八年级数学下册17_1勾股定理第1课时勾股定理学案新版新人教版
2023年人教版八年级下册数学第十七章勾股定理第1课时勾股定理(1)
(2)∵在aRt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，c＝7，
∴b＝ 72－32＝2 10.
·数学
·数学
9.【例3】(北师8上P4)求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积. 解：另一条直角边长＝ 172－152＝8(cm)， 故直角三角形的面积为15×8÷2＝60(cm2). 小结:掌握勾股定理与直角三角形的面积公式.
解：E的面积＝(A的面积＋B的面积)＋(C的 面积＋D的面积)＝(122＋162)＋(92＋122)＝ 400＋225＝625.
·数学 8.【例2】(人教8下P24)设直角三角形的两条直角边长分别为 a和b，斜边长为c. (1)已知a＝6，c＝10，求b； (2)已知a＝5，b＝12，求c； (3)已知c＝25，b＝15，求a. 解：(1)b＝ c2－a2＝ 102－62＝8.
在Rt△ABD中，∠B＝45°，AB＝ 2，
∴AD2＋BD2＝AB2＝2，AD＝BD，
∴AD＝1，
在Rt△ADC中，∠C＝30°， ∴AC＝2AD＝2.
答案图
·数学
知识点四：勾股定理的简单计算
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c是△ABC的三边.
a2＋b2
(1)c＝
(已知a，b，求c)；
c2－b2
(2)a＝
(已知b，c，求a)；
(3)b＝ c2－a2 (已知a，c，求b).
6.写出下列直角三角形中未知边的长度.
(1)
(2)
2 13
53
·数学
·数学
a2 ＋ b2 ＝ c2 . 用图形表示为：
·数学
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则 AB的长为 13 .
人教版八年级下册数学17.1勾股定理(教案)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示勾股定理的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
在教学过程中，教师要针对教学难点和重点进行有针对性的讲解和指导，确保学生能够透彻理解本节课的核心知识。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过直角三角形的情况？”（如楼梯的倾斜角度等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决直角三角形相关问题的重要工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了勾股定理在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的发现与证明、勾股定理的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
在今后的教学中，我会注意以下几点：
1.加强对勾股定理证明过程的讲解，让学生们从多个角度理解定理的本质。
2.注重实践与理论相结合，通过丰富多样的案例和练习，提高学生们运用勾股定理解决问题的能力。
八年级数学下册(人教版)17.1.1勾股定理(第一课时)教学设计
5.总结反思，拓展提高：在教学结束时，引导学生对勾股定理进行总结，明确其应用范围和注意事项。同时，布置一些拓展提高的练习题，让学生在课后进行巩固。
本节课的教学设计以勾股定理为核心，紧密结合教材内容，注重培养学生的知识技能、过程方法和情感态度与价值观，旨在提高学生的数学素养和实际应用能力。
二、学情分析
八年级学生在经过前两年的数学学习后，已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。在本节课之前，学生已经学习了平面几何、立体几何的基本概念，掌握了直角三角形的性质和判定方法，这些都为学习勾股定理奠定了基础。然而，由于勾股定理涉及斜边与直角边的平方关系，学生在理解上可能会存在一定难度。因此，在教学过程中，教师需关注以下几点：
2.自主探究，发现定理：引导学生观察教材中的直角三角形图形，鼓励他们大胆猜想勾股定理的表达形式。在学生自主探究的基础上，引导他们通过实际测量、计算，验证勾股定理的正确性。
3.精讲精练，突破难点：针对勾股定理的证明过程，教师进行详细讲解，并设计具有梯度的问题，让学生逐步掌握定理的证明方法。同时，通过典型例题的讲解和练习，帮助学生巩固定理的应用。
（四）课堂练习，500字
为了巩固学生对勾股定理的理解，我将设计一些课堂练习题。这些练习题分为基础题和提高题，以满足不同层次学生的学习需求。
