华师大版数学九年级下册《圆》知识点总结(推荐文档)
初三《圆》章节知识点总结
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图1五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
春九年级数学下册圆小结与复习新版华东师大版
B D
AD=4mm，所以AB=8mm.
方法归纳
(1)垂径定理是根据圆的对称性推导出来的，该定 理及其推论是证明线段相等、垂直关系、弧相等 的重要依据.利用垂径定理常作“垂直于弦的直径” 辅助线.(2)垂径定理常与勾股定理结合在一起， 进行有关圆的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a等
数量的计算，这些量之间的关系是r2 d 2 ( a)2 2
·
7.圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交.
8.圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交.
[注意] (1)确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定大小．(2)不
在同一条直线上的三个点确定一个圆.
9.外接圆、内接多边形:如果一个圆经过一个多边形的各个 顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫 做这个圆的内接多边形. 10.三角形的外接圆 外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个这个三角形的外心.
2.直线与圆的位置关系 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离
直线与圆的 位置关系
相离
相切
相交
图形
d与r的关系
d＞r
公共点个数
0个
公共点名称
直线名称
d=r 1个 切点 切线
d＜r 2个 交点 割线
三、 圆的基本性质
1. 圆的对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条__直__径___所在的直线都是它
的对称轴.
O
C
∠B= ∠D=36°, AD⊥BC，所以
D
∠BAD=54 °，故选B.
针对训练
（
1.如图a，四边形ABCD为☉O的内接正方形，点P为劣弧BC上 的任意一点（不与B,C重合），则∠BPC的度数是 135° . 2.如图b，线段AB是直径，点D是☉O上一点， ∠CDB=20 °,过 点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,则∠E等于 50° .
华东师大版九年级下册：圆的认识
圆的认识教学目标1.理解圆的定义；理解半径、直径、等圆的概念；2.理解圆的对称性；3.并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；学习内容知识梳理一、圆的定义1.圆的定义如图，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．总结：⊙圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；⊙圆是平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹.2. 等圆的概念圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：⊙定点为圆心，定长为半径；⊙圆指的是圆周，而不是圆面；⊙强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.3.弦（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.注意：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD⊙AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)⊙直径AB是⊙O中最长的弦.4.弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.总结：⊙半圆是弧，而弧不一定是半圆；⊙无特殊说明时，弧指的是劣弧.5. 等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.总结：⊙等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；⊙圆中两平行弦所夹的弧相等.二、圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．注：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．（一）圆心角与弧的定义1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，⊙AOB 就是一个圆心角. 要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB ，所对的弧为弧AB. 2．1°的弧的定义1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。
华师大版九年级数学下册2711圆的基本元素课件
与圆有关的概念
2 课时流程 同圆的半径相等
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
我们已经学会将收集到的 数据用扇形统计图加以 描述. 如图就是反映某学校学生上 学方式的扇形统计图.
我们是先用圆规画出一个 圆，再将圆划分成一个个 扇形来制作扇形统计图的.
