2020中考数学一模试卷
2020年浙江省温州市中考数学一模试卷
中考数学一模试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.我国是较早认识负数的国家，南宋数学家李冶在算筹的个位数上用斜画一杠表示负数，如“-32”写成“”，下列算筹表示负数的是（）A. B. C. D.2.“浮云游子意，明月故乡情”，4月疫情期间温州支援意大利口罩达2700000只，其中2700000用科学记数法表示为（）A. 2.7×106B. 27×105C. 2.7×105D. 0.27×1073.小明家购买了一款新型吹风机．如图所示，吹风机的主体是由一个空心圆柱体构成，手柄可近似看作一个圆柱体，这个几何体的主视图为（）A.B.C.D.4.计算x3+x3的结果是（）A. x6B. x9C. 2x6D. 2x35.甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均数及方差如表所示，要选一个成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（）甲乙丙丁（环）8998S2（环2）1 1.21 1.2A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6.不等式-2x≤-x+2的解在数轴上的表示正确的是（）A. B. C. D.7.一款便携式音箱以锂电池作为电源，该电池的电压为定值，工作时电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）之间的函数关系如图所示，则当电阻R为4Ω时，电流I 为（）A. 6AB. AC. 1AD. A8.为美化校园，学校计划购买甲、乙两种花木，其中甲种花木每棵100元，乙种花木每棵80元，若甲种花木的数量是乙种花木的3倍，且两种花木共花费19000元．设购买甲种花木x棵，乙种花木y棵，根据题意，可列方程组（）A. B.C. D.9.在△ABC中，BC=5，AC=12，∠C=90°，以点B为圆心，BC为半径作圆弧，与AB交于D，再分别以A，D为圆心，大于AD的长为半径作圆弧交于点M，N，作直线MN，交AC于E，则AE的长度为（）A. 4B. 4C.D. 510.已知函数y1=ax2-2ax+c（a＞0），y2=-ax2+2ax+c，当0≤x≤2时，2≤y1≤3，则当0≤x≤2时，y2的最大值是（）A. -3B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.因式分解：m2-25= ______ ．12.在不透明的袋子里装入3个红球和2个白球（除颜色不同外其余均相同），从中随机摸出一个球为白球的概率是______．13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC=∠B，则∠D的度数为______°．14.如图，在矩形ABCD中，BC=8，E为BC中点，将△ABE沿AE翻折后，得到△AEF，再将CE折向FE，使点C与点F重合，折痕为EG．若CG=3，则AG=______．15.如图，已知点A（5，0），在直线y=x+上取点B，过点B作x轴的平行线，交直线y=-x+b于点C．若四边形OACB为菱形，则b=______．16.将折叠书架画出侧面示意图，AB为面板架，CD为支撑架，EF为锁定杆，F可在CD上移动或固定．已知BC=CE=8cm．如图甲，将面板AB竖直固定时（AB⊥BD），点F恰为CD的中点．如图乙，当CF=17cm时，EF⊥AB，则支撑架CD的长度为______cm．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连结AD，DE．已知∠1=∠2，AD=DE．（1）求证：△ABD≌△DCE．（2）若BD=2，CD=5，求AE的长．四、解答题（本大题共7小题，共72.0分）18.（1）计算：2sin30°+（-1）0+；（2）解方程：（x-1）2=2x+1．19.某学校为了解疫情期间学生在家体育锻炼情况，从全体学生中随机抽取若干学生进行调查，以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分，根据信息回答下列问题，（1）本次调查共抽取______名学生．（2）抽查结果中，B组有______人．（3）在抽查得到的数据中，中位数位于______组（填组别）．（4）若这所学校共有学生1200人，则估计平均每日锻炼超过20分钟有多少人？组别平均每日体育锻炼时间（分）人数A0≤x≤1018B10＜x≤20______ C20＜x≤3042D x＞302420.如图，在5×5的方格纸中，点A，B均在格点上，请按要求画图．（1）在图1中画个面积为2的格点△ABC．（2）在图2中画一个格点Rt△ADE，使AB是△ADE的中线．21.在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为y=ax2+2bx+2b-a（a≠0）．（1）当x=-1时，求y的值．（2）将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点（-1，0），求b的值．22.如图，四边形ABCD中，∠B=90°，以AD为直径的⊙O交AB于点E，与BC相切于点C，连结CE．（1）求证：CD=CE．（2）若AE=3，tan∠D=，求⊙O的半径．23.某商店准备采购甲、乙两种消毒水进行售卖，每瓶的进价与利润如表：甲乙每瓶进价（元）a a+20每瓶利润（元）2030已知进货成本1500元采购甲种消毒水的数量和2500元买乙种消毒水的数量相等．（1）求a的值．（2）若该商店准备拿出12000元全部用来进货，由于仓库存放限制，总数量不多于300瓶，问如何进货能使消毒水全部售出后利润最大，最大利润是多少元？（3）在（2）获得最大利润的进货方案下，该商店预留了甲、乙两种消毒水各若干瓶供店内消毒使用，剩余的消毒水被抢购一空，共获得利润7350元，求商店共预留了多少瓶？24.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD上的点，且AE=CF，M，N分别是EF，EB的中点，延长AN交BF于点K．（1）①小明通过画图探究得到以下数据，根据题意，将表格补充完整．∠FBC10°20°40°∠EBF70°______ ______∠BNK20°______ ______②写出∠EBF与∠BNK的数量关系，并给出证明．（2）当四边形MNKF中有一条边是NK的2倍时，求cos∠EBF的值．（3）直线MN分别交AB，CD于点P，Q，延长EF交射线BC于点G，当点G关于直线BF的对称点落在直线MN上时，直接写出的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：在算筹的个位数上用斜画一杠表示负数，如“-32”写成“”，算筹表示负数的是选项B：故选：B．根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案．此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键．2.【答案】A【解析】解：2700000=2.7×106．故选：A．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】C【解析】解：根据主视图的概念可知，从物体的正面看得到的视图是选项C．故选：C．根据主视图是从物体正面看所得到的图形即可解答．本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形．4.【答案】D【解析】解：x3+x3=2x3．故选：D．根据合并同类项法则计算即可得出正确选项．本题主要考查了合并同类项，在合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变．5.【答案】C【解析】解：由图可知，乙、丙的平均成绩好，由于S2乙＞S2丙，故乙的方差大，波动大．故选：C．先比较平均数，乙丙的平均成绩好且相等，再比较方差即可解答．本题考查了方差，掌握平均数和方差的定义是解题的关键，方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6.【答案】B【解析】解：∵-2x≤-x+2，∴-2x+x≤2，则-x≤2，∴x≥-2，将不等式解集表示在数轴上如下：故选：B．根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．7.【答案】B【解析】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为I=，∵反比例函数图象过（2，3），∴k=3×2=6，∴I=，当R=4Ω时，I==，故选：B．根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为I=，再把（2，3）代入可得k的值，进而可得函数解析式，然后代入R=4Ω求得电流I即可．此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．8.【答案】A【解析】解：由题意可得，，故选：A．根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．9.【答案】C【解析】解：由作图可得，BD=BC=5，AD=13-5=8，MN垂直平分AD，∴AF=AD=4，∵BC=5，AC=12，∠C=90°，∴AB=13，∵∠AFE=∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△AFE∽△ACB，∴=，即=，解得AE=，故选：C．由作图可得，BD=BC=5，AD=13-5=8，MN垂直平分AD，依据勾股定理即可得到AB的长，再根据相似三角形的性质，即可得到AE的长．本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合．10.【答案】D【解析】解：由题意得：当0≤x≤2时，函数y1在对称轴x=1时取得最小值，即y1=a-2a+c=2①，函数y1在x=2时，取得最大值，即y1=4a-4a+c=3②，联立①②并解得：，故y2=-ax2+2ax+c=-x2+2x+3，当0≤x≤2时，y2在对称轴处取得最大值，∴当x=1时，y=4，故最大值是4，故选：D．由0≤x≤2时，2≤y1≤3，求出a、c的值，即可求解．本题考查的是二次函数与不等式（组）和二次函数的最值问题，解题的关键在于通过y1的信息，确定a、c的值，进而求解．11.【答案】（m+5）（m-5）【解析】解：原式=（m+5）（m-5），故答案为：（m+5）（m-5）原式利用平方差公式分解即可．此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．12.【答案】【解析】解：从中随机摸出一个球共有5种等可能结果，其中摸出一个球为白球的有2种结果，所以摸出一个球为白球的概率为，故答案为：．用白球的个数除以球的总个数即可得．本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．13.【答案】60【解析】解：由圆周角定理得，∠AOC=2∠D，∵∠AOC=∠B，∴∠B=2∠D，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D+∠B=180°，∴∠D+2∠D=180°，解得，∠D=60°，故答案为：60．根据圆周角定理得到∠AOC=2∠D，根据题意得到∠B=2∠D，根据圆内接四边形的对角互补列式计算，得到答案．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．14.【答案】【解析】解：∵将△ABE沿AE翻折后，得到△AEF，再将CE折向FE，使点C与点F重合，∴AB=AF，∠B=∠AFE=90°，FG=CG=3，∠C=∠EFG=90°，∴∠AFE+∠GFE=180°，∴点A，点F，点G三点共线，∵AD2+DG2=AG2，∴64+（AB-3）2=（AB+3）2，∴AB=，∴AG=AF+FG=，故答案为：．由折叠的性质可得AB=AF，∠B=∠AFE=90°，FG=CG=3，∠C=∠EFG=90°，可证点A，点F，点G三点共线，由勾股定理可求AB的长，即可求解．本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，利用勾股定理求出AB的长是本题关键．15.【答案】12【解析】解：∵点A（5，0），∴OA=5，∵四边形OACB为菱形，∴OB=OA=5，根据题意设B（a，a+），∴a2+（a+）2=52，整理得a2+2a-15=0，解得a=3或a=-5（不合题意，舍去），∴B（3，4），∴C（8，4），∵直线y=-x+b经过点C，∴4=-8+b，解得b=12，故答案为12．由题意设B（a，a+），根据勾股定理得出a2+（a+）2=52，解方程求得a=3，即可求得C的坐标，根据图象上点的坐标特征，代入y=-x+b中，即可求得b的值．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，根据题意得到关于a的方程是解题的关键．16.【答案】2【解析】解：∵EF⊥AB，CF=17cm，BC=CE=8cm，∴EF=cm，过F作FG⊥AB，∵AB⊥BD，∴FG∥BD，∵点F恰为CD的中点，∴CG=BC=4cm，∴EG=8+4=12cm，∵EF=15cm，∴CG=cm，∴BD=2CG=18cm，∴CD=，故答案为：2．根据勾股定理得出EF的长，进而利用勾股定理得出CF，进而得出CD的长即可．此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理得出EF的长解答．17.【答案】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∠1=∠2，AD=DE，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABD≌△DCE，∴AB=DC=5，CE=BD=2，∵AC=AB，∴AC=5，∴AE=AB-EC=5-2=3．【解析】（1）根据AAS可证明△ABD≌△DCE；（2）得出AB=DC=5，CE=BD=2，求出AC=5，则AE可求出．本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．18.【答案】解：（1）原式=2×+1+3=1+1+3=5；（2）x2-4x=0，x（x-4）=0，x=0或x-4=0，所以x1=0，x2=4．【解析】（1）根据零指数幂和特殊角的三角函数值计算；（2）先把方程变形为一般式，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算．19.【答案】120 36 C36【解析】解：（1）24÷20=120（名）．故本次调查共抽取120名学生．（2）120-18-42-24=36（人）．故B组有36人．（3）在抽查得到的数据中，第60个和第61个数据都在C组，故中位数位于C组．（4）1200×=660（人）．答：这所学校平均每日锻炼超过20分钟大约有660人．故答案为：120；36；C；36．（1）用D组的人数除以其所占百分比可得；（2）总人数减去其他类别人数即可求得B组的人数；（3）根据中位数的多余即可求解；（4）用总人数乘样本中平均每日锻炼超过20分钟的人数所占比例即可求解．本题考查频数（率）分布表、扇形统计图、样本估计总体等知识没解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】解：（1）如图1中，△ABC即为所求（答案不唯一）．（2）如图2中，△ADE即为所求（答案不唯一）．【解析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可．（2）根据三角形的中线的定义画出图形即可．本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，三角形的中线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.【答案】解：（1）当x=-1时，y=a-2b+2b-a=0；（2）∵将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点（-1，0）∴原抛物线经过（1，0），把（1，0）代入解析式可得：0=a+2b+2b-a，∴b=0．【解析】（1）把x=-1代入y=ax2+2bx+2b-a，即可求得；（2）根据题意原抛物线经过（1，0），代入解析式解方程即可求得．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，（2）求得原抛物线经过的点的坐标是解题的关键．22.【答案】解：（1）证明：如图，连结DE，OC交于点F．∵BC切⊙O于点C，∴∠OCB=90°，∵∠B=90°，∴OC∥AB，∵AD是圆的直径，∴∠DEA=∠FEB=90°，∴OC⊥DE，∴=，∴CD=CE；（2）如图，连结AC，∵四边形ABCD内接于圆，∴∠CEB=∠ADC，∵=，∴∠DAC=∠CAB，∴∠ADC=∠ACB∴tan∠ACB=tan∠CBE=tan∠ADC，设BE=3x，则BC=4x，CE=5x，∴=，解得：x=，∴CD=，∴AD==，∴OA=．【解析】（1）如图，连结DE，OC交于点F，若证明CD=CE，则可转化为证明=即可；（2）连结AC，设BE=3x，则BC=4x，CE=5x，由圆周角定理和圆的内接四边形定理可得tan∠ACB=tan∠CBE=tan∠ADC，再利用勾股定理可求出AD的长，进而可求出⊙O的半径．本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用等知识点．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．23.【答案】解：（1）由题可得：=，解得a=30，经检验a=30是方程的解，所以a的值为30；（2）设甲种买了x瓶，则乙种买了瓶，由题意可得：x+≤300，解得x≤150，设利润为y，可得y=20x+30×，即y=2x+7200，∵k=2＞0，∴y随x增大而增大．当x=150 y有最大值为7500，答：最大利润为7500元；（3）7500-7350=150（元）设甲种保留了a瓶，乙种保留了b瓶，20a+30b=150，该方程的正整数解为或，答：商家共预留了6瓶或7瓶．【解析】（1）根据表格提供的有效信息和题干中的条件：进货成本1500元采购甲种消毒水的数量和2500元买乙种消毒水的数量相等，可建立关于a的分式方程，解方程求出a的值即可；（2）设甲种买了x瓶，则乙种买了瓶，由题意可求出x的取值范围，再设设利润为y，可得y与x的一次函数关系式，利用一次函数的增减性即可求出最大利润；（3）设甲种保留了a瓶，乙种保留了b瓶，则20a+30b=150，求出二元一次方程的所有正整数解即可得到该商店共预留了多少瓶．本题考查了一次函数的应用，涉及了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解．24.【答案】50°10°40°80°【解析】解：（1）①根据∠CBF=∠ABE，直角三角形斜边中线的性质可知：当∠FBC=20°时，∠EBF=50°，∠BNK=40°，当∠FBC=40°时，∠EBF=10°，∠BNK=80°，故答案为50°，10°，40°，80°．②结论：∠EBF+∠BNK=90°．理由：在正方形ABCD中，AB=BC，∠BAD=∠C=90°，∵AE=CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠CBF=∠ABE，BE=BF，∴∠EBF=90°-2∠ABN，∵N是BE的中点，∴AN=BN，∴∠BNK=2∠ABN，∴∠EBF+∠BNK=90°．（2）①当MN=2NK时，∵MN=BF=BE=BN，∴BN=2NK，∴∠EBF=30°，∴cos∠EBF=．②当KF=2NK时，∵BN=BE=（BK+KF），NK=KF，∵BN2=BK2+NK2，∴3BK=2KF=4NK，设BK=4m，则NK=3m，BN=5m，∴cos∠EBF==．③当MF=2NK时，过点M作MG⊥BF于点G（如图1中）．∵MN∥BF，∴∠MGK=∠GMN=∠NKG=90°，∴四边形MNKG是矩形，∴MG=NK，∴MF=2MG，∴∠MFB=∠BEF=30°，∴∠EBF=120°＞90°，∴此情况不存在．（3）如图2中，连接BG′，GG′，延长GE交BA的延长线于H，过点E作EJ∥PQ 交AB于J．∵BN=NE，PN∥EJ，∴BP=PJ，∴EJ=2PN，∵G，G′关于BP对称，∴BF垂直平分线段GG′，∵BF∥PG′，∴FG=FM，∵BE=BF，∴∠BEF=∠BFE，∴∠BEH=∠BFG，∵BE=BF，∠HBE=∠GBF，∴△HBE≌△GBF（AAS），∴EH=FG，BH=BG，∴EH=FM，∵∠H=∠G=45°，∵∠FCG=90°，∴∠CFG=∠MFQ=45°，∵EJ∥PM，∴∠EEJ=∠HMP=∠FMQ，∴△HEJ≌△FMQ（ASA），∴EJ=MQ，∵EJ=2PN，∴MQ=2PN．（1）①利用直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质解决问题即可．②证明△ABE≌△BCF（SAS）可得结论．（2）分三种情形：①当MN=2NK时．②当KF=2NK时．③当MF=2NK时，分别求解即可解决问题．（3）如图2中，连接BG′，GG′，延长GE交BA的延长线于H，过点E作EJ∥PQ 交AB于J．利用三角形的中位线定理证明EJ=2PN，再利用全等三角形的性质证明EJ=MQ即可解决问题．本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。
2020年山东省济宁市邹城市中考数学一模试卷 (解析版)
2020年山东省济宁市邹城市中考数学一模试卷一、选择题1．﹣2的绝对值等于（）A．±2B．﹣2C．2D．42．下列各式运算正确的是（）A．a+a＝2a2B．a2•a3＝a6 C．a3÷a＝3D．（﹣a）3＝﹣a33．世界文化遗产长城总长约为6700000m，6700000用科学记数法可表示为（）A．67×105B．0.67×107C．6.7×105D．6.7×1064．下列图象中，能反映函数y随x增大而减小的是（）A．B．C．D．5．把多项式a3﹣a分解因式，结果正确的是（）A．a（a2﹣1）B．a（a﹣1）2C．a（a+1）2D．a（a+1）（a﹣1）6．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝32°，那么∠2的度数是（）A．32°B．68°C．60°D．58°7．如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面右图由6个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（）A．B．C．D．8．用弧长为8π的扇形做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面的半径是（）A．4πB．8πC．4D．89．甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市连续两次降价10%，乙超市一次性降价20%，在哪家超市购买此种商品更合算（）A．甲B．乙C．同样D．与商品的价格有关10．如下图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝5，BC＝3，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动．设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化．在下列图象中，能正确反映y 与x的函数关系的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．在函数y＝中，自变量x的取值范围是．12．若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是．13．如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里/时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我航海区域的C处截获可疑渔船，问我渔政船的航行路程是海里（结果保留根号）．14．分式方程的解为．15．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为．三、解答题（本大题共7个小题，共55分）16．先化简，再求值：，其中a＝﹣2．17．如图，直线l经过点A（3，0）和点B（0，2）．（1）求直线l的解析式；（2）直线l与函数y＝的图象交于点C（C在第二象限），若△COB的面积与△AOB 的面积相等，求出m的值．18．为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时，为了解学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中共调查了多少名学生？（2）求户外活动时间为1.5小时的人数，并补充频数分布直方图；（3）求户外活动时间的众数和中位数是多少？（4）本次调查中学生参加户外活动的平均时间是否符合要求？说明理由．19．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥CO．（1）求证：△ABD∽△OBC；（2）若AB＝2，BC＝，求AD的长．20．某公司为一工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？21．如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形，过点C作CF∥BD，交AB于点E，交AD于点F．（1）求证：△AEF≌△BEC；（2）如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，如图2，求sin∠ACH 的值．22．已知：矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（6，0），C（0，3），直线y＝x与BC边交于D点．（1）求D点的坐标；（2）若抛物线y＝ax2+bx经过A、D两点，求此抛物线的表达式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P是对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求出符合条件的点P．参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．﹣2的绝对值等于（）A．±2B．﹣2C．2D．4【分析】根据绝对值的性质：一个负数的绝对值是它的相反数解答即可．解：根据绝对值的性质，|﹣2|＝2．故选：C．【点评】此题主要考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，难度适中．2．下列各式运算正确的是（）A．a+a＝2a2B．a2•a3＝a6 C．a3÷a＝3D．（﹣a）3＝﹣a3【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．解：A、a+a＝2a，故原题计算错误；B、a2•a3＝a5，故原题计算错误；C、a3÷a＝a2，故原题计算错误；D、（﹣a）3＝﹣a3，故此原题计算正确；故选：D．【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．世界文化遗产长城总长约为6700000m，6700000用科学记数法可表示为（）A．67×105B．0.67×107C．6.7×105D．6.7×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将6700000用科学记数法表示为6.7×106．故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．下列图象中，能反映函数y随x增大而减小的是（）A．B．C．D．【分析】观察函数图象，根据函数图象的单调性，可以直接做出选择．解：A、根据图象可知，函数在实数范围内是增函数，即函数y随x增大而增大；故本选项错误；B、根据图象可知，函数在对称轴的左边是减函数，函数y随x增大而减小；函数在对称轴的右边是增函数，即函数y随x增大而增大；故本选项错误；C、根据图象可知，函数在两个象限内是减函数，但是如果不说明哪个象限内是不能满足题意的；故本选项错误；D、根据图象可知，函数在实数范围内是减函数，即函数y随x增大而减小；故本选项正确．故选：D．【点评】本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数以及正比例函数的图象．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得直观化了，降低了题的难度．5．把多项式a3﹣a分解因式，结果正确的是（）A．a（a2﹣1）B．a（a﹣1）2C．a（a+1）2D．a（a+1）（a﹣1）【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），故选：D．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．6．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝32°，那么∠2的度数是（）A．32°B．68°C．60°D．58°【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等及余角的定义作答．解：根据题意可知，∠2＝∠3，∵∠1+∠2＝90°，∴∠2＝90°﹣∠1＝58°．故选：D．【点评】主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质．互为余角的两角的和为90°．解此题的关键是能准确的从图中找出这两个角之间的数量关系，从而计算出结果．7．如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面右图由6个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（）A．B．C．D．【分析】根据主视图是从正面看到的图形判定则可．注意用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加．解：从正面看，左边两列都只有一个正方体，中间一列有三个正方体，右边一列是一个正方体．故选：B．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．8．用弧长为8π的扇形做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面的半径是（）A．4πB．8πC．4D．8【分析】圆锥侧面展开图的弧长＝底面周长，那么底面半径＝周长÷2π．解：∵弧长为8π，∴底面周长＝8π，则圆锥的底面的半径＝8π÷2π＝4，故选C．【点评】本题利用了圆的周长公式l＝2πr求解，关键是明白圆锥底面周长和侧面弧长的相等的关系．9．甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市连续两次降价10%，乙超市一次性降价20%，在哪家超市购买此种商品更合算（）A．甲B．乙C．同样D．与商品的价格有关【分析】此题可设原价为x元，分别计算出两超市降价后的价钱，再比较即可．解：设原价为x元，则甲超市价格为x×（1﹣10%）×（1﹣10%）＝0.81x乙超市为x×（1﹣20%）＝0.8x，0.81x＞0.8x，所以在乙超市购买合算．故选：B．【点评】本题看起来很繁琐，但只要理清思路，分别计算降价后的价格是原价的百分之多少便可判断．渗透了转化思想．10．如下图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝5，BC＝3，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动．设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化．在下列图象中，能正确反映y 与x的函数关系的是（）A．B．C．D．【分析】本题考查动点函数图象的问题，先求出函数关系式在判断选项．解：当点P在CD上运动时，y为三角形，面积为：×3×x＝x，为正比例函数；当点P在CB上运动时，y为梯形，面积为×（x﹣5+3）×＝，为一次函数．由于后面的面积的x的系数＞前面的x的系数，所以后面函数的图象应比前面函数图象要陡．故选：A．【点评】本题需注意的知识点是：两个在第一象限的一次函数，比例系数大的图象较陡．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．在函数y＝中，自变量x的取值范围是x＞2．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．解：由题意得，x﹣2＞0，解得x＞2．故答案为：x＞2．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12．若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是．【分析】根据中心对称图形的定义得到平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形，于是利用概率公式可计算出抽到的图形属于中心对称图形的概率．解：在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中，平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形，所以这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率＝．故答案为：．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了中心对称图形．13．如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里/时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我航海区域的C处截获可疑渔船，问我渔政船的航行路程是18海里（结果保留根号）．【分析】作CD⊥AB于点D，垂足为D，首先在Rt△BCD中求得CD的长，然后在Rt △ACD中求得AC的长即可．解：作CD⊥AB于点D，垂足为D，在Rt△BCD中，∵BC＝12×1.5＝18（海里），∠CBD＝45°，∴CD＝BC•sin45°＝18×＝9（海里），则在Rt△ACD中，AC＝＝9×2＝18（海里）．故我渔政船航行了18海里．故答案为：18．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中构造出直角三角形并利用三角函数的知识求解．14．分式方程的解为x＝6．【分析】首先方程两边同时乘以（x+4）（x﹣1）即可转化成整式方程，然后即可求得方程的解．解：方程两边同时乘以（x+4）（x﹣1）得：2（x﹣1）＝x+4，去括号得：2x﹣2＝x+4，解得：x＝6，检验：当x＝6时（x+4）（x﹣1）＝10×5＝50≠0，则x＝6是方程的解．故答案是：x＝6．【点评】本题考查了分式方程的解法，注意（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．15．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为2．【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时PD+PE ＝BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE＝AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．解：连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD+PE＝PB+PE＝BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB＝2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝2．故所求最小值为2．故答案为：2．【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．三、解答题（本大题共7个小题，共55分）16．先化简，再求值：，其中a＝﹣2．【分析】首先把括号里因式通分，然后进行约分化简，最后代值计算．解：原式＝•＝2a+4；当a＝﹣2时，原式＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解答的关键．17．如图，直线l经过点A（3，0）和点B（0，2）．（1）求直线l的解析式；（2）直线l与函数y＝的图象交于点C（C在第二象限），若△COB的面积与△AOB 的面积相等，求出m的值．【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；（2）根据三角形面积公式得到C点和A点到OB的距离相等，则C点的横坐标为﹣3，利用一次函数解析式可确定C（﹣3，4），然后把C点坐标代入y＝中可求出m的值．解：（1）设直线l的解析式为y＝kx+b，把A（3，0）、点B（0，2）分别代入得，解得，∴一次函数解析式为y＝x+2；（2）∵△COB的面积与△AOB的面积相等，∴C点和A点到OB的距离相等，∴C点的横坐标为﹣3，当x＝﹣3时，y＝﹣x+2＝2+2＝4，∴C（﹣3，4），把C（﹣3，4）代入y＝得m＝﹣3×4＝﹣12．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．18．为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时，为了解学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中共调查了多少名学生？（2）求户外活动时间为1.5小时的人数，并补充频数分布直方图；（3）求户外活动时间的众数和中位数是多少？（4）本次调查中学生参加户外活动的平均时间是否符合要求？说明理由．【分析】（1）根据户外活动时间为0.5小时的人数和所占的百分比，即可求出这次调查中共调查的学生数；（2）用50乘以户外活动时间为1.5小时的人数所占的百分比即可求出人数，再补全统计图即可；（3）根据众数的定义求出出现的次数最多的数，根据中位数的定义求出第25、26个数的平均数即可；（4）根据加权平均数的计算公式列式，求出本次调查中学生参加户外活动的平均时间，再与1小时比较即可．解：（1）根据题意得：＝50（名），答：在这次调查中共调查了50名学生；（2）户外活动时间为1.5小时的人数是：50×24%＝12（人），（3）∵1小时出现的次数最多，∴众数是1；∵共有50个数，∴中位数是第25、26个数的平均数，∴中位数是：（1+1）÷2＝1；（4）∵本次调查中学生参加户外活动的平均时间是：＝1.18＞1，∴本次调查中学生参加户外活动的平均时间符合要求．【点评】此题考查了频数分布直方图，用到的知识点是平均数、中位数、众数，将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．频率＝频数÷总数，一组数据中出现次数最多的数是众数．19．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥CO．（1）求证：△ABD∽△OBC；（2）若AB＝2，BC＝，求AD的长．【分析】（1）根据AB为圆O的直径，根据圆周角定理得到∠D为90°，又BC为圆O 的切线，根据切线性质得到∠CBO＝90°，进而得到这两个角相等，又AD∥CO，根据两直线平行，得到一对同位角相等，从而利用两角对应相等的两三角形相似即可得证；（2）根据勾股定理求得OC＝，由（1）得到的相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例得出＝，即AD＝，求出AD的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠90°，∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝∠90°，∵AD∥CO，∴∠A＝∠COB，在△ABD和△OBC中∵∠ADB＝∠OBC，∠A＝∠COB，∴△ABD∽△OCB；（2）由（1）知，△ABD∽△OCB，∴＝，即AD＝，∵AB＝2，BC＝，∴OB＝1，∴OC＝＝，∴AD＝＝．【点评】此题考查了切线的性质，平行线的性质，圆周角定理以及相似三角形的判定与性质．对于第一问这样的几何证明题，要求学生多观察，多分析，根据题意选择合适的判定方法；第二问的突破点在于利用勾股定理表示出OC，借助第一问的相似得比例．20．某公司为一工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？【分析】（1）由题意得出售价下降了20元，则可求出此时的月销售量；（2）月利润＝（每吨售价﹣每吨其它费用）×销售量，从而可得出y与x的函数关系式；（3）根据（2）的关系式，利用配方法可求出售价．解：（1）售价降低了260﹣240＝20元，故月销量＝45+×7.5＝60（吨）．（2）每吨的利润为（x﹣100）吨，销量为：（45+×7.5），则y＝（x﹣100）（45+×7.5）＝﹣x2+315x﹣24000．（3）y＝﹣x2+315x﹣24000＝﹣（x﹣210）2+9075，故该经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．答：该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨210元．【点评】本题考查了二次函数在应用，为数学建模题，要把实际问题转化为二次函数，利用函数的知识求解，难度一般．21．如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形，过点C作CF∥BD，交AB于点E，交AD于点F．（1）求证：△AEF≌△BEC；（2）如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，如图2，求sin∠ACH 的值．【分析】（1）由已知可得∠ABC＝60°，从而推得∠BAD＝∠ABC＝60°．由E为AB 的中点，得到AE＝BE．又因为∠AEF＝∠BEC，所以△AEF≌△BEC；（2）在Rt△ABC中，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a，AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC ＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝3a2．在Rt△ACH中，由勾股定理得AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2．解得x＝a，即AH＝a，求得HC的值后，即可求解．【解答】（1）证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°．在等边△ABD中，∠BAD＝60°，∴∠BAD＝∠ABC＝60°．∵E为AB的中点，∴AE＝BE，在△AEF和△BEC中，，∴△AEF≌△BEC（ASA）；（2）∵∠BAD＝60°，∠CAB＝30°，∴∠CAH＝90°．在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，设BC＝a，∴AB＝2BC＝2a，∴AD＝AB＝2a，设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝（2a）2﹣a2＝3a2，AC＝a，在Rt△ACH中，AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2，解得x＝a，即AH＝a，∴HC＝2a﹣x＝2a﹣a＝a，∴sin∠ACH＝＝．【点评】本题考查了折叠的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，平行线的性质和判定等知识点的应用，注意：折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．22．已知：矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（6，0），C（0，3），直线y＝x与BC边交于D点．（1）求D点的坐标；（2）若抛物线y＝ax2+bx经过A、D两点，求此抛物线的表达式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P是对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求出符合条件的点P．【分析】（1）已知直线y＝x与BC交于点D（x，3），把y＝3代入等式可得点D的坐标；（2）如图抛物线y＝ax2+bx经过D（4，3）、A（6，0）两点，把已知坐标代入解析式得出a，b的值即可；（3）证明Rt△P1OM∽Rt△CDO以及Rt△P2P1O≌Rt△DCO后推出CD＝P1P2＝4得出符合条件的坐标．解：（1）由题知，直线y＝x与BC交于点D（x，3）．（1分）把y＝3代入y＝x中得，x＝4，∴D（4，3）；（2）抛物线y＝ax2+bx经过D（4，3）、A（6，0）两点，把x＝4，y＝3；x＝6，y＝0，分别代入y＝ax2+bx中，得解之得∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P1，符合条件．∵CB∥OA，∴∠P1OM＝∠CDO，∵∠DCO＝∠OP1M＝90°，∴Rt△P1OM∽Rt△CDO．∵x＝﹣＝3，∴该点坐标为P1（3，0）．过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点P2，∵对称轴平行于y轴，∴∠P2MO＝∠DOC，∴Rt△P2MO∽Rt△DCO．在Rt△P2P1O和Rt△DCO中P1O＝CO＝3，∠P2＝∠ODC，∴Rt△P2P1O≌Rt△DCO．∴CD＝P1P2＝4，∵点P2位于第四象限，∴P2（3，﹣4）．因此，符合条件的点有两个，分别是P1（3，0），P2（3，﹣4）．【点评】此题考查函数性质与坐标关系，最后一问探究点的存在性问题，几何图形形式问题和直角三角形性质，综合性比较强，难度较大．。
2020年陕西省宝鸡市岐山县中考数学一模试卷 (解析版)
2020年陕西省宝鸡市岐山县中考数学一模试卷一、选择题1．﹣7的绝对值是（）A．7B．﹣7C．D．﹣2．把如图所示的几何体组合中的A正方体放到B正方体的上面，则下列说法正确的是（）A．主视图不变B．俯视图不变C．左视图不变D．三种视图都不变3．如图，DE与△ABC的底边AB平行，OF是∠COE的角平分线，若∠B＝62°，则∠1的度数为（）A．54°B．59°C．62°D．64°4．已知函数y＝kx（k≠0）的图象经过A（2，﹣3），则k＝（）A．B．C．D．5．下列运算正确的是（）A．a4•a2＝a8B．﹣a2＝C．﹣a2+2a2＝a2D．（x2）3＝x5 6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AF⊥BC，∠ADE＝30°，2DE＝BC，BF＝3，则DF的长为（）A．4B．2C．3D．37．在平面直角坐标系中，函数y＝2kx（k≠0）的图象如图所示，则函数y＝2kx﹣3+2k的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图，AB，BC为⊙O中异于直径的两条弦，OA交BC于点D，若∠AOC＝50°，∠C ＝35°，则∠A的度数为（）A．35°B．50°C．60°D．70°9．如图，E是矩形ABCD中AD边的中点，BE交AC于点F，△ABF的面积为2，则四边CDEF的面积为（）A．4B．5C．6D．710．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1（a≠0）．当x≥3时，y随x的增大而增大；当﹣2≤x ≤0时，y的最大值为10．那么与抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1关于y轴对称的抛物线在﹣2≤x≤3内的函数最大值为（）A．10B．17C．5D．2二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．最接近的整数是．12．如图，在正六边形ABCDEF中，∠CAD的度数为．13．如图，在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与正方形ABEC交于E，F 两点，且A，C两点在x轴上，点E的坐标为（2，4），则点F的坐标为．14．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P为AD的中点，F 是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF沿PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，则△BA'F周长的最小值为．三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．计算：（）﹣1﹣×+（π﹣3.14）0+cos60°．16．化简：（1﹣）÷．17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，请用尺规作图法，作△ABC绕点A逆时针旋转45°后的△AB1C1．（不写作法，保留作图痕迹）18．如图，在△ABC中，F为BC边上一点，过点F作FD∥AC，且FD＝AC，延长BC 至点E，使BF＝CE，连接DE．求证：AB∥DE．19．某校为了解该校初三学生居家学习期间参加“网络自习室”自主学习的情况，随机抽查了部分学生在两周内参加“网络自习室”自主学习的天数，并用得到的数据绘制了如图两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，回答下列问题．（1）补全条形统计图．（2）部分学生在两周内参加“网络自习室”自主学习天数的众数为，中位数为．（3）如果该校初三年级约有1500名学生，请你估计在这两周内全校初三年级可能有多少名学生参加“网络自习室”自主学习的天数不少于7天．20．如图1所示的是宝鸡市文化景观标志“天下第一灯”，它由国际2.0不锈钢板整体锻造，表面涂有仿古金色漆，以仿青铜纹饰雕刻的柱体四盏灯分4层布置．一天上午，数学兴趣小组的同学们带着测量工具来测量“天下第一灯”的高度，由于有围栏保护，他们无法到达灯的底部O，他们制定了一种测量方案，图2所示的是他们测量方案的示意图，先在周围的广场上选择一点A，并在点A处安装了测量器AB，在点B处测得该灯的顶点P的仰角为60°；再在OA的延长线上确定一点C，使AC＝15米，在点D处测得该灯的顶点P的仰角为45°．若测量过程中测量器的高度始终为1.6米，求“天下第一灯”的高度．（≈1.414，≈1.732，最后结果取整数）21．陕西省相关文件规定，西安市实行居民阶梯水价制度，对居民用水的基本水价实行1：1.5：3三级价差，各阶梯水价均为用户终端水价，具体如下：第一阶梯：年用水量162m3及以下，终端水价为3.80元/m3．第二阶梯：年用水量162m3一275m3（含），终端水价为4.65元/m3．第三阶梯：年用水量275m3以上，终端水价为7.18元/m3．城区居民阶梯水价计量结算周期以年为单位，年用水量累计达到各阶梯水量上限后，超出部分执行下一阶梯水价；年度周期之间水量不结转，不累计．设某户居民2019年的年用水量为x（m3），应缴水费为y（元）．（1）写出该户居民2019年的年用水量为162m3一275m3（含）的y与x之间的函数表达式．（2）若该户居民2019年的应缴水费为1320.55元，则该户居民2019年的年用水量为多少．22．现有四个外观与质地完全相同的小球，小球上分别标有数字3，4，5，6．将四个小球放置于不透明的盒子中，摇匀后，甲从中随机抽取一个小球，记录数字后放回摇匀，乙再随机抽取一个．（1）请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率．（2）若两人抽取的数字和为3的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜，否则为平局．这个游戏公平吗？请用所学的概率的知识加以解释．23．如图，⊙O与Rt△ABF的边BF，AF分别交于点C，D，连接AC，CD，∠BAF＝90°，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AB＝AC，CE＝4，EF＝6，求⊙O的直径．24．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．（1）求此拋物线的解析式．（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．当∠MBA＝∠BDE时，求点M 的坐标．25．【问题发现】如图1，半圆O的直径AB＝10，P是半圆O上的一个动点，则△PAB面积的最大值是．【问题解决】如图2所示的是某街心花园的一角．在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA ＝12米，在围墙OA和OB上分别有两个入口C和D，且AC＝4米，D是OB的中点，出口E在上．现准备沿CE，DE从入口到出口铺设两条景观小路，在四边形CODE 内种花，在剩余区域种草．①出口E设在距直线OB多远处可以使四边形CODE的面积最大？最大面积是多少？（小路宽度不计）②已知铺设小路CE所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路DE所用的景观石材每米的造价是400元．问：在上是否存在点E，使铺设小路CE和DE的总造价最低？若存在，请求出最低总造价和出口E距直线OB的距离；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．﹣7的绝对值是（）A．7B．﹣7C．D．﹣【分析】根据绝对值的性质解答，当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a．解：|﹣7|＝7．故选：A．2．把如图所示的几何体组合中的A正方体放到B正方体的上面，则下列说法正确的是（）A．主视图不变B．俯视图不变C．左视图不变D．三种视图都不变【分析】根据三视图的定义，可得答案．解：主视图由原来的三列变成两列，故选项A错误；俯视图由原来的三列变成两列，故选项B错误；左视图没有变化，依然是两列，左边的一列有3个小正方形，右边的一列有一个小正方形，故选项C正确．故选：C．3．如图，DE与△ABC的底边AB平行，OF是∠COE的角平分线，若∠B＝62°，则∠1的度数为（）A．54°B．59°C．62°D．64°【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠B＝∠COD＝62°，再利用角平分线的定义可得∠1＝∠COE，即可得解．解：∵DE与△ABC的底边AB平行，∴∠B＝∠COD＝62°，∴∠COE＝180°﹣∠COD＝118°，∵OF是∠COE的角平分线，∴∠1＝∠COE＝59°；故选：B．4．已知函数y＝kx（k≠0）的图象经过A（2，﹣3），则k＝（）A．B．C．D．【分析】因为正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣3），所以2k＝﹣3，解之即可解决问题．解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣3），∴k＝﹣，∴该正比例函数的解析式为：y＝﹣x．故选：C．5．下列运算正确的是（）A．a4•a2＝a8B．﹣a2＝C．﹣a2+2a2＝a2D．（x2）3＝x5【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方的定义，合并同类项法则以及幂的乘方的运算法则逐一判断即可．解：A．a4•a2＝a6，故本选项不合题意；B．﹣a2＝，运算错误，故本选项不合题意；C．﹣a2+2a2＝a2，运算正确；D．（x2）3＝x6，故本选项不合题意；故选：C．6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AF⊥BC，∠ADE＝30°，2DE＝BC，BF＝3，则DF的长为（）A．4B．2C．3D．3【分析】根据平行线的性质求出∠B，根据余弦的定义求出AB，根据相似三角形的性质得到点D是AB的中点，根据直角三角形的性质解答即可．解：∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE＝30°，∵AF⊥BC，∴∠AFB＝90°，∴AB＝＝6，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴点D是AB的中点，在Rt△AFB中，点D是AB的中点，∴DF＝AB＝3，故选：D．7．在平面直角坐标系中，函数y＝2kx（k≠0）的图象如图所示，则函数y＝2kx﹣3+2k的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据正比例函数图象可得2k＜0，然后再判断出﹣3+2k＜0，然后可得一次函数图象经过的象限，从而可得答案．解：根据图象可得：2k＜0，∴﹣3+2k＜0，∴函数y＝2kx﹣3+2k的图象是经过第二、三、四象限的直线，故选：C．8．如图，AB，BC为⊙O中异于直径的两条弦，OA交BC于点D，若∠AOC＝50°，∠C ＝35°，则∠A的度数为（）A．35°B．50°C．60°D．70°【分析】先根据三角形外角性质得出∠ADC度数，再由同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出∠B度数，继而再次利用三角形外角的性质可得答案．解：∵∠C＝35°，∠AOC＝50°，∴∠ADC＝85°，∠B＝∠AOC＝25°，∴∠A＝∠ADC﹣∠B＝85°﹣25°＝60°，故选：C．9．如图，E是矩形ABCD中AD边的中点，BE交AC于点F，△ABF的面积为2，则四边CDEF的面积为（）A．4B．5C．6D．7【分析】利用矩形的性质得到AD∥BC，BC＝AD，再证明△AEF∽△CBF得到＝＝＝，则利用三角形面积公式得到S△BCF＝2S△ABF＝4，S△AEF＝S△ABF＝1，然后利用△ADC的面积减去△AEF的面积得到四边CDEF的面积．解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，BC＝AD，∵E是矩形ABCD中AD边的中点，∴BC＝AD＝2AE，∵AE∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝＝，∴S△BCF＝2S△ABF＝2×2＝4，S△AEF＝S△ABF＝×2＝1，∴四边CDEF的面积＝2+4﹣1＝5．故选：B．10．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1（a≠0）．当x≥3时，y随x的增大而增大；当﹣2≤x ≤0时，y的最大值为10．那么与抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1关于y轴对称的抛物线在﹣2≤x≤3内的函数最大值为（）A．10B．17C．5D．2【分析】根据题意得出a＞0，且x≤1时，y随x的增大而减小，当﹣2≤x≤0时，y的最大值为10．即当x＝﹣2时，y＝a2+8a+1＝10，求得a＝1，得到抛物线解析式为y＝x2﹣2x+2，根据关于y轴对称的特征得到关于y轴对称的抛物线为y＝（x+1）2+1，即可得到在﹣2≤x≤3内，当x＝3时取最大值，从而求得函数在此范围内的最大值为17．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1（a≠0），∴对称轴为直线x＝﹣＝1，∵当x≥3时，y随x的增大而增大，∴a＞0，且x≤1时，y随x的增大而减小，∵当﹣2≤x≤0时，y的最大值为10．，∴当x＝﹣2时，y＝a2+8a+1＝10，∴a＝1或a＝﹣9（舍去），∴抛物线为y＝x2﹣2x+2，∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∴此抛物线关于y轴的对称的抛物线为y＝（x+1）2+1，∴函数y＝（x+1）2+1，∴抛物线y＝（x+1）2+1在﹣2≤x≤3内，当x＝3时取最大值，即y＝17，故选：B．二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．最接近的整数是2．【分析】通过估算得出所求即可．解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，则最接近是2，故答案为：2．12．如图，在正六边形ABCDEF中，∠CAD的度数为30°．【分析】根据多边形的内角和公式即可求出每个内角的度数，进而得出∠BAD的度数；再根据等腰三角形的性质即可得出∠BAC的度数，再根据角的和差关系计算即可．解：正六边形的每个内角为：，∴，∵六边形是轴对称图形，∴，∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝30°．故答案为：30°．13．如图，在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与正方形ABEC交于E，F 两点，且A，C两点在x轴上，点E的坐标为（2，4），则点F的坐标为（6，）．【分析】根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式，结合正方形的性质，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点F的坐标．解：设反比例函数的解析式为y＝，∵反比例函数的图象经过点E（2，4），∴k＝2×4＝8，∵正方形ABEC中，AC＝EC，∴A（6，0），∴F点的横坐标为6，把x＝6代入y＝得y＝，∴F（6，），故答案为（6，）．14．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P为AD的中点，F 是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF沿PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，则△BA'F周长的最小值为2+2．【分析】△BFA′的周长＝FA′+BF+BA′＝AF+BF+BA′＝AB+BA′＝10+BA′，推出当BA′的周长最小时，△BFA′的周长最小，由此即可解决问题．解：如图，作BH⊥AD于H，连接BP．