1.基础题：主要针对勾股定理的基本应用，如已知直角三角形的两边，求解第三边。
2.提高题：涉及勾股定理在实际问题中的应用，如计算建筑物的高度、距离等。
我会让学生独立完成练习题，并在必要时给予指导。通过课堂练习，学生可以检验自己对勾股定理的掌握程度，并为课后作业打下基础。
人教版八年级勾股定理优秀教学案例第一课时
3.学生能够通过合作和交流，学会尊重他人，培养自己的团队精神和合作意识。
4.学生能够在解决实际问题的过程中，体验到成功的喜悦，培养自己的自主学习和解决问题的能力，形成良好的学习习惯和态度。
三、教学策略
（一）情景创设
1.结合生活实际，创设有趣的情境，如测量房屋的倾斜度、计算篮球架的高度等，激发学生的学习兴趣，引发学生的思考。
2.鼓励学生进行讨论和交流，分享自己的解题思路和方法，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
3.教师ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ回指导，给予学生必要的帮助和指导，引导学生正确运用勾股定理解决问题。
（四）总结归纳
1.引导学生总结本节课所学的内容，包括勾股定理的定义、证明过程以及实际应用。
2.强调勾股定理的重要性和作用，引导学生认识到勾股定理在数学和实际生活中的重要性。
2.利用信息技术，如多媒体演示和数学软件工具，直观地展示勾股定理的应用，帮助学生形象地理解勾股定理。
3.设计具有挑战性和探究性的问题，引导学生主动参与课堂，激发学生的求知欲和好奇心。
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，如“直角三角形三边之间有什么关系？”、“勾股定理如何证明？”等，激发学生的思考和探究欲望。
2.组织学生进行讨论和交流，鼓励他们发表自己的观点和思考，培养学生的批判性思维和问题解决能力。
3.引导学生运用勾股定理解决实际问题，培养学生的应用能力和创新能力。
勾股定理第1课时 学案
17.1勾股定理第1课时学习目标：(1)能够利用拼图法证明勾股定理．(2)能够利用勾股定理求简单的直角三角形的边长．课前准备1、 有一个角是直角的三角形是________三角形2、 直角三角形的两个锐角_________3、 ( a )2＝_________(a ≥0)4、a 2 ＝_________＝⎩⎨⎧_________(a ≥0 )_________( a<0)5、积的算术平方根的性质ab ＝__________(a ≥0，b ≥0)课堂导学自学指导一认真阅读课本P 22的内容，同桌讨论，动手拼图，直角三角形三条边之间具有什么样的数量关系？并用自已手中的图形说明你发现的结论．并用几何语言描述你发现的结论．完成自学检测 自学检测1、在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则BC ＝ ．2、在Rt △ABC 中，有一边是3，另一边是4，则第三边的长是 ．自学指导二1、再认真阅读P 23~24内容，尝试回答以下问题⑴课本 P23图17.1-5，以AB 为边的正方形面积为______________⑵Rt △ABC 的面积为_______________⑶内部小正方形的面积为________________⑷请根据“四个直角三角形面积的和+小正方形面积=以AB 为边的大正方形的面积”，推导出abc 之间的关系3、 把我们证明出的勾股定理用数学语言描述，并用勾股定理完成课本P24练习第1题，第2题勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么______________ 当堂作业必做题：课本P28复习巩固第1题选做题：1、如图，求图中字母M 所代表的正方形的面积．7545M2、如图，一根旗杆在离地面5m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高?5m12m思考题：如图，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系？试探究一下.。
陕西省安康市紫阳县紫阳中学八年级数学下册 17.1 勾股定理教案 (新版)新人教版
进一步让学生认识该定理与勾股定理之间的关系
板书设计
勾股定理5
一如果一个三角形的三边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形
满足 的三个正整数，称为勾股数。
二例题
课后反思
2．今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢？
3．到今天为止,你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢?
