随机过程习题答案

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(完整word版)随机过程试题及答案

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1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为 。

2.设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数,A 和Φ是相互独立的随机变量,且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布,则X(t)的数学期望为 。

3.强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量,且服从均值为 的同一指数分布。

4.设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列,则n W 服从 分布。

5.袋中放有一个白球,两个红球,每隔单位时间从袋中任取一球,取后放回,对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(,则 这个随机过程的状态空间 。

6.设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p ),n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=,二者之间的关系为 。

7.设{}n X ,n 0≥为马氏链,状态空间I ,初始概率i 0p P(X =i)=,绝对概率{}j n p (n)P X j ==,n 步转移概率(n)ij p ,三者之间的关系为 。

8.设}),({0≥t t X 是泊松过程,且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9.更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。

10.记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切,当时,t +a 。

二、证明题(本大题共4道小题,每题8分,共32分)P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。

3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链,状态空间为I ,则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈,n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ,称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程,证明并说明其意义。

随机过程试题及答案

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随机过程试题及答案随机过程是概率论与数理统计的重要理论基础之一。

通过研究随机过程,可以揭示随机现象的规律性,并应用于实际问题的建模与分析。

以下是一些关于随机过程的试题及答案,帮助读者更好地理解与掌握这一概念。

1. 试题:设随机过程X(t)是一个马尔可夫过程,其状态空间为S={1,2,3},转移概率矩阵为:P =| 0.5 0.2 0.3 || 0.1 0.6 0.3 || 0.1 0.3 0.6 |(1) 计算X(t)在t=2时的转移概率矩阵。

(2) 求X(t)的平稳分布。

2. 答案:(1) 根据马尔可夫过程的性质,X(t)在t=2时的转移概率矩阵可以通过原始的转移概率矩阵P的2次幂来计算。

令Q = P^2,则X(t=2)的转移概率矩阵为:Q =| 0.37 0.26 0.37 || 0.22 0.42 0.36 || 0.19 0.36 0.45 |(2) 平稳分布是指随机过程的状态概率分布在长时间内保持不变的分布。

设平稳分布为π = (π1,π2, π3),满足πP = π(即π为右特征向量),且所有状态的概率之和为1。

根据πP = π,可以得到如下方程组:π1 = 0.5π1 + 0.1π2 + 0.1π3π2 = 0.2π1 + 0.6π2 + 0.3π3π3 = 0.3π1 + 0.3π2 + 0.6π3解以上方程组可得到平稳分布:π = (0.25, 0.3125, 0.4375)3. 试题:设随机过程X(t)是一个泊松过程,其到达率为λ=1,即单位时间内到达的事件平均次数为1。

(1) 请计算X(t)在t=2时的累计到达次数的概率P{N(2)≤3}。

(2) 计算X(t)的平均到达速率。

4. 答案:(1) 泊松过程具有独立增量和平稳增量的性质,且在单位时间内到达次数服从参数为λ的泊松分布。

所以,P{N(2)≤3} = P{N(2)=0} + P{N(2)=1} + P{N(2)=2} +P{N(2)=3},其中P{N(2)=k}表示在时间间隔[0,2]内到达的次数为k的概率。

随机过程习题和答案

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一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为:试求:在时,求。

解:当时,==1.2 设离散型随机变量X服从几何分布:试求的特征函数,并以此求其期望与方差。

解:所以:2.1 袋中红球,每隔单位时间从袋中有一个白球,两个任取一球后放回,对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程,其中是常数,与是相互独立的随机变量,服从区间上的均匀分布,服从瑞利分布,其概率密度为试证明为宽平稳过程。

解:(1)与无关(2),所以(3)只与时间间隔有关,所以为宽平稳过程。

2.3是随机变量,且,其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求:,.5)(5)(==U D U E.321)方差函数)协方差函数;()均值函数;((2.4是其中,设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量,且数。

试求它们的互协方差函2.5,试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少?3.1一队学生顺次等候体检。

设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立,则1小时内平均有多少学生接受过体检?在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少(设学生非常多,医生不会空闲)解:令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数,则()N t 为参数为30的poisson 过程。

以小时为单位。

则((1))30E N =。

40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ,2λ,当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发;2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。

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随机过程习题解答(一)第一讲作业:1、设随机向量的两个分量相互独立,且均服从标准正态分布。

(a)分别写出随机变量和的分布密度(b)试问:与是否独立?说明理由。

解:(a)(b)由于:因此是服从正态分布的二维随机向量,其协方差矩阵为:因此与独立。

2、设和为独立的随机变量,期望和方差分别为和。

(a)试求和的相关系数;(b)与能否不相关?能否有严格线性函数关系?若能,试分别写出条件。

解:(a)利用的独立性,由计算有:(b)当的时候,和线性相关,即3、设是一个实的均值为零,二阶矩存在的随机过程,其相关函数为,且是一个周期为T的函数,即,试求方差函数。

解:由定义,有:4、考察两个谐波随机信号和,其中:式中和为正的常数;是内均匀分布的随机变量,是标准正态分布的随机变量。

(a)求的均值、方差和相关函数;(b)若与独立,求与Y的互相关函数。

解:(a)(b)第二讲作业:P33/2.解:其中为整数,为脉宽从而有一维分布密度:P33/3.解:由周期性及三角关系,有:反函数,因此有一维分布:P35/4. 解:(1) 其中由题意可知,的联合概率密度为:利用变换:,及雅克比行列式:我们有的联合分布密度为:因此有:且V和相互独立独立。

(2)典型样本函数是一条正弦曲线。

(3)给定一时刻,由于独立、服从正态分布,因此也服从正态分布,且所以。

(4)由于:所以因此当时,当时,由(1)中的结论,有:P36/7.证明:(1)(2) 由协方差函数的定义,有:P37/10. 解:(1)当i =j 时;否则令,则有第三讲作业:P111/7.解:(1)是齐次马氏链。