∵PA＝8，AH＝5，∴PH＝8﹣5＝3，∵BH＝5，∴PB＝＝＝2，由翻折可知：PA＝PA′＝8，FA＝FA′，∴△BFA′的周长＝FA′+BF+BA′＝AF+BF+BA′＝AB+BA′＝10+BA′，∴当BA′的周长最小时，△BFA′的周长最小，∵BA′≥PB﹣PA′，∴BA′≥2﹣8，∴BA′的最小值为2﹣8，∴△BFA′的周长的最小值为10+2﹣8＝2+2．故答案为：2+2．三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．计算：（）﹣1﹣×+（π﹣3.14）0+cos60°．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质和零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．解：原式＝2﹣2×+1+＝2﹣4+1+＝﹣．16．化简：（1﹣）÷．【分析】根据分式的减法和除法可以解答本题．解：（1﹣）÷＝＝＝a．17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，请用尺规作图法，作△ABC绕点A逆时针旋转45°后的△AB1C1．（不写作法，保留作图痕迹）【分析】先作∠BAC的平分线，在平分线上截取AB1＝AB，分别以A，B1为圆心，AC，BC的长为半径画弧，两弧交于点C1，连接AC1，B1C1，则△AB1C1即为△ABC绕点A 逆时针旋转45°后的图形．解：如图，△AB1C1即为所求．18．如图，在△ABC中，F为BC边上一点，过点F作FD∥AC，且FD＝AC，延长BC 至点E，使BF＝CE，连接DE．求证：AB∥DE．【分析】根据全等三角形的判定定理SAS证得△ABC≌△DEF；然后由全等三角形的对应角相等证得该结论．【解答】证明：∵AC∥FD，∴∠ACB＝∠DFE，又∵CE＝FB，∴CE+EB＝FB+EB，即CB＝FE；∵AC＝FD，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠B＝∠E，∴AB∥DE．19．某校为了解该校初三学生居家学习期间参加“网络自习室”自主学习的情况，随机抽查了部分学生在两周内参加“网络自习室”自主学习的天数，并用得到的数据绘制了如图两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，回答下列问题．（1）补全条形统计图．（2）部分学生在两周内参加“网络自习室”自主学习天数的众数为5天，中位数为6天．（3）如果该校初三年级约有1500名学生，请你估计在这两周内全校初三年级可能有多少名学生参加“网络自习室”自主学习的天数不少于7天．【分析】（1）根据学习9天和9天以上的人数和所占的百分比可以求得本次抽查的人数，然后根据条形统计图中的数据，即可计算出学习8天的学生人数，从而可以将条形统计图补充完整；（2）根据条形统计图中的数据，可以得到众数和中位数；（3）根据统计图中的数据，可以计算出在这两周内全校初三年级可能有多少名学生参加“网络自习室”自主学习的天数不少于7天．解：（1）本次抽查的人数为：3÷5%＝60，学习8天的学生有：60﹣24﹣12﹣15﹣3＝6（人），补全的条形统计图，如右图所示；（2）由条形统计图可得，部分学生在两周内参加“网络自习室”自主学习天数的众数为5天，中位数为6天，故答案为：5天，6天；（3）1500×＝600（名），答：在这两周内全校初三年级可能有600名学生参加“网络自习室”自主学习的天数不少于7天．20．如图1所示的是宝鸡市文化景观标志“天下第一灯”，它由国际2.0不锈钢板整体锻造，表面涂有仿古金色漆，以仿青铜纹饰雕刻的柱体四盏灯分4层布置．一天上午，数学兴趣小组的同学们带着测量工具来测量“天下第一灯”的高度，由于有围栏保护，他们无法到达灯的底部O，他们制定了一种测量方案，图2所示的是他们测量方案的示意图，先在周围的广场上选择一点A，并在点A处安装了测量器AB，在点B处测得该灯的顶点P的仰角为60°；再在OA的延长线上确定一点C，使AC＝15米，在点D处测得该灯的顶点P的仰角为45°．若测量过程中测量器的高度始终为1.6米，求“天下第一灯”的高度．（≈1.414，≈1.732，最后结果取整数）【分析】此题求的是线段OP的长度，所以根据图示，需要先求得OO′、O′P的长度；通过解直角△PO′B得到O′B＝O′P；通过解直角△PO′D得到O′D＝O′P，所以BD＝O′D﹣O′B＝（1﹣）O′P＝15米，由此求得线段O′P的长度．解：根据题意，得BD⊥OP于点O′，∠PBO′＝60°，∠PDO′＝45°，BD＝AC＝15米，OO′＝AB＝1.6米．在直角△PO′B中，∠PO′B＝90°，∠PBO′＝60°，∴O′B＝O′P．在直角△PO′D中，∠PO′D＝90°，∠PDO′＝45°，∴O′D＝O′P．∴BD＝O′D﹣O′B＝（1﹣）O′P＝15米，∴O′P＝≈35.49（米）．∴OP＝OO′+O′P＝37.09米≈37米．答：“天下第一灯”的高度约为37米．21．陕西省相关文件规定，西安市实行居民阶梯水价制度，对居民用水的基本水价实行1：1.5：3三级价差，各阶梯水价均为用户终端水价，具体如下：第一阶梯：年用水量162m3及以下，终端水价为3.80元/m3．第二阶梯：年用水量162m3一275m3（含），终端水价为4.65元/m3．第三阶梯：年用水量275m3以上，终端水价为7.18元/m3．城区居民阶梯水价计量结算周期以年为单位，年用水量累计达到各阶梯水量上限后，超出部分执行下一阶梯水价；年度周期之间水量不结转，不累计．设某户居民2019年的年用水量为x（m3），应缴水费为y（元）．（1）写出该户居民2019年的年用水量为162m3一275m3（含）的y与x之间的函数表达式．（2）若该户居民2019年的应缴水费为1320.55元，则该户居民2019年的年用水量为多少．【分析】（1）根据题意即可得出该户居民2019年的年用水量为162m3一275m3（含）的y与x之间的函数表达式；（2）根据（1）的结论，结合自变量的范围分情况讨论解答即可．解：（1）由题意得：y＝3.80×162+4.65（x﹣162），即y＝4.65x﹣137.7；（2）由（1）知，当162≤x≤275时，y＝4.65x﹣137.7，∴当x＝275时，y＝1141.05，∵y＝1141.05＜1320.55，∴该户居民2019年的年用水量在275m3以上，终端水价为7.18元/m3．∵当x＞275时，y＝1141.05+7.18（x﹣275），即y＝7.18x﹣833.45，∴7.18x﹣833.45＝1320.55，解得x＝300．答：该户居民2019年的年用水量为300m3．22．现有四个外观与质地完全相同的小球，小球上分别标有数字3，4，5，6．将四个小球放置于不透明的盒子中，摇匀后，甲从中随机抽取一个小球，记录数字后放回摇匀，乙再随机抽取一个．（1）请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率．（2）若两人抽取的数字和为3的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜，否则为平局．这个游戏公平吗？请用所学的概率的知识加以解释．【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得；（2）先找到数字和为3的倍数和5的倍数的结果数，再根据概率公式计算，比较大小即可得出答案．解：（1）列表如下：3456 3（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）4（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）5（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）6（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）由表可知共有16种等可能结果，其中两人抽取相同数字的有4种结果，所以两人抽取相同数字的概率为＝；（2）不公平，从上表中可以看出，两人抽取数字和为3的倍数的结果有6种，两人抽取数字和为5的倍数的结果有3种，所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，∵＞，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．23．如图，⊙O与Rt△ABF的边BF，AF分别交于点C，D，连接AC，CD，∠BAF＝90°，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AB＝AC，CE＝4，EF＝6，求⊙O的直径．【分析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F＝∠EDF，根据等腰三角形的性质得到DE＝EF＝3，根据勾股定理得到CD，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：（1）如图，连接BD，∵∠BAD＝90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC+∠CDE＝90°，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵∠BAF＝∠BDE＝90°，∴∠F+∠ABC＝∠FDE+∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠F＝∠EDF，∴DE＝EF＝6，∵CE＝4，∠BCD＝90°，∴∠DCE＝90°，∴CD＝＝2，∵∠BDE＝90°，CD⊥BE，∴△CDE∽△CBD，∴＝，∴BD＝＝3，∴⊙O的直径＝3．24．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．（1）求此拋物线的解析式．（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．当∠MBA＝∠BDE时，求点M 的坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）根据tan∠MBA＝＝，tan∠BDE＝，由∠MBA＝∠BDE，构建方程即可解决问题．解：（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．∵y＝﹣x2+2x﹣1+1+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D坐标（1，4）．（2）作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB＝90°，设M（m，﹣m2+2m+3），∴MG＝|﹣m2+2m+3|，BG＝3﹣m，∴tan∠MBA＝＝，∵DE⊥x轴，D（1，4），∴∠DEB＝90°，DE＝4，OE＝1，∵B（3，0），∴BE＝2，∴tan∠BDE＝，∵∠MBA＝∠BDE，∴，当点M在x轴上方时，，解得m＝﹣或3（舍去），∴M（﹣，），当点M在x轴下方时，，解得m＝﹣或m＝3（舍去），∴点M（﹣，﹣），综上所述，满足条件的点M坐标（﹣，）或（﹣，﹣）．25．【问题发现】如图1，半圆O的直径AB＝10，P是半圆O上的一个动点，则△PAB面积的最大值是25．【问题解决】如图2所示的是某街心花园的一角．在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA ＝12米，在围墙OA和OB上分别有两个入口C和D，且AC＝4米，D是OB的中点，出口E在上．现准备沿CE，DE从入口到出口铺设两条景观小路，在四边形CODE 内种花，在剩余区域种草．①出口E设在距直线OB多远处可以使四边形CODE的面积最大？最大面积是多少？（小路宽度不计）②已知铺设小路CE所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路DE所用的景观石材每米的造价是400元．问：在上是否存在点E，使铺设小路CE和DE的总造价最低？若存在，请求出最低总造价和出口E距直线OB的距离；若不存在，请说明理由．【分析】【问题发现】如图1，点P运动至半圆O的中点时，底边AB上的高最大，即P'O＝r＝5，求出此时△P'AB的面积即可；【问题解决】①作OG⊥CD，垂足为G，延长OG交弧AB于点E′，则此时△CDE的面积最大，可求出其值；作E′H⊥OB，垂足为H，证△COD∽△OHE'，即可求出E′H的长，即可写出结论；②铺设小路CE和DE的总造价为200CE+400DE＝200（CE+2DE），连接OE，延长OB到点Q，使BQ＝OB＝12，连接EQ，推出QE＝2DE，所以CE+2DE＝CE+QE，问题转化为求CE+QE的最小值，连接CQ，交弧AB于点E′，此时CE+QE取得最小值为CQ，可求出CQ的长度及总造价最小值；作E′H⊥OB，垂足为H，连接OE′，设E′H＝x，则QH＝3x，由勾股定理可求出x的值，即出口E距直线OB的距离．解：【问题发现】如图1，点P运动至半圆O的中点时，底边AB上的高最大，即P'O ＝r＝5，此时△PAB的面积最大值∴S△P'AB＝×10×5＝25，故答案为：25；【问题解决】①如图2﹣1，作OG⊥CD，垂足为G，延长OG交弧AB于点E′，则此时△CDE的面积最大．∵OA＝OB＝12，AC＝4，点D为OB的中点，∴OC＝8，OD＝6，在Rt△COD中，CD＝10，OG＝4.8，∴GE′＝12﹣4.8＝7.2，∴四边形CODE面积的最大值为S△CDO+S△CDE′＝×6×8+×10×7.2＝60；作E′H⊥OB，垂足为H，∵∠E'OH+∠OE'H＝90°，∠E'OH+∠ODC＝90°，∴∠OE'H＝∠ODC，又∵∠COD＝∠E'HO＝90°，∴△COD∽△OHE'，∴，∴，∴E′H＝7.2；∴出口E设在距直线OB的7.2米处可以使四边形CODE的面积最大为60平方米；②铺设小路CE和DE的总造价为200CE+400DE＝200（CE+2DE），如图2﹣2，连接OE，延长OB到点Q，使BQ＝OB＝12，连接EQ，在△EOD与△QOE中，∠EOD＝∠QOE，∴，∴△EOD∽△QOE，故QE＝2DE，∴CE+2DE＝CE+QE，问题转化为求CE+QE的最小值，连接CQ，交弧AB于点E′，此时CE+QE取得最小值为CQ，在Rt△COQ中，CO＝8，OQ＝24，∴CQ＝8，故总造价的最小值为1600，作E′H⊥OB，垂足为H，连接OE′，设E′H＝x，则QH＝3x，∵在Rt△E′OH中，OH2+HE'2＝OE'2，∴（24﹣3x）2+x2＝122，解得，x1＝，x2＝（舍去），∴总造价的最小值为1600元，出口E距直线OB的距离为．。
2020年浙江省杭州市中考数学一模试卷及答案解析
2020年浙江省杭州市中考数学一模试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．（3分）﹣2的绝对值是（ ） A ．﹣2 B ．2C ．12D ．−122．（3分）下列计算正确的是（ ）A ．m 4+m 3＝m 7B ．（m 4） 3＝m 7C ．2m 5÷m 3＝m 2D ．m （m ﹣1）＝m 2﹣m3．（3分）如图，P 为⊙O 外一点，PC 切⊙O 于C ，PB 与⊙O 交于A 、B 两点．若P A ＝1，PB ＝5，则PC ＝（ ）A ．3B ．√5C ．4D ．无法确定 4．（3分）为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小敏随机调查了15名同学，结果如表：每天用零花钱（单位：元） 12345人数2 4 53 1则这15名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是（ ）A ．3，3B ．5，2C ．3，2D ．3，55．（3分）某工程甲单独完成要30天，乙单独完成要25天．若乙先单独干15天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x 天完成，则可列方程为（ ）A ．x+1525+1530=1 B ．x+1530+1525=1 C ．1530+x−1525=1D ．x−1530+1525=16．（3分）如图，已知一组平行线a ∥b ∥c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且AB ＝3，BC ＝4，EF ＝4.8，则DE ＝（ ）A ．7.2B ．6.4C ．3.6D ．2.47．（3分）如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，垂足为F ．若∠ABC ＝36°，∠C ＝44°，则∠EAC 的度数为（ ）A ．18°B ．28°C ．36°D ．38°8．（3分）直线l 1：y ＝kx +b 与直线l 2：y ＝bx +k 在同一坐标系中的大致位置是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（3分）关于x 的二次函数y ＝x 2+2kx +k ﹣1，下列说法正确的是（ ） A ．对任意实数k ，函数图象与x 轴都没有交点B ．对任意实数k ，函数图象没有唯一的定点C ．对任意实数k ，函数图象的顶点在抛物线y ＝﹣x 2﹣x ﹣1上运动D ．对任意实数k ，当x ≥﹣k ﹣1时，函数y 的值都随x 的增大而增大10．（3分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，∠ADC ＝3∠BAD ，BD ＝4，DC ＝3．则AB 的值为（ ）A ．5+3√2B ．2+2√15C ．7√2D ．√113二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分 11．（4分）分解因式：3x 2+6xy +3y 2＝ ．12．（4分）一个袋子中有1个红球，2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中摸出2个球，2个球颜色不同的概率为 ． 13．（4分）分式方程2x−1=1x的解是 ． 14．（4分）已知一个扇形的面积为12πcm 2，圆心角的度数为108°，则它的弧长为 ．15．（4分）已知关于x 的不等式组{5x −a ＞3(x −1)2x −1≤7的所有整数解的和为7，则a 的取值范围是 ．16．（4分）一张直角三角形纸片ABC ，∠ACB ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当△BDE 是直角三角形时，则CD 的长为 ． 三、解答题：本大题有7个小题，共66分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6分）先化简再求值：（ab−b a）•aba+b，其中a ＝1，b ＝2． 18．（8分）光明中学欲举办“校园吉尼斯挑战赛”，为此学校随机抽取男女学生各50名进行一次“你喜欢的挑战项目”的问卷调查，每名学生都选了一项．根据收集到的数据，绘制成统计图（不完整）．根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）在本次随机调查中，女生最喜欢“踢毽子”项目的有人，男生最喜欢“乒乓球“项目的有人．（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有男生450人，女生400人，请估计该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数．19．（8分）如图，D、E是以AB为直径的⊙O上两点，且∠AED＝45°．（1）过点D作DC∥AB，求证：直线CD与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为12，sin∠ADE=3，求AE的长．420．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝6√2，AF＝4√2，求AE的长．21．（10分）已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（2，6）在反比例函数y1=k x的图象上，且sin∠BAC= 35（1）求k的值和边AC的长；（2）求点B的坐标；交于M与N点，求出x为何值时，y2≥y1．（3）有一直线y2＝kx+10与y1=kx22．（12分）已知一次函数y1＝2x+b的图象与二次函数y2＝a（x2+bx+1）（a≠0，a、b为常数）的图象交于A、B两点，且A 的坐标为（0，1）．（1）求出a、b的值，并写出y1，y2的表达式；（2）验证点B的坐标为（1，3），并写出当y1≥y2时，x的取值范围；（3）设u＝y1+y2，v＝y1﹣y2，若m≤x≤n时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，求m的最小值和n的最大值．23．（12分）在△ABC 和△DBE 中，CA ＝CB ，EB ＝ED ，点D 在AC 上．（1）如图1，若∠ABC ＝∠DBE ＝60°，求证：∠ECB ＝∠A ；（2）如图2，设BC 与DE 交于点F ．当∠ABC ＝∠DBE ＝45°时，求证：CE ∥AB ； （3）在（2）的条件下，若tan ∠DEC =12时，求EFDF的值．2020年浙江省杭州市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．（3分）﹣2的绝对值是（ ） A ．﹣2B ．2C ．12D ．−12【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．【解答】解：|﹣2|＝2， 故选：B ．【点评】本题考查了绝对值的定义，是中考的常见题型，比较简单，熟记绝对值的定义是本题的关键． 2．（3分）下列计算正确的是（ ） A ．m 4+m 3＝m 7 B ．（m 4） 3＝m 7 C ．2m 5÷m 3＝m 2D ．m （m ﹣1）＝m 2﹣m【分析】直接利用整式的混合运算法则分别计算判断即可． 【解答】解：A 、m 4与m 3，无法合并，故此选项错误； B 、（m 4） 3＝m 12，故此选项错误； C 、2m 5÷m 3＝2m 2，故此选项错误； D 、m （m ﹣1）＝m 2﹣m ，正确． 故选：D ．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（3分）如图，P 为⊙O 外一点，PC 切⊙O 于C ，PB 与⊙O 交于A 、B 两点．若P A ＝1，PB ＝5，则PC ＝（ ）A ．3B ．√5C ．4D ．无法确定【分析】求出半径的长，求出PO 长，根据切线的性质求出∠PCO ＝90°，再根据勾股定理求出即可． 【解答】解：∵P A ＝1，PB ＝5， ∴AB ＝PB ﹣P A ＝4， ∴OC ＝OA ＝OB ＝2， ∴PO ＝1+2＝3， ∵PC 切⊙O 于C ， ∴∠PCO ＝90°，在Rt △PCO 中，由勾股定理得：PC =√PO 2−OC 2=√32−22=√5， 故选：B ．【点评】本题考查了勾股定理和切线的性质，能熟记切线的性质的内容是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．4．（3分）为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小敏随机调查了15名同学，结果如表：每天用零花钱（单位：元） 12345人数24531则这15名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是（ ）A ．3，3B ．5，2C ．3，2D ．3，5【分析】根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．【解答】解：这15名同学每天使用零花钱的众数为3元，中位数为3元，故选：A．【点评】此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．5．（3分）某工程甲单独完成要30天，乙单独完成要25天．若乙先单独干15天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x 天完成，则可列方程为（）A．x+1525+1530=1 B．x+1530+1525=1C．1530+x−1525=1 D．x−1530+1525=1【分析】根据题意列出方程求出答案．【解答】解：设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为：x−15 30+1525=1．故选：D．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找出等量关系，本题属于基础题型．6．（3分）如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF ＝4.8，则DE＝（）A．7.2 B．6.4 C．3.6 D．2.4【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．【解答】解：∵a∥b∥c，∴DEEF=ABBC，即DE4.8=34，解得，DE＝3.6，故选：C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．7．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝36°，∠C＝44°，则∠EAC的度数为（）A．18°B．28°C．36°D．38°【分析】根据∠EAC＝∠BAC﹣∠BAF，求出∠BAC，∠BAF即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC＝36°，∠C＝44°，∴∠BAC＝180°﹣36°﹣44°＝100°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=12∠ABC＝18°，∵AE⊥BD，∴∠BF A＝90°，∴∠BAF＝90°﹣18°＝72°，∴∠EAC ＝∠BAC ﹣∠BAF ＝100°﹣72°＝28°， 故选：B ．【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8．（3分）直线l 1：y ＝kx +b 与直线l 2：y ＝bx +k 在同一坐标系中的大致位置是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项，找k 、b 取值范围相同的即得答案． 【解答】解：根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：A 、由图可得，y 1＝kx +b 中，k ＜0，b ＜0，y 2＝bx +k 中，b ＞0，k ＜0，b 、k 的取值矛盾，故本选项错误；B 、由图可得，y 1＝kx +b 中，k ＞0，b ＜0，y 2＝bx +k 中，b ＞0，k ＞0，b 的取值相矛盾，故本选项错误；C 、由图可得，y 1＝kx +b 中，k ＞0，b ＜0，y 2＝bx +k 中，b ＜0，k ＞0，k 的取值相一致，故本选项正确；D 、由图可得，y 1＝kx +b 中，k ＞0，b ＜0，y 2＝bx +k 中，b ＜0，k ＜0，k 的取值相矛盾，故本选项错误； 故选：C ．【点评】本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．解答本题注意理解：直线y ＝kx +b 所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．9．（3分）关于x 的二次函数y ＝x 2+2kx +k ﹣1，下列说法正确的是（ ） A ．对任意实数k ，函数图象与x 轴都没有交点B ．对任意实数k ，函数图象没有唯一的定点C ．对任意实数k ，函数图象的顶点在抛物线y ＝﹣x 2﹣x ﹣1上运动D ．对任意实数k ，当x ≥﹣k ﹣1时，函数y 的值都随x 的增大而增大【分析】利用△＝（2k ﹣1）2+3＞0可对A 进行判断；利用点（−12，−34）满足抛物线解析式可对B 进行判断；先求出抛物线顶点坐标为（﹣k ，﹣k 2+k ﹣1），则根据二次函数图象上点的坐标特征可对C 进行判断；先表示出抛物线的对称轴方程，然后利用二次函数的性质可对D 进行判断．【解答】解：A 、△＝4k 2﹣4（k ﹣1）＝（2k ﹣1）2+3＞0，抛物线与x 轴有两个交点，所以A 选项错误；B 、k （2x +1）＝y +1﹣x 2，k 为任意实数，则2x +1＝0，y +1﹣x 2＝0，所以抛物线经过定点（−12，−34），所以B 选项错误； C 、y ＝（x +k ）2﹣k 2+k ﹣1，抛物线的顶点坐标为（﹣k ，﹣k 2+k ﹣1），则抛物线的顶点在抛物线y ＝﹣x 2﹣x ﹣1上运动，所以C 选项正确；D 、抛物线的对称轴为直线x =−2k2=−k ，抛物线开口向上，则x ＞﹣k 时，函数y 的值都随x 的增大而增大，所以D 选项错误． 故选：C ．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．10．（3分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，∠ADC ＝3∠BAD ，BD ＝4，DC ＝3．则AB 的值为（ ）A．5+3√2B．2+2√15C．7√2D．√113【分析】延长CB到E，使得BE＝BA．设BE＝AB＝a．利用相似三角形的性质，勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，延长CB到E，使得BE＝BA．设BE＝AB＝a．∵BE＝BA，∴∠E＝∠BAE，∵∠ADC＝∠ABD+∠BAD＝2∠E+∠BAD＝3∠BAD，∴∠BAD＝∠E，∵∠ADB＝∠EDA，∴△ADB∽△EDA，∴ADED=DBAD，∴AD2＝4（4+a）＝16+4a，∵AC2＝AD2﹣CD2＝AB2﹣BC2，∴16+4a﹣32＝a2﹣72，解得a＝2+2√15或2﹣2√15（舍弃）．∴AB＝2+2√15，故选：B．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分11．（4分）分解因式：3x2+6xy+3y2＝3（x+y）2．【分析】先利用提取公因式法提取数字3，再利用完全平方公式继续进行分解．【解答】解：3x2+6xy+3y2，＝3（x2+2xy+y2），＝3（x+y）2【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12．（4分）一个袋子中有1个红球，2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中摸出2个球，2个球颜色不同的概率为23．【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有6种等可能结果，其中2个球颜色不同的有4种结果， ∴2个球颜色不同的概率为46=23， 故答案为：23．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．13．（4分）分式方程2x−1=1x的解是 x ＝﹣1 ． 【分析】观察分式方程得最简公分母为x （x ﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【解答】解：方程的两边同乘x （x ﹣1），得 2x ＝x ﹣1， 解得x ＝﹣1．检验：把x ＝﹣1代入x （x ﹣1）＝2≠0． ∴原方程的解为：x ＝﹣1． 故答案为：x ＝﹣1．【点评】本题考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．14．（4分）已知一个扇形的面积为12πcm 2，圆心角的度数为108°，则它的弧长为6√105πcm ． 【分析】先根据扇形的面积公式求出扇形的半径，再根据弧长公式求出弧长即可．【解答】解：设扇形的半径为Rcm ，∵扇形的面积为12πcm 2，圆心角的度数为108°， ∴108π×R 2360=12π，解得：R ＝2√10，∴弧长为108π×2√10180=6√105π（cm ），故答案为：6√105πcm ．【点评】本题考查了扇形面积的计算和弧长的计算，能熟记公式是解此题的关键．15．（4分）已知关于x 的不等式组{5x −a ＞3(x −1)2x −1≤7的所有整数解的和为7，则a 的取值范围是 7≤a ＜9或﹣3≤a ＜﹣1 ．【分析】先求出求出不等式组的解集，再根据已知得出关于a 的不等式组，求出不等式组的解集即可．【解答】解：{5x −a ＞3(x −1)①2x −1≤7②，∵解不等式①得：x ＞a−32， 解不等式②得：x ≤4， ∴不等式组的解集为a−32＜x ≤4， ∵关于x 的不等式组{5x −a ＞3(x −1)2x −1≤7的所有整数解的和为7，∴当a−32＞0时，这两个整数解一定是3和4，∴2≤a−32＜3， ∴7≤a ＜9，当a−32＜0时，﹣3≤a−32＜−2， ∴﹣3≤a ＜﹣1，∴a 的取值范围是7≤a ＜9或﹣3≤a ＜﹣1． 故答案为：7≤a ＜9或﹣3≤a ＜﹣1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a 的不等式组是解此题的关键．16．（4分）一张直角三角形纸片ABC ，∠ACB ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当△BDE 是直角三角形时，则CD 的长为103或6017． 【分析】根据沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当△BDE 是直角三角形时，分两种情况讨论：∠DEB ＝90°或∠BDE ＝90°，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到CD 的长． 【解答】解：∵∠ACB ＝90°，AB ＝13，AC ＝5， ∴BC =√AB 2−AC 2=12， 根据题意，分两种情况： ①如图，若∠DEB ＝90°，则∠AED ＝90°＝∠C ， CD ＝ED ，连接AD ，则Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ）， ∴AE ＝AC ＝5，BE ＝AB ﹣AE ＝13﹣5＝8， 设CD ＝DE ＝x ，则BD ＝BC ﹣CD ＝12﹣x ， 在Rt △BDE 中，DE 2+BE 2＝BD 2， ∴x 2+82＝（12﹣x ）2解得x =103， ∴CD =103；②如图，若∠EDB ＝90°，则∠CDE ＝∠DEF ＝∠C ＝90°，CD ＝DE ， ∴四边形CDEF 是正方形， ∴∠AFE ＝∠EDB ＝90°， ∠AEF ＝∠B ， ∴△AEF ∽△EBD ， ∴AF ED =EF BD ，6017设CD ＝x ，则EF ＝CF ＝x ，AF ＝5﹣x ，BD ＝12﹣x ，∴5−x x =x 12−x ， 解得x =6017． ∴CD =6017． 综上所述，CD 的长为103或6017． 【点评】本题考查了翻折变换，综合运用勾股定理、相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质解答，解题关键是根据题意分两种情况讨论．三、解答题：本大题有7个小题，共66分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（6分）先化简再求值：（a b −b a ）•ab a+b ，其中a ＝1，b ＝2． 【分析】先把分式化简后，再把a 、b 的值代入求出分式的值． 【解答】解：原式=a 2−b 2ab •ab a+b =(a+b)(a−b)ab ⋅ab a+b＝a ﹣b ，当a ＝1，b ＝2时，原式＝1﹣2＝﹣1．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练化简分式是解题的关键．18．（8分）光明中学欲举办“校园吉尼斯挑战赛”，为此学校随机抽取男女学生各50名进行一次“你喜欢的挑战项目”的问卷调查，每名学生都选了一项．根据收集到的数据，绘制成统计图（不完整）．根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）在本次随机调查中，女生最喜欢“踢毽子”项目的有 10 人，男生最喜欢“乒乓球“项目的有 20 人．（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有男生450人，女生400人，请估计该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数．【分析】（1）根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以计算出女生最喜欢“踢毽子”项目的人数，然后根据扇形统计图中的数据，可以计算出男生最喜欢“乒乓球“项目的人数；（2）根据（1）中的结果，可以得到女生最喜欢“踢毽子”项目的有10人，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据统计图中的数据和该校有男生450人，女生400人，可以计算出该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数．【解答】解：（1）在本次随机调查中，女生最喜欢“踢毽子”项目的有：50﹣15﹣9﹣9﹣7＝10（人），男生最喜欢“乒乓球“项目的有：50×（1﹣8%﹣10%﹣14%﹣28%）＝50×40%＝20（人），故答案为：10，20；（2）由（1）知，女生最喜欢“踢毽子”项目的有10人，补全完整的条形统计图如右图所示；（3）450×28%+400×950＝126+72198（人），答：该校喜欢“羽毛球”项目的学生一共有198人．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19．（8分）如图，D、E是以AB为直径的⊙O上两点，且∠AED＝45°．（1）过点D作DC∥AB，求证：直线CD与⊙O相切；，求AE的长．（2）若⊙O的半径为12，sin∠ADE=34【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理求出∠AOD，根据平行线的性质求出∠ODC＝90°，根据切线的判定得出即可；（2）连接BE，根据圆周角定理求出∠B＝∠ADE，解直角三角形求出即可．【解答】（1）证明：连接OD，∵∠AED＝45°，∴由圆周角定理得：∠AOD＝2∠AED＝90°，∵CD∥AB，∴∠CDO＝∠AOD＝90°，即OD⊥CD，∵OD过O，∴直线CD与⊙O相切；（2）解：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵由圆周角定理得：∠B＝∠ADE，sin∠ADE=3 4，∴sin∠ADE＝sin B，∵sin B=AE AB ，∵⊙O的半径为12，∴AE24=34，解得：AE＝18．【点评】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，平行线的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝6√2，AF＝4√2，求AE的长．【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的性质得出∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°；由∠AFE+∠AFD＝180°，∠AFE ＝∠B，得出∠AFD＝∠C，即可得出结论；（2）根据平行四边形的性质可得出CD＝AB＝8，根据相似三角形的性质可得出ADDE =AFDC，求出DE＝12．证出AE⊥AD，由勾股定理即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°；∵∠AFE+∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝8．∵△ADF∽△DEC，∴ADDE=AFDC，即6√2DE=4√28，∴DE＝12．∵AD∥BC，AE⊥BC，∴AE⊥AD．在Rt△ADE中，∠EAD＝90°，DE＝12，AD＝6√2，∴AE =√DE 2−AD 2=√122−(6√2)2=6√2．【点评】此题主要考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键判定三角形相似．21．（10分）已知Rt △ABC 的斜边AB 在平面直角坐标系的x 轴上，点C （2，6）在反比例函数y 1=k x的图象上，且sin ∠BAC =35 （1）求k 的值和边AC 的长；（2）求点B 的坐标；（3）有一直线y 2＝kx +10与y 1=k x 交于M 与N 点，求出x 为何值时，y 2≥y 1．【分析】（1）本题需先根据C 点的坐标在反比例函数y 1=k x 的图象上，从而得出k 的值，再根据且sin ∠BAC =35，得出AC 的长；（2）本题需先根据已知条件，得出∠DAC ＝∠DCB ，从而得出CD 的长，根据点B 的位置即可求出正确答案；（3）解方程组即可得到结论．【解答】解：（1）∵点C （2，6）在反比例函数y =k x 的图象上，∴6=k 2，解得k ＝12，∵sin ∠BAC =35∴sin ∠BAC =6AC =35， ∴AC ＝10；∴k 的值和边AC 的长分别是：12，10；（2）①当点B 在点A 右边时，如图，作CD ⊥x 轴于D ．∵△ABC 是直角三角形，∴∠DAC ＝∠DCB ，又∵sin ∠BAC =35，∴tan ∠DAC =34，∴BD CD =34， 又∵CD ＝6， ∴BD =92，∴OB ＝2+92=132， ∴B （132，0）； ②当点B 在点A 左边时，如图，作CD ⊥x 轴于D ．∵△ABC 是直角三角形， ∴∠B +∠A ＝90°，∠B +∠BCD ＝90°，∴∠DAC ＝∠DCB ，又∵sin ∠BAC =35，∴tan ∠DAC =34，∴BD CD =34， 又∵CD ＝6，∴BD =92，BO ＝BD ﹣2=52， ∴B （−52，0） ∴点B 的坐标是（−52，0），（132，0）； （3）∵k ＝12，∴y 2＝12x +10与y 1=12x ， 解{y =12x +10y =12x得，{x =23y =18，{x =−32y =−8， ∴M （23，18），N 点（−32，﹣8），∴−32＜x ＜0或x ＞23时，y 2≥y 1．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．22．（12分）已知一次函数y 1＝2x +b 的图象与二次函数y 2＝a （x 2+bx +1）（a ≠0，a 、b 为常数）的图象交于A 、B 两点，且A 的坐标为（0，1）．（1）求出a 、b 的值，并写出y 1，y 2的表达式；（2）验证点B 的坐标为（1，3），并写出当y 1≥y 2时，x 的取值范围；（3）设u ＝y 1+y 2，v ＝y 1﹣y 2，若m ≤x ≤n 时，u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大，求m 的最小值和n 的最大值．【分析】（1）把A 点的坐标分别代入两个函数的解析式，便可求得a 与b 的值；（2）画出函数图象，根据函数图象作答；（3）求出出个函数的对称轴，根据函数的性质得出“u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大”时x 的取值范围，进而得m 的最小值和n 的最大值．【解答】解：（1）把A （0，1）代入y 1＝2x +b 得b ＝1，把A （0，1）代入y 2＝a （x 2+bx +1）得，a ＝1，∴y 1＝2x +1，y 2＝x 2+x +1；（2）作y 1＝2x +1，y 2＝x 2+x +1的图象如下：由函数图象可知，y 1＝2x +1不在y 2＝x 2+x +1下方时，0≤x ≤3，∴当y 1≥y 2时，x 的取值范围为0≤x ≤3；（3）∵u ＝y 1+y 2＝2x +1+x 2+x +1＝x 2+3x +2＝（x +1.5）2﹣0.25，∴当x ≥﹣1.5时，u 随x 的增大而增大；v ＝y 1﹣y 2＝（2x +1）﹣（x 2+x +1）＝﹣x 2+x ＝﹣（x ﹣0.5）2+0.25，∴当x ≤0.5时，v 随x 的增大而增大，∴当﹣15≤x ≤0.5时，u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大，∵若m ≤x ≤n 时，u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大，∴m 的最小值为﹣1.5，n 的最大值为0.5．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了函数的图象与性质，利用函数图象求不等式的解集，待定系数法，关键是熟练掌握二次函数的性质，灵活运用性质解题．23．（12分）在△ABC 和△DBE 中，CA ＝CB ，EB ＝ED ，点D 在AC 上．（1）如图1，若∠ABC ＝∠DBE ＝60°，求证：∠ECB ＝∠A ；（2）如图2，设BC 与DE 交于点F ．当∠ABC ＝∠DBE ＝45°时，求证：CE ∥AB ；（3）在（2）的条件下，若tan ∠DEC =12时，求EF DF的值． 【分析】（1）根据SAS 可证明△ABD ≌△CBE ．得出∠A ＝∠ECB ；（2）得出△ABC 和△DBE 都是等腰直角三角形，证明△ABD ∽△CBE ，则∠BAD ＝∠BCE ＝45°，可得出结论；（3）过点D 作DM ⊥CE 于点M ，过点D 作DN ∥AB 交CB 于点N ，设DM ＝MC ＝a ，得出DN ＝2a ，CE ＝a ，证明△CEF ∽△DNF ，可得出答案．【解答】（1）证明：∵CA ＝CB ，EB ＝ED ，∠ABC ＝∠DBE ＝60°，∴△ABC 和△DBE 都是等边三角形，∴AB ＝BC ，DB ＝BE ，∠A ＝60°．∵∠ABC ＝∠DBE ＝60°，∴∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ≌△CBE （SAS ）．∴∠A ＝∠ECB ；（2）证明：∵∠ABC＝∠DBE＝45°，CA＝CB，EB＝ED，∴△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴ABBC=√2，DB BE=√2，∴ABBC=DBBE，∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴∠BAD＝∠BCE＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠BCE，∴CE∥AB；（3）解：过点D作DM⊥CE于点M，过点D作DN∥AB交CB于点N，∵∠ACB＝90°，∠BCE＝45°，∴∠DCM＝45°，∴∠MDC＝∠DCM＝45°，∴DM＝MC，设DM＝MC＝a，∴DC=√2a，∵DN∥AB，∴△DCN为等腰直角三角形，∴DN=√2DC＝2a，∵tan∠DEC=DMME=12，∴ME＝2DM，∴CE＝a，∴CEDN=a2a=12，∵CE∥DN，∴△CEF∽△DNF，∴EFDF=CEDN=12．【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，正确作出辅助线，熟练掌握基本图形的性质是解题的关键．。
2020年江苏省南京市建邺区中考数学一模试卷含答案解析
2020年江苏省南京市建邺区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列计算结果为负数的是（）A．﹣1+2B．|﹣1|C．D．﹣2﹣12．计算a5•（﹣）2的结果是（）A．﹣a3B．a3C．a7D．a103．若a＜2＜b，其中a、b为两个连续的整数，则ab的值为（）A．2B．5C．6D．124．如图是一几何体的三视图，这个几何体可能是（）A．三棱柱B．三棱锥C．圆柱D．圆锥5．如图，已知a∥b，∠1=115°，则∠2的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．85°6．在学习“一次函数与二元一次方程”时，我们知道了两个一次函数图象的交点坐标与其相应的二元一次方程组的解之间的关系，请通过此经验推断：在同一平面直角坐标系中，函数y=5x2﹣3x+4与y=4x2﹣x+3的图象交点个数有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．8．若a﹣b=3，a+b=﹣2，则a2﹣b2=．9．据统计，2020年春节“黄金周”（2月7日至13日）期间，南京共接待游客4 880000人．将4880000用科学记数法表示为．10．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为．11．已知圆锥的底面半径是1cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为cm2．12．已知方程x2+mx﹣3=0的一个根是1，则它的另一个根是．13．某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运会射击比赛．在选拔赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示．甲乙丙丁平均数/环9.7 9.5 9.5 9.7方差/环2 5.1 4.7 4.5 4.5请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是．14．在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象一个交点的坐标是（﹣2，3），则它们另一个交点的坐标是．15．如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7=°．16．如图①，在等边△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，⊙O的圆心与点D重合，⊙O与线段CD交于点E，且CE=4cm．将⊙O沿DC方向向上平移1cm后，如图②，⊙O恰与△ABC 的边AC、BC相切，则等边△ABC的边长为cm．三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=+1，b=﹣1．18．解不等式组并写出不等式组的整数解．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F在对角线AC上，且∠ABF=∠CDE，AE=CF．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？20．“低碳环保，你我同行”．近两年，南京市区的公共自行车给市民出行带来了极大的方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD=30cm，DF=20cm，AF=25cm，FD⊥AE于点D，座杆CE=15cm，且∠EAB=75°．（1）求AD的长；（2）求点E到AB的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）21．甲、乙两名同学从《奔跑吧兄弟》、《极限挑战》、《最强大脑》三个综艺节目中随机选择一个观看．（1）甲同学观看《最强大脑》的概率是；（2）求甲、乙两名同学观看同一节目的概率．22．“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，随着国际货币基金组织正式宣布人民币2020年10月1日加入SDR（特别提款权），以后出国看世界更加方便．为了解某区6000名初中生对“人民币加入SDR”知晓的情况，某校数学兴趣小组随机抽取区内部分初中生进行问卷调查，将问卷调查的结果划分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不了解”四个等级，并将调查结果整理分析，得到下列图表：某区抽取学生对“人民币加入SDR”知晓情况频数分布表（1）本次问卷调查抽取的学生共有人，其中“不了解”的学生有人；（2）在扇形统计图中，学生对“人民币加入SDR”基本了解的区域的圆心角为°；（3）根据抽样的结果，估计该区6000名初中生对“人民币加入SDR”了解的有多少人（了解是指“非常了解”、“比较了解”和“基本了解”）？23．某商场将进货价为每只30元的台灯以每只40元售出，平均每月能售出600只．调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只．当这种台灯的售价定为多少元时，每个月的利润恰为10 000元？24．货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发2.4h后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶．设货车出发xh后，货车、轿车分别到达离甲地y1km 和y2km的地方，图中的线段OA、折线BCDE分别表示y1、y2与x之间的函数关系．（1）求点D的坐标，并解释点D的实际意义；（2）求线段DE所在直线的函数表达式；（3）当货车出发h时，两车相距200km．25．数学活动课上，小君在平面直角坐标系中对二次函数图象的平移进行了研究．图①是二次函数y=（x﹣a）2+（a为常数）当a=﹣1、0、1、2时的图象．当a取不同值时，其图象构成一个“抛物线簇”．小君发现这些二次函数图象的顶点竟然在同一条直线上！（1）小君在图①中发现的“抛物线簇”的顶点所在直线的函数表达式为；（2）如图②，当a=0时，二次函数图象上有一点P（2，4）．将此二次函数图象沿着（1）中发现的直线平移，记二次函数图象的顶点O与点P的对应点分别为O1、P1．若点P1到x 轴的距离为5，求平移后二次函数图象所对应的函数表达式．26．如图，直线AB交⊙O于C、D两点，CE是⊙O的直径，CF平分∠ACE交⊙O于点F，连接EF，过点F作FG∥ED交AB于点G．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若FG=4，⊙O的半径为5，求四边形FGDE的面积．27．问题提出平面上，若点P与A、B、C三点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点P是A、B、C 三点的巧妙点．若A、B、C三点构成三角形，也称点P是△ABC的巧妙点．初步思考（1）如图①，在等边△ABC的内部和外部各作一个△ABC的巧妙点．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）如图②，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，点D、E是△ABC的两个巧妙点，其中AD=AB，AE=AC，BD=BC=CE，连接DE，分别交AB、AC于点M、N．求证：DA2=DB•DE．深入研究（3）在△ABC中，AB=AC，若存在一点P，使PB=BA，PA=PC．点P可能为△ABC的巧妙点吗？若可能，请画出示意图，并直接写出∠BAC的度数；若不可能，请说明理由．2020年江苏省南京市建邺区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列计算结果为负数的是（）A．﹣1+2B．|﹣1|C．D．﹣2﹣1【考点】算术平方根；绝对值；有理数的加法；负整数指数幂．【分析】先化简各项，再根据负数的定义，即可解答．【解答】解：A、﹣1+2=1，故错误；B、|﹣1|=1，故错误；C、=2，故错误；D、﹣2﹣1=﹣，正确；故选：D．2．计算a5•（﹣）2的结果是（）A．﹣a3B．a3C．a7D．a10【考点】分式的乘除法．【分析】首先计算分式的乘方，然后再相乘即可．【解答】解：原式=a5•=a3，故选：B．3．若a＜2＜b，其中a、b为两个连续的整数，则ab的值为（）A．2B．5C．6D．12【考点】估算无理数的大小．【分析】依据平方数越大对应的算术平方根越大可求得a、b的值，最后依据有理数的乘法法则求解即可．【解答】解：∵4＜8＜9，∴2＜＜3，即2＜2＜3．∴a=2，b=3．∴ab=6．故选：C．4．如图是一几何体的三视图，这个几何体可能是（）A．三棱柱B．三棱锥C．圆柱D．圆锥【考点】由三视图判断几何体．【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选A．5．如图，已知a∥b，∠1=115°，则∠2的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．85°【考点】平行线的性质．【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠3，再根据对顶角相等解答．【解答】解：如图，∵a∥b，∠1=115°，∴∠3=180°﹣∠1=180°﹣115°=65°，∴∠3=∠2=65°．故选C．6．在学习“一次函数与二元一次方程”时，我们知道了两个一次函数图象的交点坐标与其相应的二元一次方程组的解之间的关系，请通过此经验推断：在同一平面直角坐标系中，函数y=5x2﹣3x+4与y=4x2﹣x+3的图象交点个数有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个【考点】二次函数的性质；一次函数与二元一次方程（组）．【分析】由题意知函数y=5x2﹣3x+4与y=4x2﹣x+3的图象交点个数即方程组的解的个数，即可判断．【解答】解：根据题意，函数y=5x2﹣3x+4与y=4x2﹣x+3的图象交点个数即方程组的解的个数，解方程组得：，所以函数y=5x2﹣3x+4与y=4x2﹣x+3的图象交点只有一个交点（1，6），故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥2．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．8．若a﹣b=3，a+b=﹣2，则a2﹣b2=﹣6．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接利用平方差公式分解因式，进而将已知代入求出答案．【解答】解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），∴把a﹣b=3，a+b=﹣2代入得：原式=3×（﹣2）=﹣6．故答案为：﹣6．9．据统计，2020年春节“黄金周”（2月7日至13日）期间，南京共接待游客4 880000人．将4880000用科学记数法表示为 4.88×106．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：4880000=4.88×106，故答案为：4.88×10610．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：9．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，∴△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：9．故答案为：1：9．11．已知圆锥的底面半径是1cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为3πcm2．【考点】圆锥的计算．【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积=2π×3×1÷2=3π．故答案为：3π．12．已知方程x2+mx﹣3=0的一个根是1，则它的另一个根是﹣3．【考点】根与系数的关系．【分析】由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解可以根据根与系数的关系进行计算．【解答】解：设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系可得：x1•1=﹣3，解得x1=﹣3．故答案为：﹣3．13．某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运会射击比赛．在选拔赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示．甲乙丙丁平均数/环9.7 9.5 9.5 9.7方差/环2 5.1 4.7 4.5 4.5请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是丁．【考点】方差．【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵S甲2=5.1，S乙2=4.7，S丙2=4.5，S丁2=4.5，∴S甲2＞S乙2＞S2丁=S2丙，∵丁的平均数大，∴最合适的人选是丁．故答案为：丁14．在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象一个交点的坐标是（﹣2，3），则它们另一个交点的坐标是（2，﹣3）．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：根据题意，直线y=k1x经过原点与双曲线y=相交于两点，又由于双曲线y=与直线y=k1x均关于原点对称．则两点关于原点对称，一个交点的坐标为（﹣2，3），则另一个交点的坐标为（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．15．如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7=54°．【考点】正多边形和圆．【分析】找出正十边形的圆心O，连接A7O，A4O，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：如图，连接A7O，A4O，∵正十边形的各边都相等，∴∠A7OA4=×360°=108°，∴∠A4A1A7=×108°=54°．故答案为：54．16．如图①，在等边△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，⊙O的圆心与点D重合，⊙O与线段CD交于点E，且CE=4cm．将⊙O沿DC方向向上平移1cm后，如图②，⊙O恰与△ABC的边AC、BC相切，则等边△ABC的边长为cm．【考点】切线的性质；等边三角形的性质；平移的性质．【分析】如图，设圆O与BC的切点为M，连接OM，根据切线的性质可以得到∠OMC=90°，而根据已知条件可以得到∠DCB=30°，设AB为2xcm，根据等边三角形得到CD=xcm，而CE=2cm，又将量角器沿DC方向平移1cm，由此得到半圆的半径为（x﹣4）cm，OC=（x﹣1）cm，然后在Rt△OCM中利用三角函数可以列出关于x的方程，解方程即可求解．【解答】解：如图，设图②中圆O与BC的切点为M，连接OM，则OM⊥MC，∴∠OMC=90°，依题意知道∠DCB=30°，设AB为2xcm，∵△ABC是等边三角形，∴CD=xcm，而CE=4cm，又将量角器沿DC方向平移1cm，∴半圆的半径为（x﹣4）cm，OC=（x﹣1）cm，∴sin∠DCB==，∴=，∴x=，∴等边△ABC的边长为=2x=2（cm），故答案为：．三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=+1，b=﹣1．【考点】分式的化简求值．【分析】先算括号里面的，再算除法，分式化为最简后把a、b的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=（）•=﹣．