4．通过今天同学们合作探究，你能体验出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢？
学生回忆后回答
通过学生的合作探究，得出“若一个三角形的三边长 ，满足 ，则这个三角形是直角三角形”这一结论；
学生分为４人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数。经过学生充分讨论后，汇总各小组实验结果发现：①5，12，13满足 ，可以构成直角三角形；②7，24，25满足 ，可以构成直角三角形；③8，15，17满足 ，可以构成直角三角形。
17.1 勾股定理
课题: 17.1 勾股定理
教
学
目
标
知识与能力：1．理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；
2．能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形。
过程与方法：1．经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；
2．经历从实验到验证的过程，发展学生的数学归纳能力。
情感态度价值观：1．体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣；
2．在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心。
教学重、
难点
重点：理解勾股定理逆定理的具体内容。
难点：理解勾股定理逆定理的具体内容。
学情分析
新人教版八年级数学下册《十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 数轴表示根号13》教案_1
数轴表示根号13教学目标：1.熟练掌握勾股定理，并能灵活的运用勾股定理解决数学中的实际问题。
2.能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步体会数形结合的思想及数轴上的点与实数一一对应的理论。
重点与难点：重点：运用勾股定理解决数学中的问题。
难点：勾股定理的灵活运用。
一、课前预习1．叙述勾股定理的内容。
2、（1）在Rt△ABC中，∠C=90°,a=3, b=4, 求c（2）在Rt△ABC中，∠C=90°,a=2, b=3，求c3.什么是数轴？实数与数轴上的点具有什么关系？4.在数轴上画出表示下列各数的点：3、1、0、-2.5、-45.你能在数轴上表示出√13 的点吗？点拨：①：由于在数轴上表示的点到原点的距离为√13，所以只需画出长为√13的线段即可．②长为√13的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢?设c＝√13，两直角边为a，b，根据勾股定理a2＋b3＝c2即a2＋b2＝13．若a，b为正整数，则13必须分解为两个正整数的平方和，即13＝22＋32 所以长为√13的线段是直角边为2、3的直角三角形的斜边.二、自主学习请在数轴上作出√13 ，完成作图步骤：1、在数轴上找到点A,使OA=3;2、作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2;OA=33、以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示√13的点。
三、合作探究类似地，利用勾股定理，可以作出长为√2 ，√3，,√5……的线段。
按照同样方法，可以在数轴上画出表示√1，√2 ，√3 ，√4 ，√5……的点。
四、课堂练习1、在数轴上作出表示√17的点(不写作法，保留作图痕迹)2、已知：如图，等边三角形的边长是6，求： A（1）高AD的长。
（2）这个三角形的面积。
五、课堂小结 C1.本节课你有些收获？2.预习时的疑难问题解决了吗？你还有那些疑惑？3.你认为本节还有哪些需要注意的地方？六、课后作业必做题：教材第29页习题17.1第11、12题.选做题：教材习题17.1第14题.七、课后反思：151、你能在数轴上找出表示的点吗？请作图说明。
17.1勾股定理第一课时教学设计
17。
1《勾股定理》教学设计【教学内容解析】本节课是人教版八年级下册第十八章第一节勾股定理第一课时．本节之前学生已经学习了三角形一些知识，勾股定理研究的是直角三角形三边之间特有的数量关系,将形与数密切联系起来，是解直角三角形的主要依据,在生产和生活实际中应用广泛。
本节课我从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境,引导学生自主地经历一条由观察猜想到实践验证到推理论证的科学探索之路.我期望通过本节课达成四个一,为此我确定本节课教学目标为：【教学目标】知识与技能：掌握一个定理——勾股定理,并会用定理解决简单问题.过程与方法:1、经历一次由特殊到一般的探索过程，通过观察、思考、尝试猜想结论，发展合情推理能力．2、体验一种利用几何图形的面积证明代数恒等式的数形结合的思想，感受数学思维的严谨性．情感与态度：通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增添一份民族自豪感. 在探究活动中,培养学生的合作交流意识和探索精神．【学生学情】八年级学生已经具备了一定的观察、归纳、猜想和推理能力，已经学习了一些几何图形的面积的计算方法，但是运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还不够，对于如何将形与数有机的结合起来还有待提高.【教学重点】勾股定理的证明与运用．【教学难点】用拼图法证明勾股定理。
【教学策略】本节课主要采用启发式、探究式教学,由浅入深，由特殊到一般的提出问题,引导学生采用观察思考、动手实践、自主探索、合作交流的学习方法,使学生主动获得知识并发展能力．【教学过程】问题情境师生活动设计意图教师出示情景图片提出问题，学生实践思考、探索交流等。
一、设置情景引发思考从A地到B地有两条路，并且AC垂直于BC．问题一:哪条路近？为什么？问题二：你能知道走第一条比走第二条近几米吗？为什么？那么在Rt△ABC中，已知AC=8，BC=6,能否求出AB的长呢？带着这个问题我们开始第十八章《勾股定理》的学习．本章我们将探索直角三角形三边之间特有的数量关系，并运用所得的结论解决问题．今天我们学习第十八章第一节-—勾股定理。
人教版八下数学17.1 课时1 勾股定理教案+学案
人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时1 勾股定理教案【教学目标】1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．.【教学重点】1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题.【教学难点】了解利用拼图验证勾股定理的方法．【教学过程设计】一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究知识点一：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理例1如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：(1)AC的长；(2)S△ABC；(3)CD的长．解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝12cm；(2)S△ABC＝12CB·AC＝12×5×12＝30(cm2)；(3)∵S△ABC＝12AC·BC＝12CD·AB，∴CD＝AC·BCAB＝6013cm.方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用例2在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC 的周长．解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．解：此题应分两种情况说明：(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周长为15＋13＋4＝32.∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC 的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．【类型三】勾股定理的证明例3探索与研究：方法1：如图：对任意的符合条件的直角三角形ABC 绕其顶点A 旋转90°得直角三角形AED ，所以∠BAE ＝90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE 的面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：如图：该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt △BEA 和Rt △ACD 拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法1：根据四边形ABFE 面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC 和Rt △ACD 的面积之和等于Rt △ABD 和△BCD的面积之和解答．