经过次交换后,甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关,和之前的状态和交换次数无关。

(2)由题意,我们有一步转移矩阵:P111/8.解:(1)由马氏链的马氏性,我们有:(2)由齐次马氏链的性质,有:,(2)因此:P112/9.解:(2)由(1)的结论,当为偶数时,递推可得:;计算有:,递推得到,因此有:P112/11.解:矩阵 的特征多项式为:由此可得特征值为:,及特征向量:,则有:因此有:(1)令矩阵P112/12.解:设一次观察今天及前两天的天气状况,将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态,则此问题就是一个马氏链,它有8个状态。

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(完整版)随机过程习题答案随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数,)1,0(~N V ,求)(t X 的⼀维概率密度、均值和相关函数。

解因)1,0(~N V,所以1,0==DV EV ,b Vt t X +=)(也服从正态分布,b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ,)(t X 的⼀维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π,),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ,令Yt e t X -=)(,0,0>>Y t ,求随机过程)(t X 的⼀维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。

解对于任意0>t,Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量,根据随机变量函数的分布的求法,}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的⼀维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=,0>t)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X 2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷⼀枚均匀的硬币做实验,定义随机过程=时刻抛得反⾯时刻抛得正⾯t t t t t X ,2),cos()(π试求:(1))(t X 的⼀维分布函数),1(),21(x F x F 和;(2))(t X 的⼆维分布函数),;1,21(21x x F ;(3))(t X 的均值)1(),(X X m t m ,⽅差 )1(),(22X Xt σσ。

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随机过程试题及答案一、选择题1. 随机过程是研究什么的对象?A. 确定性系统B. 随机性系统C. 静态系统D. 动态系统答案:B2. 下列哪项不是随机过程的特点?A. 可预测性B. 随机性C. 连续性D. 状态的不确定性答案:A3. 随机过程的数学描述通常使用什么?A. 概率分布B. 微分方程C. 差分方程D. 以上都是答案:A4. 马尔可夫链是具有什么特性的随机过程?A. 独立性B. 无记忆性C. 均匀性D. 周期性答案:B5. 以下哪个是随机过程的数学工具?A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 特征函数D. 以上都是答案:D二、简答题1. 简述什么是随机过程的遍历性。

答:遍历性是随机过程的一种特性,指的是在足够长的时间内,随机过程的统计特性不随时间变化而变化,即时间平均与遍历平均相等。

2. 解释什么是泊松过程,并给出其主要特征。

答:泊松过程是一种计数过程,它描述了在固定时间或空间内随机发生的事件次数。

其主要特征包括:事件在时间或空间上独立发生,事件的发生具有均匀性,且在任意小的时间段内,事件发生的概率与该时间段的长度成正比。

三、计算题1. 假设有一个泊松过程,其平均事件发生率为λ。

计算在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率。

答:在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率由泊松分布给出,公式为:\[ P(N(t) = n) = \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^n}{n!} \]2. 考虑一个具有两个状态的马尔可夫链,其状态转移概率矩阵为:\[ P = \begin{bmatrix}p_{11} & p_{12} \\p_{21} & p_{22}\end{bmatrix} \]如果初始时刻在状态1的概率为1,求在第k步时处于状态1的概率。

答:在第k步时处于状态1的概率可以通过马尔可夫链的状态转移矩阵的k次幂来计算,即:\[ P_{11}^{(k)} = p_{11}^k + p_{12} p_{21} (p_{11}^{k-1} + p_{12} p_{21}^{k-2} + \ldots) \]四、论述题1. 论述随机过程在信号处理中的应用及其重要性。

随机过程试题及答案

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随机过程试题及答案一、选择题1. 关于随机过程的描述,错误的是:A. 随机过程是一种由随机变量组成的集合B. 随机过程是一种在时间上有序排列的随机变量序列C. 随机过程可以是离散的,也可以是连续的D. 随机过程是一种确定性的数学模型答案:D2. 以下哪种过程不是随机过程?A. 白噪声过程B. 马尔可夫过程C. 布朗运动D. 正态分布答案:D3. 随机过程的一阶矩描述的是:A. 均值B. 方差C. 偏度D. 峰度答案:A4. 当随机过程的各个时间点上的随机变量是独立同分布时,该随机过程为:A. 马尔可夫过程B. 马尔可夫链C. 平稳随机过程D. 白噪声过程答案:B5. 下列关于马尔可夫过程的说法中,正确的是:A. 当前状态只与上一状态有关,与历史状态无关B. 当前状态只与历史状态有关,与上一状态无关C. 当前状态只与上一状态和历史状态有关D. 当前状态与所有历史状态均无关答案:A二、填空题1. 随机过程中,时域函数常用的表示方法是__________。

答案:概率分布函数或概率密度函数2. 马尔可夫过程的状态转移概率只与__________相关。

答案:当前状态和下一状态3. 随机过程的时间参数称为__________。

答案:时刻或时间点4. 白噪声过程的自相关函数是一个__________函数。

答案:冲激函数5. 平稳随机过程的自相关函数只与__________相关。

答案:时间差三、解答题1. 请简要解释随机过程的概念。

随机过程是一种由随机变量组成的集合,表示一个在时间上有序排列的随机变量序列。

它可以是离散的,也可以是连续的。

随机过程的描述通常包括概率分布函数或概率密度函数,以及相关的统计特征,如均值、方差等。

随机过程可以用于对随机现象进行建模和分析。

2. 请简要说明马尔可夫过程的特点及应用。

马尔可夫过程是一种具有马尔可夫性质的随机过程,即当前状态只与上一状态有关,与历史状态无关。

其状态转移概率只与当前状态和下一状态相关。

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一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为:试求:在时,求。

解:当时,==1.2 设离散型随机变量X服从几何分布:试求的特征函数,并以此求其期望与方差。

解:所以:2.1 袋中红球,每隔单位时间从袋中有一个白球,两个任取一球后放回,对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程,其中是常数,与是相互独立的随机变量,服从区间上的均匀分布,服从瑞利分布,其概率密度为试证明为宽平稳过程。

