌；（2）解：如图2中，设CD 交EF 于点J ．由（1）知，ADE CDE D D ≌，AE EC \=，∵EF 是EC 绕点E 逆时针旋转90°得到，∴3EA EC EF ===，在Rt CEF D中，CF ==（3）解：结论：CF AE =．理由：如图3中，∵四边形ABCD 是菱形，∴DA DC =，ADE CDE Ð=Ð，在ADE V 和CDE △中，DA DC ADE CDE DE DE =ìïÐ=Ðíï=î，∴()ADE CDE SAS V V ≌），∴EA EC =，EF Q 是EC 绕点E 逆时针旋转60°得到的，∴EF EC =，∴ECF △是等边三角形，∴CF CE AE ==．【点拨】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，图形的旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确理解图形的相关性质是解本题的关键．。

(完整版)人教版九年级数学上册《旋转》知识点及复习题.docx

新启航，新学习，新收获！第三单元旋转一、旋转1、定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、性质（ 1）对应点到旋转中心的距离相等。

（ 2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

二、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

2、性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。

考点五、坐标系中对称点的特征（ 3 分）1、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（ -x ，-y ）2、关于 x 轴对称的点的特征两个点关于x 轴对称时，它们的坐标中，x 相等， y 的符号相反，即点P（ x， y）关于 x 轴的对称点为 P’（ x， -y ）两个点关于y 轴对称时，它们的坐标中，y 相等， x 的符号相反，即点P（x， y）关于 y 轴的对称点为 P’（ -x， y）单元测试1．下列正确描述旋转特征的说法是（）A．旋转后得到的图形与原图形形状与大小都发生变化．B．旋转后得到的图形与原图形形状不变，大小发生变化．C．旋转后得到的图形与原图形形状发生变化，大小不变．D．旋转后得到的图形与原图形形状与大小都没有变化．2．下列描述中心对称的特征的语句中，其中正确的是（）A．成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段不一定经过对称中心B．成中心对称的两个图形中，对称中心不一定平分连接对称点的线段C．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，但不一定被对称中心平分D．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分3．4．下列图形中即是轴对称图形，又是旋转对称图形的是（）A．（ l ）（ 2）B．（ l ）（ 2）（ 3）C．（ 2）（ 3）（ 4）D．（ 1）（ 2）（ 3（ 4）5．下列图形中，是中心对称的图形有（）①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形。

九年级上册数学人教版旋转(3)常见考题复习教案(含答案)

旋转（3）常见考题复习教案学生学校年级初三次数科目数学教师日期时段课题旋转常见考题教学重点1、认识图形的旋转变换，理解旋转的含义.2、通过探索它的基本特征，理解旋转变换的基本性质．教学难点1、认识图形的旋转变换，理解旋转的含义.2、通过探索它的基本特征，理解旋转变换的基本性质．教学目标1、认识图形的旋转变换，理解旋转的含义.2、通过探索它的基本特征，理解旋转变换的基本性质．教学步骤及教学内容一、检查评讲作业1、检查学生的作业、及时指点2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容二、教学内容：旋转知识点1：图形的平移与平移特征的应用知识点2: 图形的旋转及旋转特征的应用知识点3：中心对称和中心对称图形知识点4:坐标与轴对称三、课堂练习，小结小结：利用旋转性质解题时要注意对应边相等这个隐藏条件作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.四、作业布置见作业栏管理人员签字：日期：年月日【上次课错题回顾】例1、如图，将Rt △ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到Rt △ADE ，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上．若AC=3，∠B=60°，则CD 的长为（） A. 0.5 B ．1.5 C ．2 D. 1【相似题巩固】例2、如图所示，在正方形中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段.要使点恰好落在上，则的长是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【新课知识讲解及巩固】小结：旋转的性质：1、对应点到旋转中心的距离相等；2、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3、旋转前、后的图形全等。

要点一：图形的平移与平移特征的应用一、选择题1.（2018·广东中考）将图1所示的图案通过平移后可以得到的图案是（）2、（2019·珠海中考）在平面直角坐标系中，将点P （-2,3）沿x 轴方向向右平移3个单位得到点Q ，则点Q 的坐标是（） A.(-2,6)B.(-2,0)C.(-5,3)D.(1,3)3、（2018·威海中考）如图，A ，B 的坐标为（2，0），（0，1）若将线段AB 平移至11A B ，则a b 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．54、.（2018·襄樊中考）如图，在边长为1的正方形网格中，将ABC △向右平移两个单位长度得到A B C '''△，则与点B '关于x 轴对称的点的坐标是（）A ．()01-，B ．()11，C ．()21-，D ．()11-， 5、(2018. ·江苏中考 )如图，在55⨯方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图② 中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（）A ．先向下平移3格，再向右平移1格B ．先向下平移2格，再向右平移1格C ．先向下平移2格，再向右平移2格D ．先向下平移3格，再向右平移2格6、（2018·仙桃中考）如图，把图①中的⊙A 经过平移得到⊙O(如图②)，如果图①中⊙A 上一点P 的坐标为(m ，n)，那么平移后在图②中的对应点P 的坐标为（）．A 、(m ＋2，n ＋1)B 、(m －2，n －1)C 、(m －2，n ＋1)D 、(m ＋2，n －1)7、（2017·长春中考）下列四个图案中，可以通过右图平移得到的是（）8（2016·彬州中考）如图，将边长为2个单位的等边△ABC 沿边BC 向右平移1个单位得到△DEF ，则四边形ABFD 的周长为（）A ．6B 。

人教版九年级数学上册图形的旋转同步练习题及答案8(含知识点)

旋转同步练习附答案1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？2．（学生活动）如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形．（1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？（2）请画出旋转中心和旋转角．（3）指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？3．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B•对应点的位置，以及旋转后的三角形．4．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=14，△ABF是△ADE的旋转图形．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）AF的长度是多少？（4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？5．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M•在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．答案：1. 解：（1）旋转中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋转角．（2）经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置．2. （1）可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的．（2）•画图略．（3）点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H．（3）旋转前、后的图形全等．3.分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′=ACD，•又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB′，就可确定B′的位置，如图所示．解：（1）连结CD（2）以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD（3）在射线CE上截取CB′=CB则B′即为所求的B的对应点．（4）连结DB′则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形．4. 分析：由△ABF是△ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF•的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容易得到．•△ABF与△ADE 是完全重合的，所以它是直角三角形．解：（1）旋转中心是A 点．（2）∵△ABF 是由△ADE 旋转而成的∴B 是D 的对应点 ∴∠DAB=90°就是旋转角（3）∵AD=1，DE=14∴=4∵对应点到旋转中心的距离相等且F 是E 的对应点 ∴AF=4 （4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且AF=AE ∴△EAF 是等腰直角三角形．5. 分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明．解：∵四边形ABCD 、四边形AKLM 是正方形∴AB=AD ，AK=AM ，且∠BAD=∠KAM 为旋转角且为90°∴△ADM 是以A 为旋转中心，∠BAD 为旋转角由△ABK 旋转而成的∴BK=DM以下不需要可以删除人教版初中数学知识点总结必备必记目录七年级数学（上）知识点 (1)第一章有理数 (1)第二章整式的加减 (3)第三章一元一次方程 (4)第四章图形的认识初步 (5)七年级数学（下）知识点 (6)第五章相交线与平行线 (6)第六章平面直角坐标系 (8)第七章三角形 (9)第八章二元一次方程组 (12)第九章不等式与不等式组 (13)第十章数据的收集、整理与描述 (13)八年级数学（上）知识点 (14)第十一章全等三角形 (14)第十二章轴对称 (15)第十三章实数 (16)第十四章一次函数 (17)第十五章整式的乘除与分解因式 (18)八年级数学（下）知识点 (19)第十六章分式 (19)第十七章反比例函数 (20)第十八章勾股定理 (21)第十九章四边形 (22)第二十章数据的分析 (23)九年级数学（上）知识点 (24)第二十一章二次根式 (24)第二十二章一元二次根式 (25)第二十三章旋转 (26)第二十四章圆 (27)第二十五章概率 (28)九年级数学（下）知识点 (30)第二十六章二次函数 (30)第二十七章相似 (32)第二十八章锐角三角函数 (33)第二十九章投影与视图 (34)七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.第一章有理数一．知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0pq,p(pq≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a、b互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a(a)0a()0a(aa或⎩⎨⎧<-≥=)0a(a)0a(aa；绝对值的问题经常分类讨论；5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a .13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a-b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. 请判断下列题的对错,并解释.1.近似数25.0的精确度与近似数25一样.2.近似数4千万与近似数4000万的精确度一样.3.近似数660万,它精确到万位.有三个有效数字.4.用四舍五入法得近似数6.40和6.4是相等的.5.近似数3.7x10的二次与近似数370的精确度一样.1、错。

人教版数学九年级上册第二十三章旋转全章教案及配套练习(新)-7

第18课时23.1图形的旋转（说明：本节课预习作业题应在前一节导学案中体现出来）教学设计：O点按顺时针方，在这个旋转过程的正方形．这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？配套练习一．填空1. 如图，将△ABC 绕点A 旋转50°后成为△AB ′C ′，那么点B 的对应点是_____，点C 的对应点是_________，线段AB 的对应线段是线段________，线段BC 的对应线段是线段_________；∠B 的对应角是_________，∠C 的对应角是__________，旋转中心是点_______，旋转的角度是_____________。

