2019年一轮北师大版(理)数学教案：第2章 第13节 定积分与微积分基本定理 Word版含解析
2019高三数学理北师大版一轮教师用书第2章 第12节 定积分与微积分基本定理 Word版含解析
第十二节定积分与微积分基本定理[考纲传真](教师用书独具).了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.了解微积分基本定理的含义．(对应学生用书第页)[基础知识填充]．定积分的概念与几何意义()定积分的定义如果函数()在区间[，]上连续，用分点将区间[，]等分成个小区间，在每个小区间上任取一点δ(＝，…，)，作和式′＝(δ)Δ＋(δ)Δ＋…＋(δ)Δ＋…＋(δ)Δ.当每个小区间的长度Δ趋于时，′的值趋于一个常数．我们称常数叫作函数()在区间[，]上的定积分，记作()，即()＝(ξ)．()有关概念在()中，叫作积分号，与分别叫作积分下限与积分上限，函数()叫作被积函数．()定积分的几何意义.()＝－；()()＝()(为常数)；()[()±()]＝()±()；()()＝()＋()(其中<<)．．微积分基本定理如果连续函数()是函数()的导函数，即()＝′()，那么()＝()－()，这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼茨公式．通常称()是()的一个原函数．为了方便，常把()－()记作()，即()＝()＝()－()．[知识拓展]函数()在闭区间[－，]上连续，则有()若()为偶函数，则()＝().()若()为奇函数，则()＝.[基本能力自测]．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) ()设函数＝()在区间[，]上连续，则()＝().( )()定积分一定是曲边梯形的面积．( )()若()＜，那么由＝()的图像，直线＝，直线＝以及轴所围成的图形一定在轴下方．( )()若()是偶函数，则()＝().( )[答案]()√()×()×()√．(教材改编)已知质点的速率＝，则从＝到＝质点所经过的路程是( ) ．．．．[＝∫＝＝＝.]的值为．－[＝－＋＝－－＋＝[－－(－)]＋(－)＝－＋＋－＝－.]．曲线＝与直线＝所围成的封闭图形的面积为．[如图，阴影部分的面积即为所求．由(\\(＝，＝，))得()．故所求面积为＝(－)。
2019-2020学年北师大版选修2-2 定积分与微积分基本定理 教案
2019-2020学年北师大版选修2-2 定积分与微积分基本定理 教案1．定积分的定义一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式i ＝1n f (ξi )Δx ＝i ＝1nb －a nf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x 。
2．定积分的相关概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式。
3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)。
(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x 。
(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )。
4．定积分的几何意义 如图：设阴影部分面积为S 。
(1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x 。
(2)S ＝－⎠⎛ab f (x )d x 。
(3)S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛c b f (x )d x 。
(4)S ＝⎠⎛ab f (x )d x －⎠⎛ab g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x 。
5．微积分基本定理如果F ′(x )＝f (x )，且f (x )在[a ，b ]上可积，则⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )。
高中数学课件第二章第13节《定积分与微积分基本定理
利用定积分计算球体的体积，利用球 体体积公式V=4/3πr³，对r在区间 [a,b]上积分。
定积分在物理中的应用
变速直线运动的路程
定积分可以用来计算变速直线运动的路 程，将速度函数在时间区间[a,b]上积分 。
VS
静力矩
在力学中，定积分可用于计算平面图形对 某点的静力矩，将力矩函数在区间[a,b]上 积分。
高中数学课件第二章第13节《定积 分与微积分基本定理》
目 录
• 定积分的概念与性质 • 微积分基本定理 • 定积分的计算方法 • 定积分的应用 • 习题与解析
01
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分定义
牛顿-莱布尼茨公式
定积分是积分的一种，是函数在闭区 间上某个函数的代数和的极限，也可 以理解为求函数在闭区间上的整体效 果。
04
定积分的应用
平面图形的面积
矩形面积
定积分可以用来计算矩形区域的面积 ，只需将矩形的长度在区间[a,b]上 积分即可。
圆面积
定积分也可用于计算圆面积，利用圆 的面积公式A=πr²，其中r为半径，对r 在区间[a,b]上积分即可。
体积的计算
圆柱体体积
定积分可用于计算圆柱体的体积，将 圆柱体的底面积在高度方向上进行积 分。
详细描述：这道题目综合了定积分和微积分基本定理的知识点，需要学生灵活运用所学知识来解决复 杂问题，能够提高学生的综合运用能力。
THANKS
感谢观看
下限常数性质
∫(a→b)f(x)dx=∫(a→b)f(x+c)dx，其中c为常数。
02
微积分基本定理
微积分基本定理的表述
01 02
微积分基本定理
如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，那么该函数在区间$[a, b]$上的 定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$等于$F(b) - F(a)$，其中$F(x)$是$f(x)$的一 个原函数。
北师大版高三数学(理科)一轮复习3.7定积分与微积分基本定理学案
第7讲 定积分与微积分基本定理1．定积分的概念在⎠⎛ab f (x )dx 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式． 2．定积分的几何意义设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≥0，则定积分⎠⎛ab f (x )dx 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积． 3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )dx ＝k ⎠⎛ab f (x )dx (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]dx ＝⎠⎛a b f 1(x )dx ±⎠⎛ab f 2(x )dx ；(3)⎠⎛ab f (x )dx ＝⎠⎛ac f (x )dx ＋⎠⎛cb f (x )dx (其中a <c <b )．4．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )dx ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式． 其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛ab f (x )dx ＝F (x )⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )dx ＝⎠⎛ab f (t )dt .( )(2)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )dx ＝2⎠⎛0a f (x )dx .( )(3)若f (x )是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )dx ＝0.( )(4)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的区域面积是⎠⎛01(x 2－x )dx .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×⎠⎛01e x dx 的值等于( )A ．eB ．1－eC ．e －1 D.12(e －1)解析：选C.⎠⎛01e x dx ＝e x |10＝e 1－e 0＝e －1.如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1 B.43C. 3D ．2解析：选B .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.所以S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1－1)dx ＝⎠⎛02(－x 2＋2x )dx ＝⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 2|20＝－83＋4＝43.若∫π20(sin x －a cos x )dx ＝2，则实数a 等于________． 解析：由题意知(－cos x －a sin x )|π20＝1－a ＝2，a ＝－1. 答案：－1设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e ](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )dx 的值为________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e ]，所以⎠⎛0e f (x )dx ＝⎠⎛01x 2dx ＋⎠⎛1e 1xdx＝13x 3⎪⎪⎪10＋ln x ⎪⎪⎪e 1＝13＋ln e ＝43. 答案：43定积分的计算[典例引领]利用微积分基本定理求下列定积分： (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋1)dx ；(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )dx ； (3)⎠⎛02|1－x |dx ； (4)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x dx . 【解】 (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋1)dx＝⎠⎛12x 2dx ＋⎠⎛122xdx ＋⎠⎛121dx＝x 33⎪⎪⎪21＋x 2⎪⎪⎪21＋x ⎪⎪⎪21＝193. (2)⎠⎛0π(sin x －cos x )dx＝⎠⎛0πsin xdx －⎠⎛0πcos xdx ＝(－cos x )⎪⎪⎪π0－sin x ⎪⎪⎪π0＝2.(3)⎠⎛02|1－x |dx ＝⎠⎛01(1－x )dx ＋⎠⎛12(x －1)dx＝⎝⎛⎭⎫x －12x 2|10＋⎝⎛⎭⎫12x 2－x |21＝⎝⎛⎭⎫1－12－0＋⎝⎛⎭⎫12×22－2－⎝⎛⎭⎫12×12－1＝1. (4)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x dx ＝⎠⎛12e 2x dx ＋⎠⎛121xdx ＝12e 2x ⎪⎪⎪21＋ln x ⎪⎪⎪21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2.若本例(3)变为“⎠⎛03|x 2－1|dx ”，试求之．解：⎠⎛03|x 2－1|dx＝⎠⎛01(1－x 2)dx ＋⎠⎛13(x 2－1)dx＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x ⎪⎪⎪31 ＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫6＋23＝223.计算定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．[通关练习]1.⎠⎛－11e |x |dx 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋2解析：选C.⎠⎛－11e |x |dx ＝⎠⎛－1e －x dx ＋⎠⎛01e x dx＝－e －x |0－1＋e x |10＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0)＝－1＋e ＋e －1＝2e －2，故选C .2．若⎠⎛01(x 2＋mx )dx ＝0，则实数m 的值为( )A ．－13B ．－23C ．－1D ．－2解析：选B.由题意知⎠⎛01(x 2＋mx )dx ＝⎝⎛⎭⎫x 33＋m x 22|10＝13＋m 2＝0，得m ＝－23. 3．(2018·泉州模拟)⎠⎛01⎝⎛⎭⎫1－x 2＋12x dx ＝________． 解析：⎠⎛01⎝⎛⎭⎫1－x 2＋12x dx ＝⎠⎛011－x 2dx ＋⎠⎛0112xdx ，⎠⎛0112xdx ＝14，⎠⎛011－x 2dx 表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以结果是π＋14.答案：π＋14利用定积分计算平面图形的面积(高频考点)利用定积分计算平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考向；主要以选择题、填空题的形式出现，一般难度较小．