解:(1)与无关(2),所以(3)只与时间间隔有关,所以为宽平稳过程。

2.3是随机变量,且,其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求:,.5)(5)(==U D U E.321)方差函数)协方差函数;()均值函数;((2.4是其中,设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量,且数。

试求它们的互协方差函2.5,试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少?3.1一队学生顺次等候体检。

设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立,则1小时内平均有多少学生接受过体检?在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少(设学生非常多,医生不会空闲)解:令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数,则()N t 为参数为30的poisson 过程。

以小时为单位。

则((1))30E N =。

40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ,2λ,当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发;2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。

随机过程期末试题及答案

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随机过程期末试题及答案一、选择题1. 随机过程的定义中,下列哪个是错误的?A. 属于随机现象。

B. 具有随机变量。

C. 具有时间集合。

D. 具有马尔可夫性质。

答案:D2. 下列哪个不是连续时间的随机过程?A. 泊松过程。

B. 布朗运动。

C. 维纳过程。

D. 马尔可夫链。

答案:D3. 关于时间齐次的描述,下列哪个是正确的?A. 随机过程的概率分布不随时间变化。

B. 随机过程的均值不随时间变化。

C. 随机过程的方差不随时间变化。

D. 随机过程的偏度不随时间变化。

答案:A4. 下列哪个是离散时间的随机过程?A. 随机游走。

B. 指数分布过程。

C. 广义强度过程。

D. 随机驱动过程。

答案:A二、填空题1. 马尔可夫链中,状态转移概率与当前状态无关,只与前一个状态有关,这个性质被称为(马尔可夫性质)。

2. 在某一区间内,随机过程的均值是时间的(函数)。

3. 两个随机过程的相互独立性是指它们的(联合概率)等于各自概率的乘积。

4. 利用(随机过程)可以模拟无记忆的随机现象。

三、解答题1. 试述随机过程的定义及其要素。

随机过程是描述随机现象随时间演化的数学模型。

它由两个基本要素组成:时间集合和取值集合。

时间集合是指随机过程所涉及的时间轴,可以是离散的或连续的。

取值集合是指随机过程在每个时间点上可能取到的值的集合,可以是实数集、整数集或其他集合。

2. 什么是时间齐次随机过程?请举例说明。

时间齐次随机过程是指随机过程的概率分布在时间上不变的特性。

即随机过程在任意两个时间点上的特性是相同的。

例如,离散时间的随机游走就是一个时间齐次随机过程。

在随机游走中,每次移动的概率分布不随时间变化,且每次移动的步长独立同分布。

3. 什么是马尔可夫链?它有哪些性质?马尔可夫链是一种离散时间的随机过程,具有马尔可夫性质,即在给定当前状态的情况下,未来的状态只与当前状态有关,与过去的状态无关。

马尔可夫链的性质包括:首先,状态转移概率与当前状态无关,只与前一个状态有关。

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一、设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为:试求:在时,求。

解:当时,==设离散型随机变量X服从几何分布:试求的特征函数,并以此求其期望与方差。

解:所以:袋中有一个白球,两个红球,每隔单位时间从袋中任取一球后放回,对每一个确定的t对应随机变量X(t)t3te如果对如果对t时取得红球t时取得白球试求这个随机过程的一维分布函数族.设随机过程,其中是常数,与是相互独立的随机变量,服从区间上的均匀分布,服从瑞利分布,其概率密度为试证明为宽平稳过程。

解:(1)与无关(2),所以(3)只与时间间隔有关,所以为宽平稳过程。

设随机过程X(t)U cos2t U E(U)5,D(U)5.求:,其中是随机变量,且(1)均值函数;(2)协方差函数;(3)方差函数.设有两个随机过程X(t)Ut2Y(t)Ut3,U随机变量,且D(U)5.,其中是试求它们的互协方差函数。

设A,B,X(t)At3B t T(,)的均值是两个随机变量试求随机过程,函数和自相关函数.A,B,~(1,4),~(0,2),()(,)若相互独立且A N B U则m X t及R X t1t2为多少?一队学生顺次等候体检。

设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立,则1小时内平均有多少学生接受过体检在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少(设学生非常多,医生不会空闲)解:令N(t)表示(0,t)时间内的体检人数,则N(t)为参数为30的poisson过程。

以小时为单位。

则E(N(1))30。

40k(30) P(N(1)40)ek!k030。

在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1,2,当1路公共汽车有N人乘坐后出发;2路公共汽车1在有N2人乘坐后出发。

设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来,求(1)1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式;(2)当N1=N,1=22时,计算上述概率。

随机过程试题及答案

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随机过程试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 下列哪个是随机过程的数学定义?A. 一系列随机变量B. 一系列确定的函数C. 一系列随机函数D. 一系列确定的变量答案:C2. 随机过程的期望值函数E[X(t)]随时间t的变化特性是:A. 确定性B. 随机性C. 非线性D. 线性答案:A3. 马尔可夫链是具有以下哪个特性的随机过程?A. 无记忆性B. 有记忆性C. 独立性D. 相关性答案:A4. 泊松过程是一种:A. 连续时间随机过程B. 离散时间随机过程C. 连续空间随机过程D. 离散空间随机过程答案:A5. 布朗运动是:A. 一个确定的函数B. 一个随机过程C. 一个确定的变量D. 一个随机变量答案:B二、简答题(每题5分,共20分)1. 简述什么是平稳随机过程,并给出其数学特征。

