工科数学分析教程. 上册(杨小远[等]编著)思维导图
考研高等数学知识点整理(附思维导图)
考研高等数学知识点整理（附思维导图）被考研高数折磨过的小伙伴一定都知道那种痛苦：泰勒展开、麦克劳林展开、夹逼定理、定积分不定积分、微分多元微分......作为成功登陆的一员，我觉得有义务帮对岸的朋友考研一把。
下面这张考研高数知识图我之前用过，希望能给你带来好运。
我不多说了。
一、函数先明确一些基本概念，比如函数的定义，函数的性质，什么是复合函数，反函数，隐函数。
理解概念很重要！理解概念很重要！理解概念很重要！重要的事情说三遍~很多问题我们不会做。
其实不是我们解决问题的能力不好，而是我们连基本概念都没搞清楚，自然无从下手，或者说解决问题的方向是偏了！这是我十几年应试的血泪教训！熟悉基本初等函数，包括幂函数、指数函数、对称函数、三角函数、反三角函数，要把公式和参数适用范围记住；常用的函数有绝对值函数、符号函数、整数函数、狄利克雷函数、极大值函数、可变积分上限函数(我认为是最变态的)和双曲函数。
二、极限同样的，先厘清极限的定义了解数列极限的基本性质：极限的唯一性，收敛数列的有界性和保号性，收敛数列与子数列间的关系了解函数极限（区别于数列极限）的基本性质：极限的唯一性，局部有界性和局部保号性（这是和数列极限很大的不同）无穷小量和无穷大量极限的四则运算极限存在的判别方法：单调有界定律和夹迫定律（也有叫夹逼定理的，说的都是一个意思），这两个定律很常见，注意熟练使用三、函数的连续性四、导数与微分基本初等函数的导数公式都得背下来五、中值定理这部分很难(可能只是对我来说，我是个坏学生)，也是常规考试的重点。
六、函数单调性与凹凸性这部分也是重点。
七、渐近线与曲率八、不定积分和微分一样，基本积分公式也得去记九、定积分重点理解定积分的定义和性质（再次强调）然后去记重要的定理、公式和关系十、无穷级数功能扩展很烦人，但是很重要。
大家可能都看过这些表情包。
十一、常微分方程与差分方程要记公式十二、空间解析几何与向量代数理解向量运算，后面的平面方程也就很容易理解了十三、多元函数微分学条件极值经常考十四、重积分这部分主要注意一点：从里层到外层展开的过程要细心，不然展开到最后发现错了又得重新开始十五、曲线积分与曲面积分我当年没考这个，没什么发言权。
工科数学分析教程上册第四版最新精品课件-3.2 函数的极限 2
授课内容
柯西准则 本节小结 作业
§3.2 函数的极限 2 柯西准则
§3.2 函数的极限2
作业：作业册对应章节
§3.2 函数的极限 2 不等式相关
§3.2 函数的极限 2 无穷小量
§3.2 函数的极限 2 无穷小量
§3.2 函数的极限 2 四则运算
函数极限的性质
单调函数的极限ຫໍສະໝຸດ 授课内容柯西准则 本节小结 作业
§3.2 函数的极限 2 单调函数
§3.2 函数的极限 2 单调函数
函数极限的性质
单调函数的极限
工科数学分析教程（上）
§3.2 函数的极限 2
函数极限的性质
单调函数的极限
授课内容
柯西准则 本节小结 作业
函数极限的性质
单调函数的极限
授课内容
柯西准则 本节小结 作业
§3.2 函数的极限 2 局部性质
§3.2 函数的极限 2 局部性质
§3.2 函数的极限 2 局部性质
§3.2 函数的极限 2 不等式相关
北京航空航天大学《工科数学分析》考试试题及参考答案(2012-2013第一学期)
3. 证明下面问题（10 分） 设数列 xn 满足 xn1 xn 4. 证明下面不等式 (10 分)
e x sin x 1
x2 , x 0, p . 2
5. （ 10 分 ） 设 函 数 f x 和 g x 在 a, b 存 在 二 阶 导 数 ， 并 且 g '' x 0 , 且
二、第一次考试题目及答案
1. 计算下面各题（满分 40 分，每个题目 5 分） 1) 2) 计算极限 lim
x 0
1 x sin x 1 e x 1
2
.
求下面无穷小的阶
1 tan x 1 sin x x 0 .
3)
设 f sin x 设
cos x
0 x p
8)
1 x m sin , x 0, 已知 f x m 为正整数. x 0, x 0.
求:
m 满足什么条件，函数在 x 0 连续，
------------------------------------------------------------------------------基金项目： 《北京市精品课程建设》项目和校重点教改项目《工科数学分析开放式教学研究与实践》资助. 作者简介：杨小远(1964-)，女，籍贯：江苏，博士，北京航空航天大学数学与系统科学学院教授.主要研究 方向计算数学、应用调和分析和图像处理,电子邮箱：xiaoyuanyang@.
n P2
........