解：方法1：S 正方形ACFD ＝S 四边形ABFE ＝S △BAE ＋S △BFE ，即b 2＝12c 2＋12(b ＋a )(b －a )，整理得2b 2＝c 2＋b 2－a 2，∴a 2＋b 2＝c 2；方法2：此图也可以看成Rt △BEA 绕其直角顶点E 顺时针旋转90°，再向下平移得到．∵S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ，S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴S △ABC ＋S △ACD＝S △ABD ＋S △BCD ，即12b 2＋12ab ＝12c 2＋12a (b －a )，整理得b 2＋ab ＝c 2＋a (b －a )，b 2＋ab ＝c 2＋ab －a 2，∴a 2＋b 2＝c 2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．知识点二：勾股定理与图形的面积例4 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E 的面积是________．解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A、B的面积和为S1，正方形C、D的面积和为S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为10.方法总结：能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A、B、C、D的面积和即是最大正方形的面积．【板书设计】17.1 勾股定理课时1 勾股定理1．勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.2．勾股定理的证明“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”．【教学反思】在课堂教学中应注意调动学生学习数学的积极性．让学生满怀激情地投入到数学学习中，提高数学课堂教学效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点．人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时1 勾股定理学案【学习目标】1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想；2.会用勾股定理进行简单的计算.【学习重点】掌握用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.【学习难点】能够运用勾股定理进行有关的运算．【自主学习】一、知识回顾网格中每个小正方形的面积为单位1,你能数出图中的正方形A、B 的面积吗？你又能想到什么方法算出正方形C的面积呢？AB CCBA方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：左图：S c=__________________________;右图：S c=__________________________.方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：左图：S c=__________________________;右图：S c=__________________________.二、合作探究考点1：勾股定理的认识及验证想一想 1.2500年前，毕达哥拉斯去老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面，联想到了正方形A，B和C面积之间的关系，你能想到是什么关系吗？2.右图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？3.在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1)4.正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？思考你发现了直角三角形三条边之间的什么规律？你能结合字母表示出来吗？猜测：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么________.活动2 接下来让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明活动1的猜想.证法利用我国汉代数学家赵爽的“赵爽弦图”＝________，证明：∵S大正方形S小正方形＝________,S大正方形＝___·S三角形＋S小正方形，∴________=________+__________.要点归纳：勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. 公式变形：222222, ，=+--.a cb bc a c a b知识点2：利用勾股定理进行计算【典例探究】例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）若a=b=5,求c;（2）若a=1,c=2,求b.变式题1 在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.方法总结:已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.变式题2在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.方法总结:当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.例2已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.方法总结:由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．【跟踪训练】求下列图中未知数x、y的值：三、知识梳理内容勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.注意1.在直角三角形中2.看清哪个角是直角3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论四、学习中我产生的疑惑【学习检测】1.下列说法中,正确的是（）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c22. 如图，Rt△ABC（∠C=90°）的主要性质：（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：____________________.（2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：_________.3.如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么_________.4. 右图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_____________.5.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=15，b=8，则c=_______.（2）若c=13，b=12，则a=_______.6.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.7.如图所示，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6，则正方形A，B的面积的和为_______.8.求斜边长17cm、一条直角边长15cm的直角三角形的面积.9.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．10.如图，将长为10米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为6米，求梯子上端A到墙的底端B的距离AB。
17-1第1课时 勾股定理(共42张ppt)2022-2023学年八年级下学期数学人教版
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三 角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289–225=64， ∴ x=±8（负值舍去）， ∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
(cm2).
a
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2.
a
b
c
证明：
S梯形
1 (a 2
b)(a
b),
S梯形
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2,
c a
∴a2 + b2 = c2.
