同济-高等数学-第三版(6 PPT.2) 第二节 可分离变量方程
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《可分离变量方程》PPT课件
2
2
解 dy cos x y cos x y 0,
dx
2
2
dy 2sin x sin y 0,
dx
22
dy 2sin
y
sin
x 2
dx,
ln csc y cot y 22
2cos x C, 2
2
为所求解.
y 2k (k Z)也是解. 奇解
15
二、齐次方程___可化为可分离变量方程
1
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且(独立的) 任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
例 y y, 通解 y ce x; y y 0, 通解 y c1 sin x c2 cos x;
2yy x 0, 通解 x2 2 y2 C （隐式通解）
2
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件.
例：函数 y 3e2x 是微分方程 y 4 y 0
的一个特解.
y y(0)
4y 3,
0
y(0)
6.
3
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
四、小船从河边点 0 处 出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为 a ,船行方向始终与河岸垂直,设河宽 为 h ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离 的乘积成正比(比例系数为 k ).求小船的航行路 线.
32
练习题答案
一、1、tan x tan y C ； 2、(e x 1)(e y 1) C ； 3、4( y 1)3 3 x4 C .
第二节可分离变量的微分方程-PPT精品
规衰变律
思考题
求解微分方程 d yco x syco x sy.
dx 2
2
思考题解答
d yco x syco x sy0 ,
dx 2
2
dy2sin xsin y0, dx 2 2
2sdiyny sin2xdx,
2
lncscy coty 22
2cosxC, 2
为所求解.
三、齐次方程
1.定义 形如 dy f(y) 的微分方程称为齐次方程. dx x
正 比 , 已 知 M t0 M0 , 求 衰 变 过 程 中 铀 含 量 M(t)随时间t 变化的规律.
解 衰变速d度 M, 由题设条件
dt
dM M dt
(0衰变)系dM数 M dt
dMMdt, l|n M | t lC n 1 ,即 MC et,
代M 入 t0M 0 得M0C0e C,
M M 0et
dx
解 dy 2 y y dx x x
令u y , 则 dy u x du ,
x
dx
dx
有uxdu 2 uu, dx
1 du dx 0, 2(u u) x
2(u1 u)dudxx 0,
x( u 1) c
微分方程的解为
xy x c
四、小结
１分离变量法步骤: 分离变量;
化下列方程为齐次方程,并求出通解:
1、 y x y 1 ； x y3
2、 (2 x 5 y 3)dx (2 x 4 y 6)dy 0 .
练习题答案
一、1、y2 x2(2lnx C)；
x
2、x2yey C. 二、1、y2 x2 y3；
2、x2 y2 x y. 三、1、arctayn21ln[(x1)2 (y2)2]C；
高数第七章(2)可分离变量的微分方程.
设在
内水面高度由 h 降到 h d h ( d h 0),
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对应下降体积
dV r 2 dh
r 1002 (100 h)2
dV (200h h2 ) dh
因此得微分方程定解问题:
200h h2 h
hr
100cm
o hdh
将方程分离变量:
dt
x
y
即 Fx cos x F sin x Fy y sin x F sin x
Fx y tan x
y
Fy
因此有
y y tan x y x0 1
y 1 sec x cos x
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练习题
一、求下列微分方程的通解: 1、sec 2 x tan ydx sec 2 y tan xdy 0 ； 2、(e x y e x )dx (e x y e y )dy 0 ； 3、( y 1)2 dy x 3 0. dx
mg ) m g (1
e
k m
t
)
t
足够大时
v
mg k
k
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例8.
求解微分方程
dy dx
cos
x
2
y
cos
x
2
y.
解 dy cos x y cos x y 0,
dx
2
2
dy 2sin x sin y 0,
dx
22
2
dy sin
y
sin
x 2
dx,
2
ln csc y cot y 2cos x C, 为所求解.
第二节--可分离变量微分方程教学文案
分 离 变 量 得1 1 u u 2dud x x,
分 离 变 量 得1 1 u u 2dud x x,
积 分 得 aru c 1 t ln a 1 u n ( 2 ) l|n x | C , 2
或 写 成 x1 u 2 C 1 e aru c, tan
再 将uy代 入 ,得 通 解 为 x
xduu f(u) dx
注意：须将u代回.
