2017年度中考一次函数与反比例函数[含答案解析]

反比例函数与一次函数综合题针对演练
1. 已知正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝k
x(
k≠0)在第一象限内的图象交于点A，过点
A作x轴的垂线，垂足为点P，已知△OAP的面积为1.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)有一点B的横坐标为2，且在反比例函数图象上，则在x轴上是否存在一点M，使得MA ＋MB最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
第1题图
2. 如图，反比例函数
2
y
x
=的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点A、B，点A、B的横坐
标分别为1、－2，一次函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点D.
(1)求一次函数的解析式；
(2)对于反比例函数
2
y
x
=，当y＜－1时，写出x的取值范围；
(3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝2S△OCA？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第2题图
3. 已知，如图，一次函数y ＝kx ＋b (k 、b 为常数，
k ≠0)的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数y ＝n
x (n 为常数且n ≠0)的图象
在第二象限交于点C .CD ⊥x 轴，垂足为D .若OB ＝2OA ＝3OD ＝6. (1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求两函数图象的另一个交点坐标；(3)直接写出不等式：kx ＋b ≤n x
的解
集 ．
4. 如图，点A (－2，n )，B(1，－2)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝m x
的图象的
两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；
(3)若C是x轴上一动点，设t＝CB－CA，求t的最大值，并求出此时点C的坐标．
第4题图
5. 如图，直线y1＝1
4
x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y2＝
m
x(
x>0)的图
象交于点P，过点P作PB⊥x轴于点B，且AC＝BC.
(1)求点P的坐标和反比例函数y2的解析式；
(2)请直接写出y1>y2时，x的取值范围；
(3)反比例函数y2图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
第5题图
6. 如图，直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，与y轴交于点B，并与双曲线y＝m
x(
x＜0)交
于点A(－1，n)．
(1)求直线与双曲线的解析式；
(2)连接OA，求∠OAB的正弦值；
(3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形△OAB相似？若存在求出D点的坐标，若不存在，请说明理由．
第6题图
7. 如图，直线y＝
3
3
x－3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝
k
x(
k＞0)图象交于
点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E.
(1)求点A的坐标；
(2)若AE＝AC.
①求k的值；
②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理由．
第7题图
8. 如图，已知双曲线y＝k
x经过点
D(6，1)，点C是双曲线第三象限上的动点，过点C作CA
⊥x轴，过点D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC.
(1)求k的值；
(2)若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；
(3)判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
第8题图
9. 如图，点B为双曲线y＝k
x(
x＞0)上一点，直线AB平行于y轴，交直线y＝x于点A，交x
轴于点D，双曲线y＝k
x与直线
y＝x交于点C，若OB2－AB2＝4.
(1)求k的值；
(2)点B的横坐标为4时，求△ABC的面积；
(3)双曲线上是否存在点P，使△APC∽△AOD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第9题图
答案
1．解：(1)设A 点的坐标为(x ，y )，则OP ＝x ，PA ＝y ， ∵△OAP 的面积为1，
∴12xy ＝1，∴xy ＝2，即k ＝2，∴反比例函数的解析式为2
y x
=；
(2)存在，如解图，作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接A ′B ，交x 轴于点M ，此时MA ＋
MB 最小，
∵点B 的横坐标为2，∴点B 的纵坐标为y ＝2
2＝1，
即点B 的坐标为（2,1）.
又∵两个函数图象在第一象限交于A 点，∴22x x
=
， 解得x 1＝1，x 2＝－1(舍去)．∴y ＝2，∴点A 的坐标为(1，2)， ∴点A 关于x 轴的对称点A ′(1，－2)，
设直线A ′B 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入A ′(1，－2)，B (2，1)得，
23
,215
k b k k b b +=-=⎧⎧⎨
⎨+==-⎩⎩解得， ∴直线A ′B 的解析式为y ＝3x －5，令y ＝0，得x ＝5
3
，
∴直线y ＝3x －5与x 轴的交点为(53，0)，即点M 的坐标为(5
3
，0)．
第1题解图
2．解：(1)∵反比例函数y ＝2
x
图象上的点A 、B 的横坐标
分别为1、－2，
∴点A 的坐标为(1，2)，点B 的坐标为(－2，－1)， ∵点A (1，2)、B (－2，－1)在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，
∴21
,211k b k k b b +==⎧⎧⎨⎨-+=-=⎩⎩
解得，∴一次函数的解析式为y ＝x ＋1；
(2)由图象知，对于反比例函数2
y x
=，当y ＜－1时，x 的取值范围是－2＜x ＜0； (3)存在．
对于y ＝x ＋1，当y ＝0时，x ＝－1，当x ＝0时，y ＝1， ∴点D 的坐标为(－1，0)，点C 的坐标为(0，1)， 设点P (m ，n )，
∵S △ODP ＝2S △OCA ，∴12×1×(－n )＝2×1
2
×1×1，∴n ＝－2，
∵点P (m ，－2)在反比例函数图象上，∴－2＝ 2
m
， ∴m ＝－1，
∴点P 的坐标为(－1，－2)． 3．解：(1)∵OB ＝2OA ＝3OD ＝6， ∴OA ＝3，OD ＝2.