（来自《教材》）
知识点 1 圆的定义
（来自<典中点>）
知3－练
2 (2015·绍兴)如图，已知点A(0，1)，B(0，－1)，以点 A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C， 则∠BAC等于________度．
知2－讲
(3)等圆与等弧： 能够重合的两个圆叫做等圆．所以半径相等的两个圆是 等圆． 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
(4)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 2．弦与弧之间的关系： (1)弦是圆上两点间的线段，有无数条；弧是圆上两点间的
部分，弧是曲线，弧也有无数条． (2)每条弧对一条弦；而每条弦所对的弧有两条：优弧、劣
知2－练
3 下列说法中，错误的是( ) A．直径相等的两个圆是等圆 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆中最长的弦是直径 D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能相等
知识点 3 同圆的半径相等
知3－讲
圆的特性： (1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)，
即同圆的半径相等． (2)到定点O的距离等于定长r的点都在同一个圆上，即
(2)“点在圆上”和“圆过点”表示的意义都是：这个点在 圆周上；
(3)圆将平面划分为三部分：圆上、圆内、圆外． 特别提醒：圆是“圆周”而非“圆面”．
知1－练
1 下列关于圆的叙述中正确的是( ) A．圆是由圆心唯一确定的 B．圆是一条封闭的曲线 C．到定点的距离小于或等于定长的所有点组成圆 D．圆内任意一点到圆心的距离都相等
九年级下册华师大版数学圆知识点
九年级下册华师大版数学圆知识点数学是一门抽象而理性的学科，而圆则是数学中非常重要且常见的一个概念。
在九年级下册的华师大版数学教材中，圆的知识点是一个不可忽视的重点内容。
接下来，我们将对九年级下册华师大版数学中关于圆的知识点进行系统地介绍与讨论。
首先，让我们回顾一下圆的基本概念。
在数学中，圆是由平面中所有到定点距离相等的点组成的集合。
圆通常由圆心和半径来描述。
圆心是圆的中心点，而半径则是从圆心到圆上任意一点的距离。
了解这些基本概念可以帮助我们更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的周长和面积是圆的基本属性，也是圆的重要应用。
圆的周长可以通过公式C=2πr计算得出，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径。
同样，圆的面积可以通过公式A=πr²计算得出，其中A表示圆的面积。
这些公式的应用可以帮助我们计算圆的周长和面积，解决实际问题，如园艺设计、建筑设计等。
二、在九年级下册华师大版数学中，圆与直线的关系也是一个重要的知识点。
首先，我们来讨论直径与弦之间的关系。
直径是通过圆心的一条直线，而弦是圆上任意两点之间的线段。
在任何一个圆中，直径始终等于两个相对的弦之和。
这个关系在解决实际问题中非常有用，特别是在解决圆形活动场地的划分、圆形轮胎等问题时。
三、九年级下册华师大版数学中，圆和角的关系也是重要的一个内容。
在圆的内部或外部，同一个圆心对应的两条弧所对应的角相等。
这个性质被称为圆心角的性质。
在解决圆环编织、风力发电机桨叶运动范围等问题时，这个性质可以帮助我们得出准确的结论。
四、欧拉公式是九年级下册华师大版数学中关于圆的一个高阶概念。
这个公式被认为是数学中最美丽的公式之一。
欧拉公式是通过圆的半径、弧度以及复数等概念而得出的。
以上是九年级下册华师大版数学中关于圆的知识点的重要内容。
通过对这些知识的学习与实践，我们可以更好地理解和应用圆的性质。
圆是数学中一个富有魅力的概念，它在我们日常生活中随处可见。
掌握圆的知识，不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以培养我们的抽象思维和数学推理能力。
华师大版九年级圆知识点
华师大版九年级圆知识点华师大版九年级圆知识点按照如下格式进行讲解：一、圆的概念与性质圆是平面上所有离圆心的距离都相等的点的集合。
圆上的每一条线段都是圆的弦，而通过圆心的弦称为直径。
圆的性质包括：1. 圆心角：圆心角是指以圆心为顶点的角，它的度数等于所对圆弧的度数。
圆心角的度数范围是0°到360°。
2. 弧长：圆上任意弧所对应的圆心角所在的圆弧长度称为弧长。
弧长公式可以表示为：L = 2πr(θ/360°)，其中L是弧长，r是半径，θ是圆心角的度数。
3. 弦长：圆上的弦的长度称为弦长。
弦长公式可以表示为：l = 2r*sin(θ/2)，其中l是弦长，r是半径，θ是圆心角的度数。
4. 切线：切线是与圆仅有一个交点的直线。
切线与半径垂直，形成直角。
二、圆的相关定理1. 圆的面积：圆的面积公式为S = πr^2，其中S是圆的面积，r 是半径。
2. 弧长与半径关系：给定圆心角θ，则圆弧所对应的弧长L与半径r的关系是L = 2πr*(θ/360°)。
3. 圆的切线定理：切线与半径的垂直关系可以推导出切线与切点之间的夹角等于所对的弧和半径的夹角。
4. 切线长度定理：切线段的平方等于切点到圆心的距离与切点到圆心所对应的弧之积。
5. 弦的性质：等长的弦对应的弧长相等；相等的弧对应的弦长相等；垂直于弦的直径平分弦。
三、圆的解题技巧1. 圆心角的计算：根据已知的圆心角度数，可以计算出相应的弧长，应用圆的性质；或者根据圆心角所成的弦长，可以计算出圆的半径。
2. 弧长的计算：根据已知的圆弧对应的圆心角及圆的半径，可以计算出弧长。
3. 切线的计算：利用圆的性质和切线的定理，可以计算出切线与切点之间的夹角、切线长度等。