答案:平稳随机过程是指其统计特性不随时间变化的随机过程。

数学上,如果一个随机过程的任意时刻的一维分布和任意两个时刻的二维分布都不随时间平移而改变,则称该过程为严格平稳过程。

2. 解释什么是遍历定理,并说明其在随机过程中的重要性。

答案:遍历定理是随机过程中的一个基本定理,它提供了时间平均与概率平均之间的联系。

在随机过程中,如果一个随机过程是遍历的,那么对于任意的观测时间点,其时间平均值将趋向于其期望值,这一点在统计推断和信号处理等领域具有重要应用。

3. 描述什么是随机过程的平稳增量,并给出其数学定义。

答案:随机过程的平稳增量是指在固定时间间隔内,随机过程增量的分布不随时间变化。

数学上,如果对于任意的非负整数n和任意的实数h,随机过程{X(t+h) - X(t)}与{X(h) - X(0)}具有相同的分布,则称该随机过程具有平稳增量。

4. 简述什么是马尔可夫性质,并给出一个实际应用的例子。

答案:马尔可夫性质是指一个随机过程的未来发展只依赖于当前状态,而与过去的状态无关。

具有马尔可夫性质的随机过程称为马尔可夫链。

例如,在天气预报中,明天的天气可能只与今天的天气有关,而与前几天的天气无关,这就是马尔可夫性质的一个实际应用。

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随机过程习题及部分解答习题一1.若随机过程X(/)为X(0 = A?,-oo<r<+oo,式中4为(0, 1)上均匀分布的随机变量,求X(/)的一维概率密度Px(x;t)。

2.设随机过程X(/) = 4cos(初+ 其中振幅A及角频率①均为常数,相位&是在[-兀,刃上服从均匀分布的随机变量,求X(/)的一维分布。

习题二1.若随机过程X(/)为X(t)=At -00 < r < +00 ,式中4为(0,1)上均匀分布的随机变量,求E[xa)],7?xa』2)2.给定一随机过程X(/)和常数Q,试以X(/)的相关函数表示随机过程y(0 = X(/ + a) —X(/)的自相关函数。

3.已知随机过程X(/)的均值阪⑴和协方差函数Cx (爪© , 0(/)是普通函数,试求随机过程丫⑴=X(/) + 0(/)是普通函数,试求随机过程丫⑴=X(/) + 0(/)的均值和协方差函数。

4.设X(t) = A cos at + B sin at,其中A, B是相互独立且服从同一高斯(正态)分布N(0Q2)的随机变量,a为常数,试求X(/)的值与相关函数。

习题三1.试证3.1节均方收敛的性质。

2.证明:若X(t),twT;Y(t),twT均方可微,a0为任意常数,则aX(t) + bY(t) 也是均方可微,且有[aX (?) + b Y(/)]' = aX'(/) + b Y'(/)3.证明:若X⑴,twT均方可微,/X/)是普通的可微函数,则f(Z)X(Z)均方可微且[f(ox(or-/w(o+/(ox,(o4.证明:设X⑴在[a,b]上均方可微,且X0)在[a,切上均方连续,则有X'⑴ dt = X(b) — X(a)J a5•证明,设X(t\t eT =[a,b];Y{t\t eT = [a,b]为两个随机过程,且在T上均方可积,a和0为常数,则有(*b (*b (*bf [aX(/) + 0Y(/)M = a [ Xit)dt + /3\ Y⑴ dtJ a J a J aeb rc rbaX (t)dt = X (t)dt + XQ) dt,aWcWbJ a J a Jc6.求随机微分方程X'(/) + aX ⑴二丫⑴ze[0,+oo]'X(0) = 0的X(t)数学期望E [X(0]。

随机过程试题及答案

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随机过程试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 下列哪一项是随机过程的典型特征?A. 确定性B. 可预测性C. 无记忆性D. 独立增量性答案:D2. 马尔可夫链的哪一性质表明,系统的未来状态只依赖于当前状态,而与过去状态无关?A. 独立性B. 无记忆性C. 齐次性D. 可逆性答案:B3. 布朗运动是一个连续时间的随机过程,其增量具有什么性质?A. 独立性B. 正态分布C. 独立增量性D. 所有选项都正确答案:D4. 随机过程的平稳性指的是什么?A. 过程的分布随时间不变B. 过程的均值随时间不变C. 过程的方差随时间不变D. 过程的自相关函数随时间不变答案:A二、填空题(每题5分,共20分)1. 如果随机过程的任意时刻的分布函数不随时间变化,则称该随机过程是________。

答案:平稳的2. 随机过程的自相关函数R(t,s)表示在时刻t和时刻s的随机变量的________。

答案:相关性3. 随机游走过程是一类具有________性质的随机过程。

答案:独立增量4. 泊松过程是一种描述在固定时间间隔内随机事件发生次数的随机过程,其特点是事件的发生具有________。

答案:无记忆性三、简答题(每题10分,共30分)1. 简述什么是马尔可夫过程,并给出其数学定义。

答案:马尔可夫过程是一种随机过程,其未来的状态只依赖于当前状态,而与过去状态无关。

数学上,如果对于任意的n,以及任意的时间序列t1, t2, ..., tn,满足P(Xt+1 = x | Xt = x_t, Xt-1 = x_t-1, ..., X1 = x_1) = P(Xt+1 = x | Xt = x_t),则称随机过程{Xt}为马尔可夫过程。

2. 描述布朗运动的三个基本性质。

答案:布朗运动的三个基本性质包括:1) 布朗运动的增量是独立的;2) 布朗运动的增量服从正态分布;3) 布朗运动具有连续的样本路径。

3. 什么是平稳随机过程?请给出其数学定义。

(完整版)随机过程习题答案

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随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数,)1,0(~N V ,求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。

解 因)1,0(~N V,所以1,0==DV EV ,b Vt t X +=)(也服从正态分布,b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ,)(t X 的一维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π,),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ,令Yt e t X -=)(,0,0>>Y t ,求随机过程)(t X 的一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。

解 对于任意0>t,Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量,根据随机变量函数的分布的求法,}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=,0>t均值函数⎰∞+--===0)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数⎰+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷一枚均匀的硬币做实验,定义随机过程⎩⎨⎧=时刻抛得反面时刻抛得正面t t t t t X ,2),cos()(π 试求:(1))(t X 的一维分布函数),1(),21(x F x F 和;(2))(t X 的二维分布函数),;1,21(21x x F ;(3))(t X 的均值)1(),(X X m t m ,方差 )1(),(22X Xt σσ。