当a=+1，b=﹣1时，原式=﹣=﹣=﹣．18．解不等式组并写出不等式组的整数解．【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式，得x≥﹣1．解不等式2x﹣3＜0，得x＜．所以不等式组的解集是﹣1≤x＜．故不等式组的整数解为﹣1、0、1．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F在对角线AC上，且∠ABF=∠CDE，AE=CF．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质．（1）由平行线的性质得出∠BAC=∠DCA．证出AF=CE．由AAS证明△ABF≌△CDE 【分析】即可；（2）先证明四边形ABCD是菱形，得出BD⊥AC，再证明四边形BFDE是平行四边形，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA．∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．在△ABF和△CDE中，，又∵∠ABF=∠CDE，∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）解：当四边形ABCD满足AB=AD时，四边形BEDF是菱形．理由如下：连接BD交AC于点O，如图所示：由（1）得：△ABF≌△CDE，∴AB=CD，BF=DE，∠AFB=∠CED，∴BF∥DE．∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形．∴BD⊥AC．∵BF=DE，BF∥DE，∴四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．20．“低碳环保，你我同行”．近两年，南京市区的公共自行车给市民出行带来了极大的方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD=30cm，DF=20cm，AF=25cm，FD⊥AE于点D，座杆CE=15cm，且∠EAB=75°．（1）求AD的长；（2）求点E到AB的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）根据勾股定理求出AD的长；（2）作EH⊥AB于H，求出AE的长，根据正弦的概念求出点E到车架AB的距离．【解答】解：（1）在Rt△ADF中，由勾股定理得，AD===15（cm；（2）AE=AD+CD+EC=15+30+15=60（cm），如图②，过点E作EH⊥AB于H，在Rt△AEH中，sin∠EAH=，则EH=AE•sin∠EAH=AB•sin75°≈60×0.97=58.2（cm）．答：点E到AB的距离为58.2 cm．21．甲、乙两名同学从《奔跑吧兄弟》、《极限挑战》、《最强大脑》三个综艺节目中随机选择一个观看．（1）甲同学观看《最强大脑》的概率是；（2）求甲、乙两名同学观看同一节目的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）由甲、乙两名同学从《奔跑吧兄弟》、《极限挑战》、《最强大脑》三个综艺节目中随机选择一个观看，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与甲、乙两名同学观看同一节目的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵甲、乙两名同学从《奔跑吧兄弟》、《极限挑战》、《最强大脑》三个综艺节目中随机选择一个观看，∴甲同学观看《最强大脑》的概率是：．故答案为：；（2）分别用A，B，C表示《奔跑吧兄弟》、《极限挑战》、《最强大脑》三个综艺节目，用表格列出所有可能出现的结果：甲乙 A B CA （A，A）（B，A）（C，A）B （A，B）（B，B）（C，B）C （A，C）（B，C）（C，C）∵一共有9种可能的结果，它们是等可能的，其中符合要求的有3种．∴P （甲、乙两名同学观看同一节目）==．答：甲、乙两名同学观看同一节目的概率为：．22．“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，随着国际货币基金组织正式宣布人民币2020年10月1日加入SDR（特别提款权），以后出国看世界更加方便．为了解某区6000名初中生对“人民币加入SDR”知晓的情况，某校数学兴趣小组随机抽取区内部分初中生进行问卷调查，将问卷调查的结果划分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不了解”四个等级，并将调查结果整理分析，得到下列图表：某区抽取学生对“人民币加入SDR”知晓情况频数分布表（1）本次问卷调查抽取的学生共有100人，其中“不了解”的学生有20人；（2）在扇形统计图中，学生对“人民币加入SDR”基本了解的区域的圆心角为72°；（3）根据抽样的结果，估计该区6000名初中生对“人民币加入SDR”了解的有多少人（了解是指“非常了解”、“比较了解”和“基本了解”）？【考点】扇形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表．【分析】（1）根据非常了解的有26人，所占的比例是26%，据此即可求得抽取的总人数，然后利用总人数减去其它组的人数即可求得“不了解”的学生数；（2）利用360°乘以对应的百分比即可求得；（3）利用总人数乘以对应的比例即可求得．【解答】解：（1）调查抽取的总人数是26÷26%=100（人），不了解的人数是100﹣26﹣34﹣20=20（人）．故答案是：100，20；（2）基本了解的区域的圆心角是360°×=72°，故答案是：72；（3）该区6000名初中生对“人民币加入SDR”了解的有：6 000×80%=4 800（人）．答：估计该校6 000名初中生中对“人民币加入SDR”了解的有4 800人．23．某商场将进货价为每只30元的台灯以每只40元售出，平均每月能售出600只．调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只．当这种台灯的售价定为多少元时，每个月的利润恰为10 000元？【考点】一元二次方程的应用．【分析】设这种台灯的售价为x元，根据一台的利润×总的台数=总的利润和这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只，列出方程，再求解即可．【解答】解：设这种台灯的售价为x元，根据题意得：[600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）=10000，解得x1=50，x2=80，答：当这种台灯的售价定为50或80元时，每个月的利润恰为10000元．24．货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发2.4h后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶．设货车出发xh后，货车、轿车分别到达离甲地y1km 和y2km的地方，图中的线段OA、折线BCDE分别表示y1、y2与x之间的函数关系．（1）求点D的坐标，并解释点D的实际意义；（2）求线段DE所在直线的函数表达式；（3）当货车出发2或5h时，两车相距200km．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）待定系数求出OA解析式，继而根据点D的纵坐标为300求得其横坐标，即可得答案；（2）根据休息前2.4小时行驶300km可得行驶后行驶300km也需要2.4h，即可得点E坐标，待定系数法即可求得DE所在直线解析式；（3）先求出BC所在直线解析式，再根据①轿车休息前与货车相距200km，②轿车休息后与货车相距200km，分别列出方程求解可得．【解答】解：（1）设OA所在直线解析式为y=mx，将x=8、y=600代入，求得m=75，∴OA所在直线解析式为y=75x，令y=300得：75x=300，解得：x=4，∴点D 坐标为（4，300 ），其实际意义为：点D是指货车出发4h后，与轿车在距离A地300 km处相遇．（2）由图象知，轿车在休息前2.4小时行驶300km，∴根据题意，行驶后300km需2.4h，故点E 坐标（6.4，0 ）．设DE所在直线的函数表达式为y=kx+b，将点D （4，300 ），E （ 6.4，0）代入y=kx+b得：，解得，∴DE所在直线的函数表达式为y=﹣125x+800．（3）设BC段函数解析式为：y=px+q，将点B（0，600）、C（2.4，300）代入，得：，解得：y=﹣125x+600，①当轿车休息前与货车相距200km时，有：﹣125x+600﹣75x=200，解得：x=2；②当轿车休息后与货车相距200km时，有：75x﹣（﹣125x+800）=200，解得：x=5；故答案为：2或5．25．数学活动课上，小君在平面直角坐标系中对二次函数图象的平移进行了研究．图①是二次函数y=（x﹣a）2+（a为常数）当a=﹣1、0、1、2时的图象．当a取不同值时，其图象构成一个“抛物线簇”．小君发现这些二次函数图象的顶点竟然在同一条直线上！（1）小君在图①中发现的“抛物线簇”的顶点所在直线的函数表达式为y=x；（2）如图②，当a=0时，二次函数图象上有一点P（2，4）．将此二次函数图象沿着（1）中发现的直线平移，记二次函数图象的顶点O与点P的对应点分别为O1、P1．若点P1到x 轴的距离为5，求平移后二次函数图象所对应的函数表达式．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】（1）根据题意得出抛物线的顶点坐标，根据待定系数法即可求得；（2）根据平移的规律得出点O1的坐标为（3，1）或（﹣27，﹣9），从而求得解析式．【解答】解：（1）∵当a=﹣1时，抛物线的顶点为（﹣1，﹣），当a=0时，抛物线的顶点为（0，0），∴设直线为y=kx，代入（﹣1，﹣）得，﹣=﹣k，解得k=，∴“抛物线簇”的顶点所在直线的函数表达式为y=x，故答案为y=x．（2）由题意得：点P1D的纵坐标为5或﹣5，∴抛物线沿着直线向上平移了1个单位或向下平移了9个单位，∴此时点O1的纵坐标为1或﹣9，代入直线y=x求得横坐标为3或﹣27，∴点O1的坐标为（3，1）或（﹣27，﹣9），∴平移后的二次函数的表达式为y=（x﹣3）2+1或y=（x+27）2﹣9．26．如图，直线AB交⊙O于C、D两点，CE是⊙O的直径，CF平分∠ACE交⊙O于点F，连接EF，过点F作FG∥ED交AB于点G．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若FG=4，⊙O的半径为5，求四边形FGDE的面积．【考点】切线的判定．【分析】（1）利用角平分线的性质以及等腰三角形的性质得出∠OFC=∠FCG，进而得出∠GFC+∠OFC=90°，即可得出答案；（2）首先得出四边形FGDH是矩形，进而利用勾股定理得出HO的长，进而得出答案．【解答】（1）证明：连接FO，∵OF=OC，∴∠OFC=∠OCF．∵CF平分∠ACE，∴∠FCG=∠FCE．∴∠OFC=∠FCG．∵CE是⊙O的直径，∴∠EDG=90°，又∵FG∥ED，∴∠FGC=180°﹣∠EDG=90°，∴∠GFC+∠FCG=90°∴∠GFC+∠OFC=90°，即∠GFO=90°，∴OF⊥GF，又∵OF是⊙O半径，∴FG与⊙O相切．（2）解：延长FO，与ED交于点H，由（1）可知∠HFG=∠FGD=∠GDH=90°，∴四边形FGDH是矩形．∴FH⊥ED，∴HE=HD．又∵四边形FGDH是矩形，FG=HD，∴HE=FG=4．∴ED=8．∵在Rt△OHE中，∠OHE=90°，∴OH==3．∴FH=FO+OH=5+3=8．=（FG+ED）•FH=×（4+8）×8=48．S四边形FGDH27．问题提出平面上，若点P与A、B、C三点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点P是A、B、C 三点的巧妙点．若A、B、C三点构成三角形，也称点P是△ABC的巧妙点．初步思考（1）如图①，在等边△ABC的内部和外部各作一个△ABC的巧妙点．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）如图②，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，点D、E是△ABC的两个巧妙点，其中AD=AB，AE=AC，BD=BC=CE，连接DE，分别交AB、AC于点M、N．求证：DA2=DB•DE．深入研究（3）在△ABC中，AB=AC，若存在一点P，使PB=BA，PA=PC．点P可能为△ABC的巧妙点吗？若可能，请画出示意图，并直接写出∠BAC的度数；若不可能，请说明理由．【考点】三角形综合题．【分析】（1）根据“巧妙点”的定义利用：点P在三角形的内部时，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，所以点P是三角形的外心；点P在三角形的外部时，每条边的垂直平分线上的点只要能够使顶点这条边的两端点连接而成的三角形是等腰三角形即可；（2）先证明△ADB≌△ABC，△ACE≌△ABC，得到相等的角，再证明∠BMD=∠ABD，得到DB=DM．最后证明△DAM∽△DEA，得到=，即DA2=DM•DE，由DM=DB，所以DA2=DB•DE．（3）在△ABC中，AB=AC，若存在一点P，使PB=BA，PA=PC．点P能为△ABC的巧妙点，分别画出图形即可解答．【解答】解：（1）如图①；（2）∵AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，在△ADB和△ABC中∴△ADB≌△ABC，同理：△ACE≌△ABC．∴∠BAD=∠BAC=∠CAE=36°，∠ADB=∠ABD=∠ABC=72°，∴∠DAE=∠BAD+∠BAC+∠CAE=108°，∵AD=AB=AC=AE，∴∠ADE=∠AED=36°=∠BAD，∴∠BDM=∠BDA﹣∠MDA=36°，∠BMD=∠ADM+∠DAM=72°=∠ABD，∴DB=DM．∵∠DBM=∠ABD，∠AED=∠BAD，∴△DAM∽△DEA，∴=，∴DA2=DM•DE，∵DM=DB，∴DA2=DB•DE．（3）第一种如图①或图②（只需画一个即可），∠BAC=60°．第二种如图③，∠BAC=36°；第三种如图④，∠BAC=108°；第四种如图⑤，∠BAC=120°．以上共四种：60°、36°、108°、120°．2020年7月21日。
2020年上海市长宁区、金山区中考数学一模试卷及答案解析
2020年上海市长宁区、金山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】1．（4分）下列函数中是二次函数的是（ ）A ．y =22B ．y ＝（x +3）2﹣x 2C ．y =√x 2+2x −1D ．y ＝x （x ﹣1） 2．（4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 内有一点A （2，3），那么OA 与x 轴正半轴y的夹角α的余切值是（ ）A ．32B ．23C ．3√1313D ．2√13133．（4分）将抛物线y ＝（x +1）2﹣3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（ ）A ．y ＝（x ﹣1）2﹣3B ．y ＝（x +3）2﹣3C ．y ＝（x +1）2﹣1D ．y ＝（x +1）2﹣5 4．（4分）下列命题正确的是（ ）A ．如果|a →|＝|b →|，那么a →=b →B ．如果a →、b →都是单位向量，那么a →=b →C ．如果a →=k b →（k ≠0），那么a →∥b →D ．如果m ＝0或a →=0→，那么m a →=0 5．（4分）已知在矩形ABCD 中，AB ＝5，对角线AC ＝13．⊙C 的半径长为12，下列说法正确的是（ ）A ．⊙C 与直线AB 相交B ．⊙C 与直线AD 相切 C ．点A 在⊙C 上 D ．点D 在⊙C 内6．（4分）如果点D 、E ，F 分别在△ABC 的边AB 、BC ，AC 上，联结DE 、EF ，且DE ∥AC ，那么下列说法错误的是（ ）A ．如果EF ∥AB ，那么AF ：AC ＝BD ：ABB ．如果AD ：AB ＝CF ：AC ，那么EF ∥ABC ．如果△EFC ∽△ABC ，那么 EF ∥ABD ．如果EF ∥AB ，那么△EFC ∽△BDE 二、填空胞（本大剧共12题每题4分满分48分）【在答纸相应题号后的空格内宜接填写答案】7．（4分）计算：2（a →−2b →）+3（a →+b →）＝ ．8．（4分）如果x x−y =32，那么x y的值等于 ． 9．（4分）已知点P 在线段AB 上，且满足BP 2＝AB •AP ，则BP AB 的值等于 ．10．（4分）已知抛物线y ＝（1+a ）x 2的开口向上，则a 的取值范围是 ．11．（4分）抛物线y ＝2x 2﹣1在y 轴左侧的部分是 ．（填“上升”或“下降”）12．（4分）如果一条抛物线经过点A （2，5），B （﹣3，5），那么它的对称轴是直线 ．13．（4分）如图，传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i ＝1：2.4，那么物体所经过的路程AB 为 米．14．（4分）如图，AC 与BE 交于点D ，∠A ＝∠E ＝90°，若点D 是线段AC 的中点，且AB ＝AC ＝10．则BE 的长等于 ．15．（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点G 是重心，AC ＝4，tan ∠ABG =13，则BG 的长是 ．16．（4分）已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为 ．。
江苏2020届中考数学一模试题(含答案解析)
江苏2020届中考数学一模试题一、单选题1．截至今年一季度末，江苏省企业养老保险参保人数达850万，则参保人数用科学记数法表示为 A ．8.50×106 B ．8.50×105 C ．0.850×106 D ．8.50×1072．《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数，物价各几何？”意思是：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还余3元；每人出7元，还差4元.问共有多少人？这个物品价格是多少元？设共有x 个人，这个物品价格是y 元.则可列方程组为（ ） A ．83,74x y x y =+⎧⎨=-⎩ B ．83,74x y x y =-⎧⎨=+⎩ C ．84,73x y x y =+⎧⎨=-⎩ D ．84,73x y x y =-⎧⎨=+⎩3．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，DE 垂直平分AB ，垂足为点E ，交AC 于D 点，连接BD ,若AD ＝4，则DC 的值为( )A ．1B ．1.5C ．2D ．34．已知a b ，是不为0的有理数，且a a b b a b =-=>，，，那么用数轴上的点来表示a b ，，正确的应该是哪一个（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，某同学用圆规BOA 画一个半径为4cm 的圆，测得此时90O ∠=︒，为了画一个半径更大的同心圆，固定A 端不动，将B 端向左移至B '处，此时测得120O '∠=︒，则BB '的长为（ ）A ．4B 2-C ．D ．26．如图，OABC 是边长为1的正方形，OC 与x 轴正半轴的夹角为15°，点B 在抛物线y=ax 2的图象上，则a 的值为（ )A ．23-B ．3-C ．2-D ．12- 7．如图，已知A 为反比例函数k y x=（x <0）的图像上一点，过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ．若△OAB 的面积为2，则k 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．4D ．-48．将等边三角形ABC 放置在如图的平面直角坐标系中，已知其边长为2，现将该三角形绕点C 按顺时针方向旋转90°，则旋转后点A 的对应点A’的坐标为（ ）A ．（1+，1）B ．（﹣1，1－）C ．（﹣1，－1）D ．（2，）9．如图，点C 是线段BE 的中点，分别以BC CE 、为边作等腰ABC ∆和等腰CDE ∆，90BAC CDE ∠=∠=，连接AD BD AE 、、，且BD AE 、相交于点G ，CG 交AD 于点F ，则下列说法中，不正确的是（ ）A ．CF 是ACD ∆的中线B ．四边形ABCD 是平行四边形C ．AE BD =D ．AG 平分CAD ∠ 10．若整数a 既使关于x 的分式方程13x x --﹣2(3)a x x --＝1的解为非负数，又使不等式组3024385x a x x+⎧+>⎪⎨⎪-+>⎩有解，且至多有5个整数解，则满足条件的a 的和为（ ） A ．﹣5 B ．﹣3 C ．3 D ．211．若:3:4a b =，且14a b +=，则2a b -的值是（ ）A ．4B ．2C ．20D ．1412．已知点P 在x 轴上，且点P 到y 轴的距离为1，则点P 的坐标为( )A ．(0，1)B ．(1，0)C ．(0，1)或(0，－1)D ．(1，0)或(－1，0)二、填空题13．若3x =+3y =，则222x xy y ++=___． 14．李叔叔骑车从家到工厂，通常要40分钟，如果他骑车速度比原来每小时增加2千米，那么可节约10分钟，李叔叔的家离工厂有_______千米．15．如图，已知∠AOB ＝30°，在射线OA 上取点O 1，以点O 1为圆心的圆与OB 相切；在射线O 1A上取点O 2，以点O 2为圆心，O 2O 1为半径的圆与OB 相切；在射线O 2A 上取点O 3，以点O 3为圆心，O 3O 2为半径的圆与OB 相切……，若⊙O 1的半径为1，则⊙O n 的半径是______________．16．如图，在4×4的正方形网格图中，以格点为圆心各画四条圆弧，则这四条圆弧所围成的阴影部分面积为_____．17．如图，直线113y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，过点A 作AB AM ⊥，交x 轴于点B ，以AB 为边在AB 的右侧作正方形ABCA 1，延长A 1C 交x 轴于点B 1，以A 1B 1为边在A 1B 1的右侧作正方形A 1B 1C 1A 2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA 1，A 1B 1C 1A 2，…，111n n n n A B C A ---中的阴影部分的面积分别为S 1，S 2，…，S n ，则S n 可表示为_____．三、解答题18．进入夏季，为了解某品牌电风扇销售量的情况，厂家对某商场5月份该品牌甲、乙、丙三种型号的电风扇销售量进行统计，绘制如下两个统计图（均不完整）．请你结合图中的信息，解答下列问题：（1）该商场5月份售出这种品牌的电风扇共多少台？（2）补全条形统计图．（3）若该商场计划订购这三种型号的电风扇共2000台，根据5月份销售量的情况，求该商场应订购丙种型号电风扇多少台比较合理？19．如图，已知E ，F 分别是▱ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE=DF求证：四边形AECF 是平行四边形．20．某特产店销售核桃，进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售100千克，后经市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天销售可增加20千克，若该专卖店销售该核桃要想平均每天获利2240元，且在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，求每千克核桃应降价多少元？21．设用符号〈a ，b 〉表示a ，b 两数中较小的数，用符号[a ，b]表示a ，b 两数中较大的数，试求下列各式的值．(1)〈－5，－0.5〉＋[－4，2]； (2)〈1，－3〉＋[－5，〈－2，－7〉]．22．已知：2(1)3a b a x y -+=是关于y x 、二元一次方程，点A 在坐标平面内的坐标为a b （，） 点B （3，2）将线段AB 平移至A’B’的位置，点B 的对应点'B （-1，3）．求点A’的坐标23．先化简，再求值：，其中.24．如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，AD 平分∠BAC ，BD=CD(1)求证：BE=CF ；(2)已知AC=10，DE=4，BE=2,求△AEC 的面积25．如图，直角坐标系xOy 中，一次函数152y x =-+的图像1l 分别与x 、y 轴交于,A B 两点，正比例函数的图像2l 与1l 交于点(),3C m ．（1）求m 的值及2l 的解析式；（2）求AOC BOC S S ∆∆-的值；（3）在坐标轴上找一点P ，使以OC 为腰的OCP ∆为等腰三角形，请直接写出点P 的坐标． 26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为直线2x =，点A 的坐标为(1,0)．（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P 为抛物线上一点（不与点A 重合），联结PC ．当PCB ACB ∠=∠时，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y 轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D ，点P 的对应点为点Q ，当OD DQ ⊥时，求抛物线平移的距离．参考答案1．A解：850万=8500000=8.5×106，故选A ．2．A根据等量关系：每人出8元，还余3元；每人出7元，还差4元即可列出方程组.根据题意有83,74x y x y =+⎧⎨=-⎩故选：A.本题主要考查二元一次方程组的应用，读懂题意，找到等量关系是解题的关键.3．C由线段垂直平分线的性质定理可知4BD AD ==，30ABD A ︒∠=∠=，易知30CBD ︒∠=，根据直角三角形中30︒角所对的直角边是斜边的一半可得122DC BD ==. 解：在Rt △ABC 中，∠A ＝30° 60ABC ︒∴∠=DE 垂直平分AB ，点D 在AB 上4BD AD ∴==，30ABD A ︒∠=∠=30CBD ABC ABD ︒∴∠=∠-∠=122DC BD ∴== 故选：C本题考查了线段垂直平分线的性质定理，同时涉及到了直角三角形30︒角这一性质，灵活利用这两个性质求线段长是解题的关键.4．C根据绝对值的性质可得a ≤0, b ≥0，由a b >可得a 到原点的距离大于b 到原点的距离，进而可得答案. 解：,a a b b =-=,∴a ≤0, b ≥0∴B, D 错误;a b >∴a到原点的距离大于b到原点的距离.C是正确的, A是错误的，故选C本题主要考查数轴上的点与绝对值.5．A△ABO是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得OA的长，过O'作O'D⊥AB于点D，在直角△AO'D 中利用三角函数求得AD的长，则AB'=2AD，然后根据BB'=AB'-AB即可求解．解：在等腰直角△OAB中，AB=4，则OA=cm，AO＇=，∠AO'D=12×120°=60°，过O'作O'D⊥AB于点D．则AD=AO'•sin60°=22×3=6．则AB'=2AD=26，故BB'=AB'-AB=26-4．故选：A．本题考查了三角函数的基本概念，主要是三角函数的概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．6．B连接OB，根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠BOC=45°，过点B作BD⊥x轴于D，然后求出∠BOD=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得12BD OB=，再利用勾股定理列式求出OD，从而得到点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可．如图，连接OB，∵四边形OABC 是边长为1的正方形，∴451BOC OB ∠===， 过点B 作BD ⊥x 轴于D ，∵OC 与x 轴正半轴的夹角为15，∴451530BOD ∠=-=，∴122BD OB ==OD ==∴点B 的坐标为⎝⎭，∵点B 在抛物线y =ax 2(a <0)的图象上，∴2a =⎝⎭解得a =3-故选B.考查正方形的性质，勾股定理，二次函数图象上点的坐标特征等，求出点B 的坐标是解题的关键. 7．D设A 点坐标为(m ，n)，则有AB=-m ，OB=n ，继而根据三角形的面积公式以及反比例函数图象上点的坐标特征即可求得答案. 设A 点坐标为(m ，n)，则有AB=-m ，OB=n ，。
2020年江苏省南通市如皋市、崇川区中考数学一模试卷 解析版
这 9 名学生成绩的（ ）
A．众数
B．中位数
C．平均数
D．方差
【分析】9 人成绩的中位数是第 5 名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前 5 名，
只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】解：由于总共有 9 个人，且他们的分数互不相同，第 5 的成绩是中位数，要判
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
100 101 102 103 105 106 108 109 109 110 110 111 112 113 115
115 115 116 117 119 根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中 a＝
；
（2）在这次测试中，七年级甲同学的成绩 122 次，八年级乙同学的成绩 125 次，他们的
测试成绩，在各自年级所抽取的 50 名同学中，排名更靠前的是
是（ ）
A．5m
B．6m
C．6.5m
D．12m
6．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有 9 名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前 5 名，不仅要了解自己的成绩，还要了解
这 9 名学生成绩的（ ）
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
2020年江苏省扬州市邗江区中考数学一模试卷含解析
2020年江苏省扬州市邗江区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）的绝对值是（）A．﹣3B．C．3D．2．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣2B．x≠2C．x≠0D．x≠﹣2 3．（3分）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3•a2＝a6C．（a2）3＝a5D．a6÷a2＝a4 5．（3分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（）A．a＞b B．|a|＜|b|C．a+b＜0D．＞0 6．（3分）下列命题是真命题的是（）①方程x2＝2x的解为x＝2；②矩形对角线互相垂直；③五边形内角和为540°；④一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等A．①②B．③④C．①③D．②④7．（3分）下列图形中一定是相似形的是（）A．两个等边三角形B．两个菱形C．两个矩形D．两个直角三角形8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记P A＝x，点D到直线P A的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．（3分）1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，它的运行轨道距地球最近点439000米．将439000用科学记数法表示应为．10．（3分）计算的结果是．11．（3分）分解因式：3x2﹣6x+3＝．12．（3分）如图，已知a∥b，∠l＝78°，则∠2＝°．13．（3分）已知x＝2y﹣3，则代数式4x﹣8y+9的值是．14．（3分）在平面直角坐标系中，▱OABC的三个顶点O（0，0）、A（3，0）、B（5，3），则其第四个顶点C的坐标是．15．（3分）已知关于x、y的方程组的解满足x+y＝7，则k的值为．16．（3分）如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于度．17．（3分）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B 点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是米（结果保留根号）．18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣4），AC＝3AD，点A在反比例函数y＝图象上，且y轴平分∠ACB，则k＝．三、解答题（本大题共10小题，共96分）19．（8分）（1）计算：；（2）先化简，再求值：（2﹣x）（x+2）+x（x﹣1），其中x＝﹣1．20．（8分）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．21．（8分）某校为了了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行调查（每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器），现将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．（1）这次共抽取名学生进行调查，扇形统计图中的x＝；（2）请补全统计图；（3）在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是度；（4）若该校有3000名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有名．22．（8分）某校举行趣味运动会共有三个项目：A．“协力竞走”、B．“快乐接力”、C．“摸石过河”．小明和小刚参与了该运动会的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．（1）小明被分配到A．“协力竞走”项目组的概率为；（2）列表或画树状图求小明和小刚被分配到同一项目组的概率．23．（8分）端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子．节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个．这种粽子的标价是多少？24．（10分）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB＝90°，AB＝4，求四边形BEFD的周长．25．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，＝，DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：CD平分∠ACE；（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若CE＝2，AC＝8，求阴影部分的面积．26．（10分）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝6，求邻余线AB的长．27．（12分）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P 与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P＝（0＜t≤8）的图象与线段AB 的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q＝（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数表达式；（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）①求w关于t的函数表达式；②未来两年内，当月销售量P为时，月毛利润为w达到最大．28．（14分）我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN，分别交x轴和y轴于点M，N．点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标，有序实数对（x，y）称为点P的斜坐标，记为P（x，y）．（1）如图2，ω＝45°，矩形OABC中的一边OA在x轴上，BC与y轴交于点D，OA ＝2，OC＝1．①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A，B，C．②设点P（x，y）在经过O、B两点的直线上，则y与x之间满足的关系为．③设点Q（x，y）在经过A、D两点的直线上，则y与x之间满足的关系为．（2）若ω＝120°，O为坐标原点．①如图3，圆M与y轴相切原点O，被x轴截得的弦长OA＝，求圆M的半径及圆心M的斜坐标．②如图4，圆M的圆心斜坐标为M（2，2），若圆上恰有两个点到y轴的距离为1，则圆M的半径r的取值范围是．2020年江苏省扬州市邗江区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）的绝对值是（）A．﹣3B．C．3D．【分析】根据绝对值的定义直接进行计算．【解答】解：根据绝对值的概念可知：|﹣|＝，故选：B．【点评】本题考查了绝对值．解题的关键是掌握绝对值的概念，注意掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣2B．x≠2C．x≠0D．x≠﹣2【分析】根据分式有意义的条件可得x+2≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：x+2≠0，解得：x≠﹣2．故选：D．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为零．3．（3分）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】从正面看几何体，确定出主视图即可．【解答】解：几何体的主视图为：故选：C．【点评】此题考查了简单组合体的三视图，主视图即为从正面看几何体得到的视图．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3•a2＝a6C．（a2）3＝a5D．a6÷a2＝a4【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可．【解答】解：A、a3与a2不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；B、a3•a2＝a5故选项B不合题意；C、（a2）3＝a6，故选项C不合题意；D、a6÷a2＝a4，故选项D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．5．（3分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（）A．a＞b B．|a|＜|b|C．a+b＜0D．＞0【分析】直接利用数轴得出a，b的取值范围进而分别分析得出答案．【解答】解：由数轴可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，A、a＜b，故此选项错误；B、|a|＞|b|，故此选项错误；C、a+b＜0，正确；D、＜0，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出a，b的取值范围是解题关键．6．（3分）下列命题是真命题的是（）①方程x2＝2x的解为x＝2；②矩形对角线互相垂直；③五边形内角和为540°；④一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等A．①②B．③④C．①③D．②④【分析】根据方程的解、矩形的性质、多边形的内角和和全等三角形进行判断即可．【解答】解：①方程x2＝2x的解为x＝2或x＝0，原命题是假命题；②矩形对角线互相相等，原命题是假命题；③五边形内角和为540°，是真命题；④一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，是真命题；故选：B．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题叫定理．7．（3分）下列图形中一定是相似形的是（）A．两个等边三角形B．两个菱形C．两个矩形D．两个直角三角形【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．【解答】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，故选：A．【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记P A＝x，点D到直线P A的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分两种情况：（1）当点P在AB上移动时，点D到直线P A的距离不变，恒为4；（2）当点P在BC上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出△P AB∽△ADE，即可判断出y＝（3＜x≤5），据此判断出y关于x的函数大致图象是哪个即可．【解答】解：（1）当点P在AB上移动时，点D到直线P A的距离为：y＝DA＝BC＝4（0≤x≤3）．（2）如图1，当点P在BC上移动时，，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝，∵∠P AB+∠DAE＝90°，∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠P AB＝∠ADE，在△P AB和△ADE中，∴△P AB∽△ADE，∴，∴，∴y＝（3＜x≤5）．综上，可得y关于x的函数大致图象是：．故选：D．【点评】（1）此题主要考查了动点问题的函数图象，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．（2）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．（3分）1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，它的运行轨道距地球最近点439000米．将439000用科学记数法表示应为 4.39×105．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：439000＝4.39×105．故答案为：4.39×105．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．（3分）计算的结果是4．【分析】根据算术平方根的定义解答即可．【解答】解：＝＝4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，本题易错点在于符号的处理．11．（3分）分解因式：3x2﹣6x+3＝3（x﹣1）2．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：3x2﹣6x+3，＝3（x2﹣2x+1），＝3（x﹣1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12．（3分）如图，已知a∥b，∠l＝78°，则∠2＝102°．【分析】先求出∠1的邻补角的度数，再根据两直线平行，同位角相等即可求出∠2的度数．【解答】解：如图，∵∠1＝78°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣78°＝102°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝102°．故答案为：102．【点评】本题考查了平行线的性质和邻补角的定义，熟练掌握性质和概念是解题的关键．13．（3分）已知x＝2y﹣3，则代数式4x﹣8y+9的值是﹣3．【分析】根据x＝2y﹣3，可得：x﹣2y＝﹣3，据此求出代数式4x﹣8y+9的值是多少即可．【解答】解：∵x＝2y﹣3，∴x﹣2y＝﹣3，∴4x﹣8y+9＝4（x﹣2y）+9＝4×（﹣3）+9＝﹣12+9＝﹣3故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．14．（3分）在平面直角坐标系中，▱OABC的三个顶点O（0，0）、A（3，0）、B（5，3），则其第四个顶点C的坐标是（2，3）．【分析】由题意得出OA＝3，由平行四边形的性质得出BC∥OA，BC＝OA＝3，即可得出结果．【解答】解：∵O（0，0）、A（3，0），∴OA＝3，∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC＝OA＝3，∵B（5，3），∴点C的坐标为（5﹣3，3），即C（2，3）；故答案为：（2，3）．【点评】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．15．（3分）已知关于x、y的方程组的解满足x+y＝7，则k的值为3．【分析】方程组中两方程相加表示出x+y，代入已知方程计算即可求出k的值．【解答】解：①+②得：3x+3y＝6k+3，整理得：x+y＝2k+1，代入x+y＝7得：2k+1＝7，解得：k＝3，则k的值为3．故答案为：3．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．16．（3分）如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于70度．【分析】连接OA、OB，先由切线的性质得∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，再由四边形的内角和为360°，得出∠AOB+∠APB＝180°，然后利用同弧所对的圆周角和圆心角的关系，得出∠AOB＝110°，从而求得答案．【解答】解：如图，连接OA、OB，∵P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，∵∠AOB+∠OAP+∠OBP+∠APB＝360°，∴∠AOB+90°+90°+∠APB＝360°，∴∠AOB+∠APB＝180°，∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝110°，∴∠APB＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70．【点评】本题考查了圆的切线的性质、四边形的内角和及同弧所对的圆周角和圆心角的关系，属于基础知识的考查，难度不大．17．（3分）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是（15+15）米（结果保留根号）．【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△BEC、△ABE，进而可解即可求出答案．【解答】解：过点B作BE⊥AB于点E，在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．故教学楼AC的高度是AC＝15米．答：教学楼AC的高度是（15）米．【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣4），AC＝3AD，点A在反比例函数y＝图象上，且y轴平分∠ACB，则k＝．【分析】作AE⊥y轴于E，如图，由于OD∥AE，利用平行线分线段成比例定理得＝＝，所以OD＝AE，CE＝6，设A（t，2），则OD＝t，再证明△CBD为等腰三角形得到OB＝OD＝t，则B（﹣t，0），接着利用勾股定理得到AB2+BC2＝AC2，即（t+t）2+22+（t）2+42＝t2+62，解方程求出t得A（，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求k的值．【解答】解：作AE⊥y轴于E，如图，∵C（0，﹣4），∴OC＝4，∵OD∥AE，∴＝＝，而AC＝3AD，即CD：CA＝2：3，∴＝＝，∴OD＝AE，CE＝6，∴OE＝2，设A（t，2），则OD＝t，∵OC平分∠ACB，OC⊥BD，∴△CBD为等腰三角形，∴OB＝OD＝t，∴B（﹣t，0），∵∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2，∴（t+t）2+22+（t）2+42＝t2+62，解得t＝，∴A（，2），把A（，2）代入y＝得k＝A×2＝．故答案为．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了勾股定理．三、解答题（本大题共10小题，共96分）19．（8分）（1）计算：；（2）先化简，再求值：（2﹣x）（x+2）+x（x﹣1），其中x＝﹣1．【分析】（1）直接利用零指数幂的性质和负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案；（2）直接利用整式的混合运算法则分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣1+2×+4＝﹣1++4＝2+3；（2）（2﹣x）（x+2）+x（x﹣1）＝4﹣x2+x2﹣x＝4﹣x当x＝﹣1时，原式＝4+1＝5．【点评】此题主要考查了实数运算以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．20．（8分）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．【分析】分别计算出两个不等式的解集，根据大小小大中间找确定不等式组的解集，再找出解集范围内的非负整数即可．【解答】解：，由①得：x≥﹣1；由②得x＜3．∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3，∴非负整数解为：0，1，2．【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解决此类问题的关键在于正确求得不等式组的解集，再根据得到的条件确定不等式组的特殊解．21．（8分）某校为了了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行调查（每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器），现将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．（1）这次共抽取200名学生进行调查，扇形统计图中的x＝15%；（2）请补全统计图；（3）在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是36度；（4）若该校有3000名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有900名．【分析】（1）依据喜爱古筝的人数数据，即可得到调查的学生人数，根据喜欢竹笛的学生数占总人数的百分比即可得到结论；（2）求二胡的学生数，即可将条形统计图补充完整；（3）依据“扬琴”的百分比，即可得到“扬琴”所占圆心角的度数；（4）依据喜爱“二胡”的学生所占的百分比，即可得到该校最喜爱“二胡”的学生数量．【解答】解：（1）80÷40%＝200，x＝×100%＝15%，故答案为：200；15%；（2）喜欢二胡的学生数为200﹣80﹣30﹣20﹣10＝60，补全统计图如图所示，（3）扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是：360°×＝36°，故答案为：36；（4）3000×＝900，答：该校喜爱“二胡”的学生约有有900名．故答案为：900．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答．22．（8分）某校举行趣味运动会共有三个项目：A．“协力竞走”、B．“快乐接力”、C．“摸石过河”．小明和小刚参与了该运动会的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．（1）小明被分配到A．“协力竞走”项目组的概率为；（2）列表或画树状图求小明和小刚被分配到同一项目组的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出小明和小刚被分配到同一项目组的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）∵共有三个项目，分别是：A．“协力竞走”、B．“快乐接力”、C．“摸石过河”，∴小明被分配到A．“协力竞走”项目组的概率为；故答案为：；（2）根据题意画图如下：共有9种等情况数，其中小明和小刚被分配到同一项目组的有3种，则P（同一项目组）＝＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．（8分）端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子．节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个．这种粽子的标价是多少？【分析】设这种粽子的标价是x元/个，则节后的价格是0.6x元/个，根据数量＝总价÷单价结合两次一共购买了27个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设这种粽子的标价是x元/个，则节后的价格是0.6x元/个，依题意，得：+＝27，解得：x＝8，经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意．答：这种粽子的标价是8元/个．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．24．（10分）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB＝90°，AB＝4，求四边形BEFD的周长．【分析】（1）根据三角形的中位线的性质得到DF∥BC，EF∥AB，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）根据直角三角形的性质得到DF＝DB＝DA＝AB＝2，推出四边形BEFD是菱形，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴DF，EF分别是△ABC的中位线，∴DF∥BC，EF∥AB，∴DF∥BE，EF∥BD，∴四边形BEFD是平行四边形；（2）解：∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝4，∴DF＝DB＝DA＝AB＝2，∵四边形BEFD是平行四边形，∴四边形BEFD是菱形，∵DB＝2，∴四边形BEFD的周长为8．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，直角三角形的斜边中线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．25．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，＝，DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：CD平分∠ACE；（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若CE＝2，AC＝8，求阴影部分的面积．【分析】（1）根据圆周角定理，由＝，得到∠BAD＝∠ACD，再根据圆内接四边形的性质得∠DCE＝∠BAD，所以∠ACD＝∠DCE；（2）连结OD，如图，利用内错角相等证明OD∥BC，而DE⊥BC，则OD⊥DE，于是根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线；（3）作OH⊥BC于H，易得四边形ODEH为矩形，所以OD＝EH＝4，则CH＝HE﹣CE ＝2，于是有∠HOC＝30°，得到∠COD＝60°，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积＝S扇形OCD﹣S△OCD进行计算．【解答】（1）证明：∵＝，∴∠BAD＝∠ACD，∵∠DCE＝∠BAD，∴∠ACD＝∠DCE，即CD平分∠ACE；（2）解：直线ED与⊙O相切．理由如下：连结OD，如图，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，而∠OCD＝∠DCE，∴∠DCE＝∠ODC，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线；（3）解：作OH⊥BC于H，则四边形ODEH为矩形，∴OD＝EH，∵CE＝2，AC＝8，∴OC＝OD＝4，∴CH＝HE﹣CE＝4﹣2＝2，在Rt△OHC中，∠HOC＝30°，∴∠COD＝60°，∴阴影部分的面积＝S扇形OCD﹣S△OCD＝﹣×42＝π﹣4．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形的计算．26．（10分）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝6，求邻余线AB的长．【分析】（1）由等腰三角形的“三线合一“性质可得AD⊥BC，则可得∠DAB与∠DBA 互余，即∠F AB与∠EBA互余，从而可得答案；（2）画出图形即可．（3）先由等腰三角形的“三线合一“性质可得BD＝CD、DM＝ME，再判定△DBQ∽△ECN，从而列出比例式，将已知线段的长代入即可得解．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠F AB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝2BE，∴BD＝CD＝3BE，∴CE＝CD+DE＝5BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴＝＝，∵QB＝6，∴NC＝10，∵AN＝CN，∴AC＝2CN＝20，∴AB＝AC＝20．【点评】本题考查了四边形的新定义，综合考查了等腰三角形的“三线合一“性质、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂定义并明确相关性质及定理是解题的关键．27．（12分）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P 与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P＝（0＜t≤8）的图象与线段AB 的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q＝（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数表达式；（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）①求w关于t的函数表达式；②未来两年内，当月销售量P为23时，月毛利润为w达到最大．【分析】（1）设8＜t≤24时，P＝kt+b，将A（8，10）、B（24，26）代入求解可得P＝t+2；（2）直接利用每件利润×总销量＝总利润，进而得出代数式求出即可．【解答】解：（1）设8＜t≤24时，P＝kt+b，将A（8，10）、B（24，26）代入，得：，解得：，∴当8＜t≤24时，求P关于t的函数解析式为：P＝t+2；（2）①当0＜t≤8时，w＝（2t+8）×＝240；当8＜t≤12时，w＝（2t+8）（t+2）＝2t2+12t+16；当12＜t≤24时，w＝（﹣t+44）（t+2）＝﹣t2+42t+88；综上所述，w关于t的函数解析式为：w＝，②当0＜t≤8时，w＝240；当8＜t≤12时，w＝2t2+12t+16＝2（t+3）2﹣2，∴8＜t≤12时，w随t的增大而增大，当t＝12时，w取得最大值，最大值为448，当12＜t≤24时，w＝﹣t2+42t+88＝﹣（t﹣21）2+529，当t＝21时，w取得最大值529，∵529＞448＞240∴t＝21时，w取得最大值此时P＝t+2＝23．故答案为：23．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．28．（14分）我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN，分别交x轴和y轴于点M，N．点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标，有序实数对（x，y）称为点P的斜坐标，记为P（x，y）．（1）如图2，ω＝45°，矩形OABC中的一边OA在x轴上，BC与y轴交于点D，OA ＝2，OC＝1．①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A（2，0），B（1，），C（﹣1，）．②设点P（x，y）在经过O、B两点的直线上，则y与x之间满足的关系为y＝x．③设点Q（x，y）在经过A、D两点的直线上，则y与x之间满足的关系为y＝﹣x+．（2）若ω＝120°，O为坐标原点．①如图3，圆M与y轴相切原点O，被x轴截得的弦长OA＝，求圆M的半径及圆心M的斜坐标．②如图4，圆M的圆心斜坐标为M（2，2），若圆上恰有两个点到y轴的距离为1，则圆M的半径r的取值范围是2＜r＜4．【分析】（1）①如图2﹣1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x轴于F．求出OE、OF、CF、OD、BE即可解决问题；②如图2﹣2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；。
2020年中考数学一模试卷(带答案)