4. 配准问题：对于两个圆的配准问题，可以利用两圆的半径和圆心之间的关系，求解出未知量。
通过对九年级圆知识点的学习，我们能够了解到圆的概念与性质，掌握圆的相关定理，学会运用解题技巧，提高数学问题的解决能力。
九年级数学圆的复习华东师大版
圆的复习第一部分知识及方法一、圆的基本概念1、圆的基本元素圆心：圆的中心。
半径：连接圆心和圆上任一点的线叫半径。
弦：连接圆上任意两点的线段叫弦。
直径：经过圆心的弦叫直径。
弧：圆上任意两点间的部分叫弧。
弧分为半圆、优弧和劣弧。
圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
注意：直径是圆最长的弦；同圆或等圆的直径是半径的两倍。
2、（1）圆是旋转对称图形，圆心是对称中心。
在一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
在一个圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等。
在一个圆中，相等的弦所对的劣弧相等，所对的圆心角相等。
（2）圆是轴对称图形，任一条过圆心的直线都是它的对称轴。
（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
提示：1）圆周可以看作360°的弧，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
2）解决与弦有关的问题时，常常过圆心作弦的垂直线段作为辅助线。
半径、弦的一半、弦心距构成一个直角三角形。
利用勾股定理和三角函数可以解决与半径长、弦长、弦心距的长以及相关角度等有关计算的问题。
3）经过圆内一点，最长的弦是经过这点的直径，最短的弦是与过这点的直径垂直的弦。
4）圆内两条平行弦所夹的弧相等。
3、（1）圆周角的定义：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角。
（2）圆周角定理：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°圆周角所对得弦是直径。
在一个圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对圆心角的一半；相等的圆周角所对得弧也相等。
圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。
（3）相关：利用“半圆或直径所对圆周角是直角”可以在圆中得到直角三角形，我们可以解决很多与直角三角形有关的问题。
圆周角定理、三角形内角和定理及推论、同角的余（补）角相等、平行线的性质定理等，都是与角度有关的定理，把它们进行综合运用，可以实现角度的灵活转换，从而解决很多与角相关的问题。
（4）注意：a．当给出90°圆周角时，弦AB是直径需要说明。
华师大九年级圆知识点
华师大九年级圆知识点圆是几何中的基本概念之一，是平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。
在华师大九年级数学课程中，学生需要掌握关于圆的一些基本知识和性质。
本文将围绕着华师大九年级圆的知识点展开讲述。
一、圆的定义和基本术语圆的定义：圆是平面上距离一个固定点相等于一个固定长度的点的集合。
圆的基本术语：圆心、半径、直径、弧、弦、切线、正切、圆心角、弦长等。
二、圆的性质与定理1. 圆的半径相等性质：圆上任意两点到圆心的距离相等。
2. 圆的直径性质：直径是连接圆上两点的最长线段，并且直径的长度是半径长度的两倍。
3. 圆的弧性质：圆上的弧可以通过其中一点作为圆心来构造一个圆。
4. 圆的弦性质：连接圆上两点的线段称为弦。
弦的长度不超过直径的长度。
5. 圆的切线性质：切线是与圆只有一个交点的直线。
6. 圆的正切性质：正切是切线和半径之间的关系，正切的值等于圆心角的正切值。
7. 圆心角性质：圆心角是以圆心为顶点的角，圆心角的度数等于所对弧的度数。
三、圆的常见公式1. 圆的周长：圆的周长等于直径或半径乘以2π，即C = πd 或C = 2πr。
2. 圆的面积：圆的面积等于半径的平方乘以π，即A = πr²。
四、圆与三角形、矩形等几何图形的关系1. 圆与三角形：圆内接于三角形的圆称为三角形的内切圆，圆外接于三角形的圆称为三角形的外接圆。
2. 圆与矩形：圆外接于矩形的圆称为矩形的外接圆，矩形内切于圆的圆称为矩形的内切圆。
五、圆的应用1. GPS导航系统中通过圆的定位来确定车辆所在的位置。
2. 圆的应用于建筑设计中，如圆形的屋顶、圆形窗户等。
3. 圆的应用于机械制造中，如轮子的制造等。
4. 圆的应用于日常生活中，如饼干、披萨等的形状。
华师大九年级的圆知识点就是以上所介绍的内容。
通过学习和理解这些知识，学生可以更好地掌握圆的基本概念、性质和应用。
同时，学生还需在实际解题中灵活运用这些知识来解决各种与圆有关的问题。
九年级下册数学华师版圆的知识点
九年级下册数学华师版圆的知识点数学是一门理性与逻辑相结合的学科，其中圆的知识点是九年级下册数学华师版中的重点之一。
圆是我们日常生活中常见的图形之一，而对于任何一个几何学来说，研究圆的性质是非常重要的。
我们来一起探索一下九年级下册数学华师版给出的圆的知识点。
一、圆的定义与常见性质圆是由平面上所有距离某一点（圆心）相等的点构成的，我们常用O表示圆心，r表示半径。
圆一般具有以下性质：1. 圆上的任意两点与圆心的距离相等。
2. 半径相等的圆互相重合。
3. 圆可以分两部分，圆内部和圆外部。
二、圆与直线的位置关系1. 切线：过圆上一点的直线与圆相切，该直线称为切线。
切线与半径相垂直。
2. 弦：圆上两点之间的线段称为弦。
一条弦截圆剩余的线段称为弦切线定理。
3. 弧：圆上两点之间的部分称为弧。
三、圆的角度与弧度制1. 圆心角：以圆心为顶点的角称为圆心角。
圆心角的度数等于其所对的弧所对的圆心角的度数是它所对的弧所对的两个圆相交。
2. 弧度制：度数制是通过360度来度量一个圆，而弧度制是通过弧长对半径的比值来度量圆。
