高中数学《第二章 推理与证明》复习小结课件 新人教A版选修1-2
人教版数学高二人教A版选修1-2第二章《推理与证明》章末小结
章末小结合情推理与演绎推理运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳、类比的方法进行探索，提出猜想；最后用演绎推理的方法进行验证．观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个点，第n个图案中圆点的总数是S n.••••，••••••••，••••••••••••，…n＝2，S2＝4；n＝3，S3＝8；n＝4，S4＝12；…，按此规律，推出S n 与n的关系式为________．解析：依图的构造规律可以看出： S 2＝2×4－4， S 3＝3×4－4，S 4＝4×4－4(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)． …猜想：S n ＝4n －4(n ≥2，n ∈N *)． 答案：S n ＝4n －4(n ≥2，n ∈N *)若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则有数列b n ＝na 1·a 2·…·a n (n ∈N *)也为等比数列，类比上述性质，相应地，数列{c n }是等差数列，则有d n ＝________也是等差数列．解析：类比猜想可得d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n n 也成等差数列，若设等差数列{c n }的公差为x ，则d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n n＝nc 1＋n （n －1）2xn＝c 1＋(n －1)·x2.可见{d n }是一个以c 1为首项，x2为公差的等差数列，故猜想是正确的．答案：c 1＋c 2＋…＋c nn已知函数f (x )＝x 13－x －135，g (x )＝x 13＋x －135.(1)证明f (x )是奇函数，并求f (x )的单调区间；(2)分别计算f (4)－5f (2)·g (2)和f (9)－5f (3)·g (3)的值，由此概括出涉及函数f (x )和g (x )的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．(1)证明：函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又f (－x )＝（－x ）13－（－x ）－135＝－x 13－x －135＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，设x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)＝x 131－x －1315－x 132－x －1325＝15(x 131－x 132)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 131·x 132. ∵x 131－x 132<0，1＋1x 131·x 132>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．(2)解析：计算得f (4)－5f (2)·g (2)＝0，f (9)－5f (3)·g (3)＝0.由此概括出对所有不等于零的实数x 有 f (x 2)－5f (x )·g (x )＝0. ∵f (x 2)－5f (x )·g (x )＝x 23－x －235－5·x 13－x －135·x 13＋x －135＝15(x 23－x －23)－15(x 23－x －23)＝0， ∴该等式成立．点评：问题(1)的大前提为函数奇偶性和单调性的定义．问题(2)实际上是合情推理在高考中的体现，有一定的创新性．►变式训练1．已知数列{a n }的相邻两项a 2k －1，a 2k 是关于x 的方程x 2－(3k ＋2k )x ＋3k ·2k ＝0的两个根且a 2k －1≤a 2k (k ＝1，2，3，…)．(1)求a 1，a 3，a 5，a 7及a 2n (n ≥4)，不必证明； (2)求数列{a n }的前2n 项和S 2n .解析：(1)方程x 2－(3k ＋2k )x ＋3k ·2k ＝0的两根为x 1＝3k ，x 2＝2k . 当k ＝1时，x 1＝3，x 2＝2，∴a 1＝2； 当k ＝2时，x 1＝6，x 2＝4，∴a 3＝4； 当k ＝3时，x 1＝9，x 2＝8，∴a 5＝8； 当k ＝4时，x 1＝12，x 2＝16，∴a 7＝12.∵当n ≥4时，2n ＞3n ， ∴a 2n ＝2n (n ≥4)． (2)S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n＝(3＋6＋9＋…＋3n )＋(2＋22＋…＋2n ) ＝3n 2＋3n 2＋2n ＋1－2.直接证明综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等．应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法综合起来使用．设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.证明：证法一(综合法) ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab≥4. 又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥4， ∴1a ＋1b ＋1ab≥8.证法二(分析法) ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴要证1a ＋1b ＋1ab≥8，只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab ≥8，即证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8，即证1a ＋1b ≥4，即证a ＋b a ＋a ＋b b ≥4，即证b a ＋ab≥2.由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋ab ≥2成立，∴原不等式成立．如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE . 证明：(1)设AC 与BD 交于点G . ∵EF ∥AG ，且EF ＝1， AG ＝12AC ＝1，∴四边形AGEF 为平行四边形． ∴AF ∥EG .∵EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ， ∴AF ∥平面BDE .