18.1勾股定理(1)ppt课件
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勾股定理数学优秀ppt课件
实际应用
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
18.1勾股定理(第1课时)课件
2
2ab+（b² -2ab+a² ）=c² ∴a² =c² +b²
尝试应用
2、一个门框尺寸如图18.1-2所示，一块长3m，宽2.2m的 薄木板能否从门框内通过？为什么？ 在RtΔABC中，根据勾股定理： AC ＝AB +BC ＝1 +2 ＝5 所以，AC＝ 5 ≈2.236 而AC大于木板的宽，所以木板能从门 框内通过。
第十八章
勾股定理
18.1
勾股定理
第1课时
学习目标
1.掌握勾股定理的推导过程 2.会运用勾股定理解简单类型
的题
自学指导
请同学们认真看课本 64至67页内容，边看 书边理解，并思考下列问题： 1.勾股定理是怎样推出来的？ 2.看懂66页例题 8分钟后，我们看谁回答的最精彩
情境引入
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家 里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直 角三角形三边的某种数量关系．注意观察，你能有
什么发现？
毕达哥拉斯(公元前572----前492年), 古希腊著名的哲学家、数学家、天 文学家。
情境引入
换成下图你有什发现？说出你的观点.
等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和.
课中探究
其它直角三角形是否也存在这种关系？ 观察下边两个图并填写下表:
A的面
25
图1-3
4
9
13
结论：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c，
那么 a 2 b2 c 2
当堂检测
1、根据图18.1-1你能写出勾股定理的证明过程吗？
c a
b
∵ 1 ab×4+(b-a)² =c²
2 2 2 2 2
2ab+（b² -2ab+a² ）=c² ∴a² =c² +b²
尝试应用
2、一个门框尺寸如图18.1-2所示，一块长3m，宽2.2m的 薄木板能否从门框内通过？为什么？ 在RtΔABC中，根据勾股定理： AC ＝AB +BC ＝1 +2 ＝5 所以，AC＝ 5 ≈2.236 而AC大于木板的宽，所以木板能从门 框内通过。
第十八章
勾股定理
18.1
勾股定理
第1课时
学习目标
1.掌握勾股定理的推导过程 2.会运用勾股定理解简单类型
的题
自学指导
请同学们认真看课本 64至67页内容，边看 书边理解，并思考下列问题： 1.勾股定理是怎样推出来的？ 2.看懂66页例题 8分钟后，我们看谁回答的最精彩
情境引入
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家 里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直 角三角形三边的某种数量关系．注意观察，你能有
什么发现？
毕达哥拉斯(公元前572----前492年), 古希腊著名的哲学家、数学家、天 文学家。
情境引入
换成下图你有什发现？说出你的观点.
等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和.
课中探究
其它直角三角形是否也存在这种关系？ 观察下边两个图并填写下表:
A的面
25
图1-3
4
9
13
结论：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c，
那么 a 2 b2 c 2
当堂检测
1、根据图18.1-1你能写出勾股定理的证明过程吗？
c a
b
∵ 1 ab×4+(b-a)² =c²
2 2 2 2 2
数学：18.1勾股定理说课课件(人教新课标八年级下)
教学方法、教学手段的选择
数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重 要学科，因此在教学中，不仅要使学生“知其 然”，而且还要使学生“知其所以然”。针对 八年级学生的认知结构和心理特征，本节课选 择“引导探索法”，由浅到深，由特殊到一般 的提出问题,引导学生自主探索，合作交流， 这种教学理念紧随新课改理念，也反映了时代 精神。基本的教学程序是“提出问题-实验操 作 -归纳验证-问题解决-课堂小结-布置作业” 六个方面。
学法指导
新课标明确提出要培养“可持续发展的
学生”，因此教师要有组织、有目的、 有针对性的引导学生并参入到学习活动 中，鼓励学生采用自主探索，合作交流 的研讨式学习方式，培养学生“动手”、 “动脑”、“动口”的习惯与能力，使 学生真正成为学习的主人。
教学程序设计
教学流程图
创 设 情 境 探 索 新 知 实 验 操 作 获 取 新 知 归 纳 验 证 完 善 新 知 问 题 解 决 应 用 新 知 课 堂 小 结 巩 固 新 知
2、再问：
当边长不为整数的直角三角形是否也存在这一结论 呢？投影例题：一个边长分别为1.5，3.6，3.9这种含有 小数的直角三角形，让学生计算。
3.6
3.9
1.5
归纳验证
对于定理的证明，是本堂课的难点，所以我采取 四人小组进行分组讨论，让学生尝试解决。学生讨论 时，我进行巡回指导。如果有些学生感到困难，可以 进行适当点拨, 在这一环节中，学生充分讨论，各抒己 见，充分暴露其思维过程。通过学生的互相讨论，激 发学生的思维活动，可以发现一些解题的方法。 学生代表上台展示拼图结果,对学生的不同解法用 实物投影仪展示出来，选一种方法用电脑显示详细解 题过程.