高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下两个命题角度：(1)根据条件求平面图形的面积； (2)利用平面图形的面积求参数．[典例引领]角度一 根据条件求平面图形的面积(2018·新疆第二次适应性检测)由曲线y ＝x 2＋1，直线y ＝－x ＋3，x 轴正半轴与y 轴正半轴所围成图形的面积为( ) A ．3 B.103 C.73D.83【解析】 由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1y ＝－x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝5(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1，2)，结合图形可知，所求的面积为⎠⎛01(x 2＋1)dx ＋12×22＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |10＋2＝103，选B .【答案】 B角度二 利用平面图形的面积求参数已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．【解析】 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(0)＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a ＜0)．S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)dx ＝112a 4＝112，所以a ＝－1. 【答案】 －1用定积分求平面图形面积的四个步骤(2018·山西大学附中第二次模拟)曲线y ＝2sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________． 解析：令2sin x ＝1，得sin x ＝12，当x ∈[0，π]时，得x ＝π6或x ＝5π6，所以所求面积S ＝⎠⎜⎜⎛π6 5π6 (2sin x －1)dx ＝(－2cos x －x ) ⎪⎪⎪5π6π6＝23－2π3.答案：23－2π3定积分在物理中的应用[典例引领]设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J (x 的单位：m ；力的单位：N )．【解析】 变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )dx ＝⎠⎛110(x 2＋1)dx＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪101＝342(J )． 【答案】 342定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )dt .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )dx .以初速40 m /s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( ) A.1603 m B.803 m C.403m D.203m 解析：选A.由v ＝40－10t 2＝0， 得t 2＝4，t ＝2.所以h ＝⎠⎛02(40－10t 2)dt ＝⎝⎛⎭⎫40t －103t 3⎪⎪⎪20＝80－803＝1603(m).求定积分的方法(1)利用微积分基本定理求定积分步骤如下： ①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； ②计算F (b )－F (a )．(2)利用定积分的几何意义求定积分．求曲边多边形面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形． (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限． (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和．(4)计算定积分．易错防范(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是积分变量． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积为正，而定积分的结果可以为负．1．定积分⎠⎛01(3x ＋e x )dx 的值为( )A ．e ＋1B ．eC ．e －12D ．e ＋12解析：选D.⎠⎛01(3x ＋e x)dx ＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋e x ⎪⎪⎪10＝32＋e －1＝12＋e.2．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：选A.因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2dt ＝t 3|a 0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a＝1.3．一物体受到与它运动方向相反的力：F (x )＝110e x ＋x 的作用，则它从x ＝0运动到x ＝1时F (x )所做的功等于( ) A ．e 10＋25B ．e 10－25C ．－e 10＋25D ．－e 10－25解析：选D.由题意知W ＝－⎠⎛01⎝⎛⎭⎫110e x ＋x dx＝－⎝⎛⎭⎫110e x ＋12x 2⎪⎪⎪10＝－e 10－25.4．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )dx ，则⎠⎛01f (x )dx ＝( )A ．－1B ．－13C ．13D ．1解析：选B.因为f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )dx ，所以⎠⎛01f (x )dx ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f （x ）dx |10 ＝13＋2⎠⎛01f (x )dx ，所以⎠⎛01f (x )dx ＝－13. 5．直线y ＝x ＋4与曲线y ＝x 2－x ＋1所围成的封闭图形的面积为( ) A.223 B.283 C.323D.343解析：选C.因为x ＋4＝x 2－x ＋1的解为x ＝－1或x ＝3， 所以封闭图形的面积为S ＝⎠⎛－13[x ＋4－(x 2－x ＋1)]dx＝⎠⎛－13(－x 2＋2x ＋3)dx＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋3x |3－1＝323. 6．定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )dx ＝________．解析：⎠⎛－11(x 2＋sin x )dx＝⎠⎛－11x 2dx ＋⎠⎛－11sin xdx＝2⎠⎛01x 2dx ＝2·x 33⎪⎪⎪10＝23.答案：237.⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)dx ＝________．解析：因为x 2tan x ＋x 3是奇函数．所以⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)dx ＝⎠⎛－111dx ＝x |1－1＝2.答案：28．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )dx ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．解析：⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(ax 2＋c )dx ＝⎝⎛⎭⎫13a x 3＋c x ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ， 所以x 20＝13，x 0＝±33. 又因为0≤x 0≤1，所以x 0＝33. 答案：339．求下列定积分： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x dx ； (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )dx .解：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x dx ＝⎠⎛12xdx －⎠⎛12x 2dx ＋⎠⎛121xdx ＝x 22|21－x 33|21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )dx ＝⎠⎛－π0cos xdx ＋⎠⎛－πe x dx＝sin x |0－π＋e x |0－π＝1－1e π.10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解：因为(1，2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点， 设过点(1，2)处的切线的斜率为k ， 则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2，所以过点(1，2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)， 即y ＝2x .y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图中阴影部分：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x可得交点A (2，4)，O (0，0)，故y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积 S ＝⎠⎛02(2x －x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3|20＝4－83＝43.1．由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是()A.92B.423＋76C.76D.2＋1解析：选B.把阴影部分分成两部分(y 轴左侧部分和右侧部分)求面积．易得S ＝⎠⎛－20(2－x 2)dx ＋⎠⎛01(2－x 2－x )dx ＝⎝⎛⎭⎫2x －x 33|0－2＋⎝⎛⎭⎫2x －x 33－x 22|10 ＝22－（2）33＋2－13－12＝423＋76. 2．(2018·湖南省湘中名校高三联考)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1）x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎛－12f (x )dx 的值为( )A.π2＋43B.π2＋3C.π4＋43D.π4＋3解析：选A.⎠⎛－12f (x )dx ＝⎠⎛－111－x 2dx ＋⎠⎛12(x 2－1)dx ＝12π×12＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x |21＝π2＋43，故选A. 3．汽车以72 km/h 的速度行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以等减速度a ＝4 m/s 2刹车，则汽车从开始刹车到停止走的距离为________m.解析：先求从刹车到停车所用的时间t ，当t ＝0时，v 0＝72 km/h ＝20 m/s ，刹车后，汽车减速行驶，速度为v (t )＝v 0－at ＝20－4t .令v (t )＝0，可得t ＝5 s ，所以汽车从刹车到停车，所走过的路程为：⎠⎛05(20－4t )dt ＝(20t －2t 2)|50＝50(m)． 即汽车从开始刹车到停止，共走了50 m.答案：504．函数y ＝⎠⎛0t (sin x ＋cos x sin x )dx 的最大值是________． 解析：y ＝⎠⎛0t (sin x ＋cos x sin x )dx ＝⎠⎛0t ⎝⎛⎭⎫sin x ＋12sin 2x dx ＝⎝⎛⎭⎫－cos x －14cos 2x |t 0 ＝－cos t －14cos 2t ＋54＝－cos t －14(2cos 2t －1)＋54＝－12(cos t ＋1)2＋2， 当cos t ＝－1时，y ma x ＝2.答案：25．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )dx ＝－2. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0， 所以f (x )＝ax 2＋2－a .又⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(ax 2＋2－a )dx ＝⎣⎡⎦⎤13a x 3＋（2－a ）x |10＝2－23a ＝－2. 所以a ＝6，从而f (x )＝6x 2－4.(2)因为f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1，1]．所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )ma x ＝2.6．如图，在曲线C ：y ＝x 2，x ∈[0，1]上取点P (t ，t 2)，过点P 作x 轴的平行线l .曲线C 与直线x ＝0，x ＝1及直线l 围成的图形包括两部分，面积分别记为S 1，S 2.当S 1＝S 2时，求t 的值．解：根据题意，直线l 的方程是y ＝t 2，且0＜t ＜1.结合题图，得交点坐标分别是A (0，0)，P (t ，t 2)，B (1，1)．所以S 1＝⎠⎛0t (t 2－x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫t 2x －13x 3|t 0 ＝t 3－13t 3＝23t 3，0＜t ＜1. S 2＝⎠⎛t1(x 2－t 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－t 2x |1t＝⎝⎛⎭⎫13－t 2－⎝⎛⎭⎫13t 3－t 3 ＝23t 3－t 2＋13，0＜t ＜1. 由S 1＝S 2，得23t 3＝23t 3－t 2＋13， 所以t 2＝13.又0＜t ＜1， 所以t ＝33. 所以当t ＝33时，S 1＝S 2.。
