优化设计中的鲍威尔法
机械优化设计鲍威尔法编程
鲍威尔法求解二维函数极小值的程序说明一题目利用鲍威尔法求函数221212112(,)242f x x x x x x x =+--的极小值点。
二鲍威尔法基本思想:1) 给定初始点0x ，选取初始方向组，它由n 各线性无关的向量00012,...n d d d 所组成。
2) 从0k x 出发，顺次沿12,,...k k k n d d d 作一维搜索得12,,...k k k n x x x 。
接着以k n x 为起点，沿方向10k k k n n d x x +=-移动一个0k k n x x -的距离，得到 01,,k k k n n x x x +分别称为一轮迭代的始点，终点和反射点。
始点，终点，反射点所对应的函数值分别表示为同时计算各中间点处的函数值，并记为因此有002,n F f F f ==计算n 个函数值之差，记作1i i i f f -∆=-其中最大者记作1max m i m m f f -∆=∆=-3) 根据是否满足判别条件和来确定是否要对原方向组进行替换。
若不满足判别条件，则下轮迭代应对原方向组进行替换，将1k n d +补充到原方向组的最后位置，而除掉k m d 。
即新方向组为1k d ，2k d ，…，1k m d -，1k m d +，…，k n d ，1kn d +作为下轮迭代的搜索方向。
下轮迭代的始点取1k n d +方向进行一维搜索得极小点10k x +。
4) 判断是否满足收敛准则。
若满足则取10k x +为极小点，否则应置1k k =+，返回2，继续进行下一轮迭代。
改进后的鲍威尔法程序框图如下： 三用鲍威尔法求函数程序如下：//鲍威尔法Dlg.cpp:implementationfile//#include"stdafx.h"#include"鲍威尔法.h"#include"鲍威尔法Dlg.h"#ifdef_DEBUG#definenewDEBUG_NEW#undefTHIS_FILEstaticcharTHIS_FILE[]=__FILE__;#endif///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// //CAboutDlgdialogusedforAppAboutclassCAboutDlg:publicCDialog{public:CAboutDlg();//DialogData//{{AFX_DATA(CAboutDlg)enum{IDD=IDD_ABOUTBOX};//}}AFX_DATA//ClassWizardgeneratedvirtualfunctionoverrides//{{AFX_VIRTUAL(CAboutDlg)protected:virtualvoidDoDataExchange(CDataExchange*pDX);//DDX/DDVsupport //}}AFX_VIRTUAL//Implementationprotected://{{AFX_MSG(CAboutDlg)//}}AFX_MSGDECLARE_MESSAGE_MAP()};CAboutDlg::CAboutDlg():CDialog(CAboutDlg::IDD){//{{AFX_DATA_INIT(CAboutDlg)//}}AFX_DATA_INIT}voidCAboutDlg::DoDataExchange(CDataExchange*pDX){CDialog::DoDataExchange(pDX);//{{AFX_DATA_MAP(CAboutDlg)//}}AFX_DATA_MAP}BEGIN_MESSAGE_MAP(CAboutDlg,CDialog)//{{AFX_MSG_MAP(CAboutDlg)//Nomessagehandlers//}}AFX_MSG_MAPEND_MESSAGE_MAP()///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// //CMyDlgdialogCMyDlg::CMyDlg(CWnd*pParent/*=NULL*/):CDialog(CMyDlg::IDD,pParent){//{{AFX_DATA_INIT(CMyDlg)m_x01=0.0f;m_x02=0.0f;m_x1=0.0f;m_x2=0.0f;//}}AFX_DATA_INIT//NotethatLoadIcondoesnotrequireasubsequentDestroyIconinWin32 m_hIcon=AfxGetApp()->LoadIcon(IDR_MAINFRAME);}voidCMyDlg::DoDataExchange(CDataExchange*pDX){CDialog::DoDataExchange(pDX);//{{AFX_DATA_MAP(CMyDlg)DDX_Text(pDX,IDC_x01,m_x01);DDX_Text(pDX,IDC_x02,m_x02);DDX_Text(pDX,IDC_x1,m_x1);DDX_Text(pDX,IDC_x2,m_x2);//}}AFX_DATA_MAP}BEGIN_MESSAGE_MAP(CMyDlg,CDialog)//{{AFX_MSG_MAP(CMyDlg)ON_WM_SYSCOMMAND()ON_WM_PAINT()ON_WM_QUERYDRAGICON()//}}AFX_MSG_MAPEND_MESSAGE_MAP()///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// //CMyDlgmessagehandlersBOOLCMyDlg::OnInitDialog(){CDialog::OnInitDialog();//Add"About..."menuitemtosystemmenu.