2020年中考数学一模试卷(带答案)一、选择题1．在数轴上，与表示6的点距离最近的整数点所表示的数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．42．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，则cosB 的值为（ ） A ．15 B ．14C ．15 D ．4173．如图，在菱形ABCD 中，E 是AC 的中点，EF ∥CB ，交AB 于点F ，如果EF=3，那么菱形ABCD 的周长为（ ）A ．24B ．18C ．12D ．94．定义一种新运算：1an nnbn xdx a b -⋅=-⎰，例如：222khxdx k h ⋅=-⎰，若m252mx dx --=-⎰，则m =（ ）A ．-2B ．25-C ．2D ．255．下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表： 分数/分 70 80 90100 人数/人13x1已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则测验成绩的众数是（ ） A ．80分 B ．85分C ．90分D ．80分和90分6．已知11(1)11A x x ÷+=-+，则A ＝( ) A ．21x x x -+ B ．21x x - C ．211x - D ．x 2﹣17．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A ．只有乙B ．甲和丁C ．乙和丙D ．乙和丁8．下列图形是轴对称图形的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A 的边长为6cm 、B 的边长为5cm 、C 的边长为5cm ，则正方形D 的边长为（ ）A ．14cmB ．4cmC ．15cmD ．3cm10．已知直线//m n ，将一块含30°角的直角三角板ABC 按如图方式放置（30ABC ∠=︒），其中A ，B 两点分别落在直线m ，n 上，若140∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30°D ．40︒11．如图，AB 为⊙O 直径，已知为∠DCB=20°，则∠DBA 为（ ）A ．50°B ．20°C ．60°D ．70°12．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ∥BC ，分别交AB ，CD 于E 、F ，连接PB 、PD ．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（ ）A．10B．12C．16D．18二、填空题13．如图，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF，若6°＜∠BAE ＜15°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为_____．14．如果a是不为1的有理数,我们把11a-称为a的差倒数如：2的差倒数是1112=--,-1的差倒数是111(1)2=--，已知14a=，2a是1a的差倒数，3a是2a的差倒数，4a是3a的差倒数，…，依此类推,则2019a=___________．15．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过菱形OACD的顶点D和边AC的中点E，若菱形OACD的边长为3，则k的值为_____．17．如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF－S△BEF=_________．18．农科院新培育出A、B两种新麦种，为了了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：种子数量10020050010002000A出芽种子数961654919841965发芽率0.960.830.980.980.98B出芽种子数961924869771946发芽率0.960.960.970.980.97下面有三个推断：①当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率均为0.96，所以他们发芽的概率一样；②随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.98附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.98；③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子．其中合理的是__________（只填序号）．19．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是．20．二元一次方程组627x yx y+=⎧⎨+=⎩的解为_____．三、解答题21．某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？22．某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？23．如图1，已知二次函数y=ax2+32x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+32x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．24．已知：如图，点E，A，C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：BC=ED．25．如图，在平面直角坐标系中，小正方形格子的边长为1，Rt△ABC三个顶点都在格点上，请解答下列问题：(1)写出A，C两点的坐标；(2)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；(3)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出点C旋转至C2经过的路径长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】的大小，即可得到结果． 【详解】46 6.25<<Q ，2 2.5∴<<，的点距离最近的整数点所表示的数是2， 故选：B ． 【点睛】此题考查了实数与数轴，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．2．A解析：A 【解析】∵在Rt △ABC 中,∠C =90°，AB =4，AC =1，∴BC ，则cos B =BC AB ， 故选A3．A解析：A 【解析】【分析】易得BC 长为EF 长的2倍，那么菱形ABCD 的周长=4BC 问题得解． 【详解】∵E 是AC 中点， ∵EF ∥BC ，交AB 于点F ， ∴EF 是△ABC 的中位线， ∴BC=2EF=2×3=6， ∴菱形ABCD 的周长是4×6=24， 故选A ．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.4．B解析：B 【解析】根据新定义运算得到一个分式方程，求解即可. 【详解】 根据题意得，5211m11(5)25m x dx m m m m---⎰-=-=-=-， 则25m =-， 经检验，25m =-是方程的解， 故选B. 【点睛】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．5．D解析：D 【解析】 【分析】先通过加权平均数求出x 的值，再根据众数的定义就可以求解． 【详解】解：根据题意得：70+80×3+90x+100=85（1+3+x+1）， x=3∴该组数据的众数是80分或90分． 故选D ． 【点睛】本题考查了加权平均数的计算和列方程解决问题的能力，解题的关键是利用加权平均数列出方程．通过列方程求出x 是解答问题的关键．6．B解析：B 【解析】 【分析】 由题意可知A=111)11x x ++-（，再将括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再用分式的乘法法则计算即可得到结果． 【详解】 解：A=11111x x ++-=111xx x +-g =21x x -故选B. 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解析：D【解析】【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．【详解】∵22211x x x x x -÷--=2221·1x x x x x ---=() 2212·1xx xx x----=()()221·1x x xx x----=()2xx --=2xx-，∴出现错误是在乙和丁，故选D．【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键.8．C解析：C【解析】试题分析：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．解：图（1）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；图（2）不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；图（3）有二条对称轴，是轴对称图形，符合题意；图（3）有五条对称轴，是轴对称图形，符合题意；图（3）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意．故轴对称图形有4个．故选C．考点：轴对称图形．9．A解析：A【解析】运用直角三角形的勾股定理，设正方形D的边长为x，则22222(65)(5)10x+++=，x=（负值已舍），故选A解析：B【解析】【分析】根据平行线的性质判断即可得出结论.【详解】解：Q直线//m n，21180ABC BAC∴∠+∠∠+∠=+︒，30ABC=︒∠Q，90BAC∠=︒，140∠=︒，218030904020∴∠=---︒︒=︒︒︒，故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.11．D解析：D【解析】题解析：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=90°-∠DCB=90°-20°=70°，∴∠DBA=∠ACD=70°．故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．12．C解析：C【解析】【分析】首先根据矩形的特点，可以得到S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN，最终得到S矩形EBNP= S矩形MPFD ,即可得S△PEB=S△PFD，从而得到阴影的面积．【详解】作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN∴S矩形EBNP= S矩形MPFD ,又∵S△PBE=12S矩形EBNP，S△PFD=12S矩形MPFD，∴S△DFP=S△PBE=12×2×8=8，∴S阴=8+8=16，故选C．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．二、填空题13．36°或37°【解析】分析：先过E作EG∥AB根据平行线的性质可得∠AEF=∠BA E+∠DFE再设∠CEF=x则∠AEC=2x根据6°＜∠BAE＜15°即可得到6°＜3x-60°＜15°解得22°＜解析：36°或37°．【解析】分析：先过E作EG∥AB，根据平行线的性质可得∠AEF=∠BAE+∠DFE，再设∠CEF=x，则∠AEC=2x，根据6°＜∠BAE＜15°，即可得到6°＜3x-60°＜15°，解得22°＜x ＜25°，进而得到∠C的度数．详解：如图，过E作EG∥AB，∵AB∥CD，∴GE∥CD，∴∠BAE=∠AEG，∠DFE=∠GEF，∴∠AEF=∠BAE+∠DFE，设∠CEF=x，则∠AEC=2x，∴x+2x=∠BAE+60°，∴∠BAE=3x-60°，又∵6°＜∠BAE＜15°，∴6°＜3x-60°＜15°，解得22°＜x＜25°，又∵∠DFE是△CEF的外角，∠C的度数为整数，∴∠C=60°-23°=37°或∠C=60°-24°=36°，故答案为：36°或37°．点睛：本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作平行线，解题时注意：两直线平行，内错角相等．14．【解析】【分析】利用规定的运算方法分别算得a1a2a3a4…找出运算结果的循环规律利用规律解决问题【详解】∵a1=4a2=a3=a4=…数列以4−三个数依次不断循环∵2019÷3=673∴a2019 解析：34. 【解析】【分析】 利用规定的运算方法，分别算得a 1，a 2，a 3，a 4…找出运算结果的循环规律，利用规律解决问题.【详解】∵a 1=4a 2=11111143a ==---， a 3=211311413a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭=---， a 4=31143114a ==--， …数列以4,−1334，三个数依次不断循环， ∵2019÷3=673， ∴a 2019=a 3=34， 故答案为：34. 【点睛】此题考查规律型：数字的变化类，倒数，解题关键在于掌握运算法则找到规律.15．2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m 的方程通过解关于m 的方程求得m 的值即可【详解】∵关于x 的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0∴m2﹣2m=解析：2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m 的方程，通过解关于m 的方程求得m 的值即可．【详解】∵关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2﹣2m=0有一个根为0，∴m 2﹣2m=0且m≠0，解得，m=2，故答案是：2．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．16．【解析】【分析】过D作DQ⊥x轴于Q过C作CM⊥x轴于M过E作EF⊥x 轴于F设D点的坐标为（ab）求出CE的坐标代入函数解析式求出a再根据勾股定理求出b即可请求出答案【详解】如图过D作DQ⊥x轴于Q解析：25【解析】【分析】过D作DQ⊥x轴于Q，过C作CM⊥x轴于M，过E作EF⊥x轴于F，设D点的坐标为（a，b），求出C、E的坐标，代入函数解析式，求出a，再根据勾股定理求出b，即可请求出答案．【详解】如图，过D作DQ⊥x轴于Q，过C作CM⊥x轴于M，过E作EF⊥x轴于F，设D点的坐标为（a，b），则C点的坐标为（a+3，b），∵E为AC的中点，∴EF=12CM=12b，AF=12AM=12OQ=12a，E点的坐标为（3+12a，12b），把D、E的坐标代入y=kx得：k=ab=（3+12a）12b，解得：a=2，在Rt△DQO中，由勾股定理得：a2+b2=32，即22+b2=9，解得：5∴5故答案为5【点睛】本题考查了勾股定理、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质等，得出关于a、b的方程是解此题的关键．17．2【解析】由D是AC的中点且S△ABC=12可得；同理EC=2BE即EC=可得又等量代换可知S△ADF－S△BEF=2解析：2【解析】由D是AC的中点且S△ABC=12，可得1112622ABD ABCS S∆∆==⨯=；同理EC=2BE即EC=13BC，可得11243ABES∆=⨯=，又,ABE ABF BEF ABD ABF ADFS S S S S S∆∆∆∆∆∆-=-=等量代换可知S△ADF－S△BEF=218．②③【解析】分析：根据随机事件发生的频率与概率的关系进行分析解答即可详解：（1）由表中的数据可知当实验种子数量为100时两种种子的发芽率虽然都是96但结合后续实验数据可知此时的发芽率并不稳定故不能确解析：②③【解析】分析：根据随机事件发生的“频率”与“概率”的关系进行分析解答即可.详解：（1）由表中的数据可知，当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率虽然都是96%，但结合后续实验数据可知，此时的发芽率并不稳定，故不能确定两种种子发芽的概率就是96%，所以①中的说法不合理；（2）由表中数据可知，随着实验次数的增加，A种种子发芽的频率逐渐稳定在98%左右，故可以估计A种种子发芽的概率是98%，所以②中的说法是合理的；（3）由表中数据可知，随着实验次数的增加，A种种子发芽的频率逐渐稳定在98%左右，而B种种子发芽的频率稳定在97%左右，故可以估计在相同条件下，A种种子发芽率大于B种种子发芽率，所以③中的说法是合理的.故答案为：②③.点睛：理解“随机事件发生的频率与概率之间的关系”是正确解答本题的关键. 19．110°或70°【解析】试题分析：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角解析：110°或70°．【解析】试题分析：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣20°=70°．故答案为110°或70°．考点：1．等腰三角形的性质；2．分类讨论．20．【解析】【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解【详解】②﹣①得③将③代入①得∴故答案为：【点睛】本题考查的是二元一次方程组的基本解法本题属于基础题比较简单解析：15x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解．【详解】627x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， ②﹣①得1x =③将③代入①得5y =∴15x y =⎧⎨=⎩故答案为：15x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的基本解法，本题属于基础题，比较简单．三、解答题21．（1）6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．（2）5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大．（3）4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．【解析】分析：（1）找出当x=6时，y 1、y 2的值，二者作差即可得出结论；（2）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出y 1、y 2关于x 的函数关系式，二者作差后利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）求出当x=4时，y 1﹣y 2的值，设4月份的销售量为t 万千克，则5月份的销售量为（t+2）万千克，根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于t 的一元一次方程，解之即可得出结论．详解：（1）当x=6时，y 1=3，y 2=1，∵y 1﹣y 2=3﹣1=2，∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．（2）设y 1=mx+n ，y 2=a （x ﹣6）2+1．将（3，5）、（6，3）代入y 1=mx+n ，3563m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：237m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y1=﹣23x+7；将（3，4）代入y2=a（x﹣6）2+1，4=a（3﹣6）2+1，解得：a=13，∴y2=13（x﹣6）2+1=13x2﹣4x+13．∴y1﹣y2=﹣23x+7﹣（13x2﹣4x+13）=﹣13x2+103x﹣6=﹣13（x﹣5）2+73．∵﹣13＜0，∴当x=5时，y1﹣y2取最大值，最大值为73，即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大．（3）当t=4时，y1﹣y2=﹣13x2+103x﹣6=2．设4月份的销售量为t万千克，则5月份的销售量为（t+2）万千克，根据题意得：2t+73（t+2）=22，解得：t=4，∴t+2=6．答：4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．点睛：本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）观察函数图象，找出当x=6时y1﹣y2的值；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出y1、y2关于x的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．22．银杏树的单价为120元，则玉兰树的单价为180元．【解析】试题分析：根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．试题解析：解：设银杏树的单价为x元，则玉兰树的单价为1.5x元，根据题意得：1200090001501.5x x+=解得：x=120，经检验x=120是原分式方程的解，∴1.5x=180．答：银杏树的单价为120元，则玉兰树的单价为180元．23．（1）y=﹣14x2+32x+4；（2）△ABC是直角三角形．理由见解析；（3）点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣0）、（3，0）、（0）．（4）当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．【解析】【分析】（1）由点A、C的坐标利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）令二次函数解析式中y=0，求出点B的坐标，再由两点间的距离公式求出线段AB、AC、BC的长度，由三者满足AB2+AC2=BC2即可得出△ABC为直角三角形；（3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一点，即可求得点N的坐标；（4）设点N的坐标为（n，0）（-2<n<8），通过分割图形法求面积，再根据相似三角形面积间的关系以及三角形的面积公式即可得出S△AMN关于n的二次函数关系式，根据二次函数的性质即可解决最值问题．【详解】（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），∴，解得．∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形．令y=0，则﹣x2+x+4=0，解得x1=8，x2=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），由已知可得，在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，又∵BC=OB+OC=2+8=10，∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形．（3）∵A（0，4），C（8，0），∴AC==4，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．（4）如图，设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，∴MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，∴=，∵MN∥AC∴=，∴=，∵OA=4，BC=10，BN=n+2∴MD=（n+2），∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN=BN•OA﹣BN•MD=（n+2）×4﹣×（n+2）2=﹣（n﹣3）2+5，当n=3时，△AMN面积最大是5，∴N点坐标为（3，0）．∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，熟练掌握二次函数的知识点是本题解题的关键. 24．见解析【解析】【分析】首先由AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAC=∠ECD，再由条件AB=CE，AC=CD可证出△BAC和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等证出CB=ED.【详解】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ECD，∵在△BAC和△ECD中，AB=EC，∠BAC=∠ECD ，AC=CD，∴△BAC≌△ECD（SAS）.∴CB=ED.【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质.25．(1)A点坐标为(﹣4，1)，C点坐标为(﹣1，1)；(2)见解析；(3)10π．【解析】【分析】(1)利用第二象限点的坐标特征写出A，C两点的坐标；(2)利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；(3)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，然后描点得到△A2B2C2，再利用弧长公式计算点C旋转至C2经过的路径长．【详解】解：(1)A点坐标为(﹣4，1)，C点坐标为(﹣1，1)；(2)如图，△A1B1C1为所作；(3)如图，△A2B2C2为所作，OC2213+10，点C旋转至C29010π⋅⋅10π．【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了弧长公式．。
山东省济宁市兖州区2020年中考数学一模试卷(含解析)
2020年中考数学一模试卷一、选择题1．的倒数是（）A．﹣B．﹣C．D．2．已知代数式﹣3a m﹣1b6和ab2n是同类项，则m﹣n的值是（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．03．近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．医学研究发现某病毒直径约为0.000043毫米，这个数用科学记数法表示为（）A．0.43×104B．4.3×10﹣5C．0.43×10﹣4D．0.43×105 5．如图所示，正三棱柱的左视图（）A．B．C．D．6．若有意义，则x的取值范围是（）A．x≥2B．x≥﹣2C．x＞2D．x＞﹣27．下列计算正确的是（）A．（a2）3＝a5B．（﹣2a）2＝﹣4a2C．m3m2＝m6D．5﹣2＝8．三名初三学生坐在仅有的三个座位上，起身后重新就坐，恰好有两名同学没有坐回原座位的概率为（）A．B．C．D．9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．2πC．4D．4π10．如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）A．B．2C．D．2二、填空题：本大题共5道小题，每小题3分，满分共15分，要求只写出最后结果. 11．若a＝b+2，则代数式a2﹣2ab+b2的值为．12．写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点（1，1）；②在第一象限内函数y 随自变量x的增大而减少，则这个函数的表达式为．13．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y 尺，可列方程组为．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若∠A＝30°，则＝．15．设△ABC的面积为1．如图1，分别将AC，BC边2等分，D1，E1是其分点，连接AE1，BD1交于点F1，得到四边形CD1F1E1，其面积S1＝．如图2，分别将AC，BC边3等分，D1，D2，E1，E2是其分点，连接AE2，BD2交于点F2，得到四边形CD2F2E2，其面积S2＝；如图3，分别将AC，BC边4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分点，连接AE3，BD3交于点F3，得到四边形CD3F3E3，其面积S3＝；…按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CD n F n E n，其面积S n＝．三、解答题：本大题共7道小题，满分共55分，解答应写出文字说明和推理步骤.16．解方程：＝1﹣．17．某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.15.25.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.24.4 4.2 4.35.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.14.2 4.4 4.5 4.1 4.55.1 4.4 5.0 5.2 5.3根据数据绘制了如下的表格和统计图：等级视力（x）频数频率A x＜4.240.1B 4.2≤x≤4.4120.3C 4.5≤x≤4.7aD 4.8≤x≤5.0bE 5.1≤x≤5.3100.25合计401根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）统计表中的a＝，b＝；（2）请补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E级”的有多少人？（4）该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．18．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）506080周销售量y（件）1008040周销售利润w（元）100016001600注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②该商品进价是元/件；当售价是元/件时，周销售利润最大，最大利润是元．（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．19．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．（1）求证：OP∥BC；（2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O 的直径．20．综合实践问题情境在综合实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图（1），将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＝60°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD操作发现（1）将图（1）中的△ABC以A为旋转中心，顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°）得到如图（2）所示△ABC′，分别延长BC′和DC交于点E，发现CE＝C′E．请你证明这个结论．（2）在问题（1）的基础上，当旋转角α等于多少度时，四边形ACEC′是菱形？请你利用图（3）说明理由．拓展探究（3）在满足问题（2）的基础上，过点C′作C′F⊥AC，与DC交于点F．试判断AD、DF与AC的数量关系，并说明理由．21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P 是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．22．定义：点P（a，b）关于原点的对称点为P'，以PP'为边作等边△PP'C，则称点C为P 的“等边对称点”；（1）若P（1，），求点P的“等边对称点”的坐标．（2）若P点是双曲线y＝（x＞0）上一动点，当点P的“等边对称点”点C在第四象限时，①如图（1），请问点C是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由．②如图（2），已知点A（1，2），B（2，1），点G是线段AB上的动点，点F在y轴上，若以A、G、F、C这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点C的纵坐标y c的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共10道小题，每小题3分，共30分每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．的倒数是（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】根据倒数的定义求解即可．解：的倒数是，故选：D．2．已知代数式﹣3a m﹣1b6和ab2n是同类项，则m﹣n的值是（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．0【分析】由同类项的定义可先求得m和n的值，从而求出代数式的值．解：∵代数式﹣3a m﹣1b6和ab2n是同类项，∴m﹣1＝1，2n＝6，∴m＝2，n＝3，∴m﹣n＝2﹣3＝﹣1，故选：A．3．近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据中心对称图形的概念求解．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．4．医学研究发现某病毒直径约为0.000043毫米，这个数用科学记数法表示为（）A．0.43×104B．4.3×10﹣5C．0.43×10﹣4D．0.43×105【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.000043＝4.3×10﹣5，故选：B．5．如图所示，正三棱柱的左视图（）A．B．C．D．【分析】根据简单几何体的三视图，可得答案．解：主视图是一个矩形，俯视图是两个矩形，左视图是正三角形，故选：A．6．若有意义，则x的取值范围是（）A．x≥2B．x≥﹣2C．x＞2D．x＞﹣2【分析】二次根式有意义，被开方数是非负数．解：依题意，得x﹣2≥0，解得，x≥2．故选：A．7．下列计算正确的是（）A．（a2）3＝a5B．（﹣2a）2＝﹣4a2C．m3m2＝m6D．5﹣2＝【分析】先根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法、负整数指数幂分别求出每个式子的值，再判断即可．解：A、结果是a6，故本选项不符合题意；B、结果是4a2，故本选项不符合题意；C、结果是m5，故本选项不符合题意；D、结果是，故本选项符合题意；故选：D．8．三名初三学生坐在仅有的三个座位上，起身后重新就坐，恰好有两名同学没有坐回原座位的概率为（）A．B．C．D．【分析】画树状图为（用A、B、C表示三位同学，用a、b、c表示他们原来的座位）展示所有6种等可能的结果数，再找出恰好有两名同学没有坐回原座位的结果数，然后根据概率公式求解．解：画树状图为：（用A、B、C表示三位同学，用a、b、c表示他们原来的座位）共有6种等可能的结果数，其中恰好有两名同学没有坐回原座位的结果数为3，所以恰好有两名同学没有坐回原座位的概率＝＝．故选：D．9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．2πC．4D．4π【分析】根据阴影部分的面积是（扇形CBB'的面积﹣△CA'B'的面积）+（△ABC的面积﹣扇形CAA'的面积），代入数值解答即可．解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴BC＝，∠ACB＝∠A'CB'＝45°，∴阴影部分的面积＝＝2π，故选：B．10．如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）A．B．2C．D．2【分析】通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD＝，应用两次勾股定理分别求BE和a．解：过点D作DE⊥BC于点E由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm2．∴AD＝a∴∴DE＝2当点F从D到B时，用s∴BD＝Rt△DBE中，BE＝＝＝1∵ABCD是菱形∴EC＝a﹣1，DC＝aRt△DEC中，a2＝22+（a﹣1）2解得a＝故选：C．二、填空题：本大题共5道小题，每小题3分，满分共15分，要求只写出最后结果. 11．若a＝b+2，则代数式a2﹣2ab+b2的值为4．【分析】由a＝b+2，可得a﹣b＝2，代入所求代数式即可．解：∵a＝b+2，∴a﹣b＝2，∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝22＝4．故答案为：412．写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点（1，1）；②在第一象限内函数y 随自变量x的增大而减少，则这个函数的表达式为y＝等．【分析】根据反比例函数、一次函数以及二次函数的性质作答．解：该题答案不唯一，可以为y＝等．故答案是：y＝．13．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为．【分析】用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺可知：绳子比木条长4.5尺得：y﹣x ＝4.5；绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：绳子对折后比木条短1尺得：；组成方程组即可．解：根据题意得：；故答案为：．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若∠A＝30°，则＝．【分析】利用基本作图得BD平分∠ABC，再计算出∠ABD＝∠CBD＝30°，所以DA＝DB，利用BD＝2CD得到AD＝2CD，然后根据三角形面积公式可得到的值．解：由作法得BD平分∠ABC，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∴DA＝DB，在Rt△BCD中，BD＝2CD，∴AD＝2CD，∴＝．故答案为．15．设△ABC的面积为1．如图1，分别将AC，BC边2等分，D1，E1是其分点，连接AE1，BD1交于点F1，得到四边形CD1F1E1，其面积S1＝．如图2，分别将AC，BC边3等分，D1，D2，E1，E2是其分点，连接AE2，BD2交于点F2，得到四边形CD2F2E2，其面积S2＝；如图3，分别将AC，BC边4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分点，连接AE3，BD3交于点F3，得到四边形CD3F3E3，其面积S3＝；…按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CD n F n E n，其面积S n＝．【分析】先连接D1E1，D2E2，D3E3，依据D1E1∥AB，D1E1＝AB，可得△CD1E1∽△CBA，且＝＝，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可得到S△CD1E1＝S△ABC＝，依据E1是BC的中点，即可得出S△D1E1F1＝S△BD1E1＝×＝，据此可得S1＝；运用相同的方法，依次可得S2＝，S2＝；根据所得规律，即可得出四边形CD n E n F n，其面积S n＝+×n×，最后化简即可．解：如图所示，连接D1E1，D2E2，D3E3，∵图1中，D1，E1是△ABC两边的中点，∴D1E1∥AB，D1E1＝AB，∴△CD1E1∽△CBA，且＝＝，∴S△CD1E1＝S△ABC＝，∵E1是BC的中点，∴S△BD1E1＝S△CD1E1＝，∴S△D1E1F1＝S△BD1E1＝×＝，∴S1＝S△CD1E1+S△D1E1F1＝+＝，同理可得：图2中，S2＝S△CD2E2+S△D2E2F2＝+＝，图3中，S3＝S△CD3E3+S△D3E3F3＝+＝，以此类推，将AC，BC边（n+1）等分，得到四边形CD n E n F n，其面积S n＝+×n×＝，故答案为：．三、解答题：本大题共7道小题，满分共55分，解答应写出文字说明和推理步骤.16．解方程：＝1﹣．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：2x＝x﹣2+1，移项合并得：x＝﹣1，经检验x＝﹣1是分式方程的解．17．某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.15.25.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.24.4 4.2 4.35.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.14.2 4.4 4.5 4.1 4.55.1 4.4 5.0 5.2 5.3根据数据绘制了如下的表格和统计图：等级视力（x）频数频率A x＜4.240.1B 4.2≤x≤4.4120.3C 4.5≤x≤4.7aD 4.8≤x≤5.0bE 5.1≤x≤5.3100.25合计401根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）统计表中的a＝8，b＝0.15；（2）请补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E级”的有多少人？（4）该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．【分析】（1）由所列数据得出a的值，继而求出C组对应的频率，再根据频率之和等于1求出b的值；（2）总人数乘以b的值求出D组对应的频数，从而补全图形；（3）利用样本估计总体思想求解可得；（4）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．解：（1）由题意知C等级的频数a＝8，则C组对应的频率为8÷40＝0.2，∴b＝1﹣（0.1+0.3+0.2+0.25）＝0.15，故答案为：8、0.15；（2）D组对应的频数为40×0.15＝6，补全图形如下：（3）估计该校八年级学生视力为“E级”的有400×0.25＝100（人）；（4）列表如下：男男女女男（男，男）（女，男）（女，男）男（男，男）（女，男）（女，男）女（男，女）（男，女）（女，女）女（男，女）（男，女）（女，女）得到所有等可能的情况有12种，其中恰好抽中一男一女的情况有8种，所以恰好选到1名男生和1名女生的概率＝．18．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）506080周销售量y（件）1008040周销售利润w（元）100016001600注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②该商品进价是40元/件；当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元．（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．【分析】（1）①依题意设y＝kx+b，解方程组即可得到结论；②该商品进价是50﹣1000÷100＝40，设每周获得利润w＝ax2+bx+c：解方程组即可得到结论；（2）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+200）＝﹣2x2+（280+2m）x﹣800﹣200m，把x＝65，w＝1400代入函数解析式，解方程即可得到结论．解：（1）①依题意设y＝kx+b，则有解得：所以y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+200；②该商品进价是50﹣1000÷100＝40，设每周获得利润w＝ax2+bx+c：则有，解得：，∴w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，∴当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；故答案为：40，70，1800；（2）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+200）＝﹣2x2+（280+2m）x﹣8000﹣200m ＝﹣2（x﹣）2+m2﹣60m+1800，∵m＞0，∴对称轴x＝＞70，∵﹣2＜0，∴抛物线的开口向下，∵x≤65，∴w随x的增大而增大，当x＝65时，w最大＝1400，即1400＝﹣2×652+（280+2m）×65﹣8000﹣200m，解得：m＝5．19．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．（1）求证：OP∥BC；（2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O 的直径．【分析】（1）由题意可知＝，根据同弧所对的圆心角相等得到∠AOP＝∠POC＝∠AOC，再根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系得出∠ABC＝∠AOC，利用同位角相等两直线平行，可得出PO与BC平行；（2）利用切线的性质得到OC垂直于CD，从而得到OC∥AD，即可得到∠APO＝∠COP，进一步得出∠APO＝∠AOP，确定出△AOP为等边三角形，根据平行线的性质得出∠OBC ＝∠AOP＝60°，从而得到△OBC为等边三角形，继而得出△POC为等边三角形，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB＝4PD＝4．【解答】（1）证明：∵A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．∴＝∴∠AOP＝∠COP，∴∠AOP＝∠AOC，又∵∠ABC＝∠AOC，∴∠AOP＝∠ABC，∴PO∥BC；（2）解：连接PC，∵CD为圆O的切线，∴OC⊥CD，又AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠APO＝∠COP，∵∠AOP＝∠COP，∴∠APO＝∠AOP，∴OA＝AP，∵OA＝OP，∴△APO为等边三角形，∴∠AOP＝60°，又∵OP∥BC，∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又OC＝OB，∴△BCO为等边三角形，∴∠COB＝60°，∴∠POC＝180°﹣（∠AOP+∠COB）＝60°，又OP＝OC，∴△POC也为等边三角形，∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC，又∵∠OCD＝90°，∴∠PCD＝30°，在Rt△PCD中，PD＝PC，又∵PC＝OP＝AB，∴PD＝AB，∴AB＝4PD＝4．20．综合实践问题情境在综合实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图（1），将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＝60°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD操作发现（1）将图（1）中的△ABC以A为旋转中心，顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°）得到如图（2）所示△ABC′，分别延长BC′和DC交于点E，发现CE＝C′E．请你证明这个结论．（2）在问题（1）的基础上，当旋转角α等于多少度时，四边形ACEC′是菱形？请你利用图（3）说明理由．拓展探究（3）在满足问题（2）的基础上，过点C′作C′F⊥AC，与DC交于点F．试判断AD、DF与AC的数量关系，并说明理由．【分析】（1）先判断出∠ACC′＝∠AC′C，进而判断出∠ECC′＝∠EC′C，即可得出结论；（2）判断出四边形AC′EC是平行四边形，即可得出结论；（3）先判断出HAC′是等边三角形，得出AH＝AC′，∠H＝60°，再判断出△HDF是等边三角形，即可得出结论．【解答】（1）证明：如图2，连接CC′，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACD＝∠AC′B＝30°，AC＝AC′，∴∠ACC′＝∠AC′C，∴∠ECC′＝∠EC′C，∴CE＝C′E；（2）当α＝30°时，四边形AC′EC是菱形，理由：∵∠DCA＝∠CAC′＝∠AC′B＝30°，∴CE∥AC′，AC∥C′E，∴四边形AC′EC是平行四边形，又∵CE＝C′E，∴四边形AC′EC是菱形；（3）AD+DF＝AC．理由：如图4，分别延长CF与AD交于点H，∵∠DAC＝∠C′AC＝30°，C′F⊥AC，∴∠AC′H＝∠DAC′＝60°，∴△HAC′是等边三角形，∴AH＝AC′，∠H＝60°，又∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠DCA＝30°，∴∠HDC＝∠DAC+∠DCA＝60°，∴△HDF是等边三角形，∴DH＝DF，∴AD+DF＝AD+DH＝AH．∵AC′＝AC，∴AC＝AD+DF．21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P 是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N （点M在点N的上方），且MN＝2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．【分析】（1）将点D、E的坐标代入函数表达式，即可求解；（2）S四边形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝×4×1+×PH×BO，即可求解；（3）过点M作A′M∥AN，过作点A′直线DE的对称点A″，连接PA″交直线DE于点M，此时，点Q运动的路径最短，即可求解．解：（1）将点D、E的坐标代入函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2，同理可得直线DE的表达式为：y＝x﹣1…①；（2）如图1，连接BF，过点P作PH∥y轴交BF于点H，将点FB代入一次函数表达式，同理可得直线BF的表达式为：y＝﹣x+1，设点P（x，﹣x2+x+2），则点H（x，﹣x+1），S四边形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝×4×1+×PH×BO＝2+2（﹣x2+x+2+x﹣1）＝7，解得：x＝2或，故点P（2，3）或（，）；（3）当点P在抛物线对称轴的右侧时，点P（2，3），过点M作A′M∥AN，过作点A′直线DE的对称点A″，连接PA″交直线DE于点M，此时，点Q运动的路径最短，∵MN＝2，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A′（1，2），A′A″⊥DE，则直线A′A″过点A′，则其表达式为：y＝﹣x+3…②，联立①②得x＝2，则A′A″中点坐标为（2，1），由中点坐标公式得：点A″（3，0），同理可得：直线A″P的表达式为：y＝﹣3x+9…③，联立①③并解得：x＝，即点M（，），点M沿ED向下平移2个单位得：N（，﹣）．22．定义：点P（a，b）关于原点的对称点为P'，以PP'为边作等边△PP'C，则称点C为P 的“等边对称点”；（1）若P（1，），求点P的“等边对称点”的坐标．（2）若P点是双曲线y＝（x＞0）上一动点，当点P的“等边对称点”点C在第四象限时，①如图（1），请问点C是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由．②如图（2），已知点A（1，2），B（2，1），点G是线段AB上的动点，点F在y轴上，若以A、G、F、C这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点C的纵坐标y c的取值范围．【分析】（1）P（1，）则P'（﹣1，﹣），可求PP'＝4；设C（m，n），有PC ＝P'C＝24，通过解方程可得m＝﹣3n，再进行运算即可；（2）①设P（c，）则P'（﹣c，﹣），可求PP'＝2；设C（s，t），有PC ＝P'C＝2，通过解方程可得s＝﹣，t＝c，令，消元c即可得xy＝﹣6；②当AG为平行四边形的边时，G与B重合时，为一临界点通过平移可求得C（1，﹣6），y c≤﹣6；当AG为平行四边形的对角线时，G与B重合时，求得C（3，﹣2），G与A重合时，C（2，﹣3），此时﹣3＜y c≤﹣2．解：（1）∵P（1，），∴P'（﹣1，﹣），∴PP'＝4，设C（m，n），∴等边△PP′C，∴PC＝P'C＝4，∴＝＝4，∴m＝﹣n，∴（﹣n﹣1）2+（n﹣）2＝16．解得n＝或﹣，∴m＝﹣3或m＝3．如图1，观察点C位于第四象限，则C（﹣3，）．即点P的“等边对称点”的坐标是（3，）．（2）①设P（c，），∴P'（﹣c，﹣），∴PP'＝2，设C（s，t），PC＝P'C＝2，∴＝＝2，∴s＝﹣，∴t2＝3c2，∴t＝c，∴C（﹣，c）或C（，﹣c），∴点C在第四象限，c＞0，∴C（，﹣c），令，∴xy＝﹣6，即y＝﹣（x＞0）；②当AG为平行四边形的边时，G与B重合时，为一临界点通过平移可求得C（1，﹣6），∴y c≤﹣6；当AG为平行四边形的对角线时，G与B重合时，求得C（3，﹣2），G与A重合时，C（2，﹣3），此时﹣3＜y c≤﹣2，综上所述：y c≤﹣6或﹣3＜y c≤﹣2．。
2020年浙江省杭州市下城区中考数学一模试卷 (解析版)