例
求方dy程 ytayn的通解。 dx x x
dyxd u u dx
解 令 uy，d则 yuxdu，
x dx dx
dy xduu
于是，原方程化为
dx dx
du dx， tanu x
两边积分，得
tdaunudxx，
1 coxtcoxs
tanx
sinx
l|n su i | l n |n x | l|n C |，
当q(x)0时， 方程称为一阶非齐线性方程。
一般说来， p(x)、 当 q(x)函 C数 时，方程有唯
习惯上，称 为方程
yp(x)y0 y p (x )y q (x )
所对应的齐方程。
一阶齐线性方程的解
方程 yp(x)y0是一个变量可。 分离方程
运用分离变量法，得
两边积分，得
dyp(x)dx， (y0)， y
这时旋转曲面方程为
y2z2d4h2x1d26h
三、可化为齐次方程的方程
dY dX
Y X
齐次方程
变量代换
dyfa1xb1yc1 dx a2xb2yc2 可化为齐次方程的方程
变量代换 YZX
a 1x b 1yc 10
dZ dX f (Z)Z X 变量分离方程
a 2x b 2y c2 0
可分离变量方程
可分离变量方程、 齐次方程
•可分离变量方程
•齐次方程
•其它
一、可分离变量的微分方程
1. 定义： 一阶微分方程：y h( x, y )
dy 即 h( x, y ) dx
f ( x) 若 h( x , y ) g( y )
即形如
g( y )dy f ( x )dx
可分离变量的微分方程.
齐次方程
1、变量代换
2、求解
思考题
dy x y x y 求解微分方程 cos cos . dx 2 2
思考题解答
dy x y x y cos cos 0, dx 2 2 dy x y 2 sin sin 0, dx 2 2
x sin dx , y 2 2 sin 2
由牛顿力学的知识可得 dv F mg kv m ma dt dv 1 mg 即 dt v mg kv m k
mg v0 0 C v k mg t , v k
Ce
k t m
k t mg 1 e m k
例 5 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过 程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间 的距离)随时间t的变化规律.
设M ( x , y)为L上任一点， M
MT为切线, 斜率为 y,
o
x
OMN NMR,
1 MN为法线, 斜率为 , y
N
L
tan OMN tan NMR,
y
M
o
T
R
x
N
L
由夹 角正 切公 式得
•可分离变量方程
•齐次方程
•其它
一、可分离变量的微分方程
1. 定义： 一阶微分方程：y h( x, y )
dy 即 h( x, y ) dx
f ( x) 若 h( x , y ) g( y )
即形如
g( y )dy f ( x )dx
可分离变量的微分方程.
齐次方程
1、变量代换
2、求解
思考题
dy x y x y 求解微分方程 cos cos . dx 2 2
思考题解答
dy x y x y cos cos 0, dx 2 2 dy x y 2 sin sin 0, dx 2 2
x sin dx , y 2 2 sin 2
由牛顿力学的知识可得 dv F mg kv m ma dt dv 1 mg 即 dt v mg kv m k
mg v0 0 C v k mg t , v k
Ce
k t m
k t mg 1 e m k
例 5 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过 程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间 的距离)随时间t的变化规律.
设M ( x , y)为L上任一点， M
MT为切线, 斜率为 y,
o
x
OMN NMR,
1 MN为法线, 斜率为 , y
N
L
tan OMN tan NMR,
y
M
o
T
R
x
N
L
由夹 角正 切公 式得
第二节 可分离变量的微分方程
π 1、 1、cos x sin ydy = cos y sin xdx , y x =0 = ； 4 π −x 2、 2、cos ydx + (1 + e ) sin ydy = 0 , y x = 0 = . 4
的质点受外力作用作直线运动, 三、质量为 1 克 的质点受外力作用作直线运动,这外力 和时间成正比,和质点运动的速度成反比. 和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在 t = 10 秒时, 秒时,速度等于50厘米 / 秒 ,外力为4克 ⋅ 厘米 / 秒 2 , 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? 小船从河边点 0 处 出发驶向对岸(两岸为平行直线). 出发驶向对岸(两岸为平行直线). 四、 船行方向始终与河岸垂直, 设船速为 a ,船行方向始终与河岸垂直,设河宽 为 h ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离 ).求小船的航行路 的乘积成正比( 的乘积成正比(比例系数为 k ).求小船的航行路 线 .