随机过程习题和答案

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、1.1设二维随机变量(X , F)的联合概率密度函数为:=—i—[l241-ι>⅛= "k"QTh Xl-JF)1.2 设离散型随机变量X服从几何分布:Hm=(Ip)HPJt=U-试求/的特征函数,并以此求其期望E(X)与方差I K X)¾0 = Efr ir) = ∑e⅛ = *)解:一=⅛α-ri M P=√^∑^α-p)t U O-P) ⅛J1—(I-JI)1—q/(O)=α⅛24(1-小丄0<y<x<l苴它试求:在OJu <■ 1时,求I『F)解:J;240 H)JKfc0<y<l Jj2Jf(I_y)3 0<JF<1P 其它^{θ其它当OJXI 时,Aw)2OT(Xy)y<x<l其它所以:-⅛(0)二丄f PZUr=J Er3-(JEIf)3=^^-^=4PPp2.1袋中有一个白球,两个红球,每隔单位时间从袋中任取一球后放回,对每一个确定的t 对应随机变量x(t^3如果对t时取得红球e t如果对t时取得白球试求这个随机过程的一维分布函数族2.2设随机过程 W 加吨MIF)∙ gZ I叫,其中吗是常数,/与F是相互独立的随机变量,F服从区间(°2刘上的均匀分布,/服从瑞利分布,其概率密度为x>0x≤0试证明Xu)为宽平稳过程。

解:( 1)⑷+F)} q啊诚如+ f)}= 与无关(2)枚F(M 仪加血I(Q/伽说如")汁F(才),f _ t t⅛(Q) =-J PQ ÷g)= -te^t∣Γ÷p ^dt =-2σ1e^i∣Γ=2σ3所以必U)啟0⑴卜"(3)R lM壊M∞¼⅛+Hl∕∞Ψ⅛+y)]}=豺]£{oKs(A +Γ)∞<β(A +Γ)}=2^Jtt 2{α≈(0A + β⅛+ y)-rasfflfc A)I^⅛心’皿叫仏Z L)只与时间间隔有关,所以XU)为宽平稳过程2.3设随机过程 X(t)=Ucos2t,其中U是随机变量,且 E(U)= 5, D(U)= 5.求: (1)均值函数;(2)协方差函数;(3)方差函数2.4设有两个随机过程 X(t)=Ut2, Y(t)=Ut3,其中U是随机变量,且D(U) = 5.试求它们的互协方差函数2.5设代B是两个随机变量,试求随机过程X(t) =At ∙3B,t∙ T =(」:「:)的均值函数和自相关函数若A, B相互独立,且A~ N(1,4), B ~U (0,2),则mχ (t)及Rχ(t1,t2)为多少?3.1 一队学生顺次等候体检。

随机过程试题及答案

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随机过程试题及答案一、单项选择题(每题2分,共10分)1. 随机过程的数学定义是什么?A. 一系列随机变量的集合B. 一系列随机事件的集合C. 一系列随机数的集合D. 一系列随机函数的集合答案:A2. 马尔可夫链的无记忆性是指什么?A. 未来的状态只依赖于当前的状态B. 未来的状态只依赖于过去的状态C. 未来的状态只依赖于过去和现在的状态D. 未来的状态不依赖于任何状态答案:A3. 布朗运动的增量具有什么性质?A. 独立性B. 均匀分布C. 正态分布D. 指数分布答案:A4. 随机过程的平稳性是指什么?A. 过程的统计特性随时间不变B. 过程的统计特性随时间变化C. 过程的状态随时间不变D. 过程的状态随时间变化答案:A5. 泊松过程是哪种类型的随机过程?A. 连续时间随机过程B. 离散时间随机过程C. 离散空间随机过程D. 连续空间随机过程答案:A二、填空题(每题2分,共10分)1. 随机过程的样本函数是定义在时间轴上的______函数。

答案:随机2. 随机过程的独立增量性质是指在不相交的时间间隔内,随机过程的增量是______的。

答案:相互独立3. 随机过程的遍历性是指在足够长的时间后,随机过程的统计特性将______。

答案:趋于稳定4. 随机过程的平稳性分为严格平稳和______平稳。

答案:宽5. 一个随机过程的自相关函数是描述该过程在不同时间点的______的函数。

答案:相关性三、简答题(每题10分,共20分)1. 简述什么是随机过程的遍历性。

答案:随机过程的遍历性是指在足够长的时间后,随机过程的统计特性将趋于稳定,即过程的统计特性不随时间变化而变化,表现出一种长期的行为模式。

2. 描述随机过程的平稳性与独立增量性质的区别。

答案:随机过程的平稳性是指过程的统计特性随时间不变,即在任意时间点上,过程的统计特性都相同。

而独立增量性质是指在不相交的时间间隔内,随机过程的增量是相互独立的,即一个时间间隔内的增量不影响另一个时间间隔内的增量。

随机过程期末考试题库及答案pdf

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随机过程期末考试题库及答案pdf1. 随机过程期末考试题库及答案pdf以下是随机过程期末考试的题库及答案,供同学们参考。

一、选择题1. 假设随机过程{X(t), t≥0}是独立增量过程,那么下列哪个说法是正确的?A. X(t)的增量是独立的B. X(t)的增量是平稳的C. X(t)的增量是独立且平稳的D. X(t)的增量是相关且非平稳的答案:C2. 马尔可夫链具有以下哪种性质?A. 无记忆性B. 有记忆性C. 有周期性D. 以上都不是答案:A二、填空题1. 如果随机过程{X(t), t≥0}的自相关函数R(τ)满足R(τ) = R(-τ),则该过程是__________的。