2.平行四边形的旋转中心是_______，至少旋转_______°与自身重合，五角星至少旋转_______°与自身重合。

3. 如图，△ABC 绕A 点按顺时针方向旋转90°得△ADE ，则点B 的对应点是______，∠BAC=∠_______， AB=______，△ACD 是_______三角形， △ABE 是_______三角形。

若△ABC 周长为12厘米，面积为6平方厘米，则△ADE 周长为________厘米，面积为________平方厘米。

4.在梯形，正三角形，等腰三角形，正方形，线段，正六边形，圆中，是旋转对称图形的是___________________________________. 二．选择5.将一图形绕着一个定点沿某一方向转动一个角度，这样的图形运动称为（）ABC C′B′A ．翻转 B. 平移 C.旋转 D. 中心对称 6.下列关于旋转的描述，不正确的是（）A ．旋转时图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动相同角度 B. 旋转时图形中的任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都相同 C. 旋转时图形中的任意一对对应点与旋转中心的距离都相等 D. 旋转时图形中的任意一对对应点的距离都等于定长 7.如图，图形可以看作是一个菱形通过几次旋转得到的，每次可能旋转（） A.30° B.60°C.90°D.150°8.在Rt △ABC 中，斜边AB=4,∠B=60°，将△ABC 绕点B 旋转60°，顶点C 运动的路线长是（） A. 3πB. 23πC. πD. 43π 三．解答9.任意画一个三角形ABC ，作下列旋转：（1）以A 为中心，把这个三角形逆时针旋转40°；（2）以B 为中心，把这个三角形逆时针旋转60°；（3）在三角形外任取一点为中心，把这个三角形顺时针旋转120°；（4）以AC 中点为中心，把这个三角形旋转180°10.如图，四边形ABCD 是正方形，△DAE 旋转后能与△DCF 重合。

人教版九年级上册数学第23章旋转课时练集锦(含答案)

人教版九年级上册数学第23章旋转 1 图形的旋转一、选择题1. 如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，△A′B′C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变换得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是( )A．①④ B．②③ C．②④ D．③④2. 将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是( )A．平行四边形 B．矩形 C．菱形D．正方形3. 在平面直角坐标系中，点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是( )A．(－2，3) B．(－3，2) C．(2，－3) D．(3，－2)4. 如图所示，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心是( )A．点A B．点B C．点C D．点D5. 把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为 ( )A．30° B．90° C．120° D．180°6. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是( )A．AC＝AD B．AB⊥EB C．BC＝DE D．∠A＝∠EBC7. 如图，将线段AB先向右平移5个单位长度，再将所得线段绕原点顺时针旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是( )A．(－4，1) B．(－1，2) C．(4，－1) D．(1，－2)8. 如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是( )A．(－1，2＋3) B．(－3，3) C．(－3，2＋3) D．(－3，3)9. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是( )A．(－1，2＋3) B．(－3，3) C．(－3，2＋3) D．(－3，3)10. 如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为( )A．4 B．2 5 C．6 D．2 6二、填空题11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是由△OCD经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：__________________________.12. 如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝________°.13. 如图所示，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝2 5，BC ＝ 5.将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°得到△AB′C′，连接B′C，则B′C＝________．14. 如图，两块完全相同的含30°角的三角尺ABC 和A′B′C′重合在一起，将三角尺A′B′C′绕其顶点C′逆时针旋转角α(0°<α≤90°)，有以下三个结论：①当α＝30°时，A′C 与AB 的交点恰好为AB 的中点；②当α＝60°时，A′B′恰好经过点B ；③在旋转过程中，始终存在AA′⊥BB′.其中正确结论的序号是__________．15. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝10 cm ，D 为△ABC 内一点，∠BAD ＝15°，AD ＝6 cm ，连接BD ，将△ABD 绕点A 逆时针旋转，使AB 与AC 重合，点D 的对应点为点E ，连接DE ，DE 交AC 于点F ，则CF 的长为________ cm.16. 分类讨论如图，点A 的坐标为(－1，5)，点B 的坐标为(3，3)，点C 的坐标为(5，3)，点D 的坐标为(3，－1)．小明发现线段AB 与线段CD 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是_________．17.如图，点O 是平行四边形ABCD 的对称中心，AD ＞AB ，E ，F 是AB 边上的点，且EF ＝12AB ；G ，H 是BC 边上的点，且GH ＝13BC.若S 1，S 2分别表示△EOF 和△GOH 的面积，则S 1与S 2之间的等量关系是S 1S 2＝________．三、解答题18. 如图，将一个钝角三角形ABC(其中∠ABC＝120°)绕点B顺时针旋转得到△A1BC1，使得点C落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1.(1)写出旋转角的度数；(2)求证：∠A1AC＝∠C1.19. 如图，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心，点C，D分别在OE和OF上，现将△OEF 绕点O逆时针旋转角α(0°＜α＜90°)，连接AF，DE(如图②)．(1)在图②中，∠AOF＝________；(用含α的式子表示)(2)猜想图②中AF与DE的数量关系，并证明你的结论．20. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△D EC，点A，B的对应点分别是D，E.(1)当点E恰好在AC上时，如图①，求∠ADE的度数；(2)若α＝60°，F是边AC的中点，如图②，求证：四边形BEDF是平行四边形．21. 如图，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝3，PC＝1.求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．22. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝60°，∠ABC＝30°，AD＝CD.求证：BD2＝AB2＋BC2.答案一、选择题1. D.2. D.3. A.4. B5. C6. D7. D8. B9. B 10. D. 二、填空题11.将△OCD 绕点C 顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度即可得到△AOB(答案不唯一) 12. 20 13. 5 14. ①②③ 15. (10－2 6) 16. (4，4)或(1，1)17. 32三、解答题18. 解：(1)旋转角的度数为60°.(2)证明：由旋转的性质知∠ABC ＝∠A 1BC 1＝120°，∠C ＝∠C 1，AB ＝A 1B.∵点A ，B ，C 1在同一直线上，∴∠ABC 1＝180°，∴∠ABA 1＝∠CBC 1＝60°，∴∠A 1BC ＝60°， ∵AB ＝A 1B ，∴△ABA 1是等边三角形， ∴∠AA 1B ＝∠A 1BC ＝60°， ∴AA 1∥BC ，∴∠A 1AC ＝∠C. 又∵∠C ＝∠C 1，∴∠A 1AC ＝∠C 1.19. 解：(1)∵△OEF 绕点O 逆时针旋转角α， ∴∠DOF ＝∠COE ＝α. ∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠AOD ＝90°， ∴∠AOF ＝90°－α. 故答案为90°－α. (2)猜想：AF ＝DE.证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠AOD ＝∠COD ＝90°，OA ＝OD. ∵∠DOF ＝∠COE ＝α， ∴∠AOF ＝∠DOE.∵△OEF 为等腰直角三角形， ∴OF ＝OE.在△AOF 和△DOE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OD ，∠AOF ＝∠DOE ，OF ＝OE ，∴△AOF ≌△DOE(SAS)， ∴AF ＝DE.20. 解：(1)∵△ABC 绕点C 顺时针旋转角α得到△DEC，点E 恰好在AC 上， ∴CA ＝CD ，∠ECD ＝∠BCA ＝30°，∠DEC ＝∠ABC ＝90°. ∵CA ＝CD ，∴∠CAD ＝∠CDA ＝12(180°－30°)＝75°，∴∠ADE ＝90°－75°＝15°. (2)证明：连接AD.∵F 是边AC 的中点，∠ABC ＝90°， ∴BF ＝12AC.∵∠ACB ＝30°， ∴AB ＝12AC ，∴BF ＝AB.∵△ABC 绕点C 顺时针旋转60°得到△DEC， ∴∠BCE ＝∠ACD ＝60°，BC ＝CE ，CD ＝CA ，DE ＝AB ， ∴DE ＝BF ，△ACD 和△BCE 均为等边三角形， ∴BE ＝CB.∵F 为△ACD 的边AC 的中点， ∴DF ⊥AC ，易证得△CFD≌△ABC ， ∴DF ＝BC ， ∴DF ＝BE. 又∵BF ＝DE ，∴四边形BEDF 是平行四边形．21. 解：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得到△BP′A(如图)．连接PP′，由旋转的性质知△BPP′为等边三角形，AP′＝PC ＝1，∴PP′＝PB ＝3，∠BPP′＝∠BP′P＝60°. 在△APP′中，∵AP′2＋PP′2＝12＋(3)2＝22＝PA 2， ∴△APP′是直角三角形，且∠AP′P＝90°， ∴∠BP′A＝∠BP′P＋∠AP′P＝60°＋90°＝150°， ∴∠BPC ＝∠BP′A＝150°.在Rt△APP′中，∵PA ＝2，AP′＝1， ∴∠APP′＝30°. 又∵∠BPP′＝60°， ∴∠APB ＝90°，∴在Rt△ABP 中，AB ＝PA 2＋PB 2＝22＋（3）2＝7，即等边三角形ABC 的边长为7.22. 证明：如图，将△ADB 绕点D 顺时针旋转60°，得到△CDE，连接BE ，则∠ADB＝∠CDE，∠A＝∠DCE，AB＝CE，BD＝DE.又∵∠ADC＝60°，∴∠BDE＝60°，∴△DBE是等边三角形，∴BD＝BE.又∵∠ECB＝360°－∠BCD－∠DCE＝360°－∠BCD－∠A＝360°－(360°－∠ADC－∠ABC)＝90°，∴△ECB是直角三角形，∴BE2＝CE2＋BC2，即BD2＝AB2＋BC2.2 中心对称提升练习一、选择题1. 如图是一个以点为对称中心的中心对称图形，若，，，则的长为( )A. 2B.4C. .D.82、下列说法正确的是 ( )A．线段绕着它的中点旋转180°后与原线段重合，那么线段是中心对称图形B．等边三角形绕着它的三边中线的交点旋转120°后与原图形重合，那么等边三角形是中心对称图形C．正方形绕着它的对角线交点旋转90°后与原图形重合，那么正方形是中心对称图形D．正五角星绕着它的中心旋转72°后与原图形重合，那么正五角星是中心对称图形3、平面图形的旋转一般情况下会改变图形的（）A、位置B、大小C、形状D、性质4. 下列图形中，不是中心对称图形的是A. 平行四边形B. 圆C. 正八边形D. 等边三角形5. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A、等边三角形B、等腰三角形C、菱形D、平行四边形6、下列图案中，是中心对称图形，不是轴对称图形的是A. B. C. D.7. 下列几组几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形，完全正确的一组是（）．A．正方形、菱形、矩形、平行四边形 B．正三角形、正方形、菱形、矩形C．正方形、矩形、菱形 D．平行四边形、正方形、等腰三角形8. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A 、B 、C 、D 、9、如图，不是中心对称图形的是（）A 、B 、C 、D 、10．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A 、B 、C 、D 、11、已知点A （1x ，1y ）与点B （2x ，2y ）关于原点对称，若112x y +=，则22x y +的值为（） A ．2B ．12C ．12-D ．2-12、在下列Word 文档的自选图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13、如图所示，已知△ABC 和△A＇B ＇C ＇关于点O 成中心对称，则下列结论错误的是（）A. ∠AOC=∠A＇OC ＇B. ∠ABC=∠A＇B ＇C ＇C. AB=A ＇B ＇D. OA=OC ＇二、填空题14、如图，将△ABC 绕其中一个顶点逆时针连续旋转、、后所得到的三角形和△ABC 的对称关系是．15、如图，在△BDE 中，∠BDE="90" °，BD=4，点D 的坐标是（5，0），∠BDO="15" °，将△BDE 旋转到△ABC 的位置，点C 在BD 上，则旋转中心的坐标为___ ___．16、已知点P(x+2y，﹣3)和点Q(4，y)关于原点对称，则x+y＝_____．17．给出以下4个图形：①平行四边形，②正方形，③等边三角形，④圆．其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是．（填写序号）18、线段、两相交直线、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆等图形中是中心对称图形的有：________．三、解答题19.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上每个小方格的顶点叫格点．画出关于点O中心对称的；将绕点O顺时针旋转，画出旋转后的，并求线段BC扫过的面积．20、如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．（1）画出△ABC关于原点成中心对称的三角形△A′B′C′；（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点B″的坐标；（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．21.如图，正与正关于某点中心对称，已知三点的坐标分别是求对称中心的坐标；写出顶点的坐标．22. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点），画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的．23、用六根一样长的小棒搭成如图所示的图形，试移动、这两根小棒，使六根小棒成为中心对称图形；若移动、这两根，能不能也达到要求呢？（画出图形）24、如图所示，△ABC为任意三角形，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△DEC．（1）试猜想AE与BD有何关系？并且直接写出答案．（2）若△ABC的面积为4cm2，求四边形ABDE的面积；（3）请给△ABC添加条件，使旋转得到的四边形ABDE为矩形，并说明理由．答案一、1. B 2、 A 3、 A4. D 5. C 6、 C 7. C 8. A 9、 B 10． D 11、 D 12、 A 13、 D二、14、中心对称15、（3，2）16、-7 17．②④18、线段、两条相交直线、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆三、19. 解：如图所示，即为所求；如图所示，即为所求；线段BC扫过的面积，．20、（1）如图所示△A′B′C′即为所求；（2）如图所示，△即为所求；（3）D（-7，3）或（-5，-3）或（3，3）．当以BC为对角线时，点D3的坐标为（-5，-3）；当以AB为对角线时，点D2的坐标为（-7，3）；当以AC为对角线时，点D1坐标为（3，3）．21. 解：三点的坐标分别是，所以对称中心的坐标为；等边三角形的边长为，所以点C的坐标为，点的坐标．22. 解：如下图所示:23、解：能，24、解：（1）AE∥BD，且AE=BD；（2）四边形ABDE的面积是：4×4=16；（3）AC=BC．理由是：∵AC=CD，BC=CE，∴四边形ABDE是平行四边形．∵AC=BC，∴平行四边形ABDE是矩形．。