(2)连接FG ，∵EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1，且CE ＝1， ∴四边形CEFG 为菱形，∴CF ⊥EG . ∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC .又∵平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ， ∴BD ⊥平面ACEF ，∴CF ⊥BD .又BD ∩EG ＝G . ∴CF ⊥平面BDE .►变式训练2．在等差数列{a n }中，首项a 1＝1，数列{b n }满足b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n，且b 1·b 2·b 3＝164. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＜2.(1)解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1＝1，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n，所以b 1＝12，b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋d ，b 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2d .由b 1b 2b 3＝164，解得d ＝1，所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)证明：由(1)得b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.设T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝1×12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，①则12T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.②①－②得12T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.所以T n ＝2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝2－12n －1－n2n ，又因为2－12n －1－n2n ＜2，所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＜2.点评：本题考查了等差数列的性质以及利用综合法证题的过程． 反证法反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑的角度看，命题：“若p 则q ”的否定是“若p 则¬q ”由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p 则¬q ”为假，从而可以导出“若p 则q ”为真，从而达到证明的目的，反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要。
(教师用书)高中数学 第二章 推理与证明章末归纳提升课件 新人教A版选修1-2
如图 2－3(1)，在三角形 ABC 中，AB⊥AC，若 AD⊥BC， 则 AB2＝BD· BC；若类比该命题，如图 2－3(2)，三棱锥 A－ BCD 中，AD⊥平面 ABC，若 A 点在三角形 BCD 所在平面内 的射影为 M，则可以得到什么命题？命题是否为真命题并加 以证明．
(1) 图 2－3
2 2 2 ∴S2 ＋ S ＋ S ＝ S 1 2 3 4. 2 2 2 【答案】 S2 1＋S2＋S3＝S4
在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，
那么位于表中的第 n 行第 n＋1 列的数是________．
【解析】
由题中数表知：第 n 行中的项分别为
n,2n,3n， …， 组成一等差数列， 所以第 n 行第 n＋1 列的数是： n2＋n. 【答案】
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此 平面平行， EF⊄平面 BCD，BD⊂平面 BCD，EF∥BD， 小前提 EF∥平面 BCD. 结论 大前提
归纳推理
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，常见 的归纳推理题目主要涉及两个类型：数的归纳和形的归纳， 其求解思路如下： (1)通过观察个别对象发现某些相同性质； (2)由相同性质猜想得出一般性结论． 需特别注意一点，由归纳猜想得出的结论未必正确，常 需要严格的推理证明．
(2013· 南昌高二检测) 在平面上，我们如果用一 条直线去截正方形的一个角， 那么截下的是一个直角三角形， 若将该直角三角形按图标出边长 a，b，c，则由勾股定理有： a2＋b2＝c2.设想把正方形换成正方体，把截线换成如图 2－1 的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O －LMN，如果用 S1，S2，S3 表示三个侧面面积，S4 表示截面 面积，那么你类比得到的结论是________．
高二数学人教A版选修1-2课件：第二章 推理与证明
专题一
专题二
专题二 直接证明与间接证明
1.综合法证明数学问题是“执因索果”,而分析法则是“执果索因”,二者一正一反,各有特点,综合法的特点是表述 简单条理清楚,分析法则便于解题思路的探寻.
2.分析法与综合法往往结合起来使用,即用分析法探寻解题思路,而用综合法书写过程,即“两头凑”,可使问题便 于解决.
专题一
专题二
【例1】 已知数列 归纳出Sn的计算公式.
8× 1 12 × 32
,
8× 32×
252,…,(2…������,-S1n为)82其×(2前������������n+项1的)2和, ,计算S1,S2,S3,S4,观察计算结果,并
思路分析:通过计算S1,S2,S3,S4的取值,发现它们的共同点有:都是分数,分母为奇数的平方,分子比分母少1,据
ABCD
中,������������������������'
+
������������ ������������'
+
������������ ������������'
+
������������������������' =4-������������-������������������+������������-������������������������������-+������������������������������-������������������ +������������-������������������ =4-������������������������--������������������������������������ =3.
