大学物理(光的干涉和衍射)

2
2
R2
2d

2
(2k 1)

d2
d1
d r
O
R1
2 (k 0,1,2,)
2 2
r4 r4 k 4, 2d 4 R1 R2
R2 102.8 cm
例14 当把折射率为n=1.40的薄膜放入迈克耳孙干涉仪的一 臂时，如果产生了7.0条条纹的移动，求薄膜的厚度。（已 知钠光的波长为 = 589.3 nm） 解：
解：(1) 劈尖的条纹间隔为 l

2n sin
2
。所以，波长
4 7
2nl sin 2 1.4 0.25 10 10 7.0 10 m
(2) 总共的明纹数为
L 3.5 N 14 l 0.25
例10. 柱面平凹透镜A，曲率半径为R，放在平玻璃片B上， 如图所示。现用波长为的平行单色光自上方垂直往下照射， 观察A和B间空气薄膜的反射光的干涉条纹。设空气膜的最 大厚度2。 (1)求明纹极大位置与凹透镜 中心线的距离r ； (2)共能看到多少条明纹； (3)若将玻璃片B向下平移， 条纹如何移动？
e
e l sin
牛顿环
r r e 2R e 2R
明（暗）纹半径
2
2
rk kR
(k 0,1, 2...) 暗
(k 1, 2,3...) 明
(2k 1) R rk 2
例1.在杨氏双缝实验装置中，试描述在下列情况下 干涉条纹将如何变化？ 1）当两缝的间距增大时 2）当双缝的宽度增大时 3）当把一条缝稍稍加宽时 4）当遮住一条缝时 5）当线光源S平行于双缝移动时 6）当线光源S向双缝屏移近时 7）当线光源S逐渐增宽时
9
D 1 589.3 10 3 d 3.93 10 (m) 3 x 0.15 10
9
本题完
例2 在杨氏双缝实验中，采用加有蓝绿色滤光片的白光光源， 其波长范围为=100nm，平均波长为=490nm，试估算从第几 级开始，条纹将变得无法分辨？ P135例题12-7 解：根据题意
5）当线光源S平行于双缝移动时，由于光通过双缝时已有光程差，干涉 条纹将发生移动，中央明条纹不再在双缝的中垂线上，光源向下 （或向上）移动时，干涉条纹将向反方向平移。
6）当线光源S向双缝屏移近时，对屏上的干涉条纹的位置和间距并无影响， 但明条纹的光强因通过双缝的光强变化而发生相应的变化。 7）当线光源S逐渐增宽时，我们可以把具有一定宽度的面光源S看作是 由无数个互不相干的线光源组成的，每个线光源各自在屏幕上形成自 己的干涉条纹。由于各线光源的位置不同，它们在屏幕的各套干涉条 纹将会错开。我们所观测到的干涉条纹，就是由所有各套干涉条纹的 光强非相干叠加而成的。光源的宽度越大，各套条纹之间错开也越大， 即每级条纹所占的范围越大，总的干涉条纹越模糊。当两边缘线光源 的干涉条纹错开一级时，整个屏上将是均匀的光强分布，再也看不到 干涉条纹了。 要想看到干涉条纹，必须考虑光源的宽度。理论上给出光源的极限 宽度为 R 0 d 0 其中R为双缝离光源的距离，d为双缝的间距。实验中通常取 4 所以逐渐加宽线光源s的后果是使条纹逐渐模糊直至消失。
解：(1) 干涉条纹间距 x
相邻两明条纹的角距离 可见，角距离与波长成正比，所以 1 10%
D x d D D d
D d
(1 10%) 589.3 1.1 648.2(nm)
(2) 装置浸入水中时，水中的光波长为 n 角距离与波长成正比，所以 1 n
从第5 级开始干涉条纹变得无法分辨。
本题完
例3 用很薄的云母片覆盖在杨氏双缝实验中的一条缝上，原 来屏上的零级明纹处成为第七级明纹，问云母片的厚度为多 少？（若入射光的波长为550nm，云母片的折射率为1.58。) 练习十六三、1 解：第1步:计算两束相干光的光程 差(o处)。设云母片厚度为e ，则
答：G覆在L上，两者间形成空气膜，因而出现牛顿环。 若两者完全重合,不会出现牛顿环，待测件完全合格； 若待测件曲率半径大于或小于标准件，则出现牛顿环。 圆环条纹越多，说明误差越大；若条纹不圆，则说明待测 件的曲率半径不均匀。
用手轻轻下压验规，空气膜厚度减小，相应光程差也减小， 条纹将发生移动。
条纹向边缘扩展，说明零级条 纹在中心，待测半径小于标准 件，需要磨中央；

