浅谈压缩感知的理论及运用
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１压 缩 感知 理 论
３ 信 号 的 重 构
在信号处理领域 ， 压缩感知 可以看作 基于信号压缩和重构 的一 信 号重构 的思路是 ：当感知 矩阵符合 Ｒ Ｉ Ｐ条 件时 ，通过 对式 种新的理论和方法。压缩感知现在被广泛 的关注 和研究 ， 基 于压缩 （ １ － ３ ） 求逆 解得到稀疏 系数 ｓ ， 然后将 得到 的 Ｓ 代人 到式 （ １ － Ｉ ） 中反 感知的编码思想可以为压缩 自然图像数据提供一个新 的解决思路 。 解出Ｘ ， 这样就从测量值 ｙ中重构 出了原始测量信号 Ｘ 。 压缩感知的理论框架 ： 式（ ３ — １ ） 是一个 向量 ｘ （ 黾 ２ ” ％ ）的 １ 一范数 ： 压缩感知的数学模型 ： １ ． １ 数学模型如下 ：①长度为 Ｎ的离散信 号 （ ｎ ｌ ， ２ Ｊ … 。
如 式 （ 一 ） 。
鬈 ＝
如 ｔ
… 、
Ｌｌ—ｌ
式 中：ｌ ｌ ， 的维数 是 Ⅳ ×Ⅳ ， 缈 是
的某一列向量。
ｍ ｌ ｎ ｌ ｌ ｓ Ｈ ｌ ｏ 弛
ｙ ＝ ＝ ：
（ ３ ２）
—
通常情况下求解 ｌ ０ 范数的优化问题是一个 Ｎ Ｐ问 题 ， Ｃ ｈ ｅ ｎ ， ② 测量和编码 Ｍ维非相关 的观测 值 ， 其 中 Ｍ＜ Ｎ， 过程可 以被描 Ｄ ｏ ｎ ｏ ｈ ｏ 等人指 出 ，将 上述问题转化 为更加简单 的 ｌ 优化 问题 会产 述 如式 （ １ － ２ ） ： ： ＝ ：缸 生同等 的解 ， 式（ ３ — ３ ） 为求解 ｌ ， 范数 凸优化 问题 ：
目 ｌ ｝ ｆ ＝ （ 如 。 ） ｌ
ｆ ３ ＿ 】 ）
如果存 在一个稀 疏基 ｆ ） 使得信 号 ｘ （ ｎ ） 为 Ｋ稀疏 的 ， 那 么就认
式 中当 １ ＝ ０时为 ０ 一范数 ， 它表示 向量 ｘ中非零 项 的个 数 ， 而上 ０ 范数 的问题 ， 如 为信号 ｘ （ ｎ ） 可 以被稀 疏表示 ， 其 中符号 Ｋ代表信 号 的稀 疏度 ， 表示 述求重构原始信号 ｘ的过程就可 以转换为最小 化 ｌ 式（ ３ － ２ ） 所示 ：
－
ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ） 等。总体来说， 匹配追踪算法用于维数低的小尺度信号上运 在条件 ０＜ｐ＜ ２和 Ｒ＞０ 下满足式 （ １ － ４ ） ， 式中Ｓ 是信 号 Ｘ 通 过 Ｍ 算速度很快 ， 但是具有噪声的大尺度信号 ， 重构结果不是很理 想 ， 也 变换域变换后的结果 ： 。
。 （ １ － ２）
式 中： ｘ 是 的矩 阵 Ⅳ×１， 为 Ｍ×源自文库 （ Ｍ＜ ＜ Ｎ） 的测量矩阵 ， Ｙ 是信号 ｘ （ ｎ ） 在测量矩 阵 下 的测量值 。
ｍｔ ｎ Ｕ ｓ ｔ
ｙ ＯＣｓ
，
ｊ —ｊ
