离散数学第六章作业答案
离散数学-第六章集合代数课后练习习题及答案
第六章作业评分要求：1. 合计57分2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由).3. 总得分在采分点1处正确设置.一有限集合计数问题(合计20分: 每小题10分, 正确定义集合得4分, 方法与过程4分, 结果2分)要求: 掌握集合的定义方法以及处理有限集合计数问题的基本方法1 对60个人的调查表明, 有25人阅读《每周新闻》杂志, 26人阅读《时代》杂志, 26人阅读《财富》杂志, 9人阅读《每周新闻》和《财富》杂志, 11人阅读《每周新闻》和《时代》杂志, 8人阅读《时代》和《财富》杂志, 还有8人什么杂志也不读.(1) 求阅读全部3种杂志的人数;(2) 分别求只阅读《每周新闻》、《时代》和《财富》杂志的人数.解定义集合: 设E={x|x是调查对象},A={x|x阅读《每周新闻》}, B={x|x阅读《时代》}, C={x|x阅读《财富》}由条件得|E|=60, |A|=25, |B|=26, |C|=26, |A∩C|=9, |A∩B|=11, |B∩C|=8, |E-A∪B∪C|=8 (1) 阅读全部3种杂志的人数=|A∩B∩C|=|A∪B∪C|－(|A|+|B|+|C|)+(|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|)=(60-8)－(25+26+26)+(11+9+8)=3(2) 只阅读《每周新闻》的人数=|A－B∪C|=|A－A∩(B∪C)|=|A－(A∩B)∪(A∩C)|=|A|－(|A∩B|+|A∩C|－|A∩B∩C|)=25－(11+9-3)=8同理可得只阅读《时代》的人数为10, 只阅读《财富》的人数为12.2 使用容斥原理求不超过120的素数个数.分析:本题有一定难度, 难在如何定义集合. 考虑到素数只有1和其自身两个素因子, 而不超过120的合数的最小素因子一定是2,3,5或7(比120开方小的素数), 也就是说, 不超过120的合数一定是2,3,5或7的倍数. 因此, 可定义4条性质分别为2,3,5或7的倍数, 先求出不超过120的所有的合数, 再得出素数的个数.解定义集合: 设全集E={x|x∈Z∧1≤x∧x≤120}A={2k|k∈Z∧k≥1∧2k≤120},B={3k|k∈Z∧k≥1∧3k≤120},C={5k|k∈Z∧k≥1∧5k≤120},D={7k|k∈Z∧k≥1∧7k≤120}.则不超过120的合数的个数=|A∪B∪C∪D|－4 (因为2,3,5,7不是合数)=(|A|+|B|+|C|+|D|)－(|A∩B|+|A∩C|+|A∩D|+|B∩C|+|B∩D|+|C∩D|)+(|A∩B∩C|+|A∩B∩D|+|A∩C∩D|+|B∩C∩D|)－|A∩B∩C∩D|－4=(60+40+24+17)－(20+12+8+8+5+3)+(4+2+1+1)－0－4 (理由见说明部分)=89因此不超过120的素数个数=120－1－89=30 (因为1不是素数)说明: |A|=int(120/2); |A⋂B|=int(120/lcd(2,3));|A⋂B⋂C|=int(120/lcd(2,3,5)); |A⋂B⋂C⋂D|=int(120/lcd(2,3,5,7)).二集合关系证明1 设A,B,C是任意集合, 证明(1) (A－B)－C=A－(B∪C)(2) A∩C⊆B∩C ∧A－C⊆B－C ⇒A⊆B(合计12分: 每小题6分; 格式3分, 过程每错一步扣1分)证明(1) 逻辑演算法: ∀x,x∈(A－B)－C⇔x∈(A－B)∧¬x∈C (－定义)⇔(x∈A∧¬x∈B)∧¬x∈C (－定义)⇔x∈A∧(¬x∈B∧¬x∈C) (∧的结合律)⇔x∈A∧¬(x∈B∨x∈C) (德摩根律)⇔x∈A∧¬x∈B∪C (∪定义)⇔x∈A－B∪C (－定义)所以(A－B)－C=A－(B∪C).集合演算法(A－B)－C=(A∩~B)∩~C (补交转换律)=A∩(~B∩~C) (∩的结合律)=A∩~(B∪C) (德摩根律)=A－(B∪C) (补交转换律)得证.(2) 逻辑演算法: ∀x,x∈A⇔x∈A∩(C∪~C) (排中律, 同一律)⇔x∈(A∩C)∪(A∩~C) (∪对∩的分配率)⇔x∈A∩C∨x∈A－C (∪的定义, 补交转换律)⇒x∈B∩C∨x∈B－C (已知条件A∩C⊆B∩C与A－C⊆B－C) ⇔x∈(B∩C)∪(B－C) (∪的定义)⇔x∈(B∩C)∪(B∩~C) (补交转换律)⇔x∈B∩(C∪~C) (∩对∪的分配率)⇔x∈B (排中律, 同一律)所以A⊆B.集合演算法A=A∩(C∪~C) (同一律, 排中律)=(A∩C)∪(A∩~C) (∩对∪的分配率)=(A∩C)∪(A－C) (补交转换律)⊆(B∩C)∪(B－C) (已知条件A∩C⊆B∩C与A－C⊆B－C)=(B∩C)∪(B∩~C) (补交转换律)=B∩(C∪~C) (∩对∪的分配率)=B (排中律, 同一律)得证.