高中数学必修一 第四章 指数函数与对数函数 测试题 (1)(解析版)

高中数学必修一 第四章 指数函数与对数函数 测试题 (1)
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，且满足f(x)=−|log 2(−x)|，x <0，若函数y =f(x)−a 有两个零点，其中0<a <1，分别记为x 1,x 2(x 1<x 2)，则4x 1+x 2的取值范围是( )
A. [4,5)
B. (4,5)
C. (2,52]
D. (2,52) 2. 已知函数f(x)=log a |x +1|，其中a >0且a ≠1，若f(1)<0，则( )
A. f(a)>f(a −2)
B. f(a)<f(a −2)
C. f(a)=f(a −2)
D. f(a)，f(a −2)的大小关系不确定
3. 下列函数中，与函数y =x 3的值域相同的函数为( )
A. y =(12)x+1
B. y =ln(x +1)
C. y =x+1x
D. y =x +1x 4. 若
图象上恰存在两个点关于y 轴对称，则实数k 的取值范围是
( ) A. (1,1+1e ]
B. C. {1}
D. (1,+∞) 5. 已知函数f(x)=ax 3−3x 2+1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围为 A. (2,+∞) B. (−∞,−2) C. (1,+∞) D. (−∞,−1)
6. 已知集合A ={x ∈R |log 2x <2}，集合B =(x ∈R ||x −1|<2)，则A ∩B =
A. (0,3)
B. (−1,3)
C. (0,4)
D. (−∞,3)
7. 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +2)=−1
f(x)，且在(0,1)上f(x)=3x ，则f(log 354) 的值为
( ) A. 32
B. 23
C. −32
D. −2
3 8. 已知
，并且α,β是方程的两根，则实数的大小关系可能是( ) A. a <m <n <β
B. m <α<β<n
C. m <α<n <β
D. α<m <β<n
二、不定项选择题（本大题共5小题，共20.0分）
9. 以下命题正确的有( )
A. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)，P(ξ≤4)=0.79，则P(ξ≤−2)=0.21；
B. 函数f(x)=x 13−(12)x 的零点在区间(13,1
2)内；
C. cosα≠0是α≠2kπ+π2(k ∈Z)的充分必要条件
D. l 是一条直线，α，β是两个平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α // β
10. 设x 3+ax +b =0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是( )
A. a =−3，b =2；
B. a =−3，b >2；
C. a =−3,b =−1；
D. a >0,b <0．
11. 若0<x <y <1，0<a <1，则下列不等式错误的是( ) A. log a x 2<log a y
3 B. cos(ax)<cos(ay)
C. a x <a y
D. x a <y a
12. 下列表述正确的是( ) A. (lgx +4lgx )min =4(x ∈(1,20))；
B. 若a >b >0，则ln b a <0；
C. 若x ，y ，z 均是正数，且3x =4y =12z ，
x+y z ∈(n,n +1)(n ∈N)，则n 的值是4； D. 若正实数x ，y 满足x +y +15=1x +9y ，且x +y ≤1，则x ，y 均为定值
13. 对任意实数a ，b 定义运算“⊙”，a ⊙b ={b,a ⩾b,a,a <b
，设f(x)=|2−x 2|)⊙(4−|x|)，有下列四个结论其中正确结论有( )
A. f(x)最大値为2；
B. f(x)有3个单调递减区间；
C. f(x)在[−3
2,−1]是减函数；
D. f(x)图象与直线y =m 有四个交点，则0≤m <2
三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）
14. 不等式log 2(4x −2x +2)>2的解集为_________．
15. 已知函数f(x)={ln x,x ⩾12x 3−3x 2+1,x <1，则x ∈[−1,e]时，f(x)最小值为_____； 设g(x)=[f(x)]2−f(x)+a ，若函数g(x)有6个零点，则实数a 的取值范围是_____．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
16. 已知函数f(x)=log 2(a x −b x +2)，且f(1)=2,f(2)=1+log 27.
(1)求a,b 的值；
(2)当x ∈[−2,2]时，求f(x)的最小值．
17. 已知函数f(x)=13x 3−1
2(a −1)x 2−ax −1，a >0．
(1)求f(x)的单调减区间；
(2)若f(x)存在三个不同的零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，试确定a的取值范围，并证明：
x1+x2>−2；
(3)若对任意x∈(−∞,3]，都有f(x)≤|x−a|−1
2
x2−a，求a的取值范围．
18.已知函数f(x)=e x−x−a(a∈R)．
(1)当a=0时，求证：f(x)>x；
(2)讨论函数f(x)零点的个数．
19.已知正实数x，y满足等式2x+5y=20．
(1)求u=lgx+lgy的最大值；
(2)若不等式10
x +1
y
≥m2+4m恒成立，求实数m的取值范围．
20.已知△ABC的顶点B(−1,−3)，AB边上的高CE所在直线的方程为4x+3y−7=0，BC边上的
中线AD所在直线的方程为x−3y−3=0．
(1)求直线AB的方程；
(2)求点C的坐标．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：【分析】
本题考查函数的性质与图象的应用，考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
根据条件作出函数f(x)与直线y=a的图象，可得到两个零点满足x1x2=1,x1∈(0,1),x2∈(1,2)，于
是4x1+x2=4x
2+x2,x2∈(1,2)，根据函数y=x+4
x
的单调性即可求出结果．
【解答】
解：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且满足f(x)=−|log2 (−x)|，x<0，
所以当x>0时，f(x)=|log2 x|．
因为函数y=f(x)−a有两个零点x1,x2(x1<x2)，其中0<a<1，
所以作出函数f(x)与直线y=a的图象，如图所示：
所以有：|log2x1|=|log2x2|⇒x1x2=1，
因此4x1+x2=4x
2
+x2,x2∈(1,2)，
因为函数y=x+4
x
在(1,2)上单调递减，
所以4x1+x2=4x
2
+x2∈(4,5)．
故选B．
2.答案：B
解析：【分析】
本题主要考查含绝对值的对数函数的图象和性质等，考查考生分析问题、解决问题的能力和数形结合思想．
先根据f(x)得到函数f(x)的定义域及其图象的对称性，再根据f(1)<0判断a的取值范围，得到f(x)的单调性，并据此判断f(a)，f(a−2)的大小关系．。