贪 婪算法是 通过连 续地确定 一个或 多个在信 号 的逼近上 满足 实质性改进 的系数 ， 通过迭代方法寻求信 号 ｘ的当前估计值 。 ４ 贪婪算法 ＝ 舣 ’ ： ＝ ：似 ’ ： ＝ ：ｅｓ （ ， １ 、 ３ ） 互 补 匹配追踪 算法 （ Ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ａ ｒ ｙ Ｍａ ｔ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ Ｐ ｕ ｒ ｓ ｕ ｉ ｔ ， Ｃ ＭＰ ） 是在 式 中：ｅ＝ ｌ Ｉ ， 是 肘× 的矩 阵， 被称作感知矩 阵。ｙ是 ｓ 关 匹配追踪算法 基础上 出现 又一 算法 ， 它与 匹配追 踪算法类 似 ， 但不 于感知矩阵 ｅ 的观测值 。 是通 过字 典矩 阵的列 向量去 实现 ，而是在字典矩阵 中寻找行 向量 。 １ ． ２ 信号 的稀疏性表示 。 对于长度 Ｎ为 的信号 ｘ （ ｔ ｌ ｉ ， ２ ， ＿ ． ， ， 在匹配追踪算法基础上 又出现更 多的算法 ， 匹配追 踪算法有很多具 Ｘ 在 ｔ ｌ ， 域 内表示如式 （ １ － １ ） 。 体实现方法，主要有正交匹配追踪算法 （ Ｏ ｒ ｔ ｈ ｏ ｇ ｏ ｎ ａ ｌ Ｍ ａ ｔ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ Ｐ ｕ ｒ — 当信号 ｓ中系数较大 的只 占一小部分 ， 系数值较小 或接 近于零 ｓ ｕ ｉ ｔ ， Ｏ Ｍ Ｐ ） 、分段正交匹配追踪 算法 （ Ｓ ｔ ａ ｇ ｅ ｗ ｉ ｓ ｅ Ｏ ｒ ｔ ｈ ｏ ｇ ｏ ｎ ａ ｌ Ｍａ ｔ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ 的占大部分 ， 把满 足这类条件 的信号 叫可压缩信号 。 Ｐ ｕ ｒ ｓ ｕ ｉ ｔ ， Ｓ Ｔ Ｏ Ｍ Ｐ ） 、 正则化正交 匹配追踪算法 （ Ｒ ｅ ｇ ｕ ｌ ａ ｉ ｒ ｚ ｅ ｄ Ｏ ｒ ｔ ｈ ｏ ｇ ｏ ｎ ａ ｌ Ｄ ｏ ｎ ｏ ｈ ｏ 等人对什么样 的信号是稀疏信号做 了定义 ： 如果信号 ｘ Ｍ ａ ｔ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ Ｐ ｕ ｒ ｓ ｕ ｉ ｔ ， Ｒ Ｏ Ｍ Ｐ ）和 梯 度 匹 配 追 踪 算 法 ｆ Ｇ ｒ ａ ｄ ｉ ｅ ｎ ｔ Ｐ ｕ ｒ ｓ ｕ ｉ ｔ ③把式（ １ － １ ） 和式（ １ － ２ ） 结合得 到式 （ １ － ３ ） 如下 ：
・
３ ８・
科技 论 坛
浅谈压缩感 知 的理论 及运用
景 国秀
（ 西安思源学院 ， 陕西 西安 ７ １ ０ ０ ３ ８ ）
摘 ］ ［ ￣ ： Ｃ ｏ ｍｐ ｒ ｅ ｓ ｓ ｉ ｖ ｅ ｓ ｅ ｎ ｓ ｉ ｎ ｇ （ Ｃ Ｓ ）又称 Ｃ ｏ ｍ ｐ ｒ ｅ ｓ ｓ ｉ ｖ ｅ ｄ ｓ ａ ｍｐ ｌ ｅ ， 中文翻译“ 压缩感知” ， 可以理解为在 采集信号 的时候 （ 模拟到数 字 ） ， 同 时完成对信号压缩。 本文 阐述感知过程的三个步骤 ： 信号的稀疏表示、 观测矩 阵的设计 以及信号的重构算法。 最后 举例说 明压缩感知在现 实中的运用 实例 。 关键词 ： 压缩感知 ； 稀疏矩阵 ； 运用