方法三因为A∩C⊆B∩C, A－C⊆B－C, 所以(A∩C)∪(A－C)⊆(B∩C)∪(B－C)|, 整理即得A⊆B, 得证.2 求下列等式成立的充分必要条件(1) A－B=B－A(2) (A－B)∩(A－C)=∅(合计10分: 每小题5分; 正确给出充分必要条件2分, 理由3分)解(1) A－B=B－A方法一两边同时∪A得: A=(B－A)∪A=B∪A ⇒B⊆A; 同理可得A⊆B, 综合可得A=B.另一方面, 当A=B时显然有A－B=B－A. 因此所求充要条件为A=B.方法二∀x,x∈A－B∧x∈B－A⇔x∈(A－B)∩(B－A)⇔x∈∅所以A－B=B－A⇔A－B=∅∧B－A=∅⇔A⊆B ∧B⊆A⇔A=B因此A=B即为所求.(2) (A－B)∩(A－C)=∅⇔(A∩~B)∩(A∩~C)=∅⇔A∩(~B∩~C)=∅⇔A∩~(B∪C)=∅⇔A－(B∪C)=∅⇔A⊆B∪C所以A⊆B∪C即为所求充要条件.说明: 这类题型一般先求出必要条件, 再验证其充分性.三设全集为n元集, 按照某种给定顺序排列为E={x1,x2,…,x n}. 在计算机中可以用长为n的0,1串表示E的子集. 令m元子集A={x i1,x i2,…,x im}, 则A所对应的0,1串为j1j2…j n, 其中当k=i1,i2,…,i m时j k=1, 其它情况下j k=0.例如, E={1,2,…,8}, 则A={1,2,5,6}和B={3,7}对应的0,1串分别为11001100和00100010.(1)设A对应的0,1串为10110010, 则~A对应的0,1串是什么?(2) 设A与B对应的0,1串分别为i1i2…i n和j1j2…j n, 且A∪B, A∩B, A－B, A⊕B对应的0,1串分别为a1a2…a n, b1b2…b n, c1c2…c n, d1d2…d n, 求a k,b k,c k,d k, k=1,2,…,n.(合计15分: (1)3分; (2)12分, 每个结果正确2分, 求解过程4分)解下述运算是二进制数的位运算(1) 01001101(2) a k=i k∨j k, b k=i k∧j k, c k=i k∧¬j k, d k=(i k∧¬j k)∨(¬i k∧j k).说明: 这里c k和d k的求解可以使用主范式求解.c k,d k的真值表如下k kc k⇔m2=i k∧¬j kd k⇔m1∨m2=(¬i k∧j k)∨(i k∧¬j k).。
离散数学作业6_集合与关系答案
离散数学作业作业6 ——等价关系1. 设R和S均为A上的等价关系，确定下列各式，哪些是A上的等价关系？如果是，证明之；否则，举反例说明。
（1）R∩S （2）R∪S （3）r (R-S)（4）R- S （5）R◦S （6）R2解：(1),(6)正确，其余错误。
2. R是集合A上的二元关系， a,b,c ,若aRb,且bRc,有cRb,则称R 是循环关系。
证明R是自反和循环的，当且仅当R是一等价关系。
分析: 需要证明两部分:(1)已知R是自反和循环的，证明:R是一等价关系(2)已知R是一等价关系, 证明R是自反和循环的.证明：（1）先证必要性。
只需要证明R是对陈的和传递的。
任取(x,y)∈R。
因为R是自反的，所以(y,y)∈R。
由R是循环的可得(y,x)∈R，即R是对陈的。
任取(x,y)，(y,z)∈R。
因R是循环的，所以(z,x)∈R。
由R对称性得(x,z)∈R，即R是传递的。
（2）证充分性。
只需要证明R是循环的。
任取(x,y)，(y,z)∈R，下证(z,x)∈R。
由于R是传递的，所以(x,z)∈R。
又由R是对称的得(z,x)∈R。
所以R是循环的。
3. 设|A|=n ，在A 上可以确定多少个不同的等价关系？解：2n!/((n+1)n!n!)4. 给定集合S={ 1 , 2 , 3, 4, 5 }，找出S 上的等价关系R ，此关系R 能够产生划分{{1，2}，{3}，{4，5}}，并画出关系图。
解：{(1,2),(2,1),(4,5),(5,4)}S R I =⋃5. 设A={1，2，3，4，5}。
R 是集合A 上的二元关系，其关系矩阵如下图所示。
求包含R 的最小等价关系和该等价关系所确定的划分。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0010001000000000101000001RM 分析: 可以证明tsr(R)是包含R 的最小等价关系.解：包含R 的最小等价关系的矩阵表示如下：1000001010001010101000101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭上述等价关系确定的划分为{{1},{2,4},{3,5}}.6. 自学华氏(WalShall)算法，写出算法的基本概念、基本步骤和一个求解传递闭包的具体实例，并可清晰讲解算法整体实现过程。
离散数学-第六章习题答案