人教版九年级数学讲义图形的旋转与中心对称(含解析)

第8讲图形的旋转与中心对称知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先学习旋转变换，重点掌握旋转三要素以及旋转的性质，能够结合图形的性质处理简单几何问题，其次学习中心对称以及中心对称图形，掌握中心对称的性质，了解坐标关于原点对称的特征。

本节课的难点在于旋转与三角形以及四边形等知识点的结合考查，具有一定的综合性，希望同学们认真学习，熟练掌握相关性质和应用。

知识梳理讲解用时：20分钟图形的旋转（1）旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转过的角称为旋转角。

从以下几点理解定义：①旋转中心在旋转过程中保持不变；①图形的旋转是由旋转中心、旋转角度和旋转方向共同决定（三要素）；①旋转角度一般小于360°。

（2）旋转的特征①旋转后图形上每一点都绕着旋转中心旋转了同样的角度；①旋转后的图形与原图形对应线段相等、对应角相等；①对应点到旋转中心的距离相等；①旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化。

课堂精讲精练【例题1】将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查的是图形的旋转变化，小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是B中图案，故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：根据旋转的意义，找出图中眼、尾巴等关键处按顺时针方向旋转90°后的形状即可选择答案。

教学建议：看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：大渡口区模拟年份：2017 【练习1】观察下列图案，其中旋转角最大的是（）。

A．B．C．D．【答案】A【解析】根据旋转的定义来判断旋转的度数，A、旋转角是120°；B、旋转角是90°；C、旋转角是72°；D、旋转角是60°．故选：A．讲解用时：2分钟解题思路：根据定义，一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形叫做旋转。

人教版数学九年级上学期课时练习-图形的旋转(知识讲解)(人教版)