３ 信 号 的 重 构
在信号处理领域 ， 压缩感知 可以看作 基于信号压缩和重构 的一 信 号重构 的思路是 ：当感知 矩阵符合 Ｒ Ｉ Ｐ条 件时 ，通过 对式 种新的理论和方法。压缩感知现在被广泛 的关注 和研究 ， 基 于压缩 （ １ － ３ ） 求逆 解得到稀疏 系数 ｓ ， 然后将 得到 的 Ｓ 代人 到式 （ １ － Ｉ ） 中反 感知的编码思想可以为压缩 自然图像数据提供一个新 的解决思路 。 解出Ｘ ， 这样就从测量值 ｙ中重构 出了原始测量信号 Ｘ 。 压缩感知的理论框架 ： 式（ ３ — １ ） 是一个 向量 ｘ （ 黾 ２ ” ％ ）的 １ 一范数 ： 压缩感知的数学模型 ： １ ． １ 数学模型如下 ：①长度为 Ｎ的离散信 号 （ ｎ ｌ ， ２ Ｊ … 。
如 式 （ 一 ） 。
鬈 ＝
如 ｔ
… 、
Ｌｌ—ｌ
式 中：ｌ ｌ ， 的维数 是 Ⅳ ×Ⅳ ， 缈 是
的某一列向量。
ｍ ｌ ｎ ｌ ｌ ｓ Ｈ ｌ ｏ 弛
ｙ ＝ ＝ ：
（ ３ ２）
—
通常情况下求解 ｌ ０ 范数的优化问题是一个 Ｎ Ｐ问 题 ， Ｃ ｈ ｅ ｎ ， ② 测量和编码 Ｍ维非相关 的观测 值 ， 其 中 Ｍ＜ Ｎ， 过程可 以被描 Ｄ ｏ ｎ ｏ ｈ ｏ 等人指 出 ，将 上述问题转化 为更加简单 的 ｌ 优化 问题 会产 述 如式 （ １ － ２ ） ： ： ＝ ：缸 生同等 的解 ， 式（ ３ — ３ ） 为求解 ｌ ， 范数 凸优化 问题 ：
目 ｌ ｝ ｆ ＝ （ 如 。 ） ｌ
ｆ ３ ＿ 】 ）
如果存 在一个稀 疏基 ｆ ） 使得信 号 ｘ （ ｎ ） 为 Ｋ稀疏 的 ， 那 么就认
式 中当 １ ＝ ０时为 ０ 一范数 ， 它表示 向量 ｘ中非零 项 的个 数 ， 而上 ０ 范数 的问题 ， 如 为信号 ｘ （ ｎ ） 可 以被稀 疏表示 ， 其 中符号 Ｋ代表信 号 的稀 疏度 ， 表示 述求重构原始信号 ｘ的过程就可 以转换为最小 化 ｌ 式（ ３ － ２ ） 所示 ：
－
ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ） 等。总体来说， 匹配追踪算法用于维数低的小尺度信号上运 在条件 ０＜ｐ＜ ２和 Ｒ＞０ 下满足式 （ １ － ４ ） ， 式中Ｓ 是信 号 Ｘ 通 过 Ｍ 算速度很快 ， 但是具有噪声的大尺度信号 ， 重构结果不是很理 想 ， 也 变换域变换后的结果 ： 。
。 （ １ － ２）
式 中： ｘ 是 的矩 阵 Ⅳ×１， 为 Ｍ×源自文库 （ Ｍ＜ ＜ Ｎ） 的测量矩阵 ， Ｙ 是信号 ｘ （ ｎ ） 在测量矩 阵 下 的测量值 。
ｍｔ ｎ Ｕ ｓ ｔ
ｙ ＯＣｓ
，
