小学数学《数列规律》练习题(含答案)

小学数学《数列规律》练习题（含答案）

日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如：

（1）自然数：1，2，3，4，5，6，7， (1)

（2）年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996

（3）某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列）45，45，44，46，45 像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第1个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，…，第n个数就称为第n项．如数列（3）中，第1项是45，第2项也是45，第3项是44，第4项是46，第5项是45．

根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列．

（一）找数列中的规律

【例1】观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.

(1)100，88，76，64，52，（），28

(2)1，3，6，10，（），21，28，36，（）

(3)2，1，3，4，7，（），18，29，47

(4)1，3，9，27，（），243

(5)1，8，27，64，125，（），343

(6)1，2，6，24，120，（），5040

(7)2， 1， 4， 3， 6， 9， 8， 27， 10，（）

(8)1，1，1，3，5，9，17，（）

分析：（1） 100，88，76，64，52，（），28

通过观察不难发现，从第2项开始，每一项都比它前面一项少12，也就是说每相邻两项所得的差都等于12.因此，括号中应填的数是40，即：52-12=40．

像（1）这样，相邻两项之间的差是定值，我们把这样的数列叫做等差数列．

（2） 1，3，6，10，（），21，28，36，（）

（方法一）先计算相邻两数的差，有：3-1=2，6-3=3，10-6=4 ，……，28-21=7，36-28=8，……

由此可以推知这些差一次为2、3、4、5、6……，所以这列数从小到大地排列规律是相邻两数的差按2、3、4、5、6……增加，括号里应填15，45，即10+5=15，36+9=45.

(方法二)继续考察相邻项之间的关系，可以发现：

因此，可以猜想，这个数列的规律为：每一项等于它的项数与其前一项的和，那么，第5项为15，即15=10+5，最后一项即第 9项为 45，即 45＝36＋9.代入验算，正确．

（方法三)这一列数还有如下的规律：第1项：1=1,第2项：3=1＋2,第3项：6=1+2+3,第4项：10=1+2+3+4,

第6项：21=1+2+3+4+5+6,……

即这个数列的规律是：每一项都等于从1开始，以其项数为最大数的n个连续自然数的和.因此，第5项为15，即：15=1+2+3+4+5；第9项为45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9．

（3） 2，1，3，4，7，（），18，29，47

这个数列即不是等差数列，也不是等比数列，但是可以发现，从第三项开始每一项都等于前面两项地和，即：3=1+2，4=1+3，7=3+4，……，47=18+29，所以括号中的数应该是：4+7=11

（4） 1，3，9，27，（），243

此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第2项开始，每一项都是其前面一项的3倍.即：3=1×3，9= 3×3，27=9×3，也就是说相邻两项之间的商相等．因此，括号中应填 81，即81= 27×3，代入后， 243也符合规律，即 243＝81×3．

像（4）这样，相邻两项之间的商是定值，我们把这样的数列叫做等比数列．

（5）1，8，27，64，125，（），343

通过观察可以发现： 1=1×1×1，8=2×2×2，27=3×3×3，64=4×4×4，125=5×5×5，343=7×7×7，根据这个规律，括号中应填：6×6×6=216

我们把这样的数列叫做立方数列，即每一项等于其项数乘以项数再乘以项数.

（6）1，2，6，24，120，（），5040

（方法一）这个数列不同于上面的数列，相邻项相加减后，看不出任何规律.考虑到等比数列，我们不妨研究相邻项的商，显然：

所以，这个数列的规律是：除第1项以外的每一项都等于其项数与其前一项的乘积.因此，括号中的数为第6项720，即720=120×6．

（方法二）本题也可以考虑连续自然数，显然：第1项 1=1，第2项2=1×2，第3项6=1×2×3，第4项24=1×2×3×4，……，所以，第6项应为1×2×3×4×5×6=720

（7） 2， 1， 4， 3， 6， 9， 8， 27， 10，（）。

分析：通过观察发现，前面的方法都不适用于这个数列，但是如果隔着看这个数列中的一些数是非常有规律的，如：3，8，13，18，而他们恰好是第一项、第三项、第五项、第七项，所以不妨把数列分为奇数项（即第1，3，5，7，9项）和偶数项（即第2，4，6，8项）来考虑，把数列按奇数和偶数项重新分组排列如下：把数列分为奇、偶项：

偶数项：2，4，6，8，10

奇数项：1，3，9，27，（）.

所以，偶数项为等差数列，奇数项为等比数列，括号中应填81（81=27×3）.

像这样的数列，每个数列中都含有两个系列，这两个系列的规律各不相同，类似这样的数列，称为双系列数列或双重数列.

(8) 1，1，1，3，5，9，17，（）

可以发现， 3=1+1+1，5=1+1+3，9=1+3+5，从第四个数起，每一个数都等于前三个数的和，可知需填补的数字为： 5+9+17=31 ， 9+17+31=57

本题考虑的是相邻四个数的直接关系，这一类题都是考虑后面一个数字与前面几个数字地共同关系，由于前面几个数字可以进行的运算方式有很多，所以这种题型的变化方式也很多．

【例2】观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.

（1）4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，（），……

（2）（1，2，100），（2，4，90），（3，8，80），（4，16，70），（）

（3）1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，（）

分析：（1）4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，（），……

这排加法算式，前面一个数构成数列：4，5，6，7，……；后一个数构成数列：2，8，14，20，……．对于数列4，5，6，7，……，由观察得知，第2项等于第1项加上1，第3项等于第1项加上2，第4项等于第1项加上3，……，所以第5项等于第1项加上4，即

4＋4＝8．同理，数列：2，8，14，20，……，第2项等于第1项加上1×6，第3项等于第1项加上2×6，第4项等于第1项加上3×6，……，所以第5项等于第1项加上4×6，即2＋4×6＝26．所以，括号里应填8+26．

（2）（1，2，100），（2，4，90），（3，8，80），（4，16，70），（）观察这个数列中每一组中对应位置上的数字，可以得到如下规律：

每组第一个是1、2、3、4、......这是一个自然数列，

第二个是2、4、8、16、......，这是一个等比数列，

第三个100、90、80、70......，这是一个递减的等差数列；

所以，第5组中的数应该是：5，16×2，70-10，即第五组的括号中应填（5，32，60）．

（3）1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，（）

这是一排乘法算式，观察可以发现，前面一个数的规律是：1，2，1，2，1，2，1……；后一个数的规律是：3，2，1，3，2，1，3，……，对于第一个数列，是由1、2两个数字循环组成的，所以第八项应为2；对于第二个数列，是由3、2、1循环组成的，所以第八项的第二个数字应为2．所以，括号里应填2×2．

【例3】建筑工人将一堆木头堆成如图的形状，你知道如果按这样的方法堆木头，

一共堆15层的话，第15层有多少根？

分析：通过观察这堆木头可以发现，最上面的一层有1根木头，第二层有2根，

第三层有3根，第四层有4根，……我们可以将这道题转化一下,有一组数：1，

2，3，4，5，6，……问第十五层有多少根，也就是求这组数中第十五个数是什

么，通过我们刚刚学过的我们知道，这是一个等差数列，第十五项为15，也就是第十五层有15根木头．

[拓展]小海喜欢收集小木棒，并将它们按下图的形状摆放在书桌上，最底下一层

小海摆放了27根小木棍，接着摆放了26根，以此类推，到最后小海发现最上面

一层只放了3根小木棒后就没有了，你知道小海一共收集了多少根小木棒吗？

分析：通过读题我们知道，小海的这堆小木棒摆放有一定的规律：第一层：3，第