答案:对称2. 随机过程{X(t), t≥0}的均值函数为μ(t),若μ(t) = 0,则称该过程为__________。

答案:零均值三、简答题1. 简述什么是泊松过程,并给出其特征。

答案:泊松过程是一种计数过程,其特征包括:- 在任意不相交的时间间隔内发生事件是相互独立的。

- 在任意小的时间间隔内,事件的发生次数服从泊松分布。

- 事件的平均发生率是恒定的。

2. 描述布朗运动的基本性质。

答案:布朗运动的基本性质包括:- 连续性:样本路径是连续的。

- 无记忆性:未来的行为不依赖于过去。

- 独立增量:不同时间间隔的增量是相互独立的。

- 正态分布:任意时间间隔的增量服从以零为均值的正态分布。

四、计算题1. 假设随机过程{X(t), t≥0}是标准布朗运动,求X(t)的均值和方差。

答案:对于标准布朗运动,X(t)的均值为0,方差为t。

2. 给定马尔可夫链的状态转移矩阵P,求状态i在时间t+1时刻的概率。

答案:设状态i在时间t时刻的概率为pi(t),则状态i在时间t+1时刻的概率为pi(t+1) = Σ(pi(t) * Pij),其中Pij是状态i转移到状态j的概率。

以上是随机过程期末考试题库及答案的部分内容,希望对同学们的复习有所帮助。

随机过程课后试题答案

随机过程课后试题答案

随机过程课后试题答案1. 题目:简述离散时间马尔可夫链和连续时间马尔可夫链的基本概念和性质。

答案:离散时间马尔可夫链(Discrete-time Markov Chain)是指在时间上的变化是离散的、状态空间是有限或可列无限的马尔可夫链。

其基本概念和性质如下:1.1 基本概念:- 状态空间:马尔可夫链的状态空间是指系统可能处于的状态集合,记作S。

离散时间马尔可夫链的状态空间可以是有限集合或可列无限集合。

- 转移概率:转移概率是指在给定前一个状态的条件下,系统转移到下一个状态的概率。

用P(i, j)表示系统从状态i转移到状态j的概率,其中i和j属于状态空间S。

- 转移概率矩阵:转移概率矩阵P是指表示从任一状态i到任一状态j的转移概率的矩阵。

对于离散时间马尔可夫链,转移概率矩阵是一个方形矩阵,维数与状态空间大小相同。

- 平稳概率分布:对于离散时间马尔可夫链,如果存在一个概率分布π,满足π = πP,其中π是一个行向量,P是转移概率矩阵,则称π为马尔可夫链的平稳概率分布。

1.2 性质:- 马尔可夫性:离散时间马尔可夫链具有马尔可夫性,即将来状态的发展只与当前状态有关,与过去的状态无关。

- 遍历性:若马尔可夫链中任意两个状态之间都存在路径使得概率大于零,则称该马尔可夫链是遍历的。

遍历性保证了马尔可夫链具有长期稳定的性质。

- 正常概率性:对于离散时间马尔可夫链,转移概率矩阵P的元素都是非负的,并且每一行的元素之和等于1。

- 可约性和不可约性:如果一个马尔可夫链中的所有状态彼此之间都是可达的,则称该马尔可夫链是不可约的。

反之,则称它是可约的。

不可约性保证了任意状态之间都可以相互转移。

- 周期性:对于不可约的离散时间马尔可夫链,如果存在某个状态,从该状态出发回到该状态所需的步数的最大公约数大于1,则称该状态是周期的。

若所有状态都是非周期的则称该马尔可夫链是非周期的。

2. 题目:连续时间马尔可夫链的定义和性质有哪些?答案:连续时间马尔可夫链(Continuous-time Markov Chain)是指在时间上的变化是连续的、状态空间是有限或可列无限的马尔可夫链。

随机过程试题及答案

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随机过程试题及答案一、单项选择题(每题2分,共10分)1. 随机过程的数学定义中,通常需要满足哪些条件?A. 样本空间、概率测度、随机变量B. 样本空间、概率测度、随机函数C. 样本空间、随机变量、随机函数D. 概率测度、随机变量、随机函数答案:B2. 马尔可夫链的无记忆性指的是什么?A. 过程的未来状态仅依赖于当前状态B. 过程的未来状态仅依赖于过去的状态C. 过程的未来状态依赖于当前和过去的状态D. 过程的未来状态依赖于所有历史状态答案:A3. 在随机过程中,如果一个过程的任何有限维分布都是联合正态的,则称该过程为什么?A. 正态过程B. 高斯过程C. 联合正态过程D. 多元正态过程答案:B4. 以下哪个不是平稳随机过程的性质?A. 一阶矩不随时间变化B. 任意两个不同时间点的协方差仅依赖于时间差C. 过程的均值随时间变化D. 过程的自相关函数仅依赖于时间差答案:C5. 随机过程的谱密度函数与自相关函数之间的关系是什么?A. 互为傅里叶变换B. 互为拉普拉斯变换C. 互为Z变换D. 互为梅林变换答案:A二、填空题(每题3分,共15分)1. 如果随机过程的样本路径是连续的,则称该过程为_________。

答案:连续过程2. 随机过程的样本函数是定义在时间轴上的_________。

答案:随机变量3. 对于一个平稳过程,其自相关函数R(τ)仅依赖于时间差τ,而不依赖于绝对时间t,即R(t1, t2) = R(t1 - t2) = R(τ),其中τ = t2 - t1。

这种性质称为_________。

答案:时间平移不变性4. 随机过程的遍历性是指过程的_________等于其统计平均。

答案:时间平均5. 随机过程的遍历性分为_________遍历性和_________遍历性。

答案:强,弱三、简答题(每题10分,共20分)1. 简述什么是泊松过程,并给出其概率质量函数。

答案:泊松过程是一种描述在固定时间或空间间隔内随机事件发生次数的随机过程。

随机过程课后试题答案

随机过程课后试题答案

随机过程课后试题答案一、选择题1. 随机过程的基本定义中,样本空间通常表示为:A. 一个集合B. 一个函数集合C. 一个概率空间D. 一个参数集合答案:A2. 若随机过程的样本轨迹几乎是连续的,则该过程是:A. 离散时间随机过程B. 连续时间随机过程C. 泊松过程D. 马尔可夫过程答案:B3. 马尔可夫性质的含义是未来的状态只依赖于当前状态,而与过去的状态无关。