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贪 婪算法是 通过连 续地确定 一个或 多个在信 号 的逼近上 满足 实质性改进 的系数 ， 通过迭代方法寻求信 号 ｘ的当前估计值 。 ４ 贪婪算法 ＝ 舣 ’ ： ＝ ：似 ’ ： ＝ ：ｅｓ （ ， １ 、 ３ ） 互 补 匹配追踪 算法 （ Ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ａ ｒ ｙ Ｍａ ｔ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ Ｐ ｕ ｒ ｓ ｕ ｉ ｔ ， Ｃ ＭＰ ） 是在 式 中：ｅ＝ ｌ Ｉ ， 是 肘× 的矩 阵， 被称作感知矩 阵。ｙ是 ｓ 关 匹配追踪算法 基础上 出现 又一 算法 ， 它与 匹配追 踪算法类 似 ， 但不 于感知矩阵 ｅ 的观测值 。 是通 过字 典矩 阵的列 向量去 实现 ，而是在字典矩阵 中寻找行 向量 。 １ ． ２ 信号 的稀疏性表示 。 对于长度 Ｎ为 的信号 ｘ （ ｔ ｌ ｉ ， ２ ， ＿ ． ， ， 在匹配追踪算法基础上 又出现更 多的算法 ， 匹配追 踪算法有很多具 Ｘ 在 ｔ ｌ ， 域 内表示如式 （ １ － １ ） 。 体实现方法，主要有正交匹配追踪算法 （ Ｏ ｒ ｔ ｈ ｏ ｇ ｏ ｎ ａ ｌ Ｍ ａ ｔ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ Ｐ ｕ ｒ — 当信号 ｓ中系数较大 的只 占一小部分 ， 系数值较小 或接 近于零 ｓ ｕ ｉ ｔ ， Ｏ Ｍ Ｐ ） 、分段正交匹配追踪 算法 （ Ｓ ｔ ａ ｇ ｅ ｗ ｉ ｓ ｅ Ｏ ｒ ｔ ｈ ｏ ｇ ｏ ｎ ａ ｌ Ｍａ ｔ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ 的占大部分 ， 把满 足这类条件 的信号 叫可压缩信号 。 Ｐ ｕ ｒ ｓ ｕ ｉ ｔ ， Ｓ Ｔ Ｏ Ｍ Ｐ ） 、 正则化正交 匹配追踪算法 （ Ｒ ｅ ｇ ｕ ｌ ａ ｉ ｒ ｚ ｅ ｄ Ｏ ｒ ｔ ｈ ｏ ｇ ｏ ｎ ａ ｌ Ｄ ｏ ｎ ｏ ｈ ｏ 等人对什么样 的信号是稀疏信号做 了定义 ： 如果信号 ｘ Ｍ ａ ｔ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ Ｐ ｕ ｒ ｓ ｕ ｉ ｔ ， Ｒ Ｏ Ｍ Ｐ ）和 梯 度 匹 配 追 踪 算 法 ｆ Ｇ ｒ ａ ｄ ｉ ｅ ｎ ｔ Ｐ ｕ ｒ ｓ ｕ ｉ ｔ ③把式（ １ － １ ） 和式（ １ － ２ ） 结合得 到式 （ １ － ３ ） 如下 ：
・
３ ８・
科技 论 坛
浅谈压缩感 知 的理论 及运用
景 国秀
（ 西安思源学院 ， 陕西 西安 ７ １ ０ ０ ３ ８ ）
摘 ］ ［ ￣ ： Ｃ ｏ ｍｐ ｒ ｅ ｓ ｓ ｉ ｖ ｅ ｓ ｅ ｎ ｓ ｉ ｎ ｇ （ Ｃ Ｓ ）又称 Ｃ ｏ ｍ ｐ ｒ ｅ ｓ ｓ ｉ ｖ ｅ ｄ ｓ ａ ｍｐ ｌ ｅ ， 中文翻译“ 压缩感知” ， 可以理解为在 采集信号 的时候 （ 模拟到数 字 ） ， 同 时完成对信号压缩。 本文 阐述感知过程的三个步骤 ： 信号的稀疏表示、 观测矩 阵的设计 以及信号的重构算法。 最后 举例说 明压缩感知在现 实中的运用 实例 。 关键词 ： 压缩感知 ； 稀疏矩阵 ； 运用