【创新方案】高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)定积分与微积分基本定理 理 北师大版
第十三节 定积分与微积分基本定理【考纲下载】1. 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2. 了解微积分基本定理的含义.1．定积分(1)定积分的相关概念：在∫ba f (x )d x 中，∫叫作积分号，a 叫作积分的下限，b 叫作积分的上限，f (x )叫作被积函数．(2)定积分的性质：①∫ba 1d x ＝b －a ；②⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)； ③⎠⎛a b[f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a bf (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x ； ④⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x .(3)定积分的几何意义：①当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分∫ba f (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分∫b af (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(如图中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．2．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有∫ba f (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个式子称为牛顿——莱布尼茨公式．通常称F (x )是f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )|b a ，即∫ba f (x )d x ＝ F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．1.()baf x dx ⎰与()baf t dt ⎰相等吗？提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．3．定积分[()()]baf xg x dx -⎰ (f (x )>g (x ))的几何意义是什么？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积．1．(2013·江西高考)若S 1＝221x dx ⎰，S 2＝211dx x⎰，S 3＝21e x dx ⎰，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析：选B S 1＝32113x ＝83－13＝73，S 2＝2ln 1x ＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝2e 1x ＝e 2－e≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.2．已知质点的速度v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( ) A ．10t 20 B ．5t 20 C.103t 20 D.53t 20解析：选B S ＝10t tdt ⎰＝0250t t ＝5t 20.3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2x 2xx，则11()f x dx -⎰的值是( )A. 121x dx -⎰B. 112x dx -⎰C.21x dx -⎰＋12x dx ⎰ D. 012x-⎰d x ＋120x ⎰d x解析：选D11()f x dx -⎰＝012x -⎰d x ＋120x ⎰d x .4．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________． 解析：22x dx ⎰＝32103x ＝83.答案：835．(2013·湖南高考)若20Tx dx ⎰＝9，则常数T 的值为________．解析：2Tx dx ⎰＝3103T x ＝13T 3＝9，解得T ＝3.答案：3[例1] 求下列定积分： (1) 12(2)xx dx -+⎰； (2) 0(sin cos )x x dx π-⎰；(3)2211(e )xdx x +⎰; (4) 201x dx -⎰.[自主解答] (1) 120(2)x x dx -+⎰＝120()x dx -⎰＋102xdx ⎰＝31103x -＋210x ＝－13＋1＝23. (2)(sin cos )x x dx π-⎰＝0sin xdx π⎰－0cos xdx π⎰＝(cos )x π-－sin 0xπ＝2.(3)2211(e )xdx x +⎰＝221e xdx ⎰＋211dx x ⎰＝221e 12x ＋2ln 1x ＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1＝12e 4－12e 2＋ln 2. (4)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x x ，x －x，故10(1)x dx -⎰＝10(1)x dx -⎰＋21(1)x dx -⎰＝2102x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋2212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12＋12＝1.【互动探究】若将本例(1)中的“－x 2＋2x ”改为“－x 2＋2x ”，如何求解？解：⎰表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y ＝－x 2＋2x ，得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，故⎰表示圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14，即⎰＝14π.【方法规律】 定积分的求法(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则()aaf x dx -⎰＝0.1.＝________.解析：＝20sin cos x x dx π-⎰＝()40cos sin d x x x π-⎰＋()24sin cos d x x x ππ-⎰＝()sin cos 40x x π+＋()2cos sin 4x x ππ--＝2－1＋(－1＋2)＝22－2. 答案：22－2 2．若()20sin cos d x a x x π+⎰＝2，则实数a ＝________.解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x ，∴46212243(34)d 4()d 22x x x x v t t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰＝(sin cos )20a x x π-＝⎝ ⎛ a sin π2－⎭⎪⎫cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2，∴a ＝1.答案：13.x ⎰＝________.解析：由定积分的几何意义知，0x ⎰是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y＝0围成的封闭图形的面积，故x ⎰＝π·324＝9π4.答案：9π4[例2] (1)(2013·湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2(2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 3x ＋4 x(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J[自主解答] (1)由v (t )＝7－3t ＋151＋t ＝0，可得t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋151＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 3＋＋t 4＝4＋25ln 5.(2)力F (x )做功为210d x ⎰＋42(34)d x x +⎰＝10x20＋243422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ＝20＋26＝46.[答案] (1)C (2)B 【方法规律】利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．一物体做变速直线运动，其v t 曲线如图所示，则该物体在12 s ～6 s 间的运动路程为________．解析：由图象可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t <3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以12s ～6 s 间的运动路程s＝()331122322222021022132()d d e 33363kx x x x kx x x x x x x kx x x ππ-⎡⎤''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥--=+- ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎣⎦⎰⎰则＝1122d t t ⎰＋312d t ⎰＋6311d 3t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰＝t 2112＋2t 31＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16t 2＋t 63＝494.答案：4941．利用定积分求平面图形的面积是高考的常考内容，多以选择题、填空题的形式考查，难度偏小，属中低档题．2．高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下几个命题角度： (1)知图形求曲线围成图形的面积； (2)知函数解析式求曲线围成图形的面积； (3)知曲线围成图形的面积求参数的值．[例3] (1)(2012·湖北高考)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5 B.43 C.32 D.π2(2)(2011·新课标全国卷)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A.103 B ．4 C.163D ．6 (3)(2012·山东高考)设a >0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.[自主解答] (1)由题意知二次函数f (x )＝－x 2＋1，它与x 轴所围图形的面积为11()d f x x -⎰＝102()d f x x ⎰＝2 120(1)d x x -+⎰＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3 10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43.(2)作出曲线y ＝x ，直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积． 由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为4(2)d x x ⎤-⎦⎰＝)42d x x +⎰＝3224212032x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝23×8－12×16＋2×4＝163.(3)由题意知x ⎰＝a 2.又332222033a x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭则＝a 2.即23a 32＝a 2，所以a ＝49.[答案] (1)B (2)C (3)49利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略(1)知图形求面积．首先，依据函数的图象求出解析式；其次，确立被积函数；最后，利用定积分求面积．(2)知函数解析式求面积．解决此类问题应分四步：①画图；②确定积分上、下限，即求出曲线的交点坐标；③确定被积函数；④由定积分求出面积．(3)知图形的面积求参数．求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．1．曲线y ＝x 2和曲线y 2＝x 围成的图形的面积是( ) A.13 B.23 C ．