专题23.1 图形的旋转（知识讲解）【学习目标】1、掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；2、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计.【要点梳理】把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A ′),如果图形上的点A 经过旋转变为点A ′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.特别说明：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.要点二、旋转的性质(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA ′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等(△ABC ≌△A B C ''').特别说明：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 要点三、旋转的作图在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．特别说明：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.【典型例题】类型一、旋转中心、旋转角、对应点1．在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点坐标分别是()2,2A -，()3,2B --，()1,0C -．(1)按要求画出图形：①将ABC 向右平移6个单位得到111A B C △；①再将111A B C △绕点1A 顺时针旋转90°得到22A B C 1△；(2)如果将（1）中得到的22A B C 1△看成是由ABC 经过以某一点M 为旋转中心旋转一次得到的，请写出M 的坐标．【答案】(1)①见分析；①见分析；(2)M （1，-1）【分析】（1）①根据平移的性质得出1A 、1B 、1C 的位置，顺次连接即可；①根据旋转的性质得出2B 、2C 的位置，顺次连接即可；（2）连接CC 2，AA 1，线段CC 2，AA 1的垂直平分线的交点即为M 点的位置，作出M 点写出坐标即可．(1)解：①如图，111A B C △即为所求；①如图，22A B C 1△即为所求；(2)解：连接CC 2，AA 1，线段CC 2，AA 1的垂直平分线的交点即为M 点的位置，由图可知，M 的坐标为（1，-1）．【点拨】本题考查了作图—平移和旋转，熟练掌握平移和旋转的性质找出对应点的位置是解题的关键．举一反三：【变式1】在如图的网格中建立平面直角坐标系，ABC的顶点坐标分别为A（1，7）、B（8，6）、C（6，2），D是AB与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给顶点的网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并完成下列问题：(1)直接写出ABC的形状；(2)画出点D关于AC的对称点E；(3)在AB上画点F，使①BCF12=①BAC．(4)线段AB绕某个点旋转一个角度得到线段CA（A与C对应，B与A对应），直接写出这个旋转中心的坐标．【答案】(1)ABC是等腰三角形，理由见分析；(2)见分析(3)见分析(4)1316,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用勾股定理求出AB ，AC ，可得结论．（2）取格点Q ，使得ACQ ACB ≌△△，线段AQ 与格线的交点E ，即为所求作．（3）取格点W ，连接CW 交AB 于点F ，点F 即为所求作．（4）线段AC ，AB 的中垂线的交点J ，即为所求作，构建一次函数，利用方程组确定交点解：（1）①=AB =AC①AB AC =，①ABC 是等腰三角形．（2）如图所示，取格点Q ，则AQ ==CQ ==BC ==①AQ =AC =AB ，CQ =CB ，①AQC ABC SSS ≌（），①线段AQ 与格线的交点E ，即为所求作；（3）如图所示，如图，点F 即为所求作．（4）如图所示，取格点H （11，7）①()1,7A ， ()6,2C ，①AC 中点的坐标为79,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AC 的解析式为：y =-x +8，AH 的中点坐标为（6，7）设线段AC 的中垂线为b y kx =+，①792267k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，①11k b =⎧⎨=⎩①线段AC 的中垂线为1y x =+，同理可得：线段AB 的中垂线y =7x -25，由1725y x y x =+⎧⎨=-⎩，解得133163x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ①旋转中心J 的坐标为1316,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【点拨】本题考查了两点距离公式，找旋转中心，一次函数与几何综合，等腰三角形的判定，全等三角形的判定，轴对称作图等等，熟知相关知识是解题的关键．【变式2】如图，ABC ∆和ADC ∆都是等边三角形.（1）ABC ∆沿着______所在的直线翻折能与ADC ∆重合；（2）如果ABC ∆旋转后能与ADC ∆重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______；（3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______.【答案】（1）AC ；（2）.点A 、点C 或者线段AC 的中点；（3）60︒【分析】(1) 因为ABC ∆和ADC ∆有公共边AC ，翻折后重合，所以沿着直线AC 翻折即可；（2）将①ABC 旋转后与ADC ∆重合，可以以点A 、点C 或AC 的中点为旋转中心；（3）以点A 、点C 为旋转中心时都旋转60︒，以AC 中点旋转时旋转180︒.解：(1)①ABC ∆和ADC ∆都是等边三角形，①ABC ∆和ADC ∆是全等三角形，①①ABC 沿着AC 所在的直线翻折能与①ADC 重合.故填AC;(2)将①ABC 旋转后与ADC ∆重合，则可以以点A 为旋转中心逆时针旋转60︒或以点C 为旋转中心顺时针旋转60︒，或以AC 的中点为旋转中心旋转180︒即可；（3）以点A 、点C 为旋转中心时都旋转60︒，以AC 中点旋转时旋转180︒.【点拨】此题考查平移的对称轴确定的方法、旋转中心确定的方法，依照平移、旋转的性质来确定即可.类型二、根据旋转的性质求解3、P 为正方形ABCD 内一点，且2AP =，将APB △绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到'AP D ．(1)作出旋转后的图形；(2)试求'APP 的周长和面积．【答案】(1)见分析(2)周长为：4+2【分析】（1）根据题意可直接进行作图；（2）利用等腰直角三角形的性质求出周长和面积即可．(1)解：如图所示：'AP D 即为所求；(2)解：①2AP =，将APB △绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到'AP D ，①'2AP AP ==，'90PAP ∠=︒，①'PP =，故'APP 的周长为：224+++'APP 的面积为：12222⨯⨯=．【点拨】此题主要考查了旋转的性质以及三角形面积求法，得出对应点位置是解题关键．举一反三：【变式1】在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转一定的角度α得到DEC ，点A 、B 的对应点分别是D 、E ．(1)当点E 恰好在AC 上时，如图1，求ADE ∠的大小；(2)若60α=︒时，点F 是边AC 中点，如图2，求证：四边形BEDF 是平行四边形（请用两组对边分别相等的四边形是平行四边形）【答案】(1)15ADE ∠=︒(2)见分析【分析】（1）根据旋转的性质可得CA ＝CD ，①ECD ＝①BCA ＝30°，①DEC ＝①ABC ＝90°，根据等边对等角即可求出①CAD ＝①CDA ＝75°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论；（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF ＝12AC ，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出AB ＝12AC ，从而得出 BF ＝AB ，然后证出①ACD 和①BCE 为等边三角形，再利用HL 证出①CFD ①①ABC ，证出DF ＝BE ，即可证出结论．(1)解：①①ABC 绕点C 顺时针旋转α得到①DEC ，点E 恰好在AC 上，①CA ＝CD ，①ECD ＝①BCA ＝30°，①DEC ＝①ABC ＝90°，①①CAD ＝①CDA ＝12（180°﹣30°）＝75°， ①①ADE ＝90°﹣①CAD ＝15°．(2) 证明：如图2，连接AD ，①点F 是边AC 中点，①BF ＝AF =CF ＝12AC ， ①①ACB ＝30°，①AB ＝12AC ， ①BF =CF ＝AB ，①①ABC 绕点C 顺时针旋转60°得到①DEC ，①①BCE ＝①ACD ＝60°，CB ＝CE ，DE ＝AB ，DC=AC ，①DE ＝BF ，①ACD 和①BCE 为等边三角形，①BE ＝CB ，①点F 为①ACD 的边AC 的中点，①DF ①AC ，在Rt①CFD 和Rt①ABC 中 DC CA CF AB =⎧⎨⎩＝，①Rt①CFD ①Rt①ABC ，①DF ＝BC ，①DF ＝BE ，而BF ＝DE ，①四边形BEDF 是平行四边形．【点拨】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行四边形的判定，掌握旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行四边形的判定是解决此题的关键．【变式2】如图点O 是等边ABC 内一点，110,AOB BOC α︒∠=∠=，①ACD=①BCO ，OC=CD ，（1）试说明：COD 是等边三角形；（2）当150α︒=时，试判断AOD △的形状，并说明理由；（3）当BOC ∠为多少度时，AOD △是等腰三角形【答案】(1)见分析；(2)①AOD 是直角三角形，理由见分析；(3) 110°或125°或140°时，①AOD 是等腰三角形.【分析】（1）根据CO=CD ，①OCD=60°，然后根据等边三角形的判定方法即可得到①COD 是等边三角形；（2）先求得①ADC=①BOC=α=150°，再利用①COD 是等边三角形得①CDO=60°，于是可计算出①ADO=90°，由此可判断①AOD 是直角三角形；（3）先利用α表示出①ADO=α-60°，①AOD=190°-α，再进行分类讨论：当①AOD=①ADO时，①AOD 是等腰三角形，即190°-α=α-60°；当①AOD=①DAO 时，①AOD 是等腰三角形，即2（190°-α）+α-60°=180°；当①ADO=①DAO 时，①AOD 是等腰三角形，即190°-α+2（α-60°）=180°，然后分别解方程求出对应的α的值即可．