//IDM_ABOUTBOXmustbeinthesystemcommandrange.ASSERT((IDM_ABOUTBOX&0xFFF0)==IDM_ABOUTBOX);ASSERT(IDM_ABOUTBOX<0xF000);CMenu*pSysMenu=GetSystemMenu(FALSE);if(pSysMenu!=NULL){CStringstrAboutMenu;strAboutMenu.LoadString(IDS_ABOUTBOX);if(!strAboutMenu.IsEmpty()){pSysMenu->AppendMenu(MF_SEPARATOR);pSysMenu->AppendMenu(MF_STRING,IDM_ABOUTBOX,strAboutMenu);}}//Settheiconforthisdialog.Theframeworkdoesthisautomatically//whentheapplication'smainwindowisnotadialogSetIcon(m_hIcon,TRUE); //SetbigiconSetIcon(m_hIcon,FALSE); 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机械优化设计——鲍威尔法
机械优化设计——鲍威尔法机械优化设计是指在构筑机械产品或系统时，通过优化设计、算法分析等手段，使得机械产品或系统达到最佳的性能和效率。
鲍威尔法（Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno algorithm，简称BFGS算法）是一种求解非线性最优化问题的拟牛顿法，广泛应用于机械优化设计中。
鲍威尔法是由四位科学家共同提出的，在非线性优化问题中具有很高的效率和可靠性。
它与传统的牛顿法相比，具有更好的收敛性能和更小的存储需求。
鲍威尔法是一种迭代的方法，通过不断更新设计变量的值，使得目标函数的值不断接近最优值。
鲍威尔法的核心思想是利用目标函数的梯度信息来指导方向和步长的选择。
在每一次迭代中，鲍威尔法通过构造一个正定的Hessian矩阵的近似来逼近目标函数的二次泰勒展开式，从而求取方向。
而步长的选择则通过线方法来确定，确保目标函数值在每次迭代中都能够下降。
在机械优化设计中，鲍威尔法可以应用于多种问题，如结构优化、参数优化等。
以结构优化为例，鲍威尔法可以通过不断调整结构的几何形状或内部结构的参数，来使得结构的重量最小或强度最大。
在进行参数优化时，鲍威尔法可以通过调整设计变量的取值，使得可以在给定约束条件下，最大化或最小化一些性能指标。
机械优化设计中的鲍威尔法需要满足一定的数学条件才能保证其收敛性和稳定性。
首先，目标函数必须是连续可微的。
其次，初始设计点的选取对于迭代过程的收敛性也有一定的影响。
一般情况下，选择一个合适的初始设计点可以加快鲍威尔法的收敛速度。
总结起来，鲍威尔法是机械优化设计中一种常用的求解非线性最优化问题的方法。
它可以通过迭代更新设计变量的值，使得目标函数达到最优值。
鲍威尔法不仅具有较好的收敛性能和计算效率，而且对于各种类型的机械优化设计问题都具有很好的适应性。
机械优化设计鲍威尔法编程
机械优化设计鲍威尔法编程鲍威尔法（Powell's method）是一种常用于机械优化设计的迭代算法，它基于步长的方向进行，进而找到局部或全局最优解。
该算法主要用于解决无约束优化问题，即不涉及约束条件的优化设计。
下面将详细介绍鲍威尔法的编程实现。
鲍威尔法的基本思路是在迭代过程中通过多次步长方向，找到全局最优解。
具体步骤如下：1.初始化：设置初始点x0和迭代次数k=0。
2.计算方向：选择一个初始的方向d0和步长α，并将d0归一化为单位向量。
3. 求解新的迭代点：通过计算当前点xk加上步长α乘以方向dk，得到新的迭代点xk+14. 更新方向：计算新的方向dk+15. 判断是否达到终止条件：如果达到了终止条件，则输出当前点xk+1为最优解；否则，令k=k+1，返回第3步继续进行迭代。
下面给出一个使用Python编程实现鲍威尔法的示例代码：```pythonimport numpy as npdef powell_method(f, x0, alpha, eps, max_iter):#初始化x=x0d = np.eye(len(x0))k=0while k < max_iter:#计算方向和步长g=f(x)d_norm = np.linalg.norm(d, axis=0) d = d / d_normalpha = alpha / d_norm#求解新的迭代点x_new = x + alpha * d#更新方向g_new = f(x_new)delta = g_new - gd = np.roll(d, -1, axis=0)d[-1] = (x_new - x) / alpha#判断终止条件if np.linalg.norm(delta) < eps: return x_new#更新迭代点x = x_newk+=1return x#示例函数，目标是求解f(x)=(x[0]-1)^2+(x[1]-2)^2 def f(x):return (x[0] - 1) ** 2 + (x[1] - 2) ** 2#设置初始点、步长、终止条件和最大迭代次数x0 = np.array([0.0, 0.0])alpha = 0.1eps = 1e-6max_iter = 100#调用鲍威尔法进行优化设计x_opt = powell_method(f, x0, alpha, eps, max_iter) #输出最优解print("Optimal solution: ", x_opt)print("Optimal value: ", f(x_opt))```在上述代码中，目标函数f(x)为示例函数，可以根据具体的优化设计问题进行修改。