1 D.43解析：选A 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y 2＝x ，得两曲线的交点为(0,0)，(1,1)．所以)12d x x ⎰＝332121033x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝13，即曲线y ＝x 2和曲线y 2＝x 围成的图形的面积是13.2．由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________．解析：如图所示，由y ＝x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1,0)和(1,0)． 所以S ＝2201d x x -⎰＝()1201d x x -⎰＋()2211d x x -⎰＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 331＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤83－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝2. 答案：2————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————个定理——微积分基本定理利用微积分基本定理求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分互为逆运算．条结论——定积分应用的两条常用结论(1)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程．条性质——定积分的性质 (1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行；(4)f (x )在区间[－a ，a ]上连续，若f (x )为偶函数，则()d aaf x x -⎰＝2 0()d af x x ⎰；若f (x )为奇函数，则()d aaf x x -⎰＝0.易误警示(四)利用定积分求平面图形面积的易错点[典例] (2012·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解题指导] 根据已知条件，求出f (x )的解析式，然后利用定积分求解．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为122010d x x ⎰＋()12121010d x x x -⎰＝3110230x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 2－103x 3112＝54. [答案] 54[名师点评] 1.本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形； (2)准确确定被积函数和积分变量．曲线y ＝x 2＋2与直线5x －y －4＝0所围成的图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋2，5x －y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋6＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.如图所示，当2<x <3时，直线5x －y －4＝0在曲线y ＝x 2＋2的上方，所以所求面积为()32254(2)d x x x ⎡⎤--+⎣⎦⎰＝()32256d x x x ⎡⎤--⎣⎦⎰＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52x 2－13x 3－6x ⎪⎪⎪32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52×32－13×33－6×3－⎝ ⎛⎭⎪⎫52×22－13×23－6×2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－92－⎝ ⎛⎭⎪⎫－143＝16.答案：16[全盘巩固]1．已知f (x )是偶函数，且6()d f x x ⎰＝8，则66()d f x x -⎰＝( )A ．0B ．4C ．6D ．16解析：选 D 因为函数f (x )是偶函数，所以函数f (x )在y 轴两侧的图象对称，所以66()d f x x -⎰＝06()d f x x -⎰＋60()d f x x ⎰＝26()d f x x ⎰＝16.2．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3 解析：选D 结合函数图象可得所求封闭图形的面积是33cos d x x ππ-⎰＝sin x 33ππ-＝ 3.3．已知f (x )＝2－|x |，则21()d f x x -⎰＝( )A ．3B ．4 C.72 D.92解析：选C ∵f (x )＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－xx ，2＋x x，∴21()d f x x -⎰＝()012d x x -+⎰＋()202d x x -⎰＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 220－1＋⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫2x －x 2220＝32＋2＝72. 4．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 m B.803 m C.403 m D.203m 解析：选A 由v ＝40－10t 2＝0，得t ＝2(t ＝－2舍去)，则此物体达到最高时的高度为()2204010d t t -⎰＝⎝⎛⎭⎪⎫40t －103t 320＝40×2－103×8＝1603 (m)． 5．(2014·德州模拟)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.712解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3，得x ＝0或x ＝1，由图易知封闭图形的面积＝1230()d x x x -⎰＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 441＝13－14＝112.6．如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0<t <1)，x ＝1，x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是( )A.14B.12C ．1D ．2 解析：选A 设图中阴影部分的面积为S (t )，则S (t )＝220()d tt x x -⎰＋122()d tx t x -⎰＝43t 3－t 2＋13，由S ′(t )＝2t (2t －1)＝0，得t ＝12为S (t )在区间(0,1)上的最小值点，此时S (t )min ＝S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14.7．(2014·西安模拟)若11(2)d ax x x+⎰＝3＋ln 2，则a 的值是________．解析：由11(2)d ax x x +⎰＝()x 2＋ln x 1a ＝()a 2＋ln a －(12＋ln 1)＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2(a >1)，得a 2＋ln a ＝4＋ln 2，所以a ＝2. 答案：28．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈，e](e 为自然对数的底数)，则()d ef x x ⎰的值为________．解析：依题意得0()d ef x x ⎰＝12d x x ⎰＋11d ex x ⎰＝x 3310＋ln x 1e ＝13＋1＝43.答案：439．曲线y ＝12ex 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：由题意得y ′＝12e x '⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1212e x ，所以曲线在点(4，e 2)处的切线斜率为12e 2，因此切线方程为y －e 2＝12e 2·(x －4)，则切线与坐标轴的交点为A (2,0)，B (0，－e 2)，所以S △AOB ＝12|－e 2|×2＝e 2(O 为坐标原点)．答案：e 210．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，直线l 1：x ＝2，直线l 2：y ＝－t 2＋8t (其中0≤t ≤2，t 为常数)，若直线l 1，l 2与函数f (x )的图象以及l 1、l 2、y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求阴影面积S 关于t 的函数S (t )的解析式．解：(1)由图形可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f (x )的最大值为16，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ·82＋b ·8＋c ＝0，4ac －b 24a ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝8，c ＝0，故函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2＋8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－t 2＋8t ，y ＝－x 2＋8x ，得x 2－8x －t (t －8)＝0，∴x 1＝t ，x 2＝8－t .∵0≤t ≤2，∴直线l 2与f (x )的图象的交点坐标为(t ，－t 2＋8t )，由定积分的几何意义知：S (t )＝()2208(8)d tt t x x x⎡⎤-+--+⎣⎦⎰＋()222(8)8d tx x t t x⎡⎤-+--+⎣⎦⎰＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－t 2＋8t x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋4x 20t ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋4x 2－－t 2＋8t x 2t＝－43t 3＋10t 2－16t ＋403.11．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝120()d x x x -⎰＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 310＝16.又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S2＝12()d kx x kx x ---⎰d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 310k -＝16(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.12．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝101d 3x x ⎫⎪⎭⎰＋3112d 3x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎰＝322121036x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 231＝23＋16＋43＝136. [冲击名校]1．一物体在变力F (x )＝5－x 2(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下，沿着与F (x )成30°角的方向做直线运动，则从x ＝1处运动到x ＝2处时变力F (x )所做的功为( )A.233 J B. 3 J C.433J D ．2 3 J 解析：选C 由已知条件可得，F (x )所做的功为32()2215d x x -⎰＝433J. 2．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S 2，则点P 的坐标为________．解析：设直线OP 的方程为y ＝kx ，点P 的坐标为(x ，y )， 则()20d xkx x x -⎰＝()22d x x kx x -⎰，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 30x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12kx 22x ， 整理得12kx 2－13x 3＝83－2k －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12kx 2，解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169 [高频滚动]已知函数f (x )＝ax 2－b ln x 在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝3x －1.