AC2＋ 1
4
BC2.
∴阴影部分的面积为
1 2
AB2＝ 9 .
2
8.（创新题）如图17-10-12，在△ABD中，∠D=90°，C是BD上一点，已知BC=9，AB=17，AC=10，求 AD的长．
解：∵∠D=90°,
∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2.
∴172-(9+CD)2=102-CD2.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜
(新人教版)数学八年级下册 第十七章 勾股定理 单元复习讲义学案
人教版初中数学八年级下册第十七章句股定理章节复习教学设计一、教学目标z1.复习与回顾本擎的重要知识点；2.勾股定理及其逆定理的用途和相互关系；3.总结本章的重要思想方法及其应用；4.勾股定理及逆定理的综合运用．二、教学过程z 知识网络如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b ，斜边长为c ，那么①a 2+bi＝ι，l .句股定理的变式：（l)c＝乓亏V;(2)a 2=c 2－旷；（3)b 2=C 2-a 2; ( 4 )a ＝正亡,T;(5)b=lc 亡歹．实际问题｜ ｜｜二二二二｜勾股定理（直角三角形边长的计算）＇逆命题实际问题｜｜勾股定理（判定直角三角形）｜←一一一一｜的逆定理知识梳理一、勾股定理已知直角三角形中的任意两边，均可求出第三边长；已知直角三角形的一边，可确定另两边的数量关系；证明含平方关系的问题等．如果三角形的三边长α，b,c 满足②α2+b 2=/，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么a 2+b 2=c 2.两直角边的平方和等于斜边的平方．a：勾般因因回回a i +b i =c 2 c =U 工b2a 2=c 2-b 2 a ＝♂习Tb 2=c 2-a 2b =Jcf"习二、句股定理的实际应用利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：(l）读懂题意，分析己知、未知间的关系；(2）构造直角三角形；(3）利用勾股定理等列方程；(4）解决实际问题．转T也题进臼川构’学l l l E ’我旬欣纯理利用三、利用句股定理表示无理数的方法：(1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．(2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数．l i-2-1IA2--1 o 1 2s : 4类似地，利用勾股定理，可以作出长为-./2，飞／言，-./5，…的线段按照同样方法，可以在数轴上画出表示飞斤，d ，飞／言，{'ii,-./5，…的点A一－··四、折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法：(I）设一条未知线段的长为x（一般设所求线段的长为x); (2）用已失I］线数或含x的代数式表示出其他线段长；(3）在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；(4）解这个方程，从而求出所求线段长．c AB五、原命题与逆命题'-l唾晦哩，也DEc题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题．一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理．六、勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b, c满足矿＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形AbB c七、句股数如果三角形的三边长a,b, c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形．满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数固回回因因常见勾股数：3.4, 5; 6, 8, 10; 5, l2, l3; 8, 15, l7; 7, 24, 25等等．回国团团团回因一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数），得到一组新数，这组数同样是勾股数．如：3, 4, 5; 6, 8, 10: 9, 12, 15; 12, 16, 20…考点梳理考点解析考点1：句股定理的简单应用例1.在Rt.6.ABC中，LC=90。
人教版数学八年级下册17.1《勾股定理(第1课时直角三角形三边的关系)》教学设计
（一）导入新课
1.教师通过展示生活中常见的直角三角形实物图片，如楼梯、房屋斜顶等，引导学生观察并思考：这些图形有什么共同特点？它们之间是否存在某种关系？
2.学生观察后，教师提出问题：直角三角形的两条直角边和斜边之间有什么关系？激发学生的好奇心，为新课的学习做好铺垫。
3.教师简要回顾已学的三角形知识，如三角形的性质、分类等，为新课勾股定理的学习打下基础。
3.讲解与演示：教师以生动的语言和形象的比喻，解释勾股定理的内涵，并通过多媒体演示勾股定理的推导过程，帮助学生理解。
4.实践环节：设计具有挑战性的数学问题，让学生运用勾股定理进行求解。同时，鼓励学生将实际问题转化为数学模型，培养他们解决实际问题的能力。
5.巩固环节：通过课堂练习、课后作业等形式，让学生反复练习勾股定理的应用，加深对定理的理解。
2.培养学生的逻辑思维能力，通过分析勾股定理的证明过程，理解其内涵。
3.培养学生的合作交流能力，通过小组讨论、分享心得，共同探讨勾股定理在实际问题中的应用。