2019-2020高中数学第二章推理与证明章末复习同步课件新人教A版选修1_2
3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的 两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的 证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题 时，常把它们结合起来使用．间接证明的一种方法是反证法，反证法 是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．
本课结束
关系式为__f(_n_)_＝__n_3.
解析 由于1＝13,3＋5＝8＝23， 7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和 f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.
解析 答案
反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给 定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列问题中的常见类型. (2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也 有一定的探索性.
证明
反思与感悟 根据待证不等式的结构特点构造函数，将此问题转化为函数 问题，再利用函数的图象与性质解决问题.
跟踪训练2 设a，b是两个正实数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2. 证明 要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，即需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b) 成立， 即需证a2－ab＋b2>ab成立. 只需证a2－2ab＋b2>0成立， 即需证(a－b)2>0成立. 而由已知条件可知，a≠b，所以a－b≠0， 所以(a－b)2>0显然成立. 即a3＋b3>a2b＋ab2.
第二章 推理与证明
章末复习
学习目标 1.理解合情推理和演绎推理. 2.会用直接证明和间接证明方法证明问题.
内容索引
知识梳理 题型探究 达标检测
知识梳理
1.合情推理 (1)归纳推理：由部分 到 整体 、由 个别到 一般 的推理. (2)类比推理：由特殊 到 特殊的推理. (3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分 析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它 们统称为合情推理. 2.演绎推理 (1)演绎推理：由 一般到 特殊的推理.
人教版A版高中数学选修1-2：第二章推理与证明_小结(8)
件：
充要条件
①
；
充要条件
②
．
（写出你认为正确的两个充要条件）
1.两组相对侧面分别平行； 2.一组相对侧面平行且全 等；
3.对角线交于一点； 4.底面是平行四边形．
例5. 类比平面内直角三角形的勾股 定理,试给出空间中四面体性质的猜 想.
1.C=90° 2.3条边的长度a,b,c. 3.2条直角边a,b和斜边c.
(1)整数是自然数, -3是整数,
-3是自然数;
(2)无理1(数0.333是) 无限小数,
3
11 3
(
0.333
)
是无限小数,
3
1 是无理数.
3
演绎推理错误的主要原因 （1）大前提不成立； （2）小前提不符合大前提的条件
正确性有待进一步证明.
归纳推理是由特殊到一般的推 理;
类比推理是由特殊到特殊的ห้องสมุดไป่ตู้ 理．
演绎推理是由一般到特殊的推 理
三段论是演绎推理的一般模式,包括:
(1)大前提 已知的一般原理; M是P，
(2)小前提 (3)结论
所研究的特殊情况; S是M， 根据一般原理,对特 所以，S是P。 殊情况做出的判断.
（2）类比推理的思维过程大致如下 图所示：
强调：类比推理不象归纳推理 那样局限于同类事物, 同时,类 比推理比归纳推理更富于想 像,因而也就更具有创造性.
动手练一练：
①
②
③
1.观察图中 和 的个数，猜想第n 个图形中 和 的个数
2.试求第几个图中 和 的个数相等
练习： 1.在括号内填上适当的数
(1) 1,5,9,13,17,
☆用集合论的观点看,三段论的依据是:若集 合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子 集,那么S中所有元素也都具有性质P.
人教新课标版数学高二-人A选修1-2课件 第二章《推理与证明》复习
推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进
一步证明.
2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学
中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，
另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后
者的前提，后者论证前者的可靠性.
章末复习提升
4
3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接 证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条 件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证 明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接 证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发， 推出矛盾的证明方法.
章末复习提升
11
例 2 已知 a>0，求证： a2＋a12－ 2≥a＋1a－2.
证明 要证 a2＋a12－ 2≥a＋a1－2，
只需证 a2＋a12＋2≥a＋a1＋ 2.