(1)若f (x )在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，求实数k 的取值范围；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，均存在t ∈[1,3]，使得13t 3－c ＋12t 2＋ct ＋ln 2＋16≤f (x )，试求实数c 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝2ax －bx ，由⎩⎪⎨⎪⎧f ＝3，f ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，f (x )＝2x 2－ln x ，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，令f ′(x )＝0，得x ＝12，则函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1≥0，k －1<12，解得1≤k <32.k ＋1>12，故实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. (2)设g (t )＝13t 3－c ＋12t 2＋ct ＋ln 2＋16，根据题意可知g (t )min ≤f (x )min ，由(1)知f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋ln 2，g ′(t )＝t 2－(c ＋1)t ＋c ＝(t －1)(t －c )，当c ≤1时，g ′(t )≥0，g (t )在t ∈[1,3]上单调递增，g (t )min ＝g (1)＝c2＋ln 2，满足g (t )min ≤f (x )min .当1<c <3时，g (t )在t ∈[1，c ]时单调递减，在t ∈[c,3]时单调递增，g (t )min ＝g (c )＝－16c 3＋12c 2＋ln 2＋16，由－16c 3＋12c 2＋ln 2＋16≤12＋ln 2，得 c 3－3c 2＋2≥0，(c －1)(c 2－2c －2)≥0，此时1＋3≤c <3.当c ≥3时，g ′(t )≤0，g (t )在t ∈[1,3]上单调递减，g (t )min ＝g (3)＝－3c 2＋143＋ln 2，g (3)＝－3c 2＋143＋ln 2≤－3×32＋143＋ln 2≤12＋ln 2.综上，c 的取值范围是(－∞，1]∪[1＋3，＋∞)．。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 课时分层训练17定积分与微积分基本定理理北师大
课时分层训练(十七) 定积分与微积分基本定理A 组 基础达标一、选择题1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1C [⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x ) ⎪⎪⎪10＝1＋e 1－1＝e.故选C.]2．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D.3D [由题意知S ＝⎠⎜⎜⎛-π3π3cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪π3-π3＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝3.]3．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝g t (g 为常数)，则电视塔高为( )【导学号：79140093】A.12g B ．g C.32g D ．2gC [由题意知电视塔高为⎠⎛12g t d t ＝12g t 2⎪⎪⎪21＝2g －12g ＝32g.]4．定积分⎠⎛-22|x 2－2x |d x ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8D [∵|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛-22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛-20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2⎪⎪⎪2＝8.] 5．(2018·合肥一检)在如图2121所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 的方程为x 2－y ＝0)的点的个数的估计值为( )图2121A ．5 000B ．6 667C ．7 500D ．7 854B [图中阴影部分的面积为⎠⎛01(1－x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＝23，又正方形的面积为1，则10000个点落入阴影部分个数估计为10 000×23≈6 667，故选B .]二、填空题6．(2018·长沙模拟(二))若⎠⎛-aa (x 2＋sin x )d x ＝18，则a ＝________.3 [⎠⎛-aa(x 2＋sin x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－cos x ⎪⎪⎪a-a ＝23a 3＝18，解得a ＝3.]7．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10(单位：m )，已知F (x )＝x 2＋1(单位：N )且和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J . 342 [变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪101＝342(J)．] 8．(2017·洛阳统考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0，e x，0≤x ≤1的图像与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________.【导学号：79140094】e －12 [由题意知所求面积为⎠⎛－10(x ＋1)d x ＋⎠⎛01e x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ⎪⎪⎪0-1＋e x ⎪⎪⎪10＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋(e －1)＝e －12.]三、解答题9．计算下列定积分：(1)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x ； (2)⎠⎛02－x 2＋2x d x ； (3)⎠⎜⎛0π22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x .[解] (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 1＝32－ln 2；(2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由x ＝0，x ＝2，y ＝－x 2＋2x ，以及x 轴围成的图像的面积，即圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的一半，∴⎠⎛02－x 2＋2x ＝π2；(3)原式＝⎠⎜⎛0π2(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π20＝⎝⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－(－cos 0＋sin 0)＝2.10．求曲线y ＝x ，y ＝2－x，y ＝－13x 所围成图形的面积．[解] 如图所示，由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A(1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B(3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 2⎪⎪⎪3＝23＋16＋43＝136.B 组 能力提升11．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C ．13D ．1B [由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，∴f (x )＝x 2＋2m ，⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2m x ⎪⎪⎪10 ＝13＋2m ＝m ，∴m＝－13.] 12．(2017·河南百校联盟4月模拟)已知1sin φ＋1cos φ＝22，若φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则⎠⎛－1tan φ(x 2－2x )d x ＝( ) A.13 B ．－13C.23 D ．－23C [由1sin φ＋1cos φ＝22⇒sin φ＋cos φ＝22·sin φ·cos φ⇒2s in ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＝2sin 2φ，因为φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以φ＝π4，所以tan φ＝1，故⎠⎛－1tan φ(x 2－2x )d x ＝⎠⎛－11(x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x33－x 2⎪⎪⎪1-1＝23.]13．设函数f (x )＝ax 2＋c(a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为______．33 [⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋c x ⎪⎪⎪0-1＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ， 所以x 20＝13，x 0＝±33.又因为0≤x 0≤1，所以x 0＝33.] 14．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x )＝x 2围成的图形的面积.【导学号：79140095】[解] ∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，∵f ′(x )＝3x 2－2x ＋1， 则k ＝f ′(1)＝2，∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)， 即y ＝2x .y ＝2x 与函数g(x )＝x 2围成的图形如图．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A(2,4)，∴y ＝2x 与函数g(x )＝x 2围成的图形的面积 S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20＝4－83＝43.。
第十三节定积分与微积分基本定理
a
图1
(2)由三条直线 x＝a、x＝b(a＜b)、x 轴、一条曲线 y＝
f(x)[f(x)≤0]围成的曲边梯形的面积(如图 2)：
S＝|bf(x)dx|＝－bf(x)dx.
a
a
图2
(3)由两条直线 x＝a、x＝b(a＜b)、两条曲线 y＝f(x)、y＝ g(x)[f(x)≥g(x)]围成的平面图形的面积(如图 3)；
题型一 计算积分 例 1 计算以下定积分：
解析：(1)函数 y＝2x2－1x的一个原函数是 y＝23x3－lnx，所
以12(2x2－1x)dx＝(23x3－lnx)
2 1
21＝136－ln2－23＝134－ln2.
(2)3( 2
x＋ 1x)2dx＝23(x＋1x＋2)dx
∴在 t＝4s 时的路程为
s＝1(t2－4t＋3)dt＋|3(t2－4t＋3)dt|＋4(t2－4t＋3)dt＝4m.
0
1
3
点评：用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物 理问题转化为数学问题是关键，另外，路程是位移的绝对值之 和，一定要判断在不同区间上位移的符号，否则会出现计算错 误．
第十三节 定积分与微积分基本定理
【知识梳理】
1.定积分的概念
(1)设f(x)是在区间[a，b]上有定义的函数，在a，b之间取若干分点
a=Δx0<xxk中1<x最2<大…<xn=b.记小区间[xk-1，xk]为Δ k，其长度x_k-__x_k-_1_记作Δ xk， __的__________记作d.再在每个小区间Δ k上任取一点代表点zk，作和式
f(x)在[a，b] 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴 上有正有负 下方的曲边梯形的面积
第二章 第十三节 定积分与微积分基本定理
的部分，
∴ 13 3＋2x是－x圆2 d面x 积的
1， 4
∴
13
3＋2x－x2 dx＝1gg22＝. 4
答案：π
【互动探究】在本例题(3)中条件不变，求 31 f(x)dx的值.
【解析】由本例题(3)的解答过程知，
3 1
f
x表d示x 以
(1，0)为圆心，2为半径的圆在x轴上方的部分的面积，故
|02
(4x
x2 2
22 3
3
x 2 ) |82
16 38 18. 33
方法二：S＝
2［4
4－y
－
y2 2
］dy
＝(4y
1 2
y2
1 6
y3
)
|24
＝18.
答案：18
(3)由
y
x得3 ,
y x
所求xy 旋11,,转体的体积等于由
y x，xx 轴1所，围成的图形绕x轴旋转一周形成的旋转体
判断出 f x＝ 3＋表2x－示x的2 几何意义，再利用定积分的
几何意义求解.