∴A (3，0)，B (0，6)，D (－2，0)．
将点A (3，0)和B (0，6)代入y ＝kx ＋b 得，
302
,66
k b k b b +==-⎧⎧⎨
⎨==⎩⎩解得， ∴一次函数的解析式为y ＝－2x ＋6. ……………………(3分) 将x ＝－2代入y ＝－2x ＋6，得y ＝－2×(－2)＋6＝10， ∴点C 的坐标为(－2，10)．
将点C (－2，10)代入y ＝n
x ，得10＝2
n -，解得n ＝－20，
∴反比例函数的解析式为20
y x
=-
；………………………(5分) (2)将两个函数解析式组成方程组，得26,20y x y x =-+⎧⎪
⎨
=-⎪⎩
解得x 1＝－2，x 2＝5. ………………………………………(7分)
将x ＝5代入20
4,y x
=-=- ∴两函数图象的另一个交点坐标是(5，－4)； …………… (8分) (3)－2≤x ＜0或x ≥5. …………………………………… (10分)
【解法提示】不等式kx ＋b ≤n x
的解集，即是直线位于双曲线下方的部分所对应的自变量x
的取值范围，也就是－2≤x ＜0或x ≥5.
4．解：(1)∵点A (－2，n )，B (1，－2)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝m x
的
图象的两个交点，
∴m ＝－2，∴反比例函数解析式为2
y x =-，∴n ＝1，∴点A (－2，1)，
将点A (－2，1)，B (1，－2)代入y ＝kx ＋b ，得
211
,21k b k k b b -+==-⎧⎧⎨
⎨+=-=-⎩⎩
解得， ∴一次函数的解析式为y ＝－x －1；
(2)结合图象知：当－2＜x ＜0或x ＞1时，一次函数的值小于反比例函数的值；
(3)如解图，作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接BA ′延长交x 轴于点C ，则点C 即为所求， ∵A (－2，1)， ∴A ′(－2，－1)，
设直线A ′B 的解析式为y ＝mx ＋n ，
1123
,253m m n m n n ⎧
=-⎪-=-+⎧⎪⎨⎨-=+⎩⎪=-
⎪⎩
解得， ∴y ＝－13x －5
3，
令y ＝0，得x ＝－5， 则C 点坐标为(－5，0)， ∴t 的最大值为A ′B ＝
（－2－1）2＋（－1＋2）2＝
10.
第4题解图
5．解：(1)∵一次函数y 1＝1
4x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，
∴A (－4，0)，C (0，1)，又∵AC ＝BC ，CO ⊥AB ， ∴O 为AB 的中点，即OA ＝OB ＝4，且BP ＝2OC ＝2， ∴点P 的坐标为(4，2)，将点P (4，2)代入y 2＝m x
，得m ＝8，
∴反比例函数的解析式为y2＝8
x ；
(2)x>4；
【解法提示】由图象可知，当y1＞y2时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应的自变量x的取值范围是x＞4.
(3)存在．假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如解图，连接DC与PB交于点E，
∵四边形BCPD为菱形，
∴CE＝DE＝4，∴CD＝8，∴D点的坐标为(8，1)，
将D(8，1)代入反比例函数
8
y
x
=，D点坐标满足函数关系式，
即反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D点坐标为(8，1)．
第5题解图6．解：(1)∵直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，
∴把点C(4，0)代入y＝x＋b，得b＝－4，
∴直线的解析式为y＝x－4，∵直线也过A点，
∴把点A(－1，n)代入y＝x－4，得n＝－5，∴A(－1，－5)，
将A(－1，－5)代入y＝m
x(
x＜0)，得m＝5，∴双曲线的解析式为5
y
x
=；
(2)如解图，过点O作OM⊥AC于点M，
∵点B是直线y＝x－4与y轴的交点，∴令x＝0，得y＝－4，
∴点B (0，－4)，∴OC ＝OB ＝4，∴△OCB 是等腰直角三角形， ∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°，
∴在△OMB 中，sin45°＝OM
OB ＝4
OM
，∴OM ＝22，∵AO ＝12＋52＝26，
∴在△AOM 中，sin ∠OAB ＝
OM OA
＝
2226
＝21313；
第6题解图
(3)存在．
如解图，过点A 作AN ⊥y 轴于点N ，则AN ＝1，BN ＝1， ∴AB ＝
12＋12＝
2，∵OB ＝OC ＝4，∴BC ＝
42＋42＝4
2，
又∵∠OBC ＝∠OCB ＝45°，∴∠OBA ＝∠BCD ＝135°， ∴△OBA ∽△BCD 或△OBA ∽△DCB ，
∴OB BC ＝BA CD 或OB DC ＝BA
BC ，即4
42＝CD 或4DC ＝2
42
，
∴CD ＝2或CD ＝16，∵点C (4，0)， ∴点D 的坐标是(6，0)或(20，0)． 7．解：(1)当y ＝0时，得0＝
33
x －3，解得x ＝3.