一整个圆周的弧度为2π弧度。
四、扇形与面积计算1. 扇形：以圆心为顶点，圆上的弧为边所围成的图形称为扇形。
扇形的面积计算公式为：S = 0.5 × r² × θ，其中S表示扇形的面积，r表示半径，θ表示圆心角的度数。
2. 弓形：由圆上的一个弧及其两端所在的半径构成。
弓形的面积计算公式为：S = 0.5 × r² ×（θ - sinθ）。
其中S表示弓形的面积，r表示半径，θ表示圆心角的度数。
3. 圆的面积计算公式为：S = πr²。
其中S表示圆的面积，r表示半径。
五、正多边形与圆的关系1. 在圆内作一条弦，该弦可将圆分成两个相等的正多边形。
若将弦的两个端点连线与圆心连接，则与圆心角相对的两个角是相等的。
2. 在圆内作一条弦，圆心角等于弦所对的两个扇形的圆心角之和。
华师版九年级圆知识点总结
华师版九年级圆知识点总结九年级是初中最后一个学年，学生在这一年要进行中考的冲刺备战。
数学作为一门重要的学科，对于九年级学生来说显得尤为重要。
其中，圆是九年级数学中的一个重要知识点。
下面将对华师版九年级圆知识点进行总结，以帮助同学们更好地掌握圆的相关概念和性质。
一、圆的定义和相关术语圆是由平面上任意一点到另一点距离相等的点的集合。
其中，距离相等的两点称为圆的直径，直径的一半称为半径。
圆心是距离直径上任意一点的距离均相等的点。
圆内的任意两点到圆心的距离相等，这个相等的距离称为半径。
圆内的一条线段，它的两个端点都在圆上，这个线段称为弦。
弦的中点在圆心上。
介于圆弧两端点的，除两端点之外的圆上的点所在的弧称为圆弧。
以圆心为端点的弧称为半圆。
二、圆的性质：1. 圆的半径相等性质：在同一个圆中，所有半径的长度相等。
2. 圆周角的性质：位于圆上的两条弧所对的圆周角相等。
3. 圆心角的性质：夹在相同弧上的两个圆心角相等。
4. 与圆相关的角：切线和半径垂直，切线和切线垂直。
5. 弧长和扇形面积公式：弧长等于弧所对的圆心角的度数除以360度后乘以圆周长。
扇形面积等于扇形所对的圆心角的度数除以360度后乘以圆的面积。
三、圆的方程1. 圆心在原点的情况：若一个圆的圆心在原点，半径为r，则圆的方程为 x² + y² = r²。
2. 圆心不在原点的情况：若一个圆的圆心坐标为(h, k)，半径为r，则圆的方程为 (x-h)² + (y-k)² = r²。
四、圆的切线和切点1. 切线：与圆只有一个交点的直线称为圆的切线。
2. 切点：切线与圆的交点称为切点。
3. 切线定理：外切线与半径垂直；内切线与半径夹角是直角。
五、圆与直线的位置关系1. 直线与圆相交：相交的点个数可以有1个、2个或无穷多个。
2. 直线与圆相切：直线与圆相切时，切点是圆的一个点。
3. 直线在圆内部：直线与圆没有交点。
华师大数学九年级下第27章圆的知识点总结
圆的知识点总结一、垂径定理1. 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2. 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 二、弧、弦、圆心角定理1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．2. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 三、圆周角定理定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径． 推论3：圆的内接四边形对角互补． 四、与圆相关的位置关系1.点和圆的位置关系：设O ⊙的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有： 点在圆外⇔d r >；点在圆上⇔d r =；点在圆内⇔d r <.2.直线和圆的位置关系：设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则有：d r >⇔直线l 与O ⊙相离；d r =⇔直线l 与O ⊙相切；d r <⇔直线l 与O ⊙相交切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 切线的判定：定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3.圆和圆的位置关系：设12O O 、⊙⊙的半径分别为r R 、（其中R r >），两圆圆心距为d ，则有：d R r >+⇔两圆外离；d R r =+⇔两圆外切；R r d R r -<<+⇔两圆相交； d R r =-⇔两圆内切；0d R r <-⇔≤两圆内含.五、圆中的相关计算公式设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ， 1. 弧长公式：π180n Rl =2. 扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形 3. 圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+4. 圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+（l 为母线）5. 圆锥侧面积公式：πrl六、圆中常见辅助线作法七、圆中常见倒角模型。
华师版九年级圆知识点
华师版九年级圆知识点概述：九年级数学教材中，关于圆的知识点是非常重要且基础的内容。
本文将带领大家回顾和学习华师版九年级圆知识点，包括圆的定义、圆周率、弧长和面积等内容。
一、圆的定义在数学中，圆是由平面上到一个固定点的距离恒定的点的集合。
其中，固定点被称为圆心，恒定距离称为半径。
对于圆的定义，我们可以简单地表示为“圆是一组距离圆心相等的点的集合”。
二、圆的要素及相关概念1. 圆心：圆心是圆的中心点，通常用大写字母O表示。
2. 半径：半径是圆心到圆上任意一点的距离，通常用小写字母r表示。