第6章习题答案1．列举出从X到Y的关系S的各元素（1）X={0，1，2}，Y={0，2，4}，S={<x，y>|x+y∈X⋂Y}（2）X={1，2，3，4，5}，Y={1，2，3}，S={<x，y>|x=y2，x∈X，y∈Y}解：（1）S={<0，0>，<0，2>，<2，0>}（2）S={<1，1>，<4，2>}2．设P={<1，2>，<2，4>，<3，3>}Q={<1，3>，<2，4>，<4，2>}求dom（P），ran（P），并证明：dom（P⋃Q）=dom（P）⋃dom（Q）解：dom（P）={1，2，3}ran（P）={2，3，4}证明：对于任意xx∈dom（P⋃Q）⇔∃y（<x，y>∈P⋃Q）⇔∃y（<x，y>∈P∨<x，y>∈Q）⇔∃y（<x，y>∈P）∨∃y（<x，y>∈Q）⇔ x∈dom（P）∨x∈dom（Q）⇔ x∈dom（P）⋃dom（Q）所以，dom（P⋃Q）=dom（P）⋃dom（Q）3．若关系R和S自反的，对称的和传递的，证明：R⋂S也是自反的，对称的和传递的。
证明：设R和S是集合A上的关系。
因为R和S是自反的，所以，对于A中的任意元素x，有<x，x>∈R和<x，x>∈S。
因此<x，x>∈R⋂S，即R⋂S是自反的。
因为R和S是对称的，所以对于任意<x，y>，<x，y>∈R⋂S⇔<x，y>∈R∧<x，y>∈S⇔<y，x>∈R∧<y，x>∈S⇔<y，x>∈R⋂S因此，R⋂S是对称的。
因为R和S是传递的，所以对于任意<x，y>和<y，z><x，y>∈R⋂S ∧<y，z>∈ R⋂S⇔<x，y>∈R∧<x，y>∈S∧<y，z>∈ R∧<y，z>∈ S⇔（<x，y>∈R∧<y，z>∈ R）∧（<x，y>∈S ∧<y，z>∈ S）⇔<x，z>∈R∧<x，z>∈ S⇔<x，z>∈R⋂S因此，R⋂S是传递的。
离散数学习题解答第6部分(图论)
离散数学习题解答 习题六 （第六章 图论）1．从日常生活中列举出三个例子，并由这些例子自然地导出两个无向图及一个向图。
[解] ①用V 代表全国城市的集合，E 代表各城市间的铁路线的集合，则所成之图G=（V ，E ）是全国铁路交通图。
是一个无向图。
②V 用代表中国象棋盘中的格子点集，E 代表任两个相邻小方格的对角线的集合，则所成之图G=（V ，E ）是中国象棋中“马”所能走的路线图。
是一个无向图。
③用V 代表FORTRAN 程序的块集合，E 代表任两个程序块之间的调用关系，则所成之图G+（V ，E ）是FORTRAN 程序的调用关系图。
是一个有向图。
2．画出下左图的补图。
[解] 左图的补图如右图所示。
3．证明下面两图同构。
a v 2 v 3 v 4图G图G ′[证] 存在双射函数ϕ:V →V ′及双射函数ψ : E →E ′ϕ (v 1)=v 1′ ϕ (v 1，v 2)=(v 1′，v 2′) ϕ (v 2)=v 2′ ϕ (v 2，v 3)=(v 2′，v 3′) ϕ (v 3)=v 3′ ϕ (v 3，v 4)=(v 3′，v 4′) ϕ (v 4)=v 4′ ϕ (v 4，v 5)=(v 4′，v 5) ϕ (v 5)=v 5′ ϕ (v 5，v 6)=(v 5′，v 6′) ϕ (v 6)=v 6′ϕ (v 6，v 1)=(v 6′，v 1′) ϕ (v 1，v 4)=(v 1′，v 4′) ϕ (v 2，v 5)=(v 2′，v 5′) ϕ (v 3，v 6)=(v 3′，v 6′)显然使下式成立：ψ (v i ，v j )=(v i ,v j ′)⇒ ϕ (v i )=v i ′∧ϕ (v j )=v j ′ (1≤i ·j ≤6) 于是图G 与图G ′同构。
4．证明（a ），（b ）中的两个图都是不同构的。
图G 中有一个长度为4的圈v 1v 2v 6v 5v 1，其各顶点的度均为3点，而在图G ′中却没有这样的圈，因为它中的四个度为3的顶点v 1'，v 5'，v 7'，v 3'不成长度的4的圈。
离散数学(第五版)清华大学出版社第6章习题解答
离散数学（第五版）清华大学出版社第6章习题解答6.1 A:⑨; B:⑨; C:④; D:⑥; E:③分析对于给定的集合和运算判别它们是否构成代数系统的关键是检查集合对给定运算的封闭性,具体方法已在5.3节做过说明. 下面分别讨论对各种不同代数系纺的判别方法.1°给定集合S和二元运算°,判定<S, °>是否构成关群、独导点和群.根据定义，判别时要涉及到以下条件的验证：条件1 S关于°运算封闭：条件2 °运算满足结合集条件3 °运算有幺元，条件4 °∀x∈S,x−1∈S.其中关群判定只涉及条件1和2；独导点判定涉及条件1、2、和3；而群的判定则涉及到所有的四个条件。