∵a>0，故只需证
a2＋a12＋22≥a＋a1＋ 22，
即 a2＋a12＋4 a2＋a12＋4≥a2＋2＋a12＋2 2a＋a1＋2，
CF∩EF＝F.
EF∥AD， 因为
AD⊥BD，
又因为CB＝CD，F为BD的中点，
所以 EF⊥BD.
所以CF⊥BD.所以平面EFC⊥平面BCD.
章末复习提升
15
题型三 反证法 如果一个命题的结论难以直接证明时，可以考虑反证法.通过反 设已知条件，经过逻辑推理，得出矛盾，从而肯定原结论成立. 反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几 何的证明中经常用到，它所反映出的“正难则反”的解决问题 的思想方法更为重要.反证法主要证明：否定性、唯一性命题； 至多、至少型问题；几何问题.
数学：2[1].1《合情推理与演绎证明--合情推理》PPT课件(新人教A版-选修1-2)
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2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3 猜想 an= 2n -1 当n=3时,a3= 7 当n=4时,a4= 15
2
1
3
歌德巴赫猜想的提出过程：
…
这种由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概栝出一般结论 的推理,称为归纳推理.(简称;归纳) 归纳推理的几个特点;
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳 所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚 属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观 察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分 析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明
这就是著的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说， 他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问 题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引 起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都 不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体 的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一 一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚 待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成 千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴 赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了 20世纪20年代，才有人开始向它靠近。
新版高中数学人教A版选修1-2课件：第二章 推理与证明 2.2.1
∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD, ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC. 而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.
∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所 在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.
典例透析
(1)证明:BC∥平面PDA; (2)证明:BC⊥PD; (3)求点C到平面PDA的距离. (1)证明因为四边形ABCD是长方形,所以BC∥AD. 因为BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,所以BC∥平面PDA.
−
1)(������∈N*,n≥2),求证: 1 为等差数列.
������������
分析:(1)类比题目所给等式得到 Sn+1 与 an+1 之间的关系式→两式相减→说明{an}是等比数列
(2)利用(1)中的公比
q
得到
f(m)→化简式子
bn=
3 2
������
(bn-1)→证明
1 ������������
两式相减,得Sn=n·2n-1×20-1×21-…-1×2n-1=n·2n-2n+1=2n(n-1)+1.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
利用综合法证明不等式
【例 2】 已知 a,b,c 是正实数,且 a+b+c=1. 求证:(1)a2+b2+c2≥13 ; (2) ������ + ������ + ������ ≤ 3.
数学：第二章《推理与证明复习小结》课件(新人教a版选修1-2)
《高中数学》
选修1-2
第二章 推理与证 明复习小结
知识结构
合情推理
归纳推理
推理
类比推理
推
演绎推理
理
与
比较法
证 明
直接证明
综合法
证明
分析法
间接证明
反证法
数学归纳法
一.综合法
例 .已 知 a、 b、 c为不 相 等 正 数 ， 且 abc=1，
证求： a+ b+ c<1+1+1. abc
作业：
１:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点, 证明这n条直线把平面分成f(n)＝(n2+n+2)/2个区域.
； 亚米游戏 ；
是在所难免の,没出什么大事就算不错了丶"这城中の人确实是壹下子多出了许多,街道上,到处都是人,斗嘴打架の也不在少数丶但是最关键の是,以前の四十几亿人当中,有近壹半甚至是壹半以上の人,平常都是在闭关修行の,根本不会上街の丶所以相当于城中,壹下子多出了二十几亿の流 动人口,真要只是地球上の那些普通人类也无所谓,大家の节奏比较慢,这方圆十万里の圣城中,要容纳哪怕是上千亿普通人也完全没问题丶"怎么说呢,咱们城主府の实力相对来说,还不是特别の强,若是能再扩充壹些大魔神以上の强者,或许对咱们城主府の势力会有比较大の帮助只是这些 人并不好招丶"魔石叹道丶而且他也并不想,总是让自己老婆在背后,替自己处理这圣城中の事情让自己老婆置于危险之中丶如今在这南风圣城中,怕是魔仙就不止五六位了吧,若是城主府中连壹位魔仙都没有,那完全没得玩了丶有些强者,隐藏在城中,也不可能让你壹个壹个去做登记之类の 丶过了壹会尔,宏七让魔石先去休息了,他取出了城主令,呼唤起了老城主丶"有什
高中数学人教版选修1-2_模块复习课 第二课 推理与证明 (共50张PPT)精选ppt课件
=2ab(p-q)2. 因为a,b同号,所以2ab(p-q)2≥0. 所以原不等式成立.
