Polar码编码原理[文字可编辑]

1、信道组合
信道组合就是对给定的B-DMC（Binary-input Discrete Memotyless Channel）信道W利用递归的方法，
来构造一个组合信道 独立的信道W 1递归组合成信道
。当n=0，W 1= W；当n=1，就是利用两个相互 ，如图2.1所示。
信道W2对应的传输概率为：
当n=2时，利用两个独立的 W2信道来组合成 W4信道： 步骤如图 2.2，对应的传输概率公式为：
（1.19）
给定源信息序列
，则对应的码字为
。
由以上 Polar 码的编码理论可知，最重要的就是寻找性能好的信道，即对应
值较小的信道，也是序列 A 中元素的值。下面以 N=16 为例来说明如 何来选择信道的。
（1.20）
取初值 值是：
，由公式（ 2.15 ）和（ 2.16）可计算出
，具体各项
选取
。对
Polar码的编码原理
1
所讲内容：
1.Polar码简介 2.信道极化
2.1信道组合 2.2信道分解 2.3信道极化定理 2.4极化速率 3.Polar码编码
1.Polar码简介
1948 年，Shannon 在他的开创性论文“通信的数学理论”中第一次提出了在有噪信道中实现
可靠通信的方法，提出了著名的有扰信道编码定理，奠定了纠错编码的基础。20 世纪 50 年代初， 汉明（Hamming）、斯列宾（Slepian）、普兰奇（Prange）等人在香农的基础上，设计出了一系
（1.4）
依此类推，可以得出信道组合的一般递推关系，如图 2.3，由两个独立的 信道 组成信道 。 的输入序列 首先会被转化成 序列，对应的 关系为，
（1.5）
其中，1 ≤ i ≤ N/ 2 。 代表一种翻转操作，作用于序列 作为信道 的输入序列。
图2.3中从信道 到信道 的映射
是线性的，定义矩阵 表示这
（1.17）
其中， 是将要传输的信息序列， 就是生成矩阵，
。 假设 A
是集合
的任意子集，公式（ 1.17）可以写成如下形式，
（1.18）
其中，矩阵
是由 A 决定的矩阵 的子矩阵，
是 去掉
的矩阵，也是 的矩阵。
如果固定 A 和 ，但 是任意变量，那么就可以把源序列 映射
到码字序列 ，这种映射关系称为陪集编码（ Coset Code ）。Polar 码就
（1.1） ，组合
（1.2）
在图2.2中，R4是把序列(s1,s2,s3,s4) 映射成v4=(s1,s2,s3,s4) 的排列操作。信 4 1
道W4的输入序列 u 4 到信道W 的输入序列 X 4 的映射关系 u4 →x 4 可以表示为：
1
1
1
1
（1.4）
并且，
。所以，可以得出 W4的转移概率表达式为
序列进行降序排列，
值最小的 4 个比特信道，这四个信道对应的行号的组成集合 A，
。则在矩阵 中集合 A 对应的行构成
。
（1.21）
同理，通过矩阵 和
可得出
出 16位的 Polar 码码字。
。 在给定输入信息序列后就可编
一个信道 并且使用
趋于零的信道来传输信息。那么如何选
择好的信道来传输信息就是 Polar 码编码的关键。
Polar 码是一种线性分组码，有效信道的选择也就对应着生成矩阵的行的 选择。下面首先详细介绍 Polar 码的编码过程。 Polar 码是一种线性分组
码，编码公式与别的线性分组码类似，由信息序列乘以生成矩阵，具体 公式如下，
们一直坚持寻找性能更加好，可以达到香农限并且编译码简单的编码方法。
Polar 码是由 E.
Arikan于2007年基于信道极化理论提出的一种线性信道编码方法，该码字是迄今发现的唯一一类
能够达到香农限的编码方法，并且具有较低的编译码复杂度，当编码长度为 N时，复杂度大小为
O ( NlogN)。Polar码的核心思想就是信道极化理论，不同的信道对应的极化方法也有区别。Polar
列的性能优异的编译码方案，并以此为基础得出了编码信道下各种信道情况的香农限。香农限
作为通信系统中的性能极限，具有非常重要的意义。纠错码的快速发展，促使了编码下的香农
限的提出，也带动了通信领域中设计和构造逼近香农限的纠错码的研究。目前研究成果最多、
比较成熟的逼近香农限的纠错码是 LDPC 码和 Turbo 码；虽然两种码字的性能已十分优异，但人
（1.12）
（1.13） （1.14）
当基本信道W是BEC信道的特殊情况下，在满足一些定理前提下 , 可通 过如下递推公式计算，
（1.15）
（1.16）
2.2 Polar 码编码
为了利用信道极化的效果，构造了一种能够达到对称信道容量 I (W )
的编码方法，称为 Polar 码。Polar 码的基本思想就是：能够单独处理每
种映射关系，矩阵 称为生成矩阵。则可以推到出
之间的转移
概率关系为：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1.6）
其中，
是比特翻转操作，核心矩阵
，符号 ? 代
表Kronecker积（张量积）。对于矩阵 A与B的张量积定义为 。假设A，
B分别是m × n，r ×s的矩阵，
，则
（1.7）
则
，
（1.8）
2、信道分解
在完成组合信道 之后，信道极化的下一个步骤是信道分解，把信道
是陪集码的例子，由四个参数
共同决定的陪集码， N 表示码字
的码长，K 表示信息位的长度；
A 对应着生成矩阵 中用来传输有用信息的行，即
中的行，并且 A
中元素个数等于 K； 称为冻结位，用来传输固定的信息，即对应着性能
较差的比特信道；码率 R=K/N。
例，Polar 码的编码参数为
，则具体的编码映射关系为
码自从提出以来，就一直吸引了众多学者的兴趣，是这几年信息领域研究的热点。
2.1 信道极化
Polar 码的理论基础就是信道极化。信道极化包括信道组合和信道分解部分。当组合信道的数目 趋于无穷大时，则会出现极化现象：一部分信道将趋于无噪信道，另外一部分则趋于全噪信道，这种 现象就是信道极化现象。无噪信道的传输速率将会达到信道容量 I (W )，而全噪信道的传输速率趋于 零。Polar 码的编码策略正是应用了这种现象的特性，利用无噪信道传输用户有用的信息，全噪信道 传输约定的信息或者不传信息。
分解成 N个二进制输入信道 为
，对应的转移概率定义
（1.9）
其中， 信道分解的情况为
。由公式（ 2.9）可知，当 N=2时，
对应的转移概率公式为
（1.10）
（1.11）
当 N=2 时的信道分解图如图 2.4 所示。图 2.5、2.6 分别对应 N=4，N=8 时的信道分解方式。从这三幅图中可以看出，分解过程也是一个递归 的过程。当 N=4 时 首先被分解成两个相互独立的信道 ,然后再将 W2分解成两个相互独立的 W。当 N=8 时，也可依此类推。