这一性质不适用于:A. 泊松过程B. 布朗运动C. 马尔可夫链D. 所有随机过程答案:D4. 在随机过程中,如果两个随机变量的联合分布可以表示为它们各自的边缘分布的乘积,则这两个随机变量是:A. 独立的B. 相关的C. 正相关的D. 负相关的答案:A5. 随机游走的期望步长是:A. 1B. 2C. 依赖于起始点D. 依赖于步长分布答案:D二、填空题1. 一个随机过程的样本函数是定义在参数集合上的_________函数。

答案:实值或随机2. 在随机过程中,如果给定当前状态,下一状态的条件概率分布仅依赖于当前状态而不依赖于之前的状态,那么该过程是一个_________过程。

答案:马尔可夫3. 随机过程的均值函数(或称数学期望函数)是描述过程长期行为的重要工具,它是一个关于_________的函数。

答案:时间4. 布朗运动是一种连续时间随机过程,其样本轨迹具有_________性质。

答案:无处处可微5. 泊松过程是一种描述事件在时间上随机发生的随机过程,其特点是事件在任意两个不重叠时间区间内发生是_________的。

答案:相互独立三、计算题1. 假设有一个离散时间马尔可夫链,其状态转移矩阵为:\[P = \begin{bmatrix}0.7 & 0.3 \\0.4 & 0.6\end{bmatrix}\]求该马尔可夫链在第二时刻的状态概率分布,给定初始状态概率分布为:\\[\pi_0 = \begin{bmatrix}0.5 \\0.5\end{bmatrix}\]解:首先计算\( P^2 \),即状态转移矩阵的二次幂,然后利用\( \pi_0 \)和\( P^2 \)来计算第二时刻的状态概率分布。

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随机过程习题解答(一)第一讲作业:1、设随机向量的两个分量相互独立,且均服从标准正态分布。

(a)分别写出随机变量和的分布密度(b)试问:与是否独立?说明理由。

解:(a)(b)由于:因此是服从正态分布的二维随机向量,其协方差矩阵为:因此与独立。

2、设和为独立的随机变量,期望和方差分别为和。

(a)试求和的相关系数;(b)与能否不相关?能否有严格线性函数关系?若能,试分别写出条件。

解:(a)利用的独立性,由计算有:(b)当的时候,和线性相关,即3、设是一个实的均值为零,二阶矩存在的随机过程,其相关函数为,且是一个周期为T的函数,即,试求方差函数。

解:由定义,有:4、考察两个谐波随机信号和,其中:式中和为正的常数;是内均匀分布的随机变量,是标准正态分布的随机变量。

(a)求的均值、方差和相关函数;(b)若与独立,求与Y的互相关函数。

解:(a)(b)第二讲作业:P33/2.解:其中为整数,为脉宽从而有一维分布密度:P33/3.解:由周期性及三角关系,有:反函数,因此有一维分布:P35/4. 解:(1) 其中由题意可知,的联合概率密度为:利用变换: ,及雅克比行列式:我们有 的联合分布密度为:因此有:且V 和 相互独立独立。

(2)典型样本函数是一条正弦曲线。

(3)给定一时刻,由于 独立、服从正态分布,因此 也服从正态分布,且所以 。

(4) 由于: 所以 因此 当时,当时,由(1)中的结论,有:P36/7.证明: (1)(2) 由协方差函数的定义,有:P37/10. 解:(1)当i =j 时;否则令 ,则有第三讲作业:P111/7.解:(1)是齐次马氏链。

经过次交换后,甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关,和之前的状态和交换次数无关。

(2)由题意,我们有一步转移矩阵:P111/8.解:(1)由马氏链的马氏性,我们有:(2)由齐次马氏链的性质,有:,因此:P112/9.解:(2)由(1)的结论,当为偶数时,递推可得: ;计算有: ,递推得到,因此有:P112/11.解:矩阵 的特征多项式为:(2) (1)由此可得特征值为:,及特征向量:,令矩阵则有:因此有:P112/12.解:设一次观察今天及前两天的天气状况,将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态,则此问题就是一个马氏链,它有8个状态。

记每天天晴为0,下雨为1,则此链的状态可以由三位二进制数表示。

如三天晴为000,为状态0;第一天晴,第二天晴,第三天雨为001,为状态1;第一天晴,第二天雨,第三天晴为010,为状态2;第一天晴,后两天阴为011,为状态3,等等。

根据题目条件,得到一步转移矩阵如下:第四讲作业:P113/13.解:画出状态转移图,有:P113/14. 解:画出状态转移图,有:P113/16.解:画出状态转移图,有:(1)由于三个状态都是相通的,所以三个状态都是常返态。

(3)状态3、4无法和其他状态相通,组成一个闭集,且,所以状态3、4为常返态;另外状态0、2相通组成一个闭集,且,故状态0、2是常返态;因为,故,所以状态1为非常返态。

(4)0、1相通作成一闭集,且,故0、1为常返态;又,因此,故2为常返态;,故3、4为非常返态。

第六讲作业:P115/17.解:(1)一步转移矩阵为:(2)当时,由计算可得,因此可由以下方程组计算极限分布:解得极限分布即可。

P115/18.解:由第七题的结果,计算可得:,因此可计算极限分布如下:解以上方程,得极限分布:P115/19.解:见课上讲稿。

P116/21.解:记,则有:(1)因为:(A)当时,有:由(A )可得:当且时,有:由(A )可得:当且时,有:由(A )可得:另外:下列等式是明显的因此我们有:即{是一齐次马氏链。

一步转移矩阵为:(2)画出转移矩阵图,可得:由:及,并且取,由递归可得:(3)由于:因此,零状态是正常返的,由相通性,故所有状态都是正常返的,即此马氏链是不可约的。