补充题: 1. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速 度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求降落伞下落速度与时间的函数关系. dv g 解: 根据牛顿第二定律列方程 m = m −kv dt 初始条件为 v t=0 = 0 分离变量, 然后积分 : 得
∫
∫
(此 mg −kv > 0) 处
x |t = 6 = 0.03 + 0.07e −1 ≈ 0.056,
,
1 − t 6
Q x |t =0 = 0.1, ∴ C = 0.07, ⇒ x = 0.03 + 0.07e
,
6分钟后 车间内 CO 2的百分比降低到 0.056%. 分钟后, 分钟后
《可分离变量》课件
可分离变量的未来发展
扩展到高维空间
随着研究的深入，可分离变量有 望在高维空间中得到进一步发展 和应用，以解决更为复杂的问题
。
与其他方法的结合
未来研究可能会将可分离变量与其 他数学方法或技术相结合，以产生 更强大的分析工具。
实际应用的拓展
随着技术的进步和实际问题的复杂 性增加，可分离变量将在更多领域 得到应用，如物理、工程、经济等 。
积分法
总结词
积分法是通过对方程两边进行积分来求解可分离变量微分方程的方法。通过选 择合适的积分函数，可以将微分方程转化为更简单的方程，从而更容易求解。
详细描述
在可分离变量微分方程中，如果存在一个函数可以作为积分函数，使得方程变 得更简单，那么就可以使用积分法。具体步骤包括选择合适的积分函数，对方 程两边进行积分，然后求解得到方程的解。
分离变量
通过对方程两边同时积分，将方 程转化为 `∫f(x)dx = ∫g(y)dy` 的 形式，使得变量 `x` 和 `y` 被分离 在等式的两边
02
可分离变量的性质
线性独立性
线性独立性
在可分离变量的函数中，各变量之间 是线性独立的，即每个变量在函数中 只出现一次，没有重复或交叉项。
线性独立性的意义
量子力学中的薛定谔方程
在量子力学中，薛定谔方程是一个偏微分方程，可分离变 量方法可以将其转化为多个常微分方程，从而简化求解过 程。
数学问题中的应用
求解偏微分方程
在数学物理中，偏微分方程是常见的问题。通过可分离变量方法，可以将偏微分方程转化 为多个常微分方程，从而找到其解。
数值分析中的有限元方法
在数值分析中，有限元方法是求解偏微分方程的一种常用方法。可分离变量方法可以简化 有限元方法的实现过程，提高计算效率。
6.2可分离变量的微分方程解析
dy k (a1 x b1 y ) c 对于 dx a1 x b1 y c1
令u a1 x b1 y，则方程化为
du ku c a1 b1 , dx u c1 此为变量分离方程。
a b 若 , a1 b1
ax by c 0, 则 有唯一解h, k。 a1x b1 y c1 0,
练习题答案
一、1、tan x tan y C ； 2、(e x 1)(e y 1) C ； 3、4( y 1) 3 3 x 4 C . 二、1、 2 cos y cos x ； 2、e x 1 2 2 cos y . 三、v 269.3 厘米/秒. 四、取 0 为原点,河岸朝顺水方向为x 轴 ,y 轴 指向对 k h 2 1 3 岸,则所求航线为 x ( y y ) . a 2 3
x X h 可化为齐次方程的方程 令 . y Y k
小结3
y 1.齐次方程 y f ( ) x
2.线性非齐次方程 3.伯努利方程
令 y xu;
P ( x ) dx
令 y u( x )e
;
令 y 1 n z;
思考题
方程 2 y( t )
x 0
g( y )dy f ( x )dx
数,
分离变量法
设函数G ( y ) 和 F ( x ) 是依次为g( y ) 和 f ( x ) 的原函
G( y ) F ( x ) C 为微分方程的解.