2
k
2n2d k 1 2
取 k = 1，2，3代入上式，分别得
1 4n2 d 1700 nm
4 2 n2 d 567 nm 3 4 3 n2 d 341 nm 5
红外线 黄光！ 紫外线
例7. 平面单色光垂直照射在厚度均匀的油膜上，油膜覆盖在玻 璃板上。所用光源波长可以连续变化，观察到500 nm与700 nm 波长的光在反射中消失。油膜的折射率为1.30，玻璃折射率为 1.50，求油膜的厚度。
例2 在杨氏双缝实验中，用钠光灯作为光源 （=589.3nm）,D=1m。 （1）若双缝间距d=2mm时，试求干涉条纹间距； （2）如人眼能分辨的干涉条纹间距为0.15mm，现用人眼 直接观察干涉条纹，要能观察到干涉条纹，双缝的最大间 距d为多少？P135例题12-6
解：
D 1 589.3 10 4 x 2.95 10 (m) 3 2 10 d
明纹（或暗纹）间距
D x d
1）d增大时，明纹间距将变小，条纹向中间密集。
2）a增大时，场内光能将增大，干涉条纹的亮度增加。但由于光通过 单缝所形成的衍射中央明区的范围变小，因而在该范围内的干涉条 纹数减少。 3）当稍稍加宽一条缝时，通过两缝的光强不同。在屏上叠加所产生的 干涉现象，因两光振动的振幅不同，干涉相消处（暗条纹）的光强 不等于零，所以干涉条纹的可见度下降。 4）当遮住一条缝时，则成为单缝衍射装置，屏上将出现单缝衍射的光 强分布，即中央明纹特别亮且宽，两侧为强度比中央明纹显著减弱 且逐步减弱的明条纹。

2

A

h AC BC (1 cos 2 ) 2h sin sin
2h sin

2
k
取 k = 1，1 arcsin

4h
例6. 如用白光垂直入射到空气中厚为320 nm的肥皂膜上（其折 射率n1=1.33），问肥皂膜呈现什么色彩？ 解：
2n2d
干涉图样特点除了明暗交替、内疏外密、同心圆分布外， 左右两侧是互补分布。
例12. 加工透镜时，常利用牛顿环快速检测表面曲率是否合 格。将标准件G覆盖在待测工件L之上。如果光圈太多，工 件不合格，需要进一步研磨。究竟磨中央还是磨边缘，有 经验的工人只要将验规轻轻下压观察光圈变化。试问工人 是怎样判断的？
2 2
2
9 2R(d e) Rλ( k) 2
(2)
d max 2
由明纹条件
2d
kmax

2 2 4.5 4
8
2k

得
1 λ d k 2 2


共能看到 2kmax (3)条纹向外侧移动
条明纹
d
A
B
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例11. 在牛顿环装置中，如果平玻璃由冕牌玻璃（n1=1.50） 和火石玻璃（n2=1.75）组成，透镜由冕牌玻璃组成，而 透镜与平玻璃间充满二硫化碳（n3=1.62）。试说明在单 色光垂直入射时反射光的的干涉图样是怎样的？
光的干涉
1. 杨氏双缝实验
干涉相长（明纹极大）
d sin k
(k 0,1, 2,3...)
x d 2k D 2
干涉相消（暗纹极小）
x d (2k 1) D 2
明纹（或暗纹）间距
(k 1, 2,3...)
D x d
2. 薄膜干涉
条纹向中心收缩，说明零级条 纹在边缘，待测半径大于标准 件，需要磨边缘。
例13 已知标准平凸透镜 R1=102.3 cm，入射光 =583.9 nm， 测得第4条暗环(k=4)的半径 r4=2.25 cm,求待测凹面镜的半径 R2。
r r 解： d d1 d 2 2 R1 2 R2
解：
2 D L sin L 6 L 28.880 589.3 10 D l 2 4.295 / 29 2
l sin