【方法技巧】转化与化归思想的内涵与应用 (1)内涵:转化与化归的思想就是在处理问题时,通过某 种转化过程,化归为一类已经解决或比较容易解决的问 题,最终使问题化繁为简、化难为易.
(2)应用:本章内容中转化与化归思想主要应用于以下 几个方面:归纳推理中特殊到一般的转化;演绎推理中 一般到特殊的转化;分析法中结论与条件的转化;反证 法中正难则反的转化;数学归纳法中无限与有限的转化 等.
【方法技巧】 1.归纳推理的特点及一般步骤
2.类比推理的特点及一般步骤
【变式训练】对命题“正三角形的内切圆切于三边的 中点”,可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面各 正三角形的位置是 ( ) A.各正三角形内的任一点 B.各正三角形的中心 C.各正三角形边上的任一点 D.各正三角形的某中线的中点
2.反证法的证题思想 否定结论,提出假设 ↓ 逻辑推理,导出矛盾 ↓ 否定假设,肯定结论
【变式训练】已知直线a与b不共面,c∩a=M,b∩c=N,a∩ 面α=A,b∩面α=B,c∩面α=C. 求证:A,B,C三点不共线. 【证明】假设A,B,C三点共线于直线l,
因为A,B,C∈α,所以l⊂α. 因为c∩l=C,所以c与l确定一平面β. 因为c∩a=M,所以M∈β.又A∈l, 所以a⊂β,同理b⊂β, 所以a,b共面,与已知a,b不共面矛盾, 故A,B,C三点不共线.
课 推理与证明
【网络体系】
【核心速填】 1.合情推理 (1)归纳推理:由_____到_____、由_____到_____的推理.
部分 整体 个别 一般 (2)类比推理:由_____到_____的推理. (3)合情推理:归纳特推殊理和特类殊比推理都是根据已有的事 实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比, 然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.
2014年人教A版选修1-2课件 第二章小结(推理与证明)
7. 反证法 假设原命题不成立, 经过正确推理, 最后 得出矛盾, 从而否定假设, 而得原命题成立.
反证法就是对原命题的逆否命题的证明.
反证法是间接证明的一种基本方法. 要点: (1) 假设命题不成立要作为条件应用. (2) 推证的结论不能与反证过程中已用的条 件相矛盾.
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例1. 观察 (x2)=2x, (x4)=4x3, (cosx)= -sinx, 由 归纳推理可得: 若定义在 R 上的函数, f(x) 满足 f(-x) =f(x). 记 g(x) 为 f(x) 的导函数, 则 g(-x)= ( D ) (A) f(x) (B) -f(x) (C) g(x) (D) -g(x) 分析: x2, x4, cosx 都是偶函数, 满足 f(x)=f(-x). 它们的导函数 g(x) 为 2x, 4x3, -sinx, 都是奇函数, ∴g(-x)= -g(x). (由部分对象的相同特征归纳)
2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ第二 章小结
本章小结
知识要点 例题选讲
复习参考题 自我检测题
1. 归纳推理
由某事物的部分对象具有某些特征, 推出该 类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者 由个别事实概括出一般结论的推理, 即由部分到 整体, 由个别到一般.
(1) 在部分对象中寻找相同特征, 推出所有对 象都有这样的特征.