2020年杭州市下城区中考数学一模试卷一、选择题（共10小题）.1．最接近的整数是（）A．1B．2C．3D．42．下列计算结果是正数的是（）A．1﹣2B．﹣π+3C．（﹣3）×（﹣5）2D．|﹣|÷5 3．若点A（1﹣m，2）与点B（﹣1，n）关于y轴对称，则m+n＝（）A．2B．0C．﹣2D．﹣44．九年级1班30位同学的体育素质测试成绩统计如表所示，其中有两个数据被遮盖成绩24252627282930人数▄▄23679下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（）A．平均数，方差B．中位数，方差C．中位数，众数D．平均数，众数5．在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，tan A＝，则sin B＝（）A．B．C．D．6．若a＜0＜b，则（）A．1﹣a＜1﹣b B．a+1＜b﹣1C．a2＜b2D．a3＜a2b7．为促进消费，杭州市政府开展发放政府补贴消费的“消费券”活动，一超市的月销售额逐步增加．据统计，2月份销售额为200万元，4月份销售额为500万元．若3，4月平均每月的增长率为x，则（）A．200（1+x）＝500B．200（1+x）+200+（1+x）2＝500C．200（1+x）2＝500D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝5008．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，将△ABC绕点B逆时针旋转得△DBE，点E在AC 上，若ED＝3，EC＝1，则EB＝（）A．B．C．D．29．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，说法正确的是（）A．若图象经过点（0，1），则﹣＜a＜0B．若x＞﹣时，则y随x的增大而增大C．若（﹣2020，y1），（2020，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2D．若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则≤m＜2 10．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：①AD2+BC2＝4；②sin∠DAC＝；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．其中确的是（）A．①②③B．②③④C．③④D．②④二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分11．若有意义，则x的取值范围是．12．一枚质地均匀的骰子，每个面分别标有1，1，2，3，4，4，投掷后，朝上一面的数字是4的概率为．13．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AF分别交l1，l2，l3于点A，D，F，直线BE分别交l1，l2，l3于点B，C，E，两直线AF，BE相交于点O．若AD＝DF，OA＝OD，则＝．14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上的点，CD＝2，以CD为直径的⊙与AB相切于点E．若弧DE的长为π，则阴影部分的面积．（保留π）15．函数y＝（3﹣m）x+n（m，n为常数，m≠3），若2m+n＝1，当﹣1≤x≤3时，函数有最大值2，则n＝．16．如图，在矩形ABCD中，点E是边DC上一点，连结BE，将△BCE沿BE对折，点C 落在边AD上点F处，BE与对角线AC交于点M，连结FM．若FM∥CD，BC＝4．则AF＝三、解答题：本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．某校艺术节共开展了四项活动：器乐（A），舞蹈（B），绘画C），唱歌（D），每名学生只能参加一项活动．学校对学生所选的项目进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共有人；（2）补全条形统计图．（3）该校共有500名学生，请估计选择“绘画”的学生有多少人？18．解分式方程＝﹣2圆圆的解答如下：解：去分母，得1﹣x＝﹣1﹣2化简，得x＝4经检验，x＝4是原方程的解．∴原方程的解为x＝4．圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．19．如图，已知AC∥DF，点B在AC上，点E在DF上，连结AE，BD相交于点P，连结CE，BF相交于点Q，若AB＝EF，BC＝DE．（1）求证：四边形BPEQ为平行四边形；（2）若DP＝2BP，BF＝3，CE＝6．求证：四边形BPEQ为菱形．20．如图，已知一次函数y1＝ax+b（a≠0）与反比例函数y2＝（k＞0），两函数图象交于（4，1），（﹣2，n）两点．（1）求a，k的值；（2）若y2＞y1＞0，求x的取值范围．21．如图，在正方形ABCD中，点E在DC边上（不与点C，点D重合），点G在AB的延长线上，连结EG，交边BC于点F，且EG＝AG，连结AE，AF，设∠AED＝α，∠GFB＝β．（1）求α，β之间等量关系；（2）若△ADE≌△ABF，AB＝2，求BG的长．22．设一次函数y1＝x+a+b和二次函数y2＝x（x+a）+b．（1）若y1，y2的图象都经过点（﹣2，1），求这两个函数的表达式；（2）求证：y1，y2的图象必有交点；（3）若a＞0，y1，y2的图象交于点（x1，m），（x2，n）（x1＜x2），设（x3，n）为y2图象上一点（x3≠x2），求x3﹣x1的值．23．如图，等腰△ABC两腰AB，AC分别交⊙O于点D，E，点A在⊙O外，点B，C在⊙O上（不与D，E重合），连结BE，DE．已知∠A＝∠EBC，设＝k（0＜k＜1）．（1）若∠A＝50°，求的度数；（2）若k＝，求的值；（3）设△ABC，△ADE，△BEC的周长分别为c，c1，c2，求证：1＜≤．参考答案一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．最接近的整数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由＜＜，结合被开方数的距离大小即可判断．解：∵＜＜，∴2＜＜3，而被开方数7距离9更接近，∴最接近的整数是3，故选：C．2．下列计算结果是正数的是（）A．1﹣2B．﹣π+3C．（﹣3）×（﹣5）2D．|﹣|÷5【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．解：A、原式＝﹣1，不符合题意；B、原式＜0，不符合题意；C、原式＝﹣3×25＝﹣75，不符合题意；D、原式＝，符合题意．故选：D．3．若点A（1﹣m，2）与点B（﹣1，n）关于y轴对称，则m+n＝（）A．2B．0C．﹣2D．﹣4【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点可得m、n的值，进而可得m+n的值．解：∵点A（1﹣m，2）与点B（﹣1，n）关于y轴对称，∴1﹣m＝1，n＝2，解得：m＝0，n＝2，∴m+n＝2，故选：A．4．九年级1班30位同学的体育素质测试成绩统计如表所示，其中有两个数据被遮盖成绩24252627282930人数▄▄23679下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（）A．平均数，方差B．中位数，方差C．中位数，众数D．平均数，众数【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．解：这组数据中成绩为24、25的人数和为30﹣（2+3+6+7+9）＝3，则这组数据中出现次数最多的数29，即中位数29，第15、16个数据分别为29、29，则中位数为29，故选：C．5．在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，tan A＝，则sin B＝（）A．B．C．D．【分析】作出草图，根据∠A的正切值设出两直角边分别为k，2k，然后利用勾股定理求出斜边，则∠B的正弦值即可求出．解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，∴设AC＝2k，BC＝k，则AB＝＝k，∴sin B＝＝＝．故选：D．6．若a＜0＜b，则（）A．1﹣a＜1﹣b B．a+1＜b﹣1C．a2＜b2D．a3＜a2b【分析】根据不等式的性质即可求出答案．解：（A）∵a＜0＜b，∴﹣a＞﹣b，∴1﹣a＞1﹣b，故A错误．（B）当a＝﹣1，b＝1时，∴a+1＝0，b﹣1＝0，即a+1＝b﹣1，故B错误．（C）当a＝﹣3时，b＝1时，∴a2＝9，b2＝1，即a2＞b2，故C错误．（D）∵a＜0＜b，∴a2＞0，a﹣b＜0∴a3﹣a2b＝a2（a﹣b）＜0，故D正确．故选：D．7．为促进消费，杭州市政府开展发放政府补贴消费的“消费券”活动，一超市的月销售额逐步增加．据统计，2月份销售额为200万元，4月份销售额为500万元．若3，4月平均每月的增长率为x，则（）A．200（1+x）＝500B．200（1+x）+200+（1+x）2＝500C．200（1+x）2＝500D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝500【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设3，4月平均每月的增长率为x，根据“2月份销售额为200万元，4月份销售额为500万元”，可得出方程．解：设3，4月平均每月的增长率为x，又知：2月份销售额为200万元，4月份销售额为500万元，所以，可列方程为：200（1+x）2＝500；故选：C．8．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，将△ABC绕点B逆时针旋转得△DBE，点E在AC 上，若ED＝3，EC＝1，则EB＝（）A．B．C．D．2【分析】根据∠ABC＝∠BEC，∠C＝∠C，即可判定△ABC∽△BEC，再根据相似三角形的性质，即可得到BC的长，进而得到BE的长．解：由旋转可得，△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，DE＝AC＝3，∴∠C＝∠BEC，又∵∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝∠BEC，又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BEC，∴＝，即BC2＝CE×CA，∴BC＝＝，∴BE＝，故选：A．9．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，说法正确的是（）A．若图象经过点（0，1），则﹣＜a＜0B．若x＞﹣时，则y随x的增大而增大C．若（﹣2020，y1），（2020，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2D．若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则≤m＜2【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解：∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y 随x的增大而增大，∴a＜0，若图象经过点（0，1），则1＝a（0+1）（0﹣m），得1＝﹣am，∵a＜0，1＜m＜2，∴﹣1＜a＜﹣，故选项A错误；∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），a＜0，∴该函数的对称轴为直线x＝，∴0＜＜，∴当x＜时，y随x的增大而增大，故选项B错误；∴若（﹣2020，y1），（2020，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2，故选项C正确；∴若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则m＝，故选项D错误；故选：C．10．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：①AD2+BC2＝4；②sin∠DAC＝；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．其中确的是（）A．①②③B．②③④C．③④D．②④【分析】①错误．证明AC2+BC2＝AB2＝4即可判断．②正确．证明∠DAC＝∠CBP即可解决问题．③正确．推出△AOD是等边三角形，即可解决问题．④正确．利用全等三角形的性质证明DE＝BC，再利用三角形的中位线定理证明BC＝2OE即可解决问题．解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴AC2+BD2＝AB2＝4，∵AC＞AD，∴AD2+BC2＜4，故①错误，∵∠DAC＝∠CBD，∴sin∠DAC＝sin∠CBD＝，故②正确，∵AE⊥OE，∴＝，∵AC＝BD，∴＝，∴＝＝，∴∠AOD＝60°，∵OA＝OD，∴△OAD是等边三角形，∵AE⊥OD∴DE＝OE，故③正确，∵∠DEP＝∠BCP＝90°，DP＝PB，∠DPE＝∠BPC，∴△PDE≌△PBC（AAS），∴DE＝BC，∵OE∥BC，AO＝OB，∴AE＝EC，∴BC＝2OE，∴DE＝2OE，故④正确．故选：B．二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分11．若有意义，则x的取值范围是x≥﹣1．【分析】二次根式的被开方数x+1是非负数．解：根据题意，得x+1≥0，解得，x≥﹣1；故答案是：x≥﹣1．12．一枚质地均匀的骰子，每个面分别标有1，1，2，3，4，4，投掷后，朝上一面的数字是4的概率为．【分析】用数字是4的个数除以数字的总个数即可．解：∵一枚质地均匀的骰子，每个面分别标有1，1，2，3，4，4，数字是4的一共2个，∴投掷后，朝上一面的数字是4的概率为＝．故答案为：．13．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AF分别交l1，l2，l3于点A，D，F，直线BE分别交l1，l2，l3于点B，C，E，两直线AF，BE相交于点O．若AD＝DF，OA＝OD，则＝．【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．解：∵AD＝DF，OA＝OD，∴，∵l1∥l2∥l3，AD＝DF，OA＝OD，∴＝，故答案为．14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上的点，CD＝2，以CD为直径的⊙与AB相切于点E．若弧DE的长为π，则阴影部分的面积﹣．（保留π）【分析】首先由弧长公式求得∠EOD＝60°；然后利用△BEO的性质得到线段OB的长度，易得AC与BC的长度；最后根据S阴影＝S△ABC﹣S扇形OCE﹣S△OBE解答．解：如图，连接OE，∵以CD为直径的⊙与AB相切于点E，∴OE⊥BE．设∠EOD＝n°，∵OD＝CD＝1，弧DE的长为π，∴＝π．∴∠EOD＝60°．∴∠B＝30°，∠COE＝120°．∴OB＝2OE＝2，BE＝．∴BC＝OB+OC＝3．∴AC＝BC＝．∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形OCE﹣S△OBE＝××3﹣﹣×1×＝﹣．故答案是：﹣．15．函数y＝（3﹣m）x+n（m，n为常数，m≠3），若2m+n＝1，当﹣1≤x≤3时，函数有最大值2，则n＝﹣．【分析】需要分类讨论：3﹣m＞0和3﹣m＜0两种情况，结合一次函数图象的增减性解答．解：①当3﹣m＞0即m＜3时，当x＝3时，y＝3（3﹣m）+n＝2，整理，得3m﹣n＝7．联立方程组：．解得．②当3﹣m＜0即m＞3时，当x＝﹣1时，y＝﹣（3﹣m）+n＝2，整理，得m+n＝5．联立方程组：．解得（舍去）．综上所述，n的值是﹣．故答案是：﹣．16．如图，在矩形ABCD中，点E是边DC上一点，连结BE，将△BCE沿BE对折，点C 落在边AD上点F处，BE与对角线AC交于点M，连结FM．若FM∥CD，BC＝4．则AF＝2﹣2【分析】由对折的性质得∠BCM＝∠BFM，BC＝BF，再由FM∥CD，证明∠BFM＝ABF，从而得△ABF∽△BCA，由相似三角形的性质求得AB，进而由勾股定理得AF．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB∥CD，∵FM∥CD，∴FM∥AB，∴∠ABF＝∠BFM，由折叠的性质得，BF＝BC＝4，∠BFM＝∠ACB，∴∠ABF＝∠ACB，∴△ABF∽△BCA，∴，∴，即，∴，∴＝＝2﹣2．故答案为：2﹣2．三、解答题：本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．某校艺术节共开展了四项活动：器乐（A），舞蹈（B），绘画C），唱歌（D），每名学生只能参加一项活动．学校对学生所选的项目进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共有100人；（2）补全条形统计图．（3）该校共有500名学生，请估计选择“绘画”的学生有多少人？【分析】（1）用选择D项目的人数和所占的百分比即可求出答案；（2）用总人数减去其它项目的人数，求出B项目的人数，从而补全统计图；（3）用该校的总人数乘以“绘画”的学生所占的百分比即可．解：（1）本次调查的学生共有：40÷40%＝100（人），故答案为：100；（2）参加B项活动的人数是：100﹣30﹣20﹣40＝10（人），补全统计图如下：（3）根据题意得：500×＝100（人），答：选择“绘画”的学生有100人．18．解分式方程＝﹣2圆圆的解答如下：解：去分母，得1﹣x＝﹣1﹣2化简，得x＝4经检验，x＝4是原方程的解．∴原方程的解为x＝4．圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．【分析】圆圆的解答有误，原因是去分母时﹣2没有乘以（x﹣2），写出正确的解答即可．解：圆圆的解答错误，正确解答为：方程整理得：＝﹣﹣2，去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），去括号得：1﹣x＝﹣1﹣2x+4，移项合并得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解．19．如图，已知AC∥DF，点B在AC上，点E在DF上，连结AE，BD相交于点P，连结CE，BF相交于点Q，若AB＝EF，BC＝DE．（1）求证：四边形BPEQ为平行四边形；（2）若DP＝2BP，BF＝3，CE＝6．求证：四边形BPEQ为菱形．【分析】（1）证出四边形ABFE和四边形BCED是平行四边形，得出AE＝BF，AE∥BF，BD∥CE，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出AE＝BF＝3，BD＝CE＝6，求出QE＝BP＝BD＝2，证△APB∽△EPD，求出EP＝AE＝2，得出BP＝EP，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵AC∥DF，AB＝EF，BC＝DE，∴四边形ABFE和四边形BCED是平行四边形，∴AE＝BF，AE∥BF，BD∥CE，∴四边形BPEQ为平行四边形；（2）由（1）得：四边形ABFE、四边形BCED和四边形BPEQ为平行四边形，∴AE＝BF＝3，BD＝CE＝6，∵DP＝2BP，∴QE＝BP＝BD＝2，∵AC∥DF，∴△APB∽△EPD，∴＝＝，∴EP＝AE＝2，∴BP＝EP，∴四边形BPEQ为菱形．20．如图，已知一次函数y1＝ax+b（a≠0）与反比例函数y2＝（k＞0），两函数图象交于（4，1），（﹣2，n）两点．（1）求a，k的值；（2）若y2＞y1＞0，求x的取值范围．【分析】（1）先把（4，1）代入y2＝求出k得到反比例函数解析式为y2＝，再利用反比例函数解析式求出n，然后根据待定系数法求一次函数解析式，从而得到a的值；（2）在第一象限内，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．解：（1）把（4，1）代入y2＝得k＝4×1＝4，∴反比例函数解析式为y2＝，把（﹣2，n）代入y2＝得﹣2n＝4，解得n＝﹣2，把（4，1），（﹣2，﹣2）代入y1＝ax+b得，解得，∴一次函数解析式为y1＝x﹣1，∴a的值为，k的值为4；（2）当x﹣1＝0，解得x＝2，则一次函数y1＝ax+b（a≠0）图象与x轴的交点为（2，0）当2＜x＜4时，y2＞y1＞0．21．如图，在正方形ABCD中，点E在DC边上（不与点C，点D重合），点G在AB的延长线上，连结EG，交边BC于点F，且EG＝AG，连结AE，AF，设∠AED＝α，∠GFB＝β．（1）求α，β之间等量关系；（2）若△ADE≌△ABF，AB＝2，求BG的长．【分析】（1）由平行线的性质与等腰三角形的性质证明∠AED＝∠AEG，再在△BGF 中，由三角形的内角和求得α、β之间的等量关系；（2）设BF＝x，用x表示EF、FG、BG，进而根据AG＝EG列出x的方程求得x便可．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴DC∥AB，∠CBG＝∠ABC＝90°，∴∠AED＝∠GAE，∵EG＝AG，∴∠GAE＝∠GEA，∴∠AED＝∠AEG＝α，∴∠G＝180°﹣2α，∵∠BFG+∠G＝90°，∴180°﹣2α+β＝90°，∴2α﹣β＝90°；（2）如图，连接AF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠C＝∠ABC＝∠CBG＝90°，设BF＝x，∵△ADE≌△ABF，∴DE＝BF，∴CE＝CF＝2﹣x，∴EF＝2x，∠CFE＝∠BFG＝45°，∴BG＝BF＝x，∴FG＝＝x，∵AG＝EG，∴2+x＝2x+x，解得，x＝2﹣2，∴．22．设一次函数y1＝x+a+b和二次函数y2＝x（x+a）+b．（1）若y1，y2的图象都经过点（﹣2，1），求这两个函数的表达式；（2）求证：y1，y2的图象必有交点；（3）若a＞0，y1，y2的图象交于点（x1，m），（x2，n）（x1＜x2），设（x3，n）为y2图象上一点（x3≠x2），求x3﹣x1的值．【分析】（1）把已知点坐标代入两个代数式中建立方程组进行解答便可；（2）转化证明y1＝y2时，方程x+a+b＝x（x+a）+b有解，进而转化证明一元二次方程的根的判别式非负便可；（3）由y1＝y2，求出x1与x2，进而求得n，由n的值，求得x3的值，进而得x3﹣x1的值．解：（1）把（﹣2，1）代入一次函数y1＝x+a+b和二次函数y2＝x（x+a）+b，得，解得，，∴一次函数为y1＝x+3，二次函数y2＝x2+2x+1，（2）当y1＝y2时，得x+a+b＝x（x+a）+b，化简为：x2+（a﹣1）x﹣a＝0，△＝（a﹣1）2+4a＝（a+1）2≥0，∴方程x+a+b＝x（x+a）+b有解，∴y1，y2的图象必有交点；（3）当y1＝y2时，x+a+b＝x（x+a）+b，化简为：x2+（a﹣1）x﹣a＝0，（x+a）（x﹣1）＝0，∵a＞0，x1＜x2，∴x1＝﹣a，x2＝1，∴n＝1+a+b，当y＝1+a+b时，y2＝x（x+a）+b＝1+a+b，化简为：x2+ax﹣a﹣1＝0，（x+a+1）（x﹣1）＝0，解得，x＝1（等于x2），或x＝﹣a﹣1，∴x3＝﹣a﹣1，∴x3﹣x1＝﹣a﹣1﹣（﹣a）＝﹣1．23．如图，等腰△ABC两腰AB，AC分别交⊙O于点D，E，点A在⊙O外，点B，C在⊙O上（不与D，E重合），连结BE，DE．已知∠A＝∠EBC，设＝k（0＜k＜1）．（1）若∠A＝50°，求的度数；（2）若k＝，求的值；（3）设△ABC，△ADE，△BEC的周长分别为c，c1，c2，求证：1＜≤．【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠ABC＝∠ACB＝65°，可求∠DBE＝15°，即可求解；（2）通过证明△ABC∽△BCE，可求S△BEC＝S△ABC，设BC＝2m，则AC＝AB＝3m，CE＝m，AE＝m，通过证明△ADE∽△ABC，可求S△ADE＝S△ABC，可求S△BDE ＝S△ABC﹣S△ADE﹣S△BEC＝S△ABC，即可求解；（3）由相似三角形的性质可得，＝1﹣k2，可得＝＝k+1﹣k2＝﹣（k﹣）2+，由二次函数的性质可求解．解：（1）∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∵∠A＝∠EBC＝50°，∴∠DBE＝15°，∴的度数＝30°；（2）∵∠A＝∠EBC，∠ACB＝∠BCE，∴△ABC∽△BCE，∴＝，＝（）2＝，∴S△BEC＝S△ABC，设BC＝2m，则AC＝AB＝3m，CE＝m，∴AE＝AC﹣CE＝m，∵四边形BCED是圆内接四边形，∴∠AED＝∠ABC＝∠ACB，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴S△ADE＝S△ABC，∴S△BDE＝S△ABC﹣S△ADE﹣S△BEC＝S△ABC，∴；（3）由（2）可得△ABC∽△BCE，∴＝k，，∴BC＝kAB，CE＝kBC＝k2•AB，∴AE＝AC﹣EC＝（1﹣k2）•AB，由（2）可得△ADE∽△ABC，∴＝1﹣k2，∴＝＝k+1﹣k2＝﹣（k﹣）2+，∵0＜k＜1∴1＜﹣（k﹣）2+≤∴1＜≤．。
江苏省南通市海安市2020年中考数学一模试卷 解析版
2020年江苏省南通市海安市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字每代号填涂在等题卡相应位置上）1．（3分）﹣3的绝对值是（）A．B．﹣3C．3D．﹣2．（3分）下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a5 B．3a2+a＝3a3C．a（a+1）＝a2+1D．a5÷a2＝a3（a≠0）3．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，M是正五边形ABCDE的边CD延长线上一点．连接AD，则∠ADM的度数是（）A．108°B．120°C．144°D．150°5．（3分）已知OC是∠AOB内的一条射线，下列所给的条件中，不能判断OC是∠AOB的平分线的是（）A．∠AOC+∠BOC＝∠AOB B．∠AOC＝∠AOBC．∠AOB＝2∠AOC D．∠AOC＝∠BOC6．（3分）如图，⊙O的半径为5，若OP＝3，则经过点P的弦长可能是（）A．3B．6C．9D．127．（3分）小幸学习了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行以下练习：首先画出数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3．以点O为圆心，OB为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（）A．3和3.5之间B．3.5和4之间C．4和4.5之间D．4.5和5之间8．（3分）某班有50人，一次体能测试后，符老师对测试成绩进行了统计．因小芝没有参加本次集体测试，因此计算其他49人的平均分为90分，方差s2＝39．后来小芝进行了补测，成绩为90分，关于该班50人的测试成绩，下列说法正确的是（）A．平均分不变，方差变大B．平均分不变，方差变小C．平均分和方差都不变D．平均分和方差都改变9．（3分）甲、乙两车在同一直线上从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早出发2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车离开A地的距离ykm与甲车行驶时间xh的函数图象．小成同学根据图文信息，解读出以下结论：①乙车速度是80km/h；②m的值为1；③a的值为40；④乙车比甲车早h到达B地．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（3分）如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F 处，tan∠CBF＝．设BE＝x，△BEF的面积为y，则y与x的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（本大医共8小题，第1-131小题每小题3分，第14-18小题每小题3分，共29分．不需要写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．（3分）分解因式：4x2﹣y2＝．13．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转46°后得到△COD．若∠AOB＝16°，则∠AOD＝度．14．（4分）在反比例函数y＝图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是．15．（4分）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，小智绘制了如图所示的折线图，该事件最有可能是（填写一个你认为正确的序号）．①掷一枚硬币，正面朝上；②掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是5；③暗箱中有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外无差别，从中任取一球是黑球．16．（4分）若75°的圆心角所对的弧长是πcm，则此弧所在圆的直径是cm．17．（4分）学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有种．18．（4分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+3m（m为常数）向右平移2个单位长度所得图象的顶点坐标为（s，t），当m≥5时，代数式2t﹣s的最大值为．三、解答题（本大题共8小题，共91分．请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（11分）（1）计算：（﹣1）0﹣2sin30°+（）﹣1﹣（﹣1）2020；（2）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝．20．（9分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，用列表或画树状图的方法，求两次取出的小球标号的和等于4的概率．21．（10分）某学校初二和初三两个年级各有600名同学，为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小宇分别从初二、初三两个年级随机抽取了40名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．初二、初三年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：x ＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100）：b．初二年级学生知识竞赛成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：80 80 81 83 83 84 84 85 86 87 88 89 89c．初二、初三学生知识竞赛成绩的平均数、中位数、方差如下：平均数中位数方差初二年级80.8m96.9初三年级80.686153.3根据以上信息，回答下列问题：（1）补全上面的知识竞赛成绩频数分布直方图；（2）写出表中m的值；（3）A同学看到上述的信息后，说自己的成绩能在本年级排在前40%，B同学看到A同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前50%”．请判断A同学是（填“初二”或“初三”）年级的学生，你判断的理由是．（4）若成绩在85分及以上为优秀，请估计初二年级竞赛成绩优秀的人数为．22．（11分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于点D，且EF ∥AB，连接CD，BD．（1）求证：CD平分∠ACB；（2）若∠ABC＝30°，BD＝2，求CD的长．23．（12分）2020年以来，受疫情影响，一些传统商家向线上转型发展，某商家通过“直播带货”一季度实物商品网上零售额因此得以逆势增长．若该商家销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利润为W（元）．（1）求W与x之间的函数关系式；（2）该商家每天想获得2000元的利润，又要保证销售量尽可能大，应将销售单价定为多少元？（3）若每天至少销售60件，且销售单价不低于30元时，求W的最大值．24．（12分）定义：若实数x，y，x'，y'满足x＝kx'+2，y＝ky'+2（k为常数，k≠0），则在平面直角坐标系xOy中，称点（x，y）为点（x'，y'）的“k值关联点”．例如，点（3，0）是点（1，﹣2）的“1值关联点”．（1）在A（2，3），B（1，3）两点中，点是P（1，﹣1）的“k值关联点”；（2）若点C（8，5）是双曲线y＝（t≠0）上点D的“3值关联点”，求t的值和点D 的坐标；（3）设两个不相等的非零实数m，n满足点E（m2+mn，2n2）是点F（m，n）的“k值关联点”，求点F到原点O的距离的最小值．25．（13分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E为边BC的中点，点F在边CD上，连接AE，EF．（1）当CF＝a时，求证：∠AEF＝90°；（2）若CF＝2DF，连接AF．求∠EAF的度数；（3）当∠AEF＝∠DAE时，求△CEF的面积（用含a的式子表示）．26．（13分）已知平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a（a＞0）与y轴相交于A点，过点A作x轴的平行线与抛物线L的另一交点为B点．直线y＝kx﹣k（k＞a）与抛物线L相交于C，D两点（点C在点D的左侧），与y轴交于E点，过点D作DH⊥AB，垂足为H，连接EH交x轴于G点．（1）若a＝1，k＝2，求DH的长；（2）当a＝时，求cos∠AHE的值；（3）连接BC，求证：四边形BCGH是平行四边形．2020年江苏省南通市海安市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字每代号填涂在等题卡相应位置上）1．（3分）﹣3的绝对值是（）A．B．﹣3C．3D．﹣【分析】根据绝对值的定义：数轴上表示某个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．则﹣3的绝对值就是表示﹣3的点与原点的距离．【解答】解：|﹣3|＝3，故选：C．2．（3分）下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a5 B．3a2+a＝3a3C．a（a+1）＝a2+1D．a5÷a2＝a3（a≠0）【分析】根据幂的乘方，合并同类项，单项式与多项式相乘，同底数幂相除，对各选项计算后利用排除法求解．【解答】解：A、应为（a2）3＝a6，故本选项错误；B、3a2与a不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、应为a（a+1）＝a2+a，故本选项错误；D、a5÷a2＝a5﹣2＝a3，故本选项正确．故选：D．3．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A．B．C．D．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．结合图形，使用排除法来解答．【解答】解：如图，俯视图为三角形，故可排除A、B．主视图以及左视图都是矩形，可排除C，故选：D．4．（3分）如图，M是正五边形ABCDE的边CD延长线上一点．连接AD，则∠ADM的度数是（）A．108°B．120°C．144°D．150°【分析】根据多边形的内角和公式求出正五边形的五个角的度数之和，进而求出每个内角的度数，即可得出∠ADE的度数，再根据正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以多边形的边数，就得到外角的度数，然后根据角的和差关系计算即可．【解答】解：正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，∴∠E＝540÷5＝108°，∵AE＝DE，∴∠ADE＝＝36°，由多边形的外角和等于360度可得∠EDM＝360°÷5＝72°，∴∠ADM＝∠ADE+∠EDM＝36°+72°＝108°．故选：A．5．（3分）已知OC是∠AOB内的一条射线，下列所给的条件中，不能判断OC是∠AOB的平分线的是（）A．∠AOC+∠BOC＝∠AOB B．∠AOC＝∠AOBC．∠AOB＝2∠AOC D．∠AOC＝∠BOC【分析】根据角平分线的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、如图所示，OC不是∠AOB的平分线，但是也符合∠AOC+∠BOC＝∠AOB，故本选项错误；B、当∠AOC＝∠AOB时，OC是∠AOB的平分线，故本选项正确；C、当∠AOC＝∠AOB，∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝2∠BOC时，OC是∠AOB的平分线，故本选项正确；D、当∠AOC＝∠BOC时，OC是∠AOB的平分线，故本选项正确．故选：A．6．（3分）如图，⊙O的半径为5，若OP＝3，则经过点P的弦长可能是（）A．3B．6C．9D．12【分析】经过点P的弦长在与OP垂直的弦长和直径长之间，根据勾股定理和垂径定理可求与OP垂直的弦长，⊙O的半径为5，可求直径长，从而作出选择．【解答】解：过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，连接OA；在Rt△OAP中，OA＝5，OP＝3；根据勾股定理，得：AP＝＝4；故AB＝2AP＝8；所以过P点的弦长应该在8～10之间，故选：C．7．（3分）小幸学习了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行以下练习：首先画出数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3．以点O为圆心，OB为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（）A．3和3.5之间B．3.5和4之间C．4和4.5之间D．4.5和5之间【分析】利用勾股定理列式求出OB，再根据无理数的大小判断即可．【解答】解：由勾股定理得，OB＝＝＝，∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴该点P位置大致在数轴上3和4之间，∵3.52＝12.25＜13，∴则点P所表示的数介于3.5和4之间；故选：B．8．（3分）某班有50人，一次体能测试后，符老师对测试成绩进行了统计．因小芝没有参加本次集体测试，因此计算其他49人的平均分为90分，方差s2＝39．后来小芝进行了补测，成绩为90分，关于该班50人的测试成绩，下列说法正确的是（）A．平均分不变，方差变大B．平均分不变，方差变小C．平均分和方差都不变D．平均分和方差都改变【分析】根据平均数，方差的定义计算即可．【解答】解：∵小芝的成绩和其他49人的平均数相同，都是90分，∴该班50人的测试成绩的平均分为90分，方差变小，故选：B．9．（3分）甲、乙两车在同一直线上从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早出发2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车离开A地的距离ykm与甲车行驶时间xh的函数图象．小成同学根据图文信息，解读出以下结论：①乙车速度是80km/h；②m的值为1；③a的值为40；④乙车比甲车早h到达B地．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】先由函数图象中的信息求出m的值，再根据“路程÷时间＝速度”求出甲的速度，并求出a的值；先根据图形判断甲、乙两车中先到达B地的是乙车，再把y＝260代入y＝40x﹣20求得甲车到达B地的时间，再求出乙车行驶260km需要260÷80＝3.25h，即可得到结论．【解答】解：120÷（3.5﹣2）＝80km/h（千米/小时），即乙车速度是80km/h，故①正确；由题意，得m＝1.5﹣0.5＝1．故②正确；120÷（3.5﹣0.5）＝40（km/h），则a＝40，故③正确；设甲车休息之后行驶路程y（km）与时间x（h）的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得，解得，y＝40x﹣20，根据图形得知：甲、乙两车中先到达B地的是乙车，把y＝260代入y＝40x﹣20得，x＝7，∵乙车的行驶速度：80km/h，∴乙车的行驶260km需要260÷80＝3.25（h），∴7﹣（2+3.25）＝（h），∴乙车比甲车早h到达B地．故④正确．综上所述，正确结论的有①②③④共4个．故选：D．10．（3分）如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F 处，tan∠CBF＝．设BE＝x，△BEF的面积为y，则y与x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据折叠，可证明∠AFB＝90°，进而可证明△AFB∽△EBC，由tan∠DCE＝，分别表示EB、BC、CE，根据相似三角形面积之比等于相似比平方，表示△ABF的面积，即可求解．【解答】解：由折叠的性质知，CE⊥FB，∵∠CBF+∠FBE＝90°，∠FBE+∠CEB＝90°，∴∠CBF＝∠CEB＝∠DCE＝，设AB＝x，则AE＝EB＝，由折叠，FE＝EB＝，则∠AFB＝90°，由tan∠DCE＝，∴BC＝，EC＝，∵F、B关于EC对称，∴∠FBA＝∠BCE，∴△AFB∽△EBC，∴＝（）2，∴y＝x2×＝x2，故选：D．二、填空题（本大医共8小题，第1-131小题每小题3分，第14-18小题每小题3分，共29分．不需要写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥﹣2．【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可．【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴被开方数x+2为非负数，∴x+2≥0，解得：x≥﹣2．故答案为：x≥﹣2．12．（3分）分解因式：4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）．【分析】没有公因式，符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．【解答】解：4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）．13．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转46°后得到△COD．若∠AOB＝16°，则∠AOD＝30度．【分析】如图，首先运用旋转变换的性质求出∠BOD的度数，结合∠AOB＝16°，即可解决问题．【解答】解：如图，由题意及旋转变换的性质得：∠BOD＝46°，∵∠AOB＝16°，∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝46°﹣16°＝30°，故答案为：30．14．（4分）在反比例函数y＝图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是k＞3．【分析】根据反比例函数中，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y都随x 的增大而减小，可得k﹣3＞0，解可得k的取值范围．【解答】解：根据题意，在反比例函数y＝图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，即可得k﹣3＞0，解得k＞3．故答案为：k＞3．15．（4分）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，小智绘制了如图所示的折线图，该事件最有可能是③（填写一个你认为正确的序号）．①掷一枚硬币，正面朝上；②掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是5；③暗箱中有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外无差别，从中任取一球是黑球．【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈，计算三个选项的概率，约为者即为正确答案．【解答】解：由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33，即左右，①中掷一枚硬币，正面朝上的概率为，不符合题意；②掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是5的概率是，不符合题意；③中从中任取一球是黑球的概率为＝，符合题意，故答案为：③．16．（4分）若75°的圆心角所对的弧长是πcm，则此弧所在圆的直径是12cm．【分析】根据弧长公式l＝，将n＝75，l＝π，代入求得半径长，进而得到直径．【解答】解：∵75°的圆心角所对的弧长是πcm，∴π＝，解得：r＝6，则直径为12cm．故答案为：12．17．（4分）学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有4种．【分析】设购买x个A品牌足球，y个B品牌足球，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出各进货方案，此题得解．【解答】解：设购买x个A品牌足球，y个B品牌足球，依题意，得：60x+75y＝1500，解得：y＝20﹣x．∵x，y均为正整数，∴x是5的倍数，∴，，，，∴共有4种购买方案．故答案为：4．18．（4分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+3m（m为常数）向右平移2个单位长度所得图象的顶点坐标为（s，t），当m≥5时，代数式2t﹣s的最大值为8．【分析】根据一元二次函数的顶点公式得到抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+3m（m为常数）的顶点坐标为（m﹣1，），从而得到平移后的顶点为（m+1，），根据题意得出2t﹣s＝﹣m2+8m﹣1﹣（m+1）＝﹣m2+7m﹣2＝﹣（m﹣）2+，根据二次函数的性质求得即可．【解答】解：抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+3m（m为常数）的顶点坐标为（m﹣1，），∵将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+3m（m为常数）向右平移2个单位长度所得图象的顶点坐标为（s，t），∴s＝m﹣1+2＝m+1，t＝，∴2t﹣s＝﹣m2+8m﹣1﹣（m+1）＝﹣m2+7m﹣2＝﹣（m﹣）2+，∴当m＞时，代数式2t﹣s的值随m的增大而减小，∴在m≥5范围内，当m＝5时，代数式2t﹣s的有最大值，最大值为：﹣52+7×5﹣2＝8，故答案为8．三、解答题（本大题共8小题，共91分．请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（11分）（1）计算：（﹣1）0﹣2sin30°+（）﹣1﹣（﹣1）2020；（2）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝．【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接将括号里面通分运算以及利用分式的混合运算法则化简，再把符合题意的x值代入即可．【解答】解：（1）原式＝1﹣2×+3﹣1＝1﹣1+3﹣1＝2；（2）原式＝•＝•＝，当x＝时，原式＝．20．（9分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，用列表或画树状图的方法，求两次取出的小球标号的和等于4的概率．【分析】根据题意列出相应的表格，得出所有等可能的情况数，找出两次取出的小球的标号的和等于4的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表得：12341﹣﹣﹣（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）﹣﹣﹣（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）﹣﹣﹣（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）﹣﹣﹣所有等可能的情况有12种，其中两次取出的小球的标号的和等于4的情况数是2，所以两次取出的小球标号的和等于4的概率为＝．21．（10分）某学校初二和初三两个年级各有600名同学，为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小宇分别从初二、初三两个年级随机抽取了40名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．初二、初三年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：x ＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100）：b．初二年级学生知识竞赛成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：80 80 81 83 83 84 84 85 86 87 88 89 89c．初二、初三学生知识竞赛成绩的平均数、中位数、方差如下：平均数中位数方差初二年级80.8m96.9初三年级80.686153.3根据以上信息，回答下列问题：（1）补全上面的知识竞赛成绩频数分布直方图；（2）写出表中m的值；（3）A同学看到上述的信息后，说自己的成绩能在本年级排在前40%，B同学看到A同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前50%”．请判断A同学是初二（填“初二”或“初三”）年级的学生，你判断的理由是若A是初三年级学生，其成绩必定超过中位数，放到初二年级，成绩会更靠前，不符合题意．（4）若成绩在85分及以上为优秀，请估计初二年级竞赛成绩优秀的人数为225．【分析】（1）先根据总人数为40求出70≤x＜80的人数，继而补全图形；（2）根据中位数的定义求解可得；（3）利用中位数的意义求解可得；（4）利用样本估计总体思想求解可得．【解答】解：（1）补全图形如下：（2）由题意知初二学生知识竞赛成绩的第20、21个数据为80、81，所以m＝＝80.5；（3）A同学是初二年级的学生，理由：由表可知，初二年级的中位数为80.5，初三年级的中位数86，若A是初三年级学生，其成绩必定超过中位数，放到初二年级，成绩会更靠前．所以A同学是初二年级的学生．故答案为：初二，若A是初三年级学生，其成绩必定超过中位数，放到初二年级，成绩会更靠前，不符合题意．（4）估计初二年级竞赛成绩优秀的人数为600×＝225（人），故答案为：225．22．（11分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于点D，且EF ∥AB，连接CD，BD．（1）求证：CD平分∠ACB；（2）若∠ABC＝30°，BD＝2，求CD的长．【分析】（1）连接OD，根据垂径定理可得＝，再根据等弧所对圆周角相等即可证明CD平分∠ACB；（2）连接AD，作AH⊥CD于点H，根据AB为⊙O的直径，可得∠ACB＝90°，再根据∠ABC＝30°，BD＝2，进而可求出CD的长．【解答】解：（1）证明：如图，连接OD，∵直线EF切⊙O于点D，∴OD⊥EF，∴＝，∴∠ACD＝∠BCD，∴CD平分∠ACB；（2）∵OD⊥EF，EF∥AB，∴OD⊥AB，∴∠DOB＝90°，∴OB＝OD＝BD＝2，∴AB＝2OB＝4，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝2，连接AD，作AH⊥CD于点H，∵∠ACH＝45°，∴CH＝AH＝AC•sin45°＝2×＝，∵∠ADC＝∠ABC＝30°，∴AD＝2AH＝2，∴DH＝AH＝，∴CD＝CH+DH＝+．23．（12分）2020年以来，受疫情影响，一些传统商家向线上转型发展，某商家通过“直播带货”一季度实物商品网上零售额因此得以逆势增长．若该商家销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利润为W（元）．（1）求W与x之间的函数关系式；（2）该商家每天想获得2000元的利润，又要保证销售量尽可能大，应将销售单价定为多少元？（3）若每天至少销售60件，且销售单价不低于30元时，求W的最大值．【分析】（1）根据每天的利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式并化简即可；（2）根据二次函数与一元二次方程的关系，得出方程并求解，然后根据题意对方程的解作出取舍；（3）根据每天至少销售60件，且销售单价不低于30元，列出关于x的不等式组，解得x的取值范围，然后根据二次函数的性质求得答案即可．【解答】解：（1）由题意得：W＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣10x+400）＝﹣10x2+500x﹣4000．即W与x之间的函数关系式为W＝﹣10x2+500x﹣4000；（2）当W＝2000时，2000＝﹣10x2+500x﹣4000，解得：x1＝20，x2＝30，∵保证销售量尽可能大，而销售量y＝﹣10x+400中，y随x的增大而减小，∴x取20，答：保证销售量尽可能大的前提下，该商场每天还想获得2000元的利润，应将销售单价定为20元；（3）每天销售量不少于60件，且销售单价至少为30元时，，解得：30≤x≤34，∵W＝﹣10x2+500x﹣4000＝﹣10（x﹣25）2+2250，∵﹣10＜0，∴当x＞25时，W随x的增大而减小，∴当x＝30时，W有最大值，最大值为﹣10×（30﹣25）2+2250＝2000，答：每天销售量不少于60件，且销售单价至少为30元时，该商场每天获得的最大利润是2000元．24．（12分）定义：若实数x，y，x'，y'满足x＝kx'+2，y＝ky'+2（k为常数，k≠0），则在平面直角坐标系xOy中，称点（x，y）为点（x'，y'）的“k值关联点”．例如，点（3，0）是点（1，﹣2）的“1值关联点”．（1）在A（2，3），B（1，3）两点中，点B是P（1，﹣1）的“k值关联点”；（2）若点C（8，5）是双曲线y＝（t≠0）上点D的“3值关联点”，求t的值和点D 的坐标；（3）设两个不相等的非零实数m，n满足点E（m2+mn，2n2）是点F（m，n）的“k值关联点”，求点F到原点O的距离的最小值．【分析】（1）由“k值关联点”的定义可求解；（2）由“k值关联点”的定义可求点D坐标，代入解析式可求t的值；（3）由“k值关联点”的定义可得（m﹣n）（mn+2）＝0，可得mn＝﹣2，由两点距离公式可求解．【解答】解：（1）若点A（2，3）是P（1，﹣1）的“k值关联点”，∴k＝≠，不合题意，若点B（1，3）是P（1，﹣1）的“k值关联点”，∴k＝＝＝﹣1，符合题意，故答案为：B；（2）设点D坐标为（x，y），∵点C（8，5）是点D的“3值关联点”，∴∴∴点D坐标为（2，1），∵点D是双曲线y＝（t≠0）上点，∴t＝2×1＝2；（3）∵点E（m2+mn，2n2）是点F（m，n）的“k值关联点”，∴，∴m2n+mn2﹣2n＝2n2m﹣2m，∴（m﹣n）（mn+2）＝0，∵m≠n，∴mn＝﹣2，∴m＝，∵（m﹣n）2≥0，∴m2+n2﹣2mn≥0，∴m2+n2≥2mn，∴m2+n2＝+n2≥2×n×＝4，∴点F到原点O的距离＝＝，∴点F到原点O的距离的最小值为2．25．（13分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E为边BC的中点，点F在边CD上，连接AE，EF．（1）当CF＝a时，求证：∠AEF＝90°；（2）若CF＝2DF，连接AF．求∠EAF的度数；（3）当∠AEF＝∠DAE时，求△CEF的面积（用含a的式子表示）．【分析】（1）证明△ABE∽△ECF，便可解决问题；（2）将△ABE△绕点A点逆时针旋转90°，证明△AEF≌△AE'F，进而求得结果；（3）过A作AG⊥EF，证明△ABE≌△AGE，△ADF≌△AGF，得BE＝GE，DF＝GF，设CF＝x，在Rt△CEF中，由勾股定理列出x的方程求得x，进而由三角形的面积公式求得结果．【解答】解：（1）证明：∵正方形ABCD的边长为a，点E为边BC的中点，∴BE＝CE＝a，∠ABC＝∠ECF＝90°，∵CF＝a，∴，∴△ABE∽△ECF，∴∠BAE＝∠CEF，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CEF+∠AEB＝90°，∴∠AEF＝90°；（2）将△ABE△绕点A点逆时针旋转90°，如图1，则AE＝AE'，BE＝DE'，∠E'AD＝∠EAB，∠ADE'＝∠ABE＝90°，∵∠ADF＝90°，∴点F、D、E'三点在同一直线上，∵CF＝2DF，∴CF＝a，DF＝a，CE＝BE＝DE'＝a，∴E'F＝a，EF＝a，∴EF＝E'F，∵AE＝AE'，AF＝AF，∴△AEF≌△AE'F（SSS），∴∠EAF＝∠E'AF＝∠EAE'＝45°；（3）过A作AG⊥EF，如图2，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠DAE＝∠AEF，∴∠AEB＝∠AEF，∵∠ABE＝∠AGE＝90°，∵AE＝AE，∴△ABE≌△AGE（AAS），∴BE＝GE＝a，AB＝AG，∵AB＝AD，∴AD＝AG，∵AF＝AF，∴Rt△ADF≌Rt△AGF（HL），∴DF＝GF，设CF＝x，则GF＝DF＝a﹣x，∴EF＝，∵CE2+CF2＝EF2，∴，解得，x＝a，∴△CEF的面积＝．26．（13分）已知平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a（a＞0）与y轴相交于A点，过点A作x轴的平行线与抛物线L的另一交点为B点．直线y＝kx﹣k（k＞a）与抛物线L相交于C，D两点（点C在点D的左侧），与y轴交于E点，过点D作DH⊥AB，垂足为H，连接EH交x轴于G点．（1）若a＝1，k＝2，求DH的长；（2）当a＝时，求cos∠AHE的值；（3）连接BC，求证：四边形BCGH是平行四边形．【分析】（1）分别求出点A，点B，点D坐标，即可求解；（2）分别求出点A，点B，点D坐标，可求AH＝3k+1，AE＝（3k+1），由勾股定理可求HE的长，即可求解；（3）利用参数表示点D，点E，点A，点B坐标，分别求出BH，CG的长，即可求解．【解答】解：（1）当a＝1，k＝2时，则抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x+1，直线的解析式为：y＝2x﹣2，∵抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴相交于A点，过点A作x轴的平行线与抛物线L的另一交点为B点，∴点A（0，1），点B（2，1），∵直线y＝2x﹣2与抛物线L相交于C，D两点，∴2x﹣2＝x2﹣2x+1，∴x1＝1，x2＝3，∴点C（1，0），点D（3，4），∵DH⊥AB，AB∥x轴，∴DH＝4﹣1＝3；（2）当a＝时，则抛物线的解析式为：y＝x2﹣x+，∵抛物线y＝x2﹣x+与y轴相交于A点，过点A作x轴的平行线与抛物线L的另一交点为B点，∴点A（0，），点B（2，），∵直线y＝kx﹣k（k＞a）与抛物线L相交于C，D两点，∴，∴，，∴点D（3k+1，3k2），∵DH⊥AB，AB∥x轴，∴AH＝3k+1，∵直线y＝kx﹣k与y轴交于E点，∴点E（0，﹣k），∴OE＝k，∴AE＝k+＝（3k+1），∴HE＝＝（3k+1），∴cos∠AHE＝＝；（3）∵抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a（a＞0）与y轴相交于A点，过点A作x轴的平行线与抛物线L的另一交点为B点，∴点A（0，a），点B（2，a），∵直线y＝kx﹣k（k＞a）与抛物线L相交于C，D两点，∴，∴，，∴点D（，），点C（1，0），∵直线y＝kx﹣k与y轴交于E点，∴点E（0，﹣k），∵DH⊥AB，AB∥x轴，∴AH＝，∵AB∥x轴，∴，∴OG＝×＝，∴BH＝||＝||，GC＝||，∴BH＝GC，且BH∥GC，∴四边形BCGH是平行四边形．。
2020年上海市静安区中考数学一模试卷(附答案)
2020年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1. 已知a =√x +√y ，b =√x −√y ，那么ab 的值为（ ） A.2√x B.2√y C.x −y D.x +y2. 已知点P 在线段AB 上，且AP:PB ＝2:3，那么AB:PB 为（ ） A.3:2 B.3:5 C.5:2 D.5:33. 在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE // BC ，AD:DB ＝4:5，下列结论中正确的是（ ） A.DE BC=45B.BCDE=94C.AE AC=45D.EC AC=544. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90∘，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a ＝3b ，那么∠A 的余切值为（ ） A.13 B.3C.√24D.√10105. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA →=a →，OB →=b →，下列式子中正确的是（ ）A.DC →=a →+b →B.DC →=a →−b →C.DC →=−a →+b →D.DC →=−a →−b →6. 如果将抛物线y ＝x 2−2平移，使平移后的抛物线与抛物线y ＝x 2−8x +9重合，那么它平移的过程可以是（ ）A.向右平移4个单位，向上平移11个单位B.向左平移4个单位，向上平移11个单位C.向左平移4个单位，向上平移5个单位D.向右平移4个单位，向下平移5个单位二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）因式分解：x 2−5x ＝________．已知f(x)=√3x +1，那么f(3)＝________．方程x−1x+1=12的根为________．已知：xy =34，且y ≠4，那么x−3y−4=________．在△ABC 中，边BC 、AC 上的中线AD 、BE 相交于点G ，AD ＝6，那么AG ＝________．如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是________．如图，在大楼AB 的楼顶B 处测得另一栋楼CD 底部C 的俯角为60度，已知A 、C 两点间的距离为15米，那么大楼AB 的高度为________米．（结果保留根号）某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为x(x >0)，六月份的营业额为y 万元，那么y 关于x 的函数解式是________．矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为513，那么该矩形的面积为________．已知二次函数y ＝a 2x 2+8a 2x +a(a 是常数，a ≠0)，当自变量x 分别取−6、−4时，对应的函数值分别为y 1、y 2，那么y 1、y 2的大小关系是：y 1 > y 2（填“>”、“<”或“＝”）．平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD 中，AD // BC ，AD ＝4，BC ＝9，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，且EF 是梯形ABCD 的“比例中线”，那么DFFC =________．如图，有一菱形纸片ABCD ，∠A ＝60∘，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD 的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos ∠EFB 的值为________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）先化简，再求值：x−y x+2y÷x 2−y 2x 2+4xy+4y 2，其中x ＝sin 45∘，y ＝cos 60∘．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90∘，AC ＝20，sin A=34，CD ⊥AB ，垂足为D ．（1）求BD 的长；（2）设AC →=a →，BC →=b →，用a →、b →表示AD →．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2+bx +1（b 为常数）的对称轴是直线x ＝1．（1）求该抛物线的表达式；（2）点A(8, m)在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为A ′，求点A ′的坐标；（3）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该抛物线．如图，在东西方向的海岸线l 上有长为300米的码头AB ，在码头的最西端A 处测得轮船M 在它的北偏东45∘方向上；同一时刻，在A 点正东方向距离100米的C 处测得轮船M 在北偏东22∘方向上．（1）求轮船M 到海岸线l 的距离；（结果精确到0.01米）（2）如果轮船M 沿着南偏东30∘的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB 靠岸？请说明理由． （参考数据：sin 22∘≈0.375，cos 22∘≈0.927，tan 22∘≈0.404，√3≈1.732．）如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，OD 2＝OB ⋅OE ．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）如果BC＝BD，AE⋅AF＝AD⋅BF，求证：△ABE∽△ACD．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知二次函数y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）的图象经过点A(0, −3)、B(1, 0)、C(3, 0)，联结AB、AC．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D是线段AC上的一点，联结BD，如果S△ABD:S△BCD＝3:2，求tan∠DBC的值；（3）如果点E在该二次函数图象的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标．已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、DC上，AB2＝BE⋅DC，DE:EC＝3:1，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G．（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；（2）当DF平分∠ADC时，求DG:DF的值；（3）如图2，当∠BAC＝90∘，且DF⊥AE时，求DG:DF的值．参考答案与试题解析2020年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1.【答案】 C【考点】二次根式的化简求值 【解析】将a 、b 直接代入ab ，利用平方差公式求值即可． 2.【答案】 D【考点】 比例线段 【解析】根据比例的合比性质直接求解即可． 3.【答案】 B【考点】相似三角形的性质与判定 【解析】由平行线证出△ADE ∽△ABC ，得出AE AC=DE BC=AD AB=49，即可得出答案．4.【答案】 A【考点】锐角三角函数的定义 【解析】根据余切函数的定义即可求解． 5.【答案】 C【考点】 *平面向量平行四边形的性质 【解析】利用平行四边形的性质与计算机向法则求出AB →即可解决问题．6.【答案】 D【考点】二次函数图象与几何变换 【解析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【答案】 x(x −5) 【考点】因式分解-提公因式法 因式分解【解析】根据提公因式法，可分解因式． 【答案】 √10【考点】 函数值 【解析】将x ＝3代入f(x)=√3x +1计算即可． 【答案】 x ＝3 【考点】 解分式方程 【解析】根据分式方程的解法，方程两边同时乘以2(x +1)，将分式方程化为整式方程求解即可． 【答案】34【考点】 比例的性质 【解析】根据分比性质可得答案． 【答案】 4【考点】 三角形的重心 三角形中位线定理 相似三角形的性质与判定【解析】由三角形的重心的概念和性质求解． 【答案】 16:25【考点】相似三角形的性质【解析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．【答案】15√3【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】解直角三角形即可得到结论．【答案】y＝200x2+400x+200【考点】二次函数的应用【解析】根据增长率问题公式列出函数解析式即可．【答案】240【考点】矩形的性质解直角三角形【解析】由矩形的性质和三角函数求出CD，由勾股定理求出AD，即可得出矩形的面积．【答案】>【考点】二次函数的性质二次函数图象上点的坐标特征【解析】求出二次函数的对称轴x＝−4，由于函数开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，即可求解．【答案】23【考点】梯形相似三角形的性质与判定【解析】连接BD交EF于G，由EF是梯形ABCD的“比例中线”，得出EF2＝AD×BC＝36，EF＝6，由平行线证出△BEG∽△BAD，△DFG∽△DCB，得出EGAD =BGBD，DFDC=GFBC=DGBD，求出EGAD+GFBC=BGBD+DGBD=BDBD=1，即EG4+6−EG 9=1，解得EG=125，得出GF＝6−EG=185，即可得出答案．【答案】17【考点】等边三角形的性质与判定翻折变换（折叠问题）解直角三角形菱形的性质【解析】如图，连接BD．设BC＝2a．在Rt△BEF中，求出EF，BF即可解决问题．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【答案】原式=x−yx+2y÷(x+y)(x−y)(x+2y)2=x−yx+2y⋅(x+2y)2(x+y)(x−y)=x+2yx+y，当x＝sin45∘=√22，y＝cos60∘=12时，原式=√22+2×12√22+12=√2．【考点】特殊角的三角函数值分式的化简求值【解析】现将原式化简为x+2yx+y，再将x＝sin45∘=√22，y＝cos60∘=12代入计算即可．【答案】∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90∘，在Rt△ACD中，sin A=CDAC，∴CD＝AC⋅sin A＝20×35=12，∴AD=√AC2−CD2=√202−122=16，∴tan A=CDAD=34，∵∠ACB＝90∘，∴∠DCB+∠B＝∠A+∠B＝90∘，∴∠DCB＝∠A．∴BD＝CD⋅tan∠DCB＝CD⋅tan A＝12×34=9．∵AB＝AD+DB＝16+9＝25，∴ADAB=1625，又∵AB→=AC→+CB→=a→−b→，∴AD→=1625AB→=1625a→−1625b→．【考点】*平面向量 解直角三角形【解析】（1）解直角三角形求出CD ，AD ，再在Rt △CDB 中求出BD 即可． （2）利用三角形法则求解即可． 【答案】∵ 对称轴为x =−b2， ∴ −b2=1，∴ b ＝−2，∴ 抛物线的表达式为y ＝x 2−2x +1； ∵ 点A(8, m)在该抛物线的图象上，∴ 当x ＝8时，y ＝x 2−2x +1＝82−2×8+1＝49． ∴ 点A(8, 49)，∴ 点A(8, 49)关于对称轴对称的点A ′的坐标为(−6, 49)； −1,0,1,2,3,4,1,0,1,4 【考点】二次函数的性质二次函数图象与几何变换 二次函数图象上点的坐标特征 待定系数法求二次函数解析式【解析】（1）根据对称轴公式求得b 的值，即可求得抛物线的解析式；（2）把点A(8, m)代入解析式求得m 的值，然后根据轴对称的性质即可求得A′的坐标； （3）列表、连线，画出函数的图象即可． 【答案】过点M 作MD ⊥AC 交AC 的延长线于D ，设DM ＝x ， ∵ 在Rt △CDM 中，CD ＝DM ⋅tan ∠CMD ＝x ⋅tan 22∘， 又∵ 在Rt △ADM 中，∠MAC ＝45∘， ∴ AD ＝DM ，∵ AD ＝AC +CD ＝100+x ⋅tan 22∘， ∴ 100+x ⋅tan 22∘＝x ，∴ x =1001−tan 22≈1001−0.404≈167.79， 答：轮船M 到海岸线l 的距离约为167.79米． 作∠DMF ＝30∘，交l 于点F ．在Rt △DMF 中，DF ＝DM ⋅tan ∠FMD ＝DM ⋅tan 30∘=√33DM ≈√33×167.79≈96.87米，∴ AF ＝AC +CD +DF ＝DM +DF ≈167.79+96.87＝264.66<300， 所以该轮船能行至码头靠岸．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题 【解析】（1）过点M 作MD ⊥AC 交AC 的延长线于D ，设DM ＝x ，解直角三角形即可得到结论； （2）作∠DMF ＝30∘，交l 于点F ．解直角三角形即可得到结论． 【答案】证明：∵ OD 2 ＝OE ⋅OB ， ∴ OEOD =ODOB ， ∵ AD // BC ，∴ △AOD ∽△COB ， ∴OA OC =OD OB∴ OAOC =OEOD∴ AF // CD ，∴ 四边形AFCD 是平行四边形； 证明：∵ AF // CD ，∴ ∠AED ＝∠BDC ，△BEF ∽△BDC ， ∴ BEBD =BFBC ，∵ BC ＝BD ，∴ BE ＝BF ，∠BDC ＝∠BCD ， ∴ ∠AED ＝∠BCD ．∵ ∠AEB ＝180∘−∠AED ，∠ADC ＝180∘−∠BCD ， ∴ ∠AEB ＝∠ADC ． ∵ AE ⋅AF ＝AD ⋅BF ， ∴ AEBF =ADAF ，∵ 四边形AFCD 是平行四边形， ∴ AF ＝CD ， ∴ AEBE =ADDC ， ∴ △ABE ∽△ADC ．【考点】 梯形相似三角形的判定 平行四边形的性质与判定 【解析】 （1）由已知得出OE OD=OD OB，由平行线得出△AOD ∽△COB ，得出OA OC=OD OB，证出OA OC=OE OD，得出AF // CD ，即可得出结论；（2）由平行线得出∠AED ＝∠BDC ，△BEF ∽△BDC ，得出BEBD =BFBC ，证出∠AEB ＝∠ADC ．由已知得出AEBF =AD AF，由平行四边形的性质得出AF ＝CD ，得出AE BE=AD DC，由相似三角形的判定定理即可得出结论．【答案】将A(0, −3)、B(1, 0)、C(3, 0)代入y ＝ax 2+bx +c ， 得，{c =−3a +b +c =09a +3b +c =0 ，解得，{a =−1b =4c =−3，∴ 此抛物线的表达式是y ＝−x 2+4x −3； 过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为ℎ，则S △ABDS △BCD=12AD⋅ℎ12DC⋅ℎ=AD DC =32，又∵ DH // y 轴， ∴ △CHD ∽△COA ， ∴CH OC=DC AC=DH OA =25，∴ CH ＝DH =25×3=65， ∴ BH ＝BC −CH ＝2−65=45， ∴ tan ∠DBC =DH BH=32；∵ y ＝−x 2+4x −3＝−(x −2)2+1，∴ 对称轴为直线x ＝2，设直线x ＝2与x 轴交于点G ，过点A 作AF 垂直于直线x ＝2，垂足为F ， ∵ OA ＝OC ＝3， ∠AOC ＝90∘，∴ ∠OAC ＝∠OCA ＝45∘， ∵ AF // x 轴，∴ ∠FAC ＝∠OCA ＝45∘， ∵ AC 平分∠BAE ， ∴ ∠BAC ＝∠EAC ，∵ ∠BAO ＝∠OAC −∠BAC ，∠EAF ＝∠FAC −∠EAC ，∴ ∠BAO ＝∠EAF ，∵ ∠AOB ＝∠AFE ＝90∘， ∴ △OAB ∽△FEA ， ∴ OBOA =EFAF =13， ∵ AF ＝2，∴ EF =23，∴ EG ＝GF −EF ＝AO −EF ＝3−23=73， ∴ E(2, −73)．【考点】二次函数综合题 【解析】（1）将A 、B 、C 的坐标直接代入y ＝ax 2+bx +c 即可；（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为ℎ，求出AD 与DC 的比，证△CHD ∽△COA ，可求出CH ，DH ，BH 的长，可根据正切定义求出结果；（3）求出抛物线对称轴为直线x ＝2，设直线x ＝2与x 轴交于点G ，过点A 作AF 垂直于直线x ＝2，垂足为F ，证∠OAC ＝∠OCA ＝45∘，∠FAC ＝∠OCA ＝45∘，推出∠BAO ＝∠EAF ，证△OAB ∽△FEA ，即可求出AF 的长，EF 的长，EG 的长，即可写出点E 的坐标．【答案】与△ACD相似的三角形有：△ABE、△ADC，理由如下：∵AB2＝BE⋅DC，∴BEAB =ABDC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，BEAB =ACDC，∴△ABE∽△DCA．∵△ABE∽△DCA，∴∠AED＝∠DAC．∵∠AED＝∠C+∠EAC，∠DAC＝∠DAE+∠EAC，∴∠DAE＝∠C．∴△ADE∽△CDA；∵△ADE∽△CDA，又∵DF平分∠ADC，∴DGDF =DEAD=ADCD，设CE＝a，则DE＝3CE＝3a，CD＝4a，∴3aAD =AD4a，解得：AD＝2√3a，∴DFDG =ADCD=2√3a4a=√32；∵∠BAC＝90∘，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45∘，∴∠DAE＝∠C＝45∘∵DG⊥AE，∴∠DAG＝∠ADF＝45∘，∴AG＝DG=√22AD=√22×2√3a=√6a，∴EG=√DE2−DG2=√(3a)2−(√6a)2=√3a，∴AE＝AG+EG＝(√6+√3)a，∵∠AED＝∠DAC，∴△ADE∽△DFA，∴ADDF =AEAD，∴DF=AD2AE =√3a)2(√6+√3)a=4(√6−√3)a，∴DGDF =√6a4(√6−√3)a=2+√24．【考点】相似三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定【解析】（1）根据相似三角形的判定定理进行判定即可；（2）由相似三角形的性质即可得出答案；（3）由等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质即可得出答案．。