【规范解答】(1)
11
x2 sin x
dx
（1 3
x3
cos
x）|11
2. 3
答案：2
3
(2)
2 0
1 sin
2xdx
2 0
sin
x cos
x
dx
04
(cosx
sin
_________________.
(2)(2013·芜湖模拟)
高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.12 定积分与微积分基本定理课件 理 北师大版
x2)dx＝12x2－13x3|
10＝61。
4．(2016·阜阳模拟)已知 t>1，若t (2x＋1)dx＝t2，则 t＝__2______。 1
解析
t (2x＋1)dx＝(x2＋
1
x)|
t1＝t2＋
t－2，
从而得方程 t2＋t－2＝t2，解得 t＝2。
π 5. －1 1－x2dx＝__2______。
④S＝bf(x)dx－bg(x)dx
a
a
＝b[f(x)－g(x)]dx。 a
(2)定积分在物理中的应用
①变速直线运动的路程公式
做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v＝v(t)(v(t)≥0) bv(t)dt
在时间区间[a，b]上的定积分，即 s＝_____a________。
②变力做功问题
物体在变力 F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与力 F(x)相同的 bF(x)dx
方向从 x＝a 移动到 x＝b(a<b)，则变力 F(x)所做的功为 W＝__a______。
基础自测
[判一判]
(1)设函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则bf(x)dx＝bf(t)dt。( √ )
a
a
(4)如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于 0，S 与 s 的差也趋于 0，
此时，S 与 s 同时趋于某一个固定的常数 A，我们就称 A 是函数 y＝f(x)在区
bf(x)dx
bf(x)dx
间[a，b]上的定积分，记作___a________，即_____a__________＝A。
其中__∫____叫作积分号，__a___叫作积分的下限，___b__叫作积分的上 限，____f(_x_) __叫作被积函数。
第二章 第十三节 定积分与微积分基本定理
②一般情况下，定积分∫b af(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲 线 f(x)以及直线 x＝a、 x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(如 图中阴影所示)，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积 分值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
(3)定积分的基本性质
b k∫a f(x)dx . b b b ∫ ∫ f ( x )d x ± a f2(x)dx . ②∫a[f1(x)± f2(x)]dx＝ a 1
设一个物体从初速度为 1 时开始做直线运动， 已知在任意 时刻 t 时的加速度为 2 t＋1，试将位移 s 表示为时间 t 的 函数式．
解：取物体运动的起点为原点，在t时刻的位移为s＝s(t)，速度 为v＝v(t)，加速度为a＝a(t)，则有 s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)＝2 t＋1，s(0)＝0，v(0)＝1. 在区间[0，t]上有v(t)－v(0)
b
a
f(x)dx|＝－
b
a
f(x)dx.
(3)由两条直线 x＝a、x＝b(a＜b)、两条曲线 y＝f(x)、y＝ g(x)[f(x)≥g(x)]围成的平面图形的面积(如图 3)：
图3 S＝ [f(x)－g(x)]dx.
a
b
4 1 ∫ 1．(2010· 湖南高考) 2 xdx等于
[自主解答] a＝－0.4 m/s2，v0＝72 km/h＝20 m/s. 设t s后的速度为v，则v＝20－0.4t. 令v＝0，即20－0.4t＝0得t＝50(s)．
50 设列车由开始制动到停止所走过的路程为s，则s＝ ∫ 50 0 vdt＝ ∫ 0
(20－0.4t)dt ＝(20t－0.2t2)|50 0 ＝20×50－0.2×502＝500 (m)， 即列车应在进站前50 s和进站前500 m处制动．
北师大版高三数学(理)一轮复习《定积分与微积分基本定理》课件
双击自测
核心考点
-22-
考点1
考点2
考点3 知识方法 易错易混
对点训练2 (1)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与
C所围成的图形的面积等于( )
������ ������
= =
0, 0
或
������ = 1, ������ = 1.
故1 所求面积
6
S=∫01
(x-x2)dx=
1 ������2- 1 ������3
23
1 = 1.
06
关闭
解析 答案
考点1
第三章
3.4 定积分与微积分基本定理
考纲要求
知识梳理
双击自测
考点2
考点3 知识方法 易错易混
13+2∫01 f(x)dx,
∴B∫01 f(x)dx=-13.故选 B.
关闭
解析 答案
第三章
3.4 定积分与微积分基本定理
考纲要求
知识梳理
双击自测
考点1
考点2
考点3 知识方法 易错易混
(2)定积分∫03 √9-������2dx 的值为
.
核心考点
-17-
关闭
由定积分的几何意义知,∫03 9-������2dx 是由曲线 y= 9-������2,直线
3.4 定积分与微积分基本定理
第三章
3.4 定积分与微积分基本定理
考纲要求
知识梳理
双击自测
核心考点
-2-
考纲要求:1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解 定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义.
第三章
3.4 定积分与微积分基本定理
2019高三数学(北师大版理科)一轮课件3.3 定积分与微积分基本定理精选ppt版本
D.e-1
1 0
(2x+ex)dx=(x2+ex)|10 =(1+e)-(0+e0)=e,因此选
C.
C
关闭 关闭
解析 答案
必备知识
-9-
知识梳 理
考点自 测
12345
4.若
������ 1
2������
+
1 ������
dx=3+ln 2(a>1),则 a 的值是(
)
A.2
B.3
C.4
D.6
������ 1
个固定的常数A,容易验证,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点
δi,S'=f(δ1)Δx1+f(δ2)Δx2+…+f(δi)Δxi+…+f(δn)Δxn的值也趋于该常数
A,我们称
A
是函数
y=f (x)在区间[a,b]上的定积分,记作
������ ������
f(x)dx,即
������ ������
x=-1,x=1 及 y=0 所围成的图形的面积,图形显然是半个单位圆,其面
积是π2,
关闭
故π 1
2 -1
1-������2dx=π2.
解析 答案
关键能力
-11-
考点1 考点2 考点3
考点 1 定积分的计算
例 1 计算下列定积分:
(1)
3 -1
(3x2-2x+1)dx;
(2)
2 1
������-
1 ������
例3已知函数y=x2与y=kx(k>0)的图像所围成的封闭图形的面积
为92 ,则k等于(
高考数学(理)一轮复习课件：第二章第十三节 定积分与微积分基本定理(广东专用)
3．对于不便求出被积函数的原函数的，可考虑用定积分 的几何意义求解．
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
) B．5t20
C.130t20
D.53t20
【解析】
S＝t0vdt＝t010tdt＝5t2|
0
0
t00＝5t20.
【答案】 B
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
2．(2011·福建高考)1(ex＋2x)dx 的值是( )
0
A．1
B．e－1 C．e
D．e＋1
【解析】
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
(3)12|3－2x|dx＝∫321|3－2x|dx＋232|3－2x|dx ＝∫321(3－2x)dx＋232(2x－3)dx ＝(3x－x2)| 321＋(x2－3x)| 232＝12. (4)∵(ln x)′＝1x，(12e2x)′＝e2x， ∴12(e2x＋1x)dx＝12e2xdx＋121xdx ＝12e2x| 21＋ln x| 21＝12e4－12e2＋ln 2－ln 1 ＝12e4－12e2＋ln 2.
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
1．(1)注意定积分与曲边梯形面积的区别，定积分可正、 可负、可为 0.(2)y＝x2－1 与 x 轴围成的面积不是1－1(x2－ 1)dx，而是1－1(1－x2)dx.