例2. 观察下列各式: 55=3125, 56=15625, 57=78125, … 则 52013的末四位数字为 ( A ) (A) 3125 (B) 5625 (C) 0625 (D) 8125 分析: 56 与 55 的末四位之差为 5625-3125=2500, 57 与 56 的末四位之差为 8125-5625=2500. 猜测: 5n+1 比 5n 末四位多 2500. 而 4 个2500 等于 10000,
高中数学人教A版选修1-2第二章 2.1 2.1.2 演绎推理课件
(3)模式：三段论．
2．三段论 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
[点睛] 用集合的观点理解三段论 若集合 M 的所有元素都具有性质 P，S 是 M 的一个子 集，那么 S 中所有元素也都具有性质 P.
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
2．1.2 演绎推理
预习课本 P30～33，思考并完成下列问题
(1)什么是演绎推理？它有什么特点？ (2)什么是三段论？一般模式是什么？ (3)合情推理与演绎推理有什么区别与联系？
[新知初探]
1．演绎推理
(1)概念：从一般性的原理 出发，推出某个特殊情况 下的 结论 ，我们把这种推理称为演绎推理．
演绎推理在几何中的应用
[典例] 如图所示，D，E，F 分别是 BC， CA，AB 边上的点，∠BFD=∠A，DE∥BA，求 证：DE=AF.写出“三段论”形式的演绎推理．
[解] (1)同位角相等，两直线平行，(大前提) ∠BFD 和∠A 是同位角，且∠BFD=∠A，(小前提) 所以 DF∥AE.(结论)
D．大前提：π 是无限不循环小数；小前提：π 是无理数；结论： 无限不循环小数是无理数
解析：选 B 对于 A，小前提与大前提间逻辑错误，不 符合演绎推理三段论形式；对于 B，符合演绎推理三段 论形式且推理正确；对于 C，大小前提颠倒，不符合演 绎推理三段论形式；对于 D，大小前提及结论颠倒，不 符合演绎推理三段论形式.
演绎推理在代数中的应用 [典例] 已知函数 f(x)＝ax＋xx－ ＋21(a＞1)，求证：函数 f(x)在 (－1，＋∞)上为增函数． [证明] 对于任意 x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，若 f(x1) ＜f(x2)，则 y＝f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．(大前提) 设 x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，
人教A版高中数学高二选修1-2配套课件 第二章 推理与证明
B．至少有一个大于 2
C．至少有一个不小于 2
D．至少有一个不大于 2
[解析] 假设都小于 2，则(a＋1b)＋(b＋1c)＋(c＋1a)＜6，而 a＋1b＋b＋1c＋c
＋1a＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c≥2＋2＋2＝6.矛盾．
3．实数a、b、c不全为D0等价于( ) A．a、b、c均不为0 B．a、b、c中至多有一个为0 C．a、b、c中至少有一个为0 D．a、b、c中至少有一个不为0 [解析] “不全为0”的含义是至少有一个不为0，其否 定应为“全为0”．
1．反证法的定义
矛盾
错一误般地，假设原命题成不立成立，经过正确的推理，最后得 出______，因此说明假设______，从而证明了原命题 ______，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明 的一种基本方法．
2．反证法证题的原理
(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．
3．反证法常见的矛盾类型
又因为(1－a)·a＜(1－a2＋a)2＝14，(1－b)·b＜14，(1－c)·c＜14， 所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c＜614. 这与假设矛盾，因此假设不成立． 所以(1－a)b·(1－b)c·(1－c)a 不可能同时大于14.
命题方向3 ⇨用反证法证明存在性、唯一性命题
典例 2 求证：方程 2x＝3 有且只有一个根． [思路分析] 本题中“有且只有”含有两层含义：一层为“有”即存在； 另一层为“只有”即唯一性，证明唯一性常用反证法．
准确写出反设
典例 4
已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求
证：a>0，b>0，c>0.
[错解] 假设a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，
高中数学 《合情推理与演绎证明》课件28 新人教A版选修1-2
开普勒
( Ke
pler , 1571
1630 ) 说 :
" 我珍惜类
比胜过任何
别的东西
,它
是我最可信
赖的老师
,它
能揭示自然
界的秘密
."