2020年山东省济南市章丘区中考数学一模试卷 (解析版)
2020年山东省济南市章丘区中考数学一模试卷一、选择题1．﹣2020的绝对值是（）A．﹣2020B．2020C．﹣D．2．华为Mate30 5G系列是近期相当火爆的5G国产手机，它采用的麒麟990 5G芯片在指甲盖大小的尺寸上集成了103亿个晶体管，将103亿用科学记数法表示为（）A．1.03×109B．10.3×109C．1.03×1010D．1.03×10113．下列各式中，计算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．a3+a2＝a5C．（a3）2＝a6D．a6÷a3＝a24．下列轴对称图形中，对称轴的数量小于3的是（）A．B．C．D．5．如图是某兴趣社制作的模型，则它的俯视图是（）A．B．C．D．6．若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（）A．3B．2C．1D．07．在平面直角坐标系中，将点P（3，1）向下平移2个单位长度，得到的点P′的坐标为（）A．（3，﹣1）B．（3，3）C．（1，1）D．（5，1）8．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（）A．60°B．65°C．72°D．75°9．某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表：投中次数35679人数13222则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（）A．5，6，6.2B．2，6，6C．5，5，6D．5，6，510．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（）A．4B．5C．6D．811．如图，菱形ABCD边长为2，∠C＝60°．当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为（）A．B．C．2D．1+12．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜B．﹣3＜m＜﹣C．﹣3＜m＜﹣2D．﹣3＜m＜﹣二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共24分）13．因式分解：x3﹣4x＝．14．下表是我市某一天在不同时段测得的气温情况0：004：008：0012：0016：0020：0011℃14℃16℃23℃20℃17℃则这一天气温的极差是℃．15．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为度．16．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围．17．某人预计步行从家去火车站，从家步行走到6分钟时，以同样的速度回家取忘带的物品，然后从家乘出租赶往火车站，结果到火车站的时间比预计步行的时间提前了3分钟，该人离家的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图所示，那么从家到火车站的路程是．18．在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD ＝2AP，则AP的长为．三．解答题（本大题共9小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：﹣2﹣2+cos45°﹣|1﹣|+（3.14﹣π）0．20．解不等式组，并求出它的所有整数解的和．21．在▱ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH＝EH．22．某服装店老板到厂家选购A、B两种品牌的羽绒服，B品牌羽绒服每件进价比A品牌羽绒服每件进价多200元，若用10000元购进A种羽绒服的数量是用7000元购进B种羽绒服数量的2倍．（1）求A、B两种品牌羽绒服每件进价分别为多少元？（2）若A品牌羽绒服每件售价为800元，B品牌羽绒服每件售价为1200元，服装店老板决定一次性购进A、B两种品牌羽绒服共80件，在这批羽绒服全部出售后所获利润不低于30000元，则最少购进B品牌羽绒服多少件？23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC 相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE．（1）求证：BC＝BH；（2）若AB＝5，AC＝4，求CE的长．24．钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷）》试卷，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：收集数据：甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75乙小区：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90整理数据：成绩x（分）60≤x≤7070＜x≤8080＜x≤9090＜x≤100甲小区25a b乙小区3755分析数据：统计量平均数中位数众数甲小区85.7587.5c乙小区83.5d80应用数据：（1）填空：a＝，b＝，c＝，d＝；（2）若甲小区共有800人参与答卷，请估计甲小区成绩大于90分的人数；（3）社区管理员看完统计数据，准备从成绩在60到70分之间的两个小区中随机抽取2人进行再测试，请求出抽取的两人恰好一个是甲小区、一个是乙小区的概率．25．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的正半轴上，直线y＝x﹣1．交边AB、OA于点D、M，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，与BC的交点为N．（1）求BN的长．（2）点P是直线DM上的动点（点P不与点D、点M重合），连接PB、PC、MN，当△BCP的面积等于四边形ABNM的面积时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，连接CP，以CP为边作矩形CPEF，使矩形的对角线的交点G 落在直线DM上，请直接写出点G的坐标．26．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．（1）求AE和BE的长；（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD 方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m 的值．（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．27．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y ＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式．（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF＝BF时，求sin∠EBA的值．（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共48分.在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）1．﹣2020的绝对值是（）A．﹣2020B．2020C．﹣D．【分析】根据绝对值的定义直接进行计算．解：根据绝对值的概念可知：|﹣2020|＝2020，故选：B．2．华为Mate30 5G系列是近期相当火爆的5G国产手机，它采用的麒麟990 5G芯片在指甲盖大小的尺寸上集成了103亿个晶体管，将103亿用科学记数法表示为（）A．1.03×109B．10.3×109C．1.03×1010D．1.03×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：103亿＝103 0000 0000＝1.03×1010，故选：C．3．下列各式中，计算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．a3+a2＝a5C．（a3）2＝a6D．a6÷a3＝a2【分析】直接利用整式的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别判断得出答案．解：A、a3•a2＝a5，故此选项错误；B、a3+a2，无法计算，故此选项错误；C、（a3）2＝a6，正确；D、a6÷a3＝a3，故此选项错误；故选：C．4．下列轴对称图形中，对称轴的数量小于3的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出各选项图形的对称轴的条数，然后选择即可．解：A、有4条对称轴，故本选项不符合题意；B、有6条对称轴，故本选项不符合题意；C、有4条对称轴，故本选项不符合题意；D、有2条对称轴，故本选项符合题意．故选：D．5．如图是某兴趣社制作的模型，则它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案．解：该几何体的俯视图是：由两个长方形组成的矩形，且矩形的之间有纵向的线段隔开．故选：B．6．若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（）A．3B．2C．1D．0【分析】根据一次函数的性质，可得答案．解：由题意，得k﹣2＞0，解得k＞2，观察选项，只有选项A符合题意．故选：A．7．在平面直角坐标系中，将点P（3，1）向下平移2个单位长度，得到的点P′的坐标为（）A．（3，﹣1）B．（3，3）C．（1，1）D．（5，1）【分析】根据向下平移，横坐标不变、纵坐标相减列式计算即可得解．解：将点P（3，1）向下平移2个单位长度，得到的点P′的坐标为（3，1﹣2），即（3，﹣1），故选：A．8．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（）A．60°B．65°C．72°D．75°【分析】由题意∠1＝2∠2，设∠2＝x，易证∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，构建方程即可解决问题．解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠1，∵∠1＝2∠2，设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠AEF＝2x＝72°，故选：C．9．某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表：投中次数35679人数13222则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（）A．5，6，6.2B．2，6，6C．5，5，6D．5，6，5【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．解：在这一组数据中5是出现次数最多的，故众数是5次；处于中间位置的两个数的平均数是（6+6）÷2＝6，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是6次．平均数是：（3+15+12+14+18）÷10＝6.2（次），所以答案为：5、6、6.2，故选：A．10．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（）A．4B．5C．6D．8【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设C（x，2）．则D（x，2），由勾股定理得出AB2+BC2＝AC2，列出方程22+12+（x﹣1）2+22＝x2，求出x，得到D点坐标，代入y＝，利用待定系数法求出k．解：∵AC∥x轴，OA＝2，OB＝1，∴A（0，2），∴C、A两点纵坐标相同，都为2，∴可设C（x，2）．∵D为AC中点．∴D（x，2）．∵∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2，∴12+22+（x﹣1）2+22＝x2，解得x＝5，∴D（，2）．∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，∴k＝×2＝5．故选：B．11．如图，菱形ABCD边长为2，∠C＝60°．当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为（）A．B．C．2D．1+【分析】取AD的中点E，连接BD、EB、EO．证△ABD是等边三角形，得出BE⊥AD，AE＝AD＝1，BE＝AE＝，在Rt△AOD中，求出OE＝AD＝1，当O、E、B 共线时OB最大，即可得出答案．解：取AD的中点E，连接BD、EB、EO．如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝2，∠BAD＝∠C＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵E是AD的中点，∴BE⊥AD，AE＝AD＝1，∴BE＝AE＝，在Rt△AOD中，OE为斜边AD上的中线，∴OE＝AD＝1，可知OE为定值，当O、E、B共线时OB最大，其值为OE+BE＝+1；故选：D．12．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜B．﹣3＜m＜﹣C．﹣3＜m＜﹣2D．﹣3＜m＜﹣【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．解：令y＝﹣2x2+8x﹣6＝0，即x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，则点A（1，0），B（3，0），由于将C1向右平移2个长度单位得C2，则C2解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），当y＝x+m1与C2相切时，令y＝x+m1＝y＝﹣2（x﹣4）2+2，即2x2﹣15x+30+m1＝0，△＝﹣8m1﹣15＝0，解得m1＝﹣，当y＝x+m2过点B时，即0＝3+m2，m2＝﹣3，当﹣3＜m＜﹣时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，故选：D．二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共24分）13．因式分解：x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）．【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出即可．解：x3﹣4x＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2）．故答案为：x（x+2）（x﹣2）．14．下表是我市某一天在不同时段测得的气温情况0：004：008：0012：0016：0020：0011℃14℃16℃23℃20℃17℃则这一天气温的极差是12℃．【分析】直接利用极差的定义得出答案．解：这一天气温的极差是：23﹣11＝12（℃）．故答案为：12．15．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为144度．【分析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD，从而可求出∠AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠A＝＝108°．∵AB、DE与⊙O相切，∴∠OBA＝∠ODE＝90°，∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，故答案为：144．16．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围k ＜1且k≠0．【分析】因为关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，所以k≠0且△＝b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式组，解得k的取值范围即可．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0，且△＝b2﹣4ac＝36﹣36k＞0，解得k＜1且k≠0．故答案为k＜1且k≠0．17．某人预计步行从家去火车站，从家步行走到6分钟时，以同样的速度回家取忘带的物品，然后从家乘出租赶往火车站，结果到火车站的时间比预计步行的时间提前了3分钟，该人离家的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图所示，那么从家到火车站的路程是1600m．【分析】设步行到达的时间为t，根据早到3分钟列出方程求出t，然后求解即可．解：步行的速度为：480÷6＝80米/分钟，∵t＝16时，s＝80×16＝1280，∴相遇时的点的坐标为（16，1280），设s＝kt+b，则，解得，所以s＝320t﹣3840；设步行到达的时间为t，则实际到达是时间为t﹣3，由题意得，80t＝320（t﹣3）﹣3840，解得t＝20．所以家到火车站的距离为80×20＝1600m．故答案为：1600m．18．在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD ＝2AP，则AP的长为2或2或﹣．【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OA＝OC＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝6，∠ABC＝90°，根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可．解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，∴AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OA＝OC＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝6，∠ABC＝∠DAB ＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝6，∴OA＝OB＝OC＝OD＝3，有6种情况：①点P在AD上时，∵AD＝6，PD＝2AP，∴AP＝2；②点P在AC上时，设AP＝x，则DP＝2x，在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2＝DO2+OP2，（2x）2＝（3）2+（3﹣x）2，解得：x＝﹣（负数舍去），即AP＝﹣；③点P在AB上时，设AP＝y，则DP＝2y，在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2＝DP2，y2+62＝（2y）2，解得：y＝2（负数舍去），即AP＝2；④当P在BC上，设BP＝x，∵DP＝2AP，∴2＝，即x2+4x+24＝0，△＝42﹣4×1×24＜0，此方程无解，即当点P在BC上时，不能使DP＝2AP；⑤P在DC上，∵∠ADC＝90°，∴AP＞DP，不能DP＝2AP，即当P在DC上时，不能具备DP＝2AP；⑥P在BD上时，过P作PN⊥AD于N，过P作PM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ANP＝∠AMP＝90°，∴四边形ANPM是矩形，∴AM＝PN，AN＝PM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝45°，∵∠PMB＝90°，∴∠MBP＝∠MPB＝45°，∴BM＝PM＝AN，同理DN＝PN＝AM，设PM＝BM＝AN＝x，则PN＝DN＝AM＝6﹣x，都不能DP＝2AP，∵DP＝2AP，∴由勾股定理得：2＝，即x2﹣4x+12＝0，△＝（﹣4）2﹣4×1×12＜0，此方程无解，即当P在BD上时，不能DP＝2AP，故答案为：2或2或﹣．三．解答题（本大题共9小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：﹣2﹣2+cos45°﹣|1﹣|+（3.14﹣π）0．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．解：原式＝﹣+2×﹣（﹣1）+1＝﹣+2﹣+2＝﹣．20．解不等式组，并求出它的所有整数解的和．【分析】首先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定解集中的整数解然后求和．解：解①得：x≥﹣2，解②得：x＜4，则不等式组的解集是：﹣2≤x＜4，则整数解是：﹣2，﹣1，0，1，2，3．它们的和为3．21．在▱ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH＝EH．【分析】根据平行四边形的性质和已知条件易证△EBC是等腰三角形，由等腰三角形的性质：三线合一即可证明CH＝EH．【解答】证明：∵在▱ABCD中，BE∥CD，∴∠E＝∠2，∵CE平分∠BCD，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠E，∴BE＝BC，又∵BH⊥BC，∴CH＝EH（三线合一）．22．某服装店老板到厂家选购A、B两种品牌的羽绒服，B品牌羽绒服每件进价比A品牌羽绒服每件进价多200元，若用10000元购进A种羽绒服的数量是用7000元购进B种羽绒服数量的2倍．（1）求A、B两种品牌羽绒服每件进价分别为多少元？（2）若A品牌羽绒服每件售价为800元，B品牌羽绒服每件售价为1200元，服装店老板决定一次性购进A、B两种品牌羽绒服共80件，在这批羽绒服全部出售后所获利润不低于30000元，则最少购进B品牌羽绒服多少件？【分析】（1）求A、B两种品牌的羽绒服每件进价分别为多少元，可设A种品牌的羽绒服每件进价为x元，根据题意列出方程解方程．（2）先设B种品牌得羽绒服购进m件，根据全部出售后所获利润不低于30000元列出不等式求解即可．解：（1）设A种羽绒服每件的进价为x元，根据题意的解得x＝500经检验x＝500是原方程的解x+200＝700（元）答：A种羽绒服每件的进价为500元，B种羽绒服每件的进价为700元．（2）设购进B品牌的羽绒服m件，根据题意的（800﹣500）（80﹣m）+（1200﹣700）m≥30000解得m≥30∵m为整数∴m的最小值为30．答：最少购进B品牌的羽绒服30件．23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC 相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE．（1）求证：BC＝BH；（2）若AB＝5，AC＝4，求CE的长．【分析】（1）连接OE，如图，根据切线的性质得到OE⊥AC，则可证明∠1＝∠3，加上∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠2，然后证明Rt△BEH≌Rt△BEC得到结论；（2）利用勾股定理计算出BC＝3，设OE＝r，则OA＝5﹣r，证明△AOE∽△ABC，利用相似比计算出r＝，则AO＝，然后利用勾股定理计算出AE，从而得到CE的长．【解答】（1）证明：连接OE，如图，∵AC为切线，∴OE⊥AC，∴∠AEO＝90°，∵∠C＝90°，∴OE∥BC，∴∠1＝∠3，∵OB＝OE，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∵EH＝EC，在Rt△BEH和Rt△BEC中∴Rt△BEH≌Rt△BEC（HL），∴BC＝BH；（2）在Rt△ABC中，BC＝＝3，设OE＝r，则OA＝5﹣r，∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC，∴＝，即＝，解得r＝，∴AO＝5﹣r＝，在Rt△AOE中，AE＝＝，∴CE＝AC﹣AE＝4﹣＝．24．钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷）》试卷，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：收集数据：甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75乙小区：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90整理数据：成绩x（分）60≤x≤7070＜x≤8080＜x≤9090＜x≤100甲小区25a b乙小区3755分析数据：统计量平均数中位数众数甲小区85.7587.5c乙小区83.5d80应用数据：（1）填空：a＝8，b＝5，c＝90，d＝82.5；（2）若甲小区共有800人参与答卷，请估计甲小区成绩大于90分的人数；（3）社区管理员看完统计数据，准备从成绩在60到70分之间的两个小区中随机抽取2人进行再测试，请求出抽取的两人恰好一个是甲小区、一个是乙小区的概率．【分析】（1）根据样本数据可得a、b的值，利用众数和中位数的概念可得c、d的值；（2）用总人数乘以样本中甲小区成绩大于90分的人数所占比例即可得；（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．解：（1）由样本数据知80＜x≤90的数据有8个，即a＝8，90＜x≤100的数据有5个，即b＝5，甲小区的数据中90出现次数最多，因此众数是90，即c＝90；将乙小区数据重新排列为：60，65，70，75，75，80，80，80，80，80，85，85，90，90，90，95，95，95，100，100．则中位数d＝＝82.5，故答案为：8、5、90、82.5；（2）估计甲小区成绩大于90分的人数为800×＝200（人）；（3）列表如下：甲1甲2乙1乙2乙3甲1（甲2，甲1）（乙1，甲1）（乙2，甲1）（乙3，甲1）甲2（甲1，甲2）（乙1，甲2）（乙2，甲2）（乙3，甲2）乙1（甲1，乙1）（甲2，乙1）（乙2，乙1）（乙3，乙1）乙2（甲1，乙2）（甲2，乙2）（乙1，乙2）（乙3，乙2）乙3（甲1，乙3）（甲2，乙3）（乙1，乙3）（乙2，乙3）由表格可知，共有20种等可能结果，其中抽取的两人恰好一个是甲小区、一个是乙小区的有12种情况，∴抽取的两人恰好一个是甲小区、一个是乙小区的概率为＝．25．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的正半轴上，直线y＝x﹣1．交边AB、OA于点D、M，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，与BC的交点为N．（1）求BN的长．（2）点P是直线DM上的动点（点P不与点D、点M重合），连接PB、PC、MN，当△BCP的面积等于四边形ABNM的面积时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，连接CP，以CP为边作矩形CPEF，使矩形的对角线的交点G 落在直线DM上，请直接写出点G的坐标．【分析】（1）由正方形的性质可得出点A，B的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点D的坐标，由点D的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数解析式，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，结合点B的坐标可求出BN的长；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点M的坐标，利用梯形的面积公式可求出S梯形ABNM的值，设点P的坐标为（x，x﹣1）（x≠1，x≠3），利用三角形的面积公式结合△BCP的面积等于梯形ABNM的面积，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）过点C作CF⊥CP，交DM于点F，设点F的坐标为（n，n﹣1），结合点C，P 的坐标，利用两点间的距离公式可求出PF2，PC2，CF2的值，利用勾股定理可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出点F的坐标，再结合点G为线段PF的中点，即可求出点G的坐标．解：（1）依题意，得：点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（3，3）．当x＝3时，y＝x﹣1＝2，∴点D的坐标为（3，2）．将D（3，2）代入y＝，得：2＝，解得：m＝6，∴反比例函数解析式为y＝．当y＝3时，＝3，解得：x＝2，∴点N的坐标为（2，3），∴BN＝3﹣2＝1．（2）当y＝0时，x﹣1＝0，解得：x＝1，∴点M的坐标为（1，0），∴AM＝2，∴S梯形ABNM＝（BD+AM）•AB＝．设点P的坐标为（x，x﹣1）（x≠1，x≠3），∴S△BCP＝BC•|3﹣y P|＝|4﹣x|＝，解得：x1＝1（舍去），x2＝7，∴点P的坐标为（7，6）．（3）过点C作CF⊥CP，交DM于点F，如图2所示．设点F的坐标为（n，n﹣1）．∵点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（7，6），∴PC2＝（0﹣7）2+（3﹣6）2＝58，CF2＝（n﹣0）2+（n﹣1﹣3）2＝2n2﹣8n+16，PF2＝（n﹣7）2+（n﹣1﹣6）2＝2n2﹣28n+98．∵∠PCF＝90°，∴PF2＝PC2+CF2，即2n2﹣28n+98＝58+2n2﹣8n+16，解得：n＝，∴点F的坐标为（，）．又∵点G为线段PF的中点，∴点G的坐标为（，）．26．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．（1）求AE和BE的长；（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD 方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m 的值．（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；（2）依题意画出图形，如答图2所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；（3）在旋转过程中，等腰△DPQ有4种情形，如答图3所示，对于各种情形分别进行计算．解：（1）在Rt△ABD中，AB＝5，AD＝，由勾股定理得：BD＝＝＝．∵S△ABD＝BD•AE＝AB•AD，∴AE＝＝＝4．在Rt△ABE中，AB＝5，AE＝4，由勾股定理得：BE＝3．（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示：由对称点性质可知，∠1＝∠2．由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4＝∠1，BF＝B′F′＝3．①当点F′落在AB上时，∵AB∥A′B′，∴∠3＝∠4，∴∠3＝∠2，∴BB′＝B′F′＝3，即m＝3；②当点F′落在AD上时，∵AB∥A′B′，∴∠6＝∠2，∵∠1＝∠2，∠5＝∠1，∴∠5＝∠6，又易知A′B′⊥AD，∴△B′F′D为等腰三角形，∴B′D＝B′F′＝3，∴BB′＝BD﹣B′D＝﹣3＝，即m＝．（3）存在．理由如下：假设存在，在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：①如答图3﹣1所示，点Q落在BD延长线上，且PD＝DQ，易知∠2＝2∠Q，∵∠1＝∠3+∠Q，∠1＝∠2，∴∠3＝∠Q，∴A′Q＝A′B＝5，∴F′Q＝F′A′+A′Q＝4+5＝9．在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ＝＝＝．∴DQ＝BQ﹣BD＝﹣；②如答图3﹣2所示，点Q落在BD上，且PQ＝DQ，∴∠2＝∠P，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠P，∴BA′∥PD，∵PD∥BC，∴此时点A′落在BC边上．∵∠3＝∠2，∴∠3＝∠1，∴BQ＝A′Q，∴F′Q＝F′A′﹣A′Q＝4﹣BQ．在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2＝BQ2，即：32+（4﹣BQ）2＝BQ2，解得：BQ＝，∴DQ＝BD﹣BQ＝﹣＝；③如答图3﹣3所示，点Q落在BD上，且PD＝DQ，易知∠3＝∠4．∵∠2+∠3+∠4＝180°，∠3＝∠4，∴∠4＝90°﹣∠2．∵∠1＝∠2，∴∠4＝90°﹣∠1．∴∠A′QB＝∠4＝90°﹣∠1，∴∠A′BQ＝180°﹣∠A′QB﹣∠1＝90°﹣∠1，∴∠A′QB＝∠A′BQ，∴A′Q＝A′B＝5，∴F′Q＝A′Q﹣A′F′＝5﹣4＝1．在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ＝＝＝，∴DQ＝BD﹣BQ＝﹣；④如答图3﹣4所示，点Q落在BD上，且PQ＝PD，易知∠2＝∠3．∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＝∠3，∴∠1＝∠4，∴BQ＝BA′＝5，∴DQ＝BD﹣BQ＝﹣5＝．综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形；DQ的长度分别为﹣、、﹣或．27．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y ＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式．（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF ＝BF时，求sin∠EBA的值．（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先由直线解析式求出点A、C坐标，再将所求坐标代入二次函数解析式，求解可得；（2）先求出B（1，0），设E（t，﹣2t2﹣4t+6），作EH⊥x轴、FG⊥x轴，知EH∥FG，由EF＝BF知＝＝＝，结合BH＝1﹣t可得BG＝BH＝﹣t，据此知F（+t，+t），从而得出方程﹣2t2﹣4t+6＝（+t），解之得t1＝﹣2，t2＝﹣1，据此得出点E坐标，再进一步求解可得；（3）分EB为平行四边形的边和EB为平行四边形的对角线两种情况，其中EB为平行四边形的边时再分点M在对称轴右侧和左侧两种情况分别求解可得．解：（1）在y＝2x+6中，当x＝0时y＝6，当y＝0时x＝﹣3，∴C（0，6）、A（﹣3，0），∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c的图象经过A、C两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x+6；（2）令﹣2x2﹣4x+6＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∴B（1，0），∵点E的横坐标为t，∴E（t，﹣2t2﹣4t+6），如图，过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥x轴于点G，则EH∥FG，∵EF＝BF，∴＝＝＝，∵BH＝1﹣t，∴BG＝BH＝﹣t，∴点F的横坐标为+t，∴F（+t，+t），∴﹣2t2﹣4t+6＝（+t），∴t2+3t+2＝0，解得t1＝﹣2，t2＝﹣1，当t＝﹣2时，﹣2t2﹣4t+6＝6，当t＝﹣1时，﹣2t2﹣4t+6＝8，∴E1（﹣2，6），E2（﹣1，8），当点E的坐标为（﹣2，6）时，在Rt△EBH中，EH＝6，BH＝3，∴BE＝＝＝3，∴sin∠EBA＝＝＝；同理，当点E的坐标为（﹣1，8）时，sin∠EBA＝＝，∴sin∠EBA的值为或；（3）∵点N在对称轴上，∴x N＝＝﹣1，①当EB为平行四边形的边时，分两种情况：（Ⅰ）点M在对称轴右侧时，BN为对角线，∵E（﹣2，6），x N＝﹣1，﹣1﹣（﹣2）＝1，B（1，0），∴x M＝1+1＝2，当x＝2时，y＝﹣2×22﹣4×2+6＝﹣10，∴M（2，﹣10）；（Ⅱ）点M在对称轴左侧时，BM为对角线，∵x N＝﹣1，B（1，0），1﹣（﹣1）＝2，E（﹣2，6），∴x M＝﹣2﹣2＝﹣4，当x＝﹣4时，y＝﹣2×（﹣4）2﹣4×（﹣4）+6＝﹣10，∴M（﹣4，﹣10）；②当EB为平行四边形的对角线时，∵B（1，0），E（﹣2，6），x N＝﹣1，∴1+（﹣2）＝﹣1+x M，∴x M＝0，当x＝0时，y＝6，∴M（0，6）；综上所述，M的坐标为（2，﹣10）或（﹣4，﹣10）或（0，6）．。
2020年上海市虹口区中考数学一模试卷-解析版
2020年上海市虹⼝区中考数学⼀模试卷-解析版2020年上海市虹⼝区中考数学⼀模试卷⼀、选择题（本⼤题共6⼩题，共24.0分）1.若cosα=1，则锐⾓α的度数是()2A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，tanB=2，那么AC=()A. 1B. 4C. √5D. 2√53.抛物线y=3(x+1)2+1的顶点所在象限是()A. 第⼀象限B. 第⼆象限C. 第三象限D. 第四象限4.已知抛物线y=x2经过A(?2,y1)、B(1,y2)两点，在下列关系式中，正确的是()A. y1>0>y2B. y2>0>y1C. y1>y2>0D. y2>y1>05.已知a?、b? 和c?都是⾮零向量，在下列选项中，不能判定a?//b? 的是()A. |a?|=|b? |B. a?//c?，b? //c?C. a?+b? =0D. a?+b? =2c?，a??b? =3c?6.如图，点D是△ABC的边BC上⼀点，∠BAD=∠C，AC=2AD，如果△ACD的⾯积为15，那么△ABD的⾯积为()A. 15B. 10C. 7.5D. 5⼆、填空题（本⼤题共12⼩题，共48.0分）7.如果a：b=2：3，且a+b=10，那么a=______．8.如果向量a?、b? 、x? 满⾜关系式2b? ?3(a?+x? )=0，那么⽤向量a?、b? 表⽰向量x? =______．9.如果抛物线y=(1?a)x2+1的开⼝向下，那么a的取值范围是______．10.沿着x轴正⽅向看，抛物线y=?(x?1)2在对称轴______侧的部分是下降的(填“左”、“右”)．11.如果函数y=(m+1)x m2?m+2是⼆次函数，那么m=______．12.如图，抛物线的对称轴为直线x=1，点P、Q是抛物线与x轴的两个交点，点P在点Q的右侧，如果点P的坐标为(4,0)，那么点Q的坐标为______．.那13.如图，点A(2,m)在第⼀象限，OA与x轴所夹的锐⾓为α，如果tanα=32么m=______．14.已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AC=12、A1C1=8，△ABC的⾼AD为6，那么△A1B1C1的⾼A1D1长为______．15.如图，在梯形AEFB中，AB//EF，AB=6，EF=10，点C、D分别在边AE、BF上且CD//AB，如果AC=3CE，那么CD=______．16.公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直⾓三⾓形与中间的⼩正⽅形拼成的⼀个⼤正⽅形，如果⼩正⽅形⾯积是49，直⾓三⾓形中较⼩锐⾓θ的正切为5，那么⼤正⽅形的⾯积是______．1217.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，点D为边AB上⼀动点，正⽅形DEFG的顶点E、F都在边BC上，联结BG，tan∠DGB=______．18.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，sinC=4，AB=9，AD=6，点E、F分5别在边AB、BC上，联结EF，将△BEF沿着EF所在直线翻折，使BF的对应线段B′F经过顶点A，B′F交对⾓线BD于点P，当B′F⊥AB时，AP的长为______．三、计算题（本⼤题共1⼩题，共10.0分）tan260°19.计算：4sin30°cot30°?tan45°20. 在平⾯直⾓坐标系中，将抛物线C 1：y =x 2?2x 向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线C 2． (1)求新抛物线C 2的表达式；(2)如图，将△OAB 沿x 轴向左平移得到△O′A′B′，点A(0,5)的对应点A′落在平移后的新抛物线C 2上，求点B 与其对应点B′的距离．21. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，点G 是Rt △ABC 的重⼼，联结BG 并延长交AC 于点D ，过点G作GE ⊥BC 交边BC 于点E ． (1)如果AC =a ? ，AB =b ? ，⽤a ? 、b ? 表⽰向量BG ； (2)当AB =12时，求GE 的长．22. 某次台风来袭时，⼀棵笔直⼤树树⼲AB(假定树⼲AB 垂直于⽔平地⾯)被刮倾斜7°(即∠BAB′=7°)后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地⾯D 处，测得∠CDA =37°，AD =5⽶，求这棵⼤树AB 的⾼度．(结果保留根号)(参考数据：sin37≈0.6，cos37=0.8，tan37≈0.75)23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边BC的中点，连结AD.过点C作CE⊥AD于点E，连结BE．(1)求证：BD2=DE?AD；(2)如果∠ABC=∠DCE，求证：BD?CE=BE?DE．24.在平⾯直⾓坐标系中，抛物线y=?x2+bx+c与x轴交于A(?1,0)、B两点，与y轴交于点C(0,3)，点P在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为2√3．(1)求抛物线的表达式以及点P的坐标；(2)当三⾓形中⼀个内⾓α是另⼀个内⾓β的两倍时，我们称α为此三⾓形的“特征⾓”．①当D在射线AP上，如果∠DAB为△ABD的特征⾓，求点D的坐标；②点E为第⼀象限内抛物线上⼀点，点F在x轴上，CE⊥EF，如果∠CEF为△ECF的特征⾓，求点E的坐标．25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，sin∠ABC=3，点D为射线BC上⼀点，联结AD，5过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作AG//BD，交直线BE于点G．(1)当点D在BC的延长线上时，如果CD=2，求tan∠FBC；(2)当点D在BC的延长线上时，设AG=x，S△DAF=y，求y关于x的函数关系式(不需要写函数的定义域)；(3)如果AG=8，求DE的长．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了特殊⾓的三⾓函数值，解答本题的关键是掌握⼏个特殊⾓的三⾓函数值．根据cosα=1，求出锐⾓α的度数即可．2【解答】，解：∵cosα=12∴α=60°．故选C．2.【答案】B【解析】本题考查解直⾓三⾓形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据正切函数的定义求解即可．【解答】解：如图，在Rt∠ACB中，∵∠C=90°，=2，∴tanB=ACBC∴AC=2，2∴AC=4．故选：B．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查⼆次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利⽤⼆次函数的性质解答．根据抛物线y=3(x+1)2+1，可以写出该抛物线的顶点坐标，从⽽可以得到顶点在第⼏象限．【解答】解：∵抛物线y=3(x+1)2+1，∴该抛物线的顶点是(?1,1)，在第⼆象限，故选：B．4.【答案】C【分析】本题主要考查的是⼆次函数的性质，熟练掌握⼆次函数的对称性和增减性是解题的关键．依据抛物线的对称性可知：(2,y1)在抛物线上，然后依据⼆次函数的性质解答即可．【解答】解：∵抛物线y=x2，∴抛物线开⼝向上，对称轴为y轴，∴A(?2,y1)关于y轴对称点的坐标为(2,y1).⼜∵0<1<2，∴y1>y2>0，故选：C．【解析】【分析】本题考查了平⾯向量，是基础题，熟记平⾏向量的定义是解题的关键．根据⽅向相同或相反的⾮零向量叫做平⾏向量，对各选项分析判断后利⽤排除法求解．【解答】解：A.该等式只能表⽰两a?、b? 的模相等，但不⼀定平⾏，故本选项符合题意；B.由a?//c?，b? //c?可以判定a?//b? ，故本选项不符合题意．C.由a?+b? =0可以判定a?、b? 的⽅向相反，可以判定a?//b? ，故本选项不符合题意．D.由a?+b? =2c?，a??b? =3c?得到a?=52c?，b? =?12c?，则a?、b? 的⽅向相反，可以判定a?//b? ，故本选项不符合题意．故选：A．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了相似三⾓形的判定和性质；熟记相似三⾓形的⾯积⽐等于相似⽐的平⽅，是中考常见题型，解题关键是熟练掌握相似三⾓形的判定和性质．⾸先证明△BAD∽△BCA，由相似三⾓形的性质可得：△BAD的⾯积：△BCA的⾯积为1：4，得出△BAD的⾯积：△ACD的⾯积=1：3，即可求出△ABD的⾯积．【解答】解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA，∵AC=2AD，，，∵△ACD的⾯积为15，∴△ABD的⾯积=13×15=5，故选：D．7.【答案】4此题考查了⽐例的性质，熟练掌握⽐例的性质是解题的关键，即两内项之积等于两外项之积．根据已知条件设a=2k，b=3k，再根据a+b=10求出k的值，从⽽得出a的值．【解答】解：设a=2k，b=3k，∵a+b=10，解得：k=2，∴a=2k=2×2=4；故答案为：4．b? ?a?8.【答案】23【解析】【分析】此题考查了平⾯向量的知识．此题难度不⼤，注意掌握此向量⽅程的解法与⼀元⼀次⽅程的解法⼀样．利⽤⼀元⼀次⽅程的求解⽅法，去括号、移项、系数化1，即可求得答案．【解答】解：∵2b? ?3(a?+x? )=0，∴2b? ?3a??3x? =0，∴3x? =2b? ?3a?b? ?a?．∴x? =23b? ?a?．故答案是：239.【答案】a>1【解析】【分析】考查⼆次函数的图象和性质，明确a、b、c的值确定抛物线的位置是关键．根据抛物线y=ax2+bx+c的开⼝向下，则a<0，利⽤不等式求解即可．【解答】解：∵抛物线y=(1?a)x2+1的开⼝向下，∴1?a<0，解得，a>1，故答案为：a>1．10.【答案】右【解析】【分析】本题考查⼆次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利⽤⼆次函数的性质解答．根据抛物线y=?(x?1)2可以得到该抛物线的对称轴和在对称轴两侧，y随x的增⼤如何变化，从⽽可以解答本题．【解答】解：∵抛物线y=?(x?1)2，∴该抛物线的对称轴为x=1，当x<1时，y随x的增⼤⽽增⼤，当x>1时，y随x的增∴在对称轴右侧的部分是下降的，故答案为：右．11.【答案】2【解析】【分析】此题主要考查了⼆次函数的定义，正确得出m的⽅程是解题关键．直接利⽤⼆次函数的定义得出m的值．【解答】解：∵函数y=(m+1)x m2?m+2是⼆次函数，∴m2?m=2，(m?2)(m+1)=0，解得：m1=2，m2=?1，∵m+1≠0，∴m≠?1，故m=2．故答案为：2．12.【答案】(?2,0)【解析】【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点以及⼆次函数的性质，牢记抛物线的对称性是解题的关键．根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标，即可求出点Q的横坐标，此题得解．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，点P的坐标为(4,0)，∴点Q的横坐标为1×2?4=?2，∴点Q的坐标为(?2,0)．故答案为：(?2,0)．13.【答案】3【解析】【分析】本题考查解直⾓三⾓形，坐标由图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．如图，作AE⊥x轴于E.根据正切函数的定义构建关系式即可解决问题．【解答】解：如图，作AE⊥x轴于E．∵A(2,m)，∴OE=2，AE=m，AE3∴m2=32，∴m=3，故答案为3．14.【答案】4【解析】【分析】此题主要考查了相似三⾓形的性质，正确掌握相关性质是解题关键．直接利⽤相似三⾓形的性质得出相似⽐等于对应⾼的⽐进⽽得出答案．【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，AC=12、A1C1=8，∴相似⽐为：128=32，∵△ABC的⾼AD为6，∴△A1B1C1的⾼A1D1长为：6×23=4．故答案为：4．15.【答案】9【解析】【分析】本题考查了平⾏线分线段成⽐例定理，相似三⾓形的判定与性质等，解题关键是能够熟练运⽤平⾏线分线段成⽐例定理等．连接BE交CD于点M，由平⾏线分线段成⽐例定理先证CEAE =14，BDBF=34，再证△ECM∽△EAB，△BMD∽△BEF，由相似三⾓形的性质可分别求出CM，DM的长，可进⼀步求出CD的长．【解答】解：如图，连接BE交CD于点M，∵AC=3CE，∴CEAC =13，∵AB//EF，CD//AB，∴AB//CD//EF，∴DFBD =CEAC=13，∴CEAE =14，BDBF=34，∴△ECM∽△EAB，∴CMAB =CEAE，6=14，∴CM=32，∵MD//EF，∴△BMD∽△BEF，∴MDEF =BDBF，即MD10=34，∴MD=152，∴CD=CM+MD=32+152=9，故答案为：9．16.【答案】169【解析】【分析】此题考查了勾股定理的证明，解直⾓三⾓形等知识点，⾸先要求学⽣正确理解题意，然后会利⽤勾股定理和锐⾓三⾓函数的概念解题．由题意知⼩正⽅形的边长为7.设直⾓三⾓形中较⼩边长为a，较长的边为b，运⽤正切函数定义求解．【解答】解：由题意知，⼩正⽅形的边长为7，设直⾓三⾓形中较⼩边长为a，较长的边为b，则tanθ=短边：长边=a：b=5：12．所以b=12⼜因为b=a+7，②联⽴①②，得a=5，b=12．所以⼤正⽅形的⾯积是：a2+b2=25+144=169．故答案是：169．17.【答案】13【解析】【分析】本题主要考查了正⽅形的性质、相似三⾓形的判定与性质以及锐⾓三⾓函数，熟练掌握相似三⾓形的判定与性质是解答本题的关键．设DE与BG交于点O，根据题意可得△BDE∽△ABC，可得DEBE =ACBC=12，由正⽅形的性质可得GF=DE=EF，进⽽得出GFBF =13，再证明△DOG∽△EOB∽△FGB，可得DODG=EOEB=GF BF =13．【解答】解：如图，DE与BG交于点O，∵正⽅形DEFG，∴∠DEB=∠EDG=∠GFB=90°，GF=DE=EF，∴△BDE∽△ABC，∴DEBE =ACBC=1∴GFBF =13，∵∠DOG=∠EOB，∴△DOG∽△EOB∽△FGB，∴DODG =EOEB=GFBF=13，∴tan∠DGB=13．故答案为：1318.【答案】247【解析】【分析】本题考查相似三⾓形的判定和性质，解直⾓三⾓形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运⽤所学知识解决问题．解直⾓三⾓形求出BF，AF，再利⽤相似三⾓形的性质求解即可．【解答】解：如图，∵FB′⊥AB，∴∠BAF=90°，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC=∠C，AF4设AF =4k ，BF =5k ，则AB =9=3k ，∴k =3，∴AF =12，BF =15，∵AD//BF ，∴△APD∽△FPB ，∴PA PF=AD BF=615=25，∴PA 12?PA =25∴PA =247，故答案为247．19.【答案】解：原式=4×12√3?1(√3)2=√3?2．【解析】把特殊的锐⾓三⾓函数值代⼊计算即可．考查特殊锐⾓的三⾓函数值，⼆次根式的化简，识记特殊锐⾓的三⾓函数值，掌握⼆次根式的化简⽅法是正确计算的关键．20.【答案】解：(1)由抛物线C 1：y =x 2?2x =(x ?1)2?1知，将其向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线C 2的表达式是：y =(x ?1+2)2?1?3，即y =(x +1)2?4；(2)由平移的性质知，点A 与点A′的纵坐标相等，所以将y =5代⼊抛物线C 2，得(x +1)2?4=5，则x =?4或x =2(舍去) 所以AA′=4，根据平移的性质知：BB′=AA′=4，即点B 与其对应点B′的距离为4个单位．【解析】考查了⼆次函数图象与⼏何变换，⼆次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数解析式，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并⽤规律求函数解析式．(2)把y =5代⼊抛物线C 2求得相应的x 的值，即可求得点A′的坐标，根据平移的性质，线段AA′的长度即为所求．21.【答案】解：(1)∵BD =BA ????? +AD，∵点G 是Rt △ABC 的重⼼，∴AD =12AC ，∵AC =a ? ，AB =b ? ，∴AD =12a ? ，∴BD =?b ? +12a ? ，∴BG =23BD ? =23(?b ? +12a ? )=?23b ? +13a ? ； (2)过点D 作DF ⊥BC ，∵GE//DF ， GE2∵DF//AB ，D 是AC 的中点，∴DF =12AB ，∵AB =12，∴DF =6，∴GE =4．【解析】(1)由已知可得 AD =12a ? ，有BD =BA ????? +AD ，可得BD =?b ? +12a ? ，剩余BG =23BD =23(?b ? +12a ? )=?23b ? +13a ? ；(2)过点D 作DF ⊥BC ，由GE//DF ，则GEDF =23，再由DF//AB ，D 是AC 的中点，可得DF =12AB ，即可求GE ．本题考查三⾓形的重⼼、平⾯向量；熟练掌握三⾓形重⼼的性质，能够熟练运⽤向量的运算解题是关键．22.【答案】解：过点A 作AE ⊥CD 于点E ，则∠AEC =∠AED =90°．∵在Rt △AED 中，∠ADC =37°，∴cos37°=DE AD =DE 5=0.8，AE AD =AE 5=0.6，∴AE =3．在Rt △AEC 中，∵∠CAE =90°?∠ACE =90°?60°=30°，∴CE =√33AE =√3，∴AC =2CE =2√3，∴AB =AC +CE +ED =2√3+√3+4=3√3+4(⽶)．答：这棵⼤树AB 原来的⾼度是(3√3+4)⽶．【解析】过点A作AE⊥CD于点E，解Rt△AED，求出DE及AE的长度，再解Rt△AEC，得出CE及AC的长，进⽽可得出结论．本题考查的是解直⾓三⾓形的应⽤，根据题意作出辅助线，构造出直⾓三⾓形是解答此题的关键．23.【答案】(1)证明：如图1中，∵CE⊥AD，∴∠CED=∠ACD=90°，∵∠CDE=∠ADC，∴△CDE∽△ADC∴CDAD =DECD，∴CD2=DE?DA，∵DB=CD，∴BD2=DE?DA．(2)解：如图2中，∵BD2=DE?DA，BD DA∵∠BDE=∠ADB，∴△BDE∽△ADB，∴∠DEB=∠ABC，∵∠ABD=∠ECD，∴∠BED=∠BCE，∵∠EBD=∠CBE，∴△EBD∽△CBE，∴BECB =BDBE，∴BE2=BD?BC，∵CD=BD，∴BE2=2CD2，∵∠DCE+∠ACE=90°，∠CAD+∠ACE=90°，∴∠CAD=∠ECD=∠ABC，∵∠ACD=∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴ACBC =CDAC，∴AC2=CD?CB=2CD2，∴AC=BE，∵△ACE∽△CDE，∴ACCD =ECDE，∴BEBD =ECDE，∴BD?CE=BE?DE．【解析】(1)证明△CDE∽△ADC推出CDAD =DE，可得CD2=DE?DA即可解决问题．(2)利⽤相似三⾓形的性质⾸先证明AC=BE，再证明△ACE∽△CDE，可得ACCD =ECDE，可得BEBD =ECDE即可解决问题．本题属于相似形综合题，考查了相似三⾓形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三⾓形解决问题，属于中考压轴题．24.【答案】解：(1)抛物线y=?x2+bx+c与y轴交于点C(0,3)，则c=3，将点A的坐标代⼊抛物线表达式并解得：b=2，故抛物线的表达式为：y=?x2+2x+3；点P(1,2√3)；(2)由点A、P的坐标知，∠PAB=60°，直线AP的表达式为：y=√3(x+1)…①，当α=60°，∠DBA=β=12α=30°时，△ABD为直⾓三⾓形，由⾯积公式得：y D×AB=AD?BD，即y D×4=2×2√3，解得：y D=√3，点D在AP上，故点D(0,√3)；当∠ADB=β时，则∠ABD=90°，故点D(3,4√3)；综上，点D的坐标为：(0,√3)或(3,4√3)；(3)∠CEF为△ECF的特征⾓，则△CEF为等腰直⾓三⾓形，过点E分别作x轴、y轴的垂线交于点M、N，则△CNE≌△EMF(AAS)，则EN=EM，即x=y，x=y=?x2+2x+3，解得：x=1+√132，故点E(1+√132,1+√132).【解析】(1)抛物线y=?x2+bx+c与y轴交于点C(0,3)，则c=3，将点A的坐标代⼊抛物线表达式并解得：b=2，即可求解；(2)当α=60°，∠DBA=β=12α=30°时，△ABD为直⾓三⾓形，即可求解；当∠ADB=β时，则∠ABD=90°，即可求解；(3)∠CEF为△ECF的特征⾓，则△CEF为等腰直⾓三⾓形，则△CNE≌△EMF(AAS)，即可求解．本题考查的是⼆次函数综合运⽤，涉及到⼀次函数的性质、三⾓形全等和相似、新定义等，其中(2)，要注意分类求解，避免遗漏．25.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，BC=4，sin∠ABC=35，∴设AC=3x，AB=5x，∴(3x)2+16=(5x)2，∴x=1，∵BE⊥AD，∴∠AEF=90°，∵∠AFE=∠CFB，∴∠DAC=∠FBC，∴tan∠FBC=tan∠DAC=DCAC =23；(2)∵AG//BD，∴tan∠AGF=tan∠CBF，∴AFAG =CFBC，AG BC =AFCF，∴x4=3?CFCF，∴CF=124+x．∴AF=3?CF=3?124+x =3x4+x．∵∠EAF=∠CBF，∴CDAC =CFBC，∴CD=94+x，∴S△DAF=12AF?CD=12×3x4+x×94+x=27x2(4+x)2；(3)①当点D在BC的延长线上时，如图1，∵AG=8，BC=4，AG//BD，∴AGBC =AFCF=21，∴AF=2CF，∵AC=3，∴AF=2，CF=1，∴tan∠AGE=tan∠CBF=CFBC =14，∴AEGE =14，设AE=x，GE=4x，∴x2+16x2=82，8即AE =817√17．同理tan∠DAC =tan∠CBF ，∴DCAC =14，∴DC =34，∴AD =√AC 2+DC 2=√32+(34)2=34√17．∴DE =AD ?AE =34√17?817√17=19√1768．②当点D 在BC 的边上时，如图2，∵AG//BD ，AG =8，BC =4，∴AGBC =AFCF =84=21．∴AF =6，∵∠EAF =∠CBF =∠ABC ，∴cos∠EAF =cos∠ABC ，∴6AE =54，∴AE =245，同理ACAD =BCAB ，∴3AD =45，∴AD =154．∴DE =AE ?AD =245154=2120．综合以上可得DE 的长为19√1768或2120．【解析】(1)求出AC =3，可得∠DAC =∠FBC ，则tan∠FBC =tan∠DAC =DC AC =23； (2)由条件可得∠AGF =∠CBF ，可得AFAG =CFBC ，可⽤x 表⽰CF 和AF 的长，求出CD ，则S△DAF=1AF?CD，可⽤x表⽰结果；2(3)分两种情况，①当点D在BC的延长线上时，则DE=AD?AE可求出.②当点D在BC的边上时，可求出AE长AD的长，则DE=AE? AD可求出．本题是三⾓形综合题，考查了勾股定理，平⾏线的性质，三⾓形的⾯积，锐⾓三⾓函数等知识，熟练掌握锐⾓三⾓函数的定义是解题的关键．。
