合肥工业大学高数习题册上册答案

习题11- 函数

1．设函数2,0,

()2,0,x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩

，求

（1）(1)f -，(0)f ，(1)f ； （2）

()(0)f x f x

∆-∆，()(0)

f x f x -∆-∆（0x ∆>）．

【解】（1）2|2)1(,2|)2()0(,1|)2()1(101===+==+=-==-=x x x x f x f x f ；

（2）

()(0)f x f x ∆-∆⎪⎩⎪⎨⎧<∆>∆∆-=⎪⎩

⎪⎨⎧<∆∆-∆+>∆∆-=∆∆.0,

1,0,220,2)2(,0,22x x x x x x x x x

x ()(0)f x f x

-∆-∆)0(12

)2(>∆-=∆-∆-=x x x 。■

2．已知21

()1f x x x

=+()f x ．

【解】令x t 1=，则2111)(t t t f +

+=，故2

111)(x x x f ++=。■ 3．证明：()2sin f x x x =+在(,)-∞+∞内是严格递增函数． 【证】方法1（定义法）

∵对任意2121),,(,x x x x <+∞-∞∈，有

)sin 2()sin 2()()(112212x x x x x f x f +-+=-

2

sin 2cos

2)(2sin sin )(21221121212x

x x x x x x x x x -++-=-+-= 2)1(2)(22sin )1(2)(212121212x

x x x x x x x -⋅-⋅+->-⋅-⋅+-≥

012>-=x x ，其中用到)0(sin ,cos 1>≤≤-x x x x ，

∴()2sin f x x x =+在(,)-∞+∞内是严格递增函数。 方法2（导数法）

∵)(0cos 2)(+∞<<-∞>-='x x x f

∴),()(+∞-∞∈↑x f 。■

4．设()f x 在[,]a a -上是奇函数，证明：若()f x 在[0,]a 上递增，则()f x 在[,0]a -上也递增．

【证】∵对任意0,],0,[,2121><-∈a x x a x x ，有2121],,0[,x x a x x ->-∈--，

∴由()f x 在)0](,0[>a a 上单调增加可得：)()(21x f x f ->-。 又∵()f x 在[,]a a -上是奇函数，即)()(),()(2211x f x f x f x f -=--=-， ∴)()(21x f x f ->-，即)()(21x f x f <，故()f x 在[,0]a -上也是单调增加。■

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习题21- 极限

1．

求下列极限：

11

(2)3(1)lim

(2)3n n

n n n ++→∞-+-+； 【解】分之分母同除n 3，利用四则运算极限法则和幂极限可得

3

13)3

2

)(2(1

)32

(lim =+--+-=∞→n n n L 。■

222111

(2)lim(1)(1)(1)23n n

→∞--⋅⋅⋅-； 【解】∵)1

1]()1(11[)411)(311)(211(22222n

n ------

22222222221)1(1)1(414313212n n n n -⋅----⋅-⋅-= 2

2222)

1)(1()1()2(453342231n

n n n n n +-⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅= n

n n n 21111111121+=+⋅⋅⋅=

， ∴2

121lim =+=∞→n n L n

。■ 22(3)lim[(1)(1)

(1)]n

n r r r →∞

+++ (1)r <；

【解】∵r

r r r r r r r n

n

-+++-=

+++1)

1()1)(1)(1()1()1)(1(22

22

r

r r r r r n n

--==-++-=+111)1()1)(1(1

2222 ，

∴r

r

r r

r

L n n n n -=

--=

--=++∞

→∞→11

1lim 111lim

1

1

2

2。■

(4)lim

x ；

【解】∵)1()

1)(1()1(x x x x x x x

x x x ++++-+=-+1111

1++=

++=

x

x

x x

， ∴21

1

1

11lim

=++=+∞

→x

L x 。■ 3

1

31

(5)lim(

)11

x x x →--++． 【解】)1)(1()

2)(1(lim 1

2lim 1)1(3lim 21321321x x x x x x x x x x x L x x x +-+-+=+-+=++--=-→-→-→ 13

312lim

21==+--=-→x x x x 。■

2．求常数a 和b

，使得02

lim

1x x

→-=．

【解】∵0

1x →=，0lim 0=→x x ，

∴02)2(lim

=-=-+→b b ax x ，即4=b 。 于是，())

24()

24)(24(lim

2lim

0000

++++-+=-+→→ax x ax ax x b ax x x 14

241lim )24(lim

00==++=++=→→a

ax a ax x ax x x ， ∴4==b a 。■

3．若1

11()1x x

e f x e

+=

-，求0lim ()x f x -

→，0lim ()x f x +

→，0

lim ()x f x →．