典型例题
例1 求解微分方程 解 分离变量
dy 2 xy 的通解. dx
dy 2 xdx , y
2 3
三、可化为分离变量的方程 dy ax by c 1. 形如 的微分方程 dx a1 x b1 y c1
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函数都存在。 设它们的原函数分别为 F( x )、G( y )，即有 ∫ f( x )dx = F( x )+ C 1，∫ g( y )dy = G( y )+ C 2.
在方程 g( y )dy = f(x )dx 两边积分有 G( y )= ∫ g( y )dy = ∫ f(x )dx = F( x )+ C . 可以证明，由二元方程
通解。
(2) 可分离变量方程有解的意义 • 理论意义
由上讨论可得如下结果：
• 在函数 f( x), g( y )连续，且 g( y ) 0 的条件下，可 分离变量方程 g( y )d y = f( x )d x 一定有解。
• 可分离变量方程的通解可直接由积分法求得，其通解
形式为 G( y )= ∫ g( y )dy = ∫ f( x)d x = F(x)+ C .
一般地，若一阶方程可写成 g( y )d y = f( x )d x 的形式， 就称其为可分离变量方程。将方 程化为这一形式的步骤称为分离变量。
(1) 可分离变量方程解的存在性及解法 对于给定的可分离变量方程 y = h( x )/ g( y ), g( y ) 0 ， 考虑方程的求解。 分离变量有 g( y )dy = f(x )dx . 若 f( x )、g( y )都是 I 上的连续函数，则它们的原
方程的解具有简单的结构，甚至可不必通过积分，只需 用代数方法便可求得其通解。
正是由于这一特点，使得讨论 线性微分方程解的结构及求解的代 数方法成为研究微分方程求解的又 一条途径。
(1) 一阶可积型方程的特点 求解微分方程的基础是一阶方程的求解。对可积型
方程，求解的方法就是设法通过积分消去方程中的导数 记号 y'．为能够对未知函数的导数进行积分，一阶微分 方程 F( x,y,y )= 0 必需满足两个条件： • 导数必须是可解出的
遗憾的是，一般的微分方程未必有初等解，即便对 最简单的一阶方程也是如此。
通过对各类微分方程的研究， 人们找到了一些方程，它们的解 可由初等函数表示，这便是微 分方程求解要讨论的内容。
可由初等方法求解的微分方程一般有三类：
(1) 可积型方程 从运算角度讲，解微分方程就是设法消去方程中导
数记号，使其化为仅含未知函数 y 及自变量 x 的式子。 由于积分运算是导数运算的逆运算，消去导数记号
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问
(2) 可分离变量方程的一般形式 由上分析，对一阶方程 F( x ,y ,y' )= 0 ，可直接由
积分法求解的方程的一般形式为： y = f( x ,y )= h( x )/ g( y ), g( y ) 0，
或 h1( x )·g1( y )d x + h2( x )·g2( y )d y = 0 ， 其中 g1( y )、 h2( x ) 0 .
U( x ,y )= G( y )- F( x )= C .
所确定的隐函数 y = y( x)就是该可分离变量方程的解。 因此二元方程 U( x ,y )= G( y )- F( x )= C 又称为该微分
方程一个隐式解。 因为二元方程 G( y )- F( x )= C 含有一个任意常数,
所以它又是可分离变量方程 g( y )dy = f(x )dx 的隐式
由方程 F( x ,y ,y' )= 0 可解出导数 y'，即方程可化 为如下形式：
y = f( x ,y ) 或 P( x ,y )d x + Q( x ,y )d y = 0 .