10分钟
5、课堂小结
(课件1)18.1勾股定理
图1-1
图1-2
勾股定理（1）
看 一 看
发们 映 友 现， 直 家 什我 角 作 相 么们 三 客 传 ？ 也 角 ， 25 来 形 发 00 观三现年 察边朋前 下的友， 面某家一 的种用次 图数砖毕 案量铺达 ，关成哥 看系的拉 看，地斯 你同面去 能学反朋
（1）观察图2-1
C A B 图2-1 A B
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
5 7 25
x
20
16
x
12
x
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相 对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长 为 ( C )
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
３ ４
２、湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直 角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米, 则AB为 ( A ) A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（单位面积）
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
C A B 图2-1 A B
S正方形c
C
1 62 2
（单位面积） 18
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C“补” 成边长为6的 正方形面积的一半
C A B 图2-1 A B
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，周 国家之一。早在三千多年前， 朝数学家商高就提出，将一根直 国家之一。早在三千多年前， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 国家之一。早在三千多年前， 股等于四，那么弦就等于五，即 国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记 国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作 国家之一。早在三千多年前 《周髀算经》中。
18[1].1勾股定理(第1课时)课件2010.10.1
![18[1].1勾股定理(第1课时)课件2010.10.1](https://img.taocdn.com/s3/m/7f7ba00402020740be1e9b5a.png)
勾股定理：如果直角三角形两直角
边长分别为a、b,斜边长为c，那么
2 a
+
2 b
=
2 c
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜 边的平方。
古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”， 下半部分称为“股”。于是我国古代学者就把直角三角 形中较短直角边称为“勾”，较长直角边称为“股”， 斜边称为“弦”.由于命题1反映的正好是直角三角形三 边的关系，所以叫做勾股定理。
用四个全等三角形拼图证明。
四、实践应用
A
6 x
例题：求出下列直角三角形中未知边的长度.
C y B 13 5 A
8 （2）在Rt△ABC中,由勾 解：（1）在Rt△ABC中,由勾 股定理得:AC2+BC2=AB2 股定理得：AB2=AC2+BC2 y2+52=132 x2=62+82 y2=132-52 X2 =36+64 y2=144 2 =100 x ∵y>0 ∵x>0 ∴ y=12 ∴X=10
那么这到底是 一种什么样的图形 呢？它真的有那么 大的魅力吗？ 下面就让我们通过时光隧 道，和古希腊的数学家毕达哥 拉斯一起来研究这种图形吧。
毕达哥拉斯(公元前572----前492年),古希腊著名的哲学家、数学 家、天文学家。相传有一次他在朋友家做客时，发现朋友 家用砖铺成的地面中反映了A、B、C三者面积之间的数量 关系，进而发现直角三角形三边的某种数量关系．
A B
图2
结论：仍然成立。
（图中每个小方格是1个单位面积）
至此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上的正 方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即SA+SB=SC
问题1:去掉网格结论会改变吗？ 问题2:式子SA+SB=SC能用直
沪科版八年级下册数学-18.1勾股定理1——两点之间的距离公式-课件(共19张PPT)
x
平面内有一点A（3,4），如何求O，A之间的距 离|OA|？
|OB|=3 |AB|=4 |OA|=5
两点间距离公式及应用（授新）
y
5
4
3
A(1,2)
2
1
B(5,5) C （5，,2）
-2 -1 0 1 2 3 4 5
x
B1
平面上两点A（1,2），B（5,5），如何计算这两点之间的距离|AB|？
|AC|=|xA-xC|=|1-5|=4
两点之间的距离公式
两点间距离公式及应用（复习导入）
A
B
-2 -1 0 1 2 3
|AB|=|-2-3|=|-5|=5
两点间距离公式及应用（复习导入）
C
D
x1
-2 -1 0 1 2 3
x2
|CD|=|x1-x2|
两点间距离公式及应用（授新）
y
5
|AB|=|5-1|=4
4
3
A(1,2)
2
1
B(5,2)
|BC|= |yB-yC|=|5-2|=3
|AB|=5
两点间距离公式及应用（授新）
平面上任意两点A（x1，y1）和B（x2，y2），如何计算AB两点之间的距离|AB|
y
A(x1,y1)
|BC|=|x2-x1|
C(x1,y2)
B(x2,y2)
0
A1
x
平面直角坐标系中两点之间的距离公式:
|AC|=|y2-y1|
两点间距离公式及应用（作业）
1、P62思考 2、P63.3
两点间距离公式及应用（拓展延伸）
1、在平面内，已知A（1，-1），B（b，3），且AB=5，求b 2、已知A（1，1），B（3，-1），C（3，y），且△ABC为等腰三角形， 求y
沪科版八年级数学下册课件.1勾股定理(24张)
c
2
a
=2ab+b2-2ab+a2
c a
b
b
=a2+b2
∴a2+b2=c2
c a
b
c a
b
新知探究
方法二 大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ; 也可以表示为c2 + 2ab.