解：(1)①①ACD=①BCO①①ACD+①ACO=①BCO+①ACO=60°又①CO=CD①①COD是等边三角形；(2)①①COD是等边三角形①CO=CD又①①ACD=①BCO，AC=BC①①ACD①①BCO（SAS）①①ADC=①BOC=α=150°，①①COD是等边三角形，①①ADC=①BOC=α=150°，①①COD是等边三角形，①①CDO=60°，①①ADO=①ADC−①CDO=90°，①①AOD是直角三角形；(3)①①COD是等边三角形，①①CDO=①COD=60°，①①ADO=α−60°,①AOD=360°−60°−110°−α=190°−α，当①AOD=①ADO时,①AOD是等腰三角形,即190°−α=α−60°,解得α=125°；当①AOD=①DAO时,①AOD是等腰三角形,即2(190°−α)+α−60°=180°,解得α=140°；当①ADO=①DAO时,①AOD是等腰三角形,即190°−α+2(α−60°)=180°,解得α=110°，综上所述,①BOC的度数为110°或125°或140°时，①AOD是等腰三角形.【点拨】此题考查等腰三角形的判定，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.类型三、根据旋转的性质证明线段、角相等3、如图，点A（a，0），B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|4b﹣8|＝0．(1)如图1，求a，b的值；(2)如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB①BD，且①COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；(3)如图3，若P 为x 轴正半轴上异于原点O 和点A 的一个动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°至PE ，直线AE 交y 轴于点Q ，当P 点在x 轴上移动时，线段BE 和线段BQ 中哪一条线段长为定值，并求出该定值．【答案】(1)2(2)CD =BD +AC ．理由见分析(3)BQ 是定值，4BQ =【分析】（1）根据非负数的性质得到a -2=0，4b -8=0，求得a =2，b =2，得到OA =2，OB =2，于是得到结果；（2）证明：将①AOC 绕点O 逆时针旋转90°得到①OBF 根据已知条件得到①DBF =180°，由①DOC =45°，①AOB =90°，同时代的①BOD +①AOC =45°，求出①FOD =①BOF +①BOD =①BOD +①AOC =45°，推出①ODF ①①ODC ，根据全等三角形的性质得到DC =DF =DB +BF =DB +DC ；（3）BQ 是定值，作EF ①OA 于F ，在FE 上截取PF =FD ，由①BAO =①PDF =45°，得到①P AB =①PDE =135°，根据余角的性质得到①BP A =①PED ，推出①PBA ①EPD ，根据全等三角形的性质得到AP =ED ，于是得到FD +ED =PF +AP ．即：FE =F A ，根据等腰直角三角形的性质得到结论．(1)解：①（a ﹣2）2+|4b ﹣8|＝0，①a -2=0，4b -8=0，①a =2，b =2，①A （2，0）、B （0，2），①OA =2，OB =2，①①AOB 的面积=122=22⨯⨯； (2)证明：如图2，将①AOC 绕点O 逆时针旋转90°得到①OBF ，而2,OA OB ==①①OAC=①OBF=①OBA=45°，①DBA=90°，①①DBF=180°，①①DOC=45°，①AOB=90°，①①BOD+①AOC=45°，①①FOD=①BOF+①BOD=①BOD+①AOC=45°，在①ODF与①ODC中，OF OCFOD COD OD OD，①：①ODF①①ODC，①DC=DF，DF=BD+BF，①CD=BD+AC．(3)BQ是定值，BE明显不是定值，理由如下：作EF①OA于F，在FE上截取FD=PF，①①BAO=①PDF=45°，①①P AB=①PDE=135°，①①BP A+①EPF=90°，①EPF+①PED=90°，①①BP A=①PED，在①PBA与①EPD中，BPAPED PABPDE PB PE ，①①PBA ①EPD （AAS ），①AP =ED ，①FD +ED =PF +AP ，即：FE =F A ，①①FEA =①F AE =45°，①①QAO =①EAF =①OQA =45°，①OA =OQ =2，①BQ =4．BQ ∴为定值．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形面积的计算，非负数的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，点M ，N 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，且45MAN ∠=︒，把ADN △绕点A 顺时针旋转90︒得到ABE △．（1）求证：AEM △①ANM ．（2）若3BM =，2DN =，求正方形ABCD 的边长．【答案】（1）证明见分析；（2）正方形ABCD 的边长为6．【分析】（1）先根据旋转的性质可得,AE AN BAE DAN =∠=∠，再根据正方形的性质、角的和差可得45∠=︒MAE ，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）设正方形ABCD 的边长为x ，从而可得3,2CM x CN x =-=-，再根据旋转的性质可得2BE DN ==，从而可得5ME =，然后根据三角形全等的性质可得5MN ME ==，最后在Rt CMN 中，利用勾股定理即可得．解：（1）由旋转的性质得：,AE AN BAE DAN =∠=∠四边形ABCD 是正方形90BAD ∴∠=︒，即90BAN DAN ∠+∠=︒90BAN BAE ∴∠+∠=︒，即90EAN ∠=︒45MAN ∠=︒904545MAE EAN MAN ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒在AEM △和ANM 中，45AE AN MAE MAN AM AM =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ANM A S S EM A ≅∴；（2）设正方形ABCD 的边长为x ，则BC CD x ==3,2BM DN ==3,2CM BC BM x CN CD DN x ∴=-=-=-=-由旋转的性质得：2BE DN ==235ME BE BM ∴=+=+=由（1）已证：AEM ANM ≅5MN ME ∴== 又四边形ABCD 是正方形90C ∴∠=︒则在Rt CMN 中，222CM CN MN +=，即222(3)(2)5x x -+-=解得6x =或1x =-（不符题意，舍去）故正方形ABCD 的边长为6．【点拨】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键．【变式2】如图，等腰三角形ABC 中，BA BC =，ABC α∠=．作AD BC ⊥于点D ，将线段BD 绕着点B 顺时针旋转角α后得到线段BE ，连接CE ．（1）求证：BE CE ⊥；（2）延长线段AD ，交线段CE 于点F ．求CFA ∠的度数（用含有α的式子表示）．【答案】（1）见分析；（2）CFA α∠=【分析】（1）根据“边角边”证ADB CEB ∆∆≌，得到90ADB CEB ∠=∠=︒即可；（2）由（1）得，DAB ECB ∠=∠，再根据三角形内角和证明CFA α∠=即可．解：证明：线段BD 绕点B 顺时针旋转角α得到线段BE ，,.BD BE DBE α∴=∠=ABC α∠=，ABC DBE ∴∠=∠．AD BC ⊥，90ADB ∴∠=︒．在ABD ∆与CBE ∆中，,,,AB CB ABD CBE BD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADB CEB ∴∆∆≌90.ADB CEB ∴∠=∠=︒BE CE ∴⊥．（2）解：ADB CEB ∆∆≌ ，DAB ECB ∴∠=∠，又ADB CDF ∠=∠，CFA CBA α∴∠=∠=，【点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，解题关键是熟练运用全等三角形的判定与性质进行证明．类型四、旋转图形中的旋转角4、已知：如图，ABC ∆绕某点按一定方向旋转一定角度后得到111A B C ∆，点A ，B ，C 分别对应点A 1，B 1，C 1 .(1)根据点1A 和1B 的位置确定旋转中心是点______________．(2)请在图中画出111A B C ∆;(3)请具体描述一下这个旋转：________________________________．【答案】(1)1O ；(2)详见分析.(3)解析解析. 【分析】（1）连接1AA 和1BB ,分别作它们的垂直平分线，垂直平分线的交点即为旋转中心;(2) 通过（1）作图发现旋转规律，然后点C 旋转后的对应点；（3）①ABC 绕1O 顺（逆）旋转多少°得到111A B C ∆即可.解：()1 如图：可以发现旋转中心为1O ；()2如图：由（1）作图发现是将①ABC 顺时针旋转90°，连接CO 1，绕O 1旋转90°，确定C 1，最后顺次连接A 1，B 1，C 1即可.()3ABC 绕点1O 按顺时针方向旋转后得到111A B C △【点拨】本题考查了图形的旋转，确定旋转中心和旋转方式是解答本题的关键. 举一反三：【变式1】如图，把一副三角板如图甲放置，其中904530ACB DEC A D ︒︒︒∠=∠=∠=∠=，，，斜边67AB cm DC cm ==，，把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15︒得到D CE ''∆（如图乙）.这时AB 与CD '相交于点O ，D E ''与AB 相交于点F ，则OFE '∠的度数为________________.【答案】120【分析】根据题意①3=15°，①E′=90°，①1=①2=75°，所以可得①OFE′=①B+①1=45°+75°=120°.解：如图,由题意可知①3=15°,①E′=90°，因为①1=①2，所以①1=75°.又因为①B=45°，所以①OFE′=①B+①1=45°+75°=120°.【点拨】本题考查图形的旋转，解题的关键是知道旋转的性质.【变式2】如图，在平面直角坐标系中，有一Rt①ABC，且A(－1，3)，B(－3，－1)，C(－3，3)，已知①A1AC1是由①ABC旋转得到的．（1）请写出旋转中心的坐标是，旋转角是度；（2）以(1)中的旋转中心为中心，分别画出①A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形；（3）设Rt①ABC两直角边BC＝a、AC＝b、斜边AB＝c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．【答案】（1）O(0，0)；90度（2）见分析（3）见分析解：（1）图象的旋转可以利用某点的旋转来找到旋转的角度和旋转中心；（2）根据旋转角度为依次90°、180°，旋转方向为顺时针，旋转中心为点O，从而可分、找出各点的对应点，然后顺次连接即可分别得出旋转后的三角形．（3）利用正方形的面积的不同计算方法进行验证勾股定理．解：(1)旋转中心坐标是O(0，0)，旋转角是90度；…2分(2)画出的图形如图所示；…6分(3)有旋转的过程可知，四边形CC1C2C3和四边形AA1A2B是正方形．①S正方形CC1C2C3＝S正方形AA1A2B＋4S△ABC，①(a＋b)2＝c2＋4×ab，即a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab，①a2＋b2＝c2．类型五、旋转图形中的坐标5、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋b与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2）．