1 1 1 1 n P2 ........ 1 n P1 2 2 2 2
1 p 1 1 1 2 n 1 2n1 . 2 2
工科数学分析教程上册第四版最新精品课件-2.4 单调数列的极限 2.5 综合解法举例
§2.4 单调数列的界限 §2.5 综合解法举例
内容回顾
单调数列
授课内容
综合解法 本节小结、作业
§2.3 内容回顾
内容回顾
单调数列
授课内容
综合解法 本节小结、作业
§2.4 单调数列的极限 单调数列
§2.4 单调数列的极限 数列的确界
§2.4 单调数列的极限 数列的确界
§2.4 单调数列的极限 收敛准则
§2.4 单调数列的极限 收敛准则
§2.4 单调数列的极限 收敛准则
§2.4 单调数列的极限 收敛准则
§2.4 单调数列的极限 一个例子
内容回顾
单调数列
授课内容综合解法 本节小结、作业§2.5 综合解法举例
§2.5 综合解法举例
§2.5 综合解法举例
§2.5 综合解法举例
§2.5 综合解法举例
§2.5 综合解法举例
内容回顾
单调数列
授课内容
综合解法 本节小结、作业
§2.4 本节小结
作业册对应章节
六年级上册数学知识结构图
六年级上册数学知识结构图六年级上册的数学知识结构图是一个复杂的网络，它涵盖了许多不同的概念和公式。
本文将详细介绍这个结构图，帮助大家更好地理解六年级上册的数学知识。
一、分数分数是六年级上册数学知识结构图的核心之一。
它包括分数的概念、分数的性质、分数的加减法、分数的乘除法以及分数的混合运算等。
在学习分数的过程中，学生需要掌握分数的表示方法，理解分数的意义，并能够进行分数的四则运算。
二、小数小数也是六年级上册数学知识结构图的重要部分。
它包括小数的概念、小数的性质、小数的加减法、小数的乘除法以及小数的混合运算等。
在学习小数的过程中，学生需要掌握小数的表示方法，理解小数的意义，并能够进行小数的四则运算。
三、百分数百分数是六年级上册数学知识结构图的另一个重要部分。
它包括百分数的概念、百分数的性质、百分数的加减法、百分数的乘除法以及百分数的混合运算等。
在学习百分数的过程中，学生需要掌握百分数的表示方法，理解百分数的意义，并能够进行百分数的四则运算。
四、比例比例是六年级上册数学知识结构图中用来描述两个量之间关系的一个重要概念。
它包括比例的概念、比例的性质、比例的加减法、比例的乘除法以及比例的混合运算等。
在学习比例的过程中，学生需要掌握比例的表示方法，理解比例的意义，并能够进行比例的四则运算。
五、面积与体积面积与体积是六年级上册数学知识结构图中两个重要的几何概念。
面积指的是一个平面图形所占的区域大小，而体积则是指一个立体图形所占的空间大小。
在学习面积与体积的过程中，学生需要掌握各种平面图形和立体图形的面积和体积计算方法。
六、统计与概率统计与概率是六年级上册数学知识结构图中两个重要的概率统计概念。
统计主要研究如何收集、整理和分析数据，而概率则主要研究随机事件发生的可能性大小。
在学习统计与概率的过程中，学生需要掌握如何使用表格和图形来表示数据、如何计算平均数和标准差等统计指标以及如何计算事件发生的概率。
七、综合应用综合应用是六年级上册数学知识结构图中最高级的一部分，它要求学生能够将所学到的数学知识应用到实际问题中。
工科数学分析,杨小远,数列极限
lim an a .
n
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：
1. 0, 强调任意性, 而且是任意 小的一面;
2. 不等式 xn a 刻划了xn与a的 无限接近;
3. N与任意给定的正数有关, 只强调存在性.
N定义 :
0, N 0,当n N时, 恒有 xn a .
其中
: 任意的; : 存在.
几何解释:
a
2
a
a
x 2 x1 x N 1
x N 2 x3
x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内.
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
注意：使用定义求极限的过程就是求解不等式.
n ( 1) 例1 证明 lim n n
1 n
n1 2 2 2 1 hn ， hn 2 n1
2 2 n 1 hn ， n 2 1， n1
2 2 N 2 1 1 2 2
2 2 0，N 2 2，n N时， n 1 n1
N使得当n N时恒有 xn a 1 ,
从而有 xn a
1 xn a xn a a xn a a
故 lim xn a .
n
lim 0，（ 0 ） 例7 证明: n n
1 1 分析: 设 1， an 0 ，N 1 n n 1
应记住的结果：
n
n
lim a 1 （仿例8）—当 a 1时和a 1时思考
n
lim n n 1
n
a lim n! n n!