2 ° 给定集合S和二元运算°和*，判定<S, °, *>是否构成环,交换环,含幺环,整环,域.根据有关定义需要检验的条件有:条件1 <S, °>S构成交换群,条件2 <S, *> 构成关群,条件3 * 对°运算的分配律,条件4 * 对运算满足交换律,条件5 * 运算有幺元,条件6 * 运算不含零因子——消去律，条件7 |S|≥2,∀x∈S,x≠0,有x−1∈S（对*运算）.其中环的判定涉及条件1,2和3;交换环的判定涉及条件1,2,3和4;含幺环的判定涉及条件1,2,3和5;整环的判定涉及条件1-6;而域的判定则涉及全部7个条件. 3° 判定偏序集<S,≤>或代数系统<S,o,*>是否构成格、分本配格、有补格和布尔格. 73若<S,≤>为偏序集,首先验证∀x,y∧y和x∨y是否属于S.若满足条件则S为格,且<S,∨,∧>构成代数系统.若<S,o,*>是代数系统且°和*运算满足交换律、结合律和吸收律，则<S,o,*>构成格。
离散数学 尹宝林版 第6章作业答案
第六章习题答案2. 设P = {< 1, 2 >, < 2, 4 >, < 3, 3 >}，Q = {< 1, 3 >, < 2, 4 >, < 4, 2 >}找出P⋃Q, P⋂Q, dom(P), dom(Q), ran(P)及ran(Q)，并证明：dom(P ⋃ Q) = dom(P) ⋃ dom(Q)ran(P⋂ Q) ⊆ ran(P) ⋂ ran(Q)解P ⋃ Q ={< 1, 2 >, < 2, 4 >, < 3, 3 >, < 1, 3 >, < 4, 2 >}，P ⋂ Q ={< 2, 4 >}dom(P)={1, 2, 3}，dom(Q)= {1, 2, 4}，ran(P) = {2, 3, 4}，ran(Q) = {2, 3, 4}。
x∈ dom(P⋃Q)⇔∃y (< x, y > ∈ P ⋃ Q)⇔∃y (< x, y > ∈ P∨ < x, y > ∈ Q)⇔∃y (< x, y > ∈ P) ∨∃y (< x, y > ∈ Q)⇔ x∈ dom(P) ∨ x∈ dom(Q)⇔ x∈ dom(P) ⋃ dom(Q)y∈ ran(P⋂ Q)⇔∃x (< x, y > ∈ P⋂Q)⇔∃x (< x, y > ∈ P ∧ < x, y > ∈ Q)⇒∃x (< x, y > ∈ P) ∧∃x (< x, y > ∈ Q)⇔y∈ ran(P) ∧ y∈ ran(Q)⇔y∈ ran(P) ⋂ ran(Q)如上例，ran(P⋂ Q) = {4}⊂ {2, 3, 4} = ran(P) ⋂ ran(Q)3. 若关系R和S自反的，对称的和传递的，证明：R⋂S也是自反的，对称的和传递的。
离散数学微课版第六章课后答案
离散数学微课版第六章课后答案离散数学是一门重要的数学课程，它涉及数学中的许多基本概念，如逻辑、集合、函数和图论。
离散数学微课版第六章的主要内容是图论，图论是离散数学的重要组成部分。
本章主要讨论了图的基本概念、图的结构和图的表示方法。
图的基本概念是指图的元素，它由顶点和边组成。
顶点是图中的一个点，它可以是一个实体或一个抽象的概念，而边是两个顶点之间的关系。
图的结构是指图中顶点和边之间的关系，它可以是连通的、无向的或有向的。
连通的图中，任意两个顶点都有一条路径可以相连；无向图中，边的两个顶点之间没有方向性；有向图中，边的两个顶点之间有方向性。
图的表示方法有多种，其中最常用的是邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵是一个二维矩阵，它用来表示图中顶点之间的关系，如果顶点u和v之间有边，那么矩阵中的对应元素为1，否则为0；而邻接表则用一维数组来表示图中顶点之间的关系，它将每个顶点与其相邻顶点列出来，以此来表示图中的边。
离散数学微课版第六章课后答案是指离散数学微课版第六章的课后习题答案，其中包括了有关图的基本概念、图的结构和图的表示方法的习题。
答案可以帮助学生更好地理解图论的概念，并能够熟练地使用图的表示方法。
本章的课后习题答案可以帮助学生更好地理解图论，并能够熟练地使用图的表示方法。
首先，学生需要了解图的基本概念，包括顶点和边，并能够识别连通图、无向图和有向图；其次，学生需要了解图的表示方法，包括邻接矩阵和邻接表，并能够熟练地使用它们。
离散数学微课版第六章课后答案的重要性在于，它可以帮助学生更好地理解图论，并能够熟练地使用图的表示方法。
此外，它还可以帮助学生更好地学习离散数学，掌握离散数学中的重要概念和方法，从而为今后的学习和应用打下坚实的基础。
离散数学(屈婉玲版)第六章部分答案
110
10
55
22
2
11
5
10
1
1
11
11
11 由图可知此偏序集是分配格，满足分配关系，也是有补格所以是布尔代数
6.14 在图 6-7 所示的 3 个有界格中哪些元素有补元？如果有，请指出该元素所有的补元。 （1）0，1 互为补元 a,b,c,d 都不存在补元 因为 0，1 的最小上界是 1，最大下界是 0 （2）0，1 互为补元 ，a,c 的补元是 b,d，b,d 的补元是 a,c 因为 0，1 的最小上界是 1，最大下界是 0 a,c 中的任一个与 b,d 中的任一个的最小上界是 1，最大下界是 0 （3）0，1 互为补元 c 与 b 互为补元 因为 0，1 的最小上界是 1，最大下界是 0 c 与 b 的最小上界是 1，最大下界是 0