2020年上海市中考数学一模试卷 (含解析)
2020年上海市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列根式中，与√3是同类二次根式的是()A. 4√6B. √18C. √32 D. √122.用换元法解方程x2−12x −4xx2−12=3时，设x2−12x=y，则原方程可化为()A. y−1y −3=0 B. y−4y−3=0 C. y−1y+3=0 D. y−4y+3=03.空气是由多种气体混合而成的，为了简明扼要地介绍空气的组成情况，较好地描述数据，最适合使用的统计图是()A. 扇形统计图B. 条形统计图C. 折线统计图D. 以上都可以4.若反比例函数y=kx的图象经过点(2,3)，则k的值是()A. 2B. 3C. 6D. 15.下列命题中，正确的是()A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 有一个角为90°的四边形是平行四边形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线相等的菱形是正方形6.下列图形中可由其中的部分图形经过平移得到的是()A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.计算：2a2⋅3ab=______．8.已知函数f(x)=1x−2，那么f(0)=______．9.若正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图像经过第一、三象限，则k的值可以是____.(写出一个值即可)．10.若关于x的方程2x2−3x+k=0有两个相等的实数根，则k值为．11.从0～9这些自然数中，任取一个，是4的倍数的概率是______ ．12. 如果将抛物线y =3(x +1)2向上平移1个单位，再向左平移2个单位，那么所得到的抛物线的表达式是______．13. 每年5月11日是由世界卫生组织确定的世界防治肥胖日，某校为了解全校2000名学生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，根据体质指数(BMI)标准，体重超标的有15名学生，则估计全校体重超标学生的人数为________名．14. 如图所示，为了测量一棵树AB 的高度，测量者在D 点立一高CD =2米的标杆，现测量者从E 处可以看到杆顶C 与树顶A 在同一直线上，如果测得BD =20米，FD =4米，EF =1.8米，则树的高度为__________．15. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，联结AE 、BD 交于点F ，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用a ⃗ 、b ⃗ 表示DF ⃗⃗⃗⃗⃗=______．16. 波波和爸爸两人以相同路线从家出发，步行前往公园．图中OA 、BC 分别表示爸爸和波波所走的路程y(米)与爸爸步行的时间x(分)的函数图象，已知爸爸从家步行到公园所花的时间比波波的2倍还多10分钟．则在步行过程中，他们父子俩相距的最远路程是______ 米．17. 如图，在△ABC 中，∠CAB =90°，AB =6，AC =4，CD 是△ABC 的中线，将△ABC 沿直线CD 翻折，点B′是点B 的对应点，点E 是线段CD 上的点，如果∠CAE =∠BAB′，那么CE 的长是______．18. 如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E ，交边AD 于点F ，已知AD =5，AE =2，AF =4.如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O有两个公共点，那么r 的取值范围是______．三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）19. 化简：(12)−2−|2√2−3|+3√18；20. 解不等式组{2x ≤x +4x+33−x <−1．四、解答题（本大题共5小题，共58.0分）21. 如图，在四边形ABCD 中，∠BCD 是钝角，AB =AD ，BD 平分∠ABC ，若CD =3，BD =2√6，sin∠DBC =√33，求对角线AC 的长．22.某旅游商店8月份营业额为15万元，9月份下降了20%.受“十一”黄金周以及经济利好因素的影响，10月份、11月份营业额均比上一个月有所增长，10月份增长率是11月份增长率的1.5倍，已知该旅游商店11月份营业额为24万元．(1)问：9月份的营业额是多少万元？(2)求10月份营业额的增长率．23.如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．(1)求证：△ABE≌△ADE；(2)求证：EB2=EF⋅EG；(3)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，AE：EC=1：3，求BG的长．24.在平面直角坐标系xOy中抛物线y=−x2+bx+c经过点A、B、C，已知A(−1,0)，C(0,3)．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M(m,0)是x轴上一动点，若∠MNC=90°，直接写出实数m的取值范围．25.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．(1)求证：OD⊥BE．(2)若DE=√6，AB=6，求AE的长．(3)若△CDE的面积是△OBF面积的2，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由．3【答案与解析】1.答案：D解析：此题主要考查同类二次根式的定义，属于基础题，化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．可先将各二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同即可作出判断．解：A．4√6与√3不是同类二次根式，故本选项错误；B.√18=3√2与√3不是同类二次根式，故本选项错误；C.√32=√62与√3不是同类二次根式，故本选项错误；D.√12=2√3与√3是同类二次根式，故本选项正确；故选D．2.答案：B解析：【试题剖析】【试题解析】解：∵设x2−12x=y，∴x2−12x −4xx2−12=3，可转化为：y−4y=3，即y−4y−3=0．故选：B．直接利用已知将原式用y替换得出答案．此题主要考查了换元法解分式方程，正确得出y与x值间的关系是解题关键．3.答案：A解析：此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答．条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可．解：根据统计图的特点可知：空气是由多种气体混合而成的，为了简明扼要地介绍空气的组成情况，较好地描述数据，最适合使用的统计图是扇形统计图；故选A．4.答案：C解析：本题主要考查的是反比例函数的图象，求反比例函数的解析式的有关知识．把点(2,3)代入已知函数解析式，列出关于k的方程，通过解方程来求k的值．，解：由题意得3=k2解得k=6．故选C．5.答案：D解析：解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形还可能是等腰梯形，故错误；B、有一个角是90°的平行四边形是矩形，故错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；D、对角线相等的菱形是正方形，正确；故选D．利于平行四边形的判定方法、矩形的判定方法及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的判定方法、矩形的判定方法及正方形的判定方法，难度不大．6.答案：A解析：根据平移的性质，平移不改变图形的形状和大小对各选项分析判断即可得解．本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．解：A、可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项正确；B、不可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项错误；C、不可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项错误；D、不可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项错误．故选：A．7.答案：6a3b解析：解：2a2⋅3ab=6a3b，故答案为：6a3b.根据单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，计算可得．本题主要考查单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则．8.答案：−12解析：本题考查了函数值的知识，将自变量的取值代入函数解析式即可求得答案．将x=0代入f(x)=1x−2求解即可．解：∵函数f(x)=1x−2，∴f(0)=10−2=−12，故答案为：−12．9.答案：2(答案不唯一)解析：本题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，图象经过二、四象限，y 随x的增大而减小．根据正比例函数的性质可得k>0，写一个符合条件的数即可．解：∵正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过一、三象限，∴k>0∴k的值可以是2．故答案为2．10.答案：98解析：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．根据关于x的方程2x2−3x+k=0有两个相等的实数根可得△=(−3)2−4×2k=0，求出k的值即可．解：∵关于x的方程2x2−3x+k=0有两个相等的实数根，∴△=(−3)2−4×2k=0，∴9−8k=0，∴k=9．8故答案为9．811.答案：310解析：解：∵从0−9这10个自然数中任取一个数，每个数被取到的机会相同，即这10个结果出现的机会相同，在这10个数中是4的倍数的有0，4，8共3个数，∴P(是4的倍数)=3．10．故答案为：310首先得出从0−9有10个自然数，在这10个数中是4的倍数的有0，4，8共3个数，进而得出概率．此题主要考查了概率公式，正确理解列举法求概率应用的条件，是解题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12.答案：y=3(x+3)2+1解析：解：抛物线y=3(x+1)2的顶点坐标为(−1,0)，把点(−1,0)向上平移1个单位，再向右平移2个单位得到点(−3,1)，所以所得到的抛物线的表达式为y=3(x+3)2+1．故答案为y=3(x+3)2+1．先得到抛物线y=3(x+1)2的顶点坐标为(−1,0)，再根据题意把点(−1,0)向上平移1个单位，再向左平移2个单位得到点(−3,1)，则可根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13.答案：150解析：本题考查用样本估计总体．用全校学生乘以样本中体重超标学生占的比例，即可求解．=150(名)解：2000×15200故答案为150．14.答案：3米解析：本题考查相似三角形的应用，属于中档题．过E作EH⊥AB于H，交CD于G，利用相似三角形的性质即可得出结论．解：如图，过E作EH⊥AB于H，交CD于G；则：CG=CD−EF=0.2米，EG=FD=4米，EH=BF=BD+DF=24米；可得CG//AH ，可知：△CEG∽△AEH ，则有：CG AH =EG EH ，即：0.2AH =424，解得：AH =1.2米；∴AB =AH +BH =AH +EF =3米，故答案为3米．15.答案：−13a ⃗ −12b ⃗解析：本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF⃗⃗⃗⃗⃗ 即可解决问题． 解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB//CD ，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ， ∵DE =DC ，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12b ⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −12b ， ∵DE//AB ，∴EF ：AF =DE ：AB =1：2，∴EF =13AE ，∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ ， ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ −12b ⃗ ， 故答案为−13a ⃗ −12b ⃗ ． 16.答案：1200解析：解：波波所花的时间为(50−10)÷2=20(分钟)，爸爸的速度为3000÷50=60(米/分钟)，波波的速度为3000÷20=150(米/分钟)．根据题意得：线段OA的解析式为y=60x(0≤x≤50)；线段BC的解析式为y=150(x−10)=150x−1500(10≤x≤30)．当x=10时，60x−(150x−1500)=600；当x=30时，150x−1500−60x=1200．∵1200>600，∴他们父子俩相距的最远路程是1200米．故答案为：1200．根据父子所需时间之间的关系可算出波波所花的时间，由速度=路程÷时间即可分别算出父亲及波波的速度，再根据路程=速度×时间即可找出线段OA、BC的函数解析式，代入x=10及x=30求出y 值，比较后即可得出结论．本题考查了一次函数的应用，根据路程=速度×时间找出线段OA、BC的函数解析式是解题的关键．17.答案：165解析：解：如图，∵△CDB′是由△CDB翻折，∴∠BCD=∠DCB′，∠CBD=∠CB′D，AD=DB=DB′，∴∠DBB′=∠DB′B，∵2∠DCB+2∠CBD+2∠DBB′=180°，∴∠DCB+∠CBD+∠DBB′=90°，∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∠ACD+∠CDA=90°，∴∠ABB′=∠ACE，∵AD =DB =DB′=3，∴∠AB′B =90°，∵∠ACE =∠ABB′，∠CAE =∠BAB′，∴△ACE∽△ABB′，∴∠AEC =∠AB′B =90°，在Rt △ADC 中，∵AC =4，AD =3，∴CD =√AC 2+AD 2=5， ∵12AC ⋅AD =12⋅CD ⋅AE ， ∴AE =AC⋅ADCD =125，在Rt △ACE 中，CE =√AC 2−AE 2=√42−(125)2=165．故答案为165． 先证明∠AB′B =90°，再证明△ACE∽△ABB′，得到∠AEC =90°，利用面积法求出AE ，再利用勾股定理求出EC 即可．本题考查翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会利用相似三角形证明直角，属于中考常考题型．18.答案：√10−√5<r <√10+√5解析：解：如图，连接EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAC =90°，则EF 是⊙O 的直径，取EF 的中点O ，连接OD ，作OG ⊥AF ，则点G 是AF 的中点，∴GF =12AF =2，∴OG 是△AEF 的中位数，∴OG=12AE=1，∴OF=√OG2+GF2=√5，OD=√OG2+DG2=√10，∵圆D与圆O有两个公共点，∴√10−√5<r<√10+√5，故答案为：√10−√5<r<√10+√5．连接EF，知EF是⊙O的直径，取EF的中点O，连接OD，作OG⊥AF，知点G是AF的中点，据此可得GF=12AF=2，OG=12AE=1，继而求得OF=√OG2+GF2=√5，OD=√OG2+DG2=√10，最后根据两圆的位置关系可得答案．本题主要考查圆与圆的位置关系，解题的关键是掌握圆周角定理、圆心角定理、三角形中位线定理、勾股定理、矩形的性质及圆与圆的位置关系等知识点．19.答案：解：原式=4−(3−2√2)+3√2，=4−3+2√2+√22，=1+52√2．解析：这是一道考查实数的运算的题目，解题关键在于根据负整数指数幂和绝对值以及去分母，将原式进行化简，再进行合并．20.答案：解：解不等式2x≤x+4，得：x≤4，解不等式x+33−x<−1，得：x>3，则不等式组的解集为3<x≤4．解析：求得每一个不等式的解集，再进一步求得公共部分即可．此题考查一元一次不等式组的解集求法，其简单的求法就是利用口诀求解，“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”．21.答案：解：过D作DE⊥BC交BC的延长线于E，如图，则∠E=90°，∵sin∠DBC=√3，BD=2√6，3∴DE=2√2，∵CD=3，∴CE=1，BE=4，∴BC=3，∴BC=CD，∴∠CBD=∠CDB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠CDB，∴AB//CD，同理AD//BC，∴四边形ABCD是菱形，连接AC交BD于O，则AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=√6，∴OC=√BC2−BO2=√3，∴AC=2√3．解析：本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形有关知识，过D作DE⊥BC交BC的延长线于E，得到∠E=90°，根据三角形函数的定义得到DE=2√2，推出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=√6，根据勾股定理得到结论．22.答案：解：(1)9月份的营业额=15×(1−20%)=12(万元)；(2)设11月份的增长率为x，则10月份的增长率为1.5x，依题意，得：12(1+1.5x)(1+x)=24，, x2=−2(不合题意，舍去)，解得：x1=13=0.5．∴10月份的增长率为1.5×13答：10月份的增长率为50%．解析：本题考查了一元二次方程的应用，若原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x，经过第一次调整，就调整到a×(1±x)，再经过第二次调整就是a×(1±x)(1±x)=a(1±x)2.增长用“+”，下降用“−”．(1)用8月份的营业额×(1+增长率)计算九月份的营业额即可；(2)设设11月份的增长率为x，则10月份的增长率为1.5x，依题意，得：12(1+1.5x)(1+x)=24，解方程即可．23.答案：解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠BAC=∠DAC，又AE=AE，∴△ABE≌△ADE(SAS)；(2)∵AB//CG，∴∠ABG=∠EGD，由(1)得△ABE≌△ADE，∴ED=EB，∠ABG=∠ADE，∴∠EGD=∠ADE，∵∠FED=∠DEG，∴△EDF∽△EGD，∴EDEG =EFED，所以ED2=EF⋅EG；∴EB2=EF⋅EG；(3)∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC=AB=4．连接BD交AC于O，则AC⊥BD，OA=OC=2，OB=2√3，∵AE ：EC =1：3，∴AE =OE =1．∴BE =√(2√3)2+1=√13．∵AD//BC ，∴AE EC =EF BE =13， ∴EF =13BE =√133． 由(2)得EB 2=EF ⋅EG ，∴EG =√13)2√133=3√13， ∴BG =BE +EG =4√13．解析：【试题解析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定性质菱形的性质．线段间的转化是解题的关键．(1)用SAS 证明即可；(2)先证明△EDF∽△EGD ，得到ED 2=EF ⋅EG ，代换ED =EB 即可；(3)根据已知先求出BE 和EF 值，再根据EB 2=EF ⋅EG 求出EG 值，最后用BG =BE +EG 计算即可．24.答案：解：(1)由题意得：{−1−b +c =0c =3， 解得：{b =2c =3， ∴抛物线解析式为y =−x 2+2x +3；(2)令−x 2+2x +3=0，∴x 1=−1，x 2=3，即B(3,0)，设直线BC 的解析式为y =kx +b′，∴{b′=33k +b′=0， 解得：{k =−1b′=3， ∴直线BC 的解析式为y =−x +3，设P(a,3−a)，则D(a,−a 2+2a +3)，∴PD =(−a 2+2a +3)−(3−a)=−a 2+3a ，∴S △BDC =S △PDC +S △PDB =12PD ⋅a +12PD ⋅(3−a) =12PD ⋅3 =32(−a 2+3a) =−32(a −32)2+278， ∴当a =32时，△BDC 的面积最大，此时P(32,32)；(3)由(1)，y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，∴E(1,4)，设N(1,n)，则0≤n ≤4，取CM 的中点Q(m 2,32)，∵∠MNC =90°，∴NQ =12CM ，∴4NQ 2=CM 2，∵NQ 2=(1−m 2)2+(n −32)2， ∴4[(1−m 2)2+(n −32)2]=m 2+9，整理得，m =n 2−3n +1，即m =(n −32)2−54，∵0≤n ≤4，当n =32时，m 最小值=−54，n =4时，，综上，m 的取值范围为：−54≤m ≤5．解析：(1)由y =−x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，A(−1,0)，C(0,3)，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；(2)首先令−x 2+2x +3=0，求得点B 的坐标，然后设直线BC 的解析式为y =kx +b′，由待定系数法即可求得直线BC 的解析式，再设P(a,3−a)，即可得D(a,−a 2+2a +3)，即可求得PD 的长，由S △BDC =S △PDC +S △PDB ，即可得S △BDC =−32(a −32)2+278，利用二次函数的性质，即可求得当△BDC 的面积最大时点P 的坐标；(3)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m =(n −32)2−54，然后根据n 的取值得到最小值和最大值．此题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的最值问题等知识．此题综合性很强，难度较大． 25.答案：(1)证明见解析；(2)4；(3)AC =√2BC ．解析：(1)连接AD.根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及平行线的性质即可证明；(2)先证△CDE∽△CAB 得CE CB =DE AB ，据此求得CE 的长，依据AE =AC −CE =AB −CE 可得答案；(3)由BD =CD 知S △CDE =S △BDE ，证△OBF∽△ABE 得，据此知S △ABE =4S △OBF ，结合S ▵CDE S ▵OBF =23知S △ABE =6S △CDE ，S △CAB =8S △CDE ，由△CDE∽△CAB 知，据此得出CDCA =2√2，结合BD =CD ，AB =AC 知BC AB =√2，从而得出答案．【详解】(1)连接AD ，∵AB 是直径，∴∠AEB =∠ADB =90°，∵AB =AC ，∴∠CAD =∠BAD ，BD =CD ，∴BD ⌢=ED ⌢，∴OD ⊥BE ；(2)∵∠AEB =90°，∴∠BEC =90°，∵BD =CD ，∴BC =2DE =2√6，∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠BAC+∠BDE=180°，∵∠CDE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠BAC，∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB，∴CECB =DEAB，即2√6=√66，∴CE=2，∴AE=AC−CE=AB−CE=4；(3)∵BD=CD，∴S△CDE=S△BDE，∵BD=CD，AO=BO，∴OD//AC，∵△OBF∽△ABE，∴，∴S△ABE=4S△OBF，∵S▵CDES▵OBF =23，∴S△ABE=4S△OBF=6S△CDE，∴S△CAB=S△CDE+S△BDE+S△ABE=8S△CDE，∵△CDE∽△CAB，∴，∴CDCA =2√2，∵BD=CD，AB=AC，∴BCAB =√2，即AC=√2BC．本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质及等底共高三角形的面积关系的问题．。
2020年山东省烟台市福山区中考数学一模试卷 解析版
2020年山东省烟台市福山区中考数学一模试卷一、选择题（本题共12个小题每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的.1．如果a与3互为相反数，那么a的倒数等于（）A．3B．﹣3C．D．2．下列扑克牌中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图所示物体的左视图是（）A．B．C．D．4．某种冠状病毒的直径是110纳米，已知1纳米＝0.000 000 001米，用科学记数法将110纳米表示为（）A．1.1×10﹣7米B．1.1×10﹣8米C．1.1×10﹣9米D．1.1×10﹣10米5．利用科学计算器求一组数据的平均数，其按键顺序如下：则输出结果为（）A．1.5B．6.75C．2D．76．通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（）A．B．C．D．7．在2019年中考体育测试中，我区有6名学生的成绩如表，则这6名学生成绩的平均数、中位数、方差依次为（）成绩（分）353639人数321 A．36，35，1B．1，2.5，5C．36，35.5，1D．36，35.5，2 8．如图，直线y＝2x+1和y＝kx+3相交于点A（m，），则不等式关于x的不等式kx+3≤2x+1的解集为（）A．x≥B．x≥C．x≤D．x≤9．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝78°，则∠EAC的度数为（）A．22°B．24°C．27°D．30°10．如图，在同一直角坐标系中，y1＝ax2+bx+c与双曲线y2＝交于A（x a，y a），B（x b，y b），C（x c，y c）三点，则满足y1＜y2的自变量x的取值范围是（）A．x＞x a或x b＜x＜x c B．x a＜x＜0或x b＜x＜x cC．x＜x a或x＜x b或x＜x c D．x＜x a或0＜x＜x b或x＞x c11．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b；⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝5．其中正确的个数有（）A．5个B．4个C．3个D．2个12．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，0），△OAB是等边三角形，一动点P从O点开始，以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→B→O→A……规则作循环运动，那么第2020秒结束后，点P的坐标为（）A．（1，）B．（2，0）C．（，）D．（﹣，）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）13．（sin60°）﹣2+|﹣2|﹣（tan30°﹣1）0＝．14．两个最简二次根式3与是同类二次根式，则a＝．15．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k＝．16．如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，若△BDE的面积为3，则k＝．17．如图，正六边形ABCDEF内接于半径为2的⊙O，点M为BC的中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在DE上．把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，此圆锥的高为．18．如图，边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，点A恰好落在边BC的中点G处，则sin∠GFE＝．三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）19．（6分）先化简：，其中x的值从不等式组的整数解中选取．20．（8分）为阻断新冠疫情向校园蔓延，确保师生生命安全和身体健康，教育部通知，2020年春季学期延期开学，利用网上平台，停课不停学”，我区某校对初四全体学生数学线上学习情况进行调查，随机抽取部分学生的3月月诊断性测试成绩，按由高到低分为A，B，C，D四个等级，根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）该校共抽查了名同学的数学测试成绩，扇形统计图中A等级所占的百分比a＝；（2）补全条形统计图；（3）若该校初四共有1180名同学，请估计该校初四学生数学测试成绩优秀（测试成绩B 级以上为优秀，含B级）约有名；（4）该校老师想从两男、两女四位学生中随机选择两位了解平时线上学习情况，请用列表或画树形图的方法求出恰好选中一男一女的概率．21．（8分）某太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示，已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直，AC＝60cm，∠ADE＝30°，DE＝280cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度．（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）22．（9分）“小口罩，大温暖”为有效防控疫情，缓解基层防疫物资短缺问题，2020年2月10日，福山区首批4万只口罩免费派发．烟台市政府紧急调拨的这批民用口罩包括A，B两种不同款型，其中A型口罩单价100元/盒，B型口罩单价80元/盒．（1）先进行试点发放，某社区环卫工人共收到A，B两种款型的口罩100盒，总价值共计9200元，求免费发放给该社区环卫工人的A型口罩和B型口罩各多少盒？（2）我区某街道办事处决定将此项公益活动在其整个街道社区全面铺开，按照试点发放中A，B两种款型的数量比共发放2000盒．若该社区人口平均每500人发放A型口罩m 盒，B型口罩（3m﹣28）盒．求该街道社区人口总数．23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，PB⊥AB，过点B作BC⊥OP交⊙O于点C，垂足为D，连接PC并延长与BA的延长线交于点M．（1）求证：PM是⊙O的切线；（2）若，求的值．24．（11分）已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接CE．（1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF．当AC＝4时，求BF的长；（2）如图2，将图1中的△BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在△ABC的内部，连接AD，取AD的中点M，连接EM并延长至点N，使MN＝EM，连接CN．求证：CN ⊥CE．25．（14分）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y 轴交于点C．过点B的直线y＝kx+分别与y轴及抛物线交于点D，E．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）如图2，将直线BE沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于M，N两点．直线AC与线段EM交于点G．①四边形CGMN是平行四边形吗？请说明理由．②抛物线的对称轴上是否存在一点F．使|F A﹣FD|的值最大？若存在，求出其最大值及点F的坐标；若不存在，请说明理由．2020年山东省烟台市福山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的.1．如果a与3互为相反数，那么a的倒数等于（）A．3B．﹣3C．D．【分析】先根据只有符号不同的两个数互为相反数求出a，再根据乘积是1的两个数互为倒数解答．【解答】解：∵a与3互为相反数，∴a＝﹣3，∵（﹣3）×（﹣）＝1，∴a的倒数是﹣．故选：D．2．下列扑克牌中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项符合题意；B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：A．3．如图所示物体的左视图是（）A．B．C．D．【分析】根据左视图是矩形，左视图中间有横着的实线进行选择即可．【解答】解：左视图为：，故选：B．4．某种冠状病毒的直径是110纳米，已知1纳米＝0.000 000 001米，用科学记数法将110纳米表示为（）A．1.1×10﹣7米B．1.1×10﹣8米C．1.1×10﹣9米D．1.1×10﹣10米【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：110纳米×0.000 000 001＝1.1×10﹣7（m）．故选：A．5．利用科学计算器求一组数据的平均数，其按键顺序如下：则输出结果为（）A．1.5B．6.75C．2D．7【分析】根据题意，求的是3、3、0、2的平均数是多少，用3、3、0、2的和除以4即可．【解答】解：（3+3+0+2）÷4＝8÷4＝2∴输出结果为2．故选：C．6．通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（）A．B．C．D．【分析】作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．【解答】解：作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．由此可知：选项A符合条件，故选：A．7．在2019年中考体育测试中，我区有6名学生的成绩如表，则这6名学生成绩的平均数、中位数、方差依次为（）成绩（分）353639人数321 A．36，35，1B．1，2.5，5C．36，35.5，1D．36，35.5，2【分析】根据平均数、中位数和方差的计算公式分别进行解答，即可得出答案．【解答】解：这组数据的平均数是：（35×3+36×2+39）＝36（分）；把这些数从小到大排列为：35，35，35，36，36，39，则中位数是＝35.5（分）；方差是：[3×（35﹣36）2+2×（36﹣36）2+（39﹣36）2]＝2；故选：D．8．如图，直线y＝2x+1和y＝kx+3相交于点A（m，），则不等式关于x的不等式kx+3≤2x+1的解集为（）A．x≥B．x≥C．x≤D．x≤【分析】先把点A（m，）代入直线y＝2x+1求出m的值，故可得出A点坐标，再根据函数图象进行解答即可．【解答】解：∵直线y＝2x+1和y＝kx+3相交于点A（m，），∴＝2m+1，解得m＝，∴A（，），由函数图象可知，当x≥时，直线y＝2x+1的图象不在直线y＝kx+3的图象的下方，∵当x≥时，kx+3≤2x+1．故选：B．9．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝78°，则∠EAC的度数为（）A．22°B．24°C．27°D．30°【分析】根据菱形的性质、圆内接四边形的性质以及三角形内角和定理计算即可；【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣78°）＝51°，∵AD∥BC，∴∠ACE＝∠DAC＝51°，∵四边形AECD是⊙O的内接四边形，∴∠AEC＝180°﹣78°＝102°，∴∠EAC＝180°﹣102°﹣51°＝27°，故选：C．10．如图，在同一直角坐标系中，y1＝ax2+bx+c与双曲线y2＝交于A（x a，y a），B（x b，y b），C（x c，y c）三点，则满足y1＜y2的自变量x的取值范围是（）A．x＞x a或x b＜x＜x c B．x a＜x＜0或x b＜x＜x cC．x＜x a或x＜x b或x＜x c D．x＜x a或0＜x＜x b或x＞x c【分析】利用函数图象，写出抛物线在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：观察函数图象，当x＜x a或0＜x＜x b或x＞x c时，y1＜y2．故选：D．11．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b；⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝5．其中正确的个数有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．【解答】解：∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），∴﹣＝﹣1，a+b+c＝0，∴b＝2a，c＝﹣3a，∵a＜0，∴b＜0，c＞0，∴ab＞0且c＞0，故①错误，∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），∴（﹣2，0）和（0，0）关于对称轴对称，∴x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，故②正确，∵抛物线与x轴交于（﹣3，0），∴x＝﹣4时，y＜0，∴16a﹣4b+c＜0，∵b＝2a，∴16a﹣8a+c＜0，即8a+c＜0，故③错误，∵c＝﹣3a＝3a﹣6a，b＝2a，∴c＝3a﹣3b，故④正确，∵直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，∴方程ax2+（b﹣2）x+c﹣2＝0的两个根分别为x1，x2，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∴x1+x2+x1x2＝﹣+＝﹣+＝﹣5，故⑤错误，故选：D．12．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，0），△OAB是等边三角形，一动点P从O点开始，以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→B→O→A……规则作循环运动，那么第2020秒结束后，点P的坐标为（）A．（1，）B．（2，0）C．（，）D．（﹣，）【分析】计算前面7秒结束时的各点坐标，得出规律，再按规律进行解答便可．【解答】解：由题意得，第1秒结束时P点的坐标为P1（1，0）；第2秒结束时P点的坐标为P2（2，0）；第3秒结束时P点的坐标为P3（2﹣1×cos60°，1×sin60°），即；第4秒结束时P点的坐标为P4（1，2×sin60°），即；第5秒结束时P点的坐标为；第6秒结束时P点的坐标为P6（0，0）；第7秒结束时P点的坐标为P7（1，0），与P1相同；……由上可知，P点的坐标按每6秒进行循环，∵2020÷6＝336……4，∴第2020秒结束后，点P的坐标与P4相同为（1，），故选：A．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）13．（sin60°）﹣2+|﹣2|﹣（tan30°﹣1）0＝﹣．【分析】先代入三角函数值、去绝对值符号、计算零指数幂，再计算负整数指数幂，最后计算加减可得．【解答】解：原式＝（）﹣2+（2﹣）﹣1＝+2﹣﹣1＝﹣，故答案为：﹣．14．两个最简二次根式3与是同类二次根式，则a＝3．【分析】根据同类二次根式的定义，可得a＝a2﹣6a+12，解出a的值．【解答】解：由题意得，a＝a2﹣6a+12，整理得：a2﹣7a+12＝0，解得：a＝3或a＝4，∵3与是最简二次根式，当a＝4时，二次根式3与不是最简二次根式，∴a＝3．故答案为3．15．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k＝2．【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2，结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3可求出k的可能值，根据方程的系数结合根的判别式△≥0可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，解得：k＝±2．∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有实数根，∴△＝[﹣（k﹣1）]2﹣4×1×（﹣k+2）≥0，解得：k≥2﹣1或k≤﹣2﹣1，∴k＝2．故答案为：2．16．如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，若△BDE的面积为3，则k＝12．【分析】设出AD的长，表示出其横坐标，再根据D、E在反比例函数的图象上，表示出其纵坐标，进而表示BE，利用三角形的面积列方程求解即可．【解答】解：设AD＝a，则BD＝a，AB＝OC＝2a，∵点D、E在反比例函数的图象上，∴D（a，），E（2a，）∴BE＝﹣＝，又∵S△BDE＝3，∴BD•BE＝3，即×a×＝3，解得，k＝12，故答案为：12．17．如图，正六边形ABCDEF内接于半径为2的⊙O，点M为BC的中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在DE上．把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，此圆锥的高为．【分析】连接OC，作OP⊥CD于P，由垂径定理得出OM⊥BC，求出∠MOC＝30°，由直角三角形的性质得出OM＝CM＝，求出∠MON＝120°，由弧长公式得出的长＝，2πr＝，得出r＝，再由勾股定理即可得出答案．【解答】解：连接OC，作OP⊥CD于P，如图1所示：则∠OPC＝∠OPD＝90°，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠C＝∠D＝120°，∠OCM＝60°，∵点M为BC的中点，∴OM⊥BC，∴∠MOC＝30°，∴CM＝OC＝1，∴OM＝CM＝，∵以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，∴ON＝OM，∴ON⊥DE，由四边形内角和定理得：∠MOP＝∠NOP＝60°，∴∠MON＝120°，∴的长＝＝，围成的圆锥如图2所示：圆锥的高为OQ，底面半径为QM＝r，则2πr＝，∴r＝，由勾股定理得：OQ＝＝＝；故答案为：．18．如图，边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，点A恰好落在边BC的中点G处，则sin∠GFE＝．【分析】过F作FH⊥CD于H，过A作AP⊥CD于P，连接AG交EF于Q，依据勾股定理即可得到AG的长，进而得出GQ的长；再根据菱形的性质以及勾股定理即可得到FG的长，进而得到sin∠GFE的值．【解答】解：如图所示，过F作FH⊥CD于H，过A作AP⊥CD于P，连接AG交EF 于Q，由题可得，∠P AD＝30°，AD＝2，DG＝1，∴PD＝AD＝1，AP＝，∴Rt△APG中，AG＝＝＝，由折叠可得，EF垂直平分AG，∴GQ＝AG＝，由题可得，∠HDF＝60°，∴∠HFD＝30°，设HD＝x，则DF＝2x，FH＝x，AF＝GF＝2﹣2x，∵DG＝DC＝1，∴HG＝x+1，∵Rt△FGH中，（x+1）2+（x）2＝（2﹣2x）2，解得：x＝0.3，∴AF＝FG＝2﹣0.6＝，∴Rt△FGQ中，sin∠GFE＝＝＝，故答案为：．三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）19．（6分）先化简：，其中x的值从不等式组的整数解中选取．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从不等式组的整数解中选取使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：＝＝＝，由不等式组，得﹣2≤x＜3，∵x＝1，0时，原分式无意义，∴x可以取的整数为﹣2，﹣1，2，当x＝﹣2时，原式＝＝﹣，当x＝﹣1时，原式＝＝﹣，当x＝2时，原式＝＝4．20．（8分）为阻断新冠疫情向校园蔓延，确保师生生命安全和身体健康，教育部通知，2020年春季学期延期开学，利用网上平台，停课不停学”，我区某校对初四全体学生数学线上学习情况进行调查，随机抽取部分学生的3月月诊断性测试成绩，按由高到低分为A，B，C，D四个等级，根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）该校共抽查了100名同学的数学测试成绩，扇形统计图中A等级所占的百分比a＝20%；（2）补全条形统计图；（3）若该校初四共有1180名同学，请估计该校初四学生数学测试成绩优秀（测试成绩B 级以上为优秀，含B级）约有590名；（4）该校老师想从两男、两女四位学生中随机选择两位了解平时线上学习情况，请用列表或画树形图的方法求出恰好选中一男一女的概率．【分析】（1）根据C级的人数是40，所占的百分比，据此即可求得总人数；进而可求出扇形统计图中A等级所占的百分比a的值；（2）由（1）中的数据可求出B级的人数即可补全条形统计图；（3）求出A级和B级共占的百分比即可根据该校初四学生数学测试成绩优秀；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后利用概率公式求解．【解答】解：（1）本次抽样数学测试的学生人数是：40÷×100%＝100（名）；a＝×100%＝20%，故答案为：100，20%；（2）B级的人数＝100﹣20﹣40﹣10＝30（名），补全条形统计图如图所示：（3）该校初四共有1180名同学，估计该校初四学生数学测试成绩优秀人数＝1180×（30%+20%）＝590（名），故答案为：590；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为8，所以所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率＝＝．21．（8分）某太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示，已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直，AC＝60cm，∠ADE＝30°，DE＝280cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度．（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【分析】设OE＝OB＝2xcm，在直角△OCD中，根据含30度角的直角三角形的性质得出OC＝OD＝140+x，那么BC＝OC﹣OB＝140﹣x．然后在直角△ABC中，利用正切函数的定义列出关于x的方程，求出x即可得到答案．【解答】解：设OE＝OB＝2xcm，∴OD＝DE+OE＝280+2x，∵∠ADE＝30°，∴OC＝OD＝140+x，∴BC＝OC﹣OB＝140+x﹣2x＝140﹣x，∵tan∠BAD＝，∴2.14≈，解得：x≈11.6，∴OB＝2x≈23（cm）．故OB的长度约为23cm．22．（9分）“小口罩，大温暖”为有效防控疫情，缓解基层防疫物资短缺问题，2020年2月10日，福山区首批4万只口罩免费派发．烟台市政府紧急调拨的这批民用口罩包括A，B两种不同款型，其中A型口罩单价100元/盒，B型口罩单价80元/盒．（1）先进行试点发放，某社区环卫工人共收到A，B两种款型的口罩100盒，总价值共计9200元，求免费发放给该社区环卫工人的A型口罩和B型口罩各多少盒？（2）我区某街道办事处决定将此项公益活动在其整个街道社区全面铺开，按照试点发放中A，B两种款型的数量比共发放2000盒．若该社区人口平均每500人发放A型口罩m 盒，B型口罩（3m﹣28）盒．求该街道社区人口总数．【分析】（1）设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，根据“该社区环卫工人共收到A，B两种款型的口罩100盒，总价值共计9200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）由发放数量比为试点发放中A，B两种款型的数量比，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，将其代入（m+3m﹣28）中可求出该社区平均每500人发放的口罩数量，再结合整个街道社区共发放2000盒，即可求出该街道社区人口总数．【解答】解：（1）设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，依题意得：，解得：．答：免费发放给该社区环卫工人的A型口罩60盒，B型口罩40盒．（2）依题意得：＝，解得：m＝12，∴m+3m﹣28＝20．∴该街道社区人口总数＝×500＝50000（人）．答：该街道社区人口总数为50000人．23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，PB⊥AB，过点B作BC⊥OP交⊙O于点C，垂足为D，连接PC并延长与BA的延长线交于点M．（1）求证：PM是⊙O的切线；（2）若，求的值．【分析】（1）连接OC，根据全等三角形的性质得到∠OCP＝∠OBP，求得∠OCP＝90°，于是得到PM是⊙O的切线；（2）连接OC，根据余角的性质得到OCD＝∠CPO，根据相似三角形的性质得到OC2＝OD•OP，设OD＝x，PD＝9x，根据勾股定理得到AC＝＝2x，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵OC＝OB，BC⊥OP，∴∠COP＝∠BOP，∵OP＝OP，∴△PBO≌△PCO（SAS），∴∠OCP＝∠OBP，∵PB⊥AB，∴∠ABP＝90°，∴∠OCP＝90°，∴PM是⊙O的切线；（2）解：连接OC，∵∠OCP＝∠CDO＝90°，∴∠OCD＝∠CPO，∴△OCD∽△OPC，∴＝，∴OC2＝OD•OP，∵，∴设OD＝x，PD＝9x，∴OP＝10x，∴OC＝x，∴BC＝6x，∴AC＝＝2x，∵∠ACM+∠ACO＝∠OCD+∠ACO＝90°，∴∠ACM＝∠OCD，∴∠ACM＝∠CPO，∴AC∥OP，∴△ACM∽△OPM，∴＝＝，∴＝．24．（11分）已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接CE．（1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF．当AC＝4时，求BF的长；（2）如图2，将图1中的△BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在△ABC的内部，连接AD，取AD的中点M，连接EM并延长至点N，使MN＝EM，连接CN．求证：CN ⊥CE．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可求AB＝AC＝4，DB＝BE，∠ABC＝45°，∠DBE＝45°，可求BE＝2，由勾股定理可求CE＝2，由直角三角形的性质可求解；（2）由“SAS”可证△AMN≌△DME，可得AN＝DE＝BE，∠MAN＝∠ADE，再由“SAS”可证△ACN≌△BCE，可得∠ACN＝∠BCE，可得结论．【解答】解：（1）∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，∴AC＝BC＝4，AB＝AC＝4，DE＝BE，DB＝BE，∠ABC＝45°，∠DBE＝45°，∵AB＝2BD，∴AD＝BD＝2，∴BE＝2，∵∠CBE＝∠ABC+∠DBE＝90°，∴CE＝＝＝2，∵点F是CE的中点，∴BF＝CE＝；（2）如图，连接AN，设DE与AB交于点H，∵点M是AD中点，∴AM＝MD，又∵MN＝ME，∠AMN＝∠DME，∴△AMN≌△DME（SAS），∴AN＝DE，∠MAN＝∠ADE，∴AN∥DE，∴∠NAH+∠DHA＝180°，∵∠NAH＝∠NAC+∠CAB＝∠NAC+45°，∠DHA＝∠EDB+∠DBH＝45°+∠DBH，∴∠NAC+45°+45°+∠DBH＝180°，∴∠NAC+∠DBH＝90°，∵∠CBA+∠DBE＝45°+45°＝90°，∴∠CBE+∠DBH＝90°，∴∠CBE＝∠NAC，又∵AC＝BC，AN＝DE＝BE，∴△ACN≌△BCE（SAS），∴∠ACN＝∠BCE，∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠ACN+∠ACE＝90°＝∠NCE，∴CN⊥CE．25．（14分）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y 轴交于点C．过点B的直线y＝kx+分别与y轴及抛物线交于点D，E．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）如图2，将直线BE沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于M，N两点．直线AC与线段EM交于点G．①四边形CGMN是平行四边形吗？请说明理由．②抛物线的对称轴上是否存在一点F．使|F A﹣FD|的值最大？若存在，求出其最大值及点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把点B的坐标（1，0）代入y＝kx+可以求出直线的解析式，把点A、B 的坐标分别代入y＝ax2+2x+c可以求得抛物线的解析式；（2）①通过计算得到直线AC与直线MN的解析式中自变量的系数相等，故AC∥MN，通过计算得出点M与点E的横坐标相同，故ME∥y轴，即GM∥CN，从而得到结论；②因为F A＝FB，通过对进行转化并通过勾股定理进行计算可以得到答案．【解答】解：（1）由于直线y＝kx+过点B，把点B的坐标（1，0）代入y＝kx+，得：k+＝0，∴k＝﹣，∴直线的解析式为y＝，由于抛物线y＝ax2+2x+c过点A、B，把点A、B的坐标分别代入y＝ax2+2x+c，得：，解得：，∴拋物线的解析式为；（2）①解方程组得：或，∴点E的坐标为（﹣5，4），在中，令x＝0得：y＝﹣，∴C（0，），设直线AC的解析式为y＝mx+b，把A、C两点的坐标分别代入y＝mx+b得：，解得：，∴直线AC的解析式为，将直线BE沿y轴向下平移4个单位后得到的直线MN的解析式为y＝﹣4，即，由于直线AC与直线MN的解析式中自变量的系数相等，∴AC∥MN，在中，令y＝0得x＝﹣5，∴M（﹣5，0），由于点M与点E的横坐标相同，∴ME∥y轴，即GM∥CN，∴四边形CGMN是平行四边形；②抛物线的对称轴上存在点F，使得的值最大，如图，设抛物线的对称轴与直线BE交于点H，连接FB，由于A、B两点关于抛物线的对称轴对称，即拋物线的对称轴垂直平分线段AB，故F A＝FB，∴≤BD，即的最大值为线段BD的长，此时点F在线段BD的延长线上，且与点H重合，在中，∵，∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣，把x＝﹣代入y＝得：y＝，即点H的坐标为（），∴点F的坐标为（），在y＝中，令x＝0得y＝，∴D（0，），∴OD＝，∵B（1，0），∴OB＝1，在Rt△OBD中，由勾股定理得：，所以抛物线的对称轴上存在点F，使得的值最大，且最大值为，此时点F的坐标为（）．。
2020年山东省青岛市胶州市中考数学一模试卷 解析版