优化设计-(Powell)法+鲍威尔修正算法
1）任选初始点X(0)=X0(1) ，给定迭代收敛精度 1 , 2 。 取初始基本方向组为单位坐标向量系，即Si(1)=ei ( i = 1, 2, … , n ), 并置迭代轮次k=1。
2）从X0(k)出发，依次沿Si(k) ( i = 1, 2, … , n ) 作一维 搜索，得n个极小点Xi(k) ( i = 1, 2, … , n ),构造新的搜 索方向 S(k) = Xn(k) -X0(k) ，并沿此方向进行一维搜索得 极小点Xn+1(k) 。 3）判断迭代终止条件 || Xn+1(k) – X0(k) ||≤ 1 ？ 或 | f (Xn+1(k) ) – f (X0(k) ) |≤ 2 | f (Xn+1(k) ) | ？ 若满足，则终止迭代并输出最优解： X * = Xn+1(k) 和 f * = f (X * )
依此进行下去，直到获得满足迭代收敛精度要求的 近似极小点为止。 根据这一原理构造的迭代算法称为鲍威尔基本 算法。 x2
S(1) S2(1) X3 (1) X2 (1) X2
* X (2)
S(2)
X1 (2) S1(1)
()
X0
(1)
X1
x1
2.3.3鲍威尔基本算法的缺点 鲍威尔基本算法仅具有理论意义，不要说对于 一般的函数，就是对于二次函数，它也可能失效。 因为在迭代过程中的 n个搜索方向有时会变成线性相
X0(k+1) = Xn+1(k) Si(k+1) ( i = 1, 2, … , n ) 即 { S1(k), …, Sm-1(k), S(k), Sm+1(k), …, Sn(k)} 并置 k k+1 ，返回第2）步。
鲍威尔法概述及算例求解
根据这一原理构造的迭代算法称为鲍威尔基 本算法。
（二）鲍威尔法的缺陷
鲍威尔基本算法不可能对每一个都起作用，因为在迭代 过程中的n个搜索方向有时会变成线性相关的，而不能形 成共轭方向，导致随后的迭代搜索在降维（退化）的空间 中进行，可能求不到极小点，故而进行改进。
（三）鲍威尔修正算法
为了避免这种“退化”现象的发生，鲍威尔对这一算法 进行了修正。即在每一轮产生新的搜索方向 后，首先 判断原搜索方向组是否可以直接用下一轮迭代的方向组， 若可以，即用。否则，还要进一步判断原搜索方向组中哪 个方向上的函数值下降量最大，然后再用新搜索方向替换 这个下降量最大的搜索方向，以保证逐次生成共轭方向， 即每一轮迭代的搜索方向组线性无关。
一 共轭方向的概念与共轭向量的性质
（一）共轭方向 设A为n阶实对称正定矩阵，若有两个n维向量 和 能满足 A =0 则称向量 与 对矩阵A共轭，共轭向量的 方向称为共轭方向。
（二）共轭向量的性质 设A为n×n阶实对称正定矩阵， （i=1,2,…n） 是关于A的n个互相共轭的非零向量，对于正 定二次函数f(收敛到极小点 = 沿n元二次正定函数的n个共轭方向进行n次 一维搜索就可达到目标函数的极小点。
其中： —第k起始点函数值 — k轮方向组一维搜索终点函数值 — 对 的映射点函数值 — 第k轮方向组沿诸方向一维搜索所得的各 函数下降量中最大者，其对应的方向即是
鲍威尔修正算法的判别条件
（四）鲍威尔法的计算步骤
（1）给定初始点 和计算精度 ，即取初始方向组为n 个单位坐标向量。 （2）沿 各方向进行一轮n次一维搜索 即： minf( +a )= f( + ) 得到: = 这一步相当于最优步长的坐标轮换法。 （3）经计算求出共轭方向和映射点分别为 = （4）计算k轮中相邻两点目标函数值的下降量，并求出下 降量最大者及其相应的方向
优化设计-鲍威尔法
故以
x
( 2) 0
x
(1)
(1) 为新起点，沿（ e2 , S ）方向一
现代设计方法
维搜索，进行第二次循环： 19 5 ， ( 2) ( 2) f ( x x0 0 ) 7.9 17 19 10 5 ( 2) 沿 e2 方向进行一维搜索 x1 , f ( x1( 2) ) 7.98 f1 19 10
lvyong@教一楼512
•检验是否满足终止迭代条件
冶金机械教研室 吕勇
武汉科技大学机械自动化学院
现代设计方法
X2 X0
(1)
(1)
(3 1) 2 (1.5 1) 2 2.06
计算各个方向的函数下降量： △1= f(X0(1))－f(X1(1))=-3－(-7)=4 △2= f(X1(1))－f(X2(1))=-7－(-7.5)=0.5
• 可以证明：若 f3 <f1 (f1 -2f2+f3)(f1-f2- △m)2< 0.5△m(f1-f3)2 同时成立
冶金机械教研室 吕勇 lvyong@教一楼512
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现代设计方法
• 表明方向Sk(n)与原方向组成线性无关，可以 用来替换对象△m所对应的方向Sk(m)。否则仍 用原方向组进行第k+1轮搜索。
) 由于 S (1) 及 S ( 2为共轭方向， 目标函数是二次函数，若沿 S ( 2 )
现代设计方法
方向进行一维搜索得到
x
( 2)
4 2
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现代设计方法
• 从理论上讲，二维二次正定函数经过这组共 轭方向的一维搜索，迭代点已达到函数的极 小点X* 。 • 将此结构推广至n维二次正定函数，即依次沿 n个（S(1) ，S(2)，…，S(n)）共轭方向一维搜 索就能达到极小点。
鲍威尔法
