自适应滤波器翻译作业

第八章快速横向LMS滤波算法

8.1 简介

在大量的算法解决最小二乘问题递归形式的方法中快速横向递归最小二乘(FTRLS)算法是非常具有吸引力，因为其能减少计算复杂度。

FTRLS算法可以通过求解同时向前和向后的线性预测问题,连同其他两个横向过滤器:过程估计量和一个辅助滤波器的期望信号向量有一个作为其第一和唯一的非零元素(例如,d(0)= 1)。与格型算法相比,FTRLS算法只需要时间递归方程。然而,需要得到一些FTRLS算法的关系，可参考前面一章LRLS算法。FTRLS算法考虑快速的横向滤波器RLS的算法更新的解决方法。因为顺序固定，更新横向自适应滤波器系数向量在每个计算中都迭代。

格型算法的向后和向前的派生关系可以用于预测所派生的FTRLS算法。由此产生的算法计算复杂度在实际中实现N使它们特别具有吸引力。相比格型算法，FTRLS算法的计算复杂度较低，由于没有权向量更新方程。特别是，FTRLS算法通常需要7 n到11 n 每输出样本,乘法和除法则需要LRLS 14n到29 n计算。因此，FTRLS 算法被认为是最快的解决方案的实现RLS的问题[1]-[7]。

在工程实践领域相继提出几种不同的FTRLS算法，所谓的快速卡尔曼算法[1],这的确是一个早期的快速横向RLS算法,计算11n次乘法和除法的复杂运算在每次输出示例。在后面的研究阶段开发领域的

快速横向算法,快速后验误差序列的技术(fa)[2],快速横向滤波器(FTF)[3]算法提出了要求，同样需要7n乘法和每次除法的输出样本。FTF算法是具有最低的复杂性的RLS算法,不幸的是，这些算法对量子化效应非常敏感，如果有一些步骤没被采取将会变得不稳定。

在这一章,FTRLS算法的一种特殊形式将被提到，基于那些被提的网格算法所派生出来的。众所周知,量子化错误在FTRLS算法

中是指数发散[1]-[7]。自从FTRLS算法不稳定的行为用有限精度算法实现的时候,我们讨论实现FTRLS数值稳定的算法,并提供一个特定算法的描述[8],[10]。

8.2 递归最小二乘预测

快速算法探索一些结构性的信息数据以达到低计算的复杂性。在特定情况下的快速RLS算法本文中讨论达到减少计算复杂度的情况下,由输入信号连续推迟样本中相同的信号。在本例中,模式的快速算法是相似的,向前和向后预测这些过滤器是必不可少的部分算法。建模的预测执行任务的输入信号,因此允许替换矩阵方程的矢量和标量关系。

派生的FTRLS算法,解决方案的RLS向前和向后的预测问题需要权向量递归方程。在本节中,这些解决方案进行了综述强调FTRLS算法相关的结果。如前所述,我们将借一些派生的前一章对点阵算法。是值得的提及,FTRLS可以被介绍通过一个独立的推导,基于格型的推导在这点可能更加深刻的当然更直截了当的。

8.2.1向前预测关系

瞬时向前后验Nth-order预测作为预测误差

后验和先验的向前预测误差之间的关系,首次提出了方程（7-49）和为了方便在这里重复

一个简单的处理方程(7.73),导致以下的最小加权最小二乘误差时间的更新,这种方法将用于FTRLS算法:

同样的从等式(7.73),我们可以获得,需要的等式在FTRLS算法中

可以通过执行前一章的方程(7.40)提出更新方程预测抽头系数矢量

在这里

将会看到,向量的更新φ(k−1,N)φ(k, N + 1)是需要更新落后的预测系数向量。同时,最后一个元素的φ(k, N + 1)是用于更新反向预测先验误差和获得γ(k, N)。向量φ(k, N + 1)可以通过自右乘方程(7.56),双方在即时k 和系数N 通过x(k, N + 1)=[x(k)T X (k−1,N)]。结果可以表示为

然而,不方便使用FTRLS 算法因为上面的方程产生反向预测部分,它将导致额外的计算。解决方案是使用另一种递归涉及

()()1,)1,(1,++Φ=+∧

N k N k N k γφ代替()1,+N k φ（具体参照问题7）后产生的递归可以派生一些代数运算方程(8.6)和(8.3)(8.5)，得到

正向预测抽头系数向量应该被更新使用 ，这样

8.2 反向预测关系

在本节中,关系涉及用于FTRLS 反向预测问题算法。后验概率预测与先验概率预测误差之间的关系可以表示为

我们也知道对于不同转换因素的比率表示为

见前一章的方程(7.79)

我们为了方便重写了最后的平等方程(7.70)，得到

这个等式也可以这样写

现在我们回想一下，反向预测滤波器的更新的时间可以写成

以下类似的方法,得到方程(8.7)，首先两边的方程(7.59)，在即后乘时k 和N,通过x(k,N+1)=((k,N)T X x(k−N))，并使用关系(8.10),(8.11),(8.13),我们有

注意,在这个等式的最后一个元素()1,+∧

N k φ已经在方程(8.7)计算。在任何情况下,值得一提的是,最后一个元素的()1,+∧N k φ或者可以表达

通过方程(8.9),(8.15),在方程(8.12)和(8.10),我们可以得到

将方程(8.9)代入上面的方程,我们可以归纳出更新方程,并用于FTRLS算法

有关后验与先验的预测问题和转换因子γ(k,N)的更新方程现在可用。我们可以通过期望信号d(k)进行派生解决估计的更一般的问题相关的过程,称为过程评估。

8.3 过程评估

对于所有先前提出了自适应滤波器算法,得到FTRLS算法是很有用的,可以匹配一个期望信号d(k)的最小化加权方差。从先验误差

我们可以计算后验误差

在传统的RLS算法,更新的时间输出联合过程的抽头系数估计量可以执行

现在所有的更新方程可用来描述快速横向RLS算法。的FRLS