4.培养学生的动手操作能力，通过制作直角三角形模型，验证勾股定理的正确性。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，认识到数学在生活中的重要作用。
c.对于作业中的疑问，鼓励同学们相互讨论，共同解决问题。
3.作业评价：
a.教师在批改作业时，关注学生的解题思路和方法，及时发现并纠正错误。
b.针对不同学生的作业完成情况，给予个性化的评价和指导，激发学生的学习积极性。
c.对优秀作业进行展示，鼓励同学们向榜样学习，共同提高。
4.作业反馈：
a.教师应及时向学生反馈作业情况，指出共性问题，进行针对性的讲解。
b.鼓励学生针对作业中的错误进行自我反思，查找原因，提高自主学习能力。
人教版八年级下册17.1勾股定理优秀教学案例
（三）情感态度与价值观
1.学生了解勾股定理在我国古代的发现和应用，感受数学文化的魅力，培养民族自豪感和对数学的热爱。
2.学生通过学习勾股定理，培养对数学的兴趣和好奇心，激发学习数学的内在动力。
3.学生通过解决实际问题，体验数学的价值和意义，认识到数学在生活中的重要性，培养应用数学的意识和能力。
2.学生能够通过观察、分析、推理等数学思维活动，探索并发现勾股定理的规律，提高空间想象能力和逻辑思维能力。
3.学生能够运用勾股定理解决一些简单的几何问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
（二）过程与方法
1.学生通过观察生活实例，培养从实际问题中抽象出数学模型的能力，提高解决问题的能力。
2.学生在小组合作、讨论交流的过程中，培养团队协作能力和表达能力，提高自主学习能力和合作学习能力。
3.动态演示辅助：运用几何画板等教学工具，动态展示直角三角形中两直角边的变动，让学生直观地观察到斜边的变化规律，帮助学生理解和掌握勾股定理。
（二）问题导向
1.设计问题链：围绕勾股定理的定义、证明和应用，设计一系列递进式问题，引导学生思考和探索，激发学生的好奇心，培养学生的问题解决能力。
2.自主探究引导：引导学生提出问题，鼓励学生自主探究，引导学生通过观察、分析、推理等数学思维活动，探索并发现勾股定理的规律。
3.动态演示辅助：运用几何画板等教学工具，动态展示直角三角形中两直角边的变动，让学生直观地观察到斜边的变化规律，帮助学生理解和掌握勾股定理。
（二）讲授新知
1.勾股定理的定义：通过几何画板工具，展示直角三角形中两直角边的变动，引导学生观察和分析斜边的变化规律，引股定理的证明：引导学生通过小组合作、讨论交流的方式，探索并发现勾股定理的证明方法，引导学生运用几何画板工具，动态展示直角三角形的证明过程，帮助学生理解和掌握勾股定理的证明方法。
17.1 勾股定理的实际应用 教案-2021-2022学年人教版八年级数学下册
附表四：课件上传模板课题17.1勾股定理的实际应用课型新课一、教学任务分析（1）教材分析:勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特点。
学习勾股定理是进一步认识和理解直角三角形的需要，也是后续有关几何度量运算的必然基础。
本节课是人教版八年级下册第十七章第三节，具体内容是运用勾股定理解决简单的实际问题。
（2）学情分析：在本节课问题的解决过程中，需要经历几何图形的抽象过程，需要借助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用意识，有些探究活动具有一定的难度，所以采用提前给预习和学生合作交流的方式来解决本节课的难题。
（3）教学目标：知识与技能：能运用勾股定理求线段的长度，并解决一些简单的实际问题；过程与方法：在利用勾股定理解决实际生活问题的过程中，能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边于未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长。
情感态度与价值观：通过小组合作探究，培养学生的合作意识。
（4）教学重难点：重点：运用勾股定理解决实际问题。
难点：把实际问题化归成勾股定理的几何模型。
（5）教法：互动式教学、合作探究学习。
二、教学设想根据新课标提出的“要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和运用的同时，在思维能力情感态度和价值观等方面得到进步和发展”的理念，我想尽量给学生创设丰富的实际问题情境，使教学活动充满趣味性和吸引力，让他们在自主探究，合作交流中分析问题，建立数学模型，利用勾股定理解决实际问题。
在教学过程中，采用一题多变的形式拓宽学生的视野，训练学生思维的灵活性，渗透化归思想、转化思想与方程思想，是学生在获得知识的同时提高能力。
在教学设计中，尽量考虑到不同学习水平的学生，注意知识由易到难的层次性，在课堂上，要照顾到接受较慢的学生，也要考虑到中等生的能力培养既要满足优等生的需求，是不同学生又有不同的收获和发展。
人教版数学八年级下册17.1第1课时《勾股定理》说课稿
人教版数学八年级下册17.1第1课时《勾股定理》说课稿一. 教材分析《勾股定理》是人教版数学八年级下册17.1第1课时的重要内容。
这部分内容主要让学生了解并证明勾股定理，理解勾股定理在几何学中的重要性。
教材通过引入直角三角形和斜边的关系，引导学生探究并证明勾股定理。
二. 学情分析学生在学习本课时，已经掌握了实数、方程、不等式等基础知识，具备一定的逻辑思维和探究能力。
但对于证明勾股定理，可能需要一定的时间去理解和消化。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，适时给予引导和帮助。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握勾股定理的内容，学会用勾股定理解决实际问题。
