同济大学第六版高等数学第一章综合测试题答案

第一章综合测试题解答

一、1．[1,2) 2

．()g x =

3．

11e

- 4．ln 5

5

．[

二、1．（C ） 2．(B) 3．（D ） 4.（D ） 5.（C ） 三、解 2

0,0,

0, ()00, 0,

1

()(||)[()],0.

(),()0,0,

2x x x f x x x f x x x x x x x ϕϕϕϕ<<<⎧⎧⎧=

+===⎨⎨⎨≥≥≥⎩⎩⎩ 2

1()0,[()](||).2

f x f x x x x ϕ≥∴=

+

四、解 1、令2x t -=，则2x →时，0t →，

∴ 原式0

(4)16

lim (4)cot

lim

cos

4

4

4

t t t t

t t t t t

π

π

π

π

→→-=-==

.

2、原式=2

3

2

2

1

1

1

13

(1)(2)(2)lim

lim

lim

11(1)(1)

1x x x x x x x x x

x x x x x

→→→++--+-+===---++++.

3、设11

()31x

f x x =+-，原式=()()

1

()lim 1()xf x f x x f x →+∞⎧⎫+⎨⎬

⎩⎭

.

1

1

11lim ()lim [

31]lim lim (31)

1 1lim ln 31ln 3,

x x x x x x x xf x x x x x

x

x x

→+∞

→+∞

→+∞

→+∞

→+∞

=+-=⋅

+-=+⋅

=+

∴ 原式1ln 3

3.e

e +== 4、

2

2

2

2

2

1212121

2

1

n

n n

n n

n n n n

n ++++++≤

+

++

≤

+++++ ，

2

2

2

12(1)112lim

lim

lim

,1

2(1)

2

n n n n

n n n

n n n n

→∞

→∞

→∞

+++++++==

=+++

∴ 原式12

=.

5、1/1/0

1101lim arctan

=

();101

2

2

x x

x e e x ππ-

→++⋅-

=

--

+

+

1/1/1/1/0

1111 lim arctan

=lim arctan

,1

12

x x x

x

x x e e e

x

e

x

π--→→++=

--

∴ 原式2

π

=

.

五、解 当0x <时，2

(4)()sin x x f x x

π-=

为初等函数，()f x 在点()x n n Z =-∈处无定义，

2

2

2

2

2

(4)(4)

8

lim ()lim

lim

;sin (2)

x x x x x x x f x x

x πππ

→-→-→---===

+ lim ()1,3,4,;x n

f x n →-=∞= ，

当0x >时，2

(1)()1

x x f x x +=-为初等函数，()f x 在点1x =处无定义，1

lim ();x f x →=∞

0x =在点处，2

2

(4)4

(1)lim ()lim ,

lim ()lim 0;sin 1

x x x x x x x x f x f x x

x ππ

--

++

→→→→--+==

==-

综上，()f x 的间断点为=(),x k k Z +-∈=0x 与1x =，且2x =-为可去间断点（第一类），=0x 为跳跃间断点（第一类），(1,3,4,)x n n =-= 与1x =为无穷间断点（第二类）.

()f x 在其它点处皆连续.

六、解

lim

lim

lim

x x x A

βα

→+∞

→+∞

→+∞

==

)

3

2

1

lim

21 lim 111,2

k

x k

x A

x x

A x x →+∞

-→+∞

+=-⎛⎛⎫

=-

++= ⎪ ⎪⎝

⎝⎭

31;2

4

k A ∴=

=-

七、解 2

2

42

00

1/2()sin 3()lim

lim

lim

5,1/3()

2x x x f x x f x x f x x

→→→⋅===⋅

2

()10lim

.3

x f x x

→∴=

八、证明：由已知，得(0)2(0)f f =，(0)0f ∴=.

(,)x ∀∈-∞+∞，()()()f x x f x f x +∆=+∆. 由)(x f 在0x =处连续性，得

lim [()()]lim ()(0)0.x x f x x f x f x f ∆→∆→+∆-=∆==

从而)(x f 在点x 处连续性，由x 的任意性，)(x f 在(,)-∞+∞内连续.