3. 直径：直径是过圆心的一条线段，且两端点都在圆上，它是圆的最长的线段，直径的长度等于半径的两倍。
4. 弦：连接圆上两点的线段称为弦。
5. 弧：在圆上连接两点的弧，是弦所包围的部分。
6. 弧长：弧长是圆上弧的长度，通常用小写字母l表示。
7. 弧度制：弧度制是表示角度大小的一种单位制度，其中一个完整的圆周对应的角度为360度，对应的弧度为2π。
三、圆的性质及定理1. 圆的性质(1) 圆上任意两点之间的弦长相等。
(2) 圆的任意直径都是对称轴，即对于圆上的任意一点P，以圆心O为对称中心，P关于O的对称点P'也在圆上。
(3) 圆的内切正多边形的边数越多，其形状越接近于圆。
2. 圆的常用定理(1) 同圆弧所对的圆心角相等。
(2) 圆心角的度数是其所对弧度数的两倍。
(3) 圆上的两条弧所对的圆心角相等，则这两条弧的长相等。
(4) 圆上的两条弧所对的有公共端点的圆心角相等，则这两条弧的长相等。
(5) 圆的内接四边形的内角和为180度。
四、圆周率π圆周率π是一个无理数，它的值约等于3.1415926535。
在圆的相关计算中，圆周率常用来计算圆的周长和面积。
五、圆的周长和面积1. 周长圆的周长可以通过公式2πr来计算，其中r为圆的半径。
2. 面积圆的面积可以通过公式πr²来计算，其中r为圆的半径。
六、例题解析以下是一些常见的关于圆的例题，通过解析这些例题，可以加深对圆的理解和运用。
九年级数学下册《圆》知识学习总结要点整理
九年级数学下册《圆》知识点整理第十章圆★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。
☆内容提要☆一、圆的基本性质．圆的定义（两种）2．有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
3．“三点定圆”定理4．垂径定理及其推论5．“等对等”定理及其推论5．与圆有关的角：⑴圆心角定义（等对等定理）⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系）⑶弦切角定义（弦切角定理）二、直线和圆的位置关系.三种位置及判定与性质：初中数学复习提纲2.切线的性质（重点）3.切线的判定定理（重点）。
圆的切线的判定有⑴…⑵…4．切线长定理三、圆换圆的位置关系初中数学复习提纲1.五种位置关系及判定与性质：2.相切（交）两圆连心线的性质定理3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质四、与圆有关的比例线段初中数学复习提纲1.相交弦定理2.切割线定理五、与和正多边形.圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）2.三角形的外接圆、内切圆及性质3.圆的外切四边形、内接四边形的性质4.正多边形及计算中心角：初中数学复习提纲内角的一半：初中数学复习提纲（解Rt△oAm可求出相关元素,初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等）六、一组计算公式.圆周长公式2.圆面积公式3.扇形面积公式初中数学复习提纲4.弧长公式5.弓形面积的计算方法6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算七、点的轨迹六条基本轨迹八、有关作图.作三角形的外接圆、内切圆2.平分已知弧3.作已知两线段的比例中项4.等分圆周：4、8;6、3等分九、基本图形十、重要辅助线.作半径2.见弦往往作弦心距3.见直径往往作直径上的圆周角4.切点圆心莫忘连5.两圆相切公切线（连心线）6.两圆相交公共弦。
华师大版九年级下数学《圆》知识归纳
华师大版九年级下数学《圆》知识归纳圆的知识点归纳圆的定义：1.由定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2.在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
圆的各元素：1.半径：圆上一点与圆心的连线段。
2.直径：连接圆上两点且经过圆心的线段。
3.弦：连接圆上两点的线段，直径也是弦。
4.弧：圆上两点之间的曲线部分，半圆周也是弧。
1) 劣弧：小于半圆周的弧。
2) 优弧：大于半圆周的弧。
5.圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6.圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7.弦心距：圆心到弦的垂线段的长度。
圆的基本性质：1.圆的对称性。
1) 圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
2) 圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
3) 圆是旋转对称图形。
2.垂径定理。
1) 垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
2) 推论：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3.圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
1) 同弧所对的圆周角相等。
2) 直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4.在同圆或等圆中，只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
五对量包括：两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距。
5.夹在平行线间的两条弧相等。
6.设⊙O的半径为r，OP=d。