2020年山东省青岛市胶州市中考数学一模试卷一．选择题（共8小题）1．的绝对值是（）A．B．C．D．2．根据中国卫生健康委员会报道，截止到2020年4月10日24时，新型冠状病毒肺炎疫情据31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团报告，累计治愈出院病例77525例，将77525用科学记数法表示为（）A．77.525×103B．7.7525×104C．0.77525×105D．7.7525×1053．下列图案中是轴对称图形，但不是中心对称图形的有（）A．B．C．D．4．下列运算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．C．a6÷a3＝a2D．（a﹣1）（a+2）＝a2﹣25．如图，点A，B，C在⊙O上，BO的延长线交AC于点D，∠A＝40°，∠C＝25°，则∠ADB的度数为（）A．110°B．115°C．120°D．125°6．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点都在格点上，如果先将线段AB向右平移两个单位，得到线段A′B′，其中点A、B的对应点分别为点A′、B′，然后将线段A′B′绕点P顺时针旋转得到线段A′′B′′，其中点A′、B′的对应点分别为点A′′、B′′，则旋转中心点P的坐标为（）A．（1，0）B．（0，2）C．（3，1）D．（4，﹣1）7．如图，在△ABC中，点D是△ABC的内心，连接DB，DC，过点D作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F，若BE+CF＝8，则EF的长度为（）A．4B．5C．8D．168．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则一次函数y＝ax+bc与反比例函数在平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）9．计算：＝．10．某射击运动员最近6次训练的成绩分别为6环，9环，4环，10环，9环，10环，则该运动员这6次成绩的方差为．11．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD＝°．12．如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（1，m），B（4，n）两点．则不等式kx+b﹣≥0的解集为．13．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、CD边上，AD＝6，AB＝8，将△CBE沿CE翻折，使B点的对应点B′刚好落在对角线AC上，将△ADF沿AF翻折，使D点的对应点D′也恰好落在对角线AC上，连接EF，则EF的长为．14．如图所示是一种棱长分别是2cm，3cm，4cm的长方体积木，现要用若干块这样的积木来搭建大长方体，如果用6块积木来搭，那么搭成的大长方体的表面积最小是cm2．三．解答题15．已知：∠α，线段c．求作：Rt△ABC，使∠A＝∠α，AB＝c，∠C＝90°．16．（1）．（2）解不等式组．17.小明和小亮进行摸牌游戏，如图，他们有四张除牌面数字不同外、其他地方完全相同的纸牌，牌面数字分别为4，5，6，7，他们把纸牌背面朝上，充分洗匀后，从这四张纸牌中摸出一张，记下数字放回后，再次重新洗匀，然后再摸出一张，再次记下数字，将两次数字之和做为对比结果．若两次数字之和大于11，则小明胜；若两次数字之和小于11，则小亮胜．（1）请你用列表法或树状图列出这个摸牌游戏中所有可能出现的结果．（2）这个游戏公平吗？请说明理由．18.“停课不停学，学习不延期”，某市通过教育资源公共服务平台和有线电视为全市中小学开设在线“空中课堂”，为了解学生每天的学习时间情况，在全市随机抽取了部分初中学生进行问卷调查，现将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题：组别学习时间x（h）人数（人）A 2.5＜x≤340B3＜x≤3.5170C 3.5＜x≤4350D4＜x≤4.5E 4.5＜x≤590F5小时以上50（1）这次参与问卷调查的初中学生有人，中位数落在组．（2）补全条形统计图．（3）若此市有初中学生2.8万人，求每天参与“空中课堂”学习时间3.5到4.5小时（不包括3.5小时）的初中学生有多少人？19.为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C 到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D 的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）20.某市地铁1号线全长约60km，市政府通过招标，甲、乙两家地铁工程公司承担了施工任务，根据招标合同可知，甲公司每月计划施工效率是乙公司的1.2倍，则乙公司单独施工比甲公司单独施工多用10个月，且市政府需要支付给甲公司的施工费用为6亿元/km，乙公司的施工费用为5亿元/km．（1）甲、乙两家地铁工程公司每月计划施工各为多少km？（2）由于设备和施工现场只能供一家地铁工程公司单独施工的原因，现计划甲、乙两家公司共用55个月恰好完成施工任务（每家公司施工时间不足一个月按照一个整月计算），且甲公司施工时间不得少于乙公司的两倍，应如何安排才能使市政府支付给两家地铁工程公司的总费用最少？21.如图，在▱ABCD中，点E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥BD，且CF＝DE，连接AE、BF、EF．（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若∠BFC﹣∠ABE＝90°，判断四边形ABFE的形状，并证明你的结论．22.某商场销售某种型号防护面罩，进货价为40元/个．经市场销售发现：售价为50元/个时，每周可以售出100个，若每涨价1元，就会少售出5个．供货厂家规定市场售价不得低于50元/个，且商场每周销售数量不得少于80个．（1）确定商场每周销售这种型号防护面罩所得的利润w（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式．（2）当售价x（元/个）定为多少时，商场每周销售这种防护面罩所得的利润w（元）最大？最大利润是多少？23.如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝12cm，BD＝16cm，点P从点D出发，沿DA方向匀速向点A运动，速度为2cm/s；同时，点E从点B出发，沿BO方向匀速向点O运动，速度为1cm/s，EF∥BC，交OC于点F．当点P、E中有一点停止运动时，另一点也停止运动，线段EF也停止运动，连接PE、DF（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PE∥AB？（2）设四边形EFDP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式．（3）是否存在某一时刻t，使得S四边形EFDP：S菱形ABCD＝21：48？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）连接FP，是否存在某一时刻t，使得FP⊥AD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．2020年山东省青岛市胶州市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．的绝对值是（）A．B．C．D．【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．【解答】解：的绝对值是：．故选：C．2．根据中国卫生健康委员会报道，截止到2020年4月10日24时，新型冠状病毒肺炎疫情据31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团报告，累计治愈出院病例77525例，将77525用科学记数法表示为（）A．77.525×103B．7.7525×104C．0.77525×105D．7.7525×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将“77525”用科学记数法表示为7.7525×104．故选：B．3．下列图案中是轴对称图形，但不是中心对称图形的有（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：A．4．下列运算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．C．a6÷a3＝a2D．（a﹣1）（a+2）＝a2﹣2【分析】利用合并同类项法则、同底数幂的除法法则、多项式乘以多项式法则及负整数指数幂的意义，计算判断即可．【解答】解：∵a3与a2不是同类项，不能加减，故A错误；＝×＝，故选项B正确；a6÷a3＝a3≠a2，故选项C错误；（a﹣1）（a+2）＝a2+a﹣2，故选项D错误．故选：B．5．如图，点A，B，C在⊙O上，BO的延长线交AC于点D，∠A＝40°，∠C＝25°，则∠ADB的度数为（）A．110°B．115°C．120°D．125°【分析】首先求出∠BOC，利用三角形的外角求出∠CDO即可解决问题．【解答】解：∵∠BOC＝2∠A，∠A＝40°，∴∠BOC＝80°，∵∠BOC＝∠C+∠CDO，∠C＝25°，∴∠CDO＝55°，∴∠ADB＝180°﹣55°＝125°，故选：D．6．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点都在格点上，如果先将线段AB向右平移两个单位，得到线段A′B′，其中点A、B的对应点分别为点A′、B′，然后将线段A′B′绕点P顺时针旋转得到线段A′′B′′，其中点A′、B′的对应点分别为点A′′、B′′，则旋转中心点P的坐标为（）A．（1，0）B．（0，2）C．（3，1）D．（4，﹣1）【分析】根据线段垂直平分线的性质作图即可得到结论．【解答】解：如图所示，分别作A''A′和B''B′的垂直平分线，两线交于一点P，则点P 即为所求，且P（0，2）．故选：B．7．如图，在△ABC中，点D是△ABC的内心，连接DB，DC，过点D作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F，若BE+CF＝8，则EF的长度为（）A．4B．5C．8D．16【分析】根据点D是△ABC的内心，可得BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，再根据EF ∥BC，可得∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，得ED＝EB，FD＝FC，根据BE+CF＝8进而得EF的长度．【解答】解：∵点D是△ABC的内心，∴BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，∴ED＝EB，FD＝FC，∴EF＝ED+FD＝BE+CF＝8．答：EF的长度为8．故选：C．8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则一次函数y＝ax+bc与反比例函数在平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，∴a＞0，∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，∴a、b异号，即b＜0．∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴一次函数y＝ax+bc的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象分布在第二、四象限，故选：C．二．填空题（共6小题）9．计算：＝2﹣2．【分析】利用二次根式的除法法则运算．【解答】解：原式＝﹣＝2﹣2．故答案为2﹣2．10．某射击运动员最近6次训练的成绩分别为6环，9环，4环，10环，9环，10环，则该运动员这6次成绩的方差为5．【分析】先由平均数的公式计算出这组数据的平均数，再根据方差的公式计算即可．【解答】解：6次成绩的平均数为：（6+9+4+10+9+10）＝8（环），则该运动员这6次成绩的方差为：[（6﹣8）2+（9﹣8）2+（4﹣8）2+（10﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝5．故答案为：5．11．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD＝35°．【分析】连接AD．首先证明∠ADB＝90°，求出∠A即可解决问题．【解答】解：连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝55°，∴∠A＝90°﹣55°＝35°，∴∠BCD＝∠A＝35°，故答案为35°．12．如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（1，m），B（4，n）两点．则不等式kx+b﹣≥0的解集为x＜0和1≤x≤4．【分析】从函数图象看，当x＜0和1≤x≤4时，y1在y2的上方，从而求解．【解答】解：从函数图象看，当x＜0和1≤x≤4时，y1在y2的上方，故不等式kx+b﹣≥0的解集为x＜0和1≤x≤4，故答案为：x＜0和1≤x≤4．13．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、CD边上，AD＝6，AB＝8，将△CBE沿CE翻折，使B点的对应点B′刚好落在对角线AC上，将△ADF沿AF翻折，使D点的对应点D′也恰好落在对角线AC上，连接EF，则EF的长为2．【分析】过点F作FM⊥AB于点M，由勾股定理可求AC的长，由折叠的性质可得BE ＝B'E，BC＝B'C＝6，∠EB'C＝∠B＝90°，通过证明△AB'E∽△ABC，可求B'E＝BC＝3＝BE，AE＝AC＝5，通过证明四边形ADFM是矩形，可得AM＝DF＝3，AD＝MF ＝6，可得EM＝2，由勾股定理可求解．【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，∵AD＝6＝BC，AB＝8，∴AC＝＝＝10，∵将△CBE沿CE翻折，∴BE＝B'E，BC＝B'C＝6，∠EB'C＝∠B＝90°，∴AB'＝4，∵∠EAB'＝∠BAC，∠B＝∠AB'E＝90°，∴△AB'E∽△ABC，∴＝，∴B'E＝BC＝3＝BE，AE＝AC＝5，同理可求DF＝3，∵FM⊥AB，∠ADC＝∠DAB＝90°，∴四边形ADFM是矩形，∴AM＝DF＝3，AD＝MF＝6，∴EM＝2，∴EF＝＝＝2，故答案为：2．14．如图所示是一种棱长分别是2cm，3cm，4cm的长方体积木，现要用若干块这样的积木来搭建大长方体，如果用6块积木来搭，那么搭成的大长方体的表面积最小是168 cm2．【分析】如果用6块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是长4cm，宽3×2＝6cm，高2×3＝6cm的长方体的表面积，根据长方体的表面积公式即可求解．【解答】解：长4cm，宽3×2＝6（cm），高2×3＝6（cm），（4×6+4×6+6×6）×2＝（24+24+36）×2＝84×2＝168（cm2）答：如果用6块积木来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是168cm2．故答案为：168．三．解答题15．已知：∠α，线段c．求作：Rt△ABC，使∠A＝∠α，AB＝c，∠C＝90°．【分析】作∠A＝∠α．在∠A一边上作线段AB＝c，过B点作∠A另一边的垂线，交于点C．△ABC即为所求．【解答】解：如图，△ABC即为所求．16．（1）．（2）解不等式组．【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）分别求出每个不等式的解集，再根据口诀确定其公共部分即可得不等式组的解集．【解答】解：（1）；（2）解不等式①，得x≤2，解不等式②，得，因此，原不等式组的解集为．17.小明和小亮进行摸牌游戏，如图，他们有四张除牌面数字不同外、其他地方完全相同的纸牌，牌面数字分别为4，5，6，7，他们把纸牌背面朝上，充分洗匀后，从这四张纸牌中摸出一张，记下数字放回后，再次重新洗匀，然后再摸出一张，再次记下数字，将两次数字之和做为对比结果．若两次数字之和大于11，则小明胜；若两次数字之和小于11，则小亮胜．（1）请你用列表法或树状图列出这个摸牌游戏中所有可能出现的结果．（2）这个游戏公平吗？请说明理由．【考点】X6：列表法与树状图法；X7：游戏公平性．【专题】543：概率及其应用；67：推理能力．【分析】（1）根据题意列出图表，得出所有等情况数；（2）根据概率公式先分别求出小明胜的概率和小亮胜的概率，然后进行比较即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意列表如下：小亮小明和4567489101159101112610111213711121314由表可知：共有16种等情况数；（2）这个游戏是公平的；总共有16种结果，每种结果出现的可能性是相同的，两次数字之和大于11的结果有6种，所以，P（小明获胜）＝＝，两次数字之和小于11的结果有6种，所以，P（小亮获胜）＝＝，因为，P（小明获胜）＝P（小亮获胜），所以，这个游戏是公平的．18.“停课不停学，学习不延期”，某市通过教育资源公共服务平台和有线电视为全市中小学开设在线“空中课堂”，为了解学生每天的学习时间情况，在全市随机抽取了部分初中学生进行问卷调查，现将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题：组别学习时间x（h）人数（人）A 2.5＜x≤340B3＜x≤3.5170C 3.5＜x≤4350D4＜x≤4.5E 4.5＜x≤590F5小时以上50（1）这次参与问卷调查的初中学生有1000人，中位数落在C组．（2）补全条形统计图．（3）若此市有初中学生2.8万人，求每天参与“空中课堂”学习时间3.5到4.5小时（不包括3.5小时）的初中学生有多少人？【考点】V7：频数（率）分布表；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；W4：中位数．【专题】542：统计的应用；66：运算能力．【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比求出这次参与问卷调查的初中学生总人数；根据中位数的定义直接求解即可；（2）用总人数减去其它组别的人数，求出D组的人数，从而补全统计图；（3）用总人数乘以参与“空中课堂”学习时间3.5到4.5小时（不包括3.5小时）的初中学生所占的百分比即可．【解答】解：（1）这次参与问卷调查的初中学生有：350÷35%＝1000（人），把这些数从小到大排列，处于中间位置是第250、260个数的平均数，则中位数落在C组；故答案为：1000 C；（2）D组的人数有：1000﹣40﹣170﹣350﹣90﹣50＝300（人），补全条形统计图：（3）根据题意得：28000×＝18200（人），答：每天参与“空中课堂”学习时间3.5到4.5小时（不包括3.5小时）的初中学生有18200人．19.为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C 到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D 的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】55E：解直角三角形及其应用；66：运算能力．【分析】如图，根据已知条件得到＝1：2.4＝，设CF＝5k，AF＝12k，根据勾股定理得到AC＝＝13k＝26，求得AF＝24，CF＝10，得到EF＝6+24＝30，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：延长DC交EA的延长线于点F，则CF⊥EF，∵山坡AC上坡度i＝1：2.4，∴令CF＝k，则AF＝2.4k，在Rt△ACF中，由勾股定理得，CF2+AF2＝AC2，∴k2+（2.4k）2＝262，解得k＝10，∴AF＝24，CF＝10，∴EF＝30，在Rt△DEF中，tan E＝，∴DF＝EF•tan E＝30×tan48°＝30×1.11＝33.3，∴CD＝DF﹣CF＝23.3，因此，古树CD的高度约为23.3m．20.某市地铁1号线全长约60km，市政府通过招标，甲、乙两家地铁工程公司承担了施工任务，根据招标合同可知，甲公司每月计划施工效率是乙公司的1.2倍，则乙公司单独施工比甲公司单独施工多用10个月，且市政府需要支付给甲公司的施工费用为6亿元/km，乙公司的施工费用为5亿元/km．（1）甲、乙两家地铁工程公司每月计划施工各为多少km？（2）由于设备和施工现场只能供一家地铁工程公司单独施工的原因，现计划甲、乙两家公司共用55个月恰好完成施工任务（每家公司施工时间不足一个月按照一个整月计算），且甲公司施工时间不得少于乙公司的两倍，应如何安排才能使市政府支付给两家地铁工程公司的总费用最少？【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．【专题】522：分式方程及应用；524：一元一次不等式(组)及应用；533：一次函数及其应用；69：应用意识．【分析】（1）设乙公司每月计划施工xkm，则甲公司每月施工1.2xkm，根据题意列分式方程解答即可；（2）设甲公司施工了m个月，则乙公司施工（55﹣m）个月，共支付的总费用为w亿元，由题意可得w与m的函数关系式以及关于m的不等式，由一次函数的性质可求解．【解答】解：（1）设乙公司每月计划施工xkm，则甲公司每月施工1.2xkm，根据题意，得，解得，x＝1，经检验，x＝1是原方程的根，∴1.2x＝1.2×1＝1.2km，答：甲公司每月计划施工1.2km，乙公司每月施工1km；（2）设甲公司施工了m个月，则乙公司施工（55﹣m）个月，共支付的总费用为w亿元，由题意可得：w＝1.2×6•m+1×5•（55﹣m）＝7.2m+275﹣5m＝2.2m+275，∵k＝2.2＞0，w随着m的增大而增大，∵甲公司施工时间不得少于乙公司的两倍，∴m≥2（55﹣m），∴，∴当m＝37时，w有最小值，∴55﹣37＝18，答：甲公司施工37个月，乙公司施工18个月，总费用最少．21.如图，在▱ABCD中，点E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥BD，且CF＝DE，连接AE、BF、EF．（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若∠BFC﹣∠ABE＝90°，判断四边形ABFE的形状，并证明你的结论．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．【专题】14：证明题；64：几何直观；67：推理能力．【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2））▱ABFE是矩形，根据平行四边形的性质和全等三角形的判定以及矩形的判定解答即可．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又∵CF∥DB，∴∠DBC＝∠BCF，∴∠ADB＝∠BCF，又∵DE＝CF，在△ADE和△BCF中，，∴△ADE≌△BCF（SAS）；（2）▱ABFE是矩形，理由如下：∵CF∥DE，CF＝DE∴四边形CDEF是平行四边形，∴EF∥CD，EF＝CD∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD∴AB∥EF，AB＝EF∴四边形ABFE是平行四边形，∵△ADE≌△BCF，∴∠AED＝∠BFC，又∵∠BFC﹣∠ABE＝90°，∴∠AED﹣∠ABE＝90°，∵∠AED﹣∠ABE＝∠BAE，∴∠BAE＝90°，∴▱ABFE是矩形．22.某商场销售某种型号防护面罩，进货价为40元/个．经市场销售发现：售价为50元/个时，每周可以售出100个，若每涨价1元，就会少售出5个．供货厂家规定市场售价不得低于50元/个，且商场每周销售数量不得少于80个．（1）确定商场每周销售这种型号防护面罩所得的利润w（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式．（2）当售价x（元/个）定为多少时，商场每周销售这种防护面罩所得的利润w（元）最大？最大利润是多少？【考点】HE：二次函数的应用．【专题】536：二次函数的应用；69：应用意识．【分析】（1）根据题意可以直接写出w与x之间的函数关系式，由供货厂家规定市场价不得低于30元/个，且商场每周完成不少于80个的销售任务可以确定x的取值范围；（2）根据第（1）问中的函数解析式和x的取值范围，根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）根据题意，得w＝（x﹣40）[100﹣5（x﹣50）]＝（x﹣40）（350﹣5x）＝﹣5x2+550x﹣14000，因此，利润与售价之间的函数关系式为w＝﹣5x2+550x﹣14000，（2）∵销售量不得少于80个，∴100﹣5（x﹣50）≥80，∴x≤54，∵x≥50，∴50≤x≤54，∵w＝﹣5x2+550x﹣14000＝﹣5（x﹣55）2+1125，∵a＝﹣5＜0，开口向下，对称轴为直线x＝55，∴当50≤x≤54时，w随着x的增大而增大，∴当x＝54时，w最大值＝﹣5（54﹣55）2+1125＝1120，因此，当售价定为54元时，每周获得的利润最大，最大利润为1120元．23.如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝12cm，BD＝16cm，点P从点D出发，沿DA方向匀速向点A运动，速度为2cm/s；同时，点E从点B出发，沿BO方向匀速向点O运动，速度为1cm/s，EF∥BC，交OC于点F．当点P、E中有一点停止运动时，另一点也停止运动，线段EF也停止运动，连接PE、DF（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PE∥AB？（2）设四边形EFDP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式．（3）是否存在某一时刻t，使得S四边形EFDP：S菱形ABCD＝21：48？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）连接FP，是否存在某一时刻t，使得FP⊥AD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【考点】LO：四边形综合题．【专题】152：几何综合题；556：矩形菱形正方形；55D：图形的相似；66：运算能力；67：推理能力．【分析】（1）由菱形的性质得出OA＝6cm，OB＝8cm，求出AD的长，得出，则可求出t的值；（2）过点P作PQ⊥OD于Q，证明△DQP∽△DOA，得出，求出PQ，由比例线段可得出，求出OF，则可得出答案；（3）由面积关系可得出t的方程，解方程即可得出t值；（3）证明△AOD∽△APF，得出，得出t的方程，解方程即可得解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝，BO＝DO＝，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∴在Rt△AOD中，由勾股定理，得AO2+DO2＝AD2，∴AD＝．∵PE∥AB，∴，即，∴t＝，因此，当t为s时，PE∥AB．（2）如图1，过点P作PQ⊥OD于Q，∴∠DQP＝∠DOA＝90°，又∵∠QDP＝∠ODA，∴△DQP∽△DOA，∴，即，∴PQ＝，∵EF∥BC，∴，即，∴OF＝6﹣t，∴y＝S四边形EFDP＝S△EFD+S△EDP＝•DE•PQ＝t+48．因此，y与t之间的函数关系式为y＝﹣t+48．（3）假设存在t，使得S四边形EFDP：S菱形ABCD＝21：48，∴S四边形EFDP＝，即﹣，∴3t2﹣8t﹣80＝0，解得，t1＝﹣4，t2＝，均不符合题意，因此，不存在t，使S四边形EFDP：S菱形ABCD＝21：48．（4）假设存在t，使得FP⊥AD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD＝90°，∴∠AOD＝90°，∵FP⊥AD，∴∠APF＝90°，∴∠AOD＝∠APF，∵∠OAD＝∠P AF，∴△AOD∽△APF，∴，∵OF＝6﹣t，DP＝2t，∴AF＝12﹣t，AP＝10﹣2t，∴，∴t＝，因此，当t＝时，FP⊥AD．。
嘉兴市海宁市2020年中考数学一模试题有答案精析
2020年浙江省嘉兴市海宁市中考数学一模试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个选项符合题意）1．下列各数是负数的是（）A．0 B．﹣1 C． D．2.52．初步测算，2020年海宁市全年实现地区生产总值700.23亿元，比上年增长6.7%．其中700.23亿用科学记数法表示为（）A．700.23×108B．70.023×109C．7.0023×1010D．7.0023×1093．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．4．若分式的值为0，则x的值为（）A．1或2 B．2 C．1 D．05．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、O为格点，则tan∠AOB=（）A． B． C． D．6．中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了解某中学2500个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查400个家长，结果有360个家长持反对态度，则下列说法正确的是（）A．调查方式是全面调查B．样本容量是360C．该校只有360个家长持反对态度D．该校约有90%的家长持反对态度7．不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（）A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC9．如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3，…是x轴正半轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…，分别过点A1、A2、A3，…作y轴的平行线，交反比例函数y=（x＞0）的图象于点B1、B2、B3，…，则△A n B n B n的面积等于（）+1A． B． C． D．10．在平面直角坐标系式xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．若点P在函数y=﹣x2+2x+3的图象上，则其“可控变点”Q 的纵坐标y′关于x的函数图象大致正确的是（）A． B． C． D．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．因式分解：1﹣x2=．12．已知方程组，则x+y=．13．在一个不透明的纸箱内放有除颜色外无其他差别的2个红球，8个黄球和10个白球，从中随机摸出一个球为黄球的概率是．14．设n为整数，且n＜＜n+1，则n=．15．如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，且AB=4，∠BAC=50°，则AD的长度为cm （结果保留π）．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（﹣1，1），C（1，0），D（1，2），点P是坐标系内一点，给出定义：若存在过点P的直线l与线段AB，CD都有公共点，则称点P是线段AB，CD的“联络点”．现有点P（x，y）在直线y=x上，且它是线段AB，CD的“联络点”，则x的取值范围是．三、简答题（共8小题，满分80分）17．计算： +cos60°×（）﹣2（2）计算： +．18．（8分）已知：如图，AD是△ABC的高，E是AD上一点，AD=BD，DE=DC．（1）求证：∠1=∠C．（2）当BD=3，DC=1时，求AC的长．19．（8分）某市为了了解高峰时段16路车从总站乘该路车出行的人数，随机抽查了10个班次乘该路车人数，结果如下：14，23，16，25，23，28，26，27，23，25（1）这组数据的众数为，中位数为；（2）计算这10个班次乘车人数的平均数；（3）如果16路车在高峰时段从总站共出车60个班次，根据上面的计算结果，估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有多少？20．（8分）如图所示，已知AD∥EF∥BC，FG∥CH，且DF=2CF．（1）求AE：BE的值．（2）当CH=6时，求FG的长．21．（10分）如图是某学校主楼梯从底楼到二楼的楼梯截面图，已知BC=7米，AB=6+3米，中间平台DE与地面AB平行，且DE的长度为2米，DM、EN为平台的两根支柱，DM、EN垂直于AB，垂足分别为M、N，∠EAB=30°，∠CDF=45°，楼梯宽度为3米．（1）若要在楼梯上（包括平台DE）铺满地毯，求地毯的长度；（2）沿楼梯从A点到E点铺设价格为每平方米100元的地毯，从E点到C点铺设价格为每平方米120元的地毯，求用地毯铺满整个楼梯共需要花费多少元钱？22．（12分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于点D，E．（1）求证：BE=CE．（2）求∠BAC=40°时，∠ADE的度数．（3）过点E作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，当AO=EF=2时，求图中阴影部分的面积．23．（12分）某文具店经销甲、乙两种不同的笔记本，已知两种笔记本的进价之和为10元，每个笔记本的利润均为1元，小王同学买4本甲种笔记本和3本乙种笔记本共用了43元．（1）甲、乙两种笔记本的进价分别是多少元？（2）该文具店购入这两种笔记本共1000本，花费不超过5200元，则购入甲种笔记本最多多少本？（3）店主经统计发现平均每天可售出甲种笔记本300本和乙种笔记本150本．如果两种笔记本的售价各提高1元，则每天将少售出50本甲种笔记本和40本乙种笔记本．为使每天获取的利润更多，店主决定把两种笔记本的价格都提高x元，在不考虑其他因素的条件下，当x定为多少时，才能使该文具店每天销售甲、乙笔记本获取的利润最大？24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，其中点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），点D为对角线OB上一个动点（不包括端点），∠BCD的平分线交OB于点E．（1）求线段OB所在直线的函数表达式，并写出CD的取值范围．（2）当∠BCD的平分线经过点A时，求点D的坐标．（3）点P是线段BC上的一个动点，求CD十DP的最小值．2020年浙江省嘉兴市海宁市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个选项符合题意）1．下列各数是负数的是（）A．0 B．﹣1 C． D．2.5【考点】正数和负数．【分析】【分析】根据负数的定义即小于0的数是负数即可得出答案．【解答】【解答】解：A：0不是负数，也不是正数，故选项错误；B：﹣1是负数，故选项正确；C：是正数，故选项错误；D：2.5是正数，故选项错误；故选：B．【点评】本题主要考查了负数的定义，是基础题，比较简单，注意0既不是正数，也不是负数．2．初步测算，2020年海宁市全年实现地区生产总值700.23亿元，比上年增长6.7%．其中700.23亿用科学记数法表示为（）A．700.23×108B．70.023×109C．7.0023×1010D．7.0023×109【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：700.23亿=7.0023×1010，故选C．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选D．【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．4．若分式的值为0，则x的值为（）A．1或2 B．2 C．1 D．0【考点】分式的值为零的条件．【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1=0，解得：x=1．故选：C．【点评】此题主要考查了分式的值，正确把握定义是解题关键．5．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、O为格点，则tan∠AOB=（）A． B． C． D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】直接利用锐角三角函数关系，结合正切的定义得出答案．【解答】解：如图所示：tan∠AOB==．故选：A．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．6．中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了解某中学2500个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查400个家长，结果有360个家长持反对态度，则下列说法正确的是（）A．调查方式是全面调查B．样本容量是360C．该校只有360个家长持反对态度D．该校约有90%的家长持反对态度【考点】总体、个体、样本、样本容量；全面调查与抽样调查．【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．【解答】解：A、调查方式是抽样调查，故A错误；B、样本容量是400，故B错误；C、该校只有2250个家长持反对态度，故C错误；D、该校约有90%的家长持反对态度，故D正确；故选：D．【点评】此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．7．不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．【分析】根据不等式的基本性质来解不等式组，两个不等式的解集的交集，就是该不等式组的解集；然后把不等式的解集根据不等式解集在数轴上的表示方法画出图示．【解答】解：不等式组的解集为：﹣2≤x＜1，其数轴表示为：故选B【点评】不等式组的解集：不等式组的解集可以先求这些个不等式各自的解，然后再找它们的相交的公共部分（最好先在数轴上画出它们的解），找它们的相交的公共部分可以用这个口诀记住：同小取小，同大取大；比大的小，比小的大，取中间；比大的大，比小的小，无解．8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（）A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．【分析】由题意可知：MN为AB的垂直平分线，可以得出AD=BD；CD为直角三角形ABC 斜边上的中线，得出CD=BD；利用三角形的内角和得出∠A=∠BED；因为∠A≠60°，得不出AC=AD，无法得出EC=ED，则∠ECD=∠EDC不成立；由此选择答案即可．【解答】解：∵MN为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠BDE=90°；∵∠ACB=90°，∴CD=BD；∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED；∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．故选：D．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．9．如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3，…是x轴正半轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…，分别过点A1、A2、A3，…作y轴的平行线，交反比例函数y=（x＞0）的图象于点B1、B2、B3，…，则△A n B n B n的面积等于（）+1A． B． C． D．【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】设设OA1=A1A2=A2A3=…a，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出A n B n的值，再根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：设OA1=A1A2=A2A3=…a，则A1B1=，A2B2=，A3B3=，A4B4=，…，∴A n B n=，∴=A n B n•B n B n+1=．故选A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是求出A n B n的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据边长的变化找出变化规律是关键．10．在平面直角坐标系式xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．若点P在函数y=﹣x2+2x+3的图象上，则其“可控变点”Q 的纵坐标y′关于x的函数图象大致正确的是（）A． B． C． D．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】画出函数y=﹣x2+2x+3的图象，根据“可控变点”的定义找出y′关于x的函数图象，由此即可得出结论．【解答】解：画出函数y=﹣x2+2x+3的图象，如图所示．将y轴右侧的图象关于x轴颠倒过来，即可得出y′关于x的函数图象．故选A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解“可控变点”的定义．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数图象的变换找出图形是关键．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．因式分解：1﹣x2=（1﹣x）（1+x）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解．【解答】解：∵1﹣x2=（1﹣x）（1+x），故答案为：（1﹣x）（1+x）．【点评】本题考查因式分解﹣运用公式法，解题的关键是明确平方差公式，会运用平方差公式进行因式分解．12．已知方程组，则x+y=5．【考点】解二元一次方程组．【分析】方程组两方程相加即可求出x+y的值．【解答】解：，①+②得：3（x+y）=15，则x+y=5，故答案为：5【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．13．在一个不透明的纸箱内放有除颜色外无其他差别的2个红球，8个黄球和10个白球，从中随机摸出一个球为黄球的概率是．【考点】概率公式．【分析】让黄球的个数除以球的总数即为摸到黄球的概率．【解答】解：袋子里装有2个红球，8个黄球，10个白球共20个球，从中摸出一个球是黄球的概率是，故答案为：【点评】本题考查的是随机事件概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．14．设n为整数，且n＜＜n+1，则n=4．【考点】估算无理数的大小．【分析】依据被开方数越大，对应的算术平方根越大进行估算即可．【解答】解：∵16＜20＜25，∴4＜＜5，∴n=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，掌握算术平方根的性质是解题的关键．15．如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，且AB=4，∠BAC=50°，则AD的长度为πcm（结果保留π）．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；圆周角定理；弧长的计算．【分析】如图，连接AD，OD．（O为圆心）．求出圆心角∠AOD，利用弧长公式即可解决问题．【解答】解：如图，连接AD，OD．（O为圆心）．∵=，∴∠CAD=∠DAB=∠CAB=25°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=25°，∴∠AOD=180°﹣50°=130°，∴的长==π．【点评】本题考查圆周角定理、弧长公式等知识，解题的关键是记住弧长公式，求出圆心角是关键，属于中考常考题型．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（﹣1，1），C（1，0），D（1，2），点P是坐标系内一点，给出定义：若存在过点P的直线l与线段AB，CD都有公共点，则称点P是线段AB，CD的“联络点”．现有点P（x，y）在直线y=x上，且它是线段AB，CD的“联络点”，则x的取值范围是x≤﹣或x≥0．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【分析】作直线BD、BC、AD以及y=x，根据点A、D的坐标利用待定系数法求出直线AD 的解析式，分x≥0与x＜0两种情况考虑，根据直线y=x在其他直线中间时，即可得出x的取值范围．【解答】解：作直线BD、BC、AD以及y=x，如图所示．设直线AD的解析式为y=kx+b，将点A（﹣1，0）、D（1，2）代入y=kx+b中，得：，解得：，∴直线AD的解析式为y=x+1．观察图形可知：当x≥0时，直线y=x在x轴（包括x轴上）于直线AD之间，此时直线y=x上的点均为“联络点”；当x＜0时，联立直线y=x与直线AD成方程组，得：，解得：，直线y=在x≤﹣中时，图象在直线AD（包括直线AD上的点）、BC之间，∴当x≤﹣时，直线y=x上的点均为“联络点”．故x的取值范围为：x≤﹣或x≥0．故答案为：x≤﹣或x≥0．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用数形结合解决问题是关键．三、简答题（共8小题，满分80分）17．（1）计算： +cos60°×（）﹣2（2）计算： +．【考点】分式的加减法；实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】（1）根据开方运算、特殊角三角函数值、负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案；（2）根据同分母分式的加减，可得答案．【解答】解：（1）原式=3+×4=5；（2）===2．【点评】本题考查了分式的加减，同分母分式的加减，分母不变分子相加减是解题关键．18．已知：如图，AD是△ABC的高，E是AD上一点，AD=BD，DE=DC．（1）求证：∠1=∠C．（2）当BD=3，DC=1时，求AC的长．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）欲证明∠1=∠C，只要证明△BDE≌△ADC即可．（2）求出AD、DC，根据AC=计算即可．【解答】解：（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠BDE=∠ADC=90°，在△BDE和△ADC中，，∴△BDE≌△ADC，∴∠1=∠C．（2）∵AD=BD=3，DC=1，∠ADC=90°，∴AC===．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．19．某市为了了解高峰时段16路车从总站乘该路车出行的人数，随机抽查了10个班次乘该路车人数，结果如下：14，23，16，25，23，28，26，27，23，25（1）这组数据的众数为23，中位数为24；（2）计算这10个班次乘车人数的平均数；（3）如果16路车在高峰时段从总站共出车60个班次，根据上面的计算结果，估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有多少？【考点】众数；用样本估计总体；算术平均数；中位数．【分析】（1）根据众数和中位数的概念求解；（2）根据平均数的概念求解；（3）用平均数乘以发车班次就是乘客的总人数．【解答】解：（1）这组数据按从小到大的顺序排列为：14，16，23，23，23，25，25，26，27，28，则众数为：23，中位数为：=24；（2）平均数=（14+16+23+23+23+25+25+26+27+28=23（人）答：这10个班次乘车人数的平均数是23人．（2）60×23=1380（人）答：在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有1380人．故答案为：23，24．【点评】本题考查了众数、平均数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．20．如图所示，已知AD∥EF∥BC，FG∥CH，且DF=2CF．（1）求AE：BE的值．（2）当CH=6时，求FG的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得出AE：BE=DF：CF=2：1即可；（2）由平行线得出△DFG∽△DCH，得出对应边成比例，即可求出FG的长．【解答】解：（1）∵AD∥EF∥BC，DF=2CF．∴AE：BE=DF：CF=2：1；（2）∵DF=2CF，∴DF：DC=2：3，∵FG∥CH，∴△DFG∽△DCH，∴=，即，解得：FG=4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理，证明三角形相似是解决问题（2）的关键．21．（10分）（2020•海宁市一模）如图是某学校主楼梯从底楼到二楼的楼梯截面图，已知BC=7米，AB=6+3米，中间平台DE与地面AB平行，且DE的长度为2米，DM、EN为平台的两根支柱，DM、EN垂直于AB，垂足分别为M、N，∠EAB=30°，∠CDF=45°，楼梯宽度为3米．（1）若要在楼梯上（包括平台DE）铺满地毯，求地毯的长度；（2）沿楼梯从A点到E点铺设价格为每平方米100元的地毯，从E点到C点铺设价格为每平方米120元的地毯，求用地毯铺满整个楼梯共需要花费多少元钱？【考点】勾股定理的应用．【分析】（1）由图可知：地毯的总长度是（AB+BC）的长，已知了楼道的宽度，可由矩形的面积公式求出地毯的总面积；（2）关键是求出AN、NE、DF、FC的长，可设AN=x，然后用x表示出EN、DF、CF的长，由于△CDF是等腰直角三角形，则DF=CF，根据这个等量关系，可求出x的值，进而可求出AN、NE、DF、CF的长，然后再根据两段地毯的单价求出铺满楼梯所花费的总价钱．【解答】解：（1）地毯的长度=AB+BC=7+6+3=13+3（米）；（2）设EN=DM=BF=x，则BM=DF=CF=7﹣x，∵EN⊥AB，∠EAB=30°，∴AN=EN=x，∵AB=AN+MN+MB，∴x+2+（7﹣x）=6+3，解得：x=3，即平台的高度为3m，所需费用为100×3×（AN+EN）+120×3×（ED+DF+CF）=100×3×（3+3）+120×3×（2+4+4）=900+4500（元）；答：用地毯铺满整个楼梯共需要花费（900+4500）元钱．【点评】本题考查了勾股定理的应用、解直角三角形中特殊角三角函数的应用，能够正确的求出AN的长是解答此题的关键．22．（12分）（2020•海宁市一模）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于点D，E．（1）求证：BE=CE．（2）求∠BAC=40°时，∠ADE的度数．（3）过点E作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，当AO=EF=2时，求图中阴影部分的面积．【考点】切线的性质；等腰三角形的性质；扇形面积的计算．【分析】（1）利用等腰三角形的性质，底边上的高也是底边上的中线；（2）先求出∠BAE，再利用圆内接四边形的对角互补即可得出结论，（3）先利用切线得出∠OEF=90°，从而得出等腰直角三角形，再用面积之差求出阴影部分面积．【解答】解：（1）如图，连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE；（2）由（1）知，∠BAE=∠BAC=20°，∵四边形ABED是圆内接四边形∴∠ABE=90°﹣∠BAE=70°，∴∠ADE=180°﹣∠ABE=110°，（3）连接OE，∵EF且⊙O于E，∴OE⊥EF，∵AO=EF=OE=2，∴∠BOE=45°，∴S=S△CEF﹣S扇形OBE=×2×2﹣=2﹣【点评】此题是切的性质，主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，解本题的关键是利用圆内接四边形求出∠ABE．23．（12分）（2020•海宁市一模）某文具店经销甲、乙两种不同的笔记本，已知两种笔记本的进价之和为10元，每个笔记本的利润均为1元，小王同学买4本甲种笔记本和3本乙种笔记本共用了43元．（1）甲、乙两种笔记本的进价分别是多少元？（2）该文具店购入这两种笔记本共1000本，花费不超过5200元，则购入甲种笔记本最多多少本？（3）店主经统计发现平均每天可售出甲种笔记本300本和乙种笔记本150本．如果两种笔记本的售价各提高1元，则每天将少售出50本甲种笔记本和40本乙种笔记本．为使每天获取的利润更多，店主决定把两种笔记本的价格都提高x元，在不考虑其他因素的条件下，当x定为多少时，才能使该文具店每天销售甲、乙笔记本获取的利润最大？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）设甲种笔记本的进价是m元，乙种笔记本的进价是（10﹣m）元．根据王同学买4本甲种笔记本和3本乙种笔记本共用了43元，列出方程即可解决问题．（2）设购入甲种笔记本n本，根据购入这两种笔记本共1000本，花费不超过5200元，列出不等式即可解决问题．（3）设把两种笔记本的价格都提高x元的总利润为W元．构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．【解答】解：（1）设甲种笔记本的进价是m元，乙种笔记本的进价是（10﹣m）元．由题意4（m+1）+3（01﹣﹣m+1）=43，解得m=6，答：甲种笔记本的进价是6元，乙种笔记本的进价是4元．（2）设购入甲种笔记本n本，则6n+4（1000﹣n）≤5200，解得n≤600，答：购入甲种笔记本最多600本．（3）设把两种笔记本的价格都提高x元的总利润为W元．则W=（1+x）（300﹣50x）+（1+x）（150﹣40x）=﹣90（x﹣2）2+810，∵a＜0，∴抛物线开口向下，=810，∴x=2时，W最大∴x=2时，最大利润为810元．【点评】本题考查二次函数的性质、一元一次方程、一元一次不等式等知识，解题的关键是学会设未知数关键方程或不等式或二次函数解决问题，属于中考常考题型．24．（14分）（2020•海宁市一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，其中点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），点D为对角线OB上一个动点（不包括端点），∠BCD的平分线交OB于点E．（1）求线段OB所在直线的函数表达式，并写出CD的取值范围．（2）当∠BCD的平分线经过点A时，求点D的坐标．（3）点P是线段BC上的一个动点，求CD十DP的最小值．【考点】四边形综合题．【分析】（1）设线段OB所在直线的函数表达式为y=kx，把B（4，2）代入求出k即可解决问题．（2）如图1中，延长CD交OA于点F，设AF=CF=m，则OF=4﹣m，由OF2+OC2=CF2，列出方程求出m，求出直线CF的解析式，解方程组即可解决问题．（3）如图2中，作点C关于直线OB的对称点F，作FP⊥BC，交OB于D，垂足为P，则点P、D就是所求的点，此时DC+DP=DF+PD=FP最短，求出点F坐标即可解决问题．【解答】解：（1）设线段OB所在直线的函数表达式为y=kx，把B（4，2）代入，得2=4k，解得k=，∴线段OB所在直线的函数表达式为y=x．CD的范围：≤CD＜4．（2）如图1中，延长CD交OA于点F，∵∠ACF=∠ACB=∠CAF，∴AF=CF，设AF=CF=m，则OF=4﹣m，∵OF2+OC2=CF2，∴（4﹣m）2+22=m2，解得m=，∴直线CF的解析式为y=﹣x+2，由解得，∴点D坐标（，）．（3）如图2中，作点C关于直线OB的对称点F，作FP⊥BC，交OB于D，垂足为P，则点P、D就是所求的点，此时DC+DP=DF+PD=FP最短（垂线段最短）．设直线CF的解析式为y=﹣2x+b，把C（0，2）代入得b=2，∴直线CF解析式为y=﹣2x+2，设直线CF交OB于点E，由解得，∴点E坐标（，），∵C、F关于点E对称，∴点F坐标（，﹣），∴CD+PD最小值=PF=2+=。
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2020中考一模数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内．
1．（3分）下列各组数中，互为倒数的是（）
A．2和B．3和C．|﹣3|和﹣D．﹣4和4
2．（3分）地球的表面积约为510000000km2，将510000000用科学记数法表示为（）A．0.51×109B．5.1×108C．5.1×109D．51×107
3．（3分）下列四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列运算正确的是（）
A．m2+2m3＝3m5B．m2•m3＝m6C．（﹣m）3＝﹣m3D．（mn）3＝mn3 5．（3分）不等式组的最大整数解是（）
A．﹣1B．0C．1D．2
6．（3分）某次数学趣味竞赛共有10道题目，每道题答对得10分，答错或不答得0分．全班40名同学参加了此次竞赛，他们的得分情况如下表所示：
人数25131073成绩（分）5060708090100则全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（）
A．75，70B．70，70C．80，80D．75，80
7．（3分）将一张宽度相等的长方形纸条按如图所示的方式折叠一下，如果∠1＝130°，那么∠2的度数是（）
A．105°B．100°C．110°D．115°
8．（3分）如图，△P AB与△PCD均为等腰直角三角形，点C在PB上，若△ABC与△BCD 的面积之和为10，则△P AB与△PCD的面积之差为（）
A．5B．10C．l5D．20
9．（3分）如图，将抛物线y＝﹣x2+x+5的图象x轴上方的部分沿x轴折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．则新图象与直线y＝﹣5的交点个数为（）
A．1B．2C．3D．4
10．（3分）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以1单位/秒的速度运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S 与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（）
A．10B．C．8D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）化简：＝．
12．（3分）用2，3，4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为．13．（3分）关于x的一元二次方程（2﹣a）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则整数a 的最小值是．
14．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心、AD的长为半径画弧，再以BC为直径画平圆．若阴影部分①的面积为S1，阴影部分②的面积为S2，则S2﹣S1的值为．
15．（3分）如图，已知直线l∥AB，lAB之间的距离为2，C、D是直线l两个动点（点C在D点的左侧），且AB＝CD＝5．连接AC、BC、BD，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC．若以A′、C、B、D为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为．
三、解答题（本大题共8小题，计75分）
16．（8分）先化简，再求值•﹣，其中x是方程x2+x﹣3＝0的解．
17．（9分）某校有3000名学生．为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了该校部分学生的主要上学方式（参与问卷调查的学生只能从以下六个种类中选择一类）：
种类A B C D E F 上学方式电动车私家车公共交通自行车步行其他并将调查结果绘制成如下不完整的统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的学生共有人，其中选择B类的人数有人．（2）在扇形统计图中，求E类对应的扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图中C对应的直条．
（3）若将A，C，D，E这四类上学方式视为“绿色出行”，请估计该校每天“绿色出行”
的学生人数．
18．（9分）如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点P，过A作直线AC⊥PC交⊙O 于另一点D，连接P A、PB．
（1）求证：AP平分∠CAB；
（2）若P是直径AB上方半圆弧上一动点，⊙O的半径为2，则
①当弦AP的长是时，以A，O，P，C为顶点的四边形是正方形；
②当的长度是时，以A，D，O，P为顶点的四边形是菱形．
19．（9分）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为2米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．
（1）真空管上端B到水平线AD的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）
20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（0，﹣4），反比例﹣函数y＝（k≠0）的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P是反比例函数在第二象限的图象上的一点，若△PBC的面积等于正方形ABCD 的面积，求点P的坐标．
21．（10分）振华书店准备购进甲、乙两种图书进行销售，若购进40本甲种图书和30本乙
种图书共需1700元：若购进60本甲种图书和20本乙种图书共需1800元，
（1）求甲、乙两种图书每本进价各多少元；
（2）该书店购进甲、乙两种图书共120本进行销售，且每本甲种图书的售价为25元，每本乙种图书的售价为40元，如果使本次购进图书全部售出后所得利润不低于950元，那么该书店至少需要购进乙种图书多少本？
22．（10分）已知：△ABC是等边三角形，点D是△ABC（包含边界）平面内一点，连接CD，将线段CD绕C逆时针旋转60°得到线段CE，连接BE，DE，AD，并延长AD交
BE于点P．（1）观察填空：当点D在图1所示的位置时，填空：
①与△ACD全等的三角形是．
②∠APB的度数为．
（2）猜想证明：在图1中，猜想线段PD，PE，PC之间有什么数量关系？并证明你的猜想．
（3）拓展应用：如图2，当△ABC边长为4，AD＝2时，请直接写出线段CE的最大值．
23．（11分）如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c与x轴交于点M，与y轴交于点N，抛物线的对称轴与x轴交于点P，OM＝1，ON＝5．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点A是y轴正半轴上一动点，点B是抛物线对称轴上的任意一点，连接AB、AM、BM，且AB⊥AM．
①AO为何值时，△ABM∽△OMN，请说明理由；
②若Rt△ABM中有一边的长等于MP时，请直接写出点A的坐标．。