立体几何中用传统法求空间角

-立体几何中的传统法求空间角
知识点：
一．异面直线所成角：平移法
二．线面角
1.定义法：此法中最难的是找到平面的垂线.1.）求证面垂线，2）.图形中是否有
面面垂直的结构，找到交线，作交线的垂线即可。

2.用等体积法求出点到面的距离sinA=d/PA
三．求二面角的方法
1、直接用定义找，暂不做任何辅助线；
2、三垂线法找二面角的平面角.
例一：如图,在正方体错误!未找到引用源。

中,错误!未找到引
用源。

、错误!未找到引用源。

分别是错误!未找到引用源。

、
错误!未找到引用源。

的中点,则异面直线错误!未找到引用
源。

与错误!未找到引用源。

所成的角的大小是
______90______.
考向二线面角
例二、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩
形，AD⊥PD，BC=1，
PC=23，PD=CD=2.
（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（II）证明平面PDC⊥平面ABCD；
（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。

N
M
B1
A1
C1 D1
B
D C A
练
习
：
如图
，
在
三棱锥
P ABC
-中，
PA ⊥底面
,,60,90ABC PA AB ABC BCA ︒︒=∠=∠=，
点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC
（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值；
（Ⅰ）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC .
又90BCA ︒
∠=，∴AC ⊥BC .
∴BC ⊥平面PAC .
（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，
∴1
2
DE BC =
， 又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E .
∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角， ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA=A B ， ∴△ABP 为等腰直角三角形，∴2
AD AB =
， ∴在Rt △ABC 中，60ABC ︒
∠=，∴1
2
BC AB =
. ∴在Rt △ADE 中，2
sin 24
DE BC DAE AD AD ∠=
==，
考向三： 二面角问题 在图中做出下面例题中二面角
例三：.定义法（2011理18）
如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60︒，2PA PD ==,PB=2,
E,F 分别是BC,PC 的中点．
（1） 证明：AD ⊥平面DEF;
（2） 求二面角P-AD-B 的余弦值． 法一：（1）证明：取AD 中点G ，连接PG ，BG ，BD 。

因PA=PD ，有PG AD ⊥，在ABD ∆中，1,60AB AD DAB ==∠=︒，有ABD ∆为
等边三角形，因此,BG AD BG PG G ⊥⋂=，所以AD ⊥平面
PBG ,.AD PB AD GB ⇒⊥⊥
又PB//EF ，得AD EF ⊥，而DE//GB 得AD ⊥DE ，又FE DE E ⋂=，所以AD ⊥
平面DEF 。

（2）,PG AD BG AD ⊥⊥，
PGB ∴∠为二面角P —AD —B 的平面角，
在
2227,4Rt PAG PG PA AG ∆=-=
中
在
3Rt ABG ∆⋅︒中,BG=AB sin60
2
2
2
734
21
44cos 2773
2PG BG PB PGB PG BG +-+-∴∠===-
⋅⋅⋅
法二：（1）取AD 中点为G ，因为,.PA PD PG AD =⊥
又,60,AB AD DAB ABD =∠=︒∆为等边三角形，因此，BG AD ⊥，从而AD ⊥平
面PBG 。

延长BG 到O 且使得PO ⊥OB ，又PO ⊂平面PBG ，PO ⊥AD ，,AD OB G ⋂= 所以PO ⊥平面ABCD 。

以O 为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB ，OP 分别为x 轴，z 轴，平行于
AD 的直线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系。

设11
(0,0,),(,0,0),(,,0),(,,0).
22P m G n A n D n -则
3||||sin 602GB AB =︒=
333131(((,0),(,).2222n m B n C n E n F ∴+
+++
由于
33(0,1,0),(
,0,0),()22n m
AD DE FE ===+-
得0,0,,,AD DE AD FE AD DE AD FE DE FE E ⋅=⋅=⊥⊥⋂=
AD ∴⊥平面DEF 。

（2）
13
(,,),()
22PA n m PB n m =--=+-
22221332,()2,1,42m n n m m n ++
=++===解之得
取平面ABD 的法向量1(0,0,1),
n =-
设平面PAD 的法向量
2(,,)
n a b c = 由
22330,0,0,0,2222b b PA n a c PD n a c ⋅=--=⋅=+-=得
由
取
23n =
123
212cos ,77
14n n ∴<>=
=-⋅
2、三垂线定理法
例四．(省市2013届高三第三次调研理)（本小题满分14分）如图，在长方体
1111
ABCD A B C D -中，
11
AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动．
（1）证明：
11D E A D
⊥；
（2）当E 点为AB 的中点时，求点E 到平面
1
ACD 的距离；
（3）AE 等于何值时，二面角1D EC D
--
的大小为4π
？
18．（本小题满分14分） （1）证明：如图，连接
1D B
，依题意有：在长方形
11
A ADD 中，
11
AD AA ==，
1111111111111A ADD A D AD A D AD B AB A ADD AB A D A D D E
D E AD B AD AB A ⇒
⊥⎫
⇒⊥⎫
⎪⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭
⎪=⎭
四边形平面又平面平面．……… 4分
∴点E 到平面1
ACD 的距离为1
3． ………………………………………………… 8分 （3）解：过D 作DF EC ⊥交EC 于F ，连接1D F ．由三垂线定理可知，1DFD ∠为二面
角
1D EC D
--的平面角．
∴
14DFD π
∠=
，
12D DF π
∠=
，111D D DF =⇒=． ……………………… 10分
1sin 26DF DCF DCF DC π∠=
=⇒∠=，∴3BCF π
∠=．…………………… 12分
∴
tan
33
BE
BE BC π
=
⇒=23AE AB BE =-=-．
故23AE =-时，二面角1D EC D
--的平面角为4π
．…………………………… 14分
练习. 如图，在四面体A BCD -中，2,2,1AB AD BD DC ====,且BD DC ⊥，二
面角A BD C --大小为60．
(1)求证：平面ABC ⊥平面BCD ；
(2)求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值．
17．解：(1)在四面体A BCD -中，取BD BC 、中点分别为 M N 、，连接MN ，则//MN DC BD DC ⊥,则MN BD ⊥ 又2AD AB ==
则AM BD ⊥
AMN ∴∠中，1
1,2
AM MN == 60AMN ∠=,
可知90ANM ∠=
又BD ⊥面AMN ,则BD AN ⊥
AN ∴和两相交直线BD 及MN 均垂直，从而AN ⊥面BDC
又面ABC 经过直线AN ，故面ABC ⊥面BCD …………………………(6分)
(2)由(1)可知平面ABC ⊥平面BDC
过D 向BC 作垂线于足H ，从而DH ⊥面ABC
过Rt BDC 中，2,1BD DC ==，则5
DH = 于是DC 与平面ABC 所成角即DCH ∠ 25
sin 5
DCH ∴∠=
= 因此直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值为25
5
.…………………………(12分)。