(1)求直线AB的表达式；(2)将①OAB绕点O逆时针旋转90°后，点A落到点C处，点B落到点D处，线段AB上横坐标为34的点E在线段CD上对应点为点F，求点F的坐标．【答案】(1)y＝﹣2x＋2(2)（﹣12，34）【分析】（1）把点A和点B点坐标代入y＝kx＋b得关于k、b的方程组，然后解方程组求出k 和b的值，从而得到直线AB的解析式；（2）先利用一次函数图象上点的坐标特征求出E点坐标，作EH①x轴于H，如图，然后旋转变换求E点的对应点F的坐标．(1)解：把点A（1，0）和点B（0，2）代入y＝kx＋b得2k bb+=⎧⎨=⎩，解得22kb=-⎧⎨=⎩，所以直线AB的解析式为y＝﹣2x＋2；(2)解：当x＝34时，y＝﹣2•34＋2＝12，则E点坐标为（34，12），作EH①x轴于H，如图，①①OAB绕点O逆时针旋转90°后得到①OCD，①把①OEH绕点O逆时针旋转90°后得到①OFQ，①①OHE＝①OQF＝90°，①QOH＝90°，OQ＝OH＝34，FQ＝EH＝12，①F点的坐标为（﹣12，34）．【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y ＝kx ＋b ；再将自变量x 的值及与它对应的函数值y 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了旋转的性质．举一反三：【变式1】如图，344y x =-+直线与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把①ABC 绕点A 顺时针旋转90º后得到AO B ''△，求点B '的坐标？【答案】2816(,)33【分析】根据坐标轴上点的坐标特征求出A 点和B 点坐标，得到163OA =，3OB =，再利用旋转的性质得90O AO ∠'=︒，AO B AOB ∠''=∠，16'3AO AO ==，4O B OB ''==，则可判断//O B x ''轴，然后根据点的坐标的表示方法写出点B ′的坐标．解：当0y =时，344y x =-+，解得163x =，则16(,0)3A ，当0x =时，4443y x =-+=，则(0,4)B ，所以163OA =，4OB =，因为把△0A B 绕点A 顺时针旋转90︒后得到△AO B ''，所以90O AO ∠'=︒，AO B AOB ∠''=∠，163AO AO '==，4O B OB ''==，则//O B x ''轴，所以B ′点的横坐标为16284=33，纵坐标为163．所以B ′点的坐标为2816(,)33．【点拨】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30，45︒，60︒，90︒，180︒．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．【变式2】如图，已知线段OA 在平面直角坐标系中，O 是原点．(1)将OA 绕点O 顺时针旋转60°得到OA '，过点A '作A B x '⊥轴，垂足为B ．请在图中用不含刻度的直尺和圆规分别作出OA '、A B '；(2)若()2,6A -，则OA B '的面积是______．【答案】(1)见详解 (2)3【分析】（1）利用等边三角形的性质的性质作OA ′，利用垂直平分线的作法求B 点；（2）设A ′（a ，b ），如图过A 作AC 垂直x 轴于C ，过A ′作A ′①AC 于D ，连接AA ′；在Rt ①ADA ′和Rt ①OBA ′中利用勾股定理建立方程组，解方程即可解答；(1)解：分别以O 、A 为圆心，以AO 为半径作弧，两弧交于点A ′，连接OA ′即为所求线段；以A ′为圆心，适当长度为半径作弧交x 轴于点E 、F ，再分别以点E 、F 为圆心，以EA ′、F A ′为圆心作弧，两弧交于点C ，连接CA ′交x 轴于点B ，A ′B 即为所求线段；(2)解：设A′（a，b），如图过A作AC垂直x轴于C，过A′作A′D①AC于D，连接AA′，则四边形DCBA′是矩形；由（1）作图可得，OA=OA′=AA①A（-2，6），A′（a，b），①Rt①ADA′中，AD=6-b，DA′=a+2，AA′2=（6-b）2+（a+2）2=40，①Rt①OBA′中，OB=a，BA′=b，OA′2=a2+b2=40，①①（6-b）2+（a+2）2= a2+b2，解得：a=3b-10，代入①，（3b-10）2+b2=40，b2-6b+6=0解得：b=3，b=3a=1，符合题意；b=3a=1-，不符合题意；①A′（1，3，×（1）×（3=3；OA B'的面积=12【点拨】本题考查了旋转作图，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的作法，勾股定理，矩形的判定和性质，一元二次方程的解法；利用勾股定理构建方程是解题关键．类型六、旋转综合题6、阅读下列材料：问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且①EAF＝45°．解决下列问题：(1)图（1）中的线段BE、EF、FD之间的数量关系是______．(2)图（2），已知正方形ABCD的边长为8，E、F分别是BC、CD边上的点，且①EAF ＝45°，AG①EF于点G，求①EFC的周长．【答案】(1)EF=BE+DF(2)过程见分析【分析】对于（1），先将①DAF绕点A顺时针旋转90°，得到①BAH，可得①ADF①①ABH，再根据全等三角形的性质得AF=AH，①EAF=①EAH，然后根据“SAS”证明①F AE①①HAE，根据全等三角形的对应边相等得出答案；对于（2），先根据（1），得①F AE①①HAE，可得AG=AB=AD，再根据“HL”证明Rt①AEG①Rt①ABE，得EG=BE，同理GF=DF，可得答案．解：(1)EF=BE+DF．理由如下：如图，将①DAF绕点A顺时针旋转90°，得到①BAH，①①ADF①①ABH，①①DAF=①BAH，AF=AH，①①EAF=①EAH=45°．①AE=AE ，①①F AE ①①HAE ，①EF=HE=BE+HB ，①EF=BE+DF ；(2)由（1），得①F AE ①①HAE ，AG ，AB 分别是①F AE 和①HAE 的高，①AG=AB=AD=8．在Rt ①AEG 和Rt ①ABE 中，AE AE AG AB =⎧⎨=⎩， ①Rt ①AEG ①Rt ①ABE （HL ），①EG=BE ，同理GF=DF ，①①EFG 的周长=EC+EF+FC=EC+EG+GF+FC=EC+BE+DF+FC=BC+CD=16．【点拨】这是一道关于正方形和旋转的综合题目，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等．举一反三：【变式1】如图，四边形ABCD 是正方形，①ECF 为等腰直角三角形，①ECF ＝90°，点E 在BC 上，点F 在CD 上，P 为EF 中点，连接AF ，G 为AF 中点，连接PG ，DG ，将Rt①ECF 绕点C 顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．(1)如图1，当α＝0°时，DG 与PG 的关系为；(2)如图2，当α＝90°时①求证：①AGD①①FGM；①（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【答案】(1)DG＝PG(2)①见分析；①成立，理由见分析【分析】（1）先判断出①ABE①①ADF，得出AE＝AF，再用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和三角形中位线定理，即可得出结论；（2）①先判断出①DAG＝①MFG，再判断出AG＝FG，即可得出结论；①由①知，①AGD①①FGM，得出DG＝MG，AD＝FM＝BC，进而得出CM＝CF，由（1）知，DE＝CF，得出CM＝DE，进而判断出①ADE①①DCM，得出AE＝DM，最后同①的方法即可得出结论．(1)解：①四边形ABCD是正方形，①①B＝①ADC＝90°，AB＝BC＝AD＝CD，①①ECF为等腰直角三角形，①CE＝CF，①BE＝DF，①①ABE①①ADF（SAS），①AE＝AF，①点G是AF的中点，①12DG AF=，①12DG AE=，①P为EF中点，G为AF中点，①PG是①AEF的中位线，①12PG AE =， ①DG ＝PG ，故答案为：DG ＝PG ；(2)①证明：①四边形ABCD 是正方形，①AD ①BC ，①①DAG ＝①MFG ，①点G 是AF 的中点，①AG ＝FG ，在①AGD 和①FGM 中，DAG MFG AG FG AGD FGM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ①①AGD ①①FGM （ASA ）；解：①（1）中的结论DG ＝PG 成立，证明：由①知，①AGD ①①FGM ，①DG ＝MG ，AD ＝FM ＝BC ， ①12BM CF BC ==, ①CM ＝CF ，由（1）知，DE ＝CF ，①CM ＝DE ，①AD ＝CD ，①ADE ＝①DCM ＝90°，①①ADE ①①DCM （SAS ），①AE ＝DM ，①点G 是DM 的中点， ①1122MG DM AE ==， ①P 为EF 中点，G 为AF 中点，①PG 是①AEF 的中位线， ①12PG AE =， ①DG ＝PG ．【点拨】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的中位线定理，判断出AE ＝DM 是解（2）①的关键．【变式2】如图，P 是等边ABC 内的一点，且5,4,3PA PB PC ===，将APB △绕点B 逆时针旋转，得到CQB △．(1)旋转角为_____度；(2)求点P 与点Q 之间的距离；(3)求BPC ∠的度数；(4)求ABC 的面积ABC S ．【答案】(1) 60 ( 2) 4 (3)150° (4)9．【分析】（1）根据①QCB 是①P AB 绕点B 逆时针旋转得到，可知①ABC 为旋转角即可得出答案，（2）连接PQ ，根据等边三角形得性质得①ABC ＝60°，BA ＝BC ，由旋转的性质得BP ＝BQ ，①PBQ ＝①ABC ＝60°，CQ ＝AP ＝5，BP ＝BQ ＝4，①PBQ ＝60°，于是可判断①PBQ 是等边三角形，所以PQ ＝PB ＝4；（3）先利用勾股定理的逆定理证明①PCQ 是直角三角形，且①QPC ＝90°，再加上①BPQ ＝60°，然后计算①BPQ +①QPC 即可．（4）由直角三角形的性质可求CH ，PH 的长，由勾股定理和三角形的面积公式可求解．解：(1)①①ABC 是等边三角形，①①ABC ＝60°，①①QCB 是①P AB 绕点B 逆时针旋转得到的，①旋转角为60°故答案为：60；(2)连接PQ ，如图1，①①ABC 是等边三角形，①①ABC ＝60°，BA ＝BC ，①①QCB 是①P AB 绕点B 逆时针旋转得到的，①①QCB ①①P AB ，①BP ＝BQ ，①PBQ ＝①ABC ＝60°，CQ ＝AP ＝5，①BP ＝BQ ＝4，①PBQ ＝60°，①①PBQ 是等边三角形，①PQ ＝PB ＝4；(3)①QC ＝5，PC ＝3，PQ ＝4，而32+42＝52，①PC 2+PQ 2＝CQ 2，①①PCQ 是直角三角形，且①QPC ＝90°，①①PBQ 是等边三角形，①①BPQ ＝60°，①①BPC ＝①BPQ +①QPC ＝60°+90°＝150°；(4)如图2，过点C 作CH ①BP ，交BP 的延长线于H ，①①BPC ＝150°，①①CPH ＝30°，①CH 12=PC 32=，PH=， ①BH ＝4 ①BC 2＝BH 2+CH 2232⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2425⎛+ ⎝⎭＝①S△ABC=2，①S△ABC25=+=9．【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是本题的关键．。