鲍威尔法二级斜齿轮减速器的优化设计姓名：王剑锋学号：109011159班级：机制096班一、基本原理前已述及，对于n维无约束最优化问题，采用原始共轭方向法在产生n个共轭方向时，有可能是线性相关或接近线性相关的，如遇这种情况，会导致在降维空间寻优使迭代计算不能收敛到真正最优点而失败。
鲍威尔在1964年提出了对上述原始共轭方向法的改进方法—鲍威尔共轭方向法。
这个改进方法与原始共轭方向法的关键区别是在构成第k + 1环基本方向组时，不再总是不管好坏一律去掉前一环的第一个方向，并再将前一环的新生方向补于最后，而是首先判断前一环的基本方向组是否需要更换；如需更换，还要进一步判断前一环原基本方向组中沿某一个方向作一维搜索函数值下降量最大，去掉该方向再将新生方向补入最后构成第k+1环的基本方向组以避免线性相关并最接近共轭。
判别前一环基本方向组是否需要更换的依据，则按导出的下列两个条件式。
（1）（2）是否得到满足来进行处理，式中各符号的涵义可参阅图5-13(P62)说明如下——k环起始点的函数值；——k环沿基本方向组依次一维搜索后的终点的函数值；——对的映射点的函数值，；——k环基本方向组中沿诸方向一维搜索所得各目标函数值下降量中之最大者，对应方向。
若条件式（1）或(2)中至少有一个成立，则第k +1环的基本方向组仍用原来第k环的基本方向组。
k十1环的初始点应选取、两点中函数值小者，亦即当时，取；时，取。
若式(1)及式(2)均不成立，则去掉原来第k环基本方向组中函数值下降量最大的方向，再将第k环所产生的新生方向补入k+1环基本方向组的最后，即以构成第k+l环的基本方向组。
k+1环的初始点应取第k环中沿方向一维搜索的极小点，亦即取。
图2显示了二维正定二次函数用鲍威尔共轭方向法求极小点的搜索路线，其几何意义亦完全可推广到n维正定二次函数。
二、迭代过程及算法框图鲍威尔共轭方向法的具体迭代步骤如下:(1)给定初始点，迭代精度，维数n，。
机械优化设计鲍威尔法
机械优化设计鲍威尔法
机械优化设计鲍威尔法（Powell method）是一种常用的非线性优化
算法，它以鲍威尔的名字命名，用于解决无约束非线性优化问题。
该方法
在各个领域都有广泛的应用，如工程优化设计、机器学习等。
下面将详细
介绍机械优化设计鲍威尔法的原理及应用。
鲍威尔法的具体步骤如下：
1.初始化参数：选择初始设计参数和方向。
2.寻找一维极小值点：沿着方向找到目标函数在该方向上的极小值点。
3.更新方向：通过比较前后两个极小值点的差异来更新方向。
4.迭代优化：重复步骤2和步骤3，直到达到指定的收敛条件。
鲍威尔法的优点是收敛速度较快、计算量较小，同时可以处理非线性
的优化问题。
然而，该方法也存在一些不足之处，如可能陷入局部最优解、对初值敏感等。
机械优化设计鲍威尔法在工程领域中有广泛的应用。
例如，在机械结
构设计中，可以利用鲍威尔法来优化结构参数，以满足特定的性能指标。
在汽车工业中，可以使用鲍威尔法来优化车辆的燃油效率和性能。
在航空
航天领域，可以利用该方法来优化飞行器的飞行性能。
此外，该方法还可
以用于机器学习中的参数优化，如调整神经网络的权重和偏置等。
总之，机械优化设计鲍威尔法是一种常用的非线性优化算法，通过迭
代逼近最优解。
虽然该方法有一些不足之处，但在实际应用中具有广泛的
适用性，尤其在工程优化设计和机器学习等领域。
通过使用该方法，可以
优化设计参数，改进性能指标，提高工程效率和产品质量。
基于改进鲍威尔法的电力变压器优化设计
基于改进鲍威尔法的电力变压器优化设计电力变压器是电力系统中非常重要的一种设备，它能够实现高低电压之间的转换，为各种电气设备提供所需的电源。
在电力变压器的设计过程中，优化设计是非常重要的一个环节。
本文将基于改进的鲍威尔法来实现电力变压器的优化设计。
鲍威尔法是一种非线性优化算法，它能够通过反复寻找可行的搜索方向，逐步接近于全局最优解。
但是，原始的鲍威尔法容易陷入局部最优解，导致结果不够精确。
为了提高鲍威尔法的效率和精度，本文利用增量式的方式进行了改进。
在电力变压器的优化设计中，我们首先需要确定设计变量。
通常情况下，电力变压器的设计变量包括绕组的散热面积、尺寸、材料等因素，以及磁芯的截面积、尺寸、材料等因素。
在确定了设计变量之后，我们需要制定目标函数和约束条件，以实现多目标优化。
目标函数通常包括变压器的质量、效率、损耗、温度上升等指标，而约束条件主要考虑变压器在使用过程中的稳定性、耐久性、安全性等因素。
在实现鲍威尔法优化过程中，我们需要将目标函数和约束条件都转化为可计算的函数，并进行非线性优化求解。
但是，鲍威尔法容易受到初始搜索方向的影响，导致优化结果不够准确。
因此，我们可以使用增量鲍威尔法来进行改进。
具体来说，增量鲍威尔法是将优化过程分为多个阶段进行，每个阶段都在上一阶段的优化结果基础上调整搜索方向，并进行局部搜索。
通过逐步增加步长和逐步缩小搜索区间的方式，增量式鲍威尔法能够逐渐接近于最优解，避免了局部最优的影响。
总之，基于改进的鲍威尔法可以实现电力变压器的优化设计，提高了优化结果的准确性和效率，具有一定的应用价值。
同时，未来还可以进一步探索其他非线性优化算法，并结合实际工程设计，实现更加精准的优化设计。
机械优化设计鲍威尔法编程
}
}
// Set the icon for this dialog. The framework does this automatically
// when the application's main window is not a dialog
UpdateData(true);
int i,n;
double h1,h2,h3,m,flag,X00[2][1],d01[2][1],d02[2][1],d03[2][1]; //确定键的执行程序
double X01[2][1],X02[2][1],X03[2][1];
double F0,F1,F2,F3,e1,e2,em;
// the minimized window.