2.过程与方法：通过探究、证明勾股定理，培养学生的逻辑思维和探究能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，感受数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：掌握勾股定理的内容及其应用。
2.教学难点：理解并证明勾股定理。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、探究法、讲解法等。
2.教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出直角三角形和斜边的关系，激发学生的兴趣。
2.探究：引导学生分组讨论，探究勾股定理的证明方法。
3.讲解：讲解勾股定理的证明过程，解释勾股定理的意义和应用。
4.练习：让学生通过练习题，巩固对勾股定理的理解。
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调勾股定理的重要性。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出勾股定理的关键信息。
主要包括：1.勾股定理的定义2.勾股定理的证明过程3.勾股定理的应用示例八. 说教学评价教学评价主要通过以下几个方面进行：1.学生对勾股定理的理解程度。
2.学生能否运用勾股定理解决实际问题。
3.学生在课堂中的参与程度和合作能力。
九. 说教学反思在教学过程中，要关注学生的学习情况，适时调整教学方法和节奏。
对于学生的反馈，要及时给予指导和鼓励。
在课后，要反思教学效果，查找不足，不断提高教学质量。
人教版数学八年级下册17.1勾股定理(第1课时)优秀教学案例
3.教师引导学生运用数形结合的思想，将抽象的数学问题具体化，提高学生的数学思维能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对古代数学文化的兴趣，培养学生对数学的热爱，提高学生的学科素养。
2.通过赞美勾股定理的美，让学生感受数学的严谨、精确，树立正确的数学观念。
5.人文素养培养：教师在教学过程中注重培养学生的人文素养，让学生体会数学的博大精深，感受数学的美。这种教学方式使学生在学习数学知识的同时，也能够提升自己的综合素质，培养自己的审美情趣。
本节课的案例亮点体现了教学的实用性、互动性和人文性，充分调动了学生的积极性、主动性，使学生在探究、合作、交流中收获知识，提高能力。同时，注重培养学生的人文素养，让学生体会数学的博大精深，感受数学的美。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示古代中国建筑中的勾股定理应用，如赵州桥、故宫等，让学生感受数学与实际生活的紧密联系。
2.创设有趣的问题情境，如“勾股定理是如何被发现的？”、“你能用勾股定理解决生活中的问题吗？”等，激发学生的好奇心，引发学生的思考。
3.教师总结并提出本节课的学习目标，引导学生明确本节课的学习内容。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对所学知识进行总结，让学生明确勾股定理的定义、证明方法及其应用。
2.学生通过自我评价、同伴评价等方式，反思自己在探究过程中的表现，发现自身的不足，提高自我调控能力。
3.教师针对学生的学习情况，给予及时的反馈和评价，关注学生的成长过程，激发学生的学习动力。
在整个教学过程中，教师应以引导者、组织者、合作者的角色，关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性、主动性，使学生在探究、合作、交流中收获知识，提高能力。同时，注重培养学生的人文素养，让学生体会数学的博大精深，感受数学的美。
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17．1 勾股定理
第1课时勾股定理
01 课前预习
要点感知勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 预习练习在Rt△ABC中，若两条直角边长分别是5 cm、12 cm，则斜边长为(B) A．17 cm B．13 cm
C．7 cm D．12 cm
02 当堂训练
知识点1 利用勾股定理进行计算
1．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是(C) A．a2＋b2＝c2B．b2＋c2＝a2
C．a2＋c2＝b2D．c2－a2＝b2
2．在Rt△ABC中，斜边长BC＝3，则AB2＋AC2的值为(B)
A．18B．9
C．6 D．无法计算
3．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则正方形ABCD的面积为(C)
A．48
B．60
C．100
D．140
4．已知直角三角形的斜边长为10，一直角边长是另一直角边长的3倍，则直角三角形中较长的直角边长为(D)
B．2.5 C．D．310
5．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2 3 cm，则另一条直角边的长是(C) A．4 cm B．4 3 cm
C．6 cm D．6 3 cm
6．(柳州中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，则BC＝4．
7．(玉溪中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S2＝4，S3＝6，则S1＝2．
8．在△A BC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.