人教版九年级数学上23.1图形的旋转第1课时旋转的概念及性质同步练习含答案

23．1图形的旋转第1课时旋转的概念及性质关键问答②旋转和平移有什么相同之处和不同之处？②图形的旋转和图形上任何一点的旋转具有怎样的关系？1.①下列现象中属于旋转的是()A．汽车在急刹车时向前滑动B．拧开水龙头C．雪橇在雪地里滑动D．电梯的上升与下降2．②如图23－1－1，△ABC和△DCE都是直角三角形，其中一个三角形是由另一个三角形旋转得到的，则下列叙述中错误的是()图23－1－1A．旋转中心是点CB．旋转角可能是90°C．AB＝DED．∠ABC＝∠D3．钟表的分针经过5分钟，旋转了________°.命题点1旋转的概念[热度：82%]4．③下列图案中，不能由一个图形通过旋转形成的是()图23－1－2解题突破③找轴对称图形是确定线，找旋转图形是确定点(即旋转中心)．命题点2旋转中心的确定[热度：89%]5．④如图23－1－3，在一个4×4的正方形网格中，若两个阴影部分的三角形绕某点旋转一定的角度后能互相重合，则其旋转中心可能是图中的()图23－1－3A．点A B．点B C．点C D．点D方法点拨④确定旋转中心的方法：作两对对应点连线的垂直平分线，它们的交点即为旋转中心．6．⑤如图23－1－4，ABCD和DCGH是两块全等的正方形铁皮，要使它们重合，则存在的旋转中心有()图23－1－4A．1个B．2个C．3个D．4个易错警示⑤容易忽略D，C两个点也可以作为旋转中心．命题点3求角度[热度：82%]7．⑥2017·菏泽如图23－1－5，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是()图23－1－5A．55°B．60°C．65°D．70°方法点拨⑥将三角形绕某一顶点旋转后，有公共端点的对应边可构成一个新的等腰三角形.8．如图23－1－6，▱ABCD绕点A逆时针旋转30°得到▱AB′C′D′(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点)，点B′恰好落在BC边上，则∠C的度数是________．图23－1－6命题点4求长度[热度：92%]9．⑦如图23－1－7，在正方形ABCD中，AB＝3，点E在CD边上，DE＝1，把△ADE绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接EE′，则线段EE′的长为()图23－1－7A．2 5 B．2 3 C．4 D．210方法点拨⑦利用旋转的性质，构建直角三角形(尤其是含30°，45°角的直角三角形)，再依据勾股定理求边长，这是旋转中求线段长的常用方法．10．如图23－1－8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2.将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，连接AB′.若点A，B′，A′在同一条直线上，则AA′的长为()图23－1－8A．6 B．4 3 C．3 3 D．311．2017·黄冈已知：如图23－1－9，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3 cm，BO＝4 cm.将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D＝________cm.图23－1－912．⑧2016·眉山如图23－1－10，把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是()图23－1－10A．6 2 B．6 C．3 2 D．3＋3 2解题突破⑧连接BC′，点B在对角线AC′上．13．⑨2017·徐州如图23－1－11，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝3 3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC＝________；(2)求线段DB的长度．图23－1－11模型建立⑨三角形的两边及这两边的夹角确定后，三角形是唯一确定的．命题点5求图形的面积[热度：95%]14．B10如图23－1－12，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′的位置，此时AC′的中点恰好与点D重合，AB′交CD于点E.若AB＝3，则△AEC的面积为()图23－1－12A．3 B．1.5 C．2 3 D.3方法点拨○10旋转中求面积是在旋转中求线段长的基础上，利用几何图形的面积公式(或几何图形的面积和与差)来求解的．15．⑪2016·台州如图23－1－13，把一个菱形绕着它的对角线的交点旋转90°，旋转前后的两个菱形构成一个“星形”(阴影部分)．若菱形的一个内角为60°，边长为2，则该“星形”的面积是________．图23－1－13方法点拨⑪把“星形”分割成菱形与四个全等的三角形，并求出四个全等三角形中任意一个三角形的面积．16．如图23－1－14，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，求图中阴影部分的面积．图23－1－1417．⑫2017·贵港如图23－1－15，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM.若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是()图23－1－15A．4 B．3 C．2 D．1解题突破⑫在旋转过程中，点P到点C的距离会变化吗？点C到点M的距离呢？18．⑬如图23－1－16，在边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E的运动过程中，DF的最小值是________．图23－1－16模型建立⑬有公共端点的两条线段，另外两个端点间的最大距离是两条线段的长度和，最小距离是两条线段的长度差．典题讲评与答案详析1．B 2.D 3.304．C [解析] 只有选项C 不能通过旋转得到．5．C [解析] 两对对应点连线的垂直平分线的交点，即为旋转中心．6．C [解析] 根据旋转的性质，可得要使正方形ABCD 和DCGH 重合，有3种方法，即可以分别绕点D ，C 或CD 的中点旋转，即旋转中心有3个．7．C [解析] ∵将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△A ′B ′C ，∴AC ＝A ′C ，∴△ACA ′是等腰直角三角形，∴∠CA ′A ＝∠CAA ′＝45°，∴∠CA ′B ′＝20°＝∠BAC ，∴∠BAA ′＝20°＋45°＝65°.8．[导学号：04402145]105°[解析] 由题意可得AB ＝AB ′，∠BAB ′＝30°，所以∠B ＝∠AB ′B ＝75°.又因为四边形ABCD 是平行四边形，所以∠C ＝180°－∠B ＝105°.9．A [解析] 由题意可得AE ＝AE ′，∠EAE ′＝90°.因为AD ＝AB ＝3，DE ＝1，所以AE ＝AE ′＝32＋12＝10，所以EE ′＝10＋10＝2 5.10．A [解析] 因为∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，BC ＝2，所以AB ＝4.由题意可得A ′B ′＝AB ＝4，∠A ′＝∠CAB ＝30°，∠A ′B ′C ＝∠B ＝60°，A ′C ＝AC ，所以∠A ′＝∠CAA ′＝30°.又因为∠A ′B ′C ＝∠CAA ′＋∠B ′CA ＝60°，所以∠CAA ′＝∠B ′CA ＝30°，所以AB ′＝B ′C ＝BC ＝2，所以AA ′＝A ′B ′＋AB ′＝6.11．1.5 [解析] ∵在△AOB 中，∠AOB ＝90°，AO ＝3 cm ，BO ＝4 cm ，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝5 cm.∵D 为AB的中点，∴OD ＝12AB ＝2.5 cm.∵将△AOB 绕顶点O ，按顺时针方向旋转到△A 1OB 1处，∴OB 1＝OB ＝4 cm ，∴B 1D＝OB 1－OD ＝1.5 cm.12．[导学号：04402147]A [解析] 连接BC ′，CD ′，如图．∵旋转角∠BAB ′＝45°， ∠BAD ′＝45°， ∴B 在对角线AC ′上． ∵B ′C ′＝AB ′＝3，∴在Rt △AB ′C ′中，AC ′＝AB ′2＋B ′C ′2＝3 2.∵∠OBC ′＝90°，∠D ′C ′A ＝45°，∴△OBC ′为等腰直角三角形． ∵在等腰直角三角形OBC ′中，OB ＝BC ′， ∴AC ′＝AB ＋BC ′＝AB ＋OB ＝3 2. 同理可得AD ′＋OD ′＝3 2，∴四边形ABOD ′的周长＝3 2＋3 2＝6 2. 故选A.13．解：(1)∵AC ＝AD ，∠CAD ＝60°， ∴△ACD 是等边三角形，∴DC ＝AC ＝4.(2)如图，过点D 作DE ⊥BC 于点E . ∵△ACD 是等边三角形， ∴∠ACD ＝60°. 又∵AC ⊥BC ，∴∠DCE ＝∠ACB －∠ACD ＝90°－60°＝30°，∴在Rt △CDE 中，DE ＝12DC ＝2，CE ＝DC 2－DE 2＝2 3，∴BE ＝BC －CE ＝3 3－2 3＝3， ∴BD ＝DE 2＋BE 2＝22＋（3）2＝7.14．D [解析] ∵旋转后AC ′的中点恰好与点D 重合，即AD ＝12AC ′＝12AC ，∴在Rt △ACD 中，∠ACD ＝30°，∠DAC ＝60°， ∴∠C ′AD ′＝60°，∴∠DAE ＝30°， ∴∠EAC ＝∠ACD ＝30°， ∴AE ＝CE ，AD ＝ 3.设AE ＝CE ＝x ，则有DE ＝DC －CE ＝AB －CE ＝3－x . 在Rt △ADE 中，根据勾股定理，得x 2＝(3－x )2＋(3)2，解得x ＝2，∴CE ＝2，则S △AEC ＝12CE ·AD ＝ 3.15．6 3－6 [解析] 在图中标上字母，令AB 与A ′D ′的交点为E ，过点E 作EF ⊥AC 于点F ，如图所示．∵四边形ABCD 为菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°， ∴∠BAO ＝30°，∠AOB ＝90°，∴BO ＝12AB ＝1，AO ＝AB 2－BO 2＝22－12＝ 3.同理可知A ′O ＝3，D ′O ＝1， ∴AD ′＝AO －D ′O ＝3－1.∵∠A ′D ′O ＝90°－30°＝60°，∠BAO ＝30°， ∴∠AED ′＝30°＝∠EAD ′， ∴D ′E ＝AD ′＝3－1.在Rt △ED ′F 中，ED ′＝3－1，∠ED ′F ＝60°，∴D ′F ＝12D ′E ＝3－12，EF ＝3－32， ∴S 阴影＝S 菱形ABCD ＋4S △AD ′E ＝12·2AO ·2BO ＋4×12AD ′·EF ＝6 3－6.16．解：如图，设B ′C ′与CD 的交点为E ，连接AE .在Rt △AB ′E 和Rt △ADE 中，∵AE ＝AE ，AB ′＝AD ，∴Rt △AB ′E ≌Rt △ADE (HL)，∴∠DAE ＝∠B ′AE .∵旋转角为30°，∴∠DAB ′＝60°，∴∠DAE ＝12×60°＝30°， ∴DE ＝12AE ，则DE 2＝4DE 2－1，∴DE ＝33， ∴阴影部分的面积＝1×1－2×⎝⎛⎭⎫12×1×33＝1－33. 17．B [解析] 连接PC .在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，BC ＝2，∴AB ＝4.根据旋转的性质可知，A ′B ′＝AB＝4.∵P 是A ′B ′的中点，∴PC ＝12A ′B ′＝2.易得 CM ＝BM ＝1.又∵PM ≤PC ＋ CM ，即PM ≤3，∴PM 的最大值为3(此时P ，C ，M 三点共线)．18．[导学号：04402151]1.5[解析] 如图，取AC 的中点G ，连接EG .∵旋转角为60°，∴∠ECD ＋∠DCF ＝60°.又∵∠ECD ＋∠GCE ＝∠ACB ＝60°，∴∠DCF ＝∠GCE .∵AD 是等边三角形ABC 的对称轴，∴CD ＝12BC ，∴CD ＝CG .又∵将EC 旋转得到FC ，∴CE ＝CF ，∴△DCF ≌△GCE (SAS)，∴DF ＝GE .根据垂线段最短，得当GE ⊥AD 时，GE 最短，即DF 最短．此时，∵∠CAD ＝12×60°＝30°，AG ＝12AC ＝3，∴EG ＝12AG ＝12×3＝1.5，即DF 的最小值是1.5.【关键问答】①相同之处：旋转或平移前、后的图形都是全等的．不同之处：平移是一个图形沿某一方向移动了一段距离，旋转是一个图形绕着某一点沿顺时针或逆时针方向转动了一个角度．②图形的旋转和图形上任何一点的旋转是一致的，即都是绕一个相同的点，沿顺时针或逆时针转动了一个相同的角度．。