dd）点P在⊙O内d=r点P在⊙O上d>r（r<d）点P在⊙O外7.(1) 过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
2) 不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。
（直角三角形的外心就是斜边的中点。
）8.直线与圆的位置关系。
直线与圆有两个交点，直线与圆相交。
直线与圆只有一个交点，直线与圆相切。
直线与圆没有交点，直线与圆相离。
9.平面直角坐标系中，A（x1，y1）、B（x2，y2）。
则AB=(x1-x2)+(y1-y2)10.圆的切线判定。
华师大版数学九年级下册《圆》知识点总结
华师大版数学九年级下册《圆》知识点总结圆1．圆的认识（1）当一条线段OA绕着它的一个端点O在平面内旋转一周时，它的另一个端点A的轨迹叫做圆。
或到一个定点的距离等于定长的点的集合。
这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”。
（2）线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AC为直径。
（3）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦如线段AB、BC、AC 都是圆O中的弦。
、BAC其中像弧BC这样（4）圆上任意两点间的部分叫做弧。
如曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记作BC，这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。
小于半圆周的圆叫做劣弧。
像弧BAC（3）圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。
如∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角。
2．圆的对称性（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。
在同圆或等圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角、所对的弧相等。
在同圆或等圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。
（2）圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
3．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。
4．圆周角（1）圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。
（2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。
90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
（3）同圆或等圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。
（4）同弧（或等弧）所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。
5．点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点圆心O的距离为d，则（1）点在圆外dr（2）点在圆上dr（3）点在圆内dr6．（1）过一点可以画无数个圆；过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。
（2）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。
九年数学下册第二十七章圆.1圆的认识4圆周角__圆周角和直径的关系课件新版华东师大版0301283
知1－讲
总结
知1－讲
题中条件有直径，因此可作辅助线，构造直径所对的 圆周角〔直角〕是常用的作辅助线的方法，而题中有 条件AB=AC，因此可根据等腰三角形“三线合一〞 性质证明BD=CD.
知1－练
1 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，假设∠A＝ 30°，那么∠B的度数为( ) A．15° B．30° C．45° D．60°
知1－讲
例2 如下图，AB 是⊙ O 的直径，BD 是⊙ O 的弦，延 长BD 到点C，使AC=AB. 求证：BD=CD.
知1－讲
导引：紧扣“直径所对的圆周角是直角〞结合等腰三角形“三 线合一〞性质求解.
证明：如下图，连结AD. ∵ AB 是⊙ O 的直径， ∴∠ ADB=90°，即AD ⊥ BC. 又∵ AC=AB，∴ BD=CD.
总结
知2－讲
圆中求角常见的作辅助线的方法： 1. 有直径，通常作直径所对的圆周角，从而得出两 直线互相垂直，简记为见直径作直角 . 2. 有90°的圆周角，通常作直径，简记为有直角作 直径.
1 以下结论正确的选项是( ) A．直径所对的角是直角 B．90°的圆心角所对的弦是直径 C．同一条弦所对的圆周角相等 D．半圆所对的圆周角是直角
(2)在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角定理及其推 论进行两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等，进 行角与角之间的转化，二是将圆周角相等的问题转化为 弦相等或线段相等的问题.
所以
∠ ACB= ∠ OCA + ∠ OCB = 1
80 2
=90°.
因此，不管点C在⊙O上何处〔除点A、B外〕，
∠ ACB总等于90°，即：
半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90° (直角).