• 导数表达式中的二元函数必须是变量可分离的 由于不定积分计算只能对单变量函数进行，而由一
阶方程 F( x ,y ,y )= 0 解出的导数 y' 一般是 x 、y 的二 元函数，即导数可解出的方程的一般形式为：
y = f( x ,y ) 或 P( x ,y )d x + Q( x ,y )d y = 0 . 只有当 f( x ,y )或 P( x ,y )、Q( x ,y )可表为单变量
函数或可分离变量时，才能对其进行积分，即它们必需 可化为如下形式：
f ( x ,y )= h( x )/ g( y)， P( x ,y )= h1( x )/ g1( y)， Q( x ,y )= h2( x )/g2( y).
g( y )d y = f( x)d x ,
方程两边积分求通解
G( y )= ∫ g( y )dy = ∫ f( x)d x = F( x)+ C .
可分离变量方程是可积方程的最基本形式， 其它类型的可积分方程最终都是化为可分离变量 方程求解的，掌握可分离变量方程解的存在性理 论是理解用积分法解微分方程的基础。
求解微分方程的前提是方程必需有解，从微积分讨 论角度考虑，还希望方程的解能够由初等函数表示，那 些能由初等函数表示的解称为初等解(公式解)。
• 可分离变量方程是唯一可直接由积分方法求解的一 阶常微分方程形式。
• 可分离变量方程的求解步骤 • 判别给定方程是否为可分离变量方程
由方程 F( x,y,y )= 0 解出导数 y = f( x,y )； 考察 f( x,y )是否可分离变量，即是否有 f( x,y)= h( x)·g( y). • 分离变量、积分求通解 将可分离变量方程写成标准形式
并非任何高阶的方程都可降阶， 只有当其满足一定条件时才有可能。 这种可通过降阶法化为低阶方程的 高阶方程称为可降阶方程。
高阶方程的讨论就是研究哪些方 程可以降阶及如何进行降阶的方法。
(3) 线性方程 若方程中所含未知函数及其导数都是一次的，称这
类方程为线性微分方程。 线性微分方程具有良好的代数性质，这些性质使得
最直接的方法就是积分。这种能够通过 积分运算消去方程中导数记号并求出 通解的方程称为可积型的方程。
可积型方程通常是一阶方程 F( x,y,y )= 0 中的某些特殊形式。
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(2) 可降阶型方程 可降阶型方程指是一类高阶方程。高阶方程的求解
一般比一阶方程困难得多，所以对于高阶方程的讨论通 常不是直接考虑求其通解，而是考虑设法通过变量代换 法将其转化为低阶方程再求解，这一过程称为降阶。
在方程 g( y )dy = f(x )dx 两边积分有 G( y )= ∫ g( y )dy = ∫ f(x )dx = F( x )+ C . 可以证明，由二元方程
通解。
(2) 可分离变量方程有解的意义 • 理论意义
由上讨论可得如下结果：
• 在函数 f( x), g( y )连续，且 g( y ) 0 的条件下，可 分离变量方程 g( y )d y = f( x )d x 一定有解。
• 可分离变量方程的通解可直接由积分法求得，其通解
形式为 G( y )= ∫ g( y )dy = ∫ f( x)d x = F(x)+ C .
一般地，若一阶方程可写成 g( y )d y = f( x )d x 的形式， 就称其为可分离变量方程。将方 程化为这一形式的步骤称为分离变量。
(1) 可分离变量方程解的存在性及解法 对于给定的可分离变量方程 y = h( x )/ g( y ), g( y ) 0 ， 考虑方程的求解。 分离变量有 g( y )dy = f(x )dx . 若 f( x )、g( y )都是 I 上的连续函数，则它们的原
方程的解具有简单的结构，甚至可不必通过积分，只需 用代数方法便可求得其通解。
正是由于这一特点，使得讨论 线性微分方程解的结构及求解的代 数方法成为研究微分方程求解的又 一条途径。
(1) 一阶可积型方程的特点 求解微分方程的基础是一阶方程的求解。对可积型
方程，求解的方法就是设法通过积分消去方程中的导数 记号 y'．为能够对未知函数的导数进行积分，一阶微分 方程 F( x,y,y )= 0 必需满足两个条件： • 导数必须是可解出的
遗憾的是，一般的微分方程未必有初等解，即便对 最简单的一阶方程也是如此。
通过对各类微分方程的研究， 人们找到了一些方程，它们的解 可由初等函数表示，这便是微 分方程求解要讨论的内容。
可由初等方法求解的微分方程一般有三类：
(1) 可积型方程 从运算角度讲，解微分方程就是设法消去方程中导
数记号，使其化为仅含未知函数 y 及自变量 x 的式子。 由于积分运算是导数运算的逆运算，消去导数记号
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问
(2) 可分离变量方程的一般形式 由上分析，对一阶方程 F( x ,y ,y' )= 0 ，可直接由
积分法求解的方程的一般形式为： y = f( x ,y )= h( x )/ g( y ), g( y ) 0，
或 h1( x )·g1( y )d x + h2( x )·g2( y )d y = 0 ， 其中 g1( y )、 h2( x ) 0 .