对 2∈Z， x∈Z 有 x °2=x+2-2=x=2°x,
可见 , 存在幺元，幺元为 2。 对 x∈Z 有 4-x∈Z,使 x ° （4-x）= (4-x) °x=2
所以 x-¹= 4-x 所以 Z 与运算 ° 能构成群 。
6.7 下列各集合对于整除关系都构成偏序集，判断哪些偏序集是格？ （1）L={1,2,3,4,5}. （2）L={1,2,3,6,12}. （3）L={1,2,3,4,6,9,12,18,36}. （4）L={1,2,2(2),…,2(n)}.
离散数学6章理解练习知识题及答案解析
离散数学练习题第一章一．填空1.公式)()(q p q p ∧⌝∨⌝∧的成真赋值为 01；102.设p, r 为真命题，q, s 为假命题，则复合命题)()(s r q p →⌝↔→的真值为 03.公式)()()(q p q p q p ∧∨⌝∧↔⌝与共同的成真赋值为 01；104.设A 为任意的公式，B 为重言式，则B A ∨的类型为 重言式5．设p, q 均为命题，在 不能同时为真 条件下，p 与q 的排斥也可以写成p 与q 的相容或。
二．将下列命题符合化 1.7不是无理数是不对的。
解：)(p ⌝⌝，其中p: 7是无理数； 或p ，其中p: 7是无理数。
2.小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。
解：其中,q p ∧⌝p: 小刘怕吃苦，q ：小刘很爱钻研3.只有不怕困难，才能战胜困难。
解：p q ⌝→，其中p: 怕困难，q: 战胜困难或q p ⌝→，其中p: 怕困难， q: 战胜困难4.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。
解：)(q p r →→⌝，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人 ，r: 困难解决了 或：q p r →∧⌝)(，其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了5.整数n 是整数当且仅当n 能被2整除。
解：q p ↔，其中p: 整数n 是偶数，q: 整数n 能被2整除三、求复合命题的真值P ：2能整除5， q ：旧金山是美国的首都， r ：在中国一年分四季 1. ))(())((q p r r q p ∧→∧→∨2.r q p p r p q ∧⌝∧⌝∨∨→→⌝)(())()(( 解：p, q 为假命题，r 为真命题1.))(())((q p r r q p ∧→∧→∨的真值为02. r q p p r p q ∧⌝∧⌝∨∨→→⌝)(())()((的真值为1四、判断推理是否正确 设x y 2=为实数，推理如下：若y 在x=0可导，则y 在x=0连续。
y 在x=0连续，所以y 在x=0可导。
华东师范大学离散数学章炯民课后习题第6章答案
P992. f：X→Y。
对任意A⊆X，定义f(A)={f(x) | x∈A}。
（1）证明f(A⋃B)=f(A) ⋃f(B)；（3）举例说明f(A⋂B)≠f(A)⋂f(B)。
证明：（1）∀y∈f(A⋃B)⇔∃x∈A ⋃ B，使y=f(x)⇔∃x∈A或∃x∈B，使y=f(x)⇔ y=f(x)∈f(A)或y=f(x)∈f(B)⇔ y∈f(A)⋃f (B)∴ f(A⋃B)=f(A)⋃f(B)（2）举例：令f(x)＝x2, A = { 1，2 }，B = {1，-2}。
则f (A⋂B) = {1}，而f (A)={1,4} f (B)={1,4} f (A) ⋂ f (B)= {1,4}故，f(A⋂B)≠f(A)⋂f(B)基本正确。
少数学生出现函数值为一个数值而不是集合的错误4. f：X→Y，下列命题是否成立？（1）f是一对一的当且仅当对任意a,b∈X，当f(a)=f(b)时，必有a=b；（2）f是一对一的当且仅当对任意a,b∈X，当f(a)≠f(b)时，必有a≠b。
解：（1）成立（2）不成立，如f(x)=x2,部分学生第（2）判断错误5. 下图展示了五个关系的关系图。
问：这些关系中，哪些是函数？哪些是一对一的函数？哪些是到上的函数？哪些是一一对应？解：1是函数，一对一，但不是到上的；2是函数，到上的，但不是一对一；3是函数，一一对应；4是函数；5不是函数。
正确9(1). f：X→Y，g：Y→Z。
命题“f︒g是一对一的当且仅当f和g都是一对一的”是否成立？解：不成立。
f 是一对一的。
假设f 不是一对一的,不妨设f(a)=B, f(b)=B (a ≠b)f g(a)=g(f(a))=g(B),f g(b)=g(f(b))=g(B)即f g(a)= f g(b), 这与f g 是一对一的相矛盾。
但g 不一定是一对一的。
反例:如f 的论域{1,2}:f(1)=5,f(2)=6,g 的论域{4,5,6}:g(4)=a, g(5)=a, g(6)=c, f 是一对一的, f g 也是一对一的,但g 不是一对一的部分学生判断错误。