HCURSOR CMyDlg::OnQueryDragIcon()
{
return (HCURSOR) m_hIcon;
}
void CMyDlg::OnOK()
{
// TODO: Add extra validation here
//CDialog::OnOK();
F1=(X01[0][0]*X01[0][0]+2*X01[1][0]*X01[1][0]-4*X01[0][0]-2*X01[0][0]*X01[1][0]),f1=F1; //确定F的函数值
h2=(4*d02[0][0]+2*d02[0][0]*X01[1][0]+2*d02[1][0]*X01[0][0])/(2*d02[0][0]*d02[0][0]+ //确定搜索步长
机械优化设计鲍威尔法编程
机械优化设计鲍威尔法编程鲍威尔法编程，又称行进法、射线法，是一种无约束极值问题的最优化算法。
其核心思想是通过不断更新方向，寻找函数极小值点。
鲍威尔法编程结合了线和模式的特点，具有全局能力和局部能力，因此在机械优化设计中得到广泛应用。
在机械优化设计中，通常需要考虑多个设计参数对机械性能的影响。
鲍威尔法编程可以通过不断迭代的方式，寻找最佳的设计参数组合，以达到设计要求。
其具体步骤如下：1.初始化设计参数和步长。
2.计算当前设计参数下的目标函数值。
3.在当前方向上进行线，找到使目标函数值下降的步长。
4.更新设计参数，将方向和步长相乘加到当前设计参数上。
5.检查当前设计参数的变化是否满足终止条件，如果满足则结束，否则返回步骤26.返回最佳设计参数组合及对应的目标函数值。
下面以一个简单的机械优化设计案例为例进行详细说明。
假设有一个弹簧悬挂系统，需要设计合适的弹簧刚度和阻尼系数来满足特定的振动要求。
目标函数为最小化系统振动幅值。
首先，需要定义设计参数和目标函数。
设计参数可以选择弹簧刚度和阻尼系数。
目标函数可以定义为系统振动幅值的平方。
其次，需要确定方向和初始步长。
对于弹簧刚度和阻尼系数来说，方向可以选择正方向和负方向。
初始步长可以根据经验或试验来确定。
然后，根据鲍威尔法编程的步骤，进行迭代。
首先，初始化设计参数和步长。
然后，计算当前设计参数下的目标函数值。
接下来，根据当前方向和步长进行线，找到使目标函数值下降的步长。
再更新设计参数，将方向和步长相乘加到当前设计参数上。
最后，检查当前设计参数的变化是否满足终止条件，如果满足则结束，否则返回到线步骤继续。
最后，得到最佳的设计参数组合及对应的目标函数值。
可以根据实际情况进行设计参数的调整和优化，以获得更好的机械性能。
总之，鲍威尔法编程是一种常用的机械优化设计方法。
通过不断迭代的方式，寻找最佳的设计参数组合，以满足设计要求。
其原理和步骤相对简单，但需要结合具体问题进行参数的选择和调整。
鲍威尔共轭方向法实验报告
鲍威尔共轭方向法实验报告
姓名：学号：
一、实验目的
1.加深对机械优化设计方法的基本理论和算法步骤的理解。
2.培养独立编制、调试计算机程序的能力。
3.掌握常用优化程序的使用方法。
4.培养灵活运用优化设计方法解决工程实际问题的能力。
二、实验要求
1.明确鲍威尔共轭方向法基本原理及程序框图。
2.编制鲍威尔共轭方向法程序。
3.用考核题对所编制程序进行考核。
三．实验内容
1.实验基本原理简述
2、程序的流程图
3.编制鲍威尔共轭方向法程序
4．程序运行结果。
机械优化设计方法——鲍威尔法,坐标轮换法
鲍威尔法
机械优化设计方法——鲍威尔法
鲍威尔(Powell)法是直接利用函数值 来构造共扼方向的一种共扼方向法。基本 思想是在不用求导数的前提下，在迭代中 逐次构造Hessian矩阵G的共扼方向。
原始共轭法的缺点
对于n维无约束最优化问题，采用原始共轭 方向法在产生n个共轭方向时，有可能是线 性相关或接近线性相关的，遇这种情况， 会导致在降维空间寻优使迭代计算不能收 敛到真正最优点而失败 。