U( x ,y )= G( y )- F( x )= C .
所确定的隐函数 y = y( x)就是该可分离变量方程的解。 因此二元方程 U( x ,y )= G( y )- F( x )= C 又称为该微分
方程一个隐式解。 因为二元方程 G( y )- F( x )= C 含有一个任意常数,
所以它又是可分离变量方程 g( y )dy = f(x )dx 的隐式
由方程 F( x ,y ,y' )= 0 可解出导数 y'，即方程可化 为如下形式：
y = f( x ,y ) 或 P( x ,y )d x + Q( x ,y )d y = 0 .
• 导数表达式中的二元函数必须是变量可分离的 由于不定积分计算只能对单变量函数进行，而由一
阶方程 F( x ,y ,y )= 0 解出的导数 y' 一般是 x 、y 的二 元函数，即导数可解出的方程的一般形式为：
y = f( x ,y ) 或 P( x ,y )d x + Q( x ,y )d y = 0 . 只有当 f( x ,y )或 P( x ,y )、Q( x ,y )可表为单变量
函数或可分离变量时，才能对其进行积分，即它们必需 可化为如下形式：
f ( x ,y )= h( x )/ g( y)， P( x ,y )= h1( x )/ g1( y)， Q( x ,y )= h2( x )/g2( y).
g( y )d y = f( x)d x ,
方程两边积分求通解
G( y )= ∫ g( y )dy = ∫ f( x)d x = F( x)+ C .
可分离变量方程是可积方程的最基本形式， 其它类型的可积分方程最终都是化为可分离变量 方程求解的，掌握可分离变量方程解的存在性理 论是理解用积分法解微分方程的基础。
求解微分方程的前提是方程必需有解，从微积分讨 论角度考虑，还希望方程的解能够由初等函数表示，那 些能由初等函数表示的解称为初等解(公式解)。
• 可分离变量方程是唯一可直接由积分方法求解的一 阶常微分方程形式。
• 可分离变量方程的求解步骤 • 判别给定方程是否为可分离变量方程
由方程 F( x,y,y )= 0 解出导数 y = f( x,y )； 考察 f( x,y )是否可分离变量，即是否有 f( x,y)= h( x)·g( y). • 分离变量、积分求通解 将可分离变量方程写成标准形式
并非任何高阶的方程都可降阶， 只有当其满足一定条件时才有可能。 这种可通过降阶法化为低阶方程的 高阶方程称为可降阶方程。
高阶方程的讨论就是研究哪些方 程可以降阶及如何进行降阶的方法。
(3) 线性方程 若方程中所含未知函数及其导数都是一次的，称这
类方程为线性微分方程。 线性微分方程具有良好的代数性质，这些性质使得
最直接的方法就是积分。这种能够通过 积分运算消去方程中导数记号并求出 通解的方程称为可积型的方程。
可积型方程通常是一阶方程 F( x,y,y )= 0 中的某些特殊形式。
பைடு நூலகம்
(2) 可降阶型方程 可降阶型方程指是一类高阶方程。高阶方程的求解
一般比一阶方程困难得多，所以对于高阶方程的讨论通 常不是直接考虑求其通解，而是考虑设法通过变量代换 法将其转化为低阶方程再求解，这一过程称为降阶。