2．解决该类问题一定要结合几何图形的直观性，把所求 的曲边形的面积用函数的定积分表示，关键有两点：一是确定 积分的上下限；二是确定被积函数．只要解决了这两点，所求 的面积就转化为根据微积分基本定理计算定积分了．
2019年高考数学一轮复习(北师大版理科) 第2章 第12节 定积分与微积分基本定理学案 理 北师大版
第十二节 定积分与微积分基本定理[考纲传真] (教师用书独具)1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义．(对应学生用书第42页)[基础知识填充]1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点δi (i ＝1,2，…，n )，作和式s ′＝f (δ1)Δx 1＋f (δ2)Δx 2＋…＋f (δi )Δx i ＋…＋f (δn )Δx n .当每个小区间的长度Δx 趋于0时，s ′的值趋于一个常数A ．我们称常数A 叫作函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )．(2)有关概念在⎠⎛a b f (x )d x 中，⎠⎛叫作积分号，a 与b 分别叫作积分下限与积分上限，函数f (x )叫作被积函数．(3)定积分的几何意义2.(1)⎠⎛a b 1d x ＝b －a ；(2)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(3)⎠⎛ab [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(4)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c<b )．3．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼茨公式．通常称F (x )是f (x )的一个原函数． 为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|ba ， 即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．[知识拓展] 函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有(1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛abf (t )d t .( ) (2)定积分一定是曲边梯形的面积．( )(3)若⎠⎛ab f (x )d x ＜0，那么由y ＝f (x )的图像，直线x ＝a ，直线x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( )(4)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知质点的速率v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( )A ．10t 20B ．5t 20 C ．103t 20 D ．53t 20B [S ＝⎠⎛0t 0∫v d t ＝⎠⎛0t 010t d t ＝5t 2⎪⎪⎪t 00＝5t 20.]3.⎠⎛－11e |x |d x 的值为________．2e －2 [⎠⎛－11e |x |d x ＝⎠⎛－10e －x d x ＋⎠⎛01e xd x＝－e －x ⎪⎪⎪0-1＋e x ⎪⎪⎪1＝[－e 0－(－e )]＋(e －e 0) ＝－1＋e ＋e －1＝2e －2.]4．曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．16[如图，阴影部分的面积即为所求． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A(1,1)．故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪10＝16.]5．若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．3 [∵⎠⎛0T x 2d x ＝13T 3＝9，T ＞0，∴T ＝3.](对应学生用书第43页)计算下列定积分． (1)⎠⎛-11(x 2＋sin x )d x ；(2)⎠⎛02|1－x |d x ；(3)⎠⎛-11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x .[解] (1)⎠⎛-11(x 2＋sin x )d x＝⎠⎛-11x 2d x ＋⎠⎛-11sin x d x＝2⎠⎛01x 2d x ＝2·x 33⎪⎪⎪10＝23.。
第13节 定积分与微积分基本定理
第十三节 定积分与微积分基本定理知识点一 定积分 1．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x .(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )． 2．定积分的几何意义(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图(2)中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛1－1x 2d x B.⎠⎛1－12xd x C.⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛102x d x D.⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x2．已知f (x )是偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．6 D ．16知识点二 微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )．那么⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )| ba，即⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )| ba ＝F (b )－F (a )．3．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a4．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( )A.112 B.14 C.13D.712考点一 定积分的计算|1．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π2．若∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1 C. 3 D ．－ 33．已知A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ，则A ＝________.考点二 利用定积分求平面图形的面积|设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( ) A ．1 B.13 C.23D.431．由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．考点三 定积分物理意义的应用|一物体做变速直线运动，其v -t 曲线如图所示，则该物体在12 s ～6 s 间的运动路程为________．2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，(0≤x ≤2)，3x ＋4，(x >2)，(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J【典例】 已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[跟踪练习]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．1．已知t >0，若⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．42．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为( )A.43 B.54 C.65D.763．设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x )d x ，则⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6的展开式中的第4项为( )A ．－1 280x 3B ．－1 280C ．240D ．－2404．如图所示，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln 22B.1－ln 22C.1＋ln 22D.2－ln 225．已知数列{a n }是等差数列，且a 2 013＋a 2 015＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)的值为( )A ．π2B ．2πC ．πD ．4π26．直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2所围图形的面积等于________．7．已知a >0且曲线y ＝x 、x ＝a 与y ＝0所围成的封闭区域的面积为a 2，则a ＝________.8．已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则⎠⎛0a(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.9．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．10．汽车以54 km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？B 组 高考题型专练1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －12．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13 D ．13．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 24．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．45．曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．6．如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．第十三节 定积分与微积分基本定理参考答案知识点一 定积分 1．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x .(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )． 2．定积分的几何意义(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图(2)中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛1－1x 2d x B.⎠⎛1－12xd x C.⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛102x d x D.⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x 解析：由分段函数的定义及积分运算性质，∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x . 答案：D2．已知f (x )是偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．6D ．16解析：因为函数f (x )是偶函数，所以函数f (x )在y 轴两侧的图象对称，所以⎠⎛6－6f (x )d x ＝⎠⎛0－6f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.答案：D知识点二 微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )．那么⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )| ba，即⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )| ba ＝F (b )－F (a )．3．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a解析：a ＝⎠⎛01x －13d x ＝32x 23| 10＝32， b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－23x 32| 10＝13，c ＝⎠⎛01x 3d x ＝14x 4| 10＝14，因此a >b >c ，故选A. 答案：A4．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( )A.112B.14C.13D.712解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x 3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. 结合图形知(图略)所求封闭图形的面积为 ⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 4| 10＝112，故选A. 答案：A考点一 定积分的计算|1．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π 解析：由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛039－x 2d x ＝π·324＝9π4，故选C.答案：C2．若∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1 C. 3D ．－ 3解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x . ∴∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝(a sin x －cos x )⎪⎪π20 ＝⎝⎛⎭⎫a sin π2－cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2. ∴a ＝1. 答案：B3．已知A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ，则A ＝________.解析：A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛13(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x | 31＝223. 答案：223考点二 利用定积分求平面图形的面积|设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( ) A ．1 B.13 C.23D.43[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，得x ＝±1.如图，由对称性可知，S ＝2()1×1－⎠⎛01x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫1×1－13x 3| 10＝43，选D.[答案] D1．由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．解析：把阴影部分分成两部分求面积． S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛0－2(2－x 2)d x ＋⎠⎛01(2－x 2－x )d x＝⎝⎛⎭⎫2x －x 33| 0－2＋⎝⎛⎭⎫2x －x 33－x 22| 10 ＝22－(2)33＋2－13－12＝423＋76. 答案：423＋76考点三 定积分物理意义的应用|一物体做变速直线运动，其v -t 曲线如图所示，则该物体在12 s ～6 s 间的运动路程为________．[解析] 由图象可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t <3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以12s ～6 s 间的运动路程s ＝⎠⎜⎛126 v (t )= ⎠⎜⎛1262t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t ＝36111322149264t t t ⎛⎫+++=⎪⎝⎭. [答案]4942．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，(0≤x ≤2)，3x ＋4，(x >2)，(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：力F (x )做功为⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42 ＝20＋26＝46. 答案：B【典例】 已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x 3112012231053x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝54. [答案] 54[跟踪练习]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意知，所求面积为⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋⎠⎛01e xd x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x | 0－1＋e x | 10＝－⎝⎛⎭⎫12－1＋(e －1)＝e －12.答案：e －121．已知t >0，若⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4解析：由⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8得(x 2－2x )| t 0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，故选D.