(4)判断是否满足收敛准则。
即
X k 1 X k
。若满足，则
X k1 0
为
极小点，否则应置 k k 1 ，返回，
继续进行下一轮迭代。
计算 f (X ) x12 25x22 的极小值
解 ： 选取初始点为 X 0 2,2T,初试搜索方向
为 d10 1,0T，d20 0,1 T。初始点处 的函数
值
F1
f
(
X
0 0
)
104
第一轮迭代：沿 d10 方向进行一维搜
索，得
X10
X
0
1d10
2
1
1 0
2
1
2
将
X
0 1
代入原方程得：
f1 f (X10) (2 1)2 2522 4 41 12 100
最佳步长
：
df ( d
)
4
21
0
1 2
X10
2 2
210
0 2
X
0 1
鲍威尔法计算步骤与程序原理
(1)任选一初始点 X 0 ,
X
0 0
X
0
，选取初
试方向组，它由n个线性无关的向量
机械优化设计 鲍威尔法
机械优化设计中的鲍威尔方法鲍威尔（Powell ）法是直接利用函数值来构造共轭方向的一种方法。
对函数 f(x)=21x 2Gx+b T +c 的极小化问题，基本思想是：在不用导数的前提下，在迭代中逐次构造G 的共轭方向。
鲍威尔算法的基本思想： 性质一：同心椭圆簇； 性质二：平行切点的连线必 经过椭圆簇中心；性质三：椭圆中心即为极小点。
一.共轭方向的生成如图1，设x k ,x k+1为从不同点出发，沿同一方向dj 进行一维搜索而到的两个极小点。
根据梯度和等值面相垂直的性质, dj 和 xk, xk+1两点处的梯度g k ,g k+1之间存在关系:（d j ）T g k =0 (d j )T g k+1=0:另一方面，对于上述二次函数，其xk, xk+1两点处的梯度可表示为:g k =Gx k +b g k+1=Gx k+1+b ：因而有（d j ）T (g k+1-g k )=(d j )T G(x k+1-x k )=0,取d k =x k+1-x k 这说明只要沿d j 方向分别对函作两次一维搜索，得到两个极小点x k 和x k+1 ，那么这两点的连线所给出的方向d k 就是与d j 一起对G 共轭的方向。
一.基本算法1）任选一初始点x 0，再选两个线性无关的向量，如坐标轴单位向量e 1=[1,0]T 和e 2=[0,1]T 作为初始搜索方向。
2）从x 0出发，顺次沿e 1， e 2作一维搜索j kk k dd djgg k+1 xx k +1，得x10,x20点，两点连线得一新方向d1=x20-x0。
用d1代替e1形成两个线性无关向量d1 ,e2 ,作为下一轮迭代的搜索方向。
再x20出发，沿d1作一维搜索得点x01，作为下一轮迭代的初始点。
3）从x1出发，顺次沿,e2。
d1作一维搜索，4）得到点x11，x21，两点连线得一新方向:d2=x21-x11。
4）沿d2d2作一维搜索得点.x2，即是二维问题的极小点x* 。
优化设计-坐标轮换法-鲍威尔方法
2,0T
0
1 1 X1 X 0 0 2 f 2(1 ) 2 12 8(1 ) 10 df 4(1 ) 8 0 1 d 2 X1 2
2 X 0
2)Powell对基本算法的改进
在获得新方向构成新方向组时,不是轮换地去掉原来的 方向,而是经判别后,在n+1个方向中留下最接近共轭的n 个方向.
• * ①根据Powell条件判定是否需换方向；
②如需换向，则换掉函数值下降量最大的方向.
1.基本算法
二维情况描述鲍威尔的基本算法:
1 ） 任 选 一 初 始 点 x0(1) ， 选 坐 标 轴 单 位 向 量 e1=[1,0]T和e2=[0,1]T作为初始搜索方向。
坐标轮换法是每次搜索只允许一个变量变化，其余变量 保持不变，即沿坐标方向轮流进行搜索的寻优方法。
坐标轮换法把多变量的优化问题轮流地转化成单变 量的优化问题.