(1)若b＝2，c＝3，求a的值；
(2)若a∶c＝3∶5，b＝32，求a、c的值．
解：(1)∵a2＋b2＝c2，
∴a＝c2－b2.
∴a＝ 5.
(2)设a＝3x，c＝5x，
∵a2＋b2＝c2，
∴(3x)2＋322＝(5x)2.解得x＝8.
∴a＝24，c＝40.
知识点2 勾股定理的证明
9．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理结论的数学表达式是a2＋b2＝c2.
03 课后作业
10．(荆门中考改编)如图，△A BC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BD 的长为(C)
A．5 B．6 C．8 D．10
11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝3，BC＝4，则CD的长为(C) A．5 D．2
12．(株洲中考改编)如图，以直角三角形的三边a、b、c为边，向外作等边三角形，等腰直角三角形和正方形，上述三种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3图形个数有(D)
A．0个B．1个C．2个D．3个
13．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为13或119
14．如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2 017个等腰直角三角形的斜边长是(2)2_017．
15．如图，△ABC中，∠C＝90°，D是AC中点，求证：AB2＋3BC2＝4BD2.
证明：在Rt△BDC中，根据勾股定理，得BD2＝CD2＋BC2，∴CD2＝BD2－BC2.
在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AC 2
＋BC 2
＝AB 2
. ∵D 是AC 的中点，∴AC ＝2CD. ∴4CD 2
＋BC 2
＝AB 2
.∴CD 2
＝AB 2
－BC
2
4
.
∴BD 2
－BC 2
＝AB 2－BC 2
4
，即AB 2＋3BC 2＝4BD 2
.
16．(益阳中考)在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
作AD⊥BC于D ，设BD ＝x ，用含x 的代数表示CD.→根据勾股定理，利用AD 作为“桥梁”，建立方程模型求出x.→利用勾股定理求出AD 的长，再计算三角形面积.
解：在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，设BD ＝x ，∴CD ＝14－x. 由勾股定理，得AD 2
＝AB 2
－BD 2
＝152
－x 2
， AD 2
＝AC 2
－CD 2
＝132
－(14－x)2
， ∴152
－x 2
＝132
－(14－x)2
.解得x ＝9. ∴AD ＝12.
∴S △ABC ＝12BC·AD＝1
2×14×12＝84.
挑战自我
17．(温州中考)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明．下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a 2
＋b 2
＝c 2
.
证明：连接DB ，DC ，过点D 作BC 边上的高DF ，DF ＝EC ＝b －a. ∵S 四边形ADCB ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12b 2＋1
2ab ，
又∵S 四边形ADCB ＝S △ADB ＋S △DCB ＝12c 2＋1
2a(b －a)，
∴12b 2＋12ab ＝12c 2＋1
2a(b －a)． ∴a 2
＋b 2
＝c 2
.
图1 图2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°.求证：a 2＋b 2＝c 2
. 证明：连接DB ，过点B 作DE 边上的高BF ，BF ＝b －a. ∵S 五边形ACBED ＝S 梯形ACB E ＋S △AE D ＝12(a ＋b)b ＋1
2
ab ， 又∵S 五边形ACBED ＝S △ACB ＋S △ADB ＋S △BED ＝12ab ＋12c 2＋1
2
a(b －a)， ∴12(a ＋b)b ＋12ab ＝12ab ＋12c 2＋1
2a(b －a)． ∴a 2
＋b 2
＝c 2
.。