电大-离散数学作业6答案
离散数学作业6离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。
本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。
要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第17周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。
并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。
一、填空题1．命题公式()P Q P →∨的真值是 1或T ．2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 （P ∨Q ）→R ．3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是(P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧⌝R) ．4．设P (x )：x 是人，Q (x )：x 去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 ∃x(P(x) ∧Q(x)) ．5．设个体域D ＝{a , b },那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为 (A(a) ∨A(b)) ∨((B(a) ∧B(b)) ．6．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A (x )为“x 大于3”，则谓词公式(∃x )A (x ) 的真值为 0(F) ．7．谓词命题公式(∀x )((A (x )∧B (x )) ∨C (y ))中的自由变元为 y ． 8．谓词命题公式(∀x )(P (x ) →Q (x ) ∨R (x ，y ))中的约束变元为 x ．三、公式翻译题1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 设P ：今天是晴天。
姓 名： 学 号： 得 分： 教师签名：则P2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．设P：小王去旅游。
离散数学第6章习题解答
第6章习题解答6.1 A: ⑨；B:⑨;C:④；D:⑥;E:③分析对于给定的集合和运算判别它们是否构成代数系统的关键是检查集合对给定运算的封闭性，具体方法已在5.3节做过说明.下面分别讨论对各种不同代数系纺的判别方法.1 °给定集合S和二元运算°,判定<S, ° >是否构成关群、独导点和群.根据定义，判别时要涉及到以下条件的验证：条件1 S关于。
运算封闭：条件2。
运算满足结合集条件3 °运算有幺元，条件 4 ° - x S, x J S.其中关群判定只涉及条件1和2;独导点判定涉及条件1、2、和3;而群的判定则涉及到所有的四个条件。
2 °给定集合S和二元运算°和*，判定<S, ° , *>是否构成环，交换环，含幺环,整环,域.根据有关定义需要检验的条件有：条件1 <S, ° >S构成交换群,条件2 <S, *> 构成关群,条件3 * 对°运算的分配律，条件4 *对运算满足交换律，条件5 *运算有幺元，条件6 *运算不含零因子一一消去律，条件7 |S|_2,-x・ S,x = O,有x J S （对* 运算）.其中环的判定涉及条件1,2和3;交换环的判定涉及条件1,2,3和4;含幺环的判定涉及条件1,2,3和5;整环的判定涉及条件1-6;而域的判定则涉及全部7 个条件.3°判定偏序集：::S,「或代数系统：::S, ,* •是否构成格、分本配格、有补格和布尔格.若:::S, 一为偏序集,首先验证-x, y y和x y是否属于S.若满足条件则S为格,且:::S,,.构成代数系统•若:::S, ,*是代数系统且。
和*运算满足交换 律、结合律和吸收律，则:::S, ,* •构成格。
在此基础上作为分配格的充分必要条件是不含有与图格。
而有补格和布尔格的判定只要根据定义进行即可。
离散数学第6章作业答案
第六章习题答案2. 设P = {< 1, 2 >, < 2, 4 >, < 3, 3 >}，Q = {< 1, 3 >, < 2, 4 >, < 4, 2 >}找出P⋃Q, P⋂Q, dom(P), dom(Q), ran(P)及ran(Q)，并证明：dom(P ⋃ Q) = dom(P) ⋃ dom(Q)ran(P⋂ Q) ⊆ ran(P) ⋂ ran(Q)解P ⋃ Q ={< 1, 2 >, < 2, 4 >, < 3, 3 >, < 1, 3 >, < 4, 2 >}，P ⋂ Q ={< 2, 4 >}dom(P)={1, 2, 3}，dom(Q)= {1, 2, 4}，ran(P) = {2, 3, 4}，ran(Q) = {2, 3, 4}。