答案：D2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为( )A.43 B.54 C.65D.76解析：⎠⎛0ef (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛1ef (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e1x d x ＝x 33| 10＋ln x | e1＝13＋ln e ＝43，故选A.答案：A3．设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x )d x ，则⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6的展开式中的第4项为( ) A ．－1 280x 3 B ．－1 280 C ．240D ．－240解析：本题考查定积分的计算与二项式定理．依题意得a ＝(x 3－x 2)| 21＝4，二项式⎝⎛⎭⎫4x 2－1x 6的展开式的第四项是T 4＝C 36·(4x 2)3·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－1 280x 3，故选A. 答案：A4．如图所示，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln 22B.1－ln 22C.1＋ln 22D.2－ln 22解析：本题考查定积分的计算与几何概率的意义．依题意，题中的矩形区域的面积是1×2＝2，题中的阴影区域的面积等于2×12＋ eq \a\vs4\al(\i\in(1x d x ＝1＋ln x eq \b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,＝1＋ln 2，因此所求的概率等于1＋ln 22，故选C.答案：C5．已知数列{a n }是等差数列，且a 2 013＋a 2 015＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)的值为( )A ．π2B ．2πC ．πD ．4π2解析：⎠⎛024－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝4在第一象限的面积，即⎠⎛024－x 2d x ＝π，又数列{a n }是等差数列，所以a 2 013＋a 2 015＝a 2 012＋a 2 016＝2a 2 014，所以得a 2 014·(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)＝π2×2π＝π2，故选A.答案：A6．直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2所围图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ，y ＝x －x 2，解得x ＝0或23，所以所求面积为∫230⎝⎛⎭⎫x －x 2－13x d x ＝∫230⎝⎛⎭⎫23x －x 2d x＝⎝⎛⎭⎫13x 2－13x 3⎪⎪230＝13×⎝⎛⎭⎫232－13×⎝⎛⎭⎫233－0＝481. 答案：4817．已知a >0且曲线y ＝x 、x ＝a 与y ＝0所围成的封闭区域的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意a 2＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32| a 0，所以a ＝49.答案：498．已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则⎠⎛0a(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________. 解析：⎠⎛0a(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )| a0＝sin a ＋cos a －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1.∵a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴当a ＝π4时，[]⎠⎛0a(cos x －sin x )d x max ＝2－1.答案：π49．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：如图，由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2| 31＝23＋16＋43＝136. 10．汽车以54 km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？解：由题意，得v 0＝54 km/h ＝15 m/s. 所以v (t )＝v 0＋at ＝15－3t . 令v (t )＝0，得15－3t ＝0.解得t ＝5. 所以开始刹车5 s 后，汽车停车． 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为 s ＝⎠⎛05v (t )d t ＝⎠⎛05(15－3t )d t＝⎝⎛⎭⎫15t －32t 2| 50＝37.5(m)． 故汽车走了37.5 m.B 组 高考题型专练1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )| 10＝1＋e 1－1＝e.答案：C2．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：令⎠⎛01f (x )d x ＝m ，则f (x )＝x 2＋2m ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2mx | 10＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13，故选B. 答案：B3．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2解析：由v (t )＝0得t ＝4.故刹车距离为s ＝⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎡⎦⎤－32t 2＋7t ＋25ln (1＋t )| 40＝4＋25ln 5. 答案：C4．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)．∴S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4| 20＝4. 答案：D5．曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意，可得封闭图形的面积为 ⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3| 10＝12－13＝16. 答案：166．如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解析：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p ＝254，抛物线方程为x 2＝252y ，所以当前最大流量对应的截面面积为2⎠⎛05⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝403，原始的最大流量对应的截面面积为2×(6＋10)2＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403＝1.2.答案：1.2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十三节 定积分与微积分基本定理[考纲传真] 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义．1．定积分的概念与性质 (1)定积分的定义给定一个在区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )，将[a ，b ]区间分成n 份，分点为： a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n －1＜x n ＝b .第i 个小区间为[x i －1，x i ]，设其长度为Δx i ，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点δi ，如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S ′＝f (δ1)Δx 1＋f (δ2)Δx 2＋…＋f (δi )Δx i ＋…＋f (δn )Δx n 的值趋于常数A ，我们称A 是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝A.其中∫叫作积分号，a 叫作积分的下限，b 叫作积分的上限，f (x )叫作被积函数．(2)定积分的几何意义图2-13-1一般情况下(如图2-13-1)，定积分⎠⎛a b f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图像以及直线x ＝a 、x ＝b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号；在x 轴下方的面积取负号．(3)定积分的基本性质 ①⎠⎛ab 1d x ＝b －a ； ②⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；③⎠⎛a b [f (x )±g(x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛abg(x )d x ； ④⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛c b f (x )d x . 2．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即F ′(x )＝f (x )，则有⎠⎛a b f (x )d x ＝F (b )－F (a )．常把F (b )－F (a )记成F (x )⎪⎪⎪ b a ，即⎠⎛abf (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪b a ＝F (b )－F (a )．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t . ( )(2)若f (x )是偶函数，则⎠⎛a －af (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x . ( )(3)若f (x )是奇函数，则⎠⎛a －af (x )d x ＝0. ( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√2．(教材改编)已知质点的速率v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( )【导学号：57962121】A ．10t 20B ．5t 20 C.103t 20 D ．53t 20 B [.]3．(2017·长沙模拟(一))⎠⎛01e x d x ＝________.e －1 [⎠⎛01e x d x ＝e x |1＝e －1.]4．(2015·天津高考)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．16 [如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A(1,1)． 故所求面积为.]5．若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．3 [∵⎠⎛0T x 2d x ＝13T 3＝9，T ＞0，∴T ＝3.](1)；(2)⎠⎛02|1－x |d x .[解] (1)＝2⎠⎛01x 2d x ＝2·x 33|1＝23.6分(2)⎠⎛02|1－x |d x ＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12－1＝1. 12分[规律方法] 1.运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分； (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．2．根据定积分的几何意义，可利用面积求定积分．[变式训练1] (1)(2017·石家庄质检(二)) ⎠⎛-11(x 2＋1－x 2)d x ＝________.(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e )(e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为________．(1)π2＋23 (2)43 [(1)原式＝⎠⎛-11x 2d x ＋⎠⎛-111－x 2d x ＝13x 3|1-1＋⎠⎛-111－x 2d x ＝23＋⎠⎛-111－x 2d x ，⎠⎛-111－x 2d x 等于半径为1的圆面积的12，即⎠⎛-111－x 2d x ＝π2，故原式＝π2＋23.(2)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈(1，e )，∴⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3|10＋ln x |e1＝13＋ln e ＝43.](2)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.【导学号：57962122】(1)76 (2)2 [(1)如图所示，由y ＝x 及y ＝－x ＋2可得交点横坐标为x ＝1.由定积分的几何意义可知，由y ＝x ，y ＝－x ＋2及x 轴所围成的封闭图形的面积为⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12(－x ＋2)d x ＝23x 32|1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x 22|21＝76.(2)由⎩⎨⎧ y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边梯形的面积为 ⎠⎛0k(kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3|k0 ＝k 32－13k 3＝43， 即k 3＝8，∴k ＝2.][规律方法] 利用定积分求平面图形面积的步骤 (1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； (4)计算定积分，写出答案．易错警示：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．[变式训练2] (1)(2016·山东威海一模)曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成的封闭区域的面积为________．(2)抛物线y 2＝4x 与直线y ＝2x －4围成的平面图形的面积为________.【导学号：57962123】(1)2 (2)9 [(1)由题意知封闭区域的面积S ＝⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝－cos π－(－cos 0)＝1－(－1)＝2.(2)由⎩⎨⎧ y 2＝4x ，y ＝2x －4，得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4.画出草图如图所示．选用x 为积分变量所求面积为⎠⎛01[2x －(－2x )]d x ＋⎠⎛14(2x －2x ＋4)d x ＝4×23x 32|10＋2×23x 32|41－x 2|41＋4x |41＝83＋⎝ ⎛⎭⎪⎫323－43－(16－1)＋(16－4)＝9.]v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m /s )行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是( )【导学号：57962124】A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln 5 D ．4＋50ln 2C [由v (t )＝7－3t ＋251＋t＝0，可得t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了 4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )|4＝4＋25ln 5.] [规律方法] 定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .[变式训练3] 一物体在力F (x )＝⎩⎨⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m )处，则力F (x )做的功为________J .36 [由题意知，力F (x )所做的功为 W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝5×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x |42＝10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42＋4×4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(J )．][思想与方法]1．求定积分的两种常用方法：(1)利用微积分基本定理求定积分，其步骤如下：①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )；②计算F (b )－F (a)．(2)利用定积分的几何意义求定积分．2．对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间．[易错与防范]1．被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分． 2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． 3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．4．定积分的几何意义是曲边梯形面积的代数和，但要注意面积非负，而定积分的结果可以为负．。