轴向拉伸与压缩习题及解答
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cos sin 3
Ay
F F F
θθ轴向拉伸与压缩习题及解答
计算题1：
利用截面法，求图2. 1所示简支梁m — m 面的内力分量。 解：
（1）将外力F 分解为两个分量，垂直于梁轴线的分量F sin θ,沿梁轴线的分量F cos θ. (2)求支座A 的约束反力：
x
F
∑=0，
Ax
F
∑=cos F θ
B M ∑=0, Ay F L=sin 3
L F θ
Ay F =
sin 3
F
θ (3)切开m — m ，抛去右半部分，右半部分对左半部分的作用力N F ，S F 合力偶M 代替 （图1.12 ）。
图 2.1 图2.1(a) 以左半段为研究对象，由平衡条件可以得到
x
F
∑=0， N F =—Ax F =—cos F θ（负号表示与假设方向相反）
y F ∑=0， s F =Ay F =
sin 3
F
θ 左半段所有力对截面m-m 德形心C 的合力距为零
sin θ
C M ∑=0， M=Ay
F 2L =6
FL sin θ 讨论 对平面问题，杆件截面上的内力分量只有三个：和截面外法线重合的内力称为轴力，矢量与外法线垂直的力偶距称为弯矩。这些内力分量根据截面法很容易求得。在材料力学课程中主要讨论平面问题。
计算题2：
试求题2-2图所示的各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。
解 （a ）如图（a ）所示，解除约束，代之以约束反力，作受力图，如题2-2图（1a ）所示。利用静力学平衡条件，确定约束反力的大小和方向，并标示在题2-2图（1a ）中。作杆左端面的外法线n ，将受力图中各力标以正负号，凡与外法线指向一致的力标以正号，反之标以负号，轴力图是平行于杆轴线的直线。轴力图在有轴力作用处，要发生突变，突变量等与该处轴力的数值，对于正的外力，轴力图向上突变，对于负的外力，轴力图向下突变，如题2-2图（2a ）所示，截面1和截面2上的轴力分别为1N F =F 和2N F =—F 。
(b)解题步骤与题2-2（a ）相同，杆受力图和轴力图如题2-2（1b ）、（2b ）所示。截面1和截面2上的轴力分别为1N F =2F ，2N F =0。
(c)解题步骤与题2-2（a ）相同，杆的受力图和轴力图如题2-2图（1c ）和（2c ）所示。截面1上的轴力为1N F =2F,截面2上的轴力为2N F =F 。
（d ）解题步骤与题2-2（a ）相同，杆的受力图和轴力图如题2-2图（1d ）和（2d ）所示。截面1上的轴力为1N F =F,截面2上的轴力为2N F =—2F 。
计算题3：
试求题2-3图（a ）所示阶梯状直杆横截面1-1、2-2和3-3上的轴力并作轴力图。若横截面积1A =2002
mm 、2A =3002
mm 、
3A =4002
mm ，求各截面上的应力。
解：如题2-3图（a ）所示。首先解除杆的约束，并代之以约束反力，作受力图，如题2-3（b ）所示。利用静力学平衡条件，确定约束反力的大小和方向，并标示在受力图中。作杆左端面的外法线n ，将受力图中的各外力标以正负号：凡指向与外法线方向相同者，标以正
号，反只标以负号，如题2-3图（b ）所示。作轴力图，轴力图是与杆轴平行的直线，在有轴向外力作用处，轴力图要发生突变，突变量等于对应处外力数值，对应于正的外力，轴力图上跳，对应于负的外力，轴力图下跌，上调和下跌量与对应的外力数值相等，如题2-3图（c ）所示。由周力图可知，截面1-1上的轴力1N F =—20kN,截面2-2上的轴力2N F =—10kN ，截面3-3上的轴力3N F =10kN 。
各截面上的应力分别为
11σ-=3
16
1201010020010N F Pa MPa A --⨯==-⨯
22σ-=3
262101033.3330010N F Pa MPa A --⨯==-⨯
33σ-=3
36
310102540010
N F Pa MPa A -⨯==⨯
计算题4：
三脚架结构尺寸及受力如图所示。其中22.2p F kN =，钢杆BD 的直径125.4d mm =，钢梁CD 的横截面积2A =3
2
2.3210mm ⨯。试求：BD 与CD 横截面上的正应力。
解：
1、受力分析， 确定各杆的轴力
首先对组成三脚架结构的构件作受力分析，因为B 、C 、D 三处均为销钉连接，故BD 与CD 均为二力构件，受力图如图所示。由平衡方程 0x
F
=∑和0y F =∑解得二者的轴力分别
为
322.21031.40NBD p F N kN ==⨯=
42202.010,4,4
p F kN
A m l m l P -==⨯=322.21022.2()NCD p F F N kN ==⨯=- 其中负号表示压力。 2、计算各杆的应力
应用拉、压杆件横截面上的正应力公式，BD 杆与CD 杆横截面上的正应力分别为 BD 杆：
36
226
1431.410()62.01062.025.4104
NBD NBD BD
F F BD Pa MPa d A σππ-⨯⨯====⨯=⨯⨯ CD 杆：
36
36
222.210()9.75109.75()2.321010
NCD NCD CD F F CD Pa MPa A A σ-⨯====⨯=-⨯⨯ 45
45