∵ (a+b)2 = c2 + 2ab
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴a2+b2=c2
论中正确的是( A )
A.c2=a2+b2
B.c2=a2+2ab+b2
C.c2=a2-2ab+b2 D.c2=(a+b)2
解析: 由题意得到四个完全一样的直角 三角板围成的四边形为正方形, 其边长为c, 里面的小四边形也为正方形, 边长为b-a, 则 有c2=ab×2+(b-a)2, 整理得c2=a2+b2. 故选A.
解析: 如图所示, 大正方形的面积是 (a+b)2, 另一种计算方法是4× 1 ab+c2,
2
即(a+b)2=4× 1 ab+c2, 化简得 a2+b2=c2.
2
课堂小测
2. 操作: 剪若干个大小形状完全相同的直角三角形, 三边长分别记为a, b, c. 如图(1)所示, 分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的 形状, 图(2)中的两个小正方形的面积S2, S3与图(3)中小正方形的面积S1有 什么关系? 你能得到a, b, c之间有什么关系?
十勾股定理专题培训市公开课金奖市赛课一等奖课件
x2 =144 ∵x>0
∴ x=12
第9页
3、在直角三角形ABC中, ∠C=900, (1)已知: a=5, b=12, 求c; (2)已知: b=6,•c=10 , 求a; (3)已知: a=7, c=25, 求b ; (4)已知: a=7, c=8, 求b .
4 、始终角三角形始终角边长为7, 另两条边长 为两个连续整数,求这个直角三角形周长.
相传二千多年前，希腊毕达哥拉斯学派首先证实了勾
股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定
理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一
枚纪念邮票。
第12页
试
我们用下面办法来阐明勾股定理是正确
一
c
c
c
c
试
a
a
a
a
b
b
b
b
(a+b)2= 4 ab C2 2
c2 = a2+ b2
a
b
第10页
小结： 1、利用数格子办法，摸索了以直角三角形三边为 边长正方形面积关系（即两个小正方形面积之和 等于大正方形面积） 2、摸索了直角三角形三边关系，得到勾股定理：
即直角三角形两直角边平方和等于斜边平方平方
C cb B a
A
A面积+B面积=C面积
a2+b2=c2
第11页
读一读
勾股世界
我国是最早理解勾股定理国家之一。早在三多年前，
第7页
练习： 1、求下列图中字母所表示正方形面积
A=625
225
400
81
B =144
225
第8页
2、求出下列直角三角形中未知边长度
x 6
《勾股定理》PPT课件精选全文
化简得： a2 b2 c2
方法三：
c
b b-a c
a c
c
S正
c2
4
1 2
ab
(b
a)2
，
化简得： a2 b2 c2
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
一
比8
17
看
x
16
x 12
看
x
谁
20
算
得
4 个单位面积．
C
正方形C的面积是
A
8 个单位面积．
B
（图中每个小方格代表图一2个单位面积）
SA+SB=SC在图3中还成立吗？
2．观察右边两个图 并填写下表：
A
A的面积 B的面积 C的面积
图3
16 9
25
即：两条直 角边上的正
C B
图3
方法
(1)式子SA+SB=SC能用直角三角形 的三边a、b、c来表示吗?