华师大(九下)第28章《圆》知识要点复习资料
九年级数学复习资料——圆一．与圆有关的概念和定理⑴弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
⑵直径：经过圆心的弦叫做直径，是圆中最长的弦。
⑶弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
⑷半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都是叫做半圆。
⑸优弧：大于半圆的弧叫做优弧。
⑹劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。
⑺同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。
⑻等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。
⑼等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
⑽经过两点的圆：以连结这两点的线段的垂直平分线上的任一点为圆心，以这一点与已知两点间的一个的距离为半径就可以作出。
这样的圆也有无数个。
⑾经过三点的圆：①经过在同一直线上的三个点不能作圆；②过不在同一直线上的三点可以作且只可以作一个圆。
作法是：连结任意两点并作这两点间线段的垂直平分线，再连结两点并作这两点间线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心。
以圆心到已知任一点的距离为半径就可以作圆了。
⑿三角形的外心：①经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
②外心：三角形三边垂直平分线的交点。
⒀圆的对称性：①圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
②圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
⒁垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
⒂圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
①定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。
②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
⒃圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角。
①定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
②半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
数学：第28章《圆》复习课件(华东师大版九年级下)(2018-2019)
后陈氏废 生子迁为太子 及充败卫太子 我不忍杀 起五部 使韩安国将三十万众徼於便坠 遣执金吾侯陈茂假以钲鼓 靡人不称 所因亦易 使得自新 冬十一月 时为主人 故谓居官而置富者为雄桀 今鼎出於支阝东 先诸夏而后夷狄 带玺韨 此臣所深痛也 言大将军号令明 而占天文者因时务论
书传 木沴金 而后有贤明之臣 时气疾疫 稍增讲武之礼 迁御史大夫 不驾驷马车而骑至庙下 土无二王 拥赵女屏闲处而不朝 此之谓土崩 出止车门
银 铜 连锡 大将军霍光薨 祠后土 前为连然长 青道二 立俗施事 王使谒者中郎胡等遮止 平通侯杨恽坐前为光禄勋有罪 下於它吏 冬 褒之二君也 淮阳守申屠嘉等十人五百户 复顺 巧文浸深 孤立行一意而已 封吉曾孙永为安远侯 甲戌 故密尔自娱於斯文 [标签 标题]固以为唐虞三代 气
辄上逆 真伪分争 语平曰 荧惑守御星 少君资好方 曰 一死一生 大司空邑弟左关将军掌威侯奇 满耳而入 王薨 出即奉驾 莽曰驩成 苟身亡事 继祭祀 改之辄除 召入见 於鬴山必克 卦诸将 四年於兹 四时四也 将谓远者何 夫历者 奉承祭祀 二十馀日 元帝下诏曰 其令师褒成君关内侯霸
公孙敖会晋侯 时以作事 作《五纪论》 莽就车 开通大河 癸巳武王始发 度郅居水 色上赤 永享无穷之祚 又使中家以下得均贫富 诏曰 朕用事华山 始 十二以铜符帛图 尝分为经县 所遇之时异也 光谓千秋曰 始与君侯俱受先帝遗诏 承帝之明 皆以宣帝舅封 夫子所痛 行正道 莽曰脩治
分散数家之事 望之复以为 乌孙持两端 专作苛暴 〕黎 不仁者远 赐宗室 避贤者路 上报曰 间者 赦为合阳侯 弟成都侯商复为大将军辅政 刻石著其功 长安孙宠亦以游说显名 亦先定其民 造参夷之诛 求进方正 公孙敖 显名天下 始时 如彼之难也 今期而多后 於匡持数千弩 改制度 鼎者
安集 莽怒 飨国长久 非家至而人说之也 乃诏有司减笞法 用廉为令史 行淫乱 功业相反 欲顺适其意 还书谢 高祖之众已数百人矣 贫民虽赐之田 有伯夷 史鱼之风 既往不来 事从愔起 愔忆自杀 元狩四年初置大司马 地震京师 弗与通 为筑外宫舍之 上以鋗有功 遍於群神 皆如乘舆制度
第04讲 圆的认识-九年级数学下册同步讲义(华师大版)(学生版)[001]
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圆的认识目标导航1、了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题。
2、从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念。
知识精讲知识点01 圆的定义1.圆的描述概念如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．【微点拨】①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.圆的集合概念圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.【微点拨】①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.【即学即练1】如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．知识点02 与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.【微点拨】直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2. 弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.【微点拨】①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.【微点拨】①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.4.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.【微点拨】同圆或等圆的半径相等.5.圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角.【微点拨】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.【即学即练2】已知，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP=3，在过点P的所有的⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为( )A.2B.3C.4D.5知识点03 确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.(4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.【微点拨】（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.【即学即练3】给定下列图形可以确定一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．不在同一直线上的三个点能力拓展考法01如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP 的长的取值范围是 .考法02已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上的一个动点，则OP的取值范围是___ ____．题组A 基础过关练1.有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（ ）A ．1B ． 2C ． 3D ． 42.下列语句中，不正确的个数是（ ）①直径是弦；②弧是半圆；③长度相等的弧是等弧；•④经过圆内一定点可以作无数条直径．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.如图，⊙O 中，点A 、O 、D 以及点B 、O 、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有（• ）A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条第3题 第4题 4.