∴点A 的坐标为(3，0)； ……………………………………(2分) (2)
①如解图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F .
设AE ＝AC ＝t , 点E 的坐标是(3，t ). 在Rt △AOB 中， tan ∠OAB ＝
OB OA
＝
33
，∴∠OAB ＝30°.
在Rt △ACF 中，∠CAF ＝30°，∴CF ＝12t ，AF ＝AC ·cos30°＝3
2t ，
∴点C 的坐标是(3＋
32
t ，12t )．∵点C 、E 在y ＝k
x
的图象上，
∴(3＋32
t )×12
t ＝3t ，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝23，
∴k ＝3t ＝6
3； …………………………………………… (5分)
②点E 与点D 关于原点O 成中心对称，理由如下： 由①知，点E 的坐标为(3，23)，
设点D 的坐标是(x ，
33
x －3)，
∴x (33
x －3)＝63，解得x 1＝6(舍去)，x 2＝－3，
∴点D 的坐标是(－3，－2
3)，
∴点E 与点D 关于原点O 成中心对称．…………………(8分)
第7题解图
8．解：(1)∵双曲线y ＝k
x
经过点D (6，1)，∴6k
＝1，解得k ＝6；
(2)设点C 到BD 的距离为h ，∵点D 的坐标为(6，1)，DB
⊥y 轴，
∴BD ＝6，∴S △BCD ＝1
2
×6×h ＝12，解得h ＝4，
∵点C 是双曲线第三象限上的动点，点D 的纵坐标为1，
∴点C 的纵坐标为1－4＝－3，∴6
x
＝－3，解得x ＝－2，
∴点C 的坐标为(－2，－3)，设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋b ，则
123,2612
k b k k b b ⎧
-+=-=⎧⎪⎨⎨
+=⎩⎪=-⎩解得，∴直线CD 的解析式为y ＝1
2x －2； (3)AB ∥CD .理由如下：
∵CA ⊥x 轴，DB ⊥y 轴，点D 的坐标为(6，1)，
设点C 的坐标为(c ，6c
)，
∴点A 、B 的坐标分别为A (c ，0)，B (0，1)， 设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ，则
10,11
mc n m c n n ⎧
+==-⎧⎪
⎨⎨=⎩⎪=⎩解得，
∴直线AB 的解析式为y ＝－1
x c
＋1，
设直线CD 的解析式为y ＝ex ＋f ，则
16,661e ec f c c c e f f c ⎧
=-⎧⎪+=⎪⎪
⎨⎨+⎪⎪+==⎩⎪⎩
解得， ∴直线CD 的解析式为y ＝－1x c ＋6c c +， ∵AB 、CD 的解析式中k 都等于1
c
-，
∴AB 与CD 的位置关系是AB ∥CD .
9．解：(1)设D 点坐标为(a ，0)，
∵AB ∥y 轴，点A 在直线y ＝x 上，B 为双曲线y ＝k x
(x ＞0)上一点，
∴A 点坐标为(a ，a )，B 点坐标为(a ，k
a
)，
∴AB ＝a －k a ，BD ＝k
a
，在Rt △OBD
中，OB 2＝BD 2＋OD 2＝(
k
a
)2＋a 2，
∵OB 2－AB 2＝4，∴(k
a
)2＋a 2－(a －
k a
)2＝4，
∴k ＝2；
(2)如解图，过点C 作CM ⊥AB 于点M ，
,2y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩
联立
2222x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩
解得（舍去），
∴C 点坐标为(
2，
2)， 第9题解图
∵点B 的横坐标为4，
∴A 点坐标为(4，4)，B 点坐标为(4，1
2)，∴AB ＝4－1
2＝7
2，CM ＝4－
2，
∴S △ABC ＝12CM ·AB ＝1
2×(4－
2)×72 ＝7－72
4
；
(3)不存在，理由如下：
若△APC ∽△AOD ，∵△AOD 为等腰直角三角形， ∴△APC 为等腰直角三角形，∠ACP ＝90°，
∴CM ＝1
2
AP ，设P 点坐标为(a ，2a )，则A 点坐标为(a ，a )，∴AP ＝|a －2
a |，
∵C 点坐标为(
2，
2)，
∴CM＝|a－2|，∴|a－2|＝1
2
|a－
2
a
|，
∴(a－2)2＝1
4
×
22
2
(2)
a
a
-
，即(a－2)2＝
1
4
×
22
2
((
a a
a
+⨯-
，
∴4a2－(a＋2)2＝0，解得a＝2或a＝－
2
3
(舍去)，
∴P点坐标为(2，2)，则此时点C与点P重合，所以不能构成三角形，故不存在．。