17.1勾股定理
复习提问
1、任意三角形三边满足怎样的关系？
2、对于等腰三角形，三边之间存在 怎样的特殊关系？等边三角形呢？
3、对于直角三角形，三边之间存在 怎样的特殊关系？
2002年在北京召开了第24届国际数学家大 会，它是最高水平的全球性数学科学学术 会议，被誉为数学界的“奥运会”，这就 是本届大会会徽的图案。
C A
B
C A
B
SA SB SC
a2 b2 c2
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么 关系吗？
勾股定理说课(完整版)PPT课件
教学目标
（1）、知识与技能： 理解勾股定理的两种 证明方法——毕达哥拉斯证法和赵爽的弦图 证法；应用勾股定理解决简单的直角三角形 三边计算问题 （2）、过程与方法：通过对直角三角形三边 关系的猜想验证，经历从特殊到一般的探索 过程，发展合情推理，体会数形结合的思想 （3）、情感态度与价值观：在勾股定理的探 索过程中感受数学文化的内涵，增进数学学 习的信心
2、直角ABC的一条直角边a=10,斜边 c=26，则b=
( 24 )。
３、已知：∠C＝90°，a=6， a：b＝3：4， 求b和c。
c=10 b=8
ac
b
1.说一说本节课我有哪些收获? 2.本节课我还有哪些疑惑?
-
作业
必做题：课本69页第一题。 选做题：收集有关勾股定理的其它 证明方法，下节课展示、交流。
图2
4
9
13
图2
C
A
B
图3
图3
9 25 34
A、B、 C面积 关系
直角三 角形三 边关系
sA+sB=sC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
ac
结论
b
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢？ 这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证 明．到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百 种之多．下面我们就来看一看我国数学家赵爽是怎 样证明这个命题的．
教学重点、难点
重点：探究并理解勾股定理 难点：探索勾股定理的验证方法
教法 分析
平行线的性质是学生对图形性质的第一 次系统研究，对于研究过程和研究方法都 是陌生的，所以学生需要在老师的引导下 类比研究平行线的判定的过程来构建平行 线的性质的研究过程。
1.1勾股定理_1PPT课件(沪科版)
2．勾股定理的适用条件： 直角三角形，它反应了直角三角形三边的关系，
即已知直角三角形两边长可求第三边长．对于非直 角三角形问题，可根据图形特征构造直角三角形．
3．由勾股定理的基本关系式： a2＋b2＝c2可得到一些变形关系式： c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝ (a－b)2 ＋ 2ab ； a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等.
3和4，则第三边长为( D )
A．5
B. 7 C. 5 D．5或 7
知识点 2 勾股定理与图形面积
知2－讲
1．命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为a， b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.
2．常用证法：利用拼图法，通过求面积来验证；这 种方法以数形转换为指点思想、图形拼补为手段， 以各部分面积之间的关系为根据而到达目的．
知2－讲
(1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形 P的
面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形
M的面积为________；
知2－讲
(2)如图②，分别以直角三角形ABC的三边长为直径 向三角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积 之间的关系式是________； (用图中字母表示)
知2－讲
(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3 和4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆， 请你利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积．
知1－导
探究 在行距、列
距都是1的方格网
中，任意作出几
个 以格点为顶点
的直角三角形，
分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形，
如图.并以 S1， S2与S3分别表示几个正方形的面积.
视察图(1)，并填写:
视察图(2)，并填写:
知1－导
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第十八章勾股定理
18.1勾股定理(1)
a b 岢岚第四中学：刘玉香 c a2+b2=c2
复习旧知 (1)在Rt△ABC中,∠C=90°,则∠A+∠B= 。 (2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=10 则AC= 理由是： (3)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则 △ABC面积S= . (4)用腰长为1的四个等腰直角三角形拼成 如图所示的正方形,则正方形的面积为 ,正方 形的边长为 .
