遥感物理1[1].2

d
4
I(, ' )P(, ' )d' B[T()]
4 4
总结
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两个概念：散射相函数、单次散射反射率 考虑散射与发射源函数的传输方程：
dI(, ) I(, ) F0e / 0P(, 0)
d
4
I(, ' )P(, ' )d' B[T()]
4 4
传输方程中的散射表达是导致方程复杂化的 根本原因，也是辐射传输过程的魅力所在。
我们假设位于τ处、传播方向为Ω’的辐射强度为I (τ, Ω’)，则它散射到方向Ω的辐射强度为：
I ( , ' ) P(, ' ) 4
由于位置τ处散射产生的源函数为来自所有方向、 并经散射，到方向Ω的辐射总和。即上式对方 向Ω’在4π空间的积分：
J( , ) 4
I ( , ' )
P(, ' ) d'
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通常散射相函数是轴对称 的，可以表示为散射角的 函数，写为 P (cos Θ) 。散 射角Θ定义为入射方向Ω’ 和散射方向Ω之间的夹角。 散射角的余弦可以表示为：
cos coscos'sin sin 'cos(') '(1 2 )1/2 (1 '2 )1/2 cos(')
请注意P与两个方向的天顶角，以及相对方位角有关。 散射角余弦推导公式参见重要参考资料中的学生来信。
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对上式中入射方向在4π空间积分，并考虑只有一 个入射方向：比如由于太阳光是平行光入射，所 以只在Ω0一个方向上，即I0=δ(Ω’,Ω0)F0，其中F0 为太阳的通量密度。
则单次散射产生的源函数，即散射到方向Ω的辐射 强度为 ：
I 0e / ' P(, ' ) d'
4
4
(' , 0)F 0e / ' P(, ' ) d'
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单次散射反射率（single scattering albedo）
实际上辐射被介质散射的同时，也被介质吸 收，即消光过程既包括散射，也包括吸收。 单次散射反射率 ω 定义为辐射发生每一次消 光（或简称散射）过程中，遭受散射的百分 比。
入射为1，散射后各个方向的总和（积分）即为ω
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源函数中散射的表达
麦克斯韦方程组与辐射传输方程是不矛盾的，可以相 互转换，不存在难易和优劣之分，只不过形式和求解 方法有所区别，在不同的领域，有各自的优势。
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消光截面
在光散射和辐射传输领域中，通常用“截面”这一术 语，它与几何面积类似，用来表示粒子由初始光束中 所移除的能量大小。当对粒子而言时，截面的单位是 面积（厘米2），因此，以面积计的消光截面等于散射 截面与吸收截面之和。但当对单位质量而言时，截面 的单位是每单位质量的面积（厘米2·克-1），这时，在 传输研究中用术语质量消光截面，因而，质量消光截 面等于质量散射截面与质量吸收截面之和。此外，当 消光截面乘以粒子数密度（厘米-3）或当质量消光截面 乘以密度（克·厘米-3）时，该量称为“消光系数”， 它具有长度倒数（厘米-1）的单位。
遥感物理
第一章 基本概念 第二节 辐射传输 (radiance transfer) √ §1.2.1 传输方程 §1.2.2 源函数中散射的表达
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Maxwell方程组与辐射传输方程
麦克斯韦方程组描述了电磁场的基本规律。
一般而言，波长较长的电磁波波动性较为突出。短波 部分干涉与衍射等波动现象则不明显，而更多地表现 为粒子性。在光学和热红外遥感领域，为方便和直观 起见，常用辐射传输方程描述电磁波与介质的相互作 用。部分辐射传输方程加入了反映波动性的修正因子。
1 P(, ' )d 1
4 4
物理意义：P (Ω, Ω’)/4π为方向Ω’的电磁波 被散射到方向Ω的比例。
根据互易原理： P(, ') P(', )
因此同样有：
1
P(, ' )d' 1
4 4
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作业：
对于在4π空间内各向均一的散射（散射辐射强 度不随散射方向变化），散射相函数的表达式是 什么？ 对于散射光只在入射方向Ω’存在，其它方向均 为0的情况下，散射相函数的表达式是什么？
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对于平面平行大气，τ 的定义为由大气上界向 下测量的垂直光学厚度（省略下标λ）：
(z) z kdz'
对于水平均一植被， τ 的定义 为由冠层表面向下测量到z处 的垂直光学厚度：
z
(z, ) 0 uL (z)G(z, ) dz
大气
z
0
植被冠层 z
其中 uL为叶面积密度。
在植被中，dτ与dz关系如何？ 以平面平行大气为例，比尔定律具体表wenku.baidu.com式？
平面平行 (plane parallel)介质
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在遥感定量分析过程中，为简化起见，我们通
常假设电磁波穿过的介质（如大气与植被冠层） 是平面平行的，或称水平均一 (horizontally uniform)的。即介质可以分成若干或无穷多相 互平行的层，各层内部（对辐射影响）的性质 一样，各层之间的性质不同。
4
4
F 0e / 0 P(, 0)
4
太阳为什么是单次散射的源?