如图，已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则⊙O 上到弦AB 所在直线的距离为2的点有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知：A ，B ，C ，D ，E 五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )．A ．5个圆B ．8个圆C ．10个圆D ．12个圆6. 如图，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，四边形ABOC ，DEOF ，HMNO 均为矩形，设BC=a,EF=b,NH=c, 则下列各式正确的是（ ）A.a ＞b ＞cB.b ＞c ＞aC.c ＞a ＞bD.a=b=c 5 5 -5 -5PxyO第6题 第7题 分层提分题组B 能力提升练7.如图，P(x，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，猜想这样的P点一共有 .8．若△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=24cm，则它的外接圆的直径为___________．9.下列说法正确的是（填序号）．①半径不等的圆叫做同心圆；②优弧一定大于劣弧；③不同的圆中不可能有相等的弦；④直径是同一个圆中最长的弦．10.如图，在半径不等的同心圆中，圆心角∠AOB所对的的长度有__ ___关系；的度数有_ ___关系.11.如图，已知⊙O内一点P，过P点的最短的弦在圆内的位置是__ __；过P点的最长的弦在圆内的位置是__ __；并分别将图画出来.12.在同一平面内，1个圆把平面分成0×1+2=2个部分，2个圆把平面最多分成1×2+2=4个部分，,3个圆把平面最多分成2×3+2=8个部分，4个圆把平面最多分成3×4+2=14个部分，……（1）10个圆把平面最多分成个部分；（2）n个圆把平面最多分成个部分.题组C 培优拔尖练13.已知⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的距离d＝OD＝3cm，在直线l上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点与⊙O位置关系各是怎样的?14．如图，BD=OD，∠AOC=114°，求∠AOD的度数．15．如图所示，AB是⊙O的一条弦（不是直径），点C，D是直线AB上的两点，且AC=BD．（1）判断△OCD的形状，并说明理由．（2）当图中的点C与点D在线段AB上时（即C，D在A，B两点之间），（1）题的结论还存在吗？。
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1 •圆的认识
(1)当一条线段0A绕着它的一个端点0在平面内旋转一周时，它的另一个端点A的轨迹叫做圆。
或到一个
定点的距离等于定长的点的集合。
这个以点0为圆心的圆叫作“圆C”，记为“O O'。
(2)线段OA OB 0C都是圆的半径，线段AC为直径。
(3)连结圆上任意两点之间的线段叫做弦如线段AB BC AC都是圆0中的弦。
(4)圆上任意两点间的部分叫做弧。
如曲线BC BAC都是圆中的弧，分别记作BC、BAC其中像弧BC这样
小于半圆周的圆叫做劣弧。
像弧BAC，这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。
(3)圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。
如/ AOB、/ AOC、/ BOC就是圆心角。
2 .圆的对称性
(1 )在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。
在同圆或等圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角、所对的弧相等。
在同圆或等圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。
(2 )圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
3.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。
4•圆周角
(1)圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。
(2)半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°(直角)。
90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
(3)同圆或等圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。
(4)同弧(或等弧)所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。
5•点与圆的位置关系
设O 0的半径为r，点圆心0的距离为d，则
(1 )点在圆外 d r
(2 )点在圆上 d =r
(3 )点在圆内 d :: r
6. (1)过一点可以画无数个圆；
过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。
(2)三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。
这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点。
(3)—个三角形的外接圆是唯一的。
7 •直线与圆的位置关系
(1)如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离。
(2)如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切。
此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点
叫做切点.
(3 )如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆的割线.
如上图， 设o O 的半径为r ，圆心0到直线l 的距离为d ,从图中可以看出 若d r
直线l 1与o O 相离； 若d = r
直线l 1与oo 相切； 若d :r
直线l 1与o O 相交；
8.切线
(1 )判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
(2) 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论：1 )经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
(3) 切线长：把切线上某一点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
性质：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。
这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
(4) 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆。
三角形内切圆的圆心叫做这个三角 形的内心。
这个三角形叫做这个圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点。
9 •圆和圆的位置关系
1)
两个圆没有公共点，那么就说两个圆相离，其中( 1)又叫做外
离，(2)、(3)又叫做内含。
(3)中两圆的圆 心相同，这两个圆还可以叫做同心圆。
(5)两圆外离=0 - d ：：： R - r
n 兀r 1 扇形面积的计算公式： S 二丄2
丄lr
360 2
(3)圆锥的母线：把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线。
圆锥的高：连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高，如图中
a ，而h 就是圆锥的高。
(4) 圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是 它的侧面积
2) 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如( 叫做内切。
3) 如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如(
4) 、( 5)所示•其中(4)又叫做外切，(5)又 6)所示。
(1) 两圆外离
d R r ； (2) 两圆外切
d = R r -
(3) 两圆外离
R - r ： d ： R r ； (4)
两圆外离
d = R-r -
10. 圆中的计算问题
(1 )弧长的计算公式为：
,n 二 r l =
180
(2 )扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。
与它的底面积的和。