根 据 同 样 的 思 路, 我 们 还 可 以 定 义 并 且 研 究4维 球、5维 球 直 至n维 球.研 究n维 球 时,总 可 以
类比n 1维球的情形,从中获
为归纳推理 简称归纳 .简言之 ,归纳推理是由
部分到整体、由个一别般到的推. 理
例 如 ,由 铜 、 铁 、 铝 、 金 、 银等 金 属 能 导 电, 归 纳 出" 一 切 金 属 都 能 导 电" ;由 直 角 三 角 形 、 等 腰 三 角 形 、 等 边 三 角形 的 内 角 和 都 是180 0, 归 纳 出" 所 有 三 角 形 的 内 角 和 都是180 0 " 这 些 都 是 归 纳 推 理.在 统 计 学 中,我 们 总 是 从 所 研 究 的 对 象 全 体 中 抽取 一 部 分 进 行 观 测 或 试 验 以 取 得 信 息,从 而 对 整 体 作 出 推 断,这 也 是 归 纳 推 理.
思考科学家做出上述 推猜 理想 过的 程是怎 ? 样
在提出上述猜想,过 科程 学中 家对比了火球 星与 之间的某些相似 ,然特后征从地球的一特 个征 已知 (有性命存)出在发 ,猜测火星也可能个 具特 有征 .这
2019_2020学年高中数学第二章推理与证明课件新人教A版选修1_2
(2)在等差数列{an}中，设公差为 d， 则aamm＋＋nn＝＝aamn＋＋mndd＝＝ab＋＋nmdd，，所以 am＋n＝bnn－－amm. 在等比数列{bn}中，设公比为 q， 则bbmm＋＋nn＝＝bbmn··qqmn＝＝ab··qqnm，，
n－m 所以 bm＋n＝
bn am.
1．观察下列各等式：2－2 4＋6－6 4＝2，5－5 4＋3－3 4＝2，7－7 4＋ 1－1 4＝2，101－0 4＋－－2－2 4＝2，依照以上各式成立的规律，得到 一般性的等式为( ) A.n－n 4＋（8－8－n）n －4＝2 B.（n＋n＋1）1 －4＋（（nn＋＋11））＋－54＝2 C.n－n 4＋（n＋n＋4）4 －4＝2 D.（n＋n＋1）1 －4＋（n＋n＋5）5 －4＝2
主题 2 直接证明(综合法与分析法)
试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知
α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤1－sincoαs α.
【证明】 法一：(分析法)
要证
2sin
2α≤1－sincoαs
成立， α
只需证 4sin αcos α≤1－sincoαs α.
因为 α∈(0，π)，所以 sin α>0.
1.设 x，y 为正实数且 x＋y＝1，求证： (1＋1x)(1＋1y)≥9. 证明：左边＝(1＋x＋x y)(1＋x＋y y)＝(2＋xy)(2＋xy)＝ 4＋2(xy＋xy)＋1≥5＋4＝9.所以原不等式成立．
2．当 a≥2 时，求证： a＋1－ a< a－1－ a－2. 证明：要证 a＋1－ a< a－1－ a－2， 只需证 a＋1＋ a－2< a＋ a－1， 只需证( a＋1＋ a－2)2<( a＋ a－1)2， 只 需 证 a ＋ 1 ＋ a － 2 ＋ 2 （a＋1）（a－2） <a ＋ a － 1 ＋ 2 a（a－1），只需证 （a＋1）（a－2）< a（a－1）， 只需证 a2－a－2<a2－a，只需证－2<0. 因为－2<0 显然成立， 所以 a＋1－ a< a－1－ a－2成立．
高中数学 第二章 推理与证明本章整合课件 新人教A版选修1-2
网络构建 专题 一 专题 二
专题归纳
解 :(1)∵f(x)=ax3+bx+c, ∴f'(x)=3ax2+b. 由已知 f(x)在点 x=2 处取得极值 c-16, ������'(2) = 0, 得 ������(2) = ������-16, 12������ + ������ = 0, 即 8������ + 2������ + ������ = ������-16, 12������ + ������ = 0, ������ = 1, 即 解得 4������ + ������ = -8. ������ = -12.