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源函数中的散射可以表达为单次散射与多次散射 之和，其中多次散射项表达式与前述相同，即：
J(τ, Ω) = F0e / 0P(, 0)
4
I(, ' )P(, ' )d'
4 4
注意此处的多次散射为二次以上散射
上式结果肯定是强度单位
dIλ = -kλρIλds + jλρds
jλ的单位与kλ的单位不同：前者带有强度概念。
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进一步为方便起见，定义源函数Jλ如下： Jλ ≡ jλ/kλ
这样一来，源函数则具有辐射强度的单位。因此 有：
dIλ = -kλρIλds + kλJλρds 即：
dI I J kds
这就是不加任何座标系的普遍传输方程，它是讨论任何 辐射传输过程的基础。
4
Ω
Ω’
τ
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回忆上一小节中提到的平面平行介质（大气）中 的传输方程为：
dI I J d
因此，含有散射源函数的辐射传输方程展开为：
dI ( , ) d
I ( , )
4
4
I ( , ' )P(, ' )d'
通常情况下，这个方程没有解析解，只能靠数值 解法或简化求解。
在很多应用中，我们经常把上式等号右面第二项 拆分成单次散射和多次散射两项。
θ
θ为辐射方向与分层方向法
线的夹角。
z
dI I J
kds
上述传输方程用z、θ替换s后，具体表达式？
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对于平面平行介质，辐射传输方程可以写为：
cos dI I J kdz
或 dI I J d
其中 μ = cosθ，τ 是光学厚度(此时已是垂直计量) 。
注意μ ，多数情况下，它会代替θ在辐射传输中出现
介质完全均一（ρ也不依赖s），出射强度？
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光学厚度 (optical thickness, optical depth)
定义点s1和s2之间的介质的光学厚度为：
s2
s1
kds' kds'
s1
s2
并有：
dτλ(s) = -kλρds 因此传输方程可以写为：
dI I J d
在实际应用中，τ的定义使τ永远是正数。 而且I与τ的关系一般为exp(-τ)。
I ( , )
4
4
I ( , ' )P(, ' )d'
中 的I(τ,Ω’)包含的单次散射单独抽出来，推导 其表达式。
对于单次散射，我们假设入射辐射强度的初始值 为I0 ，传播方向为Ω’，则它到达τ处的辐射强度
为： I 0e / '
在τ处发生单次散射后，散射到方向Ω的辐射强度 即为：
I 0e / ' P(, ' ) 4
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传输方程
在介质中传输的一束辐射，将因它与物质的 相互作用而减弱。如果辐射强度Iλ，在它传 播方向上通过ds厚度后变为Iλ+dIλ，则有：
dIλ = -kλρIλds 式中ρ是物质密度，kλ表示对辐射波长λ的质 量消光截面。辐射强度的减弱是由物质中的 吸收以及物质对辐射的散射所引起。
设σe为粒子消光截面，N为单位体积的总粒子数，上式如何表达？ 消光系数=？
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又，源函数中的发射的表达可以写为：
J(τ, Ω) = B[T(τ)]
其中B(T)为普朗克函数，是物体亮温为T时发射 的出射辐射亮度，它的强度与出射方向无关，即 各向均一。
因此，考虑散射与发射源函数后，辐射传输方程 可以展开为：
dI(, ) I(, ) F0e / 0P(, 0)
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I(0)
I I+dI
I(s1)
0
ds
S1
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另一方面，辐射强度也可以由于相同波长上物质 的发射以及多次散射而增强，多次散射使所有其 它方向的一部分辐射进入所研究的辐射方向。我 们如下定义源函数系数，使由于发射和多次散射 造成的强度增大为：
dIλ = jλρds 式中源函数系数jλ具有和质量消光截面类似的物理 意义。 联合上述两个方程得到辐射强度总的变化为：
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对于平面平行大气，且忽略大气中的多次散射 和发射，则传输方程为：
dI I d
上式的解为：
I(z) I()exp(z d(z) / ) I()exp[(() (z))/ ]
定义τ0= τ(0)为大气整层光学厚度，注意到τ(∞)=0， 因此有：
I(0) I()e0 / I0e0 /
本节参考文献
廖国男，大气辐射导论，周诗健等译，气象 出版社，1985
请注意指数形式在辐射传输中的作用。
总结
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两个概念：光学厚度、平面平行介质 一组不同表达形式的传输方程：
dI I J kds dI I J
d dI I J
d
传输方程的简单解（比尔定律）：e的指数形式
遥感物理
第一章 基本概念 第二节 辐射传输 (radiance transfer) §1.2.1 传输方程 √ §1.2.2 源函数中散射的表达
求解辐射传输方程时，最难解决的是Jλ。
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比尔-布格-朗伯 (Beer-Bouguer-Lambert)定律
当忽略多次散射和发射的增量贡献时，辐射 传输方程可以简化为：
dI I kds
如果在s=0处的入射强度为Iλ(0)，则在s1处， 其射出强度可以通过对上式的积分获得：
s1
I(s1) I(0) exp( kds) 0
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当电磁波由方向Ω0前进时，它被介质散射到方 向Ω的散射过程可以分解为单（一）次散射和 多次散射过程。
多次散射是为了区别单次散射而定义的，凡是 辐射被介质散射超过 1 次，均称为多次散射。
区分单次散射和多次散射是为了方便于求解辐 射传输方程。
单次散射
Ω0
Ω
多次散射
τ
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下面我们把前式
dI ( , ) d
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散射
电磁波通过介质时，会发生散射，即电磁波 有可能改变方向。因此使某一方向的电磁波 强度发生变化，可能减弱，也可能增强。
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散射相函数（scattering phase function）
为描述电磁波被介质散射后在各个方向上的 强度分布比例，引入散射相函数 P (Ω, Ω’)， 并且P (Ω, Ω’)/4π是归一化的，即：
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假定介质消光截面均一不变，即kλ不依赖于距离s， 并定义路径长度：
s1
u 0 ds
则此时出射强度为：
I(s1) I(0)eku
这就是著名的比尔定律，或称布格定律，也可称朗伯定 律。它叙述了忽略多次散射和发射影响时，通过均匀介 质传播的辐射强度按简单的指数函数减弱，该指数函数 的自变量是质量吸收截面和路径长度的乘积。由于该定 律不涉及方向关系，所以它不仅适用于强度量，而且也 适用于通量密度。