x∈ dom(P⋃Q)⇔∃y (< x, y > ∈ P ⋃ Q)⇔∃y (< x, y > ∈ P∨ < x, y > ∈ Q)⇔∃y (< x, y > ∈ P) ∨∃y (< x, y > ∈ Q)⇔ x∈ dom(P) ∨ x∈ dom(Q)⇔ x∈ dom(P) ⋃ dom(Q)y∈ ran(P⋂ Q)⇔∃x (< x, y > ∈ P⋂Q)⇔∃x (< x, y > ∈ P ∧ < x, y > ∈ Q)⇒∃x (< x, y > ∈ P) ∧∃x (< x, y > ∈ Q)⇔y∈ ran(P) ∧ y∈ ran(Q)⇔y∈ ran(P) ⋂ ran(Q)如上例，ran(P⋂ Q) = {4}⊂ {2, 3, 4} = ran(P) ⋂ ran(Q)3. 若关系R和S自反的，对称的和传递的，证明：R⋂S也是自反的，对称的和传递的。
离散数学第二版答案(6-7章)
离散数学第二版答案(6-7章)第六章 代数系统6.1第129页1． 证明：任取,x y I ∈，(,)*(,)g y x y x y x yx x y xy g x y ==+-=+-=，因此，二元运算*是可交换的； 任取,,x y z I ∈，(,(,))*(*)*()()g x g y z x y z x y z yz x y z yz x y z yz x y z xy xz yz xyz==+-=++--+-=++---+((,),)(*)*()*()(,(,))g g x y z x y z x y xy zx y xy z x y xy z x y z xy xz yz xyz g x g y z ==+-=+-+-+-=++---+=因此，运算*是可结合的。
该运算的么元是0，0的逆元是0，2的逆元是2，其余元素没有逆元。
2．(*,x,)*的最小公倍数=*=y)y（zz的最小公倍数x和yxz因此对于任意的z，x，都有)*，yzy）（=，即二x（x*y**z元运算*是可结合的。
③设幺元为e==的最小公倍数和**，则1=e，即幺元为1.x=exxxee④对于所有的元素I*，所以所有元x∈，都有xx=x素都是等幂的。
4．解：设nX=①设f是X上的二元运算，则f是一个从X2的X→映射。
求X上有多少个二元运算即相当于求这样的映射的个数。
由于22nX=，映射f的个数为2n n，即X上有2n n个二元运算。
②可交换即>yxff,,<>=y<x设集合}4,3,2,1{=X，要求X上可交换的二元运算的个数，即相当于求映射f的个数，X:，其中：f→A><><>><><><<=A><<><><4,41,1,2,23,3}4,34,2,2,1{>3,14,13,2具体如下图所示：A><><><><><><><><><><><><><><><><4,43,32,21,13,4,4,32,4,4,22,3,3,21,4,4,12,3,3,11,2,2,1 X4321此时映射f 的个数44642444++==C N推广到X 有n 个元素时，映射f 的个数nC n n n N +=2③ 单位元素即幺元，若存在必唯一。
离散数学习题集及答案第6-7章图论含答案
第6-7章一．选择/填空1、设图G 的邻接矩阵为0101010010000011100000100，则G 的边数为( D )． A ．5 B ．6 C ．3 D ．42、设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如下图所示，则下列结论成立的是( A )．A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的3、给定无向图G 如下图所示，下面给出的结点集子集中，不是点割集的为（ B ）．A ．{b , d }B ．{d }C ．{a , c }D ．{b , e }4、图G 如下图所示，以下说法正确的是 ( D ) ．A ．{(a , c )}是割边B ．{(a , c )}是边割集C ．{(b , c )}是边割集D ．{(a, c ) ,(b, c )}是边割集5、无向图G 存在欧拉通路，当且仅当(D )．A ．G 中所有结点的度数全为偶数B ．G 中至多有两个奇数度结点C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数D ．G 连通且至多有两个奇数度结点6、设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( A )条边，才能确定G 的一棵生成树．A ．1m n −+B ．m n −C ．1m n ++D ．1n m −+7、已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为（B ）．A ．8B ．5C ．4D ．38、已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 15 ． 9、连通无向图G 有6个顶点9条边，从G 中删去 4 条边才有可能得到G 的一棵生成树T ．10、如右图 相对于完全图K 5的补图为（A ）。