(4)由马氏链的无后效性,可知此时的T 就是零状态到零状态的首达时间。

因此我们有:随机过程习题解答(二)P228/1。

证明:由于t s <,有{}{}{}{}{}n t N P k n s t N P k s N P n t N P n t N k s N P n t N k s N P =-=-⋅=========)(})({)()()(,)()(/)(其中{})()!())((!)(})({)(s t k n s k e k n s t e k s k n s t N P k s N P ------⋅=-=-⋅=λλλλ{}tn e n t n t N P λλ-==!)()(所以{}kn k k n k n k k tn s t k n s k k s k s k n k n k n ts t t s e n t e k n s t e k s n t N k s N P --------⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--=--⋅===1)!(!!)(!)()!())((!)()(/)()(λλλλλλ 证毕。

P229/3. 解:(1)因为}0),({≥t t N 是一Poission 过程,由母函数的定义,有:()()()()()())()(})({})({})({})({})({})({})({})({})({})({})({)()()(00000000)(s s s j t N P sl t N P s l k t N P sl t N P s l k t N P s l t N P s l k t N P s l t N P s l k t N P l t N P s k t N P s t N t N j jl ll k lk l ll lk l k l k kl l k l k k k l k kt t N ∆∞=∞=∞=-∞=∞=∞=-∞==-∞==∞=∆+ψ⋅ψ=⋅=∆⋅==⋅-=∆⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-=∆⋅⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-=∆⋅⋅==⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∆⋅==⋅==ψ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ (2)有上面(1)的结果,可得:ts s t s s s ts s ts t N t t N t N t N t N t t N t t N t t N ∆-ψ⋅ψ=∆ψ-ψ⋅ψ=∆ψ-ψ=∂ψ∂∆→∆∆→∆∆+→∆1)()()()()()()(ˆ)()(0)()()()(0)()(0)(limlimlim(3)当t ∆充分小时,由于:[][]∑∑∞=∞=∆⋅∆+⋅∆+∆+⋅∆+∆-=⋅=∆=ψ2100)()()()(1})({)(k kk kt N s t s t t s t t s s t N P s οολολ因此,当1<s 时,有:)1()()(1)(20)(0lim lim-=⋅∆∆+∆∆+∆+∆-=∆-ψ∑∞=→∆∆→∆s s tt t t s t t ts kk t t N t λοολλ由(2)的结果,我们有:)()1()()()(s s ts t N t N ψ-=∂ψ∂λP229/4. 解:(1)由上面3题的结果(3),我们有:t s t N N t N t N e s s s s t s )1()()0()()()(1)()()1()(-=ψ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=ψψ-=∂ψ∂λλ (2)由于)()(s t N ψ是随机过程)(t N 的母函数,且t s t N e s )1()()(-=ψλ,将函数t s e )1(-λ关于)1(<s s 展开成级数形式,我们可得:∑∞=--⋅⋅==ψ0)1()(!)()(k kt k ts t N s e k t es λλλ由母函数与分布函数的唯一性定理,可得:Λ2,1,0,!)(})({=⋅==-k e k t k t N P tk λλP230/8. 解:由特征函数的定义,我们有:{}{}[]{}{}()nY u i n tn Y Y Y u i n tn t X u i n t X u i t X e E e n t e E e n t n t N e E n t N P e E u n 1210)(0)()(!)(!)()(})({)(⋅⋅=⋅⋅==⋅===Φ∑∑∑∞=-++∞=-∞=λλλλΛ令{})(11u e E Y Y u i φ=,则有:[]{}1)(exp !))(()(110)(-=⋅=Φ∑∞=-u t e n u t u Y n t nY t X φλφλλ (*)若),2,1(Λ=n Y n 的概率分布为:212211}1{,}1{λλλλλλ+=-=+==n n Y P Y P则{}u i u i Y u i Y e e e E u nn-⋅++⋅+==212211)(λλλλλλφ (**)将(**)代入(*),我们有:{}te t e t e e t u u i u i ui u i t X )(exp 1)(exp )(212121221121)(λλλλλλλλλλλλ+-+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅++⋅++=Φ--P230/7. 解:先求}0),({0≥t t N 的特征函数:{}{}{}{}{}{}{}t et e t e e t e e t e m e t e n e t ee m t e e n t eE eE e E e E u ui u i tu i t u i m tmu i n t nu i mu i m t m n u i n t n t N u i t N u i t N t N u i t N u i t N )(exp exp exp !)(!)(!)(!)()(2121)(210)(201)(0201)()()())()(()()(212121212100λλλλλλλλλλλλλλλλ+-+=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅===Φ----∞=--∞=--∞=-∞=---∑∑∑∑由上面8题的结果,根据特征函数与分布函数的唯一性定理,可知}0),({0≥t t N 是复合Poission 过程。

P231/10. 解:由于{}{}{}n t X t X t X P n t X t X t X j t X k t X P n t X t X t X j t X k t X P =++=++=====++==)()()()()()(,)(,)()()()()(,)(3213212132121因为)(t X i 的母函数为:{}t s s i t N )1(ex p )()(-=ψλ,由独立性,可知)()()(321t X t X t X ++的母函数为:()(){}∏=-++=ψ=ψ31321)()(1ex p )()(i t Xt X t s s s λλλ,所以)()()()(321t X t X t X t X ++=是参数为321λλλ++的泊松过程,即{}()()()tn en t n t X t X t X P 321!)()()(321321λλλλλλ++-++==++因此我们有:{}()()()()()()njk n j k tn tkj n t jt kj k n j k n en t ek j n t e j t e k t n t X t X t X j t X k t X P )()!(!!!!)!(!!)()()()(,)(32132132111132121321321λλλλλλλλλλλλλλλλλλ++⋅--=++--⋅⋅===++==--++------P231/12. 解:(1)由{}())(}1)({1})({}1)(,1)({}0)(,)({)(t o t P k t X P t P k t X P t X k t X P t X k t X P k t t X P r r ∆+∆-=+∆-==+=∆-=+=∆====∆+λλΛ 令0→∆t ,有)()()(1t P P t P P dtt dP k r k r k -=+λλ 解得{}tP k r r e k t P k t X P λλ-==!)()((2)由(1)知,)(t X 服从参数为r P λ的泊松分布。

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