（2）你能发现
A
C
B
图3-1
C
直角三角形三边 长度之间存在什 么关系吗？与同 伴进行交流。
A
B
图3-2
观察所得到的各组数据，你有什么发现？ A a B b
Sa+Sb=Sc
c
C
2+b2=c2 a
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
观察所得到的各组数据，你有什么发现？ a b
Sa+Sb=Sc
c
正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积是 9 个单位面积。 正方形B的面积是
9 个单位面积。
正方形C的面积是
图2-2
18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积） 你是怎样得到上面的结 果的？与同伴交流交流。
C A B C 图2-1 A B
S正方形c
1 4 3 3 18 2
x 6 2 2 2 32 4 2
x
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
5 8 17
x
20
16
x
12
x
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
3、已知：如图，等边△ABC的边长 C 是6cm,高是AD; ⑴求等边△ABC的高。 ⑵求S△ABC。
图1-1
图1-2
勾股定理（1）
看 一 看
发们 映 友 现， 直 家 什我 角 作 相 么们 三 客 传 ？ 也 角 ， 25 来 形 发 00 观三现年 察边朋前 下的友， 面某家一 的种用次 图数砖毕 案量铺达 ，关成哥 看系的拉 看，地斯 你同面去 能学反朋
（1）观察图2-1
C A B C 图2-1 A B
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（单位面积）
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
C A B C 图2-1 A B
S正方形c
1 62 2
（单位面积） 18
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C“补” 成边长为6的 正方形面积的一半
C A B C 图2-1 A B
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
2 2
2
a b c c b
1 (a b) c 4 ab 2
2 2
a
a b c
2 2
2
• 1876年4月1日，伽菲尔 德在《新英格兰教育日 志》上发表了他对勾股 定理的这一证法。 • 1881年，伽菲尔德就任 美国第20任总统。后来， 人们为了纪念他对勾股 定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一 证法称为“总统证法”。
学习目标
学习目标: 1、了解勾股定理的由来，体验勾股 定理的探索过程. 2、会用勾股定理解决简单的实际问 题。 学习重、难点: 探索和证明勾股定理
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经 》作法时给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数 学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图 ”，它标志着中国古代的数学成就.
国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，周 国家之一。早在三千多年前， 朝数学家商高就提出，将一根直 国家之一。早在三千多年前， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 国家之一。早在三千多年前， 股等于四，那么弦就等于五，即 国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记 国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作 国家之一。早在三千多年前 《周髀算经》中。
2+b2=c2 a
猜想两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
弦 c
股 b
a 勾
┏
2+b2=c2 a
勾 股 世 界
两千多年前，古希腊有个哥拉 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么 关系吗？
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
一般的直角三角形 三边为边作正方形
S正方形c
1 4 4 3 1 2
（面积单位） 25
A
C
无字证明
青出
青 入
青方
青 出
朱入
朱 朱方 出
青入
青出
④
⑤
b
c
a
③
①
②
无字证明
青朱出入图
青出
青 入
青方
青 出
朱入 朱入
朱 朱 出 朱方 出
华罗庚
青入
青出
对比两个图形,你能直接观 察验证出勾股定理吗？
b a c a c c b c a b a a b a b c a b b
b
c a
提示：图中的两个大正方形面积相等吗？
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. 144 81 144 ① 169 ②
z
625
576
③
做一做：
A
625 P
225 P的面积 =______________ 25 AB=__________ B 20 BC=__________
AC=__________ 15
C
400
6 2
4 2 X=____________
两幅图中彩色的四个直角三角形总面积呢？
空白部分的面积呢？那剩余的
A D B
1
1
美丽的勾股树
小结:
①本节课学到了什么数学知识？ ②你了解了勾股定理的发现方法了吗？ ③你还有什么困惑？
作业:
教材第69页习题18.1第1、2、3题
c
a b
c a
b
1 2 (b a) 4 ab c 2
2
b 2ab a 2ab c
2 2
2
a b c
B
图3-1
C
A
B
图3-2
分割成若干个直角边为 整数的三角形
S正方形c
1 2 7 1 （ ） 2
A
C
B
图3-1
C
25 （面积单位）
A
B
图3-2
思考：面积A，B， 把C“补”成边长为7的 正方形面积加1单位面 C还有上述关系 积的一半 Fra bibliotek？议一议
（1）你能用三 角形的边长表示 正方形的面积吗？
18.1勾股定理(1)
a b 岢岚第四中学：刘玉香 c a2+b2=c2
复习旧知 (1)在Rt△ABC中,∠C=90°,则∠A+∠B= 。 (2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=10 则AC= 理由是： (3)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则 △ABC面积S= . (4)用腰长为1的四个等腰直角三角形拼成 如图所示的正方形,则正方形的面积为 ,正方 形的边长为 .