11、给定无向图，如下图所示，下面哪个边集不是其边割集（ B ）。
A 、；B 、{<v1,v4>,<v4,v6>};C 、；D 、。
12、设D 是有n 个结点的有向完全图,则图D 的边数为( A ) (A))1(−n n (B))1(+n n (C)2/)1(+n n (D)2/)1(−n n 13、无向图G 是欧拉图,当且仅当( C )(A) G 的所有结点的度数都是偶数 (B)G 的所有结点的度数都是奇数(C)G 连通且所有结点的度数都是偶数 (D) G 连通且G 的所有结点度数都是奇数。
4~离散数学习题解答习题六(第六章 图论)6
15．给出有向图如下所示：
1)求它的邻接矩阵A；
2)求A2，A3，A4，指出从v1到v4长度为1，2，3，4的路径各有几条？
3)求AT，ATA，AAT，说明ATA和AAT中元素（2，3）和（2，2）的意义；
4)求A(2)，A（3），A（4）及可过矩陈R；
(v2)=v2′(v2，v3)=(v2′，v3′)
(v3)=v3′(v3，v4)=(v3′，v4′)
(v4)=v4′(v4，v5)=(v4′，v5′)
(v5)=v5′(v5，v6)=(v5′，v6′)
(v6)=v6′(v6，v1)=(v6′，v1′)
(v1，v4)=(v1′，v4′)
(v2，v5)=(v2′，v5′)
若存在着一个项点v∈V，使得deg(v)=0，则图G中各项点的度最大不超过n-2。因此n个项点的度在集合{0，1，2，…，n-2}里取值，而这个集合只有n-1个元素，因此，根据鸽笼原理，必有两个项点的度相同。
若不存在一个度为零的项点，则图G中各项点的度最大不超过n-1。因此n个项点的度在集合{1，2，…，n-1}中取值，这个集合只有n-1个元素，因此，根据鸽笼原理，必有两具项点的度相同。
m=m1+m2+…mk
=(n-1)· ·((n1-1)+(n2-1)+…+(nk-1))
= (n-1)((n1+n2+…+nk)-k)
= (n-1)(n-k)
≤ (n-1)(n-2) (k≥2)
这与已知M＞ （n-1）(n-2)矛盾。
因此假设错误，G是连通图。
11．设G=（V，E）是无向完全图（无自环），|V|=n
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图（c）有两个奇度顶点，故存在欧拉通路。
6.10 画出一个无向图，使它
（1）即是欧拉图，又是哈密顿图：n（n≥3）阶圈都是欧拉图和哈密顿图。
（2）是欧拉图，不是哈密顿图：k（k≥2）个长度大于等于3的圈拼接的图是欧拉图。
（3）是哈密顿图，不是欧拉图：n（n≥4）阶圈上两个不相邻的顶点，加上一条边仅为哈密顿图。
（4）既不是欧拉图，也不是哈密顿图：综合（2）（3）得知，令圈的大小大于等于4。
画图如下
（1） （2）（3）（4）
6.15解：设无向图G=<V,E>,其中V={a,b,c,d,e,f,g}
E={（u，v）| u，v∈V且u与v会讲同一种语言}
如右图存在哈密顿问题，则他们可以围城一桌，
经观察，abcdefg恰好是一条哈密顿回路。
6.16 解：用 表示颜色i，i=1,2,3……6，设无向图G=<V,E>其中
V={V1，V2，V3，V4，V5，V6}
E=
由题意只，每种颜色至少与另外三种颜色搭配，故对于 均有d(
因此对于 均有d( )+d( )≥6
由定理6,9知，图中存在哈密顿图，设为
此时， 所代表的颜色进行搭配，从而这三种双色布恰好有6中不相同颜色。
6.18 解：做无向图G：每个放假能放一个顶点，楼外放一个顶点 ，一条边对应一扇门，他连接这扇门连接的两个房间中顶点或房间与楼外顶点，如图
依题意，若存在欧拉回路，则可以从南门进入，北门离开且走遍所有的房间且每个房门恰好经过一次。但图中 是三度顶点，所以G中不存在欧拉回路，亦不存在满足题意的走法。
6.1画出完全二部图
6.3 完全二部图 中，边数m为多少。
解：m=r·s
6.5 今有工人甲、乙、丙去完成三项任务a、b、c，已知甲能胜任a，b，c，乙能胜任a，b，丙能胜任b，c，能否给出一个安排方案，使每个工人格子完成其能胜任的任务。
解：设V1={甲，乙，丙}，V2={a，b，c}
坐二部图G=<V1,V2,E>其中E={(x,y)|x能胜任y}
图中的一个完美匹配就对应一个分配方案。
由于该图满足Hallቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理，对于K=1,2,3，均有
V1中任意K个顶点，至少临街V2中的K个顶点，
故存在完备匹配。又因为|V1|=|V2|=3，
故该完备匹配就是完美匹配，如取
M={(甲，a),(乙，b),(丙，c)}
此完美匹配对应的方案为甲完成a，乙完成b，丙完成c。