东华大学2013-2014几何与多元微积分A(上)_A卷

东华大学2013----2014学年第 二 学期 试卷 A 卷

踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。 课程名称 几何与多元微积分A (上) 使用专业_____全校各专业________教师 班号

姓名_____ ____学号_______ __考试教室

一 二 三 四 五 六 七 总分 试题

得分

一、填空题（每小题4分，共32分 ）

1、收敛级数

1n ∞=∑的和= 。 2、级数111(1)

n n n n

∞+=−

−∑ （绝对收敛，条件收敛，发散）。 3、设 则(1,1,4),(2,0,2),a b =−=− a b i = ；和夹角的余弦

为 a b 。

(,)(4,3)1lim 1

x y x y x y →≠+−−4、= 。 5、直线,2,1x t y t z t

==−+=+22,3,56和x s y s z s =+=+=+的交点为 ， 这两条直线确定的平面方程为 。

22(1)1

z x y ⎧⎪=⎨−+=⎪⎩6、曲线的参数方程为

。 7、设幂级数在1(1)n n

n a x ∞=−∑1x =−条件收敛，则该幂级数的收敛半径为 。

8、已知向量(2,3,6),(1,2,2)a b =−= −共一起点，c 在沿a 与b 所成的角平分线上，且长

为= c 。

二、解答下列各题（每题7分，共35分）

1、 求点到直线(3,1,4)−4,33,53x t y t z t =−=+=−+的距离。

2、证明函数

(,)f x y =

当时极限不存在。 (,)(0,0)x y →

3、已知二元函数(1)ln(1x y z

xe x y +)=+++，计算全微分(1,0)dz

4、设22

(,y z f x y )x =+，求（1）z x ∂∂（2）2z x y ∂∂∂，其中f 具有连续的二阶偏导数。

x 展开成x 的幂级数并求

()(0)n f 5、 将函数()arctan f x =

三、（8分）（1）求幂级数11n n n ∞

=∑的收敛域及和函数；（2）求常数项级数11(1)n n n +∞=−∑的和。

四、（8分）求过原点并含直线L:312x t y z t t =−⎧⎪=+⎨⎪=⎩

的平面方程。

五、（6分）222(),(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩

，讨论(,)f x y 在点的连续性、可偏导性、可微性。 (0,0)

六、（6分）将函数223()()12x f x x πππ−=−≤≤ 展开为Fourier 级数。

七、（5分）设数列{单调减少，}n a 0lim =∞→n n a ，无界，求幂级数的收敛域. (∑===n k k n n a S 12,1 )()11n

n n a x ∞=−∑