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旋转（讲义）
➢课前预习
1.平移是，只改变图形的，不改变图
形的．
2.平移与轴对称
➢知识点睛
1.旋转
（1）旋转的定义
在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为，这个定点称为，转动的角称为．旋转不改变图形的和．（2）旋转的性质
对应点到旋转中心的距离；
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于；
旋转前、后的图形．
2.中心对称
（1）中心对称的定义
把一个图形绕着某一点旋转°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或，这个点叫做（简称中心）．这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的．
，（2）中心对称的性质
中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过，而且
被对称中心所
．
中心对称的两个图形是
．
3. 中心对称图形
把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
如果一条直线经过中心对称图形的对称中心，那么这条直线将该中心对称图形分割成面积相等的两部分．
4. 坐标系中的对称点
（1）平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P (x ，y )关于原点的对称点为 P ′（，）．
（2）平面直角坐标系中，若两个点 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于点 C 对称，则点 C 为线段 AB 的中点，此时点 C 的坐标为 (
x 1 + x 2 y 1
+ y 2 ) ． 2 2
➢ 精讲精练
1.
如图，在网格纸中有一 Rt △ABC ．
（1）将△ABC 以点 C 为旋转中心，顺时针旋转 180°，画出旋转后对应的△A 1B 1C ；
（2）将△ABC 以点 A 为旋转中心旋转 90°，画出旋转后对应的△AB 2C 2．
B
C
2.
如图，在 4×4 的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角
度得到△M 1N 1P 1，则其旋转中心可能是（） A ．点 A B ．点 B C ．点 C D ．点 D
N 1
M 1
3.
如图，△OAB 绕点 O 逆时针旋转 80°到△OCD 的位置，已知
∠AOB =45°，则∠AOD = ．
A
D
E A
C
B
O
D
第 3 题图第 4 题图
4. 如图，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转一定角度，得到△ADE ．若 ∠CAE =65°，∠E =70°，且 AD ⊥BC ，∠BAC 的度数为．
5.
如图，在△ABC 中，∠CAB =70°．在同一平面内，将△ABC 绕点 A 旋转到△AB ′C ′的位置，使得 CC ′∥AB ，则∠BAB ′= （） A ．30°
B ．35°
C ．40°
D ．50°
B'
C'
C
A
B
D
O
C' B
6.如图，已知菱形OABC 的两个顶点O(0，0)，B(2，2)，若将
菱形绕点O旋转α°（0≤α≤360），恰好使OB与x 轴正半轴重合，则α= ．
7.如图，点O是等边三角形ABC 内一点，∠A OB=110°，∠B OC=
145°．将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD，则∠AOD=（）
A．40°B．45°C．50°D．55°
A
A
B'
B C C
第7 题图第8 题图
8.如图，将等腰Rt△ABC 绕点A 逆时针旋转15°后得到△AB′C′，
若AC=1，则图中阴影部分的面积为（）
A．
3
3
B．
3
C．
6
D．3
9.下列图形：①线段；②平行四边形；③等边三角形；④等腰
直角三角形；⑤菱形；⑥长方形；⑦正方形；⑧圆．其中是中心对称图形的有．
10.下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的个数有（）
A．1 B．2 C．3 D．4
y
2
A
B
1 D
O 1
C
2 x
3 3
11. 如图，在□ABCD 中，AC ，BD 为对角线，BC =6，BC 边上的
高为 4，则图中阴影部分的面积为（） A ．3 B ．6 C ．12 D ．24
12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCO 是正方形，点 B 的
坐标为(4，4)，直线 y = mx - 2 恰好把正方形 ABCO 分成面积相等的两部分，则 m 的值为
．
第 12 题图第 13 题图
13. 如图，在平面直角坐标系中，已知多边形 OABCDE 的顶点坐
标分别是 O (0，0)，A (0，6)，B (4，6)，C (4，4)，D (6，4)， E (6，0)．若直线 l 经过点 M (2，3)，且将多边形 OABCDE 分成面积相等的两部分，则下列各点在直线 l 上的是（）
A ．(4，3)
B ．(5，2)
C ．(6，2)
D ．(0， 10
)
3
14. 已知点 A (2a -3b ，-1)与 B (-2，3a -2b )关于坐标原点对称，则
5a -b = ．
15. 在同一平面直角坐标系中，点 A ，B 分别是函数 y =x -1 与 y =-3x +5 的图象上的点，且点 A ，B 关于原点对称，则点 A 的横坐标为．
16.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标
分别为A(-3，5)，B(-2，1)，C(-1，3)．
（1）将△ABC 绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1，写出A1，B1 的坐标；
（2）若△ABC 和△A2B2C2 关于原点O 中心对称，画出对应
图形，并写出△A2B2C2 各顶点坐标；
（3）若△ABC 和△A3B3C3 关于点D(1，0)中心对称，画出对应图形，并写出△A3B3C3 各顶点坐标．
【参考答案】
➢课前预习
1.全等变换；位置；形状和大小．
2.平行四边形；垂直平分．
➢知识点睛
1.（1）旋转；旋转中心；旋转角；形状；大小．
（2）相等；旋转角；全等．
2.（1）180；中心对称；对称中心；对称点．
（2）对称中心；平分；全等图形．
4. -x；-y
➢精讲精练
1.略
2. B
3. 35°
4. 85°
5. C
6. 45°
7. B
8. B
9. ①②⑤⑥⑦⑧
10.B
11.C
12. 2
13.B
1
14.
5
15. -1
16. （1）A1(5，3)，B1(1，2)
（2）A2(3，-5)，B2(2，–1)，C2(1，–3)
（3）A3(5，–5)，B3(4，–1)，C3(3，–3)。