坐标轮换法
基本原理
搜索方向与步长
• 给定初始点x0, 从x0出发，依次沿坐标轴方向 ei =(0,…,0,1,0,…,0)T，i=1,2,…,n, 进行最优一维搜索,即
Y
N
K=K+1
Sn+1=Xn-X0 自Xn始，沿Sn+1方向搜 索得一维最优点X* Xn+1=2Xn-X0 F1=F(X0), F2=F(Xn), F3=F(Xn+1)
X0=X*
N
F3<F
1
Y
求Δ 及方向标号m
N Y
Q< P
Si=Si+1 i=m,m+1,…n
X 2(1)
沿s2作一维搜索得点X0(3) 。
优化设计-鲍威尔法程序(c语言)
优化设计-鲍威尔法程序(c语言)#include<tdio.h>#include<math.h>#definem10/某数组长度m>=维数n某/floatf(float某[]);voidmjtf(intn,float某0[],floath,float[],floata[],floatb[]);voidmhjfgf(intn,floata[],floatb[],floatflag,float某[]);voidmbwef(intn,float某0[],floath,floatflag,floata[],floatb[],float某[]);floatf(float某[]){floatreult;reult=60-10某某[0]-4某某[1]+某[0]某某[0]+某[1]某某[1]-某[0]某某[1];returnreult;}/某多维进退法子程序某/voidmjtf(intn,float某0[],floath,float[],floata[],floatb[]) {inti;float某1[m],某2[m],某3[m],f1,f2,f3; for(i=0;i<n;i++)/某计算初始两试点某/ {某1[i]=某0[i];某2[i]=某0[i]+h某[i];}f1=f(某1);f2=f(某2);if(f2>=f1)/某判断搜索方向某/{/某搜索方向为反向，转身某/h=(-1)某h;for(i=0;i<n;i++)某3[i]=某1[i];f3=f1;for(i=0;i<n;i++)某1[i]=某2[i];f1=f2;for(i=0;i<n;i++)某2[i]=某3[i];f2=f3;}/某搜索方向为正向某/for(i=0;i<n;i++)/某计算第三试点某/某3[i]=某2[i]+h某[i];f3=f(某3);while(f3<f2)/某判断是否未完成搜索某/ {/某未完成，继续搜索某/h=2某h;for(i=0;i<n;i++)某1[i]=某2[i];f1=f2;for(i=0;i<n;i++)某2[i]=某3[i];f2=f3;for(i=0;i<n;i++)某3[i]=某2[i]+h某[i];f3=f(某3);}/某已完成某/for(i=0;i<n;i++)/某输出初始搜索区间某/{if(某1[i]<某3[i]){a[i]=某1[i];b[i]=某3[i];}ele{a[i]=某3[i];b[i]=某1[i];}}}/某多维黄金分割法子程序某/voidmhjfgf(intn,floata[],floatb[],floatflag,float某[]) {inti;float某1[m],某2[m],f1,f2,um;for(i=0;i<n;i++)/某计算初始两试点某/某1[i]=b[i]-(float)0.618某(b[i]-a[i]); f1=f(某1);for(i=0;i<n;i++)某2[i]=a[i]+(float)0.618某(b[i]-a[i]); f2=f(某2);do{if(f1<=f2)/某判断消去区间某/{/某消去右某/for(i=0;i<n;i++)b[i]=某2[i];for(i=0;i<n;i++)某2[i]=某1[i];f2=f1;for(i=0;i<n;i++)某1[i]=b[i]-(float)0.618某(b[i]-a[i]); f1=f(某1);}ele{/某消去左某/for(i=0;i<n;i++)a[i]=某1[i];for(i=0;i<n;i++)某1[i]=某2[i];f1=f2;for(i=0;i<n;i++)某2[i]=a[i]+(float)0.618某(b[i]-a[i]); f2=f(某2);}um=0;for(i=0;i<n;i++)um+=(b[i]-a[i])某(b[i]-a[i]);}while(qrt(um)>flag某0.1);for(i=0;i<n;i++)某[i]=(float)0.5某(b[i]+a[i]);}/某鲍威尔法子程序某/voidmbwef(intn,float某0[],floath,floatflag,floata[],floatb[],float某[]){ inti,j,k,r;float某1[m],某2[m],f0,f1,f2,fn[m],[m][m],um;for(i=0;i<n;i++)for(k=0;k<n;k++)if(i==k)[i][k]=1;ele[i][k]=0;k=1;while(1){for(i=0;i<n;i++)某1[i]=某0[i];for(i=0;i<n;i++)mjtf(n,某1,h,[i],a,b);mhjfgf(n,a,b,flag,某1);fn[i]=f(某0)-f(某1);}for(i=0;i<n;i++)某2[i]=2某某1[i]-某0[i];for(i=1;i<n;i++)if(fn[0]<fn[i]){fn[0]=fn[i];r=i;}eler=0;f0=f(某0);f1=f(某1);f2=f(某2);if(f2>=f0||(f0-2某f1+f2)某(f0-f1-fn[0])某(f0-f1-fn[0])>=0.5某fn[0]某(f0-f2)某(f0-f2)){um=0;for(i=0;i<n;i++)um+=(某1[i]-某0[i])某(某1[i]-某0[i]);if(f1<=f2)for(i=1;i<n;i++)某0[i]=某1[i];elefor(i=1;i<n;i++)某0[i]=某2[i];}ele{for(i=r;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)[i][j]=[i+1][j];for(i=0;i<n;i++)[n][i]=某1[i]-某0[i];mjtf(n,某1,h,[n],a,b);mhjfgf(n,a,b,flag,某1);um=0;for(i=0;i<n;i++)um+=(某1[i]-某0[i])某(某1[i]-某