（2）你能发现
A
C
B
图3-1
C
直角三角形三边 长度之间存在什 么关系吗？与同 伴进行交流。
A
B
图3-2
观察所得到的各组数据，你有什么发现？ A a B b
Sa+Sb=Sc
c
C
2+b2=c2 a
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
观察所得到的各组数据，你有什么发现？ a b
Sa+Sb=Sc
c
正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积是 9 个单位面积。 正方形B的面积是
9 个单位面积。
正方形C的面积是
图2-2
18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积） 你是怎样得到上面的结 果的？与同伴交流交流。
C A B C 图2-1 A B
S正方形c
1 4 3 3 18 2
x 6 2 2 2 32 4 2
x
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
5 8 17
x
20
16
x
12
x
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
3、已知：如图，等边△ABC的边长 C 是6cm,高是AD; ⑴求等边△ABC的高。 ⑵求S△ABC。
图1-1
图1-2
勾股定理（1）
看 一 看
发们 映 友 现， 直 家 什我 角 作 相 么们 三 客 传 ？ 也 角 ， 25 来 形 发 00 观三现年 察边朋前 下的友， 面某家一 的种用次 图数砖毕 案量铺达 ，关成哥 看系的拉 看，地斯 你同面去 能学反朋
（1）观察图2-1
C A B C 图2-1 A B
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（单位面积）
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
C A B C 图2-1 A B
S正方形c
1 62 2
（单位面积） 18
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C“补” 成边长为6的 正方形面积的一半
C A B C 图2-1 A B
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
2 2
2
a b c c b
1 (a b) c 4 ab 2
2 2
a
a b c
2 2
2
• 1876年4月1日，伽菲尔 德在《新英格兰教育日 志》上发表了他对勾股 定理的这一证法。 • 1881年，伽菲尔德就任 美国第20任总统。后来， 人们为了纪念他对勾股 定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一 证法称为“总统证法”。
学习目标
学习目标: 1、了解勾股定理的由来，体验勾股 定理的探索过程. 2、会用勾股定理解决简单的实际问 题。 学习重、难点: 探索和证明勾股定理
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经 》作法时给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数 学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图 ”，它标志着中国古代的数学成就.
国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，周 国家之一。早在三千多年前， 朝数学家商高就提出，将一根直 国家之一。早在三千多年前， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 国家之一。早在三千多年前， 股等于四，那么弦就等于五，即 国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记 国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作 国家之一。早在三千多年前 《周髀算经》中。
2+b2=c2 a
猜想两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
弦 c
股 b
a 勾
┏
2+b2=c2 a
勾 股 世 界
两千多年前，古希腊有个哥拉 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么 关系吗？
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
一般的直角三角形 三边为边作正方形
S正方形c
1 4 4 3 1 2
（面积单位） 25
A
C
无字证明
青出
青 入
青方
青 出
朱入
朱 朱方 出
青入
青出
④
⑤
b
c
a
③
①
②
无字证明
青朱出入图
青出
青 入
青方
青 出
朱入 朱入
朱 朱 出 朱方 出
华罗庚
青入
青出
对比两个图形,你能直接观 察验证出勾股定理吗？
b a c a c c b c a b a a b a b c a b b
b
c a
提示：图中的两个大正方形面积相等吗？
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. 144 81 144 ① 169 ②
z
625
576
③
做一做：
A
625 P
225 P的面积 =______________ 25 AB=__________ B 20 BC=__________
AC=__________ 15
C
400
6 2
4 2 X=____________
两幅图中彩色的四个直角三角形总面积呢？
空白部分的面积呢？那剩余的
A D B
1
1
美丽的勾股树
小结:
①本节课学到了什么数学知识？ ②你了解了勾股定理的发现方法了吗？ ③你还有什么困惑？
作业:
教材第69页习题18.1第1、2、3题
c
a b
c a
b
1 2 (b a) 4 ab c 2
2
b 2ab a 2ab c
2 2
2
a b c
B
图3-1
C
A
B
图3-2
分割成若干个直角边为 整数的三角形
S正方形c
1 2 7 1 （ ） 2
A
C
B
图3-1
C
25 （面积单位）
A
B
图3-2
思考：面积A，B， 把C“补”成边长为7的 正方形面积加1单位面 C还有上述关系 积的一半 Fra bibliotek？议一议
（1）你能用三 角形的边长表示 正方形的面积吗？