D
5.746 10 (mm)
2
本题完
例9. 放在空气中一劈尖的折射率为1.4，劈尖的夹角为104rad，在某一单色光的垂直照射下，可测得两条相邻明 纹的间距为0.25cm，试求： （1）此单色光在空气中的波长； （2）如果此劈尖长为3.5cm，总共可产生多少条明纹？
2 1 100(nm )
1 (1 2 ) 490(nm ) 2
蓝、绿两种光第k 级的明纹位置分别为
D1 x1 k d
D2 x2 k d
绿色第k级明纹位置大于等于兰色第k+1级明纹位置时，变得模糊不清
2 1
k
k 1
D2 D D D k (k 1) 1 k 1 d d d d 1 1 440 2 k 4.4 100
光程差
2e n n sin i
2 2 2 1 2
2.1 等倾干涉
入射角相同的光束构成一条等倾干涉条纹
2.2 等厚干涉
平行光垂直入射时光程差
2n2e

2n2

2
薄膜厚度相等的点构成一条等厚干涉条纹， 薄膜厚度变化不同，形成不同的干涉图样。 相邻条纹处薄膜厚度差 等厚干涉之一：劈尖

1 0.20 0.15 n 1.33
例5. 一射电望远镜的天线设在湖岸上，距湖面高度为h，对 岸地平线上方有一恒星正在升起，恒星发出波长为λ的电磁波。 求：当天线测得第1级干涉极大时恒星所在的角位置。
解： 由几何关系，并考虑到在水面反射 时存在着半波损失
B
2
C h
AC BC
解： 2n1d (2k 1) 2
1
2
2
2n1d (2k 1)
,
1 2k , 1 500 5 2 2k 1 700 7
k 3
d (2k 1)
n1 n2
1
7 500 10 9 2 6.73 10 7 m 2n1 4 1.30
例 8. =589.3nm ， L=28.880mm ， 30 条 明 纹 间 的 距 离 为 4.295mm，求直径D 。P147例题12-9
2(n 1)t k
k t 2(n 1)
7 589.3 109 m 5.154 6 m 2(1.4 1)
t
光的衍射
3.单缝的夫琅禾费衍射
以垂直入射为例
半波带法
明纹极大位置
a sin (2k 1)
(r2 e ) ne r1
第2步:应用相干条件
s1
r1
d M
2k 2
(明)
s2
9
r2 r1
D
o
得
550 10 6 ek 7 6.6 10 (m) (n 1) (1.58 1) 本题完
例4. 在双缝干涉实验装置中，屏幕到双缝的距离D远大于 双缝之间的距离d，对于钠黄光（ λ 589.3nm ），产 生的干涉条纹，相邻两明条纹的角距离（即相邻两明条 纹对双缝中心处的张角）为 0.20 （1）对于什么波长的光，这个双缝装置所得相邻两条纹的 角距离比用钠黄光测得的角距离大10%？ （2）假想将此装置浸入水中（水的折射率n=1.33），用 钠黄光垂直照射时，相邻两明条纹的角距离有多大？

2
r
R
A
B
A
解： 2d

2 2 2d (2k 1) 2 2
2k

k=1,2,3…明纹极大 k=0,1,2,3…暗纹极小
(1)明条纹极大位置处的空气膜厚度为
1 λ e k 2 2
明纹极大位置与凹透镜中心线的距离r:


r R R (d e) 2R(d e)(d e)