0[i]);for(i=0;i<n;i++)某0[i]=某1[i];if(qrt(um)<=flag)break;elek+=1;}for(i=0;i<n;i++)某[i]=某1[i];}/某鲍威尔法主程序某/voidmain(){inti,n;floath,flag,某0[m],a[m],b[m],某[m];printf("\n<鲍威尔法>\n");printf("请输入维数:\n");canf("%d",&n);printf("请输入初始点:");for(i=0;i<n;i++){printf("\n某0[%d]=",i);canf("%f",&某0[i]);}printf("\n请输入初始步长:\n");canf("%f",&h);printf("\n请输入精度:\n");canf("%f",&flag);mbwef(n,某0,h,flag,a,b,某);printf("\n极小点坐标为:\n");for(i=0;i<n;i++)printf("某[%d]=%f\n",i,某[i]);printf("\n极小值为:\n%f\n",f(某));}。
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本实验用鲍威尔方法求函数f(x)=(x1-5)2+(x2-6)2 的最优解#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
const MAXN = 10;
double xkk[MAXN],xk[MAXN],sk[MAXN];
int N;
double F(double *x)
{
return 4*pow(x[0]-5,2.0)+pow(x[1]-6,2.0);
}
double f(double x)
{
for (int i=0; i<N; i++) xkk[i]=xk[i]+x*sk[i];
return F(xkk);
}
/*
无约束坐标轮换法
x0--初始点
e1--一维搜索精度
e2--求解精度
*/
double nc_trans(double *x0,double e1,double e2)
{
int i,j,k=1;
double a,b,ax,ay,d;
for (;;) {
for (j=0; j<N; j++) xk[j]=x0[j];
for (i=0; i<N; i++) {
for (j=0; j<N; j++) if (j==i) sk[j]=1;
else sk[j]=0;
find_ab(0,1,&a,&b);
search_gold(a,b,e2,&ax,&ay);
for (j=0; j<N; j++) xk[j]=xkk[j];
}
for (j=0; j<N; j++)
d+=(x0[j]-xkk[j])*(x0[j]-xkk[j]);
d=sqrt(d);
printf("k=%d;",k);
for (j=0; j<N; j++)
printf(",x[%d]=%lf;",j+1,xkk[j]);
printf("d=%lf\n",d);
if (d<=e1) break;
for (j=0; j<N; j++) x0[j]=xkk[j];
k++;
}
for (j=0; j<N; j++) x0[j]=xkk[j];
return F(xkk);
}
/*
鲍威尔法
x0--初始点
e1--一维搜索精度
e2--求解精度
*/
double nc_powell(double *x0,double e1,double e2) {
int i,j,k=1,m;
double a,b,ax,ay,d;
double ss[MAXN][MAXN],s1[MAXN],
ff[MAXN],x[MAXN],xn[MAXN],
xn1[MAXN],f0,f1,f2,f3;
for (i=0; i<N; i++) for (j=0; j<N; j++) if (j==i) ss[i][j]=1; else ss[i][j]=0;
for (;;) {
for (j=0; j<N; j++) xk[j]=x0[j];
for (i=0; i<N; i++) {
for (j=0; j<N; j++) sk[j]=ss[i][j];
find_ab(0,1,&a,&b);
search_gold(a,b,e2,&ax,&ay);
for (j=0; j<N; j++) xk[j]=xkk[j];
ff[i]=F(xk);
for (j=0; j<N; j++) xn[j] = xkk[j];
for (j=0; j<N; j++) {
sk[j]=xkk[j]-x0[j]; s1[j]=sk[j];
}
find_ab(0,1,&a,&b);
search_gold(a,b,e2,&ax,&ay);
for (j=0; j<N; j++) x[j]=xkk[j];
d=0;
for (j=0; j<N; j++) d+=(x[j]-x0[j])*(x[j]-x0[j]); d=sqrt(d);
printf("k=%d;",k);
for (j=0; j<N; j++)
printf("x[%d]=%lf;",j+1,x0[j]);
printf("d=%lf\n",d);
if (d<=e1) {
for (j=0; j<N; j++) x0[j]=x[j];
break;
}
f0=F(x0); d=f0-ff[0]; m=0;
for (j=1; j<N; j++) if (d<ff[j-1]-ff[j]) {
m=j; d=ff[j-1]-ff[j];
}
for (j=0; j<N; j++) xn1[j]=2*xn[j]-x0[j];
f1=F(x0); f2=F(xn); f3=F(xn1);
if (0.5*(f1-2*f2+f3)>=d) {
if (f2<f3) for (j=0; j<N; j++) x0[j]=xn[j];
else for (j=0; j<N; j++) x0[j]=xn1[j];
} else {
for (i=m+1; i<N; i++) for (j=0; j<N; j++)
ss[i-1][j]=ss[i][j];
for (j=0; j<N; j++) ss[N-1][j]=s1[j];
for (j=0; j<N; j++) x0[j]=x[j];
}
k++;
}
for (j=0; j<N; j++) x0[j]=xkk[j];
return F(xkk);。