高二数学人教A版(2019)选择性必修第一、二册思维导图
空间向量与立体几何空间向量及其运算空间向量基本定理空间向量的应用空间向量及其运算的坐标表示线性运算数量积运算空间向量的相关概念：空间向量的定义、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量、直线的方向向量.共面向量定理：如果两个向量不共线那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对使共线向量定理：对任意两个空间向量的充要条件是存在实数使空间向量的夹角：两个非零向量的夹角记作如果那么向量互相垂直记作数量积：已知两个非零向量则叫做的数量积记作即空间向量的数量积的运算律：（）结合律（）交换律；（）分配律空间向量线性运算的运算律：交换律：；结合律：，分配律：，空间向量基本定理：如果三个向量不共面那么对任意一个空间向量存在唯一的有序实数组使得基底和基向量：叫做空间的一个基底都叫做基向量单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.由空间向量基本定理可知对空间中的任意向量均可以分解为三个向量使空间直角坐标系的相关概念：坐标轴、空间直角坐标系、坐标向量、坐标平面、右手直角坐标系.空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示.空间向量运算的坐标表示：设空间两点间的距离公式：设是空间中任意两点则平面的法向量：若直线取直线的方向向量称向量为平面的法向量空间中直线、平面的平行空间中直线、平面的垂直空间中的距离、夹角问题线线平行：设分别是直线的方向向量则使得线面平行：设是直线的方向向量是平面的法向量则面面平行：设分别是平面的法向量则使得线线垂直：设直线的方向向量分别为则线面垂直：设直线的方向向量为平面的法向量为则使得面面垂直：设平面的法向量分别为则异面直线所成角：若异面直线所成的角为其方向向量分别是则线面角：设直线与平面所成的角为直线的方向向量为平面的法向量为则二面角：若平面的法向量分别是和夹角为则直线和圆的方程直线的倾斜角与斜率直线的方程倾斜角与斜率：已知直线的倾斜角为则直线的斜率为直线的斜率：经过两点的直线的斜率公式为两直线平行和垂直的判定：设两条直线的斜率分别为（）；（）点斜式方程：斜截式方程：两点式方程：一般式方程：不同时为直线的交点坐标与距离公式圆的方程直线与圆、圆与圆的位置关系两直线的交点坐标：方程组的解就是两直线交点的坐标两点间的距离公式：间的距离公式为点到直线的距离公式：点到直线的距离两条平行直线间的距离：若直线的方程分别为则两平行线的距离标准方程：圆心为半径为的圆的标准方程一般方程：直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系相交，有两个公共点相切，只有一个公共点相离，没有公共点判断直线与圆的位置关系的方法代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径r的大小）相交，有两个公共点相切，包括外切和内切，只有一个公共点相离，包括外离和内含，没有公共点圆锥曲线的方程椭圆椭圆的定义：一般地，把平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于的点的轨迹叫做椭圆椭圆的几何性质抛物线抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线不经过点的距离相等的点的轨迹叫做拋物线点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线焦点在轴上，，范围：，顶点坐标，，，两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.焦点在轴上，，范围，顶点坐标，，，双曲线双曲线的定义：一般地，把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数小于的点的轨迹叫做双曲线双曲线的几何性质共同性质：；关于轴、轴、原点对称；焦距，长轴长，短轴长；离心率两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.共同性质：；关于轴、轴、原点对称；焦距，实轴长，虚轴长；离心率焦点在轴上，，范围：，顶点坐标：，焦点在轴上，，范围，顶点坐标：，渐近线：渐近线：抛物线的几何性质顶点：；离心率：焦点：准线：开口方向：向右关于轴对称焦点：准线：开口方向：向左关于轴对称范围：，焦点：准线：开口方向：向上关于轴对称范围：，焦点：准线：开口方向：向下关于轴对称范围：，范围：，一元函数的导数及其应用导数的概念及其意义导数的运算导数在研究函数中的应用瞬时速度的概念：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.平均变化率：比值，即叫做函数从到的平均变化率导数（瞬时变化率）：在处可导并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率记作或即基本初等函数的导数导数的四则运算法则简单复合函数的导数函数的单调性函数的极值函数的最大（小）值导数的几何意义：函数在处的导数就是切线的斜率，即这就是导数的几何意义导函数的概念：当时，是一个唯一确定的数，当变化时，就是的函数，称为的导函数简称导数的导函数有时也记作，即若为常数，则；若，且，则；若，则；若，则；若，且，则；特别地，若，则；若，且，则；特别地，若，则；函数和、差的求导法则：函数积、商的求导法则：；；复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作复合函数的导数求法：一般地，对于复合函数，导数为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积函数的单调性与导函数的正负之间的关系：在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增；在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减判断函数的单调性的步骤：第步，确定函数的定义域；第步，求出导数的零点；第步，用的零点将的定义域划分为若干个区间列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性导数与函数图象的关系：一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.极值的定义：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值求函数极值的步骤：解方程，当时：如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值最值的定义：如果是某个区间上函数的最大（小）值点，那么不小（大）于函数在此区间上的所有函数值求函数最值的步骤：求函数在区间上的极值将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值画函数图象的步骤：求出函数的定义域；求导数及函数的零点；用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出的单调性与极值；确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；画出的大致图象。