概率论与数理统计第四章笔记

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第四章 随机变量的数字特征
1. 数学期望
1. 定义：设离散型随机变量X 的分布律为{}k P X x ==k p ，1,2k = 若级数1
k k k x p ∞
=∑绝对收敛，则称级数1
k k k x p ∞
=∑的和为随机变量X 的数
学期望，记为()E X =1
k k k x p ∞
=∑.
2. 设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ,若积分()xf x dx ∞
-∞
⎰的
值为随机变量X 的数学期望,即()E X =()xf x dx ∞
-∞
⎰.
数学期望简称期望，又称均值.
3. 定理：设Y 是随机变量X 的函数: ()Y g X =（g 是连续函数）.
1) 若X 是离散型随机变量，它的分布律为{}k P X x ==k p ，1,2k = 若级数1
()k k k g x p ∞
=∑绝对收敛，则有()E Y =[]()E g X =1
()k k k g x p ∞
=∑.
2) 若X 是连续型随机变量，它的概率密度为()f x 若
()()g x f x dx ∞
-∞
⎰
绝对收敛则有()E Y =[]()E g X = ()()g x f x dx ∞
-∞
⎰.
4.数学期望的重要性质：
（1） 设C 是常数，则有 ()E C C =
（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有 ()()E CX CE X = （3） 设,X Y 是两个随机变量，则有 ()()()E X Y E X E Y +=+.这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况.
（4） 设,X Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =；这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况.
5. 几个重要随机变量的期望 （1）0-1分布的数学期望：()E X p = （2）二项分布(,)b n p =：()E X np =
(3) 泊松分布:
{}1
1
~,0,1,2,...
!
()!
(1)!
k
k
k k k X P X k e k k E X k
e e k k λλλλλ
λ
λλ
--∞
∞
--====
====-∑∑
(4) 均匀分布~(,)X U a b . 1~(),0X f x a x b b a ⎧⎪
=<<-⎨⎪⎩，，其他
()=()2
b a
x a b
E X xf x dx dx b a ∞
-∞+==-⎰⎰
(5) 指数分布：0
1
()=()0
x
x
E X xf x dx x e dx e
θ
θ
θθθ
-
-
∞
∞
-∞
∞==-=⎰⎰
(6)正态分布2(,)N μσ: ()E X μ=
2. 方差
1.定义:设X 是一个随机变量，若(){
}2
E X E X -⎡⎤⎣⎦
存在，则称
(){
}
2
E X E X -⎡⎤⎣⎦
为X 的方差，记为()()D X Var X 或即
()()D X Var X ==(){
}2
E X E X -⎡⎤⎣⎦
.在应用上引入
()D X ，记为
()X σ 称为标准差或均方差.
2.离散型随机变量：[]2
1
()()k k k D X x E X p ∞
==-∑, 其中
{},1,2k k P X x p k === .
连续型随机变量：()D X =[]2
()()k x E X f x dx ∞
-∞
-⎰ 其中()f x 是X
的概率密度.
随机变量X 的方差可按()()()2
2D X E X E X =-⎡⎤⎣⎦计算.
3.方差的重要性质
（1）设C 是常数，则有()0D X =
（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()2D CX C D X = (3) 设,X Y 是两个随机变量，则有
()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E
X E X Y E Y +=++--
若,X Y 相互独立，则有 ()()()D X Y D X D Y +=+这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之和的情况
(4) ()0D X =的充要条件是X 以概率1取常数C ，{}1P X C == 1. 几个重要随机变量的方差
(1)~(,):()(1)X b n p D X np p =-
(2) 泊松分布: ()D X λ=
(3) 均匀分布(,)U a b : 2
()()12
b a D X -=
(4) 指数分布: 2()D X θ= (5) 正态分布2(,)N μσ: 2()D X σ=
3. 协方差及相关系数
1 定义:()(){}
E X E X Y E Y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦称为随机变量X 与Y 的协方差，记为(),
C o v X Y ,即
()()(){}
,Cov X Y E X E X Y E Y =--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
，
()()()
,XY Cov X Y D X D Y ρ=
称为随机变量X 与Y 的相关系数.
2.协方差性质
1) (,)(,)Cov X Y Cov Y X = 2) (,)(),(,)0Cov X Y D X Cov X c == 3) (,)(,),,Cov aX bY abCov X Y a b =是常数 4) (,)(,)(,)Cov X Y Z Cov X Z Cov Y Z +=+ 5) 若,X Y 相互独立，则(,)0Cov X Y = 6) (,)()()2(,)D X Y Z D X D Y Cov X Y ±=++ 3. 定 理： （1）1XY ρ≤
（2）1XY ρ=的充要条件是，存在常数,a b 使{}1P Y a bX =+= （3）当XY ρ=0时，称X 和Y 不相关
（4）当X 和Y 相互独立时由(),Cov X Y =0，知XY ρ=0即X,Y 不相关，反之，若,X Y 不相关，,X Y 却不一定相互独立.
4.矩、协方差矩阵
1．定义：设X 和Y 是随机变量，若()k E X ，1,2k = 存在，称它为
X 的k 阶矩。

若{}
(),2,3
k
E X E X k ⎡⎤-=⎣⎦ 存在，称它为X 的k 阶中心矩。

若 (),,1,2k l E X Y k l = 存在，称它为X 和Y 的1k +阶混合
矩.若 [][]{
}
()()k l
E X E X Y E Y --，,1,2k l = 存在，称它为X 和Y 的
1k +阶混合中心矩.
2.设n 维随机变量12(,,...)n X X X 的二阶混合中心距
()(){}
(,),ij i j i i j j c Cov X X E X E X X E X ⎡⎤⎡⎤==--⎣⎦⎣⎦,1,2,...,i j n =都存
在，则称矩阵1111
n n nn a a a a ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭ 为n
维随机变量12(,,...)n X X X 的协方差矩阵.
3. n 维正态变量的性质：
1212121)(,,,),1,2,,;,,,,,,(,,,).n i n n n X X X X i n X X X X X X n = 维随机变量的每一个分量都是正态变量反之若都是正态变量且相互独立则是维正态变量12121122122)(,,,),,,(,,,).
n n n n n n X X X n X X X l X l X l X l l l +++ 维随机变量服从维正态分布的充要条件是的任意的线性组合服从一维正态分布其中不全为零121123)(,,,),,,(1,2,,),(,,,).
n k j k X X X n Y Y X j n Y Y Y = 若服从维正态分布设是的线性函数则也服从多维正态分布11212 4)(,,), ,,, , ,, .
n n n X X n X X X X X X 设服从维正态分布则“相互独立”与“两两不相关”是等价的。