网络构建 专题 一 专题 二
专题归纳
证法一:(分析法)①当 ac+bd ≤0 时 ,显然成立. ②当 ac+bd>0 时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd )2≤(a 2+b2)(c2+d2). 即证 a 2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a 2d2+b2c2+b 2d2. 即证 2abcd≤b2c2+a2d2. 即证 0≤(bc-ad )2. ∵a ,b ,c,d ∈R,∴上式恒成立, 故原不等式成立.综合①②知,命题得证. 证法二:(综合法)∵(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a 2d2+b2c2+b2d 2 =(a 2c2+2abcd+b2d2)+(b 2c2-2bcad+a 2d2) =(ac+bd )2+(bc-ad )2≥(ac+bd)2, ∴ (������ 2 + ������ 2)(������ 2 + ������ 2)≥|ac+bd|≥ac+bd.
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证法2:∵a、b、c为 不相等正数 ，且abc = 1，
1 1 1 ∴ a+ b+ c = + + bc ca ab 1 1 1 1 1 1 + + + b c + c a + a b = 1 + 1 +1. < 2 2 2 a b c
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
二.分析法
例：已知a > 5，求证 ：
• • • • • • • •
a -5 - a -3 <
证明: a -5 - a -3 < a -2 - a 要证 只需证 a - 5 a < a - 2 + a - 3 只需证 a(a - 5)< (a - 2)(a - 3) 只需证 a(a - 5)<(a - 2)(a - 3) 只需证 0 < 6 0 < 6 成立. 因为 所以 a - 5 - a - 3 < a - 2 - a 成立.
Байду номын сангаас
作业：
１:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点, 证明这n条直线把平面分成f(n)＝(n2+n+2)/2个区域.
问题:如图;已知L1、L2 是异面直线且
A、B∈ L1,C、D∈ L2,,
求证;AC,SD也是异面直线.
C D
L1
a
L2
A
B
五.归纳、类比、猜想、证明
例：在各项为正的数列{a n }中，数列的前n项 1 1 和s n 满足s n = (a n + ) 2 an （1）求a1、a 2、a 3； （2）由（1）猜想到数列{a n }的通项公式， 并用数学归纳法证明你的猜想。
例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2. 证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又 f(2)=2•(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足 题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中 的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k 条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l 必与平面内其他k条直线都相交,有k个交点.
第二章 推理与证 明复习小结
知识结构
合情推理 推理 推 理 与 证 明 证明 间接证明 演绎推理 比较法
归纳推理 类比推理
直接证明
综合法 分析法 反证法
数学归纳法
一.综合法
例.已知a、b、c 为不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证求 ：a + b + c < + + . a b c
1 1 1 ∴ + + = bc + ca + ab a b c
证 法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ，且abc = 1，
bc + ca ca + ab ab + bc = + + 2 2 2
>
abc +
2
a bc +
2
ab c =
2
a + b + c.
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
例.已知a、b、c 为 不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证求 ：a + b + c < + + . a b c
a - 2 - a.
问题一:
三:反证法
求证:两条相交直线有且只有一个交点.
注:1.结论中的有且只有(有且仅有)形式出现, 是唯一性问题,常用反证法 2.有且只有的反面包含1)不存在;2)至少两个.
问题二:求证一元二次方程至多 ------有两个不相等的实根.
注:所谓至多有两个,就是不可能有三个,要 证“至多有两个不相等的实根”只要证明 它的反面“有三个不相等的实根”不成立即 可.
又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k 个交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个 交点也两两不相同. 从而平面内交点的个数是 k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2 =(k+1)[(k+1)-1]/2. 这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为: f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2. 根据(1)、(2)可知,命题对一切大于1的正整数都成 立. 说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当 n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.
注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论: (1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线, ---则: f(n)=n2. (2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域. 练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 ------的条数f(n+1)=f(n)+_________. n-1 练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将 空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成 f(k+1)=f(k)+__________个区域. 2k
例：有下列各式： 1 1> , 2 1 1 1+ + > 1, 2 3 1 1 1 1 1 1 3 1+ + + + + + > , 2 3 4 5 6 7 2 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + > 2 2